由三角函数的图像求解析式
三角函数：三角函数的图像与性质-高三数学二轮复习
(4)对称轴：ωx + =________.
(5)对称中心：ωx + =________.
试卷讲评课件
(6)值域：若已知三角函数y = Asin ωx + + B，且x ∈ [m, n]
①若ωx +
π
可以取到
2
+
π
2kπ和−
2
+ 2kπ，则Asin ωx + + B的最大
值为________，最小值为________；
2
2
A.1
B.2
= f x 的图象与直线
C.3
D.4
π
6
试卷讲评课件
例10.( ⋅辽宁·二模)已知函数f x = sin2x + 2 3cos2 x − 3，则下
列说法正确的是(
)
A.函数f x 的最小正周期为π
B.函数f x
π 3π
在区间[ , ]上单调递减
6 4
C.将函数f x
π
的图象向右平移 个单位长度，得到函数y
π
是y
6
π
,0
3
对称
上单调递增
= f x 图象的一条对称轴
)
试卷讲评课件
例12.( ⋅河北沧州·一模)已知函数f x = sin 2x +
且f x = f
2π
3
函数，则(
)
A. =
≤
π
2
，
− x ，若函数f x 向右平移a a＞0 个单位长度后为偶
π
−
6
B.函数f x 在区间
π
C.a的最小值为
6
象
由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)
图像的变换与对称性
01
平移变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上平移，而不改变其形状和性质。
例如，正弦函数向右平移a个单位后变为$y=sin(x-a)$。
02
伸缩变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上伸缩，从而改变其周期和振幅。
例如，正弦函数在x轴方向上伸缩a倍后变为$y=sin(frac{1}{a}x)$。
余弦函数
定义域
全体实数，即$R$。
值域
$[-1,1]$。
周期性
余弦函数具有周期性，最小正 周期为$2pi$。
单调性
在每个周期内，余弦函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$
上单调递增。
正切函数
定义域
01
不连续，无周期性。
值域
02
全体实数，即$R$。
单调性
03
正切函数在每一个开区间$(kpi-frac{pi}{2}, kpi+frac{pi}{2})$内
01
1. 绘制直角坐标系
根据解析式的定义域，绘制直角 坐标系。
02
03
2. 确定关键点
3. 绘制图像
根据解析式的值，确定直角坐标 系中的关键点。
根据关键点，绘制三角函数的图 像。
例题三：综合应用题
1. 分析题目
仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
2. 确定解题步骤
根据题目要求，确定解题步骤，包括已知条件的分析、未知条件的推导等。
由三角函数图像求解析式
contents
目录
• 引言 • 三角函数的基本性质 • 三角函数图像的绘制 • 由三角函数图像求解析式的方法 • 实例分析 • 总结与思考
三角函数图像平移变换及图像解析式
三角函数图像题（本人精心整理）-------图像求解析式及平移变换一．根据图像求解析式1.图1 是函数的图象上的一段，则（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2．已知函数，（其中 ），其部分图像如图5所示．求函数的解析式；练习1下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )（A ）（B ） （C ）（D ） 2．已知函数的部分图象如右上图所示，则（）A.B.C.D.3.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 A. B. C. D.4、函数的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。
（其中 ） 5已知函数（， ，）的一段图 象如图所示，求函数的解析式；6.为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变(B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到 原来的2倍，纵坐标不变sin()6y x π=+cos(2)6y x π=-cos(4)3y x π=-sin(2)6y x π=-()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωx y 6,1πϕω==6,1πϕω-==6,2πϕω==6,2πϕω-==3π12(C) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 (D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变二．图像平移变换问题相位变换：① 将图像沿轴向左平移个单位 ② 将图像沿轴向右平移个单位周期变换： ① 将图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍②将图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍 振幅变换：①将图像上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍 ②将图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍 【特别提醒】由y ＝sin x 的图象变换出y ＝Asin(＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现/wxc/途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(＞0)或向右（）平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的倍(＞0)，再沿x 轴向左(＞0)或向右平移个单位，便得y ＝sin(＋)的图象【特别提醒】若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位1.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ） （A ）向左平移个长度单位 （B ）向右平移个长度单位 （C ）向左平移个长度单位 （D ）向右平移个长度单位2.函数f (x )=2sin x cos x 是（ ）(A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数3.设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 3 4.下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ）sin y x =w 1sin y x =sin y x =A x ωϕϕϕω1ωϕϕϕsin(2)3y x π=-sin(2)6y x π=+4π4π2π2π振幅 变换 相位 变换 周期 变换y ＝sin x（A ） （B ） （C ） （D ）5.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）6、要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）（A ）向左平移个单位 （B ）向右平移个单位 （C ）向左平移个单位 （D ）向右平移个单位7、将函数y=sin3x 的图象作下列平移可得y=sin(3x+)的图象（A) 向右平移 个单位 (B) 向左平移 个单位（C ）向右平移 个单位 （D ）向左平移 个单位8．将函数的图象上每点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位，得到的函数解析式为（ ）9、把函数的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移个单位长度，得到新的函数图象，那么这个新函数的解析式为 （A ） （B ） （C ） （D ）11．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）(A)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度(B)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 (C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度12 将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图形沿轴正向平移，得到的新曲线与函数的图象重合，则（ ） A. B. C. D.5为了得到函数的图象,可以将函数的图象( ) A ．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度13.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）6π6π218π4π)62sin(π-=x y x y 2cos =6π3π6π3π（A ） （B ） （C ） （D ）14.函数f(x)= 的最小正周期为（ ） A.B.xC.2D.415.为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位 17.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A ．向右平移个单位 B ．向右平移个单位 C ．向左平移个单位 D ．向左平移个单位 18.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）(A)向右平移个单位长度 (B)向右平移个单位长度(C)向左平移个单位长度 (D)向左平移个单位长度19.把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是A ，B ，C ，D ，20.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（A ）向左平移个长度单位 （B ）向右平移个长度单位 （C ）向左平移个长度单位 （D ）向右平移个长度单位21.已知函数的最小正周期为，为了得到函数 的图象，只要将的图象A 向左平移个单位长度B 向右平移个单位长度C 向左平移个单位长度D 向右平移个单位长度22.函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于B23.将函数y=sinx 的图象向左平移0 ＜2的单位后，得到函数y=sin 的图象，则等于A ．B ． C. D.24.若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为D A ． B. C. D.25.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于C （A ） （B ） （C ） （D ）26.将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为（ C ）A ．B ．C ．D ．27.将函数的图象F 按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是AA. B. C. D.28.将函数y=3sin （x -θ）的图象F 按向量（，3）平移得到图象F ′,若F ′的一条对称轴是直线x=,则θ的一5π126π3πx R ∈x R ∈x R ∈x R ∈4π2πϕϕsin(2)3y x π=+α(,0)12π-α(,0)12π-(,0)6π-(,0)12π(,0)6πF 'π125π125-π1211个可能取值是A. B. C. D. A29．将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为（ ）A ．B ．C ．D ． C 29为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（A ）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（B ）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） （C ）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）综合1.(2004全国Ⅰ卷文、理)为了得到函数的图象,可以将函数的图象( ) A ．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度 2（2006四川文、理）下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )（A ） （B ） （C ） （D ）二.填空题: （每小题5分，计20分） 3. (2008辽宁理)已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________． 4．(2008陕西理)已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由． 5.（2008安徽文、理）已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数在区间上的值域6.(2005全国Ⅰ文)设函数图像的一条对称轴是直线. (Ⅰ)求； (Ⅱ)求函数的单调增区间；7.（四川卷理）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是( ) A. B. C. D.8．（重庆卷理）已知函数的部分图象如右上图所示，则（ ） A. B. C. D.9．（天津卷理）已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； （Ⅱ）若，求的值。
根据图像求三角函数解析
或y3cos(2x－5)
6
练 习 3 .函 数 yA sin ( x ),(A 0 , 0 ,|| )
的 部 分 图 像 如 图 所 示 ,求 该 函 数 的 解 析 式 。
y2sin(2x) 3
y 2
o 3
5 6
x
-2
例3： 求f(x)=Asin(ωx+φ)+B型的解析式
-2
ππ 42
3π 2
5π 2
7π 2
x
4
例2：如图为y=Asin（ωx+φ）的图象的一段，求其解析式.
练 习 1.函 数 yA sin(x),(A0,0,||)
2 的 图 像 如 图 所 示 ,求 该 函 数 的 解 析 式 。y
3
y3sin(2x) 3
2
3
o
6
x
-3
变 式 .函 数 yA cos(x),(A0,0,||)
巧记·主干知识
突破·重点要点
题型二 由图象求函数y＝ Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋
φ)(其中 ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是
π，且 f(0)＝ 3，则( )
A.ω＝12，φ＝π6 C.ω＝2，φ＝π6
B.ω＝12，φ＝π3 D.ω＝2，φ＝π3
1.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(ω>0,
|φ|< )的图象的一部分如图所示： （1）求2f(x)的表达式；
（2）试写出f（x）的对称轴方程.
解 （1）由图象可知，函数的最大值M=3，
y=Asin(wx+φ)+k图像运用题型练习2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
y ＝A sin （wx +φ）+k 图像运用题型练习一．【图像的伸缩、平移变换】 例：函数1)32sin(5++=πx y 的图像可由x y sin =的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？方法一（先平移后伸缩）：方法二（先伸缩后平移）：1．为得到函数f （x ）＝sin2x +cos2x 的图象，只需将函数g （x ）＝sin2x ﹣cos2x 的图象（ ） A ．向左平移个单位长度 B ．向左平移个单位长度 C ．向右平移个单位长度D ．向右平移个单位长度2．将函数y ＝sin （x ﹣）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，则所得图象对应的解析式为 .3．要得到函数f （x ）＝cos （2x +）的图象，只需将函数g （x ）＝sin （2x +）的图象（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度4．已知曲线C 1：y ＝sin （2x ﹣），C 2：y ＝cos x ，则下面结论正确的是（ ）A ．先将曲线C 2向左平移个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标保持不变，便得到曲线C 1B ．先将曲线C 2向右平移个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，便得到曲线C 1C ．先将曲线C 2向左平移个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，便得到曲线C 1 D ．先将曲线C 2向右平移个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标保持不变，便得到曲线C 15．若函数g（x）的图象是由函数f（x）＝cos（x﹣）+cos（x+π）的图象向右平移个单位长度得到的，则函数g（x）的一个单调递增区间为（）A．[﹣，]B．[，]C．[，]D．[﹣，]6．将函数f（x）＝sin（wx+）（w＞0）的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，且函数f（x）在[0，]上单调递增，则函数f（x）的最小正周期为（）A．B．πC．D．2π二．【由三角函数图像求其解析式】例：如图所示的是函数y=A sin（wx+φ）（A>0，w>0，|φ|<π）的图像，根据图中条件，写出该函数解析式.①【基础练习】7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（﹣）＝．7 8 98．函数f（x）＝sin（2x+φ），（|φ|）的部分图象如图所示，则的值为．9．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）＝．②【结合三角函数性质】10．（多选）如图，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象经过点和，则（）A．ω＝1B．C．函数f（x）的图象关于直线对称D．若，则sin2α﹣cos2α＝11．（多选）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．f（x）的解析式可以表示为B．函数y＝f（x）的图象关于直线对称C．该图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象D．函数y＝f（x）在单调递减11 1212．（多选）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2B．把y＝f（x）图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数g（x）＝2cos2x的图象C．f（x）在区间[，]上单调递减D．（，0）是y＝f（x）图象的一个对称中心③【辅助角公式运用】13．若cos（﹣α）＝，则cos2α﹣sin2α的值为．14．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（2）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．15．已知函数f（x）＝4sin（x﹣）cos x+．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）若m﹣3＜f（x）＜m+3，对任意x∈（0，）恒成立，求实数m的取值范围．16．已知f（x）＝2sin x cos x+2cos（x﹣）cos（x+）．（1）求函数f（x）的单调递减区间：（2）若函数g（x）＝f（x）﹣4k﹣2sin2x在区间[]上有唯一零点，求实数k的取值范围．。
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.在中,已知,若分别是角所对的边,则的最大值为．【答案】【解析】由正余弦定理得：，化简得因此即最大值为.【考点】正余弦定理,基本不等式2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则的值是( )A．1B．－1C．3D．4【答案】B【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A＞90°－B，则sin A＞sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B＞0，同理cos A－sin C＜0，所以点P在第四象限，＝－1＋1－1＝－1，故选B.4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.若方程有实根，则实数的取值范围为【答案】【解析】由方程得，，即，因为，所以，若方程有实根，则，解得．【考点】方程的根．6.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.7.已知函数d的最大值为2，是集合中的任意两个元素，且的最小值为.（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查运算能力.第一问，利用倍角公式化简表达式，先利用周期求出，再求最值，通过解方程求出，确定了解析式后求正弦函数的对称轴；第二问，通过角之间的关系转化角，考查诱导公式和倍角公式.试题解析：（1），由题意知：的周期为，由，知 2分由最大值为2，故，又， 4分∴ 5分令，解得的对称轴为 7分（2）由知，即， 8分∴ 10分12分【考点】1.倍角公式；2.两角和与差的三角函数；3.函数的周期；4.函数的对称轴.8.是偶函数，，则 .【答案】【解析】，，所以，因为为偶函数，所以对任意的，都有即成立，又，所以.【考点】三角函数的恒等变换，偶函数.9.已知方程在上有两个不同的解、，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于方程在上有两个不同的解、，即方程在上有两个不同的解、，也就是说，直线与函数在轴右侧的图象有且仅有两个交点，由图象可知，当时，直线与曲线相切，且切点的横坐标为，当时，，则，故，在切点处有，即，，两边同时乘以得，，故选C.【考点】1.函数的零点；2.函数的图象；3.利用导数求切线的斜率10.将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图像按题中要求变换后得到函数的图像，令，则，当时，.【考点】1.三角函数的变换；2.三角函数图象的对称轴.11.函数f(x)=sin+ACos(＞0)的图像关于M(,0)对称,且在处函数有最小值,则的一个可能取值是( )A．0B．3C．6D．9【答案】D【解析】根据题意：相邻对称点与最小值之间可以相差也可以是不妨设为：＝，可以为９，故选D.【考点】三角函数的最值；正弦函数的对称性．12.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.13.已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当，即时，单调递增；当，即，单调递减.【解析】（1）由题意，所以由（1）知若，则当，即时，单调递增；当，即，单调递减.第（1）题根据三角函数的和差化简，二倍角公式以及辅助角公式，最后化成的形式，利用确定的值；第（2）题用整体法的思想确定的单调性，再反求出在指定范围内的单调性.本题属简单题.【考点】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.14.已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m的值为 .【答案】【解析】设三个根由小到大依次为，结合余弦函数图像可知关于直线对称，关于直线对称，代入计算得【考点】三角函数图像及性质点评：题目中主要结合三角函数图像的轴对称性找到三根之间的联系15.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，即，，所以，=，故选B。
4.4 三角函数的图象 解析式Microsoft Word 文档
4.4 三角函数的图象 解析式一、明确复习目标1.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A ω、φ的物理意义3.会由图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式.二．建构知识网络1．三角函数线[见课本]利用三角函数线可以:比较三角函数值的大小,求取值范围,证明:“若0<α<2π则 sin α＜α＜tan α”; 画三角函数y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象；2．y=Asin(ωx+φ)的图象：①用五点法作图:五点取法由ωx +ϕ=0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.③A---振幅ϖπ2=T ----周期πω21==Tf ----频率 相位--+ϕωx 初相--ϕ3．图象的对称性①y=sinx 图象的对称中心(k π,0), 对称轴x=k π+2π; y=cosx 呢? ②y=tanx 图象的对称中心(2k π,0), 渐近线x= k π+2π;③ y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴是: ωx+φ=k π+2π,即x=? (k ∈Z).由ωx+φ=k π得对称中心为:(ωφπ-k ,0), k ∈Z.4.给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题，一般先找“五点”中的第一零点或第一个最大值点确定ω或φ.三、双基题目练练手1.在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围是 ( ) A .（4π，2π）∪（π，4π5） B .（4π，π） C .（4π，4π5）D .（4π，π）∪（4π5，2π3）2.函数y =cos （x +3π4）的图象向左平移φ个单位，所得的函数为偶函数，则ϕ的最小值是 ( )A .3π4 B .3π2 C .3π D .3π53. (2006天津)已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是 （ ）A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 4.（2005湖北）若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin （ ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ5.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是______________6.（2005湖南）设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝sinn x 在[0，nπ]上的面积为n2（n ∈N *），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .✿简答:1-4.CBDC; 1.利用三角函数线; 2.设平移后:y =cos （x +3π4+ϕ），则3π4+ϕ=k π.ϕ=k π－3π4＞0.∴k ＞34.∴k =2.∴ϕ=3π2;3.()),f x x ϕ=-可取35,424πππϕϕ-==-得,∴5())4f x x π=+,3())4f x x x ππ-=-=4.利用图象可得解.5.平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=，答案sin(2)3y x π=+。
三角函数解析式的求法教师版
第5页（共17页）
令 f (0) = 50sin + 60 = 10 ，得 sin = −1 ；
又 [− ， ] ， 所以 = − ；
2 所以函数 y = 50sin( 2 t − ) + 60 ．
32 故选： C ．
变式 1. 如图, 一个大风车的半径长为 8m , 每12 min 旋转一周, 最低点离地面为 2m . 若风 车翼片从如图所示的点 P0 处按逆时针方向开始旋转,已知点 P0 离地面 6m ，则该翼片的端点 离地面的距离 y(m) 与时间 x(min) 之间的函数关系是
故所得图象对应的函数为 g(x) = sin(2x + ) + 1， 3
则 g(0) = sin(0 + ) +1 = 1 + 3 ，
3
2
故选： A ．
变 式 1 ． 函 数 f (x) = cos(x + )( 0,| | ) 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数 2
A． y = 2sin(1 x + ) 66
B． y = 2sin(1 x − ) 36
第4页（共17页）
C． y = 2cos(1 x + ) 33
【答案】B
D． y = 2cos(1 x − ) 63
【解答】解：由图象可知，得函数的周期T = 4 (3.5 − 2 ) = 6 ，
3
3
故选： D ．
变式 3．已知函数 f (x) = Asin(x + )(A 0 ， 0 ，| | ) 在一个周期内的简图如图所示， 2
则方程 f (x) = m(m 为常数且1 m 2) 在[0 ， ] 内所有解的和为 ( )
利用三角函数图像的变换求解析式及由三角函数图像求解析式
探究三 如何确定 的值
问题3 .如图是函数
y = 2 sin( 2 x + )(
<
p
)
2
的部分图像 , 求 的值。
y
y
2
7p
2
12
x
o
p o
6
x -2
-2
例题讲解
【例 1】 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图①，则其一个函 数解析式为________．
①
[思路探索] 可由最高、最低点确定 A，再由周期确定 ω，然后 由图象过三点确定 φ，或由点的坐标代入解析式求解． 解析 (1)法一 由图象知 A＝2，T＝78π－－π8＝π. ∴ω＝2ππ＝2. 又过点－π8，0，令－π8×2＋φ＝0. 得 φ＝π4，∴y＝2sin2x＋π4.
练习 1．将函数 y＝sinx＋π3的图象向右平移π6个单位，再 向上平移 2 个单位所得图象对应的函数解析式是 y_＝__s_in__x_＋__π6__＋__2___．
解析 y＝sinx＋π3向右平移π6个单位得： y＝sinx－π6＋π3＝sinx＋π6，再向上平移 2 个单 位得 y＝sinx＋π6＋2.
原来的12，得到函数 y＝sin10x－74π的图象．
4．将函数 y＝sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)
个单位后，得到函数 y＝sinx－π6的图象，
则 φ 等于( D )
π
5π
7π
11π
A.6 B. 6 C. 6 D. 6
解 析 将函 数 y＝ sin x 的 图 象 向 左平 移
φ(0≤φ<2π)个单位得到函数 y＝sin(x＋φ)，在 A、B、C、D 四项中，只有 φ＝161π 时有 y ＝sinx＋161π＝sinx－6π.
【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法
φ＜
)图象上的一部分如
2
图 3 所示，则必定有（ ）
(A) A=-2
π （B）ω＝1 （C）φ＝ 3
（D）K＝-2
解：观察图象可知 A＝2,k＝2. ∴y＝2sin(ωx+φ)+2
下面用“解方程组法”求φ与ω的值.
∵ 图象过点（0，2+ 3 ）、（－ ，2） 6
∴ 2+ 3 =2sinφ+2
ｙ
４
（A＞0，ω＞0,φ∈（0， ））,求该函数的解析式．
2
解法一：观察图象易得 A＝2,
Y
7π 3π ∴T＝2×（ 8 - 8 ）＝π，
2
2π ∴ω＝ π ＝2. ∴y＝2sin(2x+φ).
2 3π
8 0π
8
下面用“关键点对等法”来求出
图2
1111ππ 1122
x
7π 8
X
3π φ的值,由 2× 8 +φ＝π（用“第三点”） 得
∴ Asinφ＝ 2
(1)
3π Asin(2× 8 +φ)＝0 (2)
3
由(2)得 φ＝kπ- (k∈Z)， 又φ∈（0， )，
4
2
π
∴只有 K＝1，得φ＝ 4 ， 代人（1）得 A＝2.
π ∴所求函数解析式为 y＝2sin(2x+ 4 )．
例 3.已知函数 y＝Asin(ωx+φ) (A＞0，ω＞0,
【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法
已知函数 y＝Asin(ωx+φ)+k(A＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与
用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看
专题：三角函数及解三角形 第二课时 三角函数的图象与解析式(课件)高三数学二轮复习
（D）y=2sin（2x– ）
3
题型突破
题型一 三角函数的图象变换问题
2.(2022·浙江高考)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数 y 2sin3x
5
图象上所有的点 ( D )
A.向左平移 个单位长度
5
B.向右平移 个单位长度
5
C.向左平移 个单位长度
15
D.向右平移 个单位长度
( C)
A． 10π 9
B． 7π 6
C． 4π 3
D． 3π 2
题型突破
题型二 三角函数的图象及应用
7. 如 图 所 示 的 曲 线 为 函 数 f x Acosx A 0, 0, 的 部 分 图 象 , 将
2
y f x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再将所得曲线向右平移
2
8
个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求 gx =
2sin 2x
达标检测
1.为了得到函数 y 2sin 2x 的图象，可以将函数y＝2sin
3
2x的图象(
C)
A．向右平移π 个单位长度 6
B．向右平移π 个单位长度 3
C．向左平移π 个单位长度 6
D．向左平移π 个单位长度 3
达标检测
15Leabharlann 题型突破题型一 三角函数的图象变换问题
3. （2021年全国乙卷）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的1 2
倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数
3
y＝sin（x−
）的图像，则f（x）＝（
4
B
）
A．sin（
2
−
7）
利用图像求解三角函数解析式-解析版
利用图像求解三角函数解析式第I 卷（选择题）一、单选题1．已知函数()sin()f x x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的图象如图所示，则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．函数()f x 在区间34,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1- D ．曲线12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线2x π=-对称 【答案】C 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再结合选项一一判断即可； 【详解】解：由函数图象可知541264T πππ=-=，所以T π=，因为2T ππω==，所以最小正周期为π，所以2ω=，故A 错误； 又函数过点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭，所以55sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以52,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以252,333πππx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在25,33x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上不单调，故B 错误； 当34,43πx π∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以,267733x πππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，所以sin 23x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，故C 正确；s s 2i in 2112n 236y f x x x ππππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+=+=⎪⎛⎫- ⎪ ⎝- ⎪⎢⎭⎝⎭⎝⎣⎦⎭⎥，当2x π=-时，116in2s y π=≠±=，故2x π=-不是函数12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，故D 错误故选：C2．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||)2πϕ<的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，只需将()sin g x A x ω=图象（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】C 【分析】根据图象最值可得1A =，求出周期，即可得出ω，将,04π⎛⎫⎪⎝⎭代入可求得ϕ，即可得出结论. 【详解】根据函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||)2πϕ<的图象，可得1A =，15141246T ππ=-=，即23T =，2323πω∴==．将,04π⎛⎫⎪⎝⎭代入，可得()sin(3)044f ππϕ=⨯+=，则3,4k k Z πϕπ⨯+=∈，3,4k k Z πϕπ∴=-∈， 又||2ϕπ<，4πϕ∴=，故()sin(3)4f x x π=+． 故把()sin3g x x =图象向左平移12π个单位长度，即可得到()sin(3)4f x x π=+的图象.故选：C ． 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法： （1）根据图象的最值可求出A ； （2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω；（3）取点代入函数可求得ϕ. 3．设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[],ππ-上的图象大致如图，将该图象向右平移()0m m >个单位后所得图象关于直线6x π=对称，则m 的最小值为（ ）A ．4π B ．29π C ．518π D ．3π 【答案】C 【分析】根据五点作图法可构造方程求得ω，得到()f x ；由三角函数平移变换可求得平移后解析式，利用代入检验的方法，根据图象关于6x π=可构造方程求得m ，由此确定最小值.【详解】根据五点法作图知：4962πππω-+=-，解得：32ω=，()3cos 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；将()f x 向右平移m 个单位得：()33cos 262f x m x m π⎛⎫-=+-⎪⎝⎭，()f x m -图象关于6x π=对称，()332662m k k Z πππ∴⨯+-=∈， 解得：()52183m k k Z ππ=-∈， 由0m >，可令0k =得m 的最小值518π. 故选：C. 【点睛】方法点睛：根据余弦型函数()cos y A x ωϕ=+的对称轴、对称中心和单调区间求解参数值时，通常采用代入检验的方式，即将x 的取值代入x ωϕ+，整体对应cos y x =的对称轴、对称中心和单调区间，由此求得结果. 4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0,0,||)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，则只要将f (x )的图象（ ）A ．向右平移4π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度【答案】B 【分析】根据函数的图象可以得到函数图象所经过的特殊点，进而可以确定函数的解析式，最后利用正弦型函数的图象变换方法进行求解即可. 【详解】由函数的图象可知：函数的图象过5(,0),(,1)412ππ-这两点， 设函数()f x 的最小正周期为T ， 所以有：15241243T T πππ=-⇒=，而23,0,3T πωωωω=⇒=>∴=， 所以()()sin 3f x x ϕ=+，因为函数图象过(,0)4π点，所以32()2()44k k Z k k Z ππϕππϕπ⋅+=+∈⇒=+∈，因为π2ϕ<，所以0k =，即4πϕ=，因此()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，而()sin 3sin 3412f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因此为了得到()sin3g x x =的图象，只需将()f x 的图像向右平移π12个单位长度即可；故选：B5．如图，图象对应的函数解析式可能是（ ）A ．cos sin y x x x =+B ．sin cos y x x x =+C ．sin y x x =D ．cos y x x =【答案】A 【分析】分析各选项中函数的奇偶性、及各函数在2x π=处的函数值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，设()1cos sin f x x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()()()11cos sin cos sin cos sin f x x x x x x x x x x f x -=--+-=--=-+=-，该函数为奇函数，且1cos sin 102222f ππππ⎛⎫=+=> ⎪⎝⎭，满足条件； 对于B 选项，设()2sin cos f x x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()()22sin cos sin cos f x x x x x x x f x -=--+-=+=，该函数为偶函数，不满足条件；对于C 选项，设()3sin f x x x =，该函数的定义域为R ，()()()33sin sin f x x x x x f x -=--==，该函数为偶函数，不满足条件；对于D 选项，设()4cos f x x x =，该函数的定义域为R ，()()()44cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，该函数为奇函数，4cos 0222f πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，不满足条件.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 6．将函数1()sin(2)123f x x π=++的图象向右平移（ ）个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象.A ．12πB ．6πC ．3π D ．4π 【答案】B 【分析】设图象对应的函数为()sin y A x B ωϕ=++，根据图象最值可求得,A B ，根据周期可求得ω，将()0,1代入可求得ϕ，进而得出解析式，判断出结论. 【详解】设图象对应的函数为()sin y A x B ωϕ=++，根据函数的图象可得 1.510.5A =-=，240T πω==-，则2πω=，1.50.512B +==，即1sin 122y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将()0,1代入可得1sin 112ϕ+=，可解得0ϕ=， 故所给的图为1sin 122y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 故将函数1()sin(2)123f x x π=++的图象向右平移6π个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象. 故选：B ． 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法： （1）根据图象的最值可求出A ； （2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω；（3）取点代入函数可求得ϕ.7．已知函数()sin()(0,)2f x A x A πωϕϕ=+><的图像如图所示，且()f x 的图像关于点()0,0x 对称，则0x 的最小值为（ ）A ．23πB ．6π C ．3π D ．56π 【答案】B 【分析】先由函数图像求出函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据函数关于()0,0x 对称求出06x k ππ=-，从而当0k =时，0x 取得最小值为6π. 【详解】由题可知4112,2363A T πππ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭21Tπω∴== 则()()2sin ,2sin 233f x x f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭232k ππϕπ∴+=+又2πϕ<6πϕ∴=()2sin 6f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭由()f x 的图像关于点()0,0x 对称，可得0066x k x k ππππ+=∴=-，∴当0k =时，0x 取得最小值为6π故选：B 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8．已知函数f （x ）=Atan （ωx+φ）（ω＞1，|φ|＜），y=f （x ）的部分图象如图，则f（）=A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】试题分析：根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，根据函数过（0.1），过（），确定φ的值，A 的值，求出函数的解析式，然后求出即可．解：由题意可知T=，所以ω=2，函数的解析式为：f （x ）=Atan （2x+φ）， 因为函数过（0，1），所以，1=Atanφ…①， 函数过（），0=Atan （+φ）…①，解得：φ=，A=1．①f （x ）=tan （2x+）．则f （）=tan （）=故选B ．考点：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．9．如图，函数sin f x A x ωϕ=+（）（）（其中00||2A ωϕπ≤＞，＞，）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足204P PQR M π∠=(，)，，为QR 的中点，PM =A 的值为（ ）A．BC ．8D ．16【答案】A 【分析】由题意设出(20)0Q a a ,＞，用a 表示出R 点坐标以及M 点坐标，根据PM =，利用距离公式求出Q 坐标，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A ． 【详解】解：设(2,0),0Q a a >，函数()sin(x+)f x A ϖϕ=（其中0,0,||2A πωφ>>≤）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足4PQR π∠=，∴(0,2a)R -，M 为QR 的中点，∴(,)M a a -，PM =，=解得4a =，80Q ∴（，），又20P （，），18262T ∴=-=， 2T 12πω∴==，解得6π=ω．函数经过(20)(08)P R -，，，，∴sin 206 sin 086A A πϕπϕ⎧⎛⎫⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩，||2πϕ≤，,3πϕ∴=-，解得A =， 故选A ． 【点睛】本题考查由sin x y A ωϕ=+（）的部分图象确定其解析式，求得Q 点与P 点的坐标是关键，考查识图、运算与求解能力，属于中档题．二、多选题10．函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图，把函数()f x 的图象上所有的点向右平移6π个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（ ）A ．3πϕ=B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()g x 关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称 【答案】BC 【分析】根据图象先分析出ω的取值范围，然后根据()0f =ϕ的可取值，然后分类讨论ϕ的可取值是否成立，由此确定出,ωϕ的取值，则A 可判断；根据图象平移确定出()g x 的解析式，利用最小正周期的计算公式，则B 可判断；先求解出()g x 的单调递增区间，然后根据k 的取值确定出,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是否为单调递增区间，则C 可判断；根据3g π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是否为0判断D 是否正确. 【详解】由图可知：1112113124T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，所以11211129πππω<<，所以18241111ω<<，又因为()02sin f ϕ==0ϕπ<<，所以3πϕ=或23ϕπ=， 又因为11112sin 21212f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以112,122k k Z ππωϕπ+=+∈，又因为113,2122ππωπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以113,3122ππωϕπ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1k =， 当3πϕ=时，1113126πωπ=，解得2611ω=，这与18241111ω<<矛盾，不符合；当23ϕπ=时，1111126πωπ=，解得2ω=，满足条件，所以()22sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()22sin 22sin 2633g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， A ．由上可知A 错误；B ．因为()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()g x 的最小正周期为2=2ππ，故B 正确； C ．令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 令0k =，此时单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，且5,,3121212ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C 正确； D．因为2sin 20333g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭不是对称中心，故D 错误； 故选：BC. 【点睛】方法点睛：已知函数()()sin g x A x ωϕ=+()0ω>， 若求函数()g x 的单调递增区间，则令ππ2π2π22k x k ωϕ-<+<+，Z k ∈； 若求函数()g x 的单调递减区间，则令π3π2π2π22k x k ωϕ+<+<+，Z k ∈； 若求函数()g x 图象的对称轴，则令ππ2x k ωϕ+=+，Z k ∈；若求函数()g x 图象的对称中心或零点，则令πx k ωϕ+=，Z k ∈． 11．已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期的最大值为2πB ．当ω最小时，()f x 在π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．π3ϕ=-D ．当ω最小时，直线2π3x =是()f x 图像的一条对称轴 【答案】BC 【分析】由给出的函数图像，求出函数解析式，结合函数性质一一分析即可. 【详解】 由题图得1A =. 因为()30sin 2f ϕ==-，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-.由πππsin 0333f ω⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即ππsin 033ω⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦， 得πππ2π33k ω+=+，Z k ∈，即26k ω=+，Z k ∈， 又>0ω，所以min 2ω=，所以()f x 的最小正周期的最大值为π，故A 错误，C 正确；取2ω=，则()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令π23t x =-，则2π7π,36t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为sin y t =在2π7π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故B 正确；2π2ππsin 2sin π0333f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线2π3x =不是()f x 图像的一条对称轴，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：整体法求一般三角函数单调区间及对称性等相关问题.12．若函数1()sin()(0,0,0)22f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（ ）A ．()2sin 23()3f x x π=+B ．()f x 的图象的一个对称中心为7(,0)2π- C ．()f x 的单调递增区间是5[3,3]44k k πππ-π-，k Z ∈ D ．把π()2sin()3g x x =+的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得()f x 的图象 【答案】AB 【分析】根据图像求出()f x 的解析式，借助于正弦函数的性质一一验证： 对于A ，根据图像求出()f x 的解析式进行判断； 对于B ，利用代入法进行判断； 对于C ，求出单增区间进行判断； 对于D ，利用图像变换判断. 【详解】由题图可知2A =，函数()f x 的最小正周期4()34T π=⨯π-=π，故24312T ωωππ===π，解得43ω=，所以2()2sin()3f x x ϕ=+，又函数()f x 的图象经过点(,2)4π，所以()2sin(2)2434f ϕππ=⨯+=，即sin()16πϕ+=，因为02πϕ<<，所以2663ϕπππ<+<，所以62ππϕ+=，解得3πϕ=，所以()2sin 23()3f x x π=+，故A 正确；因为2377()2sin[()]2sin(2)0223f πππ-=⨯-+=-π=，所以()f x 的图象的一个对称中心为7(,0)2π-，故B 正确； 令2222332πππk πx k π-≤+≤+，k Z ∈，解得5ππ3π3π44k x k -≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间是5[3,3]44k k πππ-π+，k Z ∈，故C 错误； 把π()2sin()3g x x =+的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得到32sin()23y x π=+的图象，故D 错误．故选：AB ． 【点睛】（1）利用图像求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；①求ω通常用周期；①求φ通常利用函数上的点带入即可求解.（2）三角函数问题通常需要先求出系数A 、ω、φ或把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.13．已知函数1π()sin()(0,0,0)22f x A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（ ）A ．该函数图象的一个对称中心为(π,0)B ．π()2sin()323f x x =+C ．该函数的单调递增区间是5ππ[3π,3π],44k k k Z --∈ D ．把函数π()2sin()3g x x =+图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得函数f (x )的图象 【答案】AB 【分析】根据图像求出()f x 的解析式，借助于正弦函数的性质一一验证： 对于A ，由图象可以直接判断；对于B ，根据图像求出()f x 的解析式进行判断； 对于C ，求出单增区间进行判断； 对于D ，利用图像变换判断. 【详解】对于A ，由图象可以看出，该函数图象的一个对称中心为(π,0)，故A 正确； 对于B ，由题图可知2A =，函数f (x )的最小正周期为π4(π)3π4⨯-=，故2π4π43π,132T ωωω====，即()2sin(23f x x =)ϕ+，代入最高点π(,2)4，即πππ22sin()sin()134632ϕϕϕ,=⨯+⇒+==，故π()2sin()323f x x =+，故B 正确；对于C ，单调递增区间需满足π2ππ2π2π2332k x k -≤+≤+，解得5ππ[3π,3π],44x k k k Z ∈-+∈，故C 错误； 对于D ，把函数π()2sin()3g x x =+的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得到函数3π2sin()23y x =+的图象.故D 错误．故选：AB ． 【点睛】（1）利用图像求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；①求ω通常用周期；①求φ通常利用函数上的点带入即可求解.（2）三角函数问题通常需要先求出系数A 、ω、φ或把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.14．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（ ）A ．2A =B ．点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心 C ．6π=ϕ D ．直线3x π=是()f x 图像的一条对称轴【答案】ABD 【分析】由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可. 【详解】因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A b =⎧⎨=⎩，故A 正确；()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2ϕ=.又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故C 错误；()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，k ∈Z ，解得62πk πx =-+，k ∈Z ， 所以()f x 图像的对称轴方程为62πk πx =-+， 令1k =，则3x π=，D 正确；令232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得122k x ππ=+，k ∈Z ，令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系数法求解.第II 卷（非选择题）三、填空题15．已知()()4sin sin 0,22f x x x ππωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+++><⎪⎪⎝⎭⎝⎭，如图是()y f x =的部分图象，则ϕ=___________；()f x 在区间[]0,2020π内有___________条对称轴.【答案】6π8080 【分析】先化简，得到函数解析式，根据图像求得函数中的参数值，由此判断在给定区间内的对称轴. 【详解】()()()4sin sin 2sin 222f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭，由图可知()0f =()sin 22ϕ=，由于(在单调递增的区间内，故223k πϕπ=+，k ∈Z ，解得6k πϕπ=+，k ∈Z ，根据题意知6π=ϕ； 由图象过点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，则有5263ππωπ+=；解得2ω=.故()2sin 43πf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则令432x k πππ+=+，k ∈Z ， 解得244k x ππ=+，k ∈Z . 令02020244k πππ≤+≤，即11808066k -≤≤-. ()f x 在[]0,2020π内有8080条对称轴.故答案为：6π；8080. 【点睛】方法点睛：根据函数图像求得参数，从而求得相关性质. 16．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为____________.【答案】()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由图像经过23π⎛⎫⎪⎝⎭，-2及2πϕ<求出ϕ，即可得到()f x 的解析式. 【详解】由最小值为-2知：A=2；由32343124T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭得，T π=,所以222T ππωπ===; 由223f π⎛⎫=-⎪⎝⎭得：232=232k ππϕπ⨯++，又2πϕ<， 解得：6π=ϕ. 即()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故答案为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.四、解答题17．已知函数()sin()0,0,22f x M x M ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b ac =，求()f B 的取值范围.【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）(. 【分析】（1）由图得出最大值和周期，由此求出,M T ，代入最高点坐标求出ϕ，由此求出解析式（2）由基本不等式求出cos B 的取值范围，从而求出B 角取值范围，再结合三角函数性质求解()f B 范围即可. 【详解】（1）由图知2M =，115212122T πππ=-=， ①T π=，22Tπω==.522()122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 又22ππϕ-<<，①3πϕ=-，①()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）①22221cos 222a cb ac ac B ac ac +--=≥=，当且仅当a c =取“=”，①(0,)B π∈， ①0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，①2,333B πππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，①(()2sin 23f B B π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=或0x ωϕπ+=)，即可求出ϕ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和ϕ，若对,A ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 18．已知函数()()sin (0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()()()0,g x f x t t π=+∈为偶函数，求t 的值. （3）若()(),0,64h x f x f x x ππ⎛⎫⎡⎤=⋅-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求()h x 的取值范围.【答案】（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）12π或712π；（3）90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由图可先得出A 和T ，即可求出ω，再利用712f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ即可得出解析式；（2）可得()223t x x g π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，令2,32t k k Z πππ+=+∈即可求出；（3）利用三角恒等变换可化简得出()33sin 4264h x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据x 的取值范围即可求出. 【详解】（1）由图可得A =37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，T π∴=， 22πωπ∴==，则()()2f x x ϕ=+，又7721212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭2,3k k Z πϕπ=+∈，02，3πϕ∴=，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；（2）()()223x g t x f x t π⎛⎫++== ⎝+⎪⎭为偶函数，2,32t k k Z πππ∴+=+∈，解得,122k t k Z ππ=+∈， ()0,t π∈，t ∴=12π或712π； （3）()()6h x f x f x π⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭22363x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 2sin 23x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3sin 2cos cos 2sin sin 233x x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭23sin 22cos 222x x x =+334cos 4444x x =-+ 33sin 4264x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，54,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，则当466x ππ-=-时，()h x 取得最小值为0，当462x ππ-=时，()h x 取得最大值为94， ∴()h x 的取值范围为90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法： （1）根据图象的最值可求出A ； （2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω；（3）取点代入函数可求得ϕ.19．函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若,312ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，()35f α=，求6f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）T π=，()5,1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2 【分析】（1）由给定的函数()f x 的图象，得到周期T π=，求得2ω=，再结合()112f π=，求得6πϕ=-，得到()cos(2)6f x x π=-，结合三角函数的性质，即可求解.（2）由()35f α=，利用三角函数的基本关系式，求得4sin 265πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1）根据给定的函数()f x 的图象，可得35346124T πππ=-=，可得最小正周期为T π=由2T πω=，可得2ω=，所以()()cos 2f x x φ=+，又由()cos()1126f ππϕ=+=，可得22,12k k Z πϕπ⨯+=∈， 又因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()cos(2)6f x x π=-，令222,6k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-<<+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）由()3cos 235f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 因为,312ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，可得52,663πππα⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以4sin 265πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 则()cos 2sin 2sin 26266f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3sin 2cos cos 2sin 666610ππππαα-⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】由三角函数的图象确定三角函数的解析式的策略： （1）A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）w 的值主要由周期T 的值确定，而T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ值的确定主要是由图象的特殊点的坐标确定．。
三角函数的图像变换及求解析式
1、把y=cos2x 的图像向左平移4π个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，则所得的图像解析式为（ ） A 、y=-sinx B 、y=sin4x C.y=cos(x+4π) D.y=cos(4x+4π) 2、为了得到函数y=2sin(2x-3π)的图像，只需将函数y=2sin2x 的图像( ) A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位3、（2013四川理函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）（A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π4、函数y=3sin(2x-3π)的图像为C 。
（1）图像C 关于直线x=π1211对称；（2）函数()f x 在区间（-12π，π125）上单调递增；（3）由y=3sin2x 的图像向右平移3π个单位长度可以得图像C ；以上三个论断中，正确的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、35、（2015湖北）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图5π(,0) 12，求θ的最小值.象. 若()y g x=图象的一个对称中心为。
高考数学真题09 三角函数的图象与性质问题(教师版)
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
8．答案1解析依题意，f(x)＝sin2x＋ cosx－ ＝－cos2x＋ cosx＋ ＝－ 2＋1，因为x
∈ ，所以cosx∈[0,1]，因此当cosx＝ 时，f(x)max＝1．
9．(2013·全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.
9．答案－ 解析f(x)＝sinx－2cosx＝ ＝ sin (x－φ)，其中sinφ＝ ，
则 ＜ωπ＋ ≤3π，解得 ＜ω≤ ，即ω∈( ， ]．故选C．
【知识总结】
1．三种三角函数的图象和性质
正弦函数y＝sinx
余弦函数y＝cosx
正切函数y＝tanx
图象
定义域
R
R
{x|x≠ ＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1] (有界性)
[－1,1] (有界性)
R
零点
{x|x＝kπ，k∈Z}
{x|x＝ ＋kπ，k∈Z}
专题09三角函数的图象与性质问题
【高考真题】
1．(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则()
A．f(x)在(－ ，－ )上单调递减B．f(x)在(－ ， )上单调递增
C．f(x)在(0， )上单调递减D．f(x)在( ， )上单调递增
1．答案C解析因为f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x．对于A选项，当－ ＜x＜－ 时，－π＜2x＜－ ，则
高考数学专题：三角函数的图象与性质
y t 2 3t 1 4
当t
3 2
时，ymax
1
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
11
［明考情—备考如何学］ 高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在 第 6～12 题或第 14、15 题位置上，命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性 质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三 角恒等变换交汇命题．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
18
2.(2019·湖南省五市十校联考)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象 如图所示，则 f(2 019)的值为___-_1____．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
19
B．在π4，51π2上单调递减
C．1π2，0是 g(x)图象的一个对称中心
D．直线 x＝－π6是 g(x)图象的一条对称轴
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
26
2. (2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)＝sinωx＋π6(ω>0)在区间－π4，23π上单调
(3)基本关系：
sin2x＋cos2x＝1，
tan
x＝csions
x x.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
13
［研考点考向·破重点难点］
考点1 三角函数的定义、诱导公式及基本关系
高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析
高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）若，求的值【答案】（1）ω=2，；（2）.【解析】（1）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线对称，结合可得φ 的值．（2）由条件求得再根据的范围求得的值，再根据，利用两角和的正弦公式计算求得结果．试题解析：（1）因为f(x)图像上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期，从而，又因f(x)的图象关于直线对称，所以，又因为得，所以.（2）由（1）得所以，又得所以，因此.【考点】三角函数的周期公式，诱导公式，三角函数的图像与性质，角的变换，两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系（平方关系）.2.不等式的解集为 .【答案】【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换.由得：，故不等式的解集为.【考点】三角函数的恒等变换，三角函数的性质.3.函数的一条对称轴方程是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】的对称轴方程为,即令，得.【考点】诱导公式、三角函数的图像与性质.4.已知函数，.（1）求的最小正周期；（2）求在闭区间上的最大值和最小值.【答案】(1);(2)最大值为，最小值为．【解析】解题思路：利用两角和与差的三角公式和二倍角公式及其变形化成的形式，再求周期与最值.规律总结：涉及三角函数的周期、最值、单调性、对称性等问题，往往先根据三角函数恒等变形化为的形式，再利用三角函数的图像与性质进行求解.注意点：求在给定区间上的最值问题，要注意结合正弦函数或余弦函数的图像求解．试题解析：(1)，故的最小正周期为π.(2)函数在闭区间上的最大值为，最小值为 .【考点】1.三角恒等变形；2.三角函数的图像与性质.5.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，又，又在区间上是增函数，所以有。
【考点】函数的单调性及三角函数值大小的比较。
方法10：五点法求三角函数解析式
方法10 五点法求三角函数解析式一、单选题1．函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（ ）A ．sin 6x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭B ．sin 3x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 6x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．sin 3x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而得到函数的解析式. 【解析】解：由图象可得1A =，再根据35134362T =-=，可得2T =， 所以22πωπ==， 再根据五点法作图可得1,6k k Z πϕπ⨯+=∈，求得6πϕ=-， 故函数的解析式为()sin 6f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 故选：C.2．若16x π=，256x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+()0ω>两个相邻的极值点，则ω=（ ） A ．3 B ．32C ．34D ．12【答案】B 【分析】 由16x π=，256x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+()0ω>两个相邻的极值点，可得52663πππ-=是函数()f x 周期的一半，从而可求出ω的值【解析】解：由题意得，52663πππ-=是函数()f x 周期的一半，则243ππω=，得32ω=． 故选：B3．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h ，低潮时水深为9 m ，高潮时水深为15 m ．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y （m ）关于时间t （h ）的函数图象可以近似地看成函数y ＝A sin(ωt ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的图象，其中0≤t ≤24，且t ＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（ ）A ．y ＝3sin6πt ＋12 B ．y ＝－3sin6πt ＋12 C ．y ＝3sin12πt ＋12 D ．y ＝3cos6πt ＋12 【答案】A 【分析】由两次高潮的时间间隔12h 知12T =，且212(0)T πωω==>得6π=ω，又由最高水深和最低水深得3A =，12k =，将3t = y ＝15代入解析式解出φ，进而求出该函数的解析式．【解析】由相邻两次高潮的时间间隔为12 h ，知T ＝12，且T ＝12＝2πω(ω＞0)，得ω＝6π，又由高潮时水深15 m 和低潮时水深9 m ，得A ＝3，k ＝12，由题意知当t ＝3时，y ＝15．故将t ＝3，y ＝15代入解析式y ＝3sin 6t πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋12中，得3sin 36πϕ⎛⎫⨯+⎪⎝⎭＋12＝15，得6π×3＋φ＝2π＋2kπ(k ∈Z )，解得φ＝2kπ(k ∈Z )．所以该函数的解析式可以是y ＝3sin 26t k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭＋12＝3sin 6πt ＋12．4．记函数()()sin f x x ωϕ=+(其中0>ω，2πϕ<)的图像为C ，已知C 的部分图像如图所示，为了得到函数()sin g x x ω=，只要把C 上所有的点（ ）A ．向右平行移动6π个单位长度 B ．向左平行移动6π个单位长度 C ．向右平行移动12π个单位长度 D ．向左平行移动12π个单位长度 【答案】A 【分析】根据图象可得周期，求出2ω=，根据图象上最低点求出3πϕ=，再根据平移变换可得结果.【解析】由图象可知周期74()123T πππ=-=，所以222T ππωπ===， 又图象上一个最低点为7(,1)12π-，所以7sin 2112πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭， 所以7322122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=+，k Z ∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭sin 26x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以为了得到函数()sin 2g x x =，只要把C 上所有的点向右平行移动6π个单位长度. 故选：A 【小结】根据图象求出ω和ϕ是解题关键.5．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）A ．32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．52,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再令()22k x k k Z πωϕππ≤+≤+∈，解不等式即可求解. 【解析】由图知：2A =，884Tππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以T π=， 又因为2T ππω==，所以2ω=，所以()2cos(2)f x x ϕ=+，由()228k k Z ϕππ⨯+=∈，可得()24k k Z ϕππ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以0k =，4πϕ=-， 所以()2cos 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令()2224k x k k Z ππππ≤-≤+∈，解得：()588k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数的单调递减区间为5,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：D 【小结】本题解题的关键是利用五点法作图的原理求出()f x 的解析式，再利用整体代入法求单调区间.6．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则（ ）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．12f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()f x 的图象的对称中心为,0()12k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭D ．不等式()1f x ≥的解集为,()3k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【分析】根据图象求出2,6πωϕ==可得()2sin(2)6f x x π=+，可知A 不正确；计算可知B 不正确；利用正弦函数的对称中心求出()f x 的对称中心可知C 不正确；解不等式()1f x ≥可知D 正确.【解析】由图可知54126T ππ=-，所以T π=，所以222T ππωπ===， 由262ππϕ⨯+=，得6π=ϕ，所以()2sin(2)6f x x π=+，故A 不正确；()2sin(2)12126f πππ=⨯+=B 不正确；由26x k ππ+=，k Z ∈，得212k x ππ=-，k Z ∈，所以()f x 的图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，故C 不正确；由不等式()1f x ≥得1sin(2)62x π+≥，得5222666k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈， 得3k x k πππ≤≤+，k Z ∈，所以不等式()1f x ≥的解集为,()3k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故 D 正确. 故选：D 【小结】根据图象求出函数()f x 的解析式是解题关键.7．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，则(9)f =（ ）A ．1-B ．1C ．D 【答案】D 【分析】先利用图象分析得到解析式，再计算(9)f 即可.【解析】由图象可知，2A =，1152233T =-=，24,2T T ππω===，53x =时，52,23x k k Z πωϕϕππ+=⨯+=+∈，解得62,x k k Z ππ=+∈，故()2sin 26f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故922sin 2sin 2sin 262)6(39f πππππ⎛⎫⎛⎫+=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 故选：D. 【小结】根据图象求函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>解析式：（1）利用最值确定A 值； （2）利用图象求周期T ，根据2Tπω=求ω； （3）利用特殊点整体代入法确定ϕ值.8．如图是函数()cos(2)f x A x =+ϕ(0,0)A ϕπ>≤≤图象的一部分，对不同的12,[,]x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x +=，则（ ）A ．() f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 B ．() f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 C ．() f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数D ．() f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数【答案】B 【分析】（1）根据题意可得2A =，且1222x x a b ++=，从而可得a b ϕ+=-，再由()12f x x +=解得6π=ϕ，即()2cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再利用余弦函数的性质即可求解. 【解析】解析：由函数()cos(2)f x A x =+ϕ()0,0A ϕπ>≤≤图象的一部分，可得2A =，函数的图象关于直线1222x x a b x ++==对称， ∴12a b x x +=+.由五点法作图可得22a πϕ+=-，22b πϕ+=，∴a b ϕ+=-.再根据()12()2cos(2)2cos()f x x f a b ϕϕϕ+=+=-+=-=cos ϕ=， ∴6π=ϕ，()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，2(0,)6x ππ+∈， 故()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数， 故选：B .9．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【分析】利用图象可得出()max A f x =，求出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，进而可得出函数()f x 的解析式.【解析】由图象可得()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为2236T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 22Tπω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+， 又2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22ππϕ-<<，5636πππϕ∴-<+<，32ππϕ∴+=，解得6π=ϕ， 因此，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：A. 【小结】根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.10．函数()()cos f x A x ωϕ=+(其中0A >，0>ω，2πϕ<)的图象如图所示.为了得到()cos g x A xω=-的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向左平移512π个单位长度 【答案】B 【分析】先根据图象求出,,A ωϕ的值即可得()f x 和()g x 的解析式，再利用函数图象的平移变换即可得正确选项. 【解析】 由图知：1A =，74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，()()cos 2f x x φ=+，当712x π=时，()()cos 2f x x φ=+有最小值，所以()72212k k Z πϕππ⨯+=+∈， 所以()26k k Z πϕπ=-+∈，又因为2πϕ<，所以0,6k πϕ==-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，所以只需要把()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移512π个单位长度得()()5cos 2cos 2cos 2126x x x g x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：B 【小结】本题的关键点是由函数的部分图象求出,,A ωϕ的值，进而求出()f x 和()g x 的解析式，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，由平移变换的规律求解，注意左右平移指一个x 变化多少，此点容易出错，属于中档题.11．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 【答案】A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【解析】由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A12．如图，已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象与坐标轴交于点1,,(,0)2-A B C ，直线BC 交()f x 的图象于另一点D ，O 是ABD △的重心.则ACD △的外接圆的半径为（ ）A ．2BCD ．8【答案】B 【分析】首先根据三角函数图象的对称性和重心的性质求得点A 的坐标，根据周期确定ω，再根据点C 的坐标确定ϕ，确定解析式后，确定点,B D 的坐标，结合正弦定理求ACD △外接圆的半径.【解析】根据三角函数的对称性可知点C 是BD 的中点，又O 是ABD ∆的重心，1,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴21OA OC ==， ∴点A 的坐标为()1,0，∴函数()f x 的最小正周期为3T 232=⨯=， ∴23πω=，∴()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 由题意得121sin sin 02323f ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又2πϕ<，∴3πϕ=，∴()2sin 33f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令0x =得()0sin3f π==， ∴点B的坐标为⎛ ⎝⎭，∴tan BCO ∠=3BCO π∠=，∴23ACD π∠=. 又点1,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭是BD 的中点， ∴点D的坐标为1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴AD ==设ACD ∆的外接圆的半径为R，则222sin sin 3AD R ACD π∠===∴R =. 故选：B. 【小结】已知图象求()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的步骤为： 1.一般根据函数的最大值和最小值求A ； 2.ω由周期确定，根据公式2T πω=，观察给定的图象，分析出确定的T 值；3.一般求ϕ，可以将图象中的一个点代入求解，或是根据“五点法”，利用图象的最高点或最低点，以及函数的零点，再由已知条件中ϕ的具体范围确定相应的ϕ值.13．函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到()5sin 6g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只将()f x 的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位 【答案】A【分析】根据三角函数的图像求出()sin(2)3f x x π=+，再利用三角函数的平移变换即可求解.【解析】由图像观察可知，741234T πππ=-=， 所以T π=，则2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，根据图像过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以732122ππϕ⨯+=， 则3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，函数()5sin(2)6g x x π=+， 因此把()sin(2)3f x x π=+图像向左平移4π个单位即得到()g x 的函数图像， 故选：A.14．已知函数()()cos f x A x ωϕ=+在[]0,π上的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是（ ）A ．()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()3)4f x x π=- D ．())4f x x π=-【答案】C 【分析】由函数的图像可求得,A T ，再利用周期公式可求出ω，然后对选项的解析式逐个验证即可【解析】解：由图像可得34884T A πππ==-=， 所以T π=，所以22πωπ==，所以A ，B 不符合题意，对于C ，()30)14f π=-=， 333)884f πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭对于D ，33)0884f πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，不符合题意， 故选：C15．已知()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断错误的是（ ）A ．要得到函数()f x 的图像，只需要现将y x =的图像保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，再向右平移6π个单位 B ．函数()f x 的图像关于直线23x π=对称 C ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为【答案】D 【分析】根据正弦型函数的性质可求得()f x 的解析式；根据三角函数平移变换原则可知A 正确；利用代入检验法可知,B C 正确；利用正弦型函数求值域的方法可确定D 错误. 【解析】()max f x =，0A >，A ∴=()f x 相邻两条对称轴之间距离为2π，()f x ∴最小正周期222T ππω==⨯，2ω∴=，0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()6k k Z πϕπ∴-+=∈，()6k k Z πϕπ∴=+∈，又2πϕ<，6πϕ∴=，()26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.对于A ，y x =横坐标变为原来一半得到2y x =；再向右平移6π个单位得到23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 23236x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，可知A 正确；对于B ，当23x π=时，4326362x ππππ+=+=，32x π=是sin y x =的对称轴，23x π∴=是()f x 的对称轴，B 正确； 对于C ，当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,626x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin y x =在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()f x ∴在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，C 正确；对于D ，当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()min 62f x π⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭，D 错误. 故选：D. 【小结】根据三角函数性质求解()sin y A ωx φ=+的方法：（1）max min 2y y A -=；（2）2Tπω=；（3）代入图象上的点，利用整体对应法，结合正弦函数图象构造方程求得ϕ.16．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象如图所示，若函数()()1h x f x =+的两个不同零点分别为1x ，2x ，则12x x -的最小值为（ ）A ．23πB ．2π C ．43π D ．π【答案】A 【分析】首先根据图象求得函数的解析式，再求函数的零点，比较相邻零点中12x x -的最小值. 【解析】由图象可知函数的最大值为2，所以2A =，24362T πππ=-=，所以221ππωω=⇒=，当6x π=时，2,6k k Z πϕπ+=∈， 2πϕ<，6πϕ∴=-()2cos 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，即()2cos 16h x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当()0h x =时，1cos 62x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 得22,63x k k Z πππ-=+∈或42,63x k k Z πππ-=+∈， 解得：52,6ππ=+∈x k k Z ，或32,2x k k Z ππ=+∈， 相邻的零点12,x x 中，12x x -的最小值是352263πππ-=. 故选：A 【小结】本题考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式，三角函数的零点，属于中档题型.求()sin y A x b ωϕ=++()0,0A ω>>的解析式的求法：在一个周期内，若最大值为M ，最小值为m ，则A b M A b m +=⎧⎨-+=⎩，ω由周期确定，由2T πω=求出，通过观察图象，分析确定T 的值，将图象的一个最高点或最低点，也可以利用零点，再由已知条件中ϕ的具体范围确定相应ϕ值.17．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．3x π=-是()f x 图像的一条对称轴B ．()f x 图像的对称中心为22,0,3k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ C ．()1f x ≥的解集为44,4,3k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的单调递减区间为282,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】C 【分析】结合五点作图法和函数图像可求得函数解析式，采用代入检验法可依次判断各个选项得到结果. 【解析】()10sin 2f ϕ==且2πϕ<，6πϕ∴=， 又882sin 233f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由五点作图法可得：83362πππω+=，解得：12ω=， ()12sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.对于A ，当3x π=-时，1026x π+=，,03π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，A 错误；对于B ，当223x k ππ=+时，1262x k πππ+=+，223x k ππ∴=+是()f x 的对称轴，B 错误； 对于C ，由()1f x ≥得：1in 2612s x π⎛⎫⎪⎭≥+⎝，15226266k x k πππππ∴+≤+≤+， 解得：4344k x k πππ≤+≤，C 正确； 对于D ，当282,233x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，13,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦， 当1k =时，135,2622x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，不是()f x 的单调递减区间，D 错误. 故选：C. 【小结】本题考查正弦型函数()sin y A ωx φ=+的性质的判断，解决此类问题常用的方法有：（1）代入检验法：将所给单调区间、对称轴或对称中心代入x ωϕ+，确定x ωϕ+的值或范围，根据x ωϕ+是否为正弦函数对应的单调区间、对称轴或对称中心来确定正误；（2）整体对应法：根据五点作图法基本原理，将x ωϕ+整体对应正弦函数的单调区间、对称轴或对称中心，从而求得()sin y A ωx φ=+的单调区间、对称轴或对称中心.18．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，记关于x 的方程()f x =()21t t -<<-在区间5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有解的和为θ，则tan θ=（ ）A ．BC ．D ．tan 2t【答案】B 【分析】由函数图象得函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据函数的性质得方程()()()2,1f x t t =∈--在区间5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有的解共有2个且这2个解的和等于7π7π2126⨯=，进而得答案. 【解析】解：由图可知，2A =，再把点(代入可得2sin ϕ=所以sin ϕ=π2ϕ<，所以π3ϕ=，由五点作图法原理可得πππ33ω⋅+=，所以2=ω， 故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当5π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2,2π33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 令π2π233x +=，得7π12x =，由图像可知方程()()()2,1f x t t =∈--在区间5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有的解共有2个，且这2个解的和等于7π7π2126⨯=，即7π6θ=，所以7πtan tan6θ==故选：B ． 【小结】本题考查利用三角函数图象求解析式，函数的对称性，考查运算能力，是中档题.19．设函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,2π上的图像大致如图，则()f x 的最小正周期为（ ）A ．5π6B ．6π5C ．5π4D ．3π2【答案】C 【分析】由图象观察可得最小正周期小于43ππ32T <<，排除A ，D ；再由5π132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得ω，即可得到结论.【解析】由图像可得()f x 的最小正周期T 满足：π,3π5π,232T T >⎧⎪⎨<-⎪⎩解得43ππ32T <<， 故排除A ，D ；又由5π5ππsin 132324f ω⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()5πππ2π3242k k ω+=+∈Z ，解得()86455k k ω=+∈Z . 因为π2πT <<，即2ππ2πω<<，所以12ω<<.所以当0k =时，85ω=， 所以2π5π845T ==. 故选：C.二、多选题20．如图是函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象，下列选项正确的是（ ）A ．()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()sin 43f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．06f π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．213f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】先由()0f =可求得3πϕ=-，再sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()233k k Z ππωππ--=+∈，解得()46k k Z ω=--∈，再利用23T ππω=>，可得03ω<<，所以2ω=，()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即可知A 正确，B 不正确，计算即可判断C 、D ，进而可得正确答案. 【解析】由图知()0sin 2f ϕ==-，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭， 因为sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()233k k Z ππωππ--=+∈，解得：()46k k Z ω=--∈，因为23T ππω=>，所以03ω<<， 所以1k =-时2ω=，可得()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选项A 正确，选项B 不正确，sin 2sin 00663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项C 正确；24sin sin 33332f ππππ⎛⎫⎛⎫-=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 不正确， 故选：AC 【小结】本题的关键点是求ω的值，先利用sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而且3π-是下降零点可得()233k k Z ππωππ--=+∈，解得()46k k Z ω=--∈，再结合图象可知23T ππω=>得03ω<<，求得2ω=，()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭问题即可迎刃而解，属于常考题型. 21．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，()0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最大值为2C ．14f π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数 【答案】ABC 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求ϕ，根据特殊点的坐标求出A ，可得函数的解析式()2sin(2)3f x x π=+.通过分析得到ABC 正确，()2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.【解析】根据函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，0)ϕπ<<的部分图象，得12721212πππω=-， 2ω∴=．再根据五点法作图可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=．根据函数的图象经过，可得sin sin3A A πϕ=2A =，()2sin(2)3f x x π∴=+．故,A ()f x 的最小正周期为π，所以A 正确；,B ()f x 的最大值为2，所以B 正确；,C 由题得()2sin()1423f πππ=+=，所以C 正确；,D ()2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.故选：ABC 【小结】求三角函数的解析式一般有三种：（1）待定系数法：一般先设出三角函数的解析式sin()yA wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.（2）图像变换法：一般利用函数图像变换的知识，一步一步地变换得到新的函数的解析式.（3）代入法：一般先在所求的函数的图像上任意取一点(,)P x y ，再求出点P 的对称点((,),(,))P f x y g x y ，再把点((,),(,))P f x y g x y 的坐标代入已知的函数的解析式化简即得所求函数的解析式.本题选择的是待定系数法.要根据已知灵活选择.22．若函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．6π=ϕ B ．函数()f x 的图像关于6x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点5,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D ．,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()f x 的值域为[]2,1- 【答案】ABD 【分析】根据三角函数的图像求出函数的解析式，再由三角函数的性质即可得出选项. 【解析】由图像可知2A =，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=， 因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ， 332sin 446f πππω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()352,463k k Z πππωπ∴+=+∈， ()82,3k k Z ω∴=+∈，周期234T ππω=>，803ω∴<<，即2ω=， ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，对于A ，6π=ϕ，正确； 对于B ，2sin 262f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，故图像关于6x π=对称，正确； 对于C ，532sin 262f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误； 对于D ，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()[]2,1f x ∈-，正确； 故选：ABD.23．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．最小正周期为2πB ．()f x 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 的图象可由π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向在平移π6个单位长度得到 【答案】BC 【分析】根据图象确定周期可判断A ，由周期求出ω，利用特殊值求出ϕ得出函数，根据正弦函数的单调性判断B ；根据正弦型函数的对称中心判断C ；由三角函数的图象平移可判断D. 【解析】由图象可知，2A =，ππ2π36T ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()f x 的最小正周期为π，故A错误；所以2π2Tω==，得()()2sin 2f x x ϕ=+.又因为当πππ36212x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==时，()2f x =，即ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭.又因为π2ϕ<，可得ππ62ϕ+=，解得π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.由()πππ2π22π232k x k k -+≤+≤+∈Z ， 可得()5ππππ1212k x k k -+≤≤+∈Z ，令0k =，可得()f x 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 正确； 又5π5ππ2sin 0633f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故C 正确； π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到πππ2sin 22sin 22cos2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 错误.故选：BC 【小结】根据三角函数图象求出函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的解析式，根据正弦型函数的图象与性质即可求出函数的单调区间，对称中心，周期，平移等问题，属于中档题.24．函数()()sin f x A x =+ωϕ，（,,A ωϕ是常数，0A >）的部分图象如图所示，则（ ）A ．()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()f x 的对称轴为,12x k k Z ππ=+∈D ．()f x 的递减区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】AB 【分析】由最低点确定A =由周期的四分之一71234πππ-=确定ω，把最低点7,12π⎛⎝代入解析式确定ϕ，再根据正弦函数的对称轴、递减区间求该函数的对称轴和递减区间即可. 【解析】解：显然A =T ，则74123T ππ=-，所以T π=，又2,2ππωω==；所以()()()sin 2f x A x x ωϕϕ=+=+过点7,12π⎛⎝，所以7212πϕ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，()23k k Z πϕπ=+∈，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据sin cos 2x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2cos 223236f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故AB 正确；正弦函数的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈，令()()2,32212k x k k Z x k Z πππππ+=+∈=+∈，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴为()212k x k Z ππ=+∈，故C 错误； 正弦函数的递减区间为()2,222k k k π3π⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，令()37222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ+≤+≤++<<+∈，()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故D 错误. 故选：AB 【小结】已知三角函数的图像确定解析式，一般根据最高点或最低点确定振幅A ，根据周期确定角速度ω，根据函数图像经过的点确定初相ϕ，再根据正弦函数的性质用换元法确定待求函数的性质即可.25．函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（ ）A．1cos223xππ⎛⎫+⎪⎝⎭B．1cos226xππ⎛⎫+⎪⎝⎭C．1sin223xππ⎛⎫-+⎪⎝⎭D．1sin223xππ⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】BD 【分析】根据最小值求得A，根据周期求得ω，根据点111,122⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，由此求得()f x的解析式，结合诱导公式确定正确选项.【解析】由图象可得12A=，3111341264T=-=，解得1T=，所以2ωπ=，所以1()cos(2)2f x xπϕ=+，又()f x的图象过点111,122⎛⎫⎪⎝⎭，则()112212k k Zπϕπ⨯+=∈，解得()1126k k Zπϕπ=-∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，即11()cos2sin226226 f x x xπππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1sin223xππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭1sin223xππ⎛--=⎫⎪⎝⎭.故选BD【小结】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查诱导公式，属于中档题.三、填空题26．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式()f x =______.【答案】π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由五点法求得周期，由振幅可求A ，再由最低点可求得φ． 【解析】由振幅得：A =由图象可得：75488T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， ∴2Tπω==2，∴y （2x +φ），当78x π=时，y ＝， ∴73282πϕπ⨯+=，π4ϕ∴=-∴解析式为：π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小结】本题关键点是利用五点法确定周期与φ.27．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =______.【答案】sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭【分析】由图可得A ，利用周期求出ω，又函数过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，解得3πϕ=，进而得出函数的解析式．【解析】由图可得：1A =，37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得,2T πω==，()()sin 2f x x ϕ=+ 又函数过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，则732122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为：sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭四、解答题28．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）写出函数()f x 的最小正周期T 及ω、ϕ的值；（2）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间. 【答案】（1）T π=，2ω=，3πϕ=；（2）,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π=+，再利用正弦函数的性质，求出函数在区间上的单调性．【解析】解：（1）根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象，可得32134123πππω=-，解得2ω=，∴最小正周期22T ππ==．所以()sin(2)f x x ϕ=+因为函数过13,112π⎛⎫⎪⎝⎭，所以13sin 2112πϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，所以()13262k k Z ππϕπ+=+∈，解得()523k k Z πϕπ=-+∈ 因为2πϕ<，所以3πϕ=．所以()sin(2)3f x x π=+（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π=+，在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，所以2[36x ππ+∈-，5]6π，令2632x πππ-≤+≤，解得412x ππ-≤≤ 即函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,412ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【小结】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.29．已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像与直线2y =两相邻交点之间的距离为π，且图像关于12x π=对称.（1）求()y f x =的解析式；（2）令函数g()()1x f x =+，且g()y x =在[0,]a 上恰有10个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）1965,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）根据题意可得周期T π=，可得2ω=，根据对称轴可得3πϕ=，则可得()y f x =的解析式；（2）依题意由52252636a ππππππ⨯-≤+<⨯++解得结果即可得解.【解析】（1）由已知可得T π=，2ππω=，∴2ω=，又()f x 的图象关于12x x π=对称，所以2122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈∵22ππϕ-<<，∴3πϕ=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）令()0g x =，得1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 要使()y g x =在[0,]a 上恰有10个零点，只需52252636a ππππππ⨯-≤+<⨯++，解得1965412a ππ≤<. 所以a 的取值范围是1965,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【小结】利用周期求出ω，利用对称轴求出ϕ是解题关键.30．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式（2）设()()216g x f x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭若关于x 的不等式2()(32)()230g x m g x m -+--≤恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）()2cos(2)3f x x π=+；（2）[11]2-，. 【分析】（1）由图求出A 、T 、ω和ϕ的值，即可写出()f x 的解析式；（2）由（1）可得()g x 的解析式，设()t g x =，问题等价于()0h t 在[3-，5]上恒成立，列出不等式组求出m 的取值范围． 【解析】解：（1）由图可知2A =，35346124T πππ=-=， 解得T π=，所以22Tπω==，所以()2cos(2)f x x ϕ=+； 因为()f x 的图象过点5(6π，2)，所以52cos(2)26πϕ⨯+=，解得523k πϕπ=-，k Z ∈；因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()2cos(2)3f x x π=+；（2）由（1）可得()2cos(2)3cos(2)136g x x x ππ=++-+2cos(2))133x x ππ=++++4sin(2)136x ππ=+++ 4cos21x =+；设()t g x =，因为1cos21x -，所以3()5g x -；又因为不等式2()(32)()230g x m g x m -+--恒成立，即2()(32)230h t t m t m =-+--在[3-，5]上恒成立，则(3)0(5)0h h -⎧⎨⎩，即93(32)230255(32)230m m m m ++--⎧⎨-+--⎩，解得112m -， 所以m 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【小结】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 31．函数[)()()sin()0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）若[]0,x π∈且()f x ≥x 的取值范围.【答案】（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}0,6ππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由图可得：A =，724123T πππω=-=可求ω的值，再令2(21)3k πϕπ⨯+=+()k Z ∈结合[)0,2ϕπ∈可求ϕ的值，进而可求()f x 的解析式；（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以结合正弦函数的图象和[]0,x π∈即可求解. 【解析】（1）由题意知：A =，741234T πππ=-=， 所以2T ππω==即=2ω，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，02ϕπ≤<，所以=3πϕ，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 所以()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 令0k =可得22333x πππ≤+≤，解得06x π≤≤，令1k =可得2222333x πππππ+≤+≤+，解得：76x ππ≤≤， 因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或x π=，即{}0,6x ππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦【小结】利用五点法求函数解析式，关键是3x π=是下降零点，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，结合[)0,2ϕπ∈即可求ϕ232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭可得 ()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈对k 取值，再与[]0,x π∈求交集即可. 32．某同学用“五点法”画函数()()sin (00)2f x A x k A πωφωφ=++>><，，在一个周期内的图象，列表并填入数据得到下表：（1）求函数()f x 的解析式；（2）三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()2f B =，4b =，22cos cos 622C Aa c +=，求三角形ABC 的面积.【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2） 【分析】（1）由三角函数的图象与性质逐步计算出A 、k 、ω、φ，即可得解；（2）先计算出3B π=，利用降幂公式结合余弦定理可转化条件得12a b c ++=，再由余弦定理可得16ac =，结合三角形面积公式即可得解. 【解析】（1）由题意可得31A k A k +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A k =⎧⎨=⎩，函数()f x 的最小正周期T 满足22362T πππ=-=，所以22T πω==，又2sin 1363f ππφ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 13πφ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以2,32k k Z ππφπ+=+∈，即2,6k k Z πφπ=+∈，由2πφ<可得6πφ=，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （2）由题意，()2sin 2126f B B π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以1sin 262B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由()0,B π∈可得132,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5266B ππ+=，即3B π=， 又221cos 1cos coscos 62222C A C A a c a c +++=⋅+⋅=， 所以cos cos 12a c a C c A +++=，即2222221222a b c b c a a c a c ab bc+-+-++⋅+⋅=，化简得12a b c ++=， 又4b =，所以8a c +=，由余弦定理得()22222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-，即22483ac =-，所以16ac =，所以11sin 16222ABC S ac B ==⨯⨯=△ 【小结】解决本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质及三角恒等变换、余弦定理的应用，细心运算即可得解. 33．已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x B A ωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示：（1）求()f x 的解析式及对称中心坐标； （2）将()f x 的图象向右平移3π个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()y g x =在7π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调区间. 【答案】（1）()2sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；对称中心的坐标为(),126k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭--ππZ ；（2）单调增区间为50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间57,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得,A B 的值，根据周期求得ω的值，根据图象上()112f π=求得ϕ的值，由此求得()f x 的解析式，进而求得()f x 的对称中心；（2）求得图象变换之后的解析式()2sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再整体替换求出()g x 的单调区间. 【解析】（1）由图象可知：13A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，可得：2A =，1B =-.又由于7212122T πππ=-=，。
考点07 三角函数的图像与性质(核心考点讲与练)-2023年(新高考专用)(解析版)
考点07 三角函数的图像与性质（核心考点讲与练）一、同角三角函数基本关系式与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__αsin__αcos__αcos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α －tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限二、 三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数偶函数奇函数递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无对称中心 (k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无三、 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径4．三角函数应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋k中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.1.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解.(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.2.确定y＝A sin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π. 3．识别函数图象的方法技巧函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象.4.(1)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值.三角函数图象性质1.（多选题）（2021湖北省新高考高三下2月质检）已知函数()cos sin f x x x =-在[]0,a 上是减函数，则下列表述正确的是（ ）A.()2min f x =﹣B.()f x 的单调递减区间为32,2()44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，C.a 的最大值是34π， D.()f x 的最小正周期为2π 【答案】BCD【分析】由于函数()cos sin 2os 4)(f x x x x π=-=+在[]0,a 上是减函数，从而可得4a ππ+≤，进而可求出a 取值范围，函数的周期和最值，从而可判断ACD ，再利用余弦函数的性质求出单调区间，可判断B【详解】解：∵函数()cos sin 2os 4)(f x x x x π=-=+在[]0,a 上是减函数，,444[]x a πππ+∈+， ∴4a ππ+≤，∴304a π<≤， 故()f x 的最小值为2-，a 的最大值是34π，()f x 的最小正周期为2π，故A 错，C 、D 正确； 在32,2()44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，[]2,2()4x x k k k Z ππππ++∈+∈，函数()f x 单调递减，所以B 正确故选：BCD.2. 已知函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A. 导函数为()π3cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭' B. 函数()f x 的图象关于直线π2x =对称 C. 函数()f x 在区间π5π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 D. 函数()f x 的图象可由函数3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到 【答案】C【分析】利用复合函数的求导法则判定选项A 错误，利用π()2f 不是函数的最值判定选项B 错误，利用π5π1212x -<<得到πππ2232x -<-<，进而判定选项C 正确，利用图象平移判定选项D 错误. 【详解】对于A ：因为π()3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以()ππ3cos 226cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪' ⎪⎝⎭⎝⎭，即选项A 错误；对于B ：因为πππ2π3sin 23sin 32233f ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 的图象不关于直线π2x =对称， 即选项B 错误；对于C ：当π5π1212x -<<时，πππ2232x -<-<， 故()f x 在π5π(,)1212-上是增函数，即选项C 正确；对于D ：因为ππ()3sin 23sin[2()]36f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的图象可由3sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到， 即选项D 错误. 故选：C .根据三角函数图象求解析式1.（2022年安徽省亳州市第一中学高三上学期9月检测）已知函数()()sin 0,010,2f x K x K πωϕωϕ⎛⎫=+><<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，点370,,,1224A B π⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则将函数()f x 图象向左平移12π个单位长度，然后横坐标变为原来的2倍､纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式是（ ）A.5sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.5sin 812y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.2sin 83y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C【分析】首先根据三角函数的图象求得各个参数，由振幅求得1K =，由定点坐标代入函数解析式求得43ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再通过平移伸缩变化，即可得解. 【详解】因为函数()f x 的部分图象经过点3A ⎛ ⎝⎭，7,124K π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()()130sin 077sin 1,2424010,,2K f f ωϕππωϕωπϕ=⎧⎪⎪=⨯+=⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫=⨯+=-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪<<⎪⎪<⎪⎩解得43ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 将函数()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，然后横坐标变为原来的2倍､纵坐标不变， 得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象. 故选：C.2 （2020广东省潮州市高三第二次模拟）函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A. ,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈B. ,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C. ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D. ,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈ 【答案】C【分析】利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，然后根据正弦函数的单调性列不等式求解即可.【详解】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象， 可得：332113441264T ππππω=⋅=-=， 解得：2ω=，由于点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<， 可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ．三角函数图象判断1.（2020江西省靖安中学高三上学期第二次月考）已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为（ ）A. B. C. D.【答案】A【分析】由奇偶性可排除BD ，再取特殊值4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭可判断AC ，从而得解 【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数， 故BD 错误；当0x >时，令()2cos 0f x x x ==，易得cos 0x =， 解得()2x k k Z ππ=+∈，故易知()f x 的图象在y 轴右侧的第一个交点为,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又22cos 04444f ππππ⎛⎫=⨯⨯=>⎪⎝⎭，故C 错误，A 正确； 故选：A2. . （2022广东省深圳市普通中学高三上学期质量评估）函数()4cos x xxf x e e-=+在[],ππ-上的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A【分析】由奇偶性可排除BC ，由x →+∞时，()0f x →可排除D ，由此得到结果.【详解】()()()()4cos 4cos x xx x x xf x f x e ee e------===++，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，可排除BC ； 当x →+∞时，()0f x →，可排除D ，知A 正确. 故选：A.三角函数图象变换1.（2021浙江省金华十校高三模拟）已知奇函数()y g x =的图象由函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移(0)m m >个单位后得到，则m 可以是（ ）A.12π- B.1π- C.12π+ D.1π+ 【答案】A【分析】逐项验证()g x 是否等于()g x --可得答案. 【详解】当12m π-=时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移12π-个单位后得到()()g()sin 21sin 2sin 212x x x x g x ππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎛⎫=+++=-=-- ⎝⎦⎪⎭，故A 正确；当1m π=-时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移1π-个单位后得到()()()()sin 21sin 121g x x x g x π⎡⎤-=++-≠⎦-=-⎣，故B 错误；当12m π+=时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移12π+个单位后得到()()()122()sin 21sin 2sin 22g x x x x g x ππ⎡⎤⎛⎫=+++=-+≠-- ⎪⎝⎭+=+⎢⎥⎣⎦，故C 错误；当1m π=+时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移1π+个单位后得到()()()()sin 21sin 123g x x x g x π⎡⎤+=+++≠⎦-=-⎣，故D 错误；故选：A.2. （2020安徽省合肥市高三第三次教学质量检测）为了得到函数sin y x =的图像，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移6π个单位 B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6π个单位 C. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移6π个单位D. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位【答案】A【分析】由条件利用()sin y A x ωϕ=+ 的图像变换规律，得到结论． 【详解】把函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上所有点向右平移6π个单位得到函数sin y x =．故选A1. （2021年全国高考乙卷）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ） A. 3π2 B. 3π和2C. 6π2D. 6π和2【答案】C【分析】利用辅助角公式化简()f x，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，()sin cos3s3323234x x x xf xxπ=+=+⎛+⎫⎪⎝⎭，所以()f x的最小正周期为2613T.故选：C．2. （2021年全国高考乙卷）把函数()y f x=图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin4y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，则()f x=（）A.7sin212xπ⎛⎫-⎪⎝⎭B. sin212xπ⎛⎫+⎪⎝⎭C.7sin212xπ⎛⎫-⎪⎝⎭D. sin212xπ⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】B【分析】解法一：从函数()y f x=的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f xπ⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin34f x xππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x=的解析表达式；解法二：从函数sin4y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x=的解析表达式.【详解】解法一：函数()y f x=图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x=的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f xπ⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin4y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，所以2sin34f x xππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭,则,234212t tx xπππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭逆向变换， 第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B.3. （2021年全国新高考Ⅰ卷）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ） A. 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈， 取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件； 取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件. 故选：A.4. （2021年全国高考甲卷）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．【答案】2【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7(),()43f f π4π-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得. 【详解】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=； 由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭； 所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <； 因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2. 故答案为：2.一、单选题1．（2022·福建·模拟预测）已知α为锐角，且sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（ ）A 3B ．23C 6D 63【答案】B【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值【详解】因为sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1331sin cos 22αααα=-，所以)()31cos 31sin αα=，所以3tan 2331α==-故选：B2．（2022·辽宁锦州·一模）若()sin π1cos 3αα-=，则sin 2cos2αα+的值为（ ）A ．15B ．75C ．120D ．3120【答案】B【分析】先利用诱导公式得到tan α，再将弦化切，代入求解. 【详解】()sin πsin 1tan cos cos 3ααααα-===，从而2222222sin cos cos sin sin 2cos 22sin cos cos sin cos sin αααααααααααα+-+=+-=+222112tan 1tan 73911tan 519ααα+-+-===++ 故选：B3．（2022·江西九江·二模）已知函数()y f x =的部分图像如图所示，则()y f x =的解析式可能是（ ）A ．()sin e e x xxf x -=+B ．()sin e e x xxf x -=-C ．()cos e e x xxf x -=-D ．()cos e e x xxf x -=-【答案】D【分析】根据函数的定义域、奇偶性与函数值的正负即可得到结果 【详解】函数()f x 在0x =处无定义，排除选项A函数()f x 的图像关于原点对称，故()f x 为奇函数，排除选项B 当01x <<时，cos 0x >，e e x x ->，故cos 0e ex xx->-，排除选项C 故选：D.4．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）已知函数 ()()4cos 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ 的最小正周期为π，将其图象沿 x 轴向右平移 ()0m m >个单位， 所得函数为奇函数， 则实数m 的最小值为（ ） A ．12πB ．6πC ．512π D ．4π 【答案】C【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式，结合余弦型函数图象的变换性质进行求解即可. 【详解】因为该函数的最小正周期为π，0>ω， 所以22ππωω=⇒=，即()4cos(2)3f x x π=+，将该函数图象沿x 轴向右平移 ()0m m >个单位得到函数的解析式为()()4cos(22)3g x f x m x m π=-=-+，因为函数()g x 为奇函数，所以有12()()32212m k k Z m k k Z πππππ-+=+∈⇒=--∈， 因为0m >，所以当1k =-时，实数m 有最小值512π， 故选：C5．（2022·浙江·模拟预测）已知E ，F 分别是矩形ABCD 边AD ，BC 的中点，沿EF 将矩形ABCD 翻折成大小为α的二面角．在动点P 从点E 沿线段EF 运动到点F 的过程中，记二面角B AP C --的大小为θ，则（ ） A ．当90α<︒时，sin θ先增大后减小 B ．当90α<︒时，sin θ先减小后增大 C ．当90α>时，sin θ先增大后减小 D ．当90α>时，sin θ先减小后增大 【答案】C【分析】根据二面角的定义通过作辅助线, 找到二面角的平面角，在Rt △1C HC 中表示出tan θ的值，利用tan θ的值的变化来判断sin θ的变化即可.【详解】当90α<︒时，由已知条件得EF ⊥平面FBC ,过点C 作1CC FB ⊥,垂足为1C ，过点1C 作1C H AP ⊥，垂足为H ， ∵ 1CC ⊂平面FBC ，∴1EF CC ⊥, ∴1CC ⊥平面ABFE ,又∵AP ⊂平面ABFE ，∴1CC AP ⊥, ∴AP ⊥平面1CC H , ∴AP CH ⊥, 则1C HC ∠为二面角B AP C --的平面角， 在Rt △1C HC 中，11tan CC C Hθ=, 动点P 从点E 沿线段EF 运动到点F 的过程中,1C H 不断减小，则tan θ不断增大，即sin θ不断增大，则A 、B 错误；当90α>时，由已知条件得EF ⊥平面FBC ,过点C 作1CC BF ⊥,垂足1C 在BF 的延长线上，过点1C 作CH AP ⊥,垂足在AP 延长线上， ∵ 1CC ⊂平面FBC ，∴1EF CC ⊥, ∴1CC ⊥平面ABFE ,又∵AP ⊂平面ABFE ，∴1CC AP ⊥, ∴AP ⊥平面1CC H , ∴AP CH ⊥, 则1C HC ∠为二面角B AP C --的平面角的补角β，即πθβ=-，在Rt △1C HC 中，11tan CC C Hβ=, 如下图所示，动点P 从点E 沿线段EF 运动到点F 的过程中,1C H 先变小后增大，则tan β先变大后变小，sin β先变大后变小，()sin sin πsin θββ=-=，则sin θ也是先变大，后变小, 则C 正确，D 错误； 故选：C .6．（2022·四川达州·二模（理））设()3sin 2cos 22cos 4x x f x x+=，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 值域为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．()f x 在0,16π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．()4f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由题可得2cos 4sin 43y x x -=，()()22213y +-≥，可判断A ，利用三角函数的性质可判断B ，利用导函数可判断C ，由题可得sin 4342cos 4x f x x π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可判断D.【详解】∵()3sin 2cos 2sin 432cos 42cos 4x x x f x xx++==，由sin 432cos 4x y x+=，可得2cos 4sin 43y x x -=，3，即y ≤y ≥∴函数的值域为(),∞∞-⋃+，故A 错误； ∵()sin 4313tan 42cos 422cos 4x f x x x x+==+，当0,,40,164x x ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，1tan 42y x =单调递增，2cos 4y x =单调递减，32cos 4y x =单调递增，故()f x 在0,16π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；∵,0,4,082x x ππ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin 432cos 4x f x x+=，令sin 3,,02cos 2t y t t π+⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则()2222cos 2sin sin 313sin 4cos 2cos t t t ty t t+++'==， 由0y '=，可得1sin 3t =-，,02t π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，根据正弦函数在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，可知在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的实数001,0,sin 23t t π⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭，当0,2t t π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0y '<，sin 32cos t y t +=单调递减，当()0,0t t ∈时，0y '>，sin 32cos t y t +=单调递增，所以()f x 在,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有增有减，故C 错误；由()sin 432cos 4x f x x+=，可得()()()sin 43sin 43sin 4342cos 42cos 42cos 4x x x f x f x x x x πππ++-+-⎛⎫+===≠ ⎪+-⎝⎭，故D 错误.故选：B.7．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （ ） A ．x y e = B ．tan y x = C ．sin y x = D ．y x x =【答案】D【分析】A.利用指数函数的性质判断；B.利用正切函数的性质判断；C.利用正弦函数的性质判断；D.利用函数的图象判断.【详解】A. ()()()(),,x xf x e f x e f x f x -=-=-≠-，不是奇函数，故错误；B. tan y x =在,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上递增，但在定义域|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭上不单调，故错误；C. sin y x =在2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上递增，但在定义域R 上不单调，故错误；D. 2,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，其图象如图所示：由图象知：定义域上既是奇函数又是增函数，故正确， 故选：D8．（2022·山西长治·模拟预测（理））若函数()f x 满足(2)()f x f x +=，则()f x 可以是（ ） A ．2()(1)f x x =- B ．()|2|f x x =-C ．()sin 2f x x π⎫⎛=⎪⎝⎭D ．()tan 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据周期函数的定义，结合特例法进行判断求解即可. 【详解】因为(2)()f x f x +=， 所以函数的周期为2. A ：因为(1)0,(3)4f f ==，所以(1)(3)f f ≠，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意； B ：因为(2)0,(4)2f f ==，所以(2)(4)f f ≠，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意；C ：该函数的最小正周期为：242ππ=，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意；D ：该函数的最小正周期为：22ππ=，因此本选项符合题意， 故选：D9．（2022·天津·一模）已知函数()2sin y x ωϕ=+（0>ω，0πϕ<<）的部分图象如图所示，则（ ）A ．2ω=，5π6ϕ= B ．12ω=，5π6ϕ=C ．2ω=，6π=ϕ D ．12ω=，6π=ϕ 【答案】A【分析】根据图象与y 轴的交点纵坐标与振幅的关系，结合所处的区间的单调性，以及后续的单调递增区间上的零点，列出方程组求解即得.【详解】由函数图象与y 轴的交点纵坐标为1，等于振幅2的一半，且此交点处于函数的单调减区间上，同时在同一周期内的后续单调区间上的零点的横坐标为7π12,并结合0>ω，0πϕ<<， 可知()2sin 01π3π0227π212ωϕωϕωϕπ⎧⎪⨯+=⎪⎪<⨯+<⎨⎪⎪⨯+=⎪⎩，解得2ω=，5π6ϕ=,故选：A10．（2022·新疆·模拟预测（理））我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()211f x x =- C ．()11tan2f x xπ=-D ．()11f x x =- 【答案】D【分析】由定义域判断A ；利用特殊函数值：(0)f 、2()3f 的符号判断B 、C ；利用奇偶性定义及区间单调性判断D.【详解】A ：函数的定义域为{|1}x x ≠，不符合；B ：由1(0)101f ==--，不符合； C ：由2()0313f =<-，不符合； D ：11()()|||1||||1|f x f x x x -===---且定义域为{|1}x x ≠±，()f x 为偶函数， 在(0,1)上1()1f x x=-单调递增，(1,)+∞上1()1f x x =-单调递减，结合偶函数的对称性知：(1,0)-上递减，(,1)-∞-上递增，符合. 故选：D11．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））己知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间52,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足571212ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f .有下列结论：①02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π；②若4()3π⎛⎫-=⎪⎝⎭f x f x ，则函数()f x 的最小正周期为3π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有5个不相等的实数根； ④若函数()f x 在区间13,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为12,35⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中正确的结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】对于①：利用对称性直接求得； 对于②：直接求出函数的最小正周期，即可判断；对于③：先判断出周期234232T πππ⎛⎫= ⎪⎝≥-⎭，直接解出()1f x =在区间[0,2)π上最多有3个不相等的实数根，即可判断.对于④：由题意分析1352622T T ππ<-≤,建立关于ω的不等式组，求出ω的取值范围. 【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+满足571212ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f .对于①：因为57121222πππ+=,所以02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π.故①正确；对于②：由于4()3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭f x f x ,所以函数()f x 的一条对称轴方程为42323x ππ==.又,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭为一个对称中心，由正弦图像和性质可知，所以函数的最小正周期为224323T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故②错误； 对于③：函数()()sin f x x ωϕ=+在区间52,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且满足571212ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，可得：02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，所以周期234232T πππ⎛⎫=⎪⎝≥-⎭.周期越大，()1f x =的根的个数越少. 当23T π=时,()cos3f x x =,所以()1f x =在区间[0,2)π上有3个不相等的实数根：0x =，23x π=或43x π=.故③错误.对于④：函数()f x 在区间13,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点,所以1352622T T ππ<-≤, 所以213522622ππππωω⋅<-≤⋅，解得：1235ω<≤.且满足234232T πππ⎛⎫= ⎪⎝≥-⎭，即2224323ππππω⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭,即3ω≤，故12,35ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故④正确.故选：B12．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））将函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的所有点向左平移56π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ） A ．2()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 在(0,)3π上的最小值为1-D ．直线4x π=平是()g x 的一条对称轴【答案】D【分析】根据三角函数的图象变换，可判定A 错误；利用函数的图象与性质，可判定B ，C 错误；根据14g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可判定D 正确.【详解】由题意，函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的所有点向左平移56π个单位长度，可得53()cos 2cos 2sin 2662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误； 令222()22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以B ，C 错误；因为14g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故直线4x π=为()g x 的一条对称轴，故D 正确.故选:D.13．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心O 到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若0P 是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设从点0P 运动到点P 时所经过的时间为t （单位：分钟），且此时点P 距离地面的高度为h （单位：米），则h 是关于t 的函数.当t R ∈时关于()h t 的图象，下列说法正确的是（ ）A ．对称中心为515,0,2k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭B ．对称中心为515,82,2k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭C ．对称轴为155,t k k Z =+∈D ．对称轴为515,2t k k Z =+∈【答案】B【分析】先由题意得到06xoP π∠=，进而得到min t 后，以ox 为始边，oP 为终边的角156t ππ-，从而得到点P 的纵坐标为80sin 156t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即P 距地面的高度函数求解.【详解】解：由题意得06xoP π∠=，而6π-是以ox 为始边， 0oP 为终边的角， 由OP 在min t 内转过的角为23015t t ππ=， 可知以ox 为始边，oP 为终边的角为156t ππ-，则点P 的纵坐标为80sin 156t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以P 距地面的高度为80sin 82156h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令,156t k k Z πππ-=∈，得515,2t k k Z =+∈， 所以对称中心为515,82,2k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令,1562t k k Z ππππ-=+∈，得1015,t k k Z =+∈，所以对称轴为1015,t k k Z =+∈， 故选：B14．（2022·河南·模拟预测（理））密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为12－50，则该扇形的面积为（ ） A ．10π3B ．2πC ．5π3D ．5π6【答案】A【分析】根据题意中给的定义可知该扇形的圆心角为75︒，结合扇形的面积公式计算即可. 【详解】依题意，该扇形的圆心角为1250360756000⨯︒=︒．又5π7512︒=，故所求扇形的面积为 22115π10π422123S r α==⨯⨯=．故选：A. 二、多选题15．（2022·河北·模拟预测）已知角α的终边经过点()8,3cos P α．则（ ） A ．1sin 3α=B ．7cos 29α= C ．2tan 4α=±D ．22cos 3α=【答案】ABD【分析】根据同终边角的正弦和余弦可知223cos 8sin ,cos 649cos 649cos ααααα==++，然后解出方程并判断sin 0,cos 0αα>>，逐项代入即可.【详解】解：由题意得： 如图所示：()22283cos 649cos OP αα=+=+22sin 649cos 649cos PQ OQ OP OP αααα∴==++ 2sin 649cos 3cos αα∴+=，即()222sin 649cos 9cos ααα+= ()222sin 649(1sin )91sin ααα⎡⎤∴+-=-⎣⎦，即429sin 82sin 90αα-+= 解得：2sin 9α=（舍去）或21sin 9α=cos 0α>sin 0α∴>1sin 3α=，故A 正确； 22cos α∴D 正确；222217cos2cos sin39ααα⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭⎝⎭，故B正确；1sintancosααα==C错误；故选：ABD16．（2022·重庆八中模拟预测）下列函数的图像中，与曲线sin23y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭有完全相同的对称中心的是()A．sin26y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭B．cos26y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭C．cos23y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭D．tan6y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】BD【分析】根据正弦、余弦、正切函数的图像，求出各个函数的对称中心，比较即可得出答案．【详解】设k∈Z，对于sin23y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由2362kx k xππππ-=⇒=+；对于A：由26122kx k xππππ+=⇒=-+；对于B：由26262kx k xπππππ+=+⇒=+；对于C：由5232122kx k xπππππ-=+⇒=+；对于D：由6262k kx xππππ-=⇒=+；则B和D的函数与题设函数有完全相同的对称中心．故选：BD．17．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知0e sin e siny xx y x yπ<<<，＝，则（）A．sin sinx y<B．cos cosx y>-C．sin cosx y>D．cos sinx y>【答案】ABC【分析】将e sin e siny xx y＝变为e sine sinyxyx=结合指数函数的性质，判断A;构造函数e(),(0,)sinxf x xxπ=∈，求导，利用其单调性结合图象判断x,y的范围，利用余弦函数单调性，判断B;利用正弦函数的单调性判断C，结合余弦函数的单调性，判断D.【详解】由题意，0e sin e siny xx y x yπ<<<，＝，得0y x->，e sin e sin y x y x=，e 1y x->，∴sin 1sin y x >，∴sin sin y x >，A 对； e e sin sin y x y x =，令e (),(0,)sin xf x x xπ=∈，即有()()f x f y =， 令2e (sin cos )()0,sin 4x x x f x x x π=='-=， ()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 因为()()f x f y = ，∴04x y ππ<<<<，作出函数e (),(0,)sin xf x x xπ=∈以及sin ,[0,]y x x π=∈ 大致图象如图：则30sin sin 4y y x ππ<-<>，，∴sin()sin y x π->，结合图象则y x π->， ∴cos()cos y x π-<，∴cos cos x y >-，B 对； 结合以上分析以及图象可得2x y π+>，∴2x y π>-，且,4224y y πππππ<<-<-<，∴sin sin cos 2x y y π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，C 对；由C 的分析可知，224y x πππ-<-<<，在区间[,]24ππ-上，函数cos y x = 不是单调函数，即cos()cos 2y x π-<不成立，即sin cos y x <不成立，故D 错误； 故选：ABC ．【点睛】本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答. 18．（2022·湖北·一模）已知函数()sincos 22x xf x ( )A ．()f x 的图象关于2x π=对称B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 的最小值为1 D ．()f x 的最大值为342【答案】ACD【分析】A ：验证()f x π-与()f x 是否相等即可；B ：验证()f x π+与()f x 相等，从而可知π为f (x )的一个周期，再验证f (x )在(0，π)的单调性即可判断π为最小正周期；C 、D ：由B 选项即求f (x )最大值和最小值.【详解】()()f x f x π-==，故选项A 正确；∵()()f x f x π+， 故π为()f x 的一个周期. 当(0,)x π∈时，()f x =此时3322cossin()cos sin 22x x x x f x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎥==- ⎪⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，令()0f x '=，得cossin 22x x=，故,242x x ππ==.∵当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 的最小正周期为π，选项B 错误；由上可知()f x 在[0,]x π∈上的最小值为()(0)1f f π==，最大值为3422f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()f x 的周期性可知，选项CD 均正确. 故选：ACD. 三、解答题19．（2022·浙江宁波·二模）已知()πsin2cos 26f x x x ⎛=++⎫ ⎪⎝⎭()R x ∈.(1)求函数()y f x =的最小正周期及单调递增区间； (2)求函数()π4y f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭在π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的取值范围.【答案】(1)最小正周期π，单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)12⎡-⎢⎣⎦【分析】（1）将()πsin2cos 26f x x x ⎛=++⎫ ⎪⎝⎭化为只含一个三角函数形式，根据正弦函数的性质即可求得答案；（2）将()π4y f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭展开化简为12πsin 423y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出2π43x +的范围，即可求得答案.(1)()π1sin 2cos 2sin 22sin 262f x x x x x x ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭1sin 222πsin 23x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=，所以2ππ2T ==； 因为πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，所以5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈， 函数()y f x =的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈； (2)()ππππsin 2sin 24323y f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+=+⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ12πsin 2cos 2sin 43323x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为π04x ≤≤，所以2π2π5π4333x ≤+≤，12π1sin 4232y x ⎡⎛⎫=+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此函数()π4y f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭在π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的取值范围为12⎡-⎢⎣⎦.20．（2022·天津三中一模）已知()22sin cos 222f x x x x θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)若0θπ≤≤，求θ使函数()f x 为偶函数；(2)在（1）成立的条件下，求满足()1f x =，[],x ππ∈-的x 的集合． 【答案】(1)6πθ=(2)55,,,6666ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 【分析】（1）由恒等变换得()2sin 23f x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而根据奇偶性求解即可；（2）由题知1cos 22x =，再根据[],x ππ∈-得23x π=-或523x π=-或23x π=或523x π=，进而解得答案.(1)解：()22sin cos 222f x x x x θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1cos 2sin 22x x θθ++=++()()sin 222sin 23x x x πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 为偶函数， 所以,32k k Z ππθπ+=+∈，即,6k k Z πθπ=+∈，因为0θπ≤≤，所以6πθ=(2)解：在（1）成立的条件下，()2sin 22cos 236f x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以由()1f x =得1cos 22x =，因为[],x ππ∈-，所以[]22,2x ππ∈-， 所以23x π=-或523x π=-或23x π=或523x π=， 所以6x π=-或65x π=-或6x π=或56x π=， 所以，满足题意的x 的集合为55,,,6666ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 21．（2022·河北秦皇岛·二模）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-.(1)求A ；(2)求cos cos B C -的取值范围.【答案】(1)3π(2)⎛ ⎝⎭【分析】（1）利用正弦定理角化边，再根据余弦定理可求出1cos 2A =，进而求出A 的大小；（2）依题意可化简cos cos 6B C B π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，根据B 的范围求出cos cos B C -的取值范围即可.(1)因为()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，所以()()()a b a b c b c +-=-，即222a b c bc =+-.因为2222cos a b c b A =+-，所以1cos 2A =.因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=.(2)由（1）知2cos cos cos cos 3B C B B π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭13cos cos cos 226B B B B B B π⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭. 因为203202B B πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以62B ππ<<， 因为2363B πππ<+<，所以11cos ,622B π⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos B C ⎛-∈ ⎝⎭，即cos cos B C -的取值范围是⎛ ⎝⎭. 22．（2022·浙江嘉兴·二模）设函数()sin cos f x x x =-(R)x ∈ .(1)求函数()()y f x f x =⋅-的最小正周期及其对称中心；(2)求函数22[()]4y f x f x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域. 【答案】(1)周期π，对称中心为,0(Z)42k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)[2 【分析】（1）利用二倍角公式将()()y f x f x =⋅-的表达式化简，即可求得函数的最小正周期，结合余弦函数的对称中心可求得函数()()y f x f x =⋅-的对称中心；（2）将函数22[()]4y f x f x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的表达式展开，并化简，根据,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的范围，结合正弦函数的性质可确定答案.(1)函数22()()cos sin cos 2y f x f x x x x =⋅-=-=，所以最小正周期22T ππ==； 令2(Z)2x k k ππ=+∈，解得(Z)42k x k ππ=+∈， 所以对称中心为,0(Z)42k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭； (2)函数2222[()]sin cos )[sin()cos()]44(4y f x f x x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++-++-+ ⎪⎢⎭⎣=⎥⎝⎦ 1sin 21sin(2)2x x π=-+-+ 2sin 2cos2x x =--224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故sin 2[4x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故[2y ∈.23．（2022·山东枣庄·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinsin 2B C b a B +=．求： (1)A ； (2)a c b-的取值范围． 【答案】(1)3π(2)1(,1)2- 【分析】（1）由正弦定理及正弦的2倍角公式可求解；（21cos 1sin 2B B --的范围，再利用2倍角公式化为122B -即可求解. (1)因为sin sin 2BC b a B +=， 所以sin cos sin sin 2A B A B =, 因为()0,,sin 0B B π∈∴≠，()1cos 2sin cos 0,cos 0,sin =222222A A A A A A π∴=∈∴≠∴，，， 因为0,,22263A A A πππ<<∴=∴=. (2)由正弦定理，2sin sin()sin sin 33sin sin B a c A C b B B ππ----==1sin 222sin B B B-=1cos 1sin 2B B -=-21(12sin )1122222sin cos 22B B B B ---=-， 因为203B π<<，所以023B π<<，所以0tan 2B <<。
三角函数(正弦函数与余弦函数)图像的变换及三角函数解析式的求法
1、（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2、（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数 3、（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数4、（湖南卷理6）函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1C. 325、（天津卷文6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，6、（全国Ⅰ卷文9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ）A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位7、（全国Ⅰ卷理8）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位1.（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=解：sin(2)3y x π=+的对称轴方程为232x k πππ+=+，即212k x ππ=+，0,12k x π==2.（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数 【解析】222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224xf x x x x x x -=+===,选D.9.（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数sinx cosx,2sinxcosx 2y=1sin 2x 1=sin 2x T D2ππ±解析:本题主要考查了三角函数的化简，主要应用了与的关系，同时还考查了二倍角公式和函数的奇偶性和利用公式法求周期。
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由B x A y ++=)sin(ϕω的图像求解析式
知识点归纳:
1. 利用“五点法”作sin()y A x ωϕ=+图像，设X x ωϕ=+，令X =30,,,
,22
2
π
π
ππ 求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象
特 征
图像上升时与x 轴的交点
图像上的“峰点”
图像下降时与x 轴的交点
图像上的“谷点”
图像上升时与x 轴的交点
x
1x
2x 3x
4x 5x
ϕω+x
0 2π
π 2
3π
π2
sin()A x ωϕ+
A
A -
注： 1x 、2x 、3x 、4x 、5x 分别为所给图像上的五个关键点（第一个点至第五个点），要注意x 和ϕω+x 之间的对应系
2．函数B x A y ++=)sin(ϕω表达式的确定：A （B ）由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点（上面的关键点）确定
①由图像观察最高点、最低点，B A y +=max 、B A y +-=min ，解这个关于A 和B 的二元一次方程组即得A 和B ②由图像观察周期，再利用T
π
ω2=
，求得ω 【由图像观察周期时,常见形式有: 1x 与5x 之间是一个周期T ；1x 与3x 、2x 与4x 之间是半个周期
2T ；1x 、2x 、3x 、4x 、5x 中相邻两个之间是四分之一的周期4
T
.】 ③ϕ的确定，一般要用图像的关键点来求，但要注意该关键点是“五点法”中的第几个点，如01=+ϕωx ，2
2π
ϕω=
+x ，πϕω=+3x ，2
34π
ϕω=
+x ，从而根据以上等式，解出
ϕ
考点 确定函数解析式问题
例1.⑴若函数sin()y A x ωϕ=+的图像（部分）如下图所示，则ω和ϕ的取值是（ ） A 、1,3
π
ωϕ== B 、1,3
π
ωϕ==-
C 、1,26πωϕ==
D 、1,6
πωϕ==-
⑵已知函数sin(),y A x x R ωϕ=+∈(其中0,0A ω>>)的图像在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为()
2,22M ,与x 轴在原点右侧的第一个交点为()6,0N ,则这个函数的解析式是 .
⑶若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2
ϕπ
<
）的最小正周期是π，且(0)3f =，则（ ）
A ．126
ωϕπ
==， B ．123
ωϕπ=
=， C ．26
ωϕπ
==，
D ．23
ωϕπ
==，
例2.⑴某港口水的深度y （米）是时间t (240≤≤t ,单位：时)的函数，记作()y f t =, 下面是某日水深的数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m
经常期观察，()y f t =的曲线可以近似的看成函数b t A y +=ωsin 的图象，根据以上的数据，可得函数()y f t =的近似表达式为 .
⑵一个大风车的半径为8m ,每12min 旋转一周,最低点离地面2m ,风车翼片的一个端点P 离地面的距离()h m 与时间()min t 之间的函数关系式是()sin h A t B ωϕ=++,0t =时端
点P 在点0P 处,则()h m 与()min t 之间的函数关系式是 .
练习：
1. 函数)0,0)(sin(πϕϕω<<>+=A x A y 的图像的两个相邻零点为)0,6
(π
-
和
(,0)2
π
，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为（ ） A 、)4
23sin(2π
+=x y B 、)42sin(2π+=x y
C 、)623sin(2π+=x y
D 、)6
2sin(2π
+=x y
2.
()()⎪⎭⎫ ⎝⎛
<>>∈+=200πϕωϕω，
，，A R x x sin A x f 的图象（部分）如图所()x f 的解析式是
A ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62ππ
Ｂ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫
⎝⎛+=622ππ
Ｃ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫
⎝⎛+=32ππ
Ｄ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛+=322ππ
3. 已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<）的图象与x 轴的
交点中，相邻两个交点之间的距离为
2
π
，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.
则()f x 的解析式 . 4. 函数sin()y x ωϕ=+(,0x R ω∈>,
02ϕπ≤<)的部分图象如图，则
.A 4
,2
π
ϕπ
ω=
=
.B 6
,3
π
ϕπ
ω=
=
.C 4,4πϕπω== .D 4
5,4π
ϕπω=
=
5.已知函数sin()y A x ωϕ=+（0,||A ϕπ><） 的一段图象如下图所示.
则()f x 的解析式 .
6. 函数sin()
y A x
ωϕ=+()2
0,,x R πωϕ><∈
的部分图象如图所示，则函数表达式为 .A )4
8
sin(
4π
π
+
-=x y .B )4
8
sin(
4π
π
-
=x y
.C )48sin(4π
π--=x y .D )4
8sin(4ππ+=x y
7. 已知函数2sin()(0)y x ωϕω=+>)在区间
[]02π，
的图像如图所示：那么ω＝（ ） A ．1
B ．2
C ．
2
1
D ．
3
1 8. 已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712
f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
.
9. 动点),(y x A 在圆12
2
=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已
知定时t =0时，点A 的坐标是)2
3
,
21(，则当120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数关系式是()sin y t ωϕ=+,0,02
π
ωϕ><<,则y 关于t 的函数解
析式是 .。