中考数学 一元二次方程 综合题
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【详解】
若存在n满足题意.
设x1，x2是方程①的两个根，则x1+x2=2n，x1x2= ，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2，
由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，
①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=- ，但1-n= 不是整数，舍.
②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=- (舍)，
2．已知关于 的方程 和 ，是否存在这样的 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的 值；若不存在，请说明理由？
【答案】存在，n=0.
【解析】
【分析】
在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程②的根是整数.
①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即 ，解得x= （舍去）或x= ，∴点P（ ，2）；
②设P(x，y)，则 ，∵
= OB•OC+ AD•PD+ (PD+OC)•OD= =
= = = ，
∴当x= 时， = ，当x= 时， = ，此时P（ ， ）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
（2）由题意得：
解之得： ，
经检验， ， 均符合题意
答： 的值为2或7.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.
∵a是整数，
∴a﹣6的值为1、2、3或6，
∴a的值为7、8、9或12．
【点睛】
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．
4．已知 为正整数，二次方程 的两根为 ，求下式的值：
【答案】
【解析】
由韦达定理，有 ， ．于是，对正整数 ，有
原式=
综上所述，n=0.
3．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．
【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣ ，x1x2= ，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣ 是是负整数，即可得 是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．
5．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】（1）5；（2）180
【解析】
【分析】
（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；
（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．
6．已知关于x的一元二次方程 （m为常数）
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是2，求m的值及方程的另一个根．
【答案】(1)见解析；
(2)即m的值为0，方程的另一个根为0.
【解析】
【分析】
（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
【答案】假设不成立，四边形 面积的面积不能等于 ，理由见解析
【解析】
【分析】
根据题意，列出BQ、PB的表达式，再列出方程，判断根的情况.
【详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ， ；
假设存在 的值，使得四边形 的面积等于 ，
则 ，
整理得： ，
∵ ，
∴假设不成立，四边形 面积的面积不能等于 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.
② ，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线 与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为 ，∴ ，解得： ，∴二次函数的解析式为 = ，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令 ，解得 或 ，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在 上，∴设点P（x， ），
【详解】
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：
x+1+（x+1）x＝36，
解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；
（2）根据题意得：5×36＝180（个），
答：第三轮将又有180人被传染．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.
（2）11月11日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在11月10日售价的基础上下调a%出售，A超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比11月10日增加了a%，且储备排骨的销量占总销量的 ，两种排骨销售的总金额比11月10日提高了 a%，求a的值．
【答案】（ห้องสมุดไป่ตู้）售价为每千克65元；（2）a=35.
【解析】
【分析】
（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x元，则每千克的利润为10-x元，日销量为100+20x千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；
（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣ ﹣1，2）；②P（﹣ ， ）
【解析】
试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为 即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；
8．已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；
（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．
【详解】
（1）∵方程有两个不相等的实数根．
【详解】
（1）∵原方程有两实数根，
∴ ，
∴a≥0且a≠6．
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1= ﹣ +1=﹣ ．
∵（x1+1）（x2+1）是负整数，
∴﹣ 是负整数，即 是正整数．
9．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至11月10日，猪排骨价格不断走高，11月10日比年初价格上涨了75%．今年11月10日某市民于A超市购买5千克猪排骨花费350元．
（1）A超市11月排骨的进货价为年初排骨售价的 倍，按11月10日价格出售，平均一天能销售出100千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降1元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售排骨每天有1000元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．
∴m＜3；
（2）∵m＜3且m为正整数，
∴m＝1或2．
当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；
当m＝2时，原方程为x2﹣2x＝0．
∴x(x﹣2)＝0．
∴x1＝0，x2＝2．符合题意．
综上所述，m＝2．
【点睛】
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．
【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2） 的值为2或7.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.
【详解】
（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为 元/千克, 元/千克.
由题得：
解之得：
答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克
解得t=0，
所以m=0，
即m的值为0，方程的另一个根为0.
【点睛】
本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t，用根于系数关系列出方程组，在求解.
7．如图，在 中， ， ， ，现有两点 、 的分别从点 和点B同时出发，沿边 ，BC向终点C移动．已知点 ， 的速度分别为 ， ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设 ， 两点移动时间为 ．问是否存在这样的 ，使得四边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t= ,2t=m,最终解出关于t和m的方程组即可.
【详解】
(1)证明：
△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4，
∵无论m为何值时m2≥0，
∴m2+4≥4＞0，
即△＞0，
所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.
(2)设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t= ,2t=m，
（2）根据题意可得
解得 , (舍去)
所以a=35.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令 ，解方程求出t后再求a的值.
10．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.
【详解】
解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克
年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，
11月的进货价为： 元/千克
设每千克降价x元，则每千克的利润为70-60-x=10-x元，日销量为100+20x千克
则 ，
解得 ，
因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元.
（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？
（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.
若存在n满足题意.
设x1，x2是方程①的两个根，则x1+x2=2n，x1x2= ，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2，
由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，
①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=- ，但1-n= 不是整数，舍.
②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=- (舍)，
2．已知关于 的方程 和 ，是否存在这样的 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的 值；若不存在，请说明理由？
【答案】存在，n=0.
【解析】
【分析】
在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程②的根是整数.
①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即 ，解得x= （舍去）或x= ，∴点P（ ，2）；
②设P(x，y)，则 ，∵
= OB•OC+ AD•PD+ (PD+OC)•OD= =
= = = ，
∴当x= 时， = ，当x= 时， = ，此时P（ ， ）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
（2）由题意得：
解之得： ，
经检验， ， 均符合题意
答： 的值为2或7.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.
∵a是整数，
∴a﹣6的值为1、2、3或6，
∴a的值为7、8、9或12．
【点睛】
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．
4．已知 为正整数，二次方程 的两根为 ，求下式的值：
【答案】
【解析】
由韦达定理，有 ， ．于是，对正整数 ，有
原式=
综上所述，n=0.
3．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．
【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣ ，x1x2= ，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣ 是是负整数，即可得 是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．
5．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】（1）5；（2）180
【解析】
【分析】
（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；
（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．
6．已知关于x的一元二次方程 （m为常数）
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是2，求m的值及方程的另一个根．
【答案】(1)见解析；
(2)即m的值为0，方程的另一个根为0.
【解析】
【分析】
（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
【答案】假设不成立，四边形 面积的面积不能等于 ，理由见解析
【解析】
【分析】
根据题意，列出BQ、PB的表达式，再列出方程，判断根的情况.
【详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ， ；
假设存在 的值，使得四边形 的面积等于 ，
则 ，
整理得： ，
∵ ，
∴假设不成立，四边形 面积的面积不能等于 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.
② ，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线 与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为 ，∴ ，解得： ，∴二次函数的解析式为 = ，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令 ，解得 或 ，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在 上，∴设点P（x， ），
【详解】
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：
x+1+（x+1）x＝36，
解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；
（2）根据题意得：5×36＝180（个），
答：第三轮将又有180人被传染．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.
（2）11月11日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在11月10日售价的基础上下调a%出售，A超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比11月10日增加了a%，且储备排骨的销量占总销量的 ，两种排骨销售的总金额比11月10日提高了 a%，求a的值．
【答案】（ห้องสมุดไป่ตู้）售价为每千克65元；（2）a=35.
【解析】
【分析】
（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x元，则每千克的利润为10-x元，日销量为100+20x千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；
（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣ ﹣1，2）；②P（﹣ ， ）
【解析】
试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为 即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；
8．已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；
（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．
【详解】
（1）∵方程有两个不相等的实数根．
【详解】
（1）∵原方程有两实数根，
∴ ，
∴a≥0且a≠6．
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1= ﹣ +1=﹣ ．
∵（x1+1）（x2+1）是负整数，
∴﹣ 是负整数，即 是正整数．
9．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至11月10日，猪排骨价格不断走高，11月10日比年初价格上涨了75%．今年11月10日某市民于A超市购买5千克猪排骨花费350元．
（1）A超市11月排骨的进货价为年初排骨售价的 倍，按11月10日价格出售，平均一天能销售出100千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降1元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售排骨每天有1000元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．
∴m＜3；
（2）∵m＜3且m为正整数，
∴m＝1或2．
当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；
当m＝2时，原方程为x2﹣2x＝0．
∴x(x﹣2)＝0．
∴x1＝0，x2＝2．符合题意．
综上所述，m＝2．
【点睛】
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．
【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2） 的值为2或7.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.
【详解】
（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为 元/千克, 元/千克.
由题得：
解之得：
答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克
解得t=0，
所以m=0，
即m的值为0，方程的另一个根为0.
【点睛】
本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t，用根于系数关系列出方程组，在求解.
7．如图，在 中， ， ， ，现有两点 、 的分别从点 和点B同时出发，沿边 ，BC向终点C移动．已知点 ， 的速度分别为 ， ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设 ， 两点移动时间为 ．问是否存在这样的 ，使得四边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t= ,2t=m,最终解出关于t和m的方程组即可.
【详解】
(1)证明：
△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4，
∵无论m为何值时m2≥0，
∴m2+4≥4＞0，
即△＞0，
所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.
(2)设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t= ,2t=m，
（2）根据题意可得
解得 , (舍去)
所以a=35.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令 ，解方程求出t后再求a的值.
10．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.
【详解】
解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克
年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，
11月的进货价为： 元/千克
设每千克降价x元，则每千克的利润为70-60-x=10-x元，日销量为100+20x千克
则 ，
解得 ，
因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元.
（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？
（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.