微积分考试及答案汇总
微积分试题及答案【精选】
一、选择题(每题2分)1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2）B 、（0，lg2]C 、（10,100）D 、（1,2）2、x=-1是函数x ƒ()=()221x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求0x →A 、-14B 、0C 、1D 、∞ 4、若1y xx y+=，求y '等于（） A 、22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y-- D 、22x yx y +-5、曲线221xy x =-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（）A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+C 、2y x = D 、ln y x = (0)x >二、填空题（每题2分） 1、__________2、、2(1))l i m ()1x n xf x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）1、221x y x =+函数是有界函数 ( )2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( )3、limββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin xy x=求函数 的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x xx x→-求 5、计算6、21lim (cos )x x x +→计算 五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x=++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21y x x=+的图形（12分） 六、证明题（每题6分）1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x+→+∞→==则 2、证明方程10,1xxe =在区间（）内有且仅有一个实数一、选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )xxx xx xy x ee x x x x x x x x x x x'='='⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+（（2、22()112(arctan )121arctan dy f x dxxx x dx x xxdx='=+-++= 3、 解：2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y xy y y x yy x y y x y x y yy y x y--'+'=-∴'=--'----'∴''=-4、解：2223000tan sin ,1cos 21tan (1cos )12lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x x →→→--∴==当时，原式=5、解：65232222261)61116116(1)166arctan 6arctanx t dx t tt t t t t tt t C C===+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰令原式（6、 解：201ln cos 01limln cos 20200012lim 1lim ln cos ln cos lim 1(sin )cos lim 2tan 1lim 22x xx x xx x x x x e ex xxx x x xx x e++→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：原式 五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x aaL x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-='=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值2、 解：()()2300,01202201D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-'==''=+''==-，间断点为令则令则渐进线：32lim lim 001lim x x x y y y x y y x y x x→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题 1、 证明：lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x M M M x f A x f A x εεξε→∞→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<= 当时，有取=，则当0时，有即。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试卷及标准答案6套微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│?(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，与是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。
6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。
8. ='?))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点(C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。
微积分试卷及答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b= 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。
A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。
A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。
答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。
导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。
2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。
通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。
微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。
四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。
答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 42. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 13. 曲线 \( y = x^3 \) 与 \( x \) 轴围成的面积是：A. 1/4B. 1/3C. 1/2D. 2/34. 函数 \( y = \sin(x) \) 的不定积分是：A. \( -\cos(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( \sin(x) \)D. \( \ln(\sin(x)) \)二、填空题（每题5分，共20分）5. 如果 \( f'(x) = 6x \)，则 \( f(x) = _______ + C \)。
6. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是 _______。
7. 定积分 \( \int_{1}^{e} e^x dx \) 的值是 _______。
8. 曲线 \( y = e^x \) 与 \( x \) 轴围成的面积在 \( x = 0 \) 到 \( x = 1 \) 之间的值是 _______。
三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的导数。
10. 计算定积分 \( \int_{0}^{2} (2x + 1) dx \)。
11. 求曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4x \) 相交的点。
12. 求函数 \( y = \ln(x) \) 在 \( x = e \) 处的切线方程。
四、答案一、选择题答案1. B2. B3. B4. B二、填空题答案5. \( 3x^2 + C \)6. \( 1/x \)7. \( e^e - 1 \)8. \( e - 1 \)三、解答题答案9. \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)10. \( \int_{0}^{2} (2x + 1) dx = x^2 + x \bigg|_{0}^{2} = 4 + 2 = 6 \)11. 令 \( x^2 = 4x \)，解得 \( x = 0 \) 或 \( x = 4 \)，所以交点为 \( (0, 0) \) 和 \( (4, 16) \)。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分考试题目及答案
微积分考试题目及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间（-∞，-1）上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数答案：B2. 函数f(x)=x^3-3x的导数为：A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^2+3答案：A3. 曲线y=x^2+2x+1在点（1，4）处的切线斜率为：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B4. 函数f(x)=sin(x)的不定积分为：A. -cos(x)+CB. cos(x)+CC. sin(x)+CD. -sin(x)+C答案：B5. 曲线y=e^x与直线y=1所围成的面积为：A. 1B. e-1C. 0D. ∞答案：B6. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的平均值为：A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的二阶导数为______。
答案：6x2. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值为______。
答案：1/33. 函数f(x)=ln(x)的反函数为______。
答案：e^x4. 曲线y=cos(x)在x=π/2处的切线方程为______。
答案：x+y=π/2三、计算题（每题10分，共40分）1. 计算定积分∫[0,2] (x^2-2x+1) dx。
答案：∫[0,2] (x^2-2x+1) dx = [1/3x^3 - x^2 + x] | [0,2] = (8/3 - 4 + 2) - (0) = 2/32. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[1,3]上的极值。
答案：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9令f'(x) = 0，解得x=1或x=3。
f(1) = -4，f(3) = 1，f(2) = -1。
因此，函数在区间[1,3]上的极大值为1，极小值为-4。
3. 计算曲线y=x^2从x=0到x=1的弧长。
微积分综合练习题及参考答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
微积分试题及答案大全
微积分试题及答案第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分模拟考试试题及答案
微积分模拟考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 3的导数是：A. 6x^2 - 10x + 7B. 6x^2 - 10x + 6C. 6x^2 - 8x + 7D. 6x^3 - 10x^2 + 72. 曲线y = x^2 + 3x - 2在x = 1处的切线斜率是：A. 4B. 5C. 6D. 73. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/34. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的原函数是：A. -cos(x) + sin(x) + CB. -cos(x) - sin(x) + CC. cos(x) - sin(x) + CD. cos(x) + sin(x) + C5. 函数y = ln(x)的反函数是：A. e^xB. x^eC. 1/xD. √x二、填空题（每空1分，共10分）6. 函数f(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 - 5的二阶导数是______。
7. 函数y = x^3 - 2x^2 + x - 3在x = 2处的切线方程是______。
8. 定积分∫[1,2] (3x + 1) dx的结果是______。
9. 函数f(x) = 2e^x的原函数是______。
10. 函数y = x^2的反函数是______。
三、简答题（每题5分，共15分）11. 求函数f(x) = x^2 + 2x + 1在区间[0, 2]上的定积分。
12. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的极值点。
13. 证明函数f(x) = x^3在R上的单调性。
四、解答题（每题10分，共20分）14. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求其在x = 1处的泰勒展开式。
15. 利用定积分求曲线y = 2x - 1与x轴围成的面积。
五、综合题（每题15分，共15分）16. 一个物体从静止开始，以初速度0，加速度a = 3t^2（m/s^2）加速运动。
微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
会计微积分考试题目及答案
会计微积分考试题目及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 微积分中最基本的概念是：A. 极限B. 导数B. 积分D. 微分2. 以下哪个不是导数的几何意义？A. 切线斜率B. 瞬时速度C. 面积D. 函数的增长速度3. 积分的基本概念是：A. 求和B. 求极限C. 求导D. 求和的极限4. 以下哪个是定积分的几何意义？A. 曲线下的面积B. 曲线上的点C. 曲线的斜率D. 曲线的切线5. 微分方程是描述：A. 函数的极限B. 函数的导数C. 函数的积分D. 函数的增长速度6. 以下哪个不是微分方程的应用领域？A. 物理学B. 工程学C. 经济学D. 会计学7. 函数 \( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \) 的导数是：A. \( 4x + 3 \)B. \( 2x + 3 \)C. \( 4x^2 + 6x \)D. \( 2x^2 + 3x \)8. 以下哪个是定积分的计算公式？A. \( \int f(x) \, dx \)B. \( \sum f(x_i) \Delta x \)C. \( \lim_{n \to \infty} \sum f(x_i) \Delta x \)D. \( \lim_{n \to \infty} \sum f(x_i) \Delta x \) 当\( \Delta x \) 趋近于09. 以下哪个是泰勒级数的应用？A. 计算函数的近似值B. 计算函数的导数C. 计算函数的积分D. 计算函数的极限10. 以下哪个不是微积分在会计中的应用？A. 成本分析B. 投资回报率计算C. 折旧计算D. 会计凭证的录入答案：1-5 ABBCA 6-10 DCDAD二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述微积分在会计决策中的应用。
微积分在会计决策中的应用主要体现在成本分析、投资回报率计算等方面。
例如，通过微积分可以对成本函数进行分析，以确定成本的最小化点，从而帮助企业做出成本效益最大化的决策。
微积分考试题目及答案
微积分考试题目及答案一、选择题1. 下列哪个选项描述了微积分的基本思想？A. 求导运算B. 求积分运算C. 寻找极限D. 都是答案：D2. 求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2的导数是多少？A. f'(x) = 4x^2 + 6xB. f'(x) = 6x^2 + 3xC. f'(x) = 6x^2 + 6xD. f'(x) = 4x^2 + 3x答案：A3. 计算积分∫(2x^2 + 3x)dxA. x^3 + 2x^2B. x^3 + 2x + CC. (2/3)x^3 + (3/2)x^2D. (2/3)x^3 + 3x^2答案：C二、填空题4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x的导数为_________答案：f'(x) = 6x + 25. 计算积分∫(4x^3 + 5x)dx = __________答案：x^4 + (5/2)x^2 + C6. 函数y = x^2在点x=2处的切线斜率为_________答案：4三、解答题7. 求函数y = x^3 + 2x^2在x=1处的切线方程。
解：首先求函数在x=1处的导数，f'(x) = 3x^2 + 4x。
代入x=1得斜率为7。
又因为该点经过(1,3)，故切线方程为y = 7x - 4。
8. 求曲线y = x^3上与x轴围成的面积。
解：首先确定曲线截距为(0,0)，解方程得x=0。
利用定积分区间求解：∫[0,1] x^3dx = 1/4。
以上为微积分考试题目及答案，希望对您的学习有所帮助。
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微积分总复习题详细答案
微积分总复习题详细答案一、极限与连续性1. 极限的定义- 极限是描述函数在某点或无穷远处的行为。
对于函数f(x)，当x趋近于a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε，则称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限。
2. 极限的运算法则- 极限的加法法则：lim(x→a) (f(x) + g(x)) = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)- 极限的乘法法则：lim(x→a) (f(x) * g(x)) = (lim(x→a)f(x)) * (lim(x→a) g(x))- 极限的除法法则：lim(x→a) (f(x) / g(x)) = (lim(x→a)f(x)) / (lim(x→a) g(x))，前提是lim(x→a) g(x) ≠ 0。
3. 连续性的定义- 函数f(x)在点a处连续，如果lim(x→a) f(x) = f(a)。
4. 间断点的类型- 可去间断点：函数在a点的左极限或右极限存在，但不等于f(a)。
- 跳跃间断点：函数在a点的左极限和右极限都存在，但两者不相等。
- 无穷间断点：函数在a点的左极限或右极限为无穷大。
二、导数与微分1. 导数的定义- 函数f(x)在点a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) [(f(a+h)- f(a)) / h]。
2. 导数的几何意义- 导数表示函数在某点处的切线斜率。
3. 基本导数公式- (c)' = 0，其中c是常数。
- (x^n)' = nx^(n-1)，其中n是实数。
- (sin(x))' = cos(x)。
- (cos(x))' = -sin(x)。
- (e^x)' = e^x。
4. 高阶导数- 高阶导数是一阶导数的导数，记作f''(x)。
微积分复习题及答案
微积分复习题及答案一、选择题1. 函数f(x) = x^3 - 3x在x = 0处的导数是（）A. -3B. 0C. 3D. -1答案：A2. 设函数f(x) = e^x，则f'(x) = （）A. e^xB. ln(x)C. 1/xD. x答案：A3. 函数f(x) = sin(x)在x = π/6处的二阶导数是（）A. -√3/2B. √3/2C. 1D. -1答案：A4. 定积分∫(0 to π) sin(x) dx 的值是（）A. 0B. 1C. 2D. π答案：C5. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b)，则函数f(x)在区间[a, b]上必有（）A. 极值B. 驻点C. 原函数D. 奇偶性答案：A二、填空题6. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1在x = 1处的切线斜率是______。
答案：37. 函数f(x) = x^2 sin(x)的一阶导数是______。
答案：2x sin(x) + x^2 cos(x)8. 定积分∫(0 to π) cos(x) dx 的值是______。
答案：09. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 5的极值点是______。
答案：x = 210. 设函数f(x) = e^x，则不定积分∫f(x) dx =______。
答案：e^x + C三、计算题11. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 在x = 2处的导数。
解：f'(x) = 3x^2 - 6xf'(2) = 3 2^2 - 6 2 = 12 - 12 = 0答案：012. 计算定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx。
解：∫(0 to π/2) sin(x) dx = -cos(x) | (0 to π/2) = -(-1) - (-1) = 2答案：213. 求函数f(x) = x^2 + 2x + 5在区间[-2, 2]上的最大值和最小值。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题1. 设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，那么 f'(1) 的值是多少？A. -1B. -4C. -3D. 0答案：C2. 给定曲线 y = 2e^x - x，求当 x = 0 时，曲线的切线方程为？A. y = 1 - xB. y = x - 1C. y = e - xD. y = x - e答案：A3. 对于函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1，在 [0,2] 区间上的定积分为？A. 12B. 10C. 14D. 16答案：C二、填空题1. 设函数 g(x) = 2x^3 - 6x + 5 的不定积分为 F(x)，那么 F(2) 的值为________。
答案：272. 设函数 h(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 5x - 2，那么 h'(x) 的导函数为_________。
答案：4x^3 - 6x^2 + 6x + 5三、解答题1. 计算函数f(x) = ∫[0,2] (3x^2 + 2x + 1) dx 的值。
解答步骤：首先对 f(x) 进行积分得到 F(x) = x^3 + x^2 + x + C。
然后将积分上下限代入 F(x)，得到 F(2) = 2^3 + 2^2 + 2 + C = 14 + C。
由于题目没有给定积分常数 C，所以无法具体计算 F(2) 的值。
2. 求函数g(x) = ∫[-1,1] (2x^3 - 6x + 5) dx 的值。
解答步骤：首先对 g(x) 进行积分得到 G(x) = x^4 - 3x^2 + 5x + C。
然后将积分上下限代入 G(x)，得到 G(1) - G(-1) = (1^4 - 3(1)^2 +5(1)) - ((-1)^4 - 3(-1)^2 + 5(-1))= (1 - 3 + 5) - (1 - 3 - 5) = 3 - (-7) = 10。
微积分试卷及答案4套
微积分试卷及答案4套微积分试题(A卷)一.填空题(每空2分,共20分)1.已知$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=A$，则对于$\forall\epsilon>0$，总存在$\delta>0$，使得当$x\to1^+$时，恒有$|f(x)-A|<\epsilon$。
2.已知$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n^2+bn+5}{n^2+3n-2}=2$，则$a=1$，$b=3$。
3.若当$x\to x_0$时，$\alpha$与$\beta$是等价无穷小量，则$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\alpha-\beta}{\beta}=0$。
4.若$f(x)$在点$x=a$处连续，则$\lim\limits_{x\toa}f(x)=f(a)$。
5.函数$f(x)=\ln(\arcsin x)$的连续区间是$(0,1]$。
6.设函数$y=f(x)$在$x$点可导，则$\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+3h)-f(x)}{h}=3f'(x)$。
7.曲线$y=x^2+2x-5$上点$M$处的切线斜率为6，则点$M$的坐标为$(-1,2)$。
8.$\dfrac{d(xf'(x))}{dx}=xf''(x)+2f'(x)$。
9.设总收益函数和总成本函数分别为$R=24Q-2Q^2$，$C=Q+5$，则当利润最大时产量$Q=6$。
二.单项选择题(每小题2分,共18分)1.若数列$\{x_n\}$在$a$的$\epsilon$邻域$(a-\epsilon,a+\epsilon)$内有无穷多个点，则（B）数列$\{x_n\}$极限存在，且一定等于$a$。
2.设$f(x)=\arctan\dfrac{2}{x-1}$，则$x=1$为函数$f(x)$的（A）可去间断点。
微积分考试题库(附答案)
85考试试卷（一）一、填空1．设c b a,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=2．xx e 10lim +→= ，xx e 10lim -→=，xx e 1lim →=3．设211)(x x F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f ⎰dt t x 2sin 0，则)(x f '=5．⎩⎨⎧>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b二、选择1．曲线⎩⎨⎧==-0122z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（ ）。
（A ）12222=+-z y x ； （B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ； （D ）122222=+-z y x2．2)11(lim xx x x -∞→-+=（ ）。
（A ）1（B ）21e （C ）0 （D ）1-e3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'⎰dx x f x f x )]()([（ ） （A ）c x xf +)(； （B ）c x f x +')(； （C ）c x f x +'+)(； （D ）c x f x ++)(4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（ ） （A ）0)(='ξf （B ）ab a f b f f --=')()()(ξ86（C ）0)(=ξf （D ）ab dxx f a bf -=⎰)()(ξ5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值，则=a （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题1． 求与两条直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+==211t z t y x 及112211-=+=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。
微积分考试题及答案文件
微积分考试题及答案文件一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x-4的导数是：A. 2x+3B. 2x-3C. x^2+3xD. x^2-3x答案：A2. 定积分∫(0,1)x^2dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B4. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^x + CB. e^(-x) + CC. ln(x) + CD. 1/x + C答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果f'(x)=6x^2+12x+10，那么f(x)=______。
答案：x^3+3x^2+5x+C2. 函数y=ln(x)的导数是______。
答案：1/x3. 定积分∫(1,e)1/xdx的值是______。
答案：14. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是______。
答案：0三、解答题（共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
（15分）答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1和x=11/3。
检查二阶导数f''(x)=6x-12，f''(1)=-6<0，f''(11/3)=2>0，所以x=1是极大值点，x=11/3是极小值点。
2. 求定积分∫(0,2)(2x-1)dx。
（15分）答案：∫(0,2)(2x-1)dx = [x^2-x](0,2) = (4-2)-(0-0) = 2。
3. 求极限lim(x→0) (x^2*sin(1/x))。
（15分）答案：由于sin(1/x)的值在-1和1之间，所以lim(x→0)(x^2*sin(1/x)) = 0。
4. 求函数y=x^2e^x的不定积分。
（15分）答案：∫x^2e^xdx = x^2e^x - ∫2xe^xdx = x^2e^x - 2∫xe^xdx，令u=x，则du=dx，dv=e^xdx，v=e^x，所以∫xe^xdx = xe^x -∫e^xd x = xe^x - e^x，代入原式得：x^2e^x - 2(xe^x - e^x) + C= x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C。
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0202《微积分（下）》2015年12月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题（10道题，每题3分）填空题（5道题，每题3分）计算题（6道题，平均每题8-9分）证明题（一般1道题，每题7分）。
考试时间：90分钟。
二、课程章节要点第一章、广义积分和定积分的应用（一）广义积分1．知识范围（1）广义积分的概念（2）无穷积分的收敛性与判别法（3）瑕积分的收敛性与判别法2．考核要求（1）理解无穷积分和瑕积分的概念及几何意义（2）掌握非负函数无穷积分收敛性和比较判别法，了解阿贝尔和狄里克莱判别法（3）知道瑕积分收敛性和比较判别法，了解阿贝尔和狄里克莱判别法（二）定积分的应用1．知识范围（1）掌握定积分在几何计算平面图形的面积（2）掌握定积分在几何计算旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积（3）掌握定积分在物理上计算压力、功、重心等简单应用2．考核要求（1）掌握定积分在几何计算平面图形的面积（2）掌握旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积的计算（3）掌握定积分在物理上计算压力、功、重心等简单应用第二章、级数（一）数项级数1．知识范围（1）数项级数的概念级数的收敛与发散级数的基本知识级数收敛的必要条件（2）正项级数敛散性判别法比较判别法比值判别法（3）一般项级数交错级数绝对收敛条件收敛莱布尼兹判别法积分判别法阿贝尔判别法狄里克莱判别法2．考核要求《微积分（下）》试卷第1页，共9页（1）掌握数项级数的概念级数的收敛与发散级数的基本知识级数收敛的必要条件（2）熟练掌握正项级数敛散性的比较判别法和比值判别法（3）掌握一般项级数、交错级数、绝对收敛、条件收敛的概念（4）掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法、了解任意项级数收敛的阿贝尔判别法和狄里克莱判别法（二）函数列与函数项级数1．知识范围（1）函数列及其一致收敛性（2）函数项级数及其一致收敛性（3）函数项级数的一致收敛性判别法（4）一致收敛函数列与函数项级数的性质2．考核要求（1）掌握函数列及其一致收敛性概念（2）掌握函数项级数及其一致收敛性概念（3）掌握一致收敛性M-判别法，了解阿贝尔判别法和狄里克莱判别法（4）掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质（三）幂级数1．知识范围（1）幂级数的概念幂级数的收敛区间和收敛半径幂级数的展开（2）幂级数的性质，幂级数的运算（3）幂级数的展开2．考核要求（1）理解幂级数的概念熟练掌握幂级数的收敛区间和收敛半径（2）掌握幂级数的性质会幂级数的运算（3）掌握简单初等函数的幂级数的展开第三章、多元函数（一）多元函数的极限与连续1．知识范围（1）多元函数与平面点集（2）完备性定理（3）二元函数的定义域二元函数的几何意义（4）二元函数极限累次极限（5）二元函数的连续性概念有界闭区域上连续函数的性质2．考核要求（1）理解多元函数与平面点集（2）知道上的完备性定理（3）掌握二元函数的定义域理解二元函数的几何意义（4）掌握二元函数极限的概念掌握累次极限的概念（5）理解二元函数的连续性概念理解有界闭区域上连续函数的性质《微积分（下）》试卷第2页，共9页（二）多元函数微分学1．知识范围（1）多元函数可微性与全微分的概念多元函数偏导数的概念可微性的几何意义与应用（2）复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分（3）方向导数与梯度（4）高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题2．考核要求（1）理解多元函数可微性与全微分的概念理解多元函数偏导数的概念了解可微性的几何意义与应用（2）掌握复合函数微分法熟练掌握复合函数的求导法则掌握复合函数的全微分的求法（3）掌握方向导数与梯度及计算（4）掌握高阶偏导数的求法知道多元函数的微分中值定理和泰勒公式（5）理解多元函数极值问题掌握二元函数自由极值求法第四章、隐函数1．知识范围（1）隐函数概念隐函数存在性条件的分析（2）隐函数定理隐函数的求导（3）隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换（4）平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线（5）条件极值2．考核要求（1）了解隐函数概念了解隐函数存在性条件的分析（2）了解隐函数定理掌握隐函数的求导运算（3）了解隐函数组概念了解隐函数组定理了解反函数组与坐标变换（4）掌握平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线的概念及计算（5）掌握多元函数条件极值的拉格朗日乘数法第五章、重积分1．知识范围（1）二重积分的概念二重积分的可积条件直角坐标系下的二重积分计算格林公式曲线积分与路线无关性二重积分的变量变换（2）三重积分的概念三重积分的可积条件直角坐标系下三重积分计算三重积分的变量变换（3）重积分的应用曲面的面积重积分在物理学上的应用2．考核要求（1）理解二重积分的概念理解二重积分的可积条件熟练掌握直角坐标系下的二重积分计算熟练掌握极坐标系下的二重积分计算理解格林公式理解曲线积分与路线无关性的条件会二重积分的变量变换（2）理解三重积分的概念理解三重积分的可积条件掌握直角坐标系下三重积分计算会三重积分的变量变换会柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算《微积分（下）》试卷第3页，共9页《微积分（下） 》试卷 第4页，共9页（3）掌握重积分在几何上的应用掌握曲面的面积的计算 掌握重积分在物理学上的简单应用 第六章、微分方程初步 1．知识范围（1）微分方程的概念，阶数判断 （2）一阶微分方程的解法（3）可降阶的高阶微分方程的解法 （4）二阶常系数线性微分方程的解法（5）二阶常系数线性微分方程的解法及其应用 2．考核要求（1）理解微分方程的概念，熟练掌握阶数判断的方法 （2）理解一阶微分方程的解法，会进行计算 （3）掌握可降阶的高阶微分方程及其解法（4）了解二阶常系数线性微分方程，它的解法，和在实际问题中的应用三 练习题一、单选题1. lim 0n n u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件2. 下列级数中发散的是（ ） A 、211n n ∞=∑B 、11cos n n ∞=∑C 、113nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑D 、123nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑3. 下列级数中绝对收敛的是（ ） A、n ∞= B 、()1312nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C 、()11n n ∞-=-∑D 、()111n n n n ∞=--∑4.111n n xn ∞+=∑的收敛区间为（ ）A 、()1,1-B 、[]1,1-C 、[)1,1-D 、(]1,1-5. 正项级数1n n u ∞=∑收敛的充要条件为（ ）《微积分（下） 》试卷 第5页，共9页A 、lim 0n n u →∞=B 、12n u u u >>>>……C 、lim n n S →∞存在，()12n n S u u u =+++…D 、1lim1n n nu u +→∞=6. 设(),z z x y =是由方程0x e xyz -=所确定的隐函数，则zx∂∂=（ ） A 、1zz+B 、xyyz e x -C 、()1yx z +D 、()1yx z -7. 设函数(),f x y 的驻点为()00,x y ，且()()()//////000000,,,,,xx xy yy f x y A f x y B f x y C ===.2B AC ∆=-，则()00,x y 为极大值点充分条件是（ ） A 、0,0A ∆>>B 、0,0A ∆><C 、0,0A ∆<>D 、0,0A ∆<<8. 设(){}2222,13D x y x y =+≤≤，则Ddxdy ⎰⎰=（ ）A 、9πB 、2πC 、4πD 、8π9. 2x y e =是哪个微分方程的解（ ） A 、'0y y +=B 、'0y y -=C 、'20y x +=D 、'20y y -=10. 方程''2'50y y y -+=的通解是（ ） A 、()12cos2sin 2x e C x C x +B 、()12x e C x C + C 、12cos 2sin 2C x C x + D 、x e二、填空题 1. 幂级数()01!nnn x n ∞=-∑的和函数是__________________________. 2.二元函数y =的定义域为_______________________。
3. 微分方程''2'0y y y ++=的解是___________________________.4.若()z f u =可导，22u x y =-，则2__________________.zx y∂=∂∂ 5.二元函数()()()22,12f x y x y =-+-的极小值点是_______________.《微积分（下） 》试卷 第6页，共9页6、微分方程''7'120y y y -+=的通解为____________________________________________.7、二元函数()()()22,12f x y x y =-+-的极小值点是_______________. 8、微分方程0xdx ydy +=的通解为________________________________.三、计算题1.设2x y z ++=，求.z x∂∂ 2.计算二重积分⎰⎰D 是由圆周222x y x +=围成的闭区域.3.计算积分1yI dy =⎰的值.（提示：先改变积分次序） 4、判断级数13!nn n n n ∞=∑的收敛性.5、将函数()256xf x x x =-+展成x 的幂级数... 6、求幂级数11n n nx∞-=∑的和.7、求函数()z xy a x y =--的极值()0a >. 8、设333z x y xy =+-，求它的极值. 9、求微分方程cos dyxy x dx+=的通解. 10、求⎰⎰，其中(){}22,2.D x y x y x =+≤ 四、证明题1、 设()0,1y z x x x =>≠，证明12.ln x z zz y x x y∂∂+=∂∂四、习题答案一、单选题BBCCCBDDDA《微积分（下） 》试卷 第7页，共9页二、填空题1. x e -2.(){}22,1x y x y +>3.x xe -4. 4''.xyf - 5 ()1,2.6、3412.x x y C e C e =+7、()1,2.8、 22.x y C += 三、计算题1.提示：隐含数求导法 1.zx∂=-∂ 2.提示：()2sin 22022222cos 2 4.d d ππθππθθθπ--==-=-⎰⎰⎰⎰⎰3. 提示：1sin1.I =-4、提示：应用比值法111lim lim 1133nn n n na ea n +→∞→∞⎛⎫=+=< ⎪⎝⎭，收敛.5、提示：()()()211323256x x f x x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪-----+⎝⎭《微积分（下） 》试卷 第8页，共9页00110111011213123112233112311.23n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x ∞∞==∞++=∞+++=⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑∑ 6、提示：利用幂级数逐项求积法：令()11n n S x nx∞-==∑，逐项积分()21.1xn n xS t dt x x x x∞===++=-∑⎰… 所以()()()2'1,1,1.11x S t x x x ⎛⎫==∈- ⎪-⎝⎭-)1,1(,)1()(21-∈-==∑=x x xx xS nx n n . 7、提示：利用判定极值点的方法：()()//00x y z y a x y xy z x a x y xy ⎧=---=⎪⎨=---=⎪⎩，解出驻点()0,0,,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭. //////2,22,2.xx xy yy z y z a x y z x =-=--=-()0,0非极值点，,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭极大值点，其极大值为3.27a8、提示：1/2/210330,3300x y x f x y f y x y =⎧=-==-=⇒⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩//////6,3,6xx xy yy f x f f y ==-=，()0,0非极值点，()1,1是极小值点，其极小值为1-.9、提示：()1sin .y C x x=+ 10、提示：利用变量代换（极坐标变换）：2cos 20232.9d rrdr πθπθ-==⎰⎰⎰⎰四、证明题 1、1,,ln ,y y y z zz x yx x y x y-∂∂=∴==∂∂《微积分（下） 》试卷 第9页，共9页12.ln y y x z zx x z y x x y∂∂∴+=+=∂∂说明：本考试指导只适用于201509学期期末考试使用，包括正考和重修内容。