地质统计学与随机建模原理4-1实例：序贯高斯模拟

王家华，2001，p50
据概率论知识，有如下关系

序贯模拟过程需要确定N个单变量ccdf：

所有的ccdf都被假设为高斯分布，可以利用N个克里格方 程组求取它们的均值和方差。

先将研究区域离散化成网格系统，再序贯的处理每 个网格结点。 每个网格结点处随机变量是服从条件化的正态分布， 网格结点值完全由均值和方差两个参数确定。 求解克里格方程组得到该结点处的均值和方差，确 定该结点处变量的正态分布，采用相应的抽样方法 得到该结点处的一个样本。 求解克里格方程组时的条件数据包括原始数据和先 前已模拟的，落在模拟邻域内所有被模拟的网格结 点处的值。
王君 2010.10.26

引言 序贯高斯模拟方法的原理
序贯高斯模拟步骤
示例

来源：硕士毕业论文《储层相控统计反演研究》 基于模型反演的缺点：依赖于初始模型和约束条件 的准确性 硬数据：井数据 软数据：地震数据、沉积相或构造信息


随机建模→初始模型：更符合实际地质情况，减少 了基于模型反演的多解性


将研究区域D网格化，设共有N个网格结点。若研究的是 N个网格结点上储层的同一属性，则考虑N个随机变量Zi 的联合分布，若考虑共有N个网格结点区域上K种不同属 性的组合，则N=K×N,这相当于协同模拟。 N个随机变量的条件联合概率模型记为:


为了得到上述N元样本，可以由N个相继的步骤来完成， 每一步是从一个单变量ccdf中抽样，且条件数据不断增加。



P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1), P{X≥x1}=1-P{X≤x1}=1-F(x1),
因此，若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间(x1,x2]上的 概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。

分布函数是一个普遍的函数，正是通过它，我们将能用数学分析的方 法来研究随机变量。 如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x处的 函数值就表示X落在区间(-∞,x]上的概率。



序贯高斯模拟图解 （LCPD表示局部条件概率）

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序贯高斯模拟要求原始数据场能够服从高斯分布，或者是 进行正态变换后服从高斯分布。
正态反变换 正态变换
设{Z(x)|x ∈D}是一个高斯模型，其序贯高斯模拟步 骤如下：
1. 2. 3.
确定原始数据{Z(xi)|i=1,2, …,n}的单变量的条件累 计分布函数FZ(Z)，通常是获取经验分布函数 。 利用 进行正态变换，把数据变为具有标准正态分 布的y数据。 定义一条随机路径，依次访问网格上的各个结点ul*。 在每个结点处保留一定数目的邻域条件数据，包括原 始的y数据和已经模拟过的网格结点的y值。 在每一个结点处，利用协同克里格方法计算条件累积 分布函数的均值和方差。

序贯高斯模拟的特点：
a)
计算快速、简单，适合模拟一些中间值很连续而极端 值很分散的物性参数。
b)
c)
高斯模型不太适合极值分布具有方向性的连续性变量 的随机模拟。 高斯模拟结果强烈地依赖于变异函数，所以一定要注 意求取的变异函数的准确度。
定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{X≤x} 称为X 的分布函数。有时也记为X~F(x) 对于任意实数x1,x2 (x1<x2), 有
4.
5.
从ccdf中随机地提取一个模拟值y(l)(u)，把这个模拟 的数值追加到已知数据集中，成为模拟下一个结点的 条件数据。
6.
接着对下一个结点重复步骤4～5，并一直循环到所 有的结点都被模拟。这样，就完成了一次实现。如果 需要得到多个实现，重复步骤3～6即可。
把模拟的正态数值{y(l)(u), u∈ A}反变换回原始变量的 模拟值{z(l)(u), u ∈ A}。
7.

二维研究区域：
起始坐标（0，0） 网格大小：1 ×1 网格数：50 ×50

样本数：140
样本
次变量
主变量模拟结果

地质数据的分布有时很不均匀，有些数据体的位置 相距很近——丛聚 (Cluster) 在实际研究中，有时需要统计研究区内地质数据的 一些特征，如平均值、分布直方图等 为了得到一个能有效代表整个研究区内地质数据的 分布特征，C. Deutsch (1988) 提出该方法，用于 减弱地质数据的丛聚效应 其核心就是给丛聚在一起的地质数据分配较小的权 值，给稀疏分布的数据分配较大的权值