必修二：球的内切和外接 例题讲解精编版
必修二球的内切和外接例题讲解共46页
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
人教版高中数学必修第二册 专题强化训练二 与球有关的内切、外接问题 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册专题强化训练二与球有关的内切、外接问题同步精练技巧归纳1．多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)补形法：“补形”成为一个球内接长方体，则利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．2．球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h ，底面外接圆半径为x ，则该几何体外接球半径R 满足R 2＝h 22＋x 2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．(4)球(半径为R )与正方体(棱长为a )有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R ＝a ；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R ＝2a ；三是球外接于正方体，此时2R ＝3a .题型归纳题型一：直接法(公式法)1．（2022·全国·模拟预测）一个正方体的内切球的表面积和它的外接球的表面积之和是16π，则该正方体的体积为（）A ．22B ．8C ．4D ．162．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，1AB =，直线1AD 与直线1CC 所成的角为30°，则该长方体外接球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．5πD ．8π3．（2022·湖南·高一课时练习）若一个球的外切正方体的表面积等于6cm 2，则此球的体积为（）A ．6πcm 3B ．68πcm 3C ．43πcm 3D ．66πcm 3题型二：构造法(补形法)4．（2022·陕西西安·一模）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且22PA =，2AB BC ==，则该阳马的外接球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π5．（2022·江西上饶·高三阶段练习（文））已知三棱维A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为6的正三角形，△BCD 是直角三角形，且,42BCD CD π∠==，则此三棱锥外接球的表面积为（）A ．36πB ．48πC ．64πD ．128π6．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））已知正四面体S ABC -的外接球表面积为6π，则正四面体S ABC -的体积为（）A ．223B ．233C ．23D ．324题型三：确定球心位置法7．（2022·全国·模拟预测）如图，已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，2AC BC ==，2AB =，球心O 到平面ABC 的距离为3，则球O 的体积为（）A ．323πB ．163πC ．16πD ．32π8．（2022·陕西陕西·一模）四面体D ABC -内接于球O ，（O 为球心），2BC =，4AC =，60ACB ∠=︒.若四面体D ABC -体积的最大值为4，则这个球的体积为（）A ．256327πB ．1639πC ．128πD ．128327π9．（2022·云南师大附中高三阶段练习）三棱锥P ABC -的四个顶点在球О的球面上，PC ⊥平面ABC ，4PC =，10AB =，32AC =，点M 是BC 的中点，13AM =，则球О的表面积为（）A ．24πB ．28πC ．36πD ．40π题型四：球表面积和体积最值问题10．（2021·重庆·西南大学附中高一期末）已知正方形ABCD 中，2AB =，E 是CD 边的中点，现以AE 为折痕将ADE 折起，当三棱锥D ABE -的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（）A ．525π48B ．5π4C ．25π4D ．25π11．（2021·四川成都·高一期末（理））已知A ，B 是球O 的球面上两点，23AOB π∠=，P 为该球面上动点，若三棱锥O PAB -体积的最大值为233，则球O 的表面积为（）A ．12πB ．16πC ．24πD ．36π12．（2021·山东莱西·高一期末）已知ABC 是面积为934的等边三角形，其顶点均在球O 的表面上，当点P 在球O 的表面上运动时，三棱锥P ABC -的体积的最大值为934，则球O 的表面积为（）A ．16πB ．323πC ．274πD ．4π专题精选强化一、单选题13．（2021·黑龙江鸡西·高一期末）已知三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，2AB AC ==，22BC =，PB ⊥平面ABC ，若球O 的体积为36π，则该三棱锥的体积是（）A ．473B ．5C ．873D ．8314．（2022·全国·高一）在体积为722的直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，且ABC 的外接圆半径为213，则该三棱柱外接球的表面积为（）A ．12πB ．8πC ．6πD ．3π15．（2021·全国·高一课时练习）已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（）A ．36πB ．64πC ．128πD ．144π16．（2021·全国·高一课时练习）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A ．72πB ．56πC ．14πD ．16π17．（2021·广东顺德·高一期末）已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，3AB =，2PA =，PA BC ⊥，PB AC ⊥，PC AB ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．43πB ．32327πC ．4πD ．163π18．（2021·江苏常州·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面,,ABCD AB BC AD CD ⊥⊥，且120,2BAD PA AB AD ∠=︒===，则该四棱锥外接球的表面积为（）A ．8πB ．20πC ．205πD ．205π319．（2021·江苏·金陵中学高一期末）前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为23π，面积为3π，则球O 的表面积等于（）A ．818πB ．812πC ．1218πD ．1212π20．（2021·云南省昆明市第十中学高一期中）已知三棱锥P ABC -，PA ，PB 、PC 两两垂直，1PA =，3PB =，2PC =，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（）A ．πB ．5πC ．6πD ．8π21．（2021·黑龙江·哈师大附中高一期末）矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的体积为（）A ．5103πB ．10πC ．510πD ．40π22．（2021·重庆八中高一期中）设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是2053π，1AB AC AA ==，120BAC ∠=︒，则此直三棱柱的高是（）A ．1B ．2C ．22D ．423．（2020·江苏宿迁·高一期末）在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，3AC =，30BAC ∠=，15AA =，则其外接球的体积是（）A ．6πB ．92πC ．823πD ．132π24．（2021·吉林·高一期中）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠的表面上有四个点S 、A 、B 、C ，满足S ABC -为正三棱锥，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，侧棱2SA =，则该蹴鞠的表面积为（）A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π二、多选题25．（2021·全国·高一课时练习）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点全部在球O 的表面上，AB AC =，120BAC ∠=，三棱柱111ABC A B C -的侧面积为843+，则球O 体积可能是（）A ．12πB ．32π3C ．28π3D ．10π26．（2021·江苏·无锡市第一中学高一期中）一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为29，则这个圆锥体积与球体积的比值为（）A ．427B ．827C ．49D ．8927．（2020·江苏连云港·高一期末）正方体的外接球与内切球上各有一个动点M ，N ，若线段MN 的最小值为31-，则（）A ．正方体的外接球的表面积为12πB ．正方体的内切球的体积为3πC ．正方体的棱长为1D ．线段MN 的最大值为31+28．（2021·辽宁·高一期末）在菱形ABCD 中，23AB =，60ABC ∠=，将菱形ABCD 沿对角线AC 折成大小为()0180θθ<<的二面角B AC D --，若折成的四面体ABCD 内接于球O ，则下列说法正确的是（）．A ．四面体ABCD 的体积的最大值是33B ．BD 的取值范围是()32,6C ．四面体ABCD 的表面积的最大值是1263+D ．当60θ=时，球O 的体积为523927π三、填空题29．（2022·全国·高一）点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，23BC =，90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC 的距离为22，则该球的体积为___________.30．（2021·天津·高一期末）已知正四棱锥P ABCD -中，底面边长为2，侧面积为45，若该四棱锥的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为______.31．（2021·江苏溧阳·高一期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图P ABCD -是阳马，PA ⊥平面ABCD ，5PA =，4AB =，3AD =，则该阳马的外接球的表面积为___________.32．（2021·广东惠州·高一期中）在三棱锥D ABC -中，已知平面BCD ⊥平面ABC ，90CBD ∠=︒，45BCA ∠=︒，22AB =，2BD =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为______．参考答案1．B 【解析】【分析】设正方体的边长为2a ，分别求出正方体内切球与外接球的半径，再建立等式求得正方体的棱长即可求其体积.【详解】设正方体的边长为2a ，则正方体的内切球的半径为a ，外接球的半径为3a ，依题意得()2244316a aπππ+=，解得1a =，∴正方体的体积为()33288a a ==.故选：B ．2．C 【解析】【分析】根据条件求出长方体外接球的半径即可求解.【详解】直线1AD 与直线1CC 所成的角，即直线1BC 与直线1CC 所成的角，从而可知在1Rt C CB △中，130BC C ︒∠=，所以13C C =，设长方体外接球的半径为r ，则有()222225411354r r =++=⇒=，该长方体外接球的表面积为245r ππ=.故选：C 3．A 【解析】【分析】设球的半径为R cm ，正方体棱长为a cm ，根据表面积和棱长的关系求出棱长，进而可得半径，再用体积公式求球的体积即可.【详解】设球的半径为R cm ，正方体棱长为a cm ，∴6a 2＝6，∴a ＝1cm ，即2R ＝1，∴R 12=cm ，∴球的体积333441cm .3326V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故选：A.4．C 【解析】【分析】补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，求出外接球半径，即可得出答案.【详解】解：因为四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，如图，补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，设外接球半径为R ，则()2222244816R AB BC PA =++=++=，所以2R =，所以该阳马的外接球的表面积为2416R ππ=.故选：C.5．C 【解析】【分析】把三棱锥放置在长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再由三棱锥外接球的表面积公式计算．【详解】三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示3332AM AB ==，设三棱锥外接球的球心为O ，则22332333AG AM ==⨯=，122OG CD ==，∴三棱锥外接球的半径2222(23)42R OA OG AG ==+=+=，则三棱锥外接球的表面积为2244464S R πππ==⨯=，故选：C ．6．A 【解析】【分析】由题意求出外接球的半径，将正四面体补成正方体，求出其棱长，用正方体的体积减去四个小的三棱锥体积即为所求.【详解】设外接球半径为R ，则246S R ππ==，解得62R =,将正四面体S ABC -恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线，则正四面体S ABC -的外接球即为正方体的外接球，则正方体的体对角线等于外接球的直径，故2326AB ⨯⨯=，解得2AB =，正方体棱长为2222⨯=，故该正四面体的体积为3122(2)42223213-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：A ．7．A 【解析】【分析】由已知可证得PA AB ⊥，BC PC ⊥，从而可得球心O 是PB 的中点，取AB 的中点D ，连接OD ，然后在Rt ODB △中可求得球的半径，进而可求得球的体积【详解】如图，因为2AC BC ==，2AB =，所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥.因为PA ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，PA BC ⊥.又AC PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，所以球心O 是PB 的中点.取AB 的中点D ，连接OD ，则OD ∥PA ，所以OD ⊥平面ABC ，所以3OD =.设球O 的半径为R ，在Rt ODB △中，()2222312R OB OD DB ==+=+=，所以球O 的体积为3344322333R πππ=⨯⨯=，故选：A.8．A 【解析】【分析】在ABC 中利用余弦定理求得第三边，并判断ABC 为直角三角形且面积为定值，由面积公式求得ABC 的面积，从而分析知当D 到平面ABC 的距离取得最大值时球的体积最大.在ABC 中，∵2BC =，4AC =，60ACB ∠=︒，∴22212cos 164242122BA AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，∴222AC AB BC =+，90ABC ∠=︒.∴ABC 外接圆半径122r AC ==.∴1223232ABCS=⨯⨯=.如图所示，设AC 的中点为1O ，则1O 为过ABC 的截面圆的圆心，设球的半径为R ，所以球心O 到平面ABC 的距离为22214OO R r R =-=-当点1DO ⊥平面ABC 时，四面体D ABC -体积的最大即：1111()23()433ABC S R OO R OO ⋅+=⨯+=△，解得433R =，34432563=()3327V ππ⨯=球.故选：A.9．C 【解析】【分析】先求得ABC 的外接圆的半径r ，再由222PC R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求得外接球的半径求解.如图所示：由余弦定理可得222222(13)(10)(13)(32)2221321322BC BC BC BC ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯⨯⨯⨯，解得2BC =．故222(10)(32)22cos 210325BAC +-∠==⨯⨯，1sin 5BAC ∠=．设ABC 的外接圆半径为r ，由正弦定理可得2sin BCr BAC=∠，故52sin BCr BAC==∠，所以球O 的半径为2232PC R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，球O 的表面积为24π36πS R ==，故选：C ．10．C 【解析】【分析】设棱锥D ABE -的外接球球心为O ，半径为R ，则OM ⊥平面BCEF ，因为ABE △的面积为定值，所当高最大时，三棱锥D ABE -的体积最大，过D 作DF AE ⊥于F ，设点M 为ABE △的外心，则有222222(),DF OM FM R OM EM R -+=+=通过计算可得点M 为外接球的球心，从而可求得结果【详解】解：过D 作DF AE ⊥于F ，设点M 为ABE △的外心，G 为AE 的中点，连接,MG MF ，因为正方形ABCD 中，2AB =，E 是CD 边的中点，所以1DE =,则22125AE BE ==+=，52EG =，22555AD DE DF AE ⋅===,所以2245155EF DE DF =-=-=,1524MG EG ==，54EM =,所以55352510FG EG EF =-=-=,所以225453051610020FM MG FG =+=+=,设棱锥D ABE -的外接球球心为O ，半径为R ，则OM ⊥平面BCEF ，设OM x =，因为ABE △的面积为定值，所当高最大时，三棱锥D ABE -的体积最大，此时平面ADE ⊥平面BCEF ，因为DF AE ⊥，平面ADE 平面BCEF AE =，所以DF ⊥平面BCEF ，所以222222(),DF OM FM R OM EM R -+=+=,所以2222()DF OM FM OM EM -+=+，所以2222DF DF OM FM EM -⋅+=，所以42561252558016OM -⨯⋅+=，解得0OM =，所以ABE △的外心为三棱锥D ABE -外接球的球心，所以54R EM ==所以三棱锥外接球的表面积为2252544164R πππ=⨯=故选：C11．B 【解析】【分析】当点P 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O PAB -的体积最大，利用三棱锥O PAB -体积的最大值为233求出半径，即可求出球O 的表面积．【详解】解：如图所示，当点P 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O PAB -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2113233223O PAB P AOB V V R R --==⨯⨯⨯=，解得2R =，则球O 的表面积为2416R ππ=，故选：B ．12．A 【解析】【分析】作出图形，结合图形知，当点P 与球心O 以及△ABC 外接圆圆心M 三点共线且P 与△ABC 外接圆圆心位于球心的异侧时，三棱锥P ABC -的体积取得最大值，结合三棱锥的体积求出三棱锥P ABC -的高h ，并注意到此时该三棱锥为正三棱锥，利用Rt OAM ,求出球O 的半径R ，最后利用球体的表面积公式可求出答案．【详解】如图所示，设点M 为ABC 外接圆的圆心，当点P O M 、、三点共线时，且P M 、分别位于点O 的异侧时，三棱锥P ABC -的体积取得最大值.因为ABC 的面积为934，所以边长为3，由于三棱锥P ABC -的体积的最大值为41939334PM ⨯=⨯，得3PM =，易知SM ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -为正三棱锥，ABC 的外接圆直径为3223sin3AM π==，所以3AM =,设球O 的半径为R ，则22222()3(3)R OA AM PM PO R ==+-=+-,解得2R =,所以球的表面积为2416S R ππ==.故选：A 13．A 【解析】【分析】三棱锥P ABC -放入长方体内，所以长方体的体对角线即为外接球直径，即PC 为球直径，由球的体积求出PC 的长度，再求出PB ，由三棱锥体积公式求解即可.【详解】因为2AB AC ==，22BC =，易知三角形ABC 为等腰直角三角形，又PB ⊥平面ABC ，所以PB 为三棱锥P ABC -的高，则可将三棱锥P ABC -放入长方体内，如图，长方体的体对角线即为外接球直径，即PC 为球直径，343632PC V ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭,6PC ∴=又22268PC PB BC PB =+=+=，解得27PB =,所以三棱锥的体积11472227323V =⨯⨯⨯⨯=，故选：A 14．A 【解析】【分析】由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．【详解】设ABC 的边长为a ，由ABC 的外接圆半径为213可得212π3sin3a =⨯，故7a =，则ABC 的面积237344S a ==.由三棱柱的体积为722可得11737242S AA AA ⋅=⋅=，故1263AA =，设三棱柱外接球的半径为R ，则2221217233233AA R ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故该三棱柱外接球的表面积为24π12πR =.故选：A ．15．D 【解析】【分析】根据给定条件确定出三棱锥O ABC -体积最大时的点C 位置，再求出球半径即可得解.【详解】设球的半径为R ，因90AOB ∠=︒，则AOB 的面积212△AOB S R =，而O ABC C AOB V V --=，且AOB 面积为定值，则当点C 到平面AOB 的距离最大时，O ABC V -最大，于是，当C 是与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，三棱锥O ABC -体积最大，最大值为3113632R ⨯=，解得6R =，所以球O 的表面积为22446144R πππ=⨯=.故选：D 16．C 【解析】【分析】根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而可根据球的表面积公式求出球的表面积.【详解】解析：设长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ，由题意得236ab ac bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩，得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴长方体的体对角线长为22212314++=，∴其外接球的半径为142∴2414S R ππ球＝＝．故选：C 17．D 【解析】【分析】根据题意画出图形，证得三棱锥P ABC -为正三棱锥，结合球的截面性质求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，过点P 作PG ⊥平面ABC ，连接AG 交BC 于D ，所以PG BC ⊥，又由PA BC ⊥且PAPB P =，所以BC ⊥平面PAG ，可得BC AD ⊥，同理可证AB CG ⊥，则G 为等边ABC 的垂心，即中心，则三棱锥P ABC -为正三棱锥，设其外接球的球心为O ，则O 再PG 上，连接OA ，在等边ABC 中，由3AB =，可得2233()132AG =-=，则223PG PA AG =-=，设三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ，则222(3)1R R =-+，解得233R =，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为22231644()33S R πππ==⨯=.故选：D.18．B 【解析】【分析】取PC 中点O ，连接,,.OA OB OD BD ，先证明点O 就是四棱锥外接球的球心，再求出外接球的半径即得解.【详解】取PC 中点O ，连接,,.OA OB OD BD ，由题得PA AC ⊥，又OP OC =，所以OP OC OA ==，因为,,,,CD AD CD PA ADPA A AD PA ⊥⊥=⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥，又,PO OC OP OC OD =∴==.同理OP OC OB ==,所以OP OC OA OB OD ====，所以点O 就是四棱锥外接球的球心.因为120,2BAD AB AD ∠=︒==，所以60,30,4DAC DCA AC ∠=∴∠=∴=.所以224225,PC =+=所以外接球的半径为5.所以该四棱锥外接球的表面积24(5)20S ππ==．故选：B 19．A 【解析】【分析】设球半径为R ，圆锥的底面半径为r ，利用扇形的弧长和面积公式求得R ，即可求解.【详解】圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为23π，面积为3π，设母线为l ，则212323l ππ⨯⨯=，可得：3l =，由扇形的弧长公式可得：223r l ππ=，所以1r =，圆锥的高2213122OO =-=，由()22222r RR +-=，解得：942R =，所以球O 的表面积等于2818144328R πππ=⨯=，故选：A 20．D 【解析】【分析】若三棱锥从一个顶点出发的三条棱互相垂直，则该三棱锥的外接球与以这三条棱为邻边的长方体的外接球相同.【详解】因为三棱锥P ABC -中，PA ，PB 、PC 两两垂直，所以其外接球半径R 满足222222R PA PB PC =++=，2R =.故三棱锥P ABC -的外接球表面积为()2428ππ⨯=.故选：D.21．A 【解析】【分析】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则由矩形的性质可知OA OC OB OD ===，所以可得O 为四面体D ABC -外接球的球心，求出OA 的长可得球的半径，从而可求出球的体积【详解】解：设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，因为四边形ABCD 为矩形，所以OA OC OB OD ===，90ABC ∠=︒，所以O 为四面体D ABC -外接球的球心，因为3,1AB BC ==，所以22223110AC AB BC =+=+=，所以11022OA AC ==，所以面体D ABC -外接球的半径为102，所以该四面体外接球的体积为3344105103323R πππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故选：A 22．B 【解析】【分析】先确定底面ABC 的外接圆圆心及半径，再确定球心位置，并利用球心和圆心的连线垂直于底面，得到直角三角形，利用勾股定理求解.【详解】设12AB AC AA m ===，三角形ABC 外接圆1O 的半径为r ，直三棱柱111ABC A B C -外接球O 的半径为R .因为120BAC ∠=︒，所以30ACB ∠=︒，于是24sin 30r ABm ==︒，2r m =，12O C m =.又球心O 到平面ABC 的距离等于侧棱长1AA 的一半，所以1OO m =.在1Rt OO C 中，由22211OC OO O C =+，得2224R m m =+，5R m =.所以球的体积34205(5)33V m ππ==，解得1m =.于是直三棱柱的高是122AA m ==.故选：B.23．B【解析】【分析】首先在ABC 中利用余弦定理求出BC 的长，进一步可判断ABC 为直角三角形，根据直角三角形和直棱柱的性质即可求出球心和半径，由体积公式即可求解.【详解】在ABC 中，2AB =，3AC =，30BAC ∠=，由余弦定理可得：22232cos 30344312BC AC AB AC AB =+-⋅⨯=+-⨯=，所以1BC =，所以222BC AC AB +=，可得ABC 为直角三角形，所以AB 的中点D 即为ABC 外接圆的圆心，设11A B 的中点为E ，则DE 的中点O 即为直三棱柱111ABC A B C -外接球的球心，设外接球的半径为R ，11522OD AA ==，112CD AB ==，所以222253122R OD CD ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以外接球的体积是3344393322R πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故选：B.24．B【解析】【分析】推导出SA 、SB 、SC 两两垂直，然后将正三棱锥S ABC -补成正方体SADB CEFG -，计算出正方体SADB CEFG -的体对角线长，即为三棱锥S ABC -的外接球直径，利用球体的表面积公式可得结果.【详解】取AC 中点N ，连接BN 、SN ，N Q 为AC 中点，SA SC =，AC SN ∴⊥，同理AC BN ⊥，SN BN N =，AC ∴⊥平面SBN ，SB ⊂平面SBN ，AC SB ∴⊥，SB AM ⊥且AC AM A ⋂=，SB ∴⊥平面SAC ，SA 、SC ⊂平面SAC ，SA SB ∴⊥，SB SC ⊥，三棱锥S ABC -是正三棱锥，SA ∴、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直.将正三棱锥S ABC -补成正方体SADB CEFG -，如下图所示：因为2SA =，所以正方体SADB CEFG -的体对角线长为323SF SA ==，所以，正三棱锥S ABC -的外接球的直径223R =，所以，正三棱锥S ABC -的外接球的表面积是()224212S R R πππ==⨯=，故选：B.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.25．AB【解析】【分析】设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==，三棱柱侧面积得()23ah +843=+，可得4ah =，设N ，M 分别是三棱柱上下底面的外心，则三棱柱外接球球心O 是MN 中点，由正弦定理求得ABC 外接圆的半径r ，由勾股定理结合基本不等式求得外接球半径R 的最小值，再由球的体积公式结合选项即可求解．【详解】设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==．因为120BAC ∠=，所以2cos303BC AB a =⋅=，则该三棱柱的侧面积为()23843ah +=+，故4ah =，设,N M 分别是三棱柱上下底面的外心，则三棱柱外接球球心O 是MN 中点，设ABC 的外接圆半径为r ，则MC =32sin 2sin120BC a r a BAC ===∠⨯，设球O 的半径为R ，则22222222164244h h h OC R r a h ⎛⎫==+=+=+≥ ⎪⎝⎭，所以2R ≥，故球O 的体积为：334432ππ2π333R ≥⋅=．结合选项可知：球O 体积可能是12π，32π3，故选：AB ．26．AB 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，由圆锥的底面面积与球面面积比值为29，得到r与R的关系，计算出圆锥的高，从而求出圆锥体积与球体积的比.【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，∵圆锥的底面面积与球面面积比值为2 9，∴22249rRππ=，则223r R=；设球心到圆锥底面的距离为d ，则221 3d R r R =-=，所以圆锥的高为43h d R R=+=或23h R d R=-=，设圆锥体积为1V与球体积为2V，当43h R=时，圆锥体积与球体积的比为2213321224133383442733R Rr hVV R Rππππ⎛⎫⎪⎝⎭===，当23h R=时，圆锥体积与球体积的比为2213321222133343442733R Rr hVV R Rππππ⎛⎫⎪⎝⎭===.故选：AB 27．AD 【解析】【分析】设正方体的棱长为a ，由线段MN 的最小值为31-求出a ，按照球的性质逐一判断每个选项即可.【详解】设正方体的棱长为a ，则其外接球的半径为32R a =，内切球的半径为2a R '=，正方体的外接球与内切球上各有一个动点M ，N ，由于两球球心相同，可得MN 的最小值为33122a a -=-，解得2a =，故C 错误；所以外接球的半径为3，表面积为4312ππ⨯=，故A 正确；内切球的半径为1，体积为43π，故B 错误；MN 的最大值为31R R '+=+，故D 正确；故选：AD.【点睛】本题考查正方体的外接球与内切球，正确求出正方体的外接球与内切球的半径是关键，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.28．ACD【解析】【分析】求出当90θ=时，四面体ABCD 的体积最大，利用锥体的体积公式可判断A 选项的正误；利用余弦定理可判断B 选项的正误；利用90BAD ∠=时，四面体ABCD 的表面积的最大，可判断C 选项的正误；求出球O 的半径，利用球体的体积公式可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，23AC AB ==，60ABC ∠=，则ABC 为等边三角形，取AC 的中点E ，则BE AC ⊥，同理可知，ACD △为等边三角形，所以，DE AC ⊥，且23sin 603BE DE ===，1332ABC S AC BE =⋅=△，所以，二面角B AC D --的平面角为BED θ=∠，设点D 到平面ABC 的距离为d ，则sin 3sin d DE θθ==，11333sin 33sin 3333D ABC ABC V S d θθ-=⋅=⨯⨯=≤，当且仅当90θ=时，等号成立，即四面体ABCD 的体积的最大值是33，A 选项正确；对于B 选项，由余弦定理可得()2222cos 1818cos 0,36BD BE DE BE DE θθ=+-⋅=-∈，所以，()0,6BD ∈，B 选项错误；对于C 选项，33ACD ABC S S ==△△，AB AD BC CD ===，BD BD =，ABD CBD ∴≅△△，所以，1sin 6sin 62CBD ABD S S AB AD BAD BAD ==⋅∠=∠≤△△，因此，四面体ABCD 的表面积的最大值是233261263⨯+⨯=+，C 选项正确；对于D 选项，设M 、N 分别为ABC 、ACD △的外心，则113EN EM BE ===，在平面BDE 内过点M 作BE 的垂线与过点N 作DE 的垂线交于点O ，BE AC ⊥，DE AC ⊥，BE DE E ⋂=，AC ∴⊥平面BDE ，OM ⊂平面BDE ，OM AC ∴⊥，OM BE ⊥，BE AC E ⋂=，OM ∴⊥平面ABC ，同理可得ON ⊥平面ACD ，则O 为四面体ABCD 的外接球球心，连接OE ，EM EN =，OE OE =，90OME ONE ∠=∠=，OME ONE ∴≅△△，所以，302OEM θ∠==，23cos303EM OE ∴==，AC ⊥平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，OE AC ∴⊥，22393OA OE AE ∴=+=，即球O 的半径为393R =，因此，球O 的体积为345239327V R ππ==，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.29．323π【解析】【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，23BC =，90ABC ∠=︒，所以224AC AB BC =+=，所以三角形外接圆半径22AC r ==，又球心O 到截面ABC 的距离为22，所以球的半径为()2222223R =+=．球体积为()33442332333V R πππ==⨯=．故答案为：323π．30．92π【解析】【分析】由正四棱锥的底边长与侧面积可得侧棱长，求出正四棱锥的高，球心在高所在直线上，利用勾股定理求半径，则球的体积可求.【详解】设正四棱锥的侧棱长为b ，又侧面积为45，∴21421452b ⨯⨯⨯-=，解得6b =，∴正四棱锥P ABCD -的高622h =-=，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在正四棱锥P ABCD -的高所在直线上，设球O 的半径为R ，则()()22222R R -+=，解得32R =，则球O 的体积为334439R 3322V πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：92π.31．50π【解析】【分析】把四棱锥P ABCD -放置在长方体中，求出长方体外接球的表面积得答案．【详解】把四棱锥P ABCD -放置在长方体中，则长方体的外接球即为四棱锥的外接球，5PA =，4AB =，3AD =，∴长方体的对角线长为22254352++=，则长方体的外接球的半径522R =，∴该阳马的外接球的表面积为225244()502S R πππ==⋅=．故答案为：50π．32．20π【分析】如图，由题意可得BD ⊥平面ABC ，E 为三角形ABC 的外心，则三棱锥A BCD -的外接球的球心在过E 垂直于平面ABC 的直线上，设为点O ，则外接球的半径为OB ，然后利用已知的数据求出半径，进而可求出表面积【详解】解：因为平面BCD ⊥平面ABC ，平面BCD 平面ABC BC =，90CBD ∠=︒，所以BD ⊥平面ABC ，设E 为三角形ABC 的外心，连接,AE BE ，则290AEB BCA ∠=∠=︒，因为22AB =，所以2AE BE ==,过E 作垂直于平面ABC 的直线，则三棱锥A BCD -的外接球的球心在此直线上，设外接球的球心为O ，连接,OB OD ，设外接球的半径为R ，则OB OD R ==，因为2BD =，所以22215OB =+=，即5R =，所以三棱锥A BCD -的外接球的表面积为()2244520R πππ=⋅=，故答案为：20π。
球专题几何体的外接球与内切球问题(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
请同学回顾球的表面积与体积公式
(1)设球的半径为 R,则球的表面积 S=4πR 2 .
(2)设球的半径为 R,则球的体积 V= πR 3 .
例题解析
1
球的截面问题
用一个平面去截球，截面一定是圆面.
截面过球心，圆为球的大圆(如地球仪上
的赤道圈)；截面不过球心，圆为球的小
圆
例题解析
所以球的表面积
为2，求球的表面积.
解：如图所示，作出轴截面，因为ΔABC为正三角形，
练习巩固
练习巩固
练习3:已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面
得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于
解析:由题意得圆 M 的半径 r=
由勾股定理得 R2=r2+
答案:16π
,解得
,又球心到圆
1
球的截面问题
练习巩固
1
球的截面问题
练习： 过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球
半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的表面积是多少？
课堂探究
2
球与几何体外接、内切问题
解决与球有关的外接、内切问题的关键
1、确定球心位置
重
要！
2、构造直角三角形，确定球的半径
球与多面体
1、多面体外接球：多面体顶点均在球面上；球心到各顶点距离为R
2、多面体内切球：多面体各面均与球面相切；球心到各面距离为R
球与旋转体
旋转体的外接球与内切球：球心都在旋转轴上
球与旋转体
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
②正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
例题解析
2
必修二球的内切和外接例题讲解
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 D
B. 1: 2: 3
C
C. 1:3 4:3 9
D. 1: 8: 27
A D1
A1
B
中截面
O
C1 设为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲 4 R12 =
D A
D1
C 球内切于正方体的棱
O1 D
R
6 a R 3
3a
3a
2
6
R 6 a 4
E
3 a
6
S表
3 2
a2
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
在 Rt △ AO1E 中
sin 3 cos 6
1
O •θ
3
3
tan 1 cos 2 sin
3
3 2
B
球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去 截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心
A
例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体 积，表面积．
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥
的全面积和它的内切球的表面积。
A 解法1 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 ) ： 在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
1
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
球的内切、外接问题
P
球的表面积．
解1：作出截面图如图示. 由图可知，
3
AD
a,
2
2
3
AO AD
a.
3
3
a
6
2
2
∴PO PA AO
a.
3
6
∴OO PO PO
a R.
3
P
a
R
R
A
A
R O•
O•
•
O′
解得R
时，球内切于圆锥，如图所示，
O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心，
设球O的半径为R，底面圆E的半径为r，
因为圆锥侧面积为2π，
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
例8 正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，若该正
四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2 6，求这个球
P
的表面积. 36π
PO′= 4，OO′=4－R，AO=R
2 6
AO2 = OO′ 2 + AO′ 2，
R=3
•
O′
R
R
A
O
O•
•
O′
O′
•
O
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
正棱锥外接球半径求法——轴截面法
1.球心在棱锥的高所在的直线上
2.球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高h 减去球半径R的绝对值
d= |h －R |
P
3. R 2 r 2 (h R ) 2
4
9
O
1
， 解得r= 3
轴截面法
球的内切与外接问题讲课
2
典型：有三个球,一球切于正方体的各 面,一球切于正方体的各侧棱,一球过 正方体的各顶点,求这三个球的体积 之比.
变题：
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 求长方体的外接球的体积。 2. 已知球O的表面上 有P、A、B、C四点， 且PA、PB、PC两两 互相垂直，若 PA=PB=PC=a，求这 个球的表面积和体积。
正方体的内切球
中截面
正方体的内切球的半径是棱长的一半
正方体的外接球
D
A D1 A1 B1 O B
C
对角面
A
C
C1
A1
O
C1
正方体的外接球半径是体对 角线的一半
正方体的棱切球
D A B
C
正方体的棱切球
中截面
O D1 C1
.
A1
正方体的棱切球半径是面对角 线长的一半
B1
球与正方体的“接切”问题
、 5、1 ， 3
A O C P B
【典例】(2012·新课标全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边
长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，
则此棱锥的体积为( A ) (A)
2 6
(B)3 6(C)2 3(D)2 2
2.(2013·昆明模拟)一个几何体的 三视图如图所示，它们都是腰长为 1的等腰直角三角形，则该几何体 的外接球的体积等于( B ) (A) 2 2 (C)π (B) 3 (D)2π
二、球与多面体的接、切
S球面 4 R
2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
最新高中数学：球的内切-外接问题
图1 处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。
作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。
解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。
一、棱锥的内切、外接球问题例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径43h ，从而可以通过截面图中OBE Rt ∆建立棱长与半径之间的关系。
例2．设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥，如果AMD ∆的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.（满足条件的球最大半径为12-.）练习：一个正四面体内切球的表面积为π3，求正四面体的棱长。
（答案为：2）【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。
二、球与棱柱的组合体问题1． 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a ，球半径为R 。
如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2a R =； 2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
图3 图4 图 53． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
例3.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.练习：一棱长为a 2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。
球的内切、外接问题(优秀经典专题及答案详解)
积为 16，则这个球的表面积是( )
A．16π
B． 20π
C． 24π
D．32π
8 答案及解析： 答案：C 解析：由题意知正四棱柱的底面积为 4，所以正四棱柱的底面边长为 2，正四棱柱的底面对 角线长为 2 2 ,正四棱柱的对角线为 2 6 而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R 2 6 所
以 R 6 ,所以 S球 4πR2 24π .
时， f（' t） 0 ， （f t）单调递减，所以当 t 6 时， （f t）最大，即长方体的体积最大，此时
a 2 3，V 12 3 ，故选 A.
球的直径等于正方体的棱长 2，
则球的半径 R=1，
则球的体积V 4 π R3 4π
3
3
故选 A.
6、平面四边形 ABCD 中, AB AD CD 1, BD 2, BD CD ,将其沿对角线 BD 折成四面体 A' BCD ,使平面 A'BD 平面 BCD ,若四面体 A' BCD 顶点在同一个球面上,则该球的体积 为( )
接圆的半径为 3 ∵△ABC 和△DBC 所在平面相互垂直，
∴球心在 BC 边的高上，
设球心到平面 ABC 的距离为 h,则 h2 3 R2 ( 3 2 3 h)2 2
∴h=1，R=2，∴球 O 体积为 4 π 23 32 π 故选：D
3
3
2、三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为 3, 2,1 ,则该三棱锥的外接球的表面积( )
2
∴ OA2 OA2 OO2 ,即 R2 3 2 3 R2 ,解得 R 2 故选：D
5、将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A． 4π 3
立体几何中球内切和外接问题(完美版)
例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 。求棱锥的 全面积和它的内切球的表面积。
解法2： 设球的半径为 r，则 VA- BCD =
A
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
1 3
2
V A BCD
3
2 4
6
1
O
D
1
3 r S全 3 2 2 3 r
例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面
积和它的内切球的表面积。
A
解法1： 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
1
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
O
FD
B
O1
E
C 作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
A. 6 B. 2
C. 3
D．2
一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内．接．于．
半径为 3 的球，则该棱柱体积的最大值为（ ）
A． 2 3 3
B． 3 3
C． 3 3 2
D． 6 3
正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2 ， MN 是它的内切球的一条弦 （我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦）， P 为正方体表面上
27
B． 6
2
C． 6
8
D． 6
24
4
举一反三-突破提升
已知三棱锥 S—ABC 的三条侧棱两两垂直， 且 SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为( )
A．36
1.3.2球的内切和外接问题(上课稿)
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
球的内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 当正多面体是规则的，那么的半径 与该多面体的边长有什么关系？
1、球内有一个内接正方体，正方体的边长为2 ，求球的表 面积和体积。
温故知新
球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？
r
.aຫໍສະໝຸດ 球内接正方体一、 球体的体积与表面积
4 3 ① V球 R 3
二、球与多面体的接、切
②
S 球 面 4 R
2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。
球的性质
2．球的性质
问题：在圆中，圆心与弦的中点的连线与弦的位置关系 是垂直．那么在球中，球心与截面圆心的连线与截面的位置 关系是什么呢？ 性质1：球心和截面圆心的连 线垂直于截面．
r R d
2
2
• 一个半径为10cm的球被距离它球心5cm 的平面截得的圆的面积是多少？
例题分析
例2．过球半径的中点，作一垂直于这个半径的截面， 截面积为 48cm2，求球的半径．
长方体的一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5， 且它的八个顶点都在一个球面上，则这个球的表 面积是多少 ？ ？球的半径与长方体有什么关系
微专题-与球有关的内切、外接问题--高一数学-(-必修第二册)
(2)三棱锥 A－BCD，侧棱长为 2 5，底面是边长为 2 3的等边三角形， 125
则该三棱锥外接球的体积为____6__π__.
解析 如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面BCD的中心且AO垂直 于底面BCD，O′在线段AO上，O′为外接球球心， 令 O′A＝O′D＝R，OD＝23DE＝23×2 3× 23＝2，AD＝2 5， ∴AO＝ AD2－OD2＝4，∴OO′＝4－R， 又OO′2＋OD2＝O′D2， ∴(4－R)2＋4＝R2，解得 R＝52， ∴V 球＝43πR3＝1265π.
解析 如图所示，O为△BCD的中心，且AO垂直于底面BCD，E为BC的
中点，
∵底面边长为2，
∴DE＝ 3，OD＝233，OE＝ 33，
∴AE＝ AO2＋OE2＝
1＋
332＝23 3，
S△ABC＝12×2×233＝233，S△BCD＝ 3，
S 表＝3S△ABC＋S△BCD＝2 3＋ 3＝3 3，
a 切球半径为__2__.
解析 设该正方体的外接球半径为R，内切球半径为r， 正方体的体对角线长即为外接球直径，棱长即为内切球的直径， 即 2R＝ 3a,2r＝a，
∴R＝ 23a，r＝a2.
(2)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的
顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 9 ，底面周长为3，则这个
反思 感悟
一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方 体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球 的半径为 R，则有 2R＝ a2＋b2＋c2.
三、寻求轴截面圆半径法
例 3 (1)正四棱锥 S－ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2，点 S，A，B， 4π
球的内切和外接问题讲解
1
O B O1 C
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
F D
E
作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 。求棱锥的 全面积和它的内切球的表面积。
图3
图4 图5
甲球为内切球直径=正方体棱长
设为1
S甲 4 R12 =
D A B
C
中截面
O D1 C1
.
S乙 4 R2 =2
2
A1 球内切于正方体的棱
B1
正方形的对角线等于球的直径=
球外接于正方体
D A O D1 A1
C 对角面
B
A
C
2R 3
O
C1
A1
2
C1
B1
设为1
若正方体的棱长为a，则 ⑴正方体的内切球直径＝ a ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
图3
图4 图5
长方体的外接球的球心是体对角线的 交点，半径是体对角线的一半
• 设长方体的长、宽、高分别为a、b 、c 则对角线长为
2 2 2 √a +b +c
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A ) A. 1:2:3 B. 1: 2: 3 C. 1: 3 4: 3 9 D. 1: 8: 27
球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？
r
.
a
一、 球体的体积与表面积
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C 球内切于正方体的棱
B
中截面
O
.
C1
A1
B1
正方形的对角线等于球的直径。
S乙 4 R22 =2
球外接于正方体
D
C
对角面 A
C
A
B
2R 3
设为1 gO
O
D1
C1
A1
A1
B1
2
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。 S丙 4 R32 =3
§1.3.2球的体积和表面积
② S球面 4 R2
图3
图4
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球图面5 上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个 多面体的外接球 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个 多面体的内切球 。
棱切： 一个几何体各个面分别与另一个几 何体各条棱相切。
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去 截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心
A
例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体 积，表面积．
∴ ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外
接圆的半径就是外接球的半径.
在 ASC中，由 SA SC 2, AC 2,得SA2 SC2 AC2.
A SC是以A C为斜边的R t.
AC 1 是外接圆的半径，也是外
接球的半径.故
2
V球
4
3
球的表面积与体积
正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上，则该球的体积为________．
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
O
OO R , ABC是正三角形，
2
C
OA 2 3 AB 2 3 r
A
O
32
3
B
例5、 求棱长为 a 的正四面体 A-BCD的外接球的表面积。
变式题：1、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一 球面上，则此球的表面积为（ A）
O1 D
R
6 a R 3
3a
3a
2
6
R 6 a 4
E
3 a
6
S表
3 2
a2
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
在 Rt △ AO1E 中
sin 3 cos 6
1
O •θ
3
3
tan 1 cos 2 sin
S'h S S'
V 1 h[S (S S' )
S' ] 1 [S SS' S' ]h
3
S S' 3
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S' S V 1(S'
S'S S )h
S' 0
1
V Sh
3
3
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺 帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3）， 已知螺帽的底面是正六边形，边长为 12mm，内孔直径为10mm，，高为10mm， 问这堆螺帽大约有多少个？
安徽省含山县林头中学
探究 若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a
r1
a 2
a
r2
2a 2
a
3 r3 2 a
例3 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积
解法1： 过侧棱 PA 和球心 O 作截面α
则α截球得大圆，截正四面体得△PAD，如图所示,
连 AO 延长交 PD 于 G
6a 3
P
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
3
∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
A
a 2
•O G
∵AB＝BC＝a，∴AC＝ 2a. ∵SA＝SC＝AC＝ 2a， ∴△SAC 为正三角形．
∴R＝23SO＝23× 23× 2ª
＝
6 3 a.
因此 R＝ 36a.
(2)设内切球的半径为 r，作 SE⊥底面于 E，作
SF⊥BC 于 F，
则有 SF＝ SB2－BF2＝
(
2a)2－a22 ＝
求此棱柱挖去圆 柱后的体积和表 面积
球的体积、表面积的计算公式
定理: 半径是R的球的体积
V 4 R3 3
定理: 半径是R的球的表面积
A
RO C
B
S 4R2
球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？
.r
a
正方体的外接球
一、 球体的体积与表面积
二、球与①多V面球体的43接、R切3
P
根据台体的特征，如何求台体的体积？A
D
圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
S
C
B
V 1 (S' S'S S )h
h
D
3
V
V大
V小
1 3
S(h
x)
1 3
S'x
A
S
C
1 [Sh (S S' )x] 3
B
S'
x2
S
(h
x)2
S' x x S h x
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 D
B. 1: 2: 3
C
C. 1:3 4:3 9
D. 1: 8: 27
A D1
A1
Байду номын сангаас
B
中截面
O
C1 设为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲 4 R12 =
D A
A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
A B
A B
O
O
D C 求正多面体外接球的半径
D C
求正方体外接球的半径
五、构造直角三角形 1、求棱长为a的正四面体外接球 的体积．
2、求棱长为a的正四面体内切球的体积
A
O•
D
B
C
图1
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
42－ 12
6 a.
(12 分)正三棱锥的高为 1，底 面边长为 2 6，内有一个球 与它的四个面都相切(如 图)．求： (1)这个正三棱锥的全面积； (2)这个正三棱锥内切球的表 面积与体积．
• 【思路点拨】 (1)利用特征三角形求 斜高即可；
• (2)抓住球心到正三棱锥四个面的距离 相等求球的半径．
3
3 2
B
O1 E 在 Rt △ OO1E 中 OO1 6 2
2 S球 8 5 2 6
＝ SA2－AM2＝ 2－1＝1，
在 Rt△AOM 中 AO2＝OM2＋AM2，即
R2＝1＋(R－1)2，解得 R＝1，
∴球的体积为43πR3＝43π. 【答案】
4 3π
[教师选讲]已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a. (1)求它的外接球半径； (2)求它的内切球半径．
【解析】 如图．(1)设外接球的半径为 R，球心为 O，则 OA＝OC＝OS，所以 O 为△SAC 的外心，即△SAC 的外接圆的 半径就是球的半径．
∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为2 6 。求棱锥的
全面积和它的内切球的表面积。
解法2： 设球的半径为 r，则 VA- BCD =
A
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
VABCD
1 3
3 2
4
2
6 1
2 3
六、寻求轴截面圆半径法
正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长
都为 2 ，点S,A,B,C,D都在同一球面上，
S
则此球的体积为 .
D
C
解
设正四棱锥的底面中心为 O1 ，外接球的球
O1 A 图3 B
心为O，如图3所示.∴由球的截面的性质， 2
可得 OO1 平面ABCD
又 SO1 平面ABCD，∴球心O必在 SO所1 在的直线上.
7 2
aS，△SBC＝12BC·SF＝12a·27a＝ 47a2，
S 棱锥全＝4S△SBC＋S 底＝( 7＋1)a2.
又 SE＝ SF2－EF2＝
27a2－a22＝
26a，
∴V 棱锥＝13Sh＝13a2·26a＝ 66a3.
根据13r·S 全＝V 棱锥，有
r＝3VS全棱锥＝(3×7＋661a)a33＝