必修二：球的内切和外接 例题讲解精编版

O•
D

1 3
r
S全

3
22
3 r
B
C r 6 2 S球 8 5 2 6
1 注意：①割补法，② V多 面 体 3 S全 r内 切 球
探究(2)：如图是一个简单组合体的三视图， 想象它表示的组合体的结构特征，尝试画出它 的示意图。
正视图
侧视图
S'h S S'
V 1 h[S (S S' )
S' ] 1 [S SS' S' ]h
3
S S' 3
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S' S V 1(S'
S'S S )h
S' 0
1
V Sh
3
3
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺 帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3）， 已知螺帽的底面是正六边形，边长为 12mm，内孔直径为10mm，，高为10mm， 问这堆螺帽大约有多少个？
7 2
aS，△SBC＝12BC·SF＝12a·27a＝ 47a2，
S 棱锥全＝4S△SBC＋S 底＝( 7＋1)a2.
又 SE＝ SF2－EF2＝

27a2－a22＝
26a，
∴V 棱锥＝13Sh＝13a2·26a＝ 66a3.
根据13r·S 全＝V 棱锥，有
r＝3VS全棱锥＝(3×7＋661a)a33＝
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
O
OO R , ABC是正三角形，
2
C
OA 2 3 AB 2 3 r
A
O
32
3
B
例5、 求棱长为 a 的正四面体 A-BCD的外接球的表面积。
变式题：1、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一 球面上，则此球的表面积为（ A）
∵AB＝BC＝a，∴AC＝ 2a. ∵SA＝SC＝AC＝ 2a， ∴△SAC 为正三角形．
∴R＝23SO＝23× 23× 2ª
＝
6 3 a.
因此 R＝ 36a.
(2)设内切球的半径为 r，作 SE⊥底面于 E，作
SF⊥BC 于 F，
则有 SF＝ SB2－BF2＝
(
2a)2－a22 ＝
O1 D

R
6 a R 3
3a
3a
2
6
R 6 a 4
E
3 a
6
S表

3 2
a2
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
在 Rt △ AO1E 中
sin 3 cos 6
1
O •θ
3
3
tan 1 cos 2 sin
＝ SA2－AM2＝ 2－1＝1，
在 Rt△AOM 中 AO2＝OM2＋AM2，即
R2＝1＋(R－1)2，解得 R＝1，
∴球的体积为43πR3＝43π. 【答案】
4 3π
[教师选讲]已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a. (1)求它的外接球半径； (2)求它的内切球半径．
【解析】 如图．(1)设外接球的半径为 R，球心为 O，则 OA＝OC＝OS，所以 O 为△SAC 的外心，即△SAC 的外接圆的 半径就是球的半径．
又 VP—ABC＝13×12× 23(2 6)2×1＝2 3， ∴(3 2＋2 3)r＝2 3，
得
r＝3
23 2＋2
＝2 3
3(3 2－2 18－12
3)＝
6－2.8
分
∴S 内切球＝4π( 6－2)2＝(40－16 6)π.10 分
V 内切球＝43π( 6－2)3＝83(9 6－22)π.12 分
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 D
B. 1: 2: 3
C
C. 1:3 4:3 9
D. 1: 8: 27
A D1
A1
B
中截面
O

C1 设为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲 4 R12 =
D A
P
根据台体的特征，如何求台体的体积？A
D
圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
S
C
B
V 1 (S' S'S S )h
h
D
3
V
V大
V小

1 3
S(h
x)
1 3
S'x
A
S
C
1 [Sh (S S' )x] 3
B
S'
x2
S
(h
x)2

S' x x S h x
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• 【思路点拨】 根据球截面性质找出 球半径与截面圆半径和球心到截面距 离的关系，求出球半径．
【解析】 如图所示，AB＝BC＝CD＝
DA＝SA＝SB＝SC＝SD＝ 2，
O 为球心，球的半径为 R，
SO⊥平面 ABCD 于 M 点，
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴BD⊥AC，DM＝AM
＝
2 2·
2＝1，SM
3
3 2
B
O1 E 在 Rt △ OO1E 中 OO1 6 2
2 S球 8 5 2 6
求此棱柱挖去圆 柱后的体积和表 面积
球的体积、表面积的计算公式
定理: 半径是R的球的体积
V 4 R3 3
定理: 半径是R的球的表面积
A
RO C
B
S 4R2
球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？
.r
a
正方体的外接球
一、 球体的体积与表面积
二、球与①多V面球体的43接、R切3
∴ ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外
接圆的半径就是外接球的半径.
在 ASC中，由 SA SC 2, AC 2,得SA2 SC2 AC2.
A SC是以A C为斜边的R t.
AC 1 是外接圆的半径，也是外
接球的半径.故
2
V球

4
3
球的表面积与体积
正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上，则该球的体积为________．
【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外
接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，
即内切球的半径为
h 4
(h 为正四面体的高)，且外接球的
半径
3h 4
，从而可以通过截面图中RtOBE建立棱长与半径之
间的关系。
(1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心．
(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”．
D1
C 球内切于正方体的棱
B
中截面
O

.
C1
A1
B1
正方形的对角线等于球的直径。
S乙 4 R22 =2
球外接于正方体
D
C
对角面 A
C
A
B

2R 3
设为1 gO
O
D1
C1
A1
A1
B1
2
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。 S丙 4 R32 =3
§1.3.2球的体积和表面积
42－ 12
6 a.
(12 分)正三棱锥的高为 1，底 面边长为 2 6，内有一个球 与它的四个面都相切(如 图)．求： (1)这个正三棱锥的全面积； (2)这个正三棱锥内切球的表 面积与体积．
• 【思路点拨】 (1)利用特征三角形求 斜高即可；
• (2)抓住球心到正三棱锥四个面的距离 相等求球的半径．
六、寻求轴截面圆半径法
正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长
都为 2 ，点S,A,B,C,D都在同一球面上，
S
则此球的体积为 .
D
C
解
设正四棱锥的底面中心为 O1 ，外接球的球
O1 A 图3 B
心为O，如图3所示.∴由球的截面的性质， 2
可得 OO1 平面ABCD
又 SO1 平面ABCD，∴球心O必在 SO所1 在的直线上.
安徽省含山县林头中学
探究 若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a
r1

a 2
a
r2
2a 2
a
3 r3 2 a
② S球面 4 R2
图3
图4
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球图面5 上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个 多面体的外接球 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个 多面体的内切球 。
棱切： 一个几何体各个面分别与另一个几 何体各条棱相切。
(3)正V多四面 体S表内•切R球内半切 径• 1是3 高的
1 ，外接球半径是高的
4
.3
4
(4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)．
思考：若正四面体变成正三棱 锥，方法是否有变化？
四面体与球的“接切”问题
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
A B
A B
O
O
D C 求正多面体外接球的半径
D C
求正方体外接球的半径
五、构造直角三角形 1、求棱长为a的正四面体外接球 的体积．
2、求棱长为a的正四面体内切球的体积
A
O•
D
B
C
图1
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥
的全面积和它的内切球的表面积。
A 解法1 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 ) ： 在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
1
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
O
FD
B
O1
E
C 作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r
【规范解答】 (1)底面正三角形内中心到一边 的距离为
13× 23×2 6＝ 2， 则正棱锥侧面积的斜高为 12＋( 2)2＝ 3.2 分 ∴S 侧＝3×12×2 6× 3＝9 2.4 分
∴S 全＝S 侧＋S 底＝9 2＋12× 23×(2 6)2 ＝9 2＋6 3.6 分
(2)设正三棱锥 P—ABC 的内切球球心为 O，连 结 OP、OA、OB、OC，而 O 点到三棱锥的四 个面的距离都为球的半径 r. ∴VP—ABC ＝ VO—PAB ＋ VO—PBC ＋ VO—PAC ＋ VO—ABC ＝13S 侧·r＋13S△ABC·r ＝13S 全·r＝(3 2＋2 3)r.
∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为2 6 。求棱锥的
全面积和它的内切球的表面积。
解法2： 设球的半径为 r，则 VA- BCD =
A
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
VABCD

1 3

3 2
4
2
6 1
2 3
例3 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积
解法1： 过侧棱 PA 和球心 O 作截面α
则α截球得大圆，截正四面体得△PAD，如图所示,
连 AO 延长交 PD 于 G
6a 3
P
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
3
∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
A
a 2
•O G
俯 视 图
思考3:怎样画底面是正三角形，且顶点 在底面上的投影是底面中心的三棱锥？
C
A
B
zS
y C
M
A
o
Bx
S
C
A
B
例2．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个 圆锥，并且两底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为 4cm，圆锥的高为3cm，画出此几何体的直观图.
·Z
y
O
x
Oy
x
练习4:已知一四边形ABCD的水平放 置的直观图是一个边长为2的正方形， 请画出这个图形的真实图形。
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去 截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心
A
例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体 积，表面积．