第6章 状态变量分析法

b11 b 21 bn1
b12 b22 bn 2
b1m b2 m bnm
y1 (k ) y2 ( k ) yr ( k )
x(k 1) Ax(k ) Bf (k )
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A ：系统矩阵 C ：输出矩阵
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连续系统状态方程的一般形式(2) 连续系统的输出方程是状态变量的代数方程 组
P322：式6 1 8 y1 (t ) w1 x1 (t )，x2 (t )， xn (t )，f1 (t )，f 2 (t )， f m (t ) y2 (t ) w2 x1 (t )，x2 (t )， xn (t )，f1 (t )，f 2 (t )， f m (t ) yr (t ) wr x1 (t )，x2 (t )， xn (t )，f1 (t )，f 2 (t )， f m (t )
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x Ax Bf b1m y Cx Df b2 m bnm A ：系统矩阵 d1m B ：控制矩阵 d2m C ：输出矩阵 D ：系数矩阵 d rm
信号与系统 (Signals & systems)
第6章
第6章 状态变量分析法 输入—输出描述法（端口分析法/外部法）
强调用系统的输入、输出变量之间的关系来 描述系统的特性。一旦系统的数学模型建立以后， 就不再关心系统内部的情况，而只考虑系统的时 间特性和频率特性对输出物理量的影响。这种分 析法对于信号与系统基本理论的掌握，对于较为 简单系统的分析是适合的。其相应的数学模型是 n 阶微分或差分方程。
线性时不变系统：状态方程和输出方程均为状 态变量和输入信号的线性组合。
P322：式6 1 7 x1 (t ) a11 x1 (t ) a12 x2 (t ) a1n xn (t ) b11 f1 (t ) b12 f 2 (t ) b1m f m (t ) x 2 (t ) a21 x1 (t ) a22 x2 (t ) a2 n xn (t ) b21 f1 (t ) b22 f 2 (t ) b2 m f m (t ) x n (t ) an1 x1 (t ) an 2 x2 (t ) ann xn (t ) bn1 f1 (t ) bn 2 f 2 (t ) bnm f m (t ) P322：式6 1 8 y1 (t ) c11 x1 (t ) c12 x2 (t ) c1n xn (t ) d11 f1 (t ) d12 f 2 (t ) d1m f m (t ) y2 (t ) c21 x1 (t ) c22 x2 (t ) c2 n xn (t ) d 21 f1 (t ) d 22 f 2 (t ) d 2 m f m (t ) yr (t ) cr1 x1 (t ) cr 2 x2 (t ) crn xn (t ) d r1 f1 (t ) d r 2 f 2 (t ) d rm f m (t )
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连续系统状态方程的一般形式(1) 连续系统的状态方程是状态变量的一阶微分 方程组
P322：式6 1 7 x1 (t ) g1 x1 (t )，x2 (t )， xn (t )，f1 (t )，f 2 (t )， f m (t ) x 2 (t ) g 2 x1 (t )，x2 (t )， xn (t )，f1 (t )，f 2 (t )， f m (t )
连续系统状态方程的一般形式(5) 状态模型方框图（P323）
x Ax Bf y Cx Df
Dt
et
Bt


A t
λ t
Ct

r t
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离散系统状态方程的一般形式(1)
线性时不变离散系统的状态方程是状态变量和输入序列的一 阶线性常系数差分方程组
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第6章 状态变量分析法 状态与状态空间 连续系统状态方程的建立
连续系统状态方程的解
离散系统状态变量分析
系统的可控制性和可观测性
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6.1 状态、状态变量与动态方程(1)
状态—状态可理解为事物的某种特性。状态发生变化意味着事物 有了发展和改变，所以，状态是研究事物的一类依据。系 统的状态就是系统的过去、现在和将来的状况。从本质上 说，系统的状态是指系统的储能状况。 状态变量—用来描述系统状态的数目最少的一组变量。显然，状 态变量实质上反映了系统内部储能状态的变化。状态变量 通常用x1 (t ) 、x2 (t ) 、 、xn (t )来表示。起始时刻t t0时的 一组取值x1 (t0 ) 、x2 (t0 ) 、 、xn (t0 )表示了系统在t t0时的 状态，称为初始状态，它反映了t t0以前系统的工作情况 ，并以储能的方式表现出来的结果。而t t0时输入和初始 状态一旦确定，这组状态变量便可以完全惟一的确定系统 t t0 任意时刻的运动状态，从而确定t t0时系统的响应。 上述所谓“完全”表示反映了系统的全部状况，“最少”表 示确定系统的状态没有多余的信息。
x1 (k 1) a11 x1 (k ) a12 x2 (k ) a1n xn (k ) b11 f1 (k ) b12 f 2 (k ) b1m f m (k ) x2 (k 1) a21 x1 (k ) a22 x2 (k ) a2 n xn (k ) b21 f1 (k ) b22 f 2 (k ) b2 m f m (k ) xn (k 1) an1 x1 (k ) an 2 x2 (k ) ann xn (k ) bn1 f1 (k ) bn 2 f 2 (k ) bnm f m (k )
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状态与状态空间(2)
状态矢量—能够完全描述一个系统行为的n个状态变量，可以看成 一个矢量x(t )的各个分量的坐标，此时矢量x(t )称为状 态矢量，并可写成矩阵的形式 x1 (t ) x (t ) x(t ) 2 或 x(t ) x1 (t ) ，x2 (t ) ， ，xn (t ) x (t ) n 状态空间—状态矢量所在的空间称为状态空间。状态矢量所包含 的状态变量的个数就是状态空间的维数，也称系统的 复杂度阶数，简称系统的阶数。 状态轨迹—在状态空间中，系统在任意时刻的状态都可以用状态 空间中的一点（端点）来表示。状态矢量的端点随时 间变化而描述的路径，称为状态轨迹。
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状态与状态空间(3) 状态变量分析法的一般步骤
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分 析法。当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时， 一般分两步进行： 一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特 性的方程，一般是一阶微分（或差分）方程组，它建立了 状态变量与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与 激励、状态变量关系的输出方程，一般是一组代数方程； 二是利用系统的初始条件求取状态方程和输出方程的 解。
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x n (t ) g n x1 (t )，x2 (t )， xn (t )，f1 (t )，f 2 (t )， f m (t )
其中：x1 (t ) ，x2 (t ) ， ，n (t ) 为系统的 n 个状态变量； x dxi (t ) xi (t ) (i 1, 2, n)是状态变量的一阶导数； dt f1 (t ) ，f 2 (t ) ， ，f m (t ) 为系统的 m 个输入信号；
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第6章 状态变量分析法 状态变量描述法（内部法）
随着系统的复杂化，往往要遇到非线性、 时变、多输入、多输出系统的情况。此外，在许 多情况下在研究其外部特性的同时，还需要研究 与系统内部有关的问题，如复杂系统的稳定性分 析、最佳控制、最优设计等等。这时，就需要采 用以系统内部变量为基础的状态变量描述法（这 是一种内部法）。它用状态变量描述系统内部变 量的特性，并通过状态变量将系统的输入和输出 变量联系起来，用于描述系统的外部特性。
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第6章 状态变量分析法 状态变量描述法的主要优点
（1）可以有效地提供系统内部的信息，使人们 较为容易地处理那些与系统内部情况有关的分析、 设计问题； （2）不仅适用于线性时不变系统的单输入—单 输出系统特性的描述，也适用于非线性、时变、 多输入、多输出系统特性的描述； （3）便于应用计算机技术解决复杂系统的分析计 算。
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状态与状态空间(4) 动态独立变量（系统复杂度的阶数n）
最习惯选取的状态是电 感的电流和电容的电压，因 为它们直接与系统的储能状 态相联系。
n bLC nC nL
bLC ：电路中储能元件的个数 nC ：仅有电容（或电压源）组成的独立回路（/全电容回路）的总数 nL ：仅有电感（或电流源）组成的独立割集（/全电感割集）的总数
其中：x1 (t ) ，x2 (t ) ， ，xn (t ) 为系统的 n 个状态变量； f1 (t ) ，f 2 (t ) ， ，f m (t ) 为系统的 m 个输入信号； y1 (t ) ，y2 (t ) ， ，yr (t ) 为系统的 r 个输出信号；
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连续系统状态方程的一般形式(3)
a x1 (k 1) 11 x2 (k 1) a21 xn (k 1) an1