第四章正态分布与中心极限定理.

t t dt

2
1 2

e


t e
2 t 2 2
dt
1 t te 2
2
1 2


t 2 2

dt 1.
8
正态分布
—期望与方差
设X N , 2 , 则E X , D X 2 . 事实上，随机变量Z X N 0,1 , 所以 E Z 0, D Z 1. 由 X Z,得 E X E Z , D X D Z 2D Z 2.
e
t2 2
dt ,
x .
性质 x 1 x , x R.
6
正态分布与标准正态分布的关系
定理1 若X ~ N ( , )，则Z
2
X
证
Z X 的分布函数为
( t )2 2 2

~ N (0,1).
z 2 z1 2 .
同理可证：z 2 z1 2 .
12
正态分布 —有关概率的计算问题
若X N , 2 , 则 X x x (1) F x P X x P .
(2) z1 z ,
事实上， z1 P X z1 1 P X z1 , 又因为， z 1 z 1 P X z P X z . 由 x 的单调性知：z1 z .
7
标准正态分布 —期望与方差
设X N 0,1 , 则E X 0, D X 1. 因为 E Z t t dt

1 2
2



te
t 2 2
1 t 2 2 dt e 2

0,

DZ E Z
2


o

x
4
正态分布
分布函数 F ( x)
F ( x)
1
—分Fra Baidu bibliotek函数
1 2

x

e

( t )2 2 2
dt , x R.
0 .5
o

x
5
标准正态分布 —N(0,1)
密度函数
x
分布函数 x
1 2
e
x2 2
,
x .
1 2

x

9
标准正态分布 —上α分位点 设X N 0,1 . 对于给定的数(0 1),
称满足条件 P X z x dx
z
的点z 为标准正态分布的上 分位点.
常用的分位点
α
0.001 0.005
0.01 0.025 0.05
0.10
z
14
1 1 1 0.8413 0.1587.
(2) P X 500 200 1 P X 500 200 1 P 200 X 500 200 200 X 500 200 1 P 60 60 60 200 200 1 60 60
P{Z x} P X x P{ X x} 1 2

x

e

dt , 1 2
令 t u，得 P{Z x} 由此可知Z X ~ N (0,1).

x

e
u2 2
du ( x),
x (2) f x F x . 1
(3)对任意的区间(x1 , x2 ]
x x1 x2 x X 2 1 P ， P x1 X x2
则称X 服从参数为，的正态分布，或高斯 (Gauss)分布. 记为 X N ( , ).
2
3
正态分布
f ( x)
—密度函数图
性质(1)曲线关于x=对称.
(2)当x=时取到最大值. (3)固定,改变，曲线 沿Ox轴平移；固定,改变, 曲线变得越尖，因而X落在 附近的概率越大.
13
例1
某种器件的寿命X (以小时计)服从 500，
60的正态分布.
(1)求P X 560 , (2)求P X 500 200 , (3)若P X x 0.1, 求x. 解 (1) P X 560 1 P X 560
X 500 560 500 1 P 60 60 560 500 1 60
3.090 2.576 2.326 1.960 1.645 1.282
10
标准正态分布 —上α 分位点
0.4 0.3 0.2 0.1
0.4 0.3 0.2 0.1

1
/2 -z/2
-2 -1
/2
1 2 z/ 2
-2
-1
z 2
11
标准正态分布 —上α分位点的性质 （） 1 z 1 .
第四章 正态分布与中心极限定理
正态分布
中心极限定理
1
4.1 正态分布
正态分布的密度与分布函数 期望与方差 标准正态分布的上分位点 正态随机变量的线性组合
2
正态分布
—密度函数
若连续型随机变量X 的概率密度函数为
1 2 2 f ( x) e , x , 2 其中， ( 0)为常数. ( x )2