第十章 卡方检验

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第一节 卡方(χ2)及其分布
χ2分布的特点： 第一，χ2分布呈正偏态，右侧无限伸延，但永不与基线相交。 第二，χ2分布随自由度的变化而形成一簇分布形态。 所谓自由度——是指实际频数与理论频数差数中，能够独立 变化的个数。 本例实际频数与理论频数的差数有2个，因为受到∑(f0-ft)=0 因子的限制，其中只有一个可以独立变化，则自由度df=1。
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
二、一个自由度的χ2检验 2、某组理论频数ft<5的情况 当df=1，其中只要有一个组的ft<5，就要用亚茨（Yates） 连续性校正法，即

2
f
0
f t 0.5 ft
2
连续性校正的必要性： ——因为点计数据求得的χ2值是间断数列，当df=1， ft<5时，间断性尤为明显。而χ2值表上的理论值是用 连续量表示的，其χ2分布是一条连续的光滑曲线。
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第一节 卡方(χ2)及其分布
与测量数据的假设检验不同： 第一，测量数据的假设检验，其数据属于连续变量， 而卡方检验的数据属于点计而来的间断变量。
第二，测量数据所来自的总体要求呈正态分布， 而卡方检验的数据所来自的总体分布是未知的。
第三，测量数据的假设检验是对总体参数或几个总体参数之 差所进行的假设检验； 而卡方检验在多数情况下不是对总体参数的检验，而是对总 体分布的假设检验。卡方检验属于自由分布的非参数检验。
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
二、一个自由度的χ2检验 2、某组理论频数ft<5的情况 检验的步骤： （2）计算χ2值
表10.5 检验某中学共青团员比率是否与全区一样的χ2值计算表
f0
团员 12
ft
16
|f0-ft|
4
|f0-ft|-0.5
3.5 3.5
(|f0-ft|-0.5)2
12.25
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
二、一个自由度的χ2检验 检验的步骤： 2 f f （2）计算χ2值 2 0 t 本例df=1，两组的理论频数均为ft=38>5。 ft
表10.4 喜欢与不喜欢体育人数的χ2值计算表
f0
ft
f0-ft (f0-ft)2
(f0-ft)2/ ft
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第一节 卡方(χ2)及其分布
二、卡方（χ2）检验的统计量 卡方（χ2）检验统计量的基本形式为：

2
f 0 ft
ft
2
f0——实际频数 ft——理论频数
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第一节 卡方(χ2)及其分布
二、卡方（χ2）检验的统计量 例如： 从某校随机抽取50个学生，其中男生27人，女生23人，问 该校男女生人数是否相同？
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
三、频数分布正态性的χ2检验 检验的步骤： （2）计算χ2值 在计算实际频数与理论频数差数之前，两端若有任何一组的 理论频数小于5，就要进行校正。即把ft<5这组的理论频 数与相邻组的理论频数合并，直至大于5 为止。然后将相 应组的实际频数也进行合并。 2 根据 求χ2=5.202
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
检验的步骤： （3）统计决断
表10.3 χ2检验统计决断规则 χ2值与临界值的比较 χ2＜χ2(df)0.05 χ2(df)0.05≤χ2＜χ2(df)0.01 χ2≥χ2(df)0.01 P值 P＞0.05 0.01＜ P≤0.05 P≤0.01 检验结果 保留H0而拒绝H1 在0.05显著性水平 上拒绝H0接受H1 在0.01显著性水平 上拒绝H0接受H1 显著性 不显著 显著(﹡) 极其显著 (﹡﹡)
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第一节 卡方(χ2)及其分布
比率和比率之差的假设检验，是对二项分布数据的假设检验。 ——处理一个因素分成两类， ——或者两个因素，每个因素都分为两类的资料。 ——最多只能同时比较两组比率的差异。 卡方（χ2）检验 ——可同时处理一个因素分为多种类别， ——或多种因素各有多种类别的资料。 ——凡是可以应用比率进行检验的资料，都可以应用卡方 （χ2）检验。
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
三、频数分布正态性的χ2检验 例如： 120个11岁男生身高的频数分布如表，问其总体是否呈正态 分布？（平均数X=139.9，标准差σX=7.5）
检验的步骤： （1）提出假设 H0：样本所属的总体呈正态分布 H1：样本所属的总体不呈正态分布
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
检验的步骤： （3）统计决断 首先决定自由度。 单向表χ2的自由度一般等于组数减1，即df=K-1。 然后根据df=K-1=3-1=2，查χ2值表，χ2(2)0.05=5.99， 由于χ2=1.22<5.99=χ2(2)0.05，则P>0.05， 按照表10.3χ2检验统计决断的规则，应保留H0而拒绝H1。 其结论为：该校老年教师的健康状况，好、中、差人数比率 为1:2:1。
自由度越小，χ2分布偏斜度越大；自由度越大，分布形态越 趋于对称。
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第一节 卡方(χ2)及其分布
χ2分布的特点：
自由度越小，χ2分布偏斜度越大； 自由度越大，分布形态越趋于对称。
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
单向表 ——把实得的点计数据按一种分类标准制成表就是单向表。 单向表（因素）的χ2检验 ——对于单向表的数据所进行的χ2检验就是单向表（因素） 的χ2检验。
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第一节 卡方(χ2)及其分布
三、χ2值的抽样分布 用上例说明χ2的抽样分布。 ——如果将上述所抽取的50个学生还回总体之中， ——再从中随机抽取50个学生，又可以计算出一个样本χ2值。 ——这样反复抽下去，就会有一切可能个样本χ2值。 ——这一切可能个样本χ2值的频数分布，就形成一个实验性 的χ2的抽样分布。
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
二、一个自由度的χ2检验 1、各组理论频数ft≥5的情况 例如： 从小学生中随机抽取76人，其中50人喜欢体育，26人不喜 欢体育，问该校学生喜欢和不喜欢体育的人数是否相等？ 检验的步骤： （1）提出假设 H0：喜欢与不喜欢体育的人数相等 H1：喜欢与不喜欢体育的人数不相等
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第一节 卡方(χ2)及其分布
χ2值的特点： 第一，χ2值具有可加性。如，男生+女生=总卡方值。 第二，χ2值永远是正值。 第三，χ2值的大小随实际频数与理论频数差的大小而变化。 两者之差越小，说明样本分布与假设的理论分布越相一致； 两者之差越大，说明样本分布与假设的理论分布越不相一致。 究竟χ2值大到什么程度才能说样本分布与理论分布不一致 呢？——这要看样本的χ2值在其抽样分布上出现的概率如何 而定。
根据男女生人数相同的假设，其理论频数应为50/2=25。于 是

2
f 0 ft
ft
2
27 25
25
2
23 25
25
2
0.32
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第一节 卡方(χ2)及其分布
可列表计算χ2值
表10.1 男女学生人数的χ2值计算表 实际 频数 f0 男生 女生 总和 27 23 50 理论 频数 ft 25 25 50 差 数 f0-ft 2 -2 差数的 平方 (f0-ft)2 4 4 差的平方与 理论频数之比 (f0-ft)2/ ft 4/25=0.16 4/25=0.16 χ2=0.32

2
f 0 ft
ft
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
三、频数分布正态性的χ2检验 检验的步骤： （3）统计决断 正态性χ2检验的自由度df=K-3。K是合并后保留下来的组数。 df=7-3=4。 自由度df=K-3的原因： 1单向表的χ2检验受到∑(f0-ft)=0一个因子的限制。 2应用Z=(X-X)/ σX的公式计算理论频数时，运用了X和 σX两 个样本统计量，又受到两重限制，一共失去3个自由度。
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
二、一个自由度的χ2检验 2、某组理论频数ft<5的情况 检验的步骤： （2）计算χ2值 根据零假设，该校共青团员的ft=20×0.8=16，非共青团员 的ft=20×0.2=4。 由于本例df=1，有一个组的ft=4<5，在计算χ2值时需要进行 亚茨连续性校正。
(|f0-ft|-0.5)2/ ft
12.25/16=0.77
非团员
总和
8
20
4
20
4
12.25
12.25/4=3.06
χ2=3.83
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
二、一个自由度的χ2检验 2、某组理论频数ft<5的情况 检验的步骤： （3）统计决断 根据df=1，查χ2值表，χ2(1)0.05=3.84， 由于χ2=3.83<3.84=χ2(1)0.05，则P>0.05， 于是保留H0而拒绝H1。 其结论为：该校共青团员的比率与全区没有显著性差异。
《教育统计学》
职教学院 刘春雷 E-mail：lcl2156@126.com
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第十章 卡方(χ2)检验
第一节 χ2及其分布 第二节 单向表的χ2检验
第三节 双向表的χ2检验
第四节 四格表的χ2检验
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第一节 卡方(χ2)及其分布
一、卡方（χ2）检验的特点 卡方（χ2）检验 ——是对样本的频数分布所来自的总体分布是否服从某种理 论分布或某种假设分布所作的假设检验。 ——即根据样本的频数分布来推断总体的分布。
喜欢 50 不喜欢 26
总和 76
38 38
76
12 -12
144 144
3.79 3.79
χ2=7.58
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
二、一个自由度的χ2检验 检验的步骤： （3）统计决断 根据df=K-1=2-1=1，查χ2值表，χ2(1)0.01=6.63， 由于χ2=7.58﹡﹡>6.63=χ2(1)0.01，则P<0.01， 按照表10.3 χ2检验统计决断规则， 应在0.01显著性水平上拒绝H0而接受H1。 其结论为：该校喜欢体育的人数与不喜欢体育的人数不相等， 并有极其显著性差异。
三、频数分布正态性的χ2检验 检验的步骤： （2）计算χ2值 按照样本所属的总体呈正态分布的零假设，运用正态曲 线下面积的有关知识， 首先求各组的理论频数，其步骤为： 将各组的上下限转换为标准分数Z值。 根据各组上下限Z值查表，寻找各组上下限Z值至Z=0之间 的面积。 求各组的面积。 将各组的面积与总频数相乘，求各组的理论频数。
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
也可列表计算χ2值
表10.2 不同健康人数的χ2值计算表 健康 好 中 差 总和 f0 15 23 16 54 ft 13.5 27 13.5 54 f0-ft 1.5 -4 2.5 (f0-ft)2 2.25 16 6.25 (f0-ft)2/ ft 0.167 0.593 0.465 χ2=1.22
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
三、频数分布正态性的χ2检验 检验的步骤： （3）统计决断 根据df=4，查χ2值表，χ2(4)0.05=9.49， 由于χ2=5.20<9.49=χ2(4)0.05，则P>0.05， 应保留H0而拒绝H1。 其结论为：11岁男生的身高总体是呈正态分布的。
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
检验的步骤： （2）计算χ2值 根据零假设，健康状况好、中、差的理论频数ft分别为： 54×(1/4)=13.5 54×(2/4)=27 54×(1/4)=13.5 然后根据公式求解χ2值
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2
f 0 ft
ft
2
χ2=(15-13.5)2/13.5+(23-27)2/27+(16-13.5)2/13.5=1.22
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
二、一个自由度的χ2检验 2、某组理论频数ft<5的情况 例如： 某区中学共青团员的比率为0.8，现从该区某中学随机抽取 20人，其中共青团员有12人，问该校共青团员的比率与全区 是否一样？ 检验的步骤： （1）提出假设 H0：该校共青团员的比率与全区一样 H1：该校共青团员的比率与全区不一样
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第二节 单向表的卡方(χ2)检验
一、按一定比率决定理论频数的χ2检验 例如 大学某系54位老年教师中，健康状况属于好的有15人，中等 的有23人，差的有16人，问该校老年教师健康状况好、中、 差的人数比率是否为1:2:1？ 检验的步骤： （1）提出假设 H0：健康状况好、中、差的人数比率为1：2：1 H1：健康状况好、中、差的人数比率不是1：2：1