2021-2022年高二数学下学期第一次月考试题4月试题文
四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学(理)试题
德阳五中高2021级高二下期4月月考数学试卷（理）（总分150分 答题时间120分钟）1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至12题，第Ⅱ卷13——22题，共150分。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卷上，答在试卷上的无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一. 选择题：(每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答案填涂在答题卡上)1．复数12z =，则1z =（ ）A.122i + B.122− C.122−+ D.122i −− 2．在等比数列{}n a 中，已知1394,256a a a ==，则8a 等于（ ） A ．128B ．64C ．64或−64D ．128或−1283. 函数()2ln 2f x x x =−的单调递增区间是（ ）A. 11,22⎛⎫− ⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）A ．384πB ．392πC ．398πD ．404π6.已知平面向量)1,(),2,1(m b m a =−+=，若b a ⊥，则=m （ ） A.2− B.1 C.2−或1 D.0或17．命题p ：已知一条直线a 及两个不同的平面α，β，若a α⊂，则“a β⊥”是“αβ⊥”的充分条件；命题q ：有两个面相互平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台．则下列为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．()p q ∧⌝C ．p q ∧D ．()p q ⌝∨8．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到cos y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度9．我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行，则绳索长为（ ） A．B ．C ．D ．10.已知,a b 为正实数，直线2y x a =−与曲线ln()y x b =+相切，则12a b+的最小值是（ ）A. 8B. C. 6D. 11.椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左,右焦点为21,F F ，且a b F F 2221=，点P 是椭圆C 上异于左右端点的一点，若M 是21F PF ∆的内心，且2211MPF F MF MPF S mS S ∆∆∆−=，则实数=m （ ）A.25+B.25−C.25−−D.25+− 12.已知xxx f ln )(=，若关于x 的方程020242023)()20232024()]([2=−+−+m x f m x f 有三个不同的实根321,,x x x 且321x x x <<，则)](1)][(1[)](1[321x f x f x f −−−的值为 ( )A.20242023lnB.20232024ln C.1− D.1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上. 13.πsin d x x =⎰14.已知复数i z )53(cos sin 54−+−=θθ为纯虚数（其中i 是虚数单位），则=θtan .15.若点),(y x P 是曲线132322=++y xy x 上的点，则22y x +的最小值为 . 16．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD −中，AB ⊥平面BCD ，CD AD ⊥，AB BD ==E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B______.三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分）已知函数13)(3−−=ax x x f 在1−=x 处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）当]1,2[−∈x 时，求)(x f 的最小值.18.（12分）某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.赛前，小明､小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下䘚记录了两人在封闭强化训练期问每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a 忘了记录，但知道3660≤≤a ，∈a Z .（1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；（2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y 关于序号x 的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数a 的值.参考公式：回归方程ˆˆˆ=+ybx a 中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为 ()()()1122211ˆˆˆ,.====−−−===−−−∑∑∑∑n niii ii i nni ii i x x y y x y nxybay bx x x xnx 参考数据：222222116220320425530636582;12345691⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++=.19.（12分）如图,在直三棱柱111ABC A B C −中,90,2,1,ABC CA CB M ∠===是1CC 的中点,1AM BA ⊥.(1)求1AA 的长;(2)求直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值.20.（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3212x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为4cos 6sin ρθθ=+.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于点M N ，，点A 的坐标为(3,1)，求AM AN +.21．（12分）在圆22:1O x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ，点Q 满足2DQ PQ =．当点P 在圆O 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 与y 轴正半轴交点为A ，不过点A 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，若0AM AN ⋅=，试探究直线l 是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．22．（12分）已知函数()21x f x e x =−． （1）判断函数()f x 的零点个数； （2）若()22ln a x af x x x≥+，求a 的值． CMC 1B 1BA 1A德阳五中高2021级高二下期4月月考数学（理）参考答案题号123456789101112答案BDBCACBABAAD13、214、43-15、2116、3π17．解：（1）()()22333f x x a x a '=-=-，∵()f x 在1x =-处取得极值，∴()()213130f a '-=⨯--=，解得：1a =；经检验，当1a =时满足题意，所以1a =．（2）由（1）得：()331f x x x =--，()2330f x x '=-=，解得：1x =±，()f x 和()f x '随x 的变化情况如下表：x－2()2,1--－1()1,1-1()f x '9＋0－0()f x －3单调递增1单调递减－3所以()f x 的最小值为－3．18.解（1）因为3660≤≤a ，且∈a Z .所以a 的取值共有25种情况.又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，在5711==+≥∑∑ii i i ya z .即16202025303616222526323535++++++≥++++++a ，得44≥a .所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，a 的取值共有17情况.所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为1725.（2）由题设可知61116220320425530636582==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑iii x y，123456716202025303649,6262++++++++++====x y .所以7495826274927722ˆˆ,114972729164-⨯⨯===-=-⨯=-⨯ ba y bx ，所以y 关于序号x 的线性回归方程为27117y x =+.当7=x 时，27711387y =⨯+=，估计小明第7天成功次数a 的值为38.19解(1)取1BB 中点N ,连接,MN AN ,则//M N BC ,1BB ⊥ 平面1,ABC BB BC ∴⊥,又,BC BA BC ⊥∴⊥平面11ABB A ,故M N ⊥平面11,ABB A AN 即为AM 在平面11ABB A 内的射影,又11,AM BA BA AN ⊥∴⊥,故Rt 11Rt ,BN ABABN A AB AB AA ∴= ,而1413,26AB AA AB =-=∴==;(2)连接1AB ,由(1)知11B C ⊥平面11ABB A ,故11C AB ∠为直线1AC 与平面11ABB A 所成角,111111106410,1,sin ,.1010AC B C C AB ∠=+==∴=即所求角的正弦值为20解()1因为曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ∴2246x y x y +=+，化简得,曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=.（2）把直线232:212x t l y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C 得2222121322t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21．解：（1）设点()00,P x y ，(,)Q x y ，2DQ PQ = ，0012x x y y⎧=⎪∴⎨⎪=⎩，2201x y += ，2214x y +=．（2）由（Ⅰ）知(0,1)A ，设()11,M x y ，()22,N x y ，由0AM AN ⋅= ，()()()()11221212,1,1110AM AN x y x y x x y y ∴⋅=-⋅-=+--=．当直线l x ⊥轴时，MAN △为钝角三角形，且90MAN ∠<︒，不满足题意．∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为：y kx b =+，由2244y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，化简得：()222148440k x kbx b +++-=，()()22222206441444014k b k b b k ∆>⇒-+->⇒<+，122814kbx x k-+=+，21224414b x x k -=+，()22121212(1)(1)AM AN x x k x x k b x x b ∴⋅=++-++-，()()()22222222144(1)148(1)0141414k b b k k b b k k k +--+-=-++++()()()222221448(1)(1)140k b k b b b k ∴+---+-+=，35b =-．∴直线I 的方程为：35y kx =-，恒过点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．22．解：（1）因为()21xf x e x =-，该函数的定义域为{}0x x ≠，且()221x x e f x x -=，令()21xg x x e =-，所以()()2x g x x x e '=+.当(),2x ∈-∞-时，()0g x '>，所以()g x 在(),2-∞-上单调递增；当()2,0x ∈-时，()0g x '<，所以()g x 在()2,0-上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增；因为()22410g e --=⋅-<，()010g =-<，()110g e =->，所以()g x 有且只有一个零点，即()f x 有且只有一个零点；（2）因为()22ln a x af x x x≥+，所以2212ln xa x a e x x x-≥+，则212ln 0x x e a x ax ---≥，即()22ln 10x x x e a x e -->，令2x t x e =，其中0x >，则()220xt x x e '=+>，所以，函数2x t x e =在()0,∞+上单调递增，当0x >时，20x t x e =>，令()ln 1h t t a t =--，则()0h t ≥对任意的0t >恒成立，因为()10h =，()()min 10h t h ∴==，且()1a t a h t t t-'=-=.①若0a ≤，则()0h t '>对任意的0t >恒成立，所以，函数()h t 在()0,∞+上为增函数，此时函数()h t 无最小值，不合乎题意；②若0a >，由()0h t '<，可得0t a <<，此时函数()h t 单调递减，由()0h t '>，可得t a >，此时函数()h t 单调递增，所以，()()min h t h a =，所以，1a =.综上所述，1a =.。
2021-2022学年吉林省白山市抚松县高二年级下册学期第一次月考数学试题(平行班)【含答案】
2021-2022学年吉林省白山市抚松县高二下学期第一次月考数学试题（平行班）一、单选题1．某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有（ ） A ．54种 B ．45种C ．45C 种D ．45A 种A根据分步乘法计数原理，根据题中条件，可直接得出结果.【详解】将5封不同的信，通过4个不同的信箱邮寄，每封信都有4种不同的投递方法， 因此总的不同的投递方法共有：54种. 故选：A.2．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A ．110B ．310 C ．35D ．910D【详解】试题分析：从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，共有基本事件3510C =种，则全取红球的基本事件只有一种，所以所取3个球中至少有1个白球的概率为1911010-=，故选D. 古典概型及其概率的计算.3．设函数2e ()(1)1=++'xf x f x x ，则(1)f =（ ）A ．e 4-B ．e 4C ．e2D ．3e4B【分析】对()f x 求导得2e ()2(1)(1)=++''xx f x xf x ，令1x =，求出(1)f '，代入()f x 即可求出(1)f 的值.【详解】2e ()2(1)(1)=++''xx f x xf x ． 令1x =，则e (1)2(1)4+'='f f ，则e (1)4'=-f ，所以2e e()14x f x x x =-+ 所以e e e(1)244=-=f ．故选：B.4．随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝()1c k k +，c 为常数，k ＝1,2,3,4，则15P(X )22<<的值为( ) A ．45B ．56C ．23D ．34B【详解】由已知，261220c c c c +++＝1，解得c ＝54，∴()()155P X P X 1P X 222266c c ⎛⎫<<==+==+= ⎪⎝⎭. 5．函数f （x ）＝ln ||xx 的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．C【分析】根据函数解析式及奇偶性的定义判断()f x 的奇偶性，再由(0,1)上ln ||ln 0x x =<知()f x 的大致图象.【详解】根据题意， ()ln ||xf x x =，其定义域为{|0x x ≠且1}x ≠±， ∴()()ln ||xf x f x x -=-=-，则()f x 为奇函数，排除A 、D ， 在区间(0,1)上，ln ||ln 0x x =<，必有()0f x <，排除B ， 故选：C.6．设随机变量,X Y 满足2Y X b =+(b 为非零常数)，若()()4,32E Y b D Y =+=，则()E X 和()D X 分别等于（ ） A ．4,8 B ．2,8 C ．2,16 D ．2,16b +B【分析】利用满足线性关系的两随机变量的均值、方差关系的计算公式即可求得. 【详解】因为随机变量,X Y 满足2Y X b =+，所以()2(4E Y E X b b =+=+）， ()2E X ∴=； ()(),432D Y D X ==()8D X ∴=.故选：B.若随机变量,X Y 满足Y kX b =+，他们的期望和方差分别满足：()()2,((E Y kE X b D Y k D X =+=））7．今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过20218天后是（ ） A ．星期六 B ．星期日 C ．星期一 D ．星期二C【分析】求出20218除以7的余数，可得结论．【详解】2021202102021120202020202120212021202120218(71)777C C C C =+=⋅+⋅+⋯+⋅+，故它除以7的余数为202120211C =， 故经过7天后还是星期日，那么经过20218天后是星期一， 故选：C ．本题主要考查二项式定理的应用，整除问题，考查运算求解能力．8．己知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()f x f x '<且(3)f x +为偶函数，(6)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（ ） A ．(3,)-+∞ B ．(1,)+∞ C ．(0,)+∞ D ．(6,)+∞C【分析】构造函数()()xf xg x e=，求导()()()0x f x f x g x e '-'=<，从而得()g x 在定义R 上单调递减；又()x f x e <⇔0()(0)x f x f e e<，从而有()(0)g x g <，利用()g x 的单调性即可求解．【详解】令()()xf xg x e =， ()()f x f x '<， ()()()0xf x f xg x e '-∴'=<， ()g x ∴在定义R 上单调递减；①又(3)f x +为偶函数，(3)(3)f x f x ∴+=-，()(0)6f f ∴=1=， 0(0)(0)1f g e ∴==， 则不等式()x f x e <⇔0()(0)x f x f e e<，即()(0)g x g <， 由①得0x >， 故选：C ． 9．令()202022019202012320202021(1)R x a a x a x a x a x x +=+++++∈，则23202022019a a a ++++20212020a =（ ）A ．201920192⋅B ．202020192⋅C ．201920202⋅D ．202020202⋅C【分析】对所给等式，两边分别求导，再令1x =，可得结论．【详解】解：由题可知，+12020rr a C =，对()202022019202012320202021(1)R x a a x a x a x a x x +=+++++∈等式，两边分别求导可得：32019220192214022020(1)232020x a a x a x a x +=++++，所以，32019220192214022020(1)232020x a a x a x a x +=++++令1x =，有：201920202⨯=23202022019a a a ++++20212020a ，故选：C ． 10．若函数()21()21ln 2f x x x b x =---在定义域上单调递增，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞ C ．[)0,+∞ D ．(],0-∞D【分析】函数()21()21ln 2f x x x b x =---在定义域上单调递增等价于()0f x '≥在()0+∞，上恒成立，即2210x x b x--+≥在()0+∞，上恒成立，然后易得()2min21b x x ≤-+，最后求出范围即可.【详解】函数()21()21ln 2f x x x b x =---的定义域为()0+∞，， 2121()2b x x b f x x x x---+'=--=， ()21()21ln 2f x x x b x =---在定义域上单调递增等价于()0f x '≥在()0+∞，上恒成立， 即2210x x b x--+≥在()0+∞，上恒成立，即2210x x b --+≥在()0+∞，上恒成立， 分离参数得221b x x ≤-+，所以()2min 210b x x ≤-+=，即(],0b ∈-∞.方法点睛：已知函数的单调性求参数的取值范围的通解：若()f x 在区间(),a b 上单调递增，则()0f x '≥在区间(),a b 上恒成立；若()f x 在区间(),a b 上单调递减，则()0f x '≤在区间(),a b 上恒成立；然后再利用分离参数求得参数的取值范围即可.11．安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有 A ．30种 B ．40种 C ．42种 D ．48种C利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉A 照顾老人甲的情况和B 照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的A 照顾老人甲的同时B 照顾老人乙的情况，从而得到结果.【详解】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：2264C C 90=种安排方法其中A 照顾老人甲的情况有：1254C C 30=种B 照顾老人乙的情况有：1254C C 30=种A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有：1143C C 12=种∴符合题意的安排方法有：9030301242--+=种本题正确选项：C本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.12．若242log 42log a b a b +=+，则（ ） A ．2a b > B ．2a b < C ．2a b > D ．2a b <B【分析】设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.【详解】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b ba b b +=+=+所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b b b b +-+21log 102==-<， 所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B. 【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题. 二、填空题13．设n 是正整数，化简1231242n nnn n n C C C C -++++=___________.312n - 【分析】对已知式子进行变形，根据二项式定理进行求解即可.【详解】设1231242n nn n n n n C C C C S -++++=，12233001223322222222221n n n nn n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-，所以有312(12)1312n nnn n S S -=+-=-⇒=，故312n -14．函数2()ln 22a x f x x x =--（a ∈R ）在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦内不存在极值点，则a 的取值范围是_______________．1,[3,)16⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦． 【分析】将函数在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦内不存在极值点，转化为函数为单调函数，求导利用导数()0f x '或()0f x '恒成立即可求解.【详解】解：∵函数2()ln 22a x f x x x =--（a ∈R ）在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦内不存在极值点，∴函数()f x 在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增或单调递减，∴()0f x '或()0f x '在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒成立，∵214()2222a x x af x x x x--'=--=， 令2()4g x x x a =--，二次函数的对称轴为18x， ∴2min111()48816g x a a ⎛⎫=⨯--=-- ⎪⎝⎭，2max ()4113g x a a =⨯--=-，当()0f x '时，需满足1016a --，即116a -， 当()0f x '时，需满足30a -，即3a ， 综上所述，a 的取值范围为1,[3,)16⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．故1,[3,)16⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．15．函数31()3f x x x =-+在（a,10-2a ）上有最大值，则实数a 的取值范围是 ．[)2,1-【详解】要满足题意即函数的最大值必是区间上的极大值．由已知()()()2'111f x x x x =-+=-+-，当()'0f x >时，11x -<<， 当()'0f x <时，1x <-或1x >； 所以1x =是函数的极大值点，则由题意得：()2110;()1a a f a f <<-≤，解得21a -≤<三、双空题16．某人从甲地到乙地，乘火车､轮船､飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率是___________；如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是___________. 0.18950 49【分析】根据题意利用全概率公式，可求得这个人迟到的概率，再根据贝叶斯公式可求得他乘轮船迟到的概率.【详解】解：设事件A 表示“乘火车”，事件B 表示“乘轮船”，事件C 表示“乘飞机”，事件D 表示“迟到”，则()()()0.2,0.4,0.4P A P B P C ===， ()0.5P D A =，()()0.2,0P D B P D C ==，()()()D D A D B D C =⋂⋃⋂⋃⋂，由全概率公式，可得这个人迟到的概率()0.20.50.40.20.400.18P D =⨯+⨯+⨯=， 如果这个人迟到了，由贝叶斯公式可得他乘轮船迟到的概率 ()()()0.40.240.189P D B P B D P D ⋂⨯===. 故0.18；49.四、解答题17．4名男生和4名女生（包含甲、乙）站成一排表演节目． (1)若这4名女生不能相邻，有多少种不同的排法？(2)已知这4名女生身高互不相等，若按身高从高到低排列，则有多少种不同的排法？ (3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ (1)2880种 (2)1680种 (3)30960种【分析】（1）先排4名男生，再将4名女生插入4名男生产生的5个空中，由插空法可得答案.（2）由定序法可得答案.（3）分甲站在右端和甲不站在右端两种情况分别计算，再求和即可. 【详解】(1)先排4名男生，再将4名女生插入4名男生产生的5个空中.所以这4名女生不相邻的排法有4445A A 241202880⋅=⨯=种．(2)这4名女生按身高从高到低的排法有8844A 1680A =种． (3)①甲站在右端，其余7人全排列，有77A 5040=种排法，②甲不站在右端，有6种排法，乙有6种排法，其余6人全排，有6666A 25920⨯⨯=种排法．故一共有50402592030960+=种排法．18．甲，乙两名羽毛球爱好者进行杀球训练，甲每次杀球成功的概率为23，乙每次杀球成功的概率为35．已知甲、乙各进行2次杀球训练，记X 为甲、乙杀球成功的总次数，假设甲、乙两人杀球是否成功相互没有影响，且每次杀球训练相互独立． (1)求2X =的概率；(2)求X 的分布列及数学期望． (1)73225(2)分布列见解析，数学期望为3815【分析】（1）分别求得甲2次杀球成功，且乙2次杀球失败的概率、甲2次杀球恰有1次成功，且乙2次杀球恰有1次成功的概率和甲2次杀球失败，且乙2次杀球成功的概率，加起来即可求出答案.（2）随机变量X 的所有取值是0，1，2，3，4，并求得相应的取值的概率即可得到分布列与期望.【详解】(1)甲2次杀球成功，且乙2次杀球失败的概率2212316135225⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P ， 甲2次杀球恰有1次成功，且乙2次杀球恰有1次成功的概率11222213216C C 335575=⨯⨯⨯⨯⨯=P ， 甲2次杀球失败，且乙2次杀球成功的概率22323113525⎛⎫⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P ，故2X =的概率12316161732257525225=++=++=P P P P ． (2)由题意可知X 的所有取值是0，1，2，3，4．22234(0)1135225⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P X ，22112222323328(1)1111335355225P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-+⨯-⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()732225P X ==22112223322328(3)C 1C 135533575⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P X ，22234(4)3525⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P X ．则X 的分布列为故4287328438()01234225225225752515=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=E X ．19．已知在二项式()22,nnn n N x ⎫≥∈⎪⎭的展开式中，前三项系数的和是97.（1）求n 的值；（2）求其展开式中所有的有理项.（1）8；（2）共有5项，分别为41T x =，3112T x =，251120T x -=，571792T x -=，89256T x -=. 【分析】（1）求出通项公式，可以得到前3项系数和可得答案； （2）求出1k T +若为有理数，当且仅当832k-为整数即0,2,4,6,8k =时可得答案.【详解】依题意：()2122kn kn kk k k k k nn T C C x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()()3220,1,n k kk nC xk n -=-=⋅⋅⋅，（1）∵前3项系数和是97，∴1212497n n C C -+=，解得8n =或6n =-（舍），∴8n =.（2）若1k T +为有理数，当且仅当832k-为整数时， ∵08k ≤≤，k Z ∈， ∴0,2,4,6,8k =，∴展开式中的有理项共有5项，分别为41T x =，3112T x =，251120T x -=，571792T x -=，89256T x -=.20．已知函数()322(R f x x ax bx a =+++∈，R)b ∈在1x =-处取得极值7.(1)求a ，b 的值；(2)求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值．(1)3,9a b =-=-；(2)最大值为7，最小值为20-.【分析】（1）对函数求导，根据(1)7(1)0f f -=⎧⎨'-=⎩求出参数a ，b 的值； （2）由（1）可得()3(1)(3)f x x x '=+-，研究其在[]2,2-上的符号，进而确定()f x 的单调性，再求出闭区间上的最值.【详解】(1)由题设，2()32f x x ax b '=++，又1x =-处取得极值7.所以(1)17(1)320f a b f a b -=-+=⎧⎨'-=-+=⎩，可得3,9a b =-=-.经检验，满足题意. (2)由（1）知：2()3693(1)(3)f x x x x x ==+'---，在[2,1)--上()0f x '>，()f x 递增；在(1,2]-上()0f x '<，()f x 递减；在[]2,2-上的最大值为(1)7f -=，而(2)0f -=，(2)20f =-，故在[]2,2-上的最小值为(2)20f =-，综上，[]2,2-上最大值为7，最小值为20-.21．冬奥会志愿者有6名男同学，4名女同学.在这10名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7所大学.现从这10名志愿者中随机选取3名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等).(1)求选出的3名同学是来自互不相同的大学的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的期望和方差. (1)4960； (2)()65E X =，()1425D X =. 【分析】（1）利用古典概型概率公式求出即可.（2）由题可知346310()(0,1,2,3)k k C C P X k k C -===，即得分布列，再利用期望，方差公式计算即得.【详解】(1)设A 为选出的3名同学是来自互不相同的大学，则()120337373104960C C C C P A C +==； (2)由题可知随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.()()03124463311600110,1,62C C C C P X P X C C ====== ()()21304463361010312,3,1030C C C C P X P X C C ====== X ∴的分布列为：∴ ()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ()222261616361140123565251053025D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 22．已知函数321()e1(0)32-=--+>x ax ax f x x x 有两个极值点()1212,x x x x <． (1)求a 的取值范围．(2)证明：122x x +>．(1)(1,)+∞；(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得函数1()e (0)-=->x h x ax x 在(0,)+∞上存在两个零点，利用导数研究函数的性质，进而可得(ln 1)ln 0+=-<h a a a ，即得；（2）由题可得12121ln ln x x x x -=-，进而可知即证221121112ln x x x x x x +->，通过换元，构造函数ln 1()(1)21-=->+t t F t t t ，利用导数即得.【详解】(1)由321()e 1(0)32-=--+>x ax ax f x x x ，得()1()(1)e -+'=-x f x x ax ． 记1()e (0)-=->x h x ax x ，由题意知，()h x 在(0,)+∞上存在两个零点， 则1()e -=-'x h x a ，当0a ≤时，()0,()h x h x '>在(0,)+∞上单调递增，不符合题意， 故0a >，令()0h x '=，解得ln 1x a =+，则()h x 在(0,ln 1)+a 上单调递减，()h x 在(ln 1,)++∞a 上单调递增， 所以(ln 1)ln 0+=-<h a a a ，则1a >，所以a 的取值范围为(1,)+∞．(2)由（1）可知121112e 0e 0x x ax ax --⎧-=⎨-=⎩， 则11221ln ln ,1ln ln ,x a x x a x -=+⎧⎨-=+⎩两式相减可得12121ln ln x x x x -=-． 要证122x x +>，即证1221212ln ln x x x x x x +->-．即221121112ln x x x x x x +->． 令21(1)x t t x =>，即ln 1(1)21t t t t ->>+， 设ln 1()(1)21-=->+t t F t t t ．则222111(1)()02(1)2(1)+-+-=-=>++'t t t F t t t t t ， 所以()F t 在区间(1,)+∞上单调递增，则()(1)0F t F >=， 即ln 1(1)21t t t t ->>+， 故122x x +>成立．。
陕西省西安市周至县重点中学2022-2023学年高二下学期4月月考文科数学试题及参考答案
高二数学（文科）一､单选题（共12题，每题5分）1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个是偶数”的正确假设为（ ）A.自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数B.自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a ，b ，c 都是奇数D.自然数a ，b ，c 都是偶数2.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：由表中数据得线性回归方程：2ˆˆyx a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ）A.56千瓦·时B.62千瓦·时C.64千瓦·时D.68千瓦·时3.抛掷一枚均匀骰子2次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不相互独立的是（ ）A.第二次得到6点B.第二次的点数不超过3C.第二次的点数是奇数D.两次得到的点数和是124.现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20名市民，得到如下22⨯列联表：附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.P （K 2≥k ） 0.250.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ）A.没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B.有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D.可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”5.已知事件A ，B 相互独立，P （A ）=0.4，P （B ）=0.3，给出下列四个式子：①P （AB ）=0.12；②P （A B ）=0.18；③P （A B ）=0.28；④P （A B ）=0.42.其中正确的有（ ） A.4个 B.2个 C.3个 D.1个6.已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（ ）A.0.5B.0.6C.0.4D.0.27.甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6，0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（ ） A.0.45 B.0.6 C.0.65 D.0.75 8.证明不等式112(2)a a a a a +-<---≥所用的最适合的方法是（ ） A.综合法 B.分析法 C.间接证法 D.合情推理法9.执行如图所示的程序框图输出的结果是（ ）A.8B.6C.5D.310.一份数学单元试卷中有4个填空题，某同学答对每个题的概率都是45，那么，4个题中答对2个题的概率是（ ） A.16625 B.96625 C.192625 D.25662511.将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为（ ）A.811B.809C.807D.80512.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”.就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯（底面圆的周长的平方⨯高），则由此可推得圆周率π的取值为（ ） A.3 B.3.1 C.3.14 D.3.2二､填空题（共4题，每题5分）13.复数i(12i)z =-（i 是虚数单位）的实部为__________.14.如图，EFGH 是以O 为圆心､半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）()P A =___________（2）()P B A =__________.15.“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数.现给出一组数：11315,,,,228432---，…，则第8个数可以是___________. 16.现有A ，B 两队参加关于“十九大”知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢一分，答错得0分.A 队中每人答对的概率均为23，B 队中3人答对的概率分别为221,,332，且各答题人答题正确与否之间互无影响，若事件M 表示A 队得2分“，事件N 表示”B 队得1分“，则P （MN ）=___________. 三､解答题（共6题）17.（10分）已知m R ∈，复数()()22231i z m m m =--+-. （1）实数m 取什么值时，复数z 为实数､纯虚数；（2）实数m 取值范围是什么时，复数z 对应的点在第三象限.18.（12分）某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A 类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B 类同学），现用分层抽样方法（按A 类､B 类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学.如果以身高达到165厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：（1）完成上表；（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（2K 的观测值精确到0.001）.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，参考数据：19.（12分）（1）若,x y 都是正实数，且2x y +>，求证：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立.（2）求证：()n N *>∈20.（12分）甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： （1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶； 21.（12分）求证：（1）222a b c ab ac bc ++≥++；（2）>22.（12分）某单位为了了解用电量y 度与气温C x 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温. C 量(度)（1）求线性回归方程；（参考数据：442111120,440i ii i i x yx ====∑∑）（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10C ︒时的用电量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-⋅=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅.高二数学（文科）答案1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】A 10.【答案】B11.【答案】B 12.【答案】A13.【答案】2 14.【答案】（1）.2π（2）.1415.【答案】13216.【答案】108117.【答案】（1）3m =（2）(1,1)m ∈-【解析】（1）由虚部为0求得使z 为实数的m 值，再由实部为0且虚部不为0求得使z 为纯虚数的m 值； （2）由实部与虚部均小于0求解. 解：（1）当210m -=，即1m =±时，复数()()22231z m m m i =--+-为实数；当2223010m m m ⎧--=⎨-≠⎩，即3m =时， 复数()()22231z m m m i =--+-是纯虚数；（2）由题意，2223010m m m ⎧--<⎨-<⎩，解得11m -<<. ∴当(1,1)m ∈-时，复数z 对应的点在第三象限.本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题.18.【答案】（1）（2）不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系.【解析】（1）由分层抽样的计算方法可求得积极参加锻炼与不积极参加锻炼的人数，填入表格中，根据表格中的总计及各项值求出其它值即可；（2）由公式计算出2K，与参考数据表格中3.841作比较，若小于3.841则不可以，若大于3.841则可以.（1）填写列联表如下：（2）K2的观测值为22100(40153510)75255050K⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈1.333<3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系.本题考查独立性检验，根据抽样方法进行计算填表，将数值代入公式求出2K，注意保留三位小数，注意观测值与概率之间的大小关系与趋势.19.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立.（2）采用分析法从要证的结果入手去证明不等式即可.解析：（1）假设1x y +<2和1y x +<2都不成立，即1x y +≥2和1yx+≥2同时成立.∵x >0且y >0，∴1+x ≥2y ，且1+y ≥2x .两式相加得2+x +y ≥2x +2y ，∴x +y ≤2.这与已知条件x +y >2矛盾，∴1x y +<2和1yx+<2中至少有一个成立.（2）原式子等价于)*n N >∈，两边平方得到()4122221n n n n +>+++>+>22212n n n n -++>+，得证.20.【答案】（1）0.72（2）0.26（3）0.0221.【解析】分析：（1）利用基本不等式，即可证得222a b c ab bc ac ++≥++； （2）根据题意，利用分析法证明，寻找使不等式成立的充分条件即可. 详解：（1）2222222,2,2a b ab a c ac b c bc +≥+≥+≥，222a b c ab bc ac ∴++≥++；（2）要证>，只要证22>，只要证1313+>+只要证>只要证4240>，显然成立，故>点睛：本题主要考查了均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 22.【答案】（1）250y x =-+. （2）30度.【解析】分析：（1）求出,x y 的均值，再由公式，计算出系数的值，即可求出线性回归方程；10x =代入线性回归方程，计算出y 得值，即为当气温为10C 时的用电量.详解：（1）4421110,30,1120,440,2i ii i i x y x yx b ======∴=-∑∑把(10,30)代入回归方程得30210a =-⨯+，解得50a =.∴回归方程为250y x =-+；（2）当10x =时，30y =，估计当气温为10C 时的用电量为30度.点睛：本题主要考查了线性回归分析的实际应用问题，其中根据最小二乘法求解回归系数是解答的关键和计算的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.。
2021-2022学年河南省灵宝市高二年级下册学期第一次月考数学(文)试题【含答案】
2021-2022学年河南省灵宝市高二下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．复数）z A ．-1B ．1C ．D ．i -i【答案】A【分析】利用复数模长与四则运算进行计算即可.【详解】，所以虚部为-1.()()()21i 1i 1i 1i z -==-+-故选：A2．如图5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）(,)x y (3,10)D A ．相关系数r 变大B ．相关指数变大2R C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【答案】C【分析】去掉离群点D 后，结合散点图对各个选项进行判断得解.【详解】解：由散点图知，去掉离群点D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关，所以相关系数r 的值变大，故选项A 正确；相关指数的值变大，残差平方和变小，故选项B 正确，选项C 错误；2R 解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，故选项D 正确.故选：C ．3．用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”；命题332p q +=2p q +≤2p q +>②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是24x =2x =-2x =2x ≠-2x ≠A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确【答案】C【详解】分析：利用命题的否定的定义判断即可.详解：①的命题否定为，故①的假设正确.2p q +≤2p q +>或”的否定应是“且”② 的假设错误，2x =-2x =2x ≠-2x ≠所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.4．关于下面几种推理，说法错误的是（ ）A ．“由金､银､铜､铁可导电，猜想：金属都可以导电.”这是归纳推理B ．演绎推理在大前提､小前提和推理形式都正确时，得到的结论不一定正确C ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质是类比推理D ．“椭圆的面积，则长轴为4，短轴为2的椭圆的面积.”这是演22221(0)x y a b a b +=>>S ab π=2S π=绎推理【答案】B【分析】根据归纳推理和演绎推理以及类比推理的概念逐个判断可得结果.【详解】对于，“由金､银､铜､铁可导电，猜想：金属都可以导电.”这是归纳推理，说法正确；A 对于，演绎推理在大前提､小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确，所以说法错误；B 对于，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质是类比推理，说法正确；C 对于，“椭圆的面积，则长轴为4，短轴为2的椭圆的面积.”D 22221(0)x y a b a b +=>>S ab π=2S π=这是演绎推理，说法正确.故选：B.【点睛】本题考查了归纳推理和演绎推理以及类比推理的概念，属于基础题.5．在平面内，点到直线的距离公式为()00,x y 0Ax By C ++=d 可求得在空间中，点到平面的距离为（ ）()2,1,2210x y z ++-=A ．BCD ．3【答案】B【分析】类比得到在空间，点到直线的距离公式,再求解.()000,x y z ，0Ax By Cz D +++=【详解】类比得到在空间，点到直线的距离公式为()000,x y z ，0Ax By Cz D +++=d所以点到平面的距离为.()2,1,2210x y z ++-=d 故选B【点睛】本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6．下列使用类比推理正确的是A ．“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”B ．“若，则”类比推出“若，则”12x x+=2212x x +=2212x x -=C ．“实数，，满足运算”类比推出“平面向量满足运算”a ()()abc a bc =,,a b c ()()a b c a b c ⋅=⋅ D ．“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”【答案】D【分析】根据类比结果进行判断选择.【详解】因为空间中平行于同一平面的两直线位置关系不定，所以A 错；因为“若，则”，所以B 错；12x x -=22112x x x =-≠因为，所以C 错；()()a b c a b c ⋅≠⋅ 因为正方体的内切球切于各面的中心，所以正确.选D.D 【点睛】本题考查线面位置关系判断、向量运算律以及正方体性质，考查基本分析判断能力，属基础题.7．在数学课堂上，张老师给出一个定义在上的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这R ()f x 个函数的一条性质：甲：在上函数单调递减；(],0-∞()f x 乙：在上函数单调递增；[)0,∞+()f x 丙：函数的图像关于直线对称；()f x 1x =丁：不是函数的最小值.()0f ()f x 张老师说：你们四位同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】采用反证法判断.【详解】假设甲，乙正确，则丙，丁错误，与题意矛盾所以甲，乙中必有一个错误假设甲错误乙正确，则在上函数单调递增；[)0,∞+()f x 而函数的图像不可能关于直线对称，则丙错误，与题意矛盾；()f x 1x =所以甲正确乙错误；故选：B8．已知下列命题：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；ˆˆˆybx a =+(),x y ②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近于1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程 中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量平均减少0.5；20.5ˆyx =-ˆy ⑤在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表2R x y 2R 示回归效果越好；⑥对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说， 越小，“与有关系”的把握程度X Y 2K k k X Y 越大．⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好. 则正确命题的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】由回归直线恒过样本中心点，不一定经过每一个点，可判断①；由相关系数的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断②；由方差的性质可判断③；由线性回归直线方程的特点可判断④；相关指数R 2的大小，可判断⑤；由的随机变量K 2的观测值k 的大小可判断⑥；残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断⑦．【详解】对于①，回归直线恒过样本点的中心（），可以不过任一个样本点，故①y b x a ∧∧∧=+x y ，错误；对于②，两个变量相关性越强，则相关系数r 的绝对值就越接近于1，故②错误；对于③，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，由方差的性质可得方差不变，故③正确；对于④，在回归直线方程2﹣0.5x 中，当解释变量x 每增加一个单位时，y ∧=预报变量平均减少0.5个单位，故④正确；y ∧对于⑤，在线性回归模型中，相关指数R 2表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，R 2越接近于1，表示回归效果越好，故⑤正确；对于⑥，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故⑥错误；对于⑦，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故⑦正确．其中正确个数为4．故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．9．在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N 个学生（），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中100m,N m *=∈N 40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N 的最小值为（ ）附，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k 0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A ．400B ．300C ．200D ．100【答案】B【分析】根据题目列出列联表，再根据列联表的数据计算值，进而得到关于的关系式，22⨯2K m 求解即可.【详解】由题可知，男女各人，列联表如下：50m 喜欢不喜欢总计男30m 20m 50m 女20m 30m 50m 总计50m50m100m，()22224100900400=450505050m m m K mm -=⨯⨯⨯有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，，解得，410.828m ∴> 2.707m >，m *∈N ，3m ∴≥.min 300N ∴=故选：B10．已知，且为虚数单位，则的最大值是 （ ）C z ∈1,z i i -=35z i--A ．B ．C ．D ．5678【答案】B【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径1z i -=z Z (0,1)C 1r =的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值.35z i--(3,5)A 35z i--【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径1z i -=z Z (0,1)C 1r =的圆.表示圆C 上的点到的距离，|35|z i -- (3,5)A 的最大值是，|35|z i ∴--||516CA r +=+=故选B【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题.11．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则=（ ）1C 2C 3C 4C 4C A ．B ．C ．D ．1289649642712827【答案】B【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出.{}n C 13C =43【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，131111433n n n n C C C C ---=+=所以为首项为，公比为的等比数列，{}n C 13C =43.34464339C ⎛⎫∴=⨯=⎪⎝⎭故选：B.12．如图，“大衍数列”：、、、、来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，024812主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.如图是求大衍数列前项和的程序框图.执行该程序框图，输入，则输出的（ ）n 8m =S =A ．B ．C ．D ．4468100140【答案】C【分析】写出程序运行的每一步，即可得出输出结果.【详解】第1次运行， ，不符合 ，继续运行；211,0,0002n n a S -====+=n m ≥第2次运行，，不符合 ，继续运行；22,2,0222n n a S ====+=n m ≥第3次运行，，不符合 ，继续运行；213,4,4262n n a S -====+=n m ≥第4次运行，，不符合，继续运行；24,8,86142n n a S ====+=n m ≥第5次运行，，不符合 ，继续运行；215,12,1412262n n a S -====+=n m ≥第6次运行，，不符合 ，继续运行；26,18,2618442n n a S ====+=n m ≥第7次运行，，不符合 ，继续运行；217,24,2444682n n a S -====+=n m ≥第8次运行，，符合 ，退出运行，输出.28,32,68321002n n a S ====+=n m ≥100S =故选：C.二、填空题13．已知复数的对应点在复平面的第二象限，则||的取值范围是(2)(1)i()z a a a R =-++∈1i a +________．【答案】【分析】根据的几何意义，得的复平面内对应的点，列出不等式组求得，再(2,1)a a -+1a 2-<<结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，复数在复平面内对应的点，(2)(1)i()z a a a R =-++∈(2,1)a a -+因为该点位于第二象限，所以，解得，2010a a -<⎧⎨+>⎩1a 2-<<所以.|1i|a ⎡+=⎣故答案为：.14．甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．【答案】乙【分析】先假设甲乙丙丁中一个人说的是对的然后再逐个去判断其他三个人的说法最后看是否满..足题意，不满足排除．【详解】解：先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申请人只有一个，.如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的，丁说“乙申请了”也是()1错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙().2说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意．.故答案为乙．【点睛】本题考查了合情推理的应用，属于中档题．15．有下列一组不等式：，根据111111111111111111,,,,3424562567826789102+>++>+++>++++> 这一规律，若第2020个不等式为，则__________．11111122m m m n ++++>++ m n +=【答案】6064【分析】由归纳推理得：第个不等式为：，若第2020个不等式为k 111123222k k k ++⋯+>+++，所以，，即可得解．11111122m m m n +++⋯+>++2022m =4042n =【详解】解：因为由，，，，，根据这一111342+>11114562++>1111156782+++>1111116789102++++>⋯规律，则第个不等式为：，k 111123222k k k ++⋯+>+++若第2020个不等式为，11111122m m m n +++⋯+>++即，，22022m k =+=224042n k =+=所以，，2022m =4042n =即，202240426064m m +=+=故答案为：．6064【点睛】本题考查了归纳推理，属于基础题．16．已知变量y 关于x 的回归方程为，其一组数据如表所示：若，则预测y 值可能为2e kx y +=8x =___________.x 23456y1.5e 4.5e 5.5e 6.5e 7e 【答案】8e【分析】由已知回归方程取对数并令，得线性回归方程，根据线性回归直线过中ln z y =2z kx =+心点求得值，然后代入可得预测值．k 8x =【详解】由得：，令，即，2ekx y +=ln 2y kx =+ln z y =2z kx =+因为，2345645x ++++==，1.5 4.5 5.5 6.57ln e ln e ln e ln e ln e 1.5 4.5 5.5 6.57555z ++++++++===将点代入直线方程中，即可得：，(4,5)2z kx =+0.75k =所以回归方程为， 0.752e +=x y 若，则.8x = 0.75828ee ⨯+==y 故答案为：．8e 三、解答题17．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，xOy C 22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩θ轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.xl cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；l C （2）直线与曲线交于两点，设点的坐标为，求的值.l C ,M N P ()0,2-22||||PM PN +【答案】（1）曲线：，直线：；（2）.C 22(2)(1)4x y -+-=l 20x y --=32【分析】（1）利用公式消除参数，可得曲线的方程，再利用直角坐标与极坐标22sin cos 1θθ+=θC 的转化公式求得直线的方程；l （2）利用直线参数方程中参数的几何意义求解.【详解】（1）曲线：，直线：C 22(2)(1)4x y -+-=l 20x y --=（2）设：(为参数)l 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t 将的参数方程代入,l 22(2)(1)4x y -+-=得,222)(3)4-+-+=,290t -+=故,12t t +=129t t =,22222121212()2501832PM PN t t t t t t +=+=+-=-=故.2232PM PN +=【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,222tan x y yx ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2ρcos ρθ以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，sin ρθθ从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.18．设实部为正数的复数，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限z ()12i z +的角平分线上.（1）求复数；z （2）若为纯虚数，求实数的值.()i1i m z m R -+∈+m 【答案】（1）；（2）.3i z =-5-【分析】（1）根据待定系数法求解，设且，由题意得到关于的方程组求i(,z a b a b R =+∈0)a >,a b 解即可．（2）根据纯虚数的定义求解即可．【详解】（1）设，，，由题意：①i z a b =+,a b R ∈0a >2210a b +=，得②()()()()12i 12i i 22i z a b a b a b +=++=-++22a b a b -=+①②联立，解得，得.3a =1b =-3i z =-（2），()()i 1i i113i 31i 1i 222m m m m z ----+⎛⎫+=++=++- ⎪+⎝⎭所以且，解得.1302m -+=1102m +-≠5m =-19．近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的县城进行A 车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投x y 放量与年使用人次的散点图如图所示.x yx1234567y611213466101196（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数lg =+y a b x 模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用(0,0)=⋅>>xy c d c d x人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；y y x （2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户2000.2每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？18000参考数据：其中，.lg ii v y =117nii v v ==∑y v71i ii x y=∑71i ii x v=∑0.541062.141.54253550.12 3.47参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最()11,x y ()22,x y (),n nx y ˆˆa y bx =-小二乘估计公式分别为.121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ 【答案】（1）适宜，；（2）年.xy c d =⋅0.25ˆ 3.4710x y =⨯6【分析】（1）根据散点图判断，适宜；由两边同时取对数得，设x y c d =⋅xy c d =⋅lg lg lg y c x d =+，则，根据参考数据以及参考公式首先求出的回归直线方程进而求出结lg y v =lg lg v c x d =+v x ，果；（2）将8000代入回归直线方程可得年使用人次，求出每年收益与总投资，则可求出结果.【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型.xy c d =⋅x y 由，两边同时取常用对数得.x y c d =⋅()lg lg lg lg x y c d c x d =⋅=+设，则.lg y v =lg lg v c x d =+因为，，，，4x = 1.54v =721140ii x==∑7150.12==∑i ii x v所以.7172217lg 7==-==-∑∑i i i ii x v x vd xx250.1274 1.5470.251407428-⨯⨯==-⨯把代入，得，(4,1.54)lg lg =+v c x d lg 0.54c =所以，所以，ˆ0.540.25vx =+ˆlg 0.540.25y x =+则，0.540.250.25ˆ10 3.4710x x y+⨯==故关于的回归方程为.y x 0.25ˆ 3.4710xy =⨯（2）投入千辆单车，则年使用人次为千人次，80.2583.4710347⨯⨯=每年的收益为（千元），347(10.2)277.6⨯-=总投资千元，800020016000001600⨯==假设需要年开始盈利，则，即，n 277.61600⨯>n 5.76>n 故需要年才能开始盈利.620．已知圆有以下性质：222:C x y r +=①过圆上一点的圆的切线方程是.C ()00,M x y 200x x y y r +=②若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则()00,M x y C M C ,A B 垂直，即.OM AB 1AB OM K K ⋅=-（1）类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程 (不要求证明)；2222:1x y C a b +='()00,M x y （2）若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切于2222:1x y C a b +='()00,M x y M 两点，求证：为定值.,A B AB OM K K ⋅【答案】（1）切线方程是；（2）见解析.00221x x y ya b +=【详解】分析：（1）根据类比推理可得结果；（2）设由（1）得过椭圆上点()()1122,,,A x y B x y 的切线的方程是，同理，又过两点的直线是唯一的，直()11,A x y 1l 11221x x y ya b +=2020221x x y y a b +=,A B 线的方程是，，又，从而可得结果.AB 00221x x y y a b +=2020AB b x k a y =-00OM y k x =详解：（1）过椭圆上一点的的切线方程是()2222:10x y C a b a b =>'+>()00,M x y 00221x x y ya b +=（2）设()()1122,,,A x y B x y 由（1）得过椭圆上点的切线的方程是，()11,A x y 1l 11221x x y ya b +=∵直线过点，1l ()00,M x y ∴1010221x x y y a b +=同理2020221x x y y ab +=又过两点的直线是唯一的，,A B ∴直线的方程是.AB 00221x x y ya b +=∴，2020AB b x k a y =-又，0OM y k x =∴为定值.22002200AB OM b x y b k k a y x a ⋅=-⋅=-点睛：本题主要考查类比推理、圆锥曲线的切线，圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动23没有兴趣.(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？22⨯90%有兴趣没兴趣合计男55女合计(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率.附表：.22(),()()()()-==+++++++n ad bc n a b c da b c d a c b d χ【答案】(1)有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；90%(2).710【分析】（1）根据已知数据得到列联表，根据列联表中的数据计算出，可得结论；2χ（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求．【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表有兴趣没有兴趣合计男451055女301545合计7525100由列联表中的数据可得，()22100451510301003.0305545752533χ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为，23.030 2.706χ≈>所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；（2）记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取3人，所有可能的情况为：（A,m,n ）,（B,m,n ）,（C,m,n ）,（A,B,m ）,（A,B,n ）,（B,C,m ）,（B,C,n ）,（A,C,m ）,（A,C,n ）,（A,B,C ），共10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A,B,C ），共1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A,B,m ）,（A,B,n ）,（B,C,m ）,（B,C,n ）,（A,C,m ）,（A,C,n ），共6种，所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，因此，所求概率为．710P =22．写出以下各式的值：()1______；()()22sin 60sin 30sin 30 +-⋅-=______；()()22sin 150sin 120sin 120+-⋅-=______．22sin 15sin 15sinl5+⋅= 结合的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．()2()1【答案】（1），，； （2）见解析.141414【分析】利用特殊角的三角函数进行计算()1当，，借助于和差角的三角函数公式进行证明即()2αβ30+=221sin αsin βαsin β4+⋅=()可．【详解】，()()()2211sin 60sin 30sin 304+-⋅-=，()()221sin 150sin 120sin 1204 +-⋅-=，221sin 15sin 15sinl54+⋅=当，，()2αβ30+=221sin αsin βαsin β4+⋅=证明：，则，αβ30+= β30α=-，()()2222sin αsin βαsin βsin αsin 30ααsin 30α∴++⋅=+-⋅-，2211sin α(cos αα)αcos αα22⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.222222133111sin αcos ααsin αααcos αsin αsin αcos α442444sin =+++-=+=【点睛】本题考查归纳推理，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
高二数学下学期第一次在线月考试题文含解析试题 2
智才艺州攀枝花市创界学校叙州区第一中二零二零—二零二壹高二数学下学期第一次在线月考试题文〔含解析〕本卷须知：2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答复非选择题时，将答案写在答题卡上.写在套本套试卷上无效.第I 卷选择题〔60分〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.0x a +-=的倾斜角为〔〕A.30B.150︒C.120︒D.与a 取值有关 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线的方程求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．【详解】直线﹣a=0的斜率为﹣3，设倾斜角为θ，那么tanθ=﹣3．又0°≤θ＜180°，∴θ=150°， 应选B ．【点睛】此题考察直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，属于根底题.2.某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组〔1－5号，6－10号，…，196－200号〕.假设第5组抽出的号码为22，那么第1组至第3组抽出的号码依次是〔〕 A.3，8，13 B.2，7，12C.3，9，15D.2，6，12【答案】B 【解析】 【分析】根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码．【详解】根据系统抽样原理知，抽样间距为200÷40=5， 当第5组抽出的号码为22时，即22=4×5+2， 所以第1组至第3组抽出的号码依次是2，7，12． 应选：B ．【点睛】此题考察了系统抽样方法的应用问题，是根底题．3.甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计图用茎叶图表示如下列图，假设甲、乙两人的平均成绩分别用x 甲、x 乙表示，那么以下结论正确的选项是() A.x x >甲乙，且甲比乙成绩稳定 B.x x >甲乙，且乙比甲成绩稳定 C.x x <甲乙，且甲比乙成绩稳定D.x x <甲乙，且乙比甲成绩稳定【答案】A 【解析】 【分析】利用茎叶图求出甲、乙两位同学的平均成绩和方差，分别比较这两个数的大小，可得出结论． 【详解】由茎叶图可知，甲同学成绩的平均数为8889909192905x ++++==甲，方差为24101425S ++++==甲，乙同学成绩的平均数为8388898991885x ++++==乙，方差为22508198.65S ++++==乙，那么x x >甲乙，22S S <甲乙， 因此，x x >甲乙，且甲比成绩稳乙定，应选A ．【点睛】此题考察茎叶图，考察平均数和方差的计算，在求解有关茎叶图中数据的计算时，先将数据由小到大或者由大到小排列，结合相关公式进展计算，考察计算才能，属于中等题．220x y x y m -++=+表示一个圆，那么m 的取值范围是()A.2m ≤B.2m <C.12m <D.12m ≤【答案】C 【解析】 【分析】把方程化简为圆的HY 方程，利用半径大于零，解不等式即可．【详解】由方程220x y x y m -++=+，化简得22111222x y m ⎛⎫⎛⎫-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程表示一个圆，∴102m ->，解得12m <. 应选C ．【点睛】此题主要考察二元二次方程表示圆的条件，一般化简为圆的HY 方程，属于根底题. 5.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为〔〕A.403π B.323π C.8323π+D.16323π+【答案】D【分析】由三视图复原原几何体，是一个长方体上方有一个半球．再根据体公式计算． 【详解】由三视图知该几何体是由一个长方体上方放一个半球组合的，尺寸见三视图，31416442232233V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+．应选：D.【点睛】此题考察三视图，考察组合体的体积〔柱体和球的体积〕，解题关键是由三视图复原出原几何体．α∥β平面的一个充分条件是〔〕A.存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB.存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC.存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD.存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α【答案】D 【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对； 对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对； 对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确 考点：空间线面平行的断定与性质1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，那么k 的值是〔〕.A.1或者3B.1或者5C.3或者5D.1或者2【答案】C当k-3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k-3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k 的值．解：由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为y=-1和y=3/2，显然两直线平行．当k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得k=5．综上，k 的值是3或者5，应选C ． 8.假设圆：(22:1C x y ++=关于直线:0l x y m -+=对称，1:0l x y -+=，那么l 与1l 间的间隔是〔〕A.1B.2D.3【答案】D 【解析】 【分析】由圆心在直线l 上求得m ，然后由平行间间隔公式求得间隔． 【详解】由题意(C ，圆(22:1C x y ++=关于直线:0l x y m -+=对称，那么00m +=，m =，即l方程为0x y -，所求间隔为3d ==．应选：D.【点睛】此题考察两平行线间的间隔，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m ，再那么平行间间隔公式计算．A，B 到直线l 的间隔均等于a ，且这样的直线可作4条，那么a 的取值范围是〔〕A.1a ≥B.01a <<C.01a <≤D.02a <<【答案】B 【解析】 【分析】由题意做出简图，分别讨论,A B 在同一侧和两侧两种情况，只需a 小于,A B 两点间隔的一半，再由两点间的间隔公式即可求出a 的取值范围. 【详解】解：由题意如下列图： 因为假设,A B 在直线的同一侧，可做两条直线，所以假设这样的直线有4条，那么当,A B 两点分别在直线的两侧时，还应该有两条，所以2a 小于,A B 的间隔，因为||2AB ==，所以022a <<， 所以：01a <<， 应选：B.【点睛】考察点到直线的间隔公式，属于中档题.221mx ny +=的一个焦点与抛物线218y x =的焦点一样，离心率为2，那么抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的间隔为A.2 C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得双曲线的一个焦点为(0,2)，据此整理计算可得双曲线的渐近线方程为2203x y -=，求得渐近线方程为0x -=，结合点到直线间隔公式求解焦点到渐近线的间隔即可.【详解】抛物线28x y =的焦点为(0,2)，221mx ny ∴+=的一个焦点为(0,2)， ∴焦点在y 轴上，根据双曲线三个参数的关系得到22114ab n m=+=-， 又离心率为2，即441n =，解得11,3n m ==-，∴此双曲线的渐近线方程为2203x y -=，那么双曲线的一条渐近线方程为0x -=，那么抛物线的焦点()0,2到双曲线的一条渐近线的间隔为：d ==.此题选择B 选项.【点睛】此题主要考察双曲线方程的求解，双曲线的渐近线方程，点到直线间隔公式等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.11.三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ＝3，PA ⊥PB ，三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为〔〕A.272πB.2πD.27π【答案】B 【解析】 【分析】计算棱锥的高，判断外接球球心位置，利用勾股定理求出外接球的半径，代入体积公式计算． 【详解】解：∵PA ＝PB ＝3，PA ⊥PB ，∴AB ＝∵PA ＝PB ＝PC ，∴P 在底面ABC 的射影为△ABC 的中心O ，设BC 的中点为D ，那么AD =AO 23=AD =∴OP =，设三棱锥P ﹣ABC 的外接球球心为M ， ∵OP ＜OA ，∴M 在PO 延长线上，设OM ＝h ，那么MA =OP +h ，∴6+h 2h 〕2，解得h =∴外接球的半径r 22=+=．∴外接球的体积V 34433r ππ==⨯〔2〕32=．应选B ．【点睛】此题考察了棱锥与外接球的位置关系，考察计算才能，空间想象才能，属于中档题．22y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM ∆为等边三角形时，其面积为〔〕B. C.2【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义得出PM 垂直于抛物线的准线，设2,2m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，求出PMF △的边长，写出有关点的坐标，利用两点间隔的公式得到FM ，列出方程求出m 的值，得到等边三角形的边长，从而求出其面积.【详解】据题意知，PMF △为等边三角形，PF PM =，∴PM⊥抛物线的准线，设2,2m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，那么1,2M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 等边三角形边长为2122m +，102F ⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以由PF PM =，得2122m +=，解得m =，∴等边三角形边长为2，其面积为1222⨯⨯= 应选:A.【点睛】此题主要考察了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题，考察了学生综合把握所学知识和根本的运算才能，属于中档题.第II 卷非选择题〔90分〕二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.2,210x R x x ∀∈-->〞的否认形式是______．【答案】2000,210x R x x ∃∈--≤．【解析】试题分析：,()x M p x ∀∈，的否认为：00,()x M p x ∃∈⌝，得：2,210x R x x ∀∈-->〞的否认形式是：2000,210x R x x ∃∈--≤． 故应填入：2000,210x R x x ∃∈--≤．14.x ､y 满足约束条件420y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,那么2z x y =+的最小值为_____________.【答案】-6 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目的函数得答案.【详解】由约束条件420y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩作出可行域如图：联立2y xy =⎧⎨=-⎩，解得()2,2A --，化目的函数2z x y =+为2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过()2,2A --时，即2,2x y =-=-时直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为()2226⨯--=-.故答案为:﹣6.【点睛】此题考察了线性规划问题，画出可行域是解题的关键.1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________. 【答案】22(2)(1)2x y -+-=【解析】【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C 〔2，a 〕，当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．=，∴a=1或者9， a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=那么所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-=考点：圆的HY 方程 16.0,0,0ab c >>>，假设点(),P a b 在直线2x y c ++=上，那么4a ba b c+++的最小值为___________.【答案】2+【解析】 【分析】由(),P a b 在直线2x y c ++=上，可得20a b c +=->，设2c mc n-=⎧⎨=⎩，那么2m n +=，原式化为4212m n m n +⎛⎫⨯+- ⎪⎝⎭，展开后利用根本不等式可得结果. 【详解】(),P a b 在2x y c ++=上，2a b c ∴++=，20a b c +=->，4422a b c a b c c c +-+=++-4212c c=+--， 设2c mc n-=⎧⎨=⎩，那么2m n +=，2333n m m n =++≥+=+当222m n =，即2c =时，“=〞成立，4213122c c ∴+-≥+=+-即4a b a b c+++的最小值为2+，故答案为2+. 【点睛】此题主要考察利用根本不等式求最值，属于难题.利用根本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等〞的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或者积是否为定值〔和定积最大，积定和最小〕；三相等是，最后一定要验证等号能否成立〔主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是屡次用≥或者≤时等号能否同时成立〕. 三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.p ：方程230x x m -+=q ：方程22192x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆． (1)p 为真，求m 的取值范围； (2)p q ∧为真，求m 的取值范围．【答案】〔1〕94m ≤.〔2〕924m <≤【解析】 【分析】〔1〕原题转化为方程230x x m -+=有实数解，23)40m ∆=--≥（；〔2〕p q ∧. 【详解】〔1〕∵230x x m -+=有实数解，∴293)40,4m m （∆=--≥∴≤ 〔2〕∵椭椭圆焦点在x 轴上,所以902092m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，∴1122m <<∵p q ∧为真，119224m m ∴<<≤且，924m ∴<≤.p 且q 真，那么p 真，q 也真；假设p 或者q 真，那么p ，q 至少有一个真；假设p 且q 假，那么p ，q 至少有一个假．〔2〕可把“p 或者q 〞“p 且q 〞1C 经过两点()2,0E -，()4,2F -，且圆心1C 在直线l ：280x y -+=上．〔1〕求圆1C 的方程； 〔2〕设圆1C 与x 轴相交于A 、B 两点，点P 为圆1C 上不同于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 交y轴于M 、N 点．当点P 变化时，以MN 为直径的圆2C 是否经过圆1C 内一定点？请证明你的结论． 【答案】〔1〕()2244x y ++=；〔2〕当点P 变化时，以MN 为直径的圆2C经过定点()-．证明见解析【解析】 【分析】 〔1〕设圆圆心为()1,24C a a +，由11C E C F =求得a 的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的HY方程； 〔2〕设()00,Px y 〔00y ≠〕，由条件求得M ，N 的坐标，可得圆2C 的方程，再根据定点在x 轴上，求出定点的坐标． 【详解】〔1〕设圆圆心为()1,28C a a +，由11C E C F==解得4a =-，∴()14,0C -，2=，所以圆1C ：()2244x y ++=〔2〕设()00,P x y 〔00y ≠〕，那么()220044x y ++=．又()6,0A -，()2,0B -，所以PA l ：()0066y y x x =++，0060,6y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭， PB l ：()0012y y x x =++，0020,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． 圆2C 的方程为220000200006262626222y y y y x x x x x y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪++++ ⎪ ⎪+-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简得2200006212062y y xy y x x ⎛⎫+-+-= ⎪++⎝⎭，由动点()00,P x y 关于x 轴的对称性可知，定点必在x 轴上，令0y =，得x =±()-在圆1C 内，-．所以当点P变化时，以MN为直径的圆2C经过定点()【点睛】此题主要考察求圆的HY方程的方法，圆经过定点问题，表达了转化的思想，属于中档题．19.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下列图，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)假设这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比方下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.a＝〔2〕73(分)〔3〕10【答案】〔1〕0.005【解析】【分析】〔1〕由频率分布直方图的性质列方程即可得到a的值；〔2〕由平均数加权公式可得平均数，计算出结果即可；〔3〕按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学，）之外的人数．成绩在[5090【详解】解(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为1455,4020,3040,2025234⨯=⨯=⨯=.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.【点睛】此题考察频率分布直方图及计算，解题关键是认真识图，不遗漏条件，属于根底题.E AFC -与B AFC -拼接得到如下列图的多面体，其中H ，D ，G ，I 分别为FB ，AC ，EC ，FC 的中点，1//2EF BD . 〔1〕当点P 在直线GI 上时，证明：//PH 平面ABC ；〔2〕假设ACE ∆与ABC ∆的等边三角形，求该多面体体积的最大值.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕32【解析】 【分析】〔1〕利用面面平行的断定定理得出平面//GIH 平面ABC ，再由面面平行的性质得出//PH 平面ABC ；〔2〕将多面体的体积转化为三棱锥E AFC -与B AFC -的体积和，由于三棱锥F ABC -和F AEC -的底面积一定，那么高同时到达最大值时，多面体的体积最大，当平面ACE ⊥平面ACB时，由面面垂直的性质得出三棱锥F ABC -和F AEC -的高，利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】〔1〕证明：∵G 、I 、H 为中点 ∴//GIEF ，//HI BC又∵//EF BD∴//GIBD∵BD ⊂平面ABC ，GI ⊄平面ABC∴//GI 平面ABC 同理//HI平面ABC,,GI HI I GI HI ⋂=⊂平面GIH∴平面//GIH平面ABC∵P GI ∈，∴PH ⊂平面GIH∴//PH 平面ABC 〔2〕F ABC F AEC VV V --=+易知//EF 平面ABC故F ABCE ABC V V --=连接ED ，当平面ACE ⊥平面ACB 时∵D 是AC 的中点∴在正三角形ACB 、ACE 中BD AC ⊥，ED AC ⊥，平面ACE 与平面ACB 的交线为ACBD ⊂平面ACB ，ED ⊂平面ACE∴BD ⊥平面ACE ，ED ⊥平面ACB∴EF⊥平面ACE此时，三棱锥F ABC -和F AEC -的高同时到达最大值 此时F ABCF AEC V V --+由ABC ∆，AEC ∆12EF BD =可得ED BD ==EF =∴此时1133V=32=.故该多面体体积的最大值为32.【点睛】此题主要考察了面面平行的性质证明线面平行以及求棱锥的体积，属于中档题.21.随着智能的普及，使用上网成为了人们日常生活的一局部，很多消费者对流量的需求越来越大.某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城〔总人数、经济开展情况、消费才能等方面比较接近〕采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价x:(单位：元/月〕和购置人数y(单位：万人〕的关系如表:〔1〕根据表中的数据，运用相关系数进展分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出是正相关还是负相关；〔2〕①求出y关于x的回归方程；②假设该通信公司在一个类似于试点的城中将这款流量包的价格定位25元/月，请用所求回归方程预测一个月内购置该流量包的人数能否超过20万人.158≈161≈164≈.参考公式：相关系数()()ni ix x y yr--=∑，回归直线方程y bx a=+，其中()()()121ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，a y bx=-.【答案】(1)见解析;(2)①0.6436.6y x=-+;②一个月内购置该流量包的人数会超过20万人.【解析】(1)根据题意，得x , ,y 计算出相关系数r ，从而可以作出判断; (2)①求出回归直线方程，②由①知，假设25x =，那么0.642536.6ˆ52.6y=-⨯+=，从而预测一个月内购置该流量包的人数会超过20万人 【详解】〔1〕根据题意，得()13035404550405x=++++=， ()1181********y =++++=. 可列表如下根据表格和参考数据，得()()51160iii x x yy =--=∑，161==≈.因此相关系数()()51600.99161x x y y r ---==≈-. 由于0.99r ≈很接近1，因此可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系.由于0r <，故其关系为负相关.〔2〕①()()()515211600.6425ˆ0iii ii x x y y bx x ==---===--∑∑，110.64406ˆ3.6a=+⨯=，因此y 关于x 的回归方程为0.6436.ˆ6y x =-+.②由①知，假设25x =，那么0.642536.6ˆ52.6y=-⨯+=，故假设将流量包的价格定为25元/月，可预测一个月内购置该流量包的人数会超过20万人.【点睛】此题主要考察线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①根据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,nnii i i i x y xx y ==∑∑的值；③计算回归系数ˆˆ,a b；④写出回归直线方程为ˆˆˆybx a =+；回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.()2210a b a b+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC ⋅=，2OC OB BC BA -=-.〔Ⅰ〕求椭圆的方程： 〔Ⅱ〕设,P Q 为椭圆上异于,A B 且不重合的两点，且PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，是否存在实数λ，使得PQ AB λ=，假设存在，恳求出λ的最大值，假设不存在，请说明理由.【答案】〔Ⅰ〕223144x y +=〔Ⅱ〕max λ=【解析】 【分析】 〔Ⅰ〕易知2,a=根据条件确定AOC ∆形状，即得C 坐标，代入椭圆方程可得2b ，〔Ⅱ〕即先判断PQ AB∥是否成立，设PC 的直线方程，与椭圆联立方程组解得P 坐标，根据P 、Q 关系可得Q 坐标，利用斜率坐标公式即得PQ 斜率，进而判断PQ AB ∥成立，然后根据两点间间隔公式计算PQ 长度最大值，即可得λ的最大值.【详解】〔Ⅰ〕∵0AC BC ⋅=，∴,90AC BC ACB ⊥∠=︒又2OC OB BC BA -=-，即2BC AC =，22,OC AC OC AC ==∴AOC ∆是等腰直角三角形 ∵(2,0)A ，∴(1,1)C因为点C 在椭圆上，∴22111,2,a a b +==∴243b =∴所求椭圆方程为223144x y +=〔Ⅱ〕对于椭圆上两点P 、Q ，∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴 ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，设(0PC k k k =≠且1)k ≠±，那么CQ k k =-，那么PC 的直线方程1(1)(1)1y k x y k x -=-⇒=-+①QC 的直线方1(1)(1)1y k x y k x -=--⇒--+②将①代入223144x y +=得222(13)6(1)3610k x k k x k k +--+--=③∵(1,1)C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴22361113p p k k x x k --⋅==+ 以k -交换k ，得到2236131Q k k x k +-=+. 因为(1,1)B --,所以1,3ABk =∴,PQ AB k k =∴PQ AB ∥，∴存在实数λ，使得PQ AB =λ 当2219kk =时即21,33k k ==±时取等号， 又||10AB =maxλ==【点睛】解析几何存在性问题，一般解决方法先假设存在，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或者三角问题，然后直接推理、计算，根据计算结果确定是否存在．其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或者求根公式进展转化.。
南通市2021-2022学年(下)高二第一次月考数学试题(后附答案解析)
南通市2021-2022学年（下）高二第一次月考真题卷数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是A.()0,3 B.(,3)-∞ C.(3,)+∞ D.()3,3-2.函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于（）A.2- B.4- C.12-D.23.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上的图象连续不间断，在开区间(),a b 内的导数为()f x '，那么在区间(),a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-成立，其中c 叫做()f x 在[],a b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数()33f x x x =-在[]22-,上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A .3B.2C.1D.04.下列说法中正确的是（）①设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X ==②已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()29P A B =；④()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+.A.①②③B.②③④C.②③D.①③5.函数f （x ）＝22ax +（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是（）A.12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C.112,,33⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.若对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）A.1eB.eC.1D.3e7.已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（）A.1- B.0C.1D.28.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x <0时，函数()1x f x xe =+，若关于x 的函数[]2()()(1)()F x f x a f x a =-++恰有2个零点，则实数a 的取值范围为A.1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()(),11,-∞-+∞U C.111,11,1e e ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.(][),11,-∞-+∞ 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有项选错得0 分．9. 为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则下列说法正确的是（）A.该产品能销售的概率为34B.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～C.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则()()7403120P X P ξ====；D.()2780128P X =-=10.（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（）A.若0a ≤，则函数()f x 没有极值B.若0a >，则函数()f x 有极值C.若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭11.已知函数()2exax x a f x ++=（a为常数），则下列结论正确的有（）A.当0a =时，()f x 有最小值1eB.当0a ≠时，()f x 有两个极值点C.曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()10a x y a -+-=D.当e 102a -<≤时，()ln f x x x ≤-12.对于函数()ln xf x x=，下列说法错误的是（）A.f （x ）在（1，e ）上单调递增，在（e ，＋∞）上单调递减B.若方程()1fx k +=有4个不等的实根1234,,,x x x x，则12344x x x x +++=-C.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D.设()2g x x a =+，若对12,(1,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为___________．14.已知函数()cos xf x e x =+，则使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是_______.15.已知函数()ln xf x x =．若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121ef x f x -≤成立，则实数a 的最小值是________．16.已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()()330f x x ax b a =-+>的极大值为16，极小值为－16.（1）求a 和b 的值；（2）若过点()1,M m 可作三条不同的直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的取值范围.18.某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x （单位：百万元）12345所获利润y （单位：百万元）0.30.30.50.91（1）请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用 7 百万元对 A 、B 两个项目进行投资．若公司对项目 B 投资x (1 ≤x ≤6)百万元所获得的利润y 近似满足：0.490.160.491y x x =-++，求A 、B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据()11,x y 、()22,x y 、……、(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121ˆˆˆ,niii nii x ynx y bay bx xnx==-⋅==--∑∑．②线性相关系数iinx ynx yr -⋅=∑．一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A投资的统计数据表中5521111, 2.1iii i i x yy ====≈∑∑．19.甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23．（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．20.已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．（1）设函数()()eaxf xg x '=，求()g x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围21.已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，()2e .f x >-22.已知函数()ln .f x x x ax a =-+（1）若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x <南通市2021-2022学年（下）高二第一次月考真题卷数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是A.()0,3 B.(,3)-∞C.(3,)+∞ D.()3,3-【答案】A 【解析】【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于0求出x 的范围，写出区间形式即得到函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间．【详解】函数的定义域为x >0，∵9()f x x x'=-，令90x x-<，由于x >0，从而得0<x <3，∴函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是(0,3).故选：A .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的应用，要注意先确定函数定义域，属于基础题.2.函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于（）A.2-B.4- C.12-D.2【答案】B 【解析】【分析】由导数的几何意义得函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线的斜率为2，进而221a⨯=-即可得答案.【详解】解：因为()'cos xf x e x =+，()'0112f =+=，所以函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线的斜率为2，因为切线与直线210x ay -+=互相垂直，21y x a a=+，所以221a⨯=-，解得4a =-.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据导数的几何意义求得函数在(0,1)处的切线的斜率为2，考查运算求解能力，是基础题.3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上的图象连续不间断，在开区间(),a b 内的导数为()f x '，那么在区间(),a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-成立，其中c 叫做()f x 在[],a b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数()33f x x x =-在[]22-,上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A.3B.2C.1D.0【答案】B 【解析】【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．【详解】函数3()3f x x x =-，则()()()222,22,33f f f x x '=-=-=-，由()()()()2222f f f c '--=+，得()1f c '=，即2331c -=，解得[]232,23c =±∈-，所以()f x 在[2-，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.4.下列说法中正确的是（）①设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X ==②已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()29P A B =；④()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+.A.①②③ B.②③④C.②③D.①③【答案】A 【解析】【分析】根据题意条件，利用二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等对每一项进行逐项分析.【详解】解：命题①：设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3336115312216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；命题②：∵ξ服从正态分布()22,N σ，∴正态曲线的对称轴是2x =，()()()40.9400.1P X P X P X <=⇒>=<= ，()()02240.4P X P X ∴<<=<<=，正确；命题③：设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()()34443!43,44P AB P B ⨯⨯==，所以()()()29P AB P A B P B ==，正确；命题④：()()2323E X E X +=+正确，()()232D X D X +=错误，应该为()()234D X D X +=，故不正确.故选：A【点睛】本题考查了二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等；若命题正确，则应能给出证明；若错误，则应能给出反例.5.函数f （x ）＝22ax +（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是（）A.12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C.112,,33⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，然后令导数等于零，求出方程的两个根，通过讨论根的范围可得a 的取值范围.【详解】解：由2()(12)2ln 2ax f x a x x =+--，得2'2(12)2(2)(1)()(12)ax a x x ax f x ax a x x x+---+=+--==，（1）当0a =时，'2()x f x x-=，当02x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，（2）当0a ≠时，令'()0f x =，则2x =或1x a=-，①当0a >时，当02x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，②当0a <时，i)若12a ->，即102a -<<时，02x <<时，'()0f x <，当12x a <<-时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，ii)若12a -=，即12a =-时，当(0,)x ∈+∞时，'()0f x <，函数无极值；iii)若1122a <-<，即122a -<<-时，当10x a<<-时，'()0f x <，当12x a -<<时，'()0f x >，所以1x a =-为1,32⎛⎫⎪⎝⎭上的极小值点，综上a 的取值范围是112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D【点睛】此题考查了函数的极值，考查了分类讨论思想，属于中档题.6.若对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）A.1eB.eC.1D.3e【答案】C 【解析】【分析】由题意可得122121ln ln x x x x x x -<-，变形得出1212ln 1ln 1x x x x ++>，构造函数()ln 1x g x x+=，可知函数()y g x =在区间(),m +∞上单调递减，利用导数求得函数()y g x =的单调递减区间，由此可求得实数m 的最小值.【详解】对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，可得122121ln ln x x x x x x -<-，1212ln 1ln 1x x x x ++∴>，构造函数()ln 1x g x x+=，则函数()y g x =在区间(),m +∞上单调递减，()2ln xg x x'=-，令()0g x '<，解得1x >，即函数()y g x =的单调递减区间为()1,+∞，()(),1,m ∴+∞⊆+∞，则m 1≥，因此，实数m 的最小值为1.故选：C.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，将问题转化为函数的单调性是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7.已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（）A.1- B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥，利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可.【详解】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥，所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-，所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥，则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=，当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-，所以1m ≥-，整数m 的最小值为1-，故选：A.【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.8.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x <0时，函数()1x f x xe =+，若关于x 的函数[]2()()(1)()F x f x a f x a =-++恰有2个零点，则实数a 的取值范围为A.1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()(),11,-∞-+∞U C.111,11,1e e ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.(][),11,-∞-+∞ 【答案】C【解析】【分析】由F (x ) =0 得 f (x ) =1或 f (x ) =a ，而x <0 时， f (x ) =1无解，需满足 f (x ) =a 有两个解．利用导数求得()f x 在0x <时的性质，由奇函数得0x >时的性质，然后可确定出a 的范围．【详解】()(()1)(())0F x f x f x a =--=，()1f x =或()f x a =，0x <时，()11x f x xe =+<，()(1)x f x x e '=+，1x <-时，()0f x '<，()f x 递减，10x -<<时，()0f x '>，()f x 递增，∴()f x 的极小值为1(1)1f e-=-，又()1f x <，因此()1f x =无解．此时()f x a =要有两解，则111a e-<<，又()f x 是奇函数，∴0x >时，()1f x =仍然无解，()f x a =要有两解，则111x e-<<-．综上有111,11,1a e e ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用．首先方程化为()1f x =或()f x a =，然后用导数研究0x <时()f x 的性质，同理由奇函数性质得出0x >廛()f x 的性质，从而得出()1f x =无解，()f x a =有两解时a 范围．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分．9.为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则下列说法正确的是（）A.该产品能销售的概率为34B.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～C.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则()()7403120P X P ξ====；D.()2780128P X =-=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意先求出该产品能销售的概率，从而选项A 可判断，由题意可得3~4,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭可判断选项B ，根据独立重复事件的概率问题可判断C ，D 选项.【详解】选项A.该产品能销售的概率为113116104⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项A 正确;选项B.由A 可得每件产品能销售的概率为34一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则3~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，故选项B 正确;选项C.由题意()334312734464P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选项C 不正确;选项D.由题意80X =-，即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售,所以()222427128318044P X C ⎛⎫⎛⎫=-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项D 正确.故选：ABD.10.（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（）A.若0a ≤，则函数()f x 没有极值B.若0a >，则函数()f x 有极值C.若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【解析】【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断.【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值，又 当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞，∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增，∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值，∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭，当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞，当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点；当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点，综上可知ABD 正确，C 错误．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11.已知函数()2e xax x a f x ++=（a为常数），则下列结论正确的有（）A.当0a =时，()f x 有最小值1eB.当0a ≠时，()f x 有两个极值点C.曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()10a x y a -+-=D.当e 102a -<≤时，()ln f x x x ≤-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，求导后通过求出函数的单调区间，从而可求出其最值，对于B ，分0a >和0a <两种情况求函数的极值，对于C ，利用导数的几何意义求解，对于D ，由已知可得()()22e 12e 1e 2e x x x x ax x af x -++-++=≤，构造函数()()2e 12e 12exx x g x -++-=，利用导数求得其()()max 11g x g ==⎡⎤⎣⎦，构造函数()ln h x x x =-，利用导数求得()()min 11h x h ==⎡⎤⎣⎦，从而可得结论【详解】对于A 选项，当0a =时，()exx f x =，求导得()1e x xf x -'=，令()0f x '=，解得x =1.当x <1时，f (′x > )0，f (x )在,∞−(1 )上单调递增；当x >1时，f (′x < )0，f (x )在(1)∞+,上单调递减，所以当x =1时， f (x )有最大值1e，故选项 A 错误；对于 B 选项，当a ≠0时，对 f (x )求导得()f x '=()()()211211e e xxx ax a ax a x a---⎡⎤---+⎣⎦-=-，当0a >时，令()0f x '=，解得111x a=-，21x =且12x x <，当1,1x a ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在11x a=-时取极小值，在1x =时取极大值.当0a <时，令()0f x '=，解得11x =，211x a=-且12x x <，当(),1x ∈-∞时，()0f x '>，当11,1x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在1x =时取极大值，在11x a=-时取极小值，所以当0a ≠时，()f x 有两个极值点，故选项B 正确；对于C 选项，因为()()2211exax a x af x ---+'=-，所以()01f a '=-，又()0f a =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()()10y a a x -=--，即()10a x y a -+-=，故选项C 正确；对于D 选项，当e 102a -<≤时，()()22e 12e 1e 2ex xx x ax x a f x -++-++=≤，令()()2e 12e 12e xx x g x -++-=，()0,x ∈+∞，则()()()2e 12e 2e 32e xx x g x ---+-'=-()()()1e 1e 32e xx x ----⎡⎤⎣⎦=-，显然当0x >时，()()e 1e 30x --->，所以当01x <<时，()0g x '>，()g x 在()0,1上单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11g x g ==⎡⎤⎣⎦，令()ln h x x x =-，求导得()111x h x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<，()h x 在()0,1上单调递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ==⎡⎤⎣⎦，所以()ln f x x x ≤-，故选项D 正确，故选：BCD.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，对于选项D 解题的关键是由e 102a -<≤时，()()22e 12e 1e 2e x x x x ax x af x -++-++=≤，然后构造()()2e 12e 12exx x g x -++-=，然后利用导数求出其最大值，再利用导数求出()ln h x x x =-的最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题12.对于函数()ln xf x x=，下列说法错误的是（）A.f （x ）在（1，e ）上单调递增，在（e ，＋∞）上单调递减B.若方程()1fx k +=有4个不等的实根1234,,,x x x x，则12344x x x x +++=-C.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D.设()2g x x a =+，若对12,(1,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≤【答案】ACD 【解析】【分析】函数()ln xf x x=，(0x ∈，1)(1⋃，)∞+,2ln 1()ln x f x x -'=，利用导数研究函数的单调性和极值，画出图象．A ．由上述分析即可判断出正误；．B ．方程(|1|)f x k +=有4个不等的实根，结合函数奇偶性以及图象特点可知四个根两两关于直线1x =-对称，可判断出正误；．C ．由函数()ln xf x x =在(0,1)x ∈单调递减，可得函数ln x y x=在(0,1)x ∈单调递增，即可判断出正误；D ．设函数()g x 的值域为G ，函数()f x 的值域为E ．若对1x R ∀∈，2(1,)x ∃∈+∞，使得12()()g x f x =成立，可得G E ⊆，即可判断出正误．【详解】函数()ln xf x x=，(0x ∈，1)(1⋃，)∞+．2ln 1()ln x f x x-'=，可得函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，其大致图象如图：A ．由上述分析可得A 不正确．B ．函数(||)y f x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，则(|1|)y f x =+的图象关于1x =-对称，故(|1|)f x k +=的有4个不等实根时，则这四个实根必两两关于1x =-对称，故12344x x x x +++=-，因此B 正确．C ．由函数()ln xf x x =在(0,1)x ∈单调递减，可得函数ln x y x=在(0,1)x ∈单调递增，因此当1201x x <<<时，1212ln ln x x x x <，即1221ln ln x x x x >，因此C 不正确；D ．设函数()()g x x R ∈的值域为G ，函数()((1f x x ∈，))+∞的值域为E ，2()g x x a =+，对x R ∀∈，[G a =，)∞+．(1,)x ∀∈+∞，[e E =，)∞+．2()g x x a =+，若对1x R ∀∈，2(1,)x ∃∈+∞，使得12()()g x f x =成立，则G E ⊆．e a ∴,因此D 不正确，故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为___________．【答案】4413025【解析】【分析】令i A 表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球(0,1,2,3)i =，B 表示第二次任取的3个球都是新球，求出()i P A ，再应用全概率公式求P (B )即可．【详解】令i A 表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球(0,1,2,3)i =，B 表示第二次任取的3个球都是新球，则3303121()220C P A C ==，2139131227()220C C P A C ==，12392312108()220C C P A C ==，39331284()220C P A C ==，根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为：00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++=3333987633331212121212710884441.2202202202203025C C C C C C C C ⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：4413025.14.已知函数()cos xf x e x =+，则使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是_______.【答案】11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】分析出函数()f x 为偶函数，再利用导数分析出函数()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，由()()21f x f x ≤-可得出()()21f x f x ≤-，进而得出21x x ≤-，进而可求得x 的取值范围.【详解】函数()f x 的定义域为R ，()()()cos cos xxf x e x e x f x --=+-=+=，所以，函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()cos x f x e x =+，则()sin 1sin 0x f x e x x '=-≥-≥，所以，函数()f x 在区间[)0,+∞为增函数，由()()21f x f x ≤-可得()()21fx f x ≤-，所以21x x ≤-，则有()2241x x ≤-，可得23210x x +-≤，解得113x -≤≤.因此，使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】利用偶函数的基本性质解不等式，可充分利用性质()()f x f x =，同时注意分析出函数()f x 在区间[)0,+∞上的单调性.15.已知函数()ln x f x x =．若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121ef x f x -≤成立，则实数a 的最小值是________．【答案】1【解析】【分析】利用导数可求得()f x 单调性和()max 1ef x =，将问题转化为()()max min 1ef x f x -≤；分别在e a ≥和0e a <<的情况下，确定最小值，由此构造不等式求得a 的范围，进而得到最小值.【详解】()21ln xf x x-'= ，∴当()0,e x ∈时，()0f x '>；当()e,x ∈+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，()()max 1e ef x f ∴==；若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121e f x f x -≤成立，则()()max min 1e f x f x -≤；当e a ≥时，()0f x >恒成立，又()()max 1e e f x f ≤=，()()max min 1ef x f x ∴-≤恒成立；当0e a <<时，()f x 在[),e a 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，则只需()ln 0af a a=≥即可，即1e a ≤<；综上所述：a 的取值范围为[)1,+∞；a ∴的最小值为1.故答案为：1.16.已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是______．【答案】1[,)8-+∞【解析】【分析】根据对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，只需()()min minf xg x ≥求解即可.【详解】因为()3ln 44x f x x x=-+，所以()()()222213113434444x x x x f x x x x x ---+-'=--==-，当01x <<时，()0f x '<，当12x <<时，()0f x '>，所以()()min 112f x f ==，因为()224g x x ax =--+开口方向向下，所以在区间[]1,2上的最小值的端点处取得，所以要使对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，只需()()min min f x g x ≥，即()112g ≥或()122g ≥，即11242a ≥--+或14442a ≥--+，解得18a ≥-，所以a 的取值范围是1[,)8-+∞，故答案为：1[,)8-+∞四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()()330f x x ax b a =-+>的极大值为16，极小值为－16.（1）求a 和b 的值；（2）若过点()1,M m 可作三条不同的直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4a =，0b =；（2）()12,11--.【解析】【分析】（1）求出导函数'()f x ，确定极大值和极小值，由题意可求得,a b ；（2）设切点()()00,P x f x ，切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，即()2300342y x x x =--，由切线过点()1,M m ，得()233200003422312m x x x x x =--=-+-，从而此方程有 3 个实数根，问题转化为函数g (x = )2x 3 −3x 2+m +12 有 3 个零点，再由导数研究g (x ) 的极大值和极小值可得出结论．【详解】（1）函数()()330f x x ax b a =-+>，()(2333f x x a x x '=-=+-.可得：函数()f x 在(,-∞，)+∞上单调递增，在(上单调递减.∴x =时函数()f x 取得极大值16，x =时函数()f x 取得极小值－16.∴(316f b =-=，316f b ==-，联立解得：4a =，0b =，（2）由（1）可知()312f x x x =-，设切点()()00,P x f x ，则切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，即()2300342y x x x =--，因为切线过点()1,M m ，所以()233200003422312m x x x x =--=-+-，由于有3条切线，所以方程有3个实数根，设()322312g x x x m =-++，则只要使()g x 有3个零点，令()2660g x x x '=-=，解得1x =或0x =，当(),0x ∈-∞，()1,+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以0x =时，()g x 取极大值，1x =时，()g x 取极小值，所以要是曲线()g x 与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩，即120110m m +>⎧⎨+<⎩，解得1211m -<<-，即实数m 的取值范围为()12,11--.【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，考查导数的几何意义，考查用导数研究函数零点个数问题，本题对计算能力的要求较高，属于难题．18.某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x （单位：百万元）12345所获利润y （单位：百万元）0.30.30.50.91（1）请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用7百万元对A 、B 两个项目进行投资．若公司对项目B 投资()16x x ≤≤百万元所获得的利润y 近似满足：0.490.160.491y x x =-++，求A 、B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据()11,x y 、()22,x y 、……、(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆˆˆ,ni ii n i i x ynx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑．②线性相关系数1222211()()iii i i i i nn nx ynx yr x nx y n y ===-⋅=--∑∑∑．一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A 投资的统计数据表中5521111, 2.24, 4.4 2.1iii i i x yy ====≈∑∑．【答案】（1）0.95r >，用线性回归方程ˆ0.2y x =对该组数据进行拟合合理；（2）对A 、B项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．【解析】【分析】(1)根据给定数表，计算出,x y ，再代入最小二乘法公式及线性相关系数公式计算即得；(2)由题设条件列出获得的总利润的函数关系，再借助均值不等式求解即得.【详解】（1）对项目A 投资的统计数据进行计算得：3x =，0.6y =，52155ii x==∑，于是得5512221511530.60.255535i ii i i x y x ybx x==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑ ，ˆˆ0.60.230a y bx =-=-⨯=，所以回归直线方程为：ˆ0.2yx =，线性相关系数550.95340.95iix yx yr -⋅=>∑，这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程ˆ0.2yx =对该组数据进行拟合合理；（2）设对B 项目投资()16x x ≤≤百万元，则对A 项目投资()7x -百万元，所获总利润0.490.490.160.490.2(7) 1.930.04(1)11w x x x x x ⎡⎤=-++-=-++⎢⎥++⎣⎦1.93 1.65≤-=，当且仅当0.490.04(1)1x x +=+，即 2.5x =时取等号，所以对A 、B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．19.甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23．（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．【答案】（1）分布列见解析，18481；（2）11206561【解析】【分析】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，再由独立事件的概率公式求得每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，然后由数学期望的计算公式，得解；（2）设第i 场甲、乙两队积分分别为i X ，i Y ，则3i i X Y =-，1i =，2，由两队积分相等，可推出123X X +=，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解．【详解】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，312312111(0)()()33339P X C ==+⋅⋅⋅=，22242118(1)()()33381P X C ==⋅⋅⋅=，222421216(2)()()33381P X C ==⋅⋅⋅=，2233212216(3)()()333327P X C ==⋅⋅⋅+=，所以X 的分布列为X0123P1988116811627所以数学期望181616184()0123981812781E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A ，设第i 场甲、乙两队积分分别为i X ，i Y ，则3i i X Y =-，1i =，2，因两队积分相等，所以1212X X Y Y +=+，即1212(3)(3)X X X X +=-+-，则123X X +=，所以P （A ）12121212(0)(3)(1)(2)(2)(1)(3)(0)P X P X P X P X P X P X P X P X ===+==+==+==1168161681611120927818181812796561=⨯+⨯+⨯+⨯=．20.已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．（1）设函数()()eaxf xg x '=，求()g x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围【答案】（1）当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a，增区间为1(,)a +∞（2）2(e ,).+∞【解析】【分析】（1）依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且()1()ln e axf xg x a x a x'==++，则21()ax g x x-'=，再对a 进行分类讨论即可得到答案．（2）因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点．由（1）知0a <时不合题意；当0a >时，min 1()((21)g x g a na a==-，接下来对a 进行讨论即可得到答案．【小问1详解】依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，e ()e (ln 1)axaxf x a x x'=++,则()1()ln e axf xg x a x a x'==++，则21().ax g x x -'=①当0a <时，()0g x '<在,()0x ∈+∞上恒成立，()g x 单调递减；②当0a >时，令()0g x '=得，1x a=，所以，当1(0,)x a ∈时，()0g x '<，()g x 递减；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增；综上，当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a ，增区间为1(,).a+∞【小问2详解】因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点，由（1）知0a <时不合；当0a >时，min 1()((21).g x g a na a==-当20e a <<时，1()(0g x g a>>，()g x 没有零点，不合题意；当2e a =时，1(0g a=，()g x 有一个零点1a，不合题意；当2e a >时，1()0g a <，21()(12ln )g a a a a=+-，设()12ln a a a ϕ=+-，2e a >，则2()10a aϕ'=->，所以22()(e )e 30a ϕϕ>=->，即21(0g a>，所以存在1211(,)x a a∈，使得1()0g x =；又因为1(e 0eg =>，所以存在211(,ex a ∈，使得2()0.g x =()f x 的值变化情况如下表：x 1(0,)x 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞()'f x +0-0+()f x 递增极大值递减极小值递增所以当2e a >时，()f x 有两个极值点，综上，a 的取值范围是2(e ,).+∞21.已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，()2e .f x >-【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】。
2021-2022学年河北省沧州市沧县中学高二下学期4月月考数学试题(解析版)
2021-2022学年河北省沧州市沧县中学高二下学期4月月考数学试题一、单选题1．某质点沿曲线运动的方程为()23f x x =-+（x 表示时间，()f x 表示位移），则该质点从x ＝2到x ＝3的平均速度为（ ） A ．－5 B ．5 C ．－6 D ．6【答案】A【分析】直接求平均速度.【详解】由题得该质点从x ＝2到x ＝3的平均速度为()()32532f f -=--．故选：A ．2．向一个半球形的水池注水时，向池子注水速度不变（即单位时间内注入水量相同），若池子中水的高度h 是关于时间t 的函数()h t ，则函数()h t 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据几何体的形状，判断水面高度h 随时间t 升高的快慢，判断可得出合适的选项.【详解】几何体为半球形，上面宽下面窄，相同的时间内注水量相同，所以高度增加得越来越慢， 即图象越来越平缓， 故选：B.3．给出以下新定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（ ）A ．()e xf x =B ．()2f x x =C ．()3f x x = D ．()ln f x x =【答案】D【分析】求出每一个函数的二阶导数，判断是否()0f x ''<在定义域上恒成立,从而得到答案.【详解】对于A 选项，()()e e ,x x f f x x '==，则()e 0xf x ''=>，不是凸函数；对于B 选项，()2,()2f x x f x '==，则()0f x ''=，不是凸函数；对于C 选项，()32,()3f x x f x x '==，则()'60f x x =<'在R 上不恒成立，不是凸函数；对于D 选项，()1,(ln )f f xx x x '==，则()210f x x ''=-<，在定义域上恒成立，是凸函数. 故选：D.4．设函数()y f x =在R 上可导，则()()0lim x f f x x∆→-∆=∆（ ）A ．()0f 'B ．()0f '-C ．()f x 'D ．以上都不对【答案】B【分析】利用导数的定义可得结果. 【详解】由导数的定义可知()()()()()0000lim lim 0x x f f x f x f f x x∆→∆→-∆∆-'=-=-∆∆. 故选：B.5．已知函数()cos f x x x =，则2f π'⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2π D ．2π-【答案】D【分析】求导之后，代导函数表达式即可求解 【详解】()cos f x x x =()()cos sin f x x x x '⇒=+-所以cos sin 22222f πππππ⎛⎫⎛⎫'=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D6．若函数()e xf x kx =-在区间()1,+∞单调递减，则k 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．[)e,+∞D ．(],e -∞【答案】D【分析】由题意()e 0xf x k '=-≤在区间()1,+∞上恒成立，即()mine xk ≤，从而可得答案.【详解】∵函数()e xf x kx =-在区间()1,+∞单调递减， ∴()e 0xf x k '=-≤在区间()1,+∞上恒成立，即()minexk ≤，()1,x ∈+∞，∴e k ≤，∴k 的取值范围是(],e -∞， 故选：D ．7．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．0 B ．1C ．32-D ．32【答案】A【分析】对函数()3232g x x x =-+求导，再求导()g x ''，然后令()0g x ''=，求得对称点即可.【详解】依题意得，()236g x x x '=-，()66g x x ''=-，令()0g x ''=，解得x ＝1，∵()10g =，∴函数()g x 的对称中心为()1,0， 则()()20g x g x -+=， ∵11921831791121010101010101010+=+=+==+= ∴12319010101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A.8．已知定义在()(),00,∞-+∞上的偶函数()f x ，在0x >时满足：()()0xf x f x '+>，且()10f =，则()0f x >的解集为（ ） A ．()(),11,-∞-⋃+∞ B ．()(),10,1-∞-⋃ C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】A【分析】令()()F x xf x =，根据奇偶性的定义，可得()F x 的奇偶性，利用导数可得()F x 的单调性，所求()()0F x f x x =>，等价于()00F x x >⎧⎨>⎩或()00F x x <⎧⎨<⎩，分析即可得答案.【详解】令()()F x xf x =，所以()()()()()F x x f x xf x F x -=--=-=- 所以()F x 是奇函数，在0x >时，()()()0F x xf x f x ''+=>，则在0x >时，()F x 单调递增， 由()10f =，可得(1)1(1)0F f =⨯=，(1)(1)0F F -=-=，所求()()0F x f x x =>，等价于()00F x x >⎧⎨>⎩或()00F x x <⎧⎨<⎩，解得1x >或1x <-，所以解集为：()(),11,-∞-⋃+∞． 故选：A ． 二、多选题9．下列函数是复合函数的是（ ） A ．211y x x=+- B ．()sin 21y x =+C ．ln y x x =D ．()423y x =-【答案】BD【分析】根据复合函数的定义判断是否为各选项是否为复合函数.【详解】A ：211y x x=+-为基本函数相加，不为复合函数，不符合； B ：()sin 21y x =+可看成sin y t =与21t x =+两个函数复合而成，符合； C ：ln y x x =为两个基本函数相乘不为复合函数，不符合； D ：()423y x =-可看成4y t =与23t x =-两个函数复合而成，符合. 故选：BD10．函数()f x 的导函数为()f x '，若已知()f x '的图像如图，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 一定存在极大值点B ．()f x 有两个极值点C ．()f x 在(),a -∞单调递增D ．()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行【答案】ACD【分析】根据导函数()f x '的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断ABC ，利用导数的几何意义可判断D.【详解】由导函数()f x '的图象可知，当x a <时()0f x '≥，当x a >时()0f x '<，当0x =或x a =时()0f x '=，则()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),a +∞上单调递减，所以函数()f x 在x a =处取得极大值，且只有一个极值点，故AC 正确，B 错误； 因为()00f '=，所以曲线()y f x =在0x =处切线的斜率等于零，即()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行，故D 正确. 故选：ACD.11．已知函数()()2e 2xf x x x =- ，则()f x 在定义域上（ ）A ．有极小值2e 222-B ．有极大值2e 222-+C ．有最大值D ．无最小值【答案】ABD【分析】求导，根据导数符号计算判断即可.【详解】函数()()2e 2xf x x x =- ，可得()()'2e 2x f x x =- ，令220x -=可得2x =± 当(,2x ∈-∞-时，()'0f x > ，函数是增函数，当(2,2x ∈-时，()'0f x < ，函数是减函数，当)2,x ∈+∞时，()'0f x > ，函数是增函数，在2x =-处取极大值=2e222-+ ，在x 处取极小值=(2- ，无最大值和最小值， 故选：ABD ．12．已知0x x =是函数()ln 1x xf x x=+的极小值点，则以下判断正确的是（ ） A ．()000x f x +< B ．()000x f x +> C ．()000x f x += D ．()012f x <【答案】CD【分析】求导数()f x '，由极小值点得()0000ln 1f x x x '=⇒=--，即可代入()00x f x +判断符号；再化简得()00f x x =，用二分法分析0x 的范围即可判断D 【详解】()ln 1x xf x x=+，则()()21ln 1x x f x x ++'=+，()01ln 0f x x x '=⇒++=存在唯一的零点0x x =，即满足00001ln 0ln 1x x x x ++=⇒=--， ∴()()00000000001ln 011x x x x x f x x x x x --+=+=+=++，A 、B 错，C 正确； ()()0000000001ln 11x x x x f x x x x x --===-=++，数形结合0x x =是()0f x '=即ln 1x x =--两个初等函数的交点横坐标，易观察()00,1x ∈，用二分法检验()110f '=>，102f ⎛⎫'> ⎪⎝⎭，∴010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0012f x x =<，D 正确； 故选：CD ．三、填空题13．函数()33f x x x =-+的极大值等于______．【答案】2【分析】先求导函数，在根据导函数，求极值点即可.【详解】由题意知()233'=-+f x x ，令()0f x '=，得1x =±，当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，当()1,1x ∈-时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<， 所以当x ＝－1时，函数取极小值()12f -=-；当x ＝1时，函数取极大值()12f =． 故答案为：2.14．已知函数()()321f x f x x x '=-+-，则()1f '-的值为______．【答案】32【分析】对函数()f x 求导，将1x =-带入，即可求解.【详解】∵()()321f x f x x x '=-+-，∴()()23121f x f x x ''=-+-，∴(1)3(1)3f f ''-=--∴()312f '-=． 故答案为：32.15．已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高与底面半径之比为______． 【答案】2【分析】利用表面积表示出圆柱的高，然后可将容积V 表示成底面半径的函数，求导可知容积最大时的条件，然后可得高与底面半径之比值.【详解】设圆柱的底面半径为r ，则22S r π=圆柱底，2S rh π=圆柱侧，∴圆柱的表面积222S r rh ππ=+．∴222S r h rππ-=，又圆柱的容积()3222222r rS r V r h S r πππ-==-=，()262S r V r π-'=，令()0V r '=得26S r π=，即r =当0r <<()0V r '>，当r >()0V r '<，所以当r =V 有最大值. 此时26S r π=，代入222S r h rππ-=可得2h r =，即2h r =故答案为：216．已知函数()24ln f x x x a x =-+有一个极值点，则实数a 的取值范围为______．【答案】(],0-∞【分析】分析可知直线y a =与函数242y x x =-在()0,∞+上的图象只有一个交点（非切点），数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】由题意知()22424a x x a f x x x x-+'=-+=，函数()24ln f x x x a x =-+有一个极值点，由()0f x '=可得242a x x =-，则直线y a =与函数242y x x =-在()0,∞+上的图象只有一个交点（非切点）， 如下图所示：由图可知，当0a ≤时，直线y a =与函数242y x x =-在()0,∞+上的图象只有一个交点（非切点），故答案为：(],0-∞. 四、解答题17．求下列函数的导数． (1)2y x=，{}0x x ≠； (2)tan y x x =，,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．【答案】(1)22y x '=- (2)2sin cos cos x x xy x+'=【分析】（1）根据求导公式，计算即可得答案.（2）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案. 【详解】(1)()12221222y x x x x -'⎛⎫⎛⎫''===-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)()()()2sin cos sin cos sin tan cos cos x x x x x x x x y x x x x '''-⎛⎫''=⋅==⎪⎝⎭()222sin cos cos sin sin cos cos cos x x x x x x x x x xx+++==． 18．已知函数()341f x x x =-+，()f x '为函数()f x 的导数．(1)求()4f x x '<-的解集； (2)求曲线()y f x =的单调区间．【答案】(1)223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2)单调递增区间是,⎛-∞ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭，单调递减区间是⎛ ⎝⎭ 【分析】（1）求导数()f x '，直接解不等式即可；（2）由函数单调性与导数符号的关系，讨论()f x '的符号即可【详解】(1)由()341f x x x =-+得，()234f x x '=-，∴()4f x x '<-，即23440x x +-<，解得223x -<<， ∴()4f x x '<-的解集是223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2)()234f x x '=-，()2340f x x x '=-=⇒= ∴当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴()f x 的单调递增区间是,⎛-∞ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭，单调递减区间是⎛ ⎝⎭． 19．已知函数()3221f x x ax =-++，2x =是()f x 的一个极值点．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 在区间[]3,4-上的最大值和最小值． 【答案】(1)32a =(2)最大值是55，最小值是-15.【分析】（1）由函数()f x 在2x =处有极值，得()20f '=，进而求解实数a 的值； （2）利用导函数()'f x 求解函数()f x 的单调区间，进而求解最值. 【详解】(1)∵()f x 在2x =处有极值，∴()20f '=，∵()234f x x ax '=-+，∴1280a -+=，∴32a =，经检验，当32a =时，2x =是()f x 的极值点， ∴32a =． (2)由（1）知32a =，∴()3231f x x x =-++，()236f x x x '=-+， 令()0f x '=，得10x =，22x =，当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况如下表：从上表可知:()f x 在区间[]3,4-上的最大值是55，最小值是-15．20．已知函数()ln f x x =．(1)证明：不等式()1x f x -≥恒成立； (2)函数()()1x g x f x -=，证明：当()1,x ∈+∞时，()1g x x <<恒成立． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）构造函数()()1ln 1h x f x x x x =-+=-+，利用导数求函数最值即得； （2）利用（1）的结论可得()1,x ∈+∞时，ln 1x x <-，进而即得. 【详解】(1)令()()1ln 1h x f x x x x =-+=-+， 得()h x 的定义域为()0,∞+，()11h x x'=-． 令()0h x '=，得x ＝1．当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减． 又()10h =，所以()()10h x h ≤=，即恒有()1x f x -≥成立．(2)由（1）知，故当()1,x ∈+∞时，ln 1x x <-，且ln 0x >， ∴11ln x x-<， 用1x 替换x ，得11ln 1x x<-， 化简即1ln x x x-<， 综上，()1g x x <<．21．已知函数()ln 2f x x x =-，R a ∈．(1)求()f x 在x ＝1处的切线方程；(2)设()()2g x f x ax ax =-+，试讨论函数()g x 的单调性．【答案】(1)1y x =--；(2)答案见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而写出切线方程；（2）由题设可得()()()()1210ax x g x x x +-'=->，讨论0a ≥、2a <-、2a =-、20a -<<对应()g x '的区间符号，即可判断单调性.【详解】(1)因为()ln 2f x x x =-，则12f ， 所以()12f x x'=-，在x ＝1处()1121f '=-=-． 在x ＝1处切线方程：()21y x +=--，即1y x =--．(2)因为()()()22ln 2g x f x ax ax x ax a x =-+=-+-，所以()()()()1210ax x g x x x +-'=->，①若0a ≥，则当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，0g x ，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0g x ，()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． ②若0a <，()()()1210a x x a g x x x⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=->， 当2a <-时，在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上0g x ，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上0g x ， 所以()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 当2a =-时，0g x 恒成立，所以()g x 在()0,+∞上单调递增；当20a -<<时，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上0g x ，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上0g x ，所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． 综上，0a ≥，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 20a -<<，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 2a =-，()g x 在()0,+∞上单调递增；2a <-，()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. 22．已知函数()()12ln f x x ax a R x =+-∈． (1)若()f x 在x ＝1处的切线方程为4x －y －4＝0，求a 的值；(2)对于任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x >，都有()()122133f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围．【答案】(1)1a =(2)[)3,∞-+【分析】（1）求出()f x '，再根据()14f '=计算可得答案；（2）将条件变形可得()3y f x x =+在(0,+∞)上是增函数，记()()3g x f x x =+，求出()g x '，有()0g x '≥恒成立，转化为最值求解即可.【详解】(1)由已知0x >，且()2222121ax x f x a x x x ++'=++=， 由()14f '=，可得34a +=，∴1a =，经检验，符合题意(2)由已知可得，当120x x >>时，有()()112233f x x f x x +>+恒成立，即()3y f x x =+在()0,∞+上是增函数．记()()()132ln 3g x f x x x a x x=+=++-，则()2213g x a x x '=+++， ∴22130a x x +++≥在()0,∞+上恒成立，即2213a x x--≤+在()0,∞+上恒成立． ∵0x >时，有22211110x x x ⎛⎫+=+-> ⎪⎝⎭， 由2213a x x --≤+在()0,∞+上恒成立，得3a -≤，即3a ≥-， 即实数a 的取值范围为[)3,∞-+．。
2021-2022年高二数学4月月考试题 理(V)
2021-2022年高二数学4月月考试题理(V)一、选择题（每题5分，共60分）1．已知复数，则的共轭复数是（）A. B. C. D.2．等差数列的前项和，若，则( )3．设变量满足约束条件2030230xx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数的最大值为（）（A）3 （B）4 （C）18 （D）404．设，则“”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件5．设,,，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 6．若tan+ =4,则sin2=（）A、 B、 C、 D、7．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）（A）（B）（C）（D）8．在空间直角坐标系中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A． B．且C．且 D．且9．若且,则函数与函数在同一坐标系内的图像可能是( )10．已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)11．设，则的大小关系是（）A、 B、C、 D、12．已知函数11,(1)()4ln ,(1)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩则方程恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，共20分）13．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．14．=+++++2014321i i i i ．15． ．16．若等差数列满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当 时，的前项和最大.三、解答题（共70分）17．（本小题满分10分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求角C18．（本小题满分12分）已知函数32()(,)f x ax x ax a x =+-∈R ．（1）当时，求函数的极值；（2）若在区间上单调递增，试求的取值或取值范围19．（本小题满分12分）已知为公差不为0的等差数列的前项和，且，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．20．（本小题满分12分）在四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为.21．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.(Ⅰ) 求抛物线的方程；(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.22．（本小题满分12分）已知函数，（1）求函数的单调递增区间；A B C DP（2）若不等式在区间（0,+上恒成立，求的取值范围；（3）求证：e n n 21ln 33ln 22ln 444<+++保定三中xx——xx学年度第一学期4月月考高二数学（理）答案1．A【解析】解：因为22(1)11(1)(1)i i iz ii i i-===+++-，因此共轭复数为1-i2．C试题分析：假设公差为,依题意可得1323212,22d d⨯+⨯⨯=∴=.所以.故选C.3．C4．A或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.6．D【解析】因为221sin cos sin cos1tan41tan cos sin sin cos sin22θθθθθθθθθθθ++=+===，所以..7．D【解析】双曲线的渐近线方程为，由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，所以，由此可解得，所以双曲线方程为，故选D.8．D 试题分析：三棱锥在平面上的投影为，所以，设在平面、平面上的投影分别为、，则在平面、上的投影分别为、，因为，，所以，故选D.9．A试题分析：当时，抛物线开口向上，对数函数单调递增，又抛物线对称轴，故选A.10．D【解析】∵y′=′==,由于e x +≥2当且仅当e x=即x=0时等号成立,∴-1≤y ′<0,即-1≤tan α<0, 由正切函数图象得α∈.故选D.11．A 试题分析：令，则，所以函数为增函数，∴，∴，∴.又2222ln ln 2ln ln (2)ln 0x x x x x x x x x x x ---==>，∴，12．B 试题分析：∵，∴，设切点为，∴切线方程为，∴，与相同，∴，，∴，∴.当直线与平行时，直线为，当时，，当时，，当时，3311ln ln 044x x e e -=-<，所以与在，上有2个交点，所以直线在和之间时与函数有2个交点，所以，故选B.13．60．14．试题分析：由,,,,又，可得2320141i i i i i +++++=.15．．试题分析：，而根据定积分的定义可知表示圆心在原点的单位圆上半部分半圆的面积，∴112(32x dx π-=+⎰，故填：． 16．试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大. 17．【解析】解：因为2cos(A C)cos B 1,cos(A C)cos(A C)1,2sin Asin C 1a 2c sin A 2sin C11sin C=sin C=425C=66-+=∴--+=∴==∴=∴ππ∴联立方程组可知或a>c,所以A>C,所以C 为锐角， 18．（1）当时，，∴，令，则，，、和的变化情况如下表+ 0 0 + 极大值 极小值即函数的极大值为1，极小值为；（2），若在区间上是单调递增函数， 则在区间内恒大于或等于零 若，这不可能， 若，则符合条件，若，则由二次函数的性质知203(0)0a f a ⎧-<⎪⎨⎪=->⎩，即，这也不可能，所以19．试题解析：（Ⅰ）由已知，得，即2111)2()64(d a d a a +=+ 得 又由，得，故,； （Ⅱ）由已知可得，)12)(12(1751531311+-++⨯+⨯+⨯=n n T n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-+-=)121121()7151()5131()311(21n n ,20．试题分析（Ⅰ）平面底面，，所以平面， 所以,如图，以为原点建立空间直角坐标系.则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).A B C P ，，所以，，又由平面，可得，所以平面.（Ⅱ）平面的法向量为，，，所以，设平面的法向量为，，，由，，所以，，所以，所以cos452BCBC⋅===nn注意到，得.21．【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得. 所以抛物线的方程为.(Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得设,(其中),则切线的斜率分别为,,所以切线的方程为,即,即同理可得切线的方程为因为切线均过点,所以,所以为方程的两组解.所以直线的方程为.(Ⅲ) 由抛物线定义可知,, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ 联立方程,消去整理得()22200020y y x y y +-+= 由一元二次方程根与系数的关系可得, 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+ 又点在直线上,所以, 所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭ 所以当时, 取得最小值,且最小值为.22．试题分析：解：（1）∵ （∴ 令，得故函数的单调递增区间为（2）由22ln )(,ln ln xx x h x x k x x kx =≥≥令，得 则问题转化为大于等于的最大值又令当在区间（0,+）内变化时，、变化情况如下表：（3）由（2）知，∴ （∴e n n 21ln 33ln 22ln 444<+++ （ 又∵n n n )1(132121113121222-++⨯+⨯<+++＝111)111()3121()211(<-=--++-+-n n n ∴en n 21ln 33ln 22ln 444<+++ >22371 5763 坣29069 718D 熍32194 7DC2 緂24073 5E09 帉27729 6C51 汑@29877 74B5 璵22818 5922 夢diUx23095 5A37 娷B。
扬州中学2021-2022学年高二(下)第一次月考数学试卷(后附答案解析)
扬州中学2021-2022学年高二（下）第一次月考真题卷数学一、单项选择题1.点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为（）A.()2,1,3-B.()2,1,3C.()2,1,3-- D.()2,1,3--2.已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（）A.()()22211x y ++-= B.()()22214x y ++-=C.()()22211x y -++= D.()()22214x y -++=3.已知向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-- ，且ka b + 与2a b -互相垂直，则k 的值是（）.A.1B.15C.35D.754.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()cos 2f x x xf π⎛⎫'=-⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是（）A.210x y --= B.210x y ++= C.220x y -+= D.210x y ++=5.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）A.6B.12C.24D.486.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，若,,PA a PB b PC c === ，则BE = （）A.111222a b c -+B.131222a b c --C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào ）.如图，在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，P ，Q 分别为MA ，MC 的中点，2MA AB BC ===，则异面直线BQ 与CP 所成角的余弦值为（）A.39B.6C.33D.08.已知 2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（）A.a c b<< B.c b a<< C.b<c<aD.c<a<b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中．）9.已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.－1是函数()f x 的极小值点B.－4是函数()f x 的极小值点C.函数()f x 在区间(,4)-∞-上单调递减D.函数()f x 在区间(4,1)--上先增后减10.已知空间三点()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C-，则下列说法正确的是（）A.3AB AC ⋅=B.//AB ACC.BC =D.3cos ,65AB AC =11.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（）A.直线BD 1⊥平面A 1C 1DB.三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C.异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D.直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为312.已知1F ，2F 为双曲线C ：x 2–24y =1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有（）A.F 1，F 2，P ，I 四点共圆B.△PQF 1的内切圆半径为1C.I 为线段OQ 的三等分点D.PF 1与其中一条渐近线垂直三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中．）13.已知集合{}1,2,3M ∈-，{}4,5,6,7N ∈--，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是______．14.已知向量(1,2,2),(2,1,1)a b ==-，则向量b 在向量a上的投影向量的坐标为__________．15.已知函数()321,2{3,2x x f x x x x -≥=-+<，若函数y=f （x ）-m 有2个零点，则实数m 的取值范围是________．16.已知正方体1111ABCD A B C D －的棱长为4，点P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中．）17.已知()33210n n f n A A =-（n N ∈，且3n ≥）．（1）求()4f 的值；（2）若()0f n =，求n 的值．18.如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a = ，OB b = ，OC c = ．（1）用a ，b ，c 表示向量OP；（2）若1a b c ===，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π=== a b b c c a ；②,,,,32ππ=== a b c a c ；③2,,,,23a b c a b c ππ=== ，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．19.如图，已知四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面,2ABCD PD AD ==．（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）在线段PB 上是否存在点E ，使PC ⊥平面ADE ？若存在，求PEEB的值；若不存在，说明理由．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB CD ∕∕，PC ⊥底面ABCD ，224AB AD CD ===，2PC a =，E 是PB 的中点．（1）若二面角P AC E --的余弦值为63，求a 的值；（2）在（1）的条件下求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 上的点到右焦点F 的距离最长为3.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，AB 的中垂线1l 与x 轴交于点G ，试问AB FG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.22.已知函数121()(1)e (0)2x f x x a x ax x -=---+>.（1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a ≤时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.扬州中学2021-2022学年高二（下）第一次月考真题卷数学答案一、单项选择题1.点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为（）A.()2,1,3-B.()2,1,3C.()2,1,3-- D.()2,1,3--【答案】B 【解析】【分析】根据点关于坐标轴，坐标平面对称时，关于谁对称谁不变可得.【详解】关于Oxy 平面对称的点的x ，y 坐标不变，只有z 坐标相反，所以点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为()2,1,3．2.已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（）A.()()22211x y ++-= B.()()22214x y ++-=C.()()22211x y -++= D.()()22214x y -++=【答案】B 【解析】【分析】圆的圆心为(2,1)-，半径为2，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为(2,1)-，半径为2，故圆方程为：22(2)(1)4x y ++-=.故选：B.3.已知向量()1,1,0a =r，()1,0,2b =-- ，且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是（）.A.1B.15C.35D.75【答案】D 【解析】【分析】向量的垂直用坐标表示为1212120x x y y z z ++=，代入即可求出答案.【详解】=(1,1,0)(1,0,2)(1,,2)ka b k k k ++--=--，2=a b -2(1,1,0)(1,0,2)---=(3,2,2)，因为ka b + 与2a b -互相垂直，所以(1,,2)k k --⋅(3,2,2)=0，所以57=0k -，所以7=5k .故选：D.4.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()cos 2f x x xf π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是（）A.210x y --= B.210x y ++= C.220x y -+= D.210x y ++=【答案】C 【解析】【分析】求得()f x '后，代入2x π=即可求得2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭，从而得到()(),f x f x '；利用导数的几何意义即可求得结果.【详解】()cos 2f x x xf π⎛⎫'=-⎪⎝⎭ ，()sin 2f x x f π⎛⎫''∴=-- ⎪⎝⎭，sin 12222f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''∴=--=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：122f π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1cos 2f x x x ∴=+，()1sin 2f x x '=-+，()01f ∴=，()102f '=，()y f x ∴=在0x =处的切线方程为112y x -=，即220x y -+=.故选：C.5.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B 【解析】【分析】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序即可．【详解】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则232312A A =，故所求的坐法种数为12，故选：B ．6.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，若,,PA a PB b PC c === ，则BE =（）A.111222a b c -+B.131222a b c --C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 【答案】C 【解析】【分析】根据向量加减法，和空间向量基本定理直接求解即可.【详解】()()()11112222BE PE PB PD PB PB BD PB BD PB BA BC PB=-=-=+-=-=+-()11312222PA PB PC PB PB PA PB PC =-+--=-+131222a b c -+= .故选：C【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及向量共线定理，空间向量基本定理，属于基础题.7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào ）.如图，在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，P ，Q 分别为MA ，MC 的中点，2MA AB BC ===，则异面直线BQ 与CP 所成角的余弦值为（）A.39B.36C.33D.0【答案】A 【解析】【分析】以B 点为原点建立空间直角坐标系，用向量法可解.【详解】由题意得，ABC 为直角三角形，且90ABC ∠=︒，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()2,0,2M ，()2,0,1P ，()0,2,0C ，()1,1,1Q ，则()1,1,1BQ =，()2,2,1CP =-.设异面直线BQ 与CP 所成角为θ，则()1212113cos cos ,93441BQ CP θ⨯+⨯-+⨯==⨯++ .故选：A.8.已知 2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（）A.a c b<< B.c b a<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】B 【解析】【分析】利用幂函数的单调性可得出a 、c 的大小关系，利用指数函数的单调性可得出b 、c 的大小关系，构造函数()ln xf x x=，利用函数()f x 在()0,e 上的单调性可得出a 、b 的大小关系，即可得出结论.【详解】因为 2.1 2.12.2 2.1>， 2.2 2.12.1 2.1>，即a c >，b c >，构造函数()ln xf x x=，则()21ln x f x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，故函数()f x 在()0,e 上为增函数，因为0 2.1 2.2e <<<，则()()2.1 2.2f f <，即ln 2.1ln 2.22.1 2.2<，可得2.2ln 2.1 2.1ln 2.2<，即 2.2 2.1ln 2.1ln 2.2<，故 2.2 2.12.1 2.2<，因此c b a <<.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中．）9.已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.－1是函数()f x 的极小值点B.－4是函数()f x 的极小值点C.函数()f x 在区间(,4)-∞-上单调递减D.函数()f x 在区间(4,1)--上先增后减【答案】BC 【解析】【分析】根据导函数图象确定()f x 的单调性，由此确定正确选项.【详解】由()'fx 图象可知，()f x 在(),4-∞-上递减，在()4,-+∞上递增，所以1-不是极值点，A 选项错误；4-是极小值点，B 选项正确；C 选项正确；D 选项错误.故选：BC10.已知空间三点()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C-，则下列说法正确的是（）A.3AB AC ⋅=B.//AB ACC.BC =D.3cos ,65AB AC =【答案】AC 【解析】【分析】由条件可得,,AB AC BC的坐标，然后逐一判断即可.【详解】因为()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C-，所以()()()0,2,1,2,0,3,2,2,2AB AC BC ==-=--所以0033AB AC ⋅=++=uu u r uuu r，365cos ,65AB AC AB AC AB AC ⋅==⋅，BC ==所以,AB AC不共线.故选：AC11.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（）A.直线BD 1⊥平面A 1C 1DB.三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C.异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D.直线C 1P 与平面A 1C 1D所成角的正弦值的最大值为3【答案】ABD 【解析】【分析】在选项A 中，推导出111A C BD ⊥，11DC BD ⊥，从而直线1BD ⊥平面11AC D ；在选项B 中，由1//B C 平面11AC D ，得到P 到平面11AC D 的距离为定值，再由△11AC D 的面积是定值，从而三棱锥11P AC D -的体积为定值；在选项C 中，异面直线AP 与1A D 所成角转化为直线AP 与直线1B C 的夹角，可求取值范围；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．【详解】对于选项A ，正方体中1111A C B D ⊥ ，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，且11B D ，1BB ⊂平面11BB D ，11A C ∴⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111A C BD ∴⊥，同理，11DC BD ⊥，1111A C DC C ⋂= ，且11A C ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，A 选项正确；对于选项B ，正方体中11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊂/平面11AC D ，1//B C ∴平面11AC D ，点P 在线段1B C 上运动，P ∴到平面11AC D 的距离为定值，又△11AC D 的面积是定值，∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，B 选项正确；对于选项C ，11//A D B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角．易知△1AB C 为等边三角形，当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为60 ．故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是[60,90] ，C 选项错误；对于选项D ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 竖坐标为a ，01a ≤≤，则(,1,)P a a ，1(0,1,1)C ，(1,1,0)B ，1(0,0,1)D ，所以1(,0,1)C P a a =-，1(1,1,1)D B =- ．由选项A 正确：可知1(1,1,1)D B =-是平面11AC D 的一个法向量，∴直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值为：1111C P D B C P D B⋅==⋅ ∴当12a =时，直线1C P 与平面11AC D所成角的正弦值的最大值为3，D 选项正确．故选：ABD ．12.已知1F ，2F 为双曲线C ：x 2–24y =1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有（）A.F 1，F 2，P ，I 四点共圆B.△PQF 1的内切圆半径为1C.I 为线段OQ 的三等分点D.PF 1与其中一条渐近线垂直【答案】ABD 【解析】【分析】根据双曲线的定义可得1||4PF =，2||2PF =，由双曲线的对称性可判断A ；由双曲线的定义可判断B ；根据122Rt Rt F PF QOF ∽可判断C 、D.【详解】解析：由勾股定理及双曲线的定义可得：1||4PF =，2||2PF =对于A：易知I 在y 轴上，由对称性可得112GF I EF I IF Q ∠=∠=∠，则1290F IF ∠=︒，可知1F ，2F ，P ，I 四点共于以12F F 为直径的圆上；A 正确对于B：11||||||2PF PQ F Q r +-=1212||||||||||122PF PQ F Q PF PF a +--====，正确对于C：121222||||Rt Rt ||22||||||F P PF F PF QOF QO OI QO OF ⇒=⇒=∽△△，故I 为QO 中点，C 错误．D 显然正确．故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中．）13.已知集合{}1,2,3M ∈-，{}4,5,6,7N ∈--，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是______．【答案】6【解析】【分析】根据题意，可得所取的横坐标为负数，纵坐标为正数，结合所给集合列举分析即可得答案【详解】因为两个集合中各取一个元素作为点的坐标，且该点表示第二象限内的点，所以所取的横坐标为负数，纵坐标为正数，若横坐标为-2，则纵坐标可为5、6，即点为(2,5),(2,6)--，若横坐标为-4，则纵坐标可为1、3，即点为(4,1),(4,3)--，若横坐标为-7，则纵坐标可为1、3，即点为(7,1),(7,3)--，所以点的个数为6.故答案为：614.已知向量(1,2,2),(2,1,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量的坐标为__________．【答案】244,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知求得向量b 在向量a 上的投影，设向量b 在向量a上的投影向量为m ，则(0)m a λλ=> 且2||3m = ，由向量的模列式求解λ值，即可求解．【详解】∵(1,2,2),(2,1,1)a b ==-，∴1(2)21212a b ⋅=⨯-+⨯+⨯=，∴向量b 在向量a上的投影为2||3a b a ⋅==，设向量b 在向量a 上的投影向量为m ，则(0)m a λλ=> 且2||3m =．∴(,2,2)m λλλ= ，则22222443λλλ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得29λ=．∴244,,999m ⎛⎫=⎪⎝⎭．故答案为：244,,999⎛⎫⎪⎝⎭．15.已知函数()321,2{3,2x x f x x x x -≥=-+<，若函数y=f （x ）-m 有2个零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】m=2或m≥3【解析】【详解】【分析】分析：画出函数()f x 的图象，结合图象，求出m 的范围即可.详解：画出函数()f x的图象，如图：若函数 y=f （x ）﹣m 有 2 个零点，结合图象：m =2 或m ≥3 .故答案为m =2 或m ≥3 .点睛：对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数 y ＝f (x )的值域来解决，解的个数也可化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 交点的个数．16.已知正方体1111ABCD A B C D －的棱长为4，点P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为________.【答案】5【解析】【分析】取AB 的中点N ，AD 的中点\Q ，连接11,,,D Q QN B N AC ，容易证得⊥CP 平面11D QNB ，要使1⊥CP D M ，进而得1∈M B N ，进而得当1⊥BM B N 时，BM 最小，此时，BCM 的面积最小，再根据几何关系求解即可.【详解】如图，取AB 的中点N ，AD 的中点\Q ，连接11,,,.D Q QN B N AC 由于CP 在面ABCD 内的射影为AC ，QN AC ⊥，故⊥QN CP 因为CP 在面11ADD A 内的射影为DP ，1⊥D Q DP ，所以1⊥D Q CP .故由⊥QN CP ，1⊥D Q CP ，因为1D Q QN Q ⋂=，所以⊥CP 平面11D QNB .要使1⊥CP D M ，必须点M 在平面11D QNB 内，又点M 在侧面11AA B B 内，所以点M 在平面11D QNB 与平面11AA B B 的交线上，即1∈M B N .因为CB ⊥平面11ABB A ，所以CB BM ⊥，所以12BCM S CB BM ⨯⨯=当1⊥BM B N 时，BM 最小，此时，BCM 的面积最小.又14,2BB BN ==，故1B N =由1Rt B BN 的面积可得455BM ==，所以145854255BCM S =⨯⨯=.故答案为:5【点睛】本题考查空间线面垂直的证明，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意寻求M 的轨迹，即1∈M B N ，进而根据几何关系求解.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中．）17.已知()33210n n f n A A =-（n N ∈，且3n ≥）．（1）求()4f 的值；（2）若()0f n =，求n 的值．【答案】（1）96（2）8【解析】【分析】（1）由排列数计算公式即可求解；（2）由排列数计算公式即可求解方程.【小问1详解】解：()()3384487610432564069610f A A =⨯⨯-⨯⨯⨯=-⨯=-=；【小问2详解】解：由33210n n A A =，得()()()()221221012n n n n n n --=--，又3n ≥，*n ∈N ，所以()()22152n n -=-，即8n =，∴正整数n 为8．18.如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a = ，OB b = ，OC c =．（1）用a ，b ，c 表示向量OP；（2）若1a b c ===，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π=== a b b c c a ；②,,,,32ππ=== a b c a c ；③2,,,,23a b c a b c ππ===，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．【答案】（1）111344OP a b c=++（2）①67||12OP ⇒=②58||12OP ⇒= ③5||12OP ⇒=【解析】【分析】（1）连接ON 由()121232⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦O OA OB P OC 可得答案；（2）选①，对111344=++a b P c O 两边平方代入已知再开方可得答案；选②，对111344=++a b P c O 两边平方代入已知再开方可得答案；③对111344=++a b P c O 两边平代入已知再开方可得答案.【小问1详解】连接ON ，因为N 是棱BC 的中点，所以()12=+OM ON OP ，因为M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，所以()()121121111232232344⎡⎤⎡⎤=++=++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ OA OC OB a c b O a P b c .【小问2详解】选①,,,3π=== a b c a ，因为1a b c === ，111344=++ a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c Pc b111111116798626282144=++⨯+⨯+⨯=，所以6712= OP ；选②,,,,32ππ=== a b c a b c ，因为1a b c === ，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c Pc b1111112998626272=++⨯+⨯=，所以5812= OP ；③2,,,,23ππ=== a b c a c ，因为1a b c === ，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ O a b c a b c a b a c Pc b1111259882144=+-⨯=，所以512= OP .19.如图，已知四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面,2ABCD PD AD ==．（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）在线段PB 上是否存在点E ，使PC ⊥平面ADE ？若存在，求PEEB的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）233（2）1【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解.(2)设PE PB λ=，根据位置关系，解出λ即可.【小问1详解】以D 为原点，DA 为x 轴,DC 为y 轴,DP 为z 轴，建立空间直角坐标系,则()()()0,0,2,2,0,00,2,0,P A C .设平面PAC 的法向量(,,)n x y z =，00n PA x z n PC y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =，(2,0,0)DA =点D 到平面PAC 的距离||||3DA n d n ⋅===.【小问2详解】假设在PB 上存在E 点，使PC ⊥平面ADE ，则PE PB λ=，因为()2,2,2PB =- ,所以()2,2,2PE λλλ=-,所以()2,2,22E λλλ-,所以()22,2,22AE λλλ=-- ,若PC ⊥平面ADE ,则PC ⊥AE ,即840PC AE λ⋅=-=,故12λ=,此时E 为PB 的中点时,1PE EB =.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB CD ∕∕，PC ⊥底面ABCD ，224AB AD CD ===，2PC a =，E 是PB 的中点．（1）若二面角P AC E --的余弦值为63，求a 的值；（2）在（1）的条件下求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．【答案】（1）2a =（2）3【解析】【分析】（1）如图建系，求得各点坐标，根据线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面 PAC ，即可求得平面PAC 的法向量，再求得平面EAC 的法向量，根据二面角的向量求法，代入计算，即可得答案.（2）由（1）可得平面EAC 的法向量n ，求得PA，根据线面角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】以点C 为原点，作CD 的垂线为x 轴，以CD ，CP分别为y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0C ，()2,2,0A ，()2,2,0B -，设()()0,0,20P a a >，则()1,1,E a -，所以()2,2,0CA = ，()0,0,2CP a = ，()1,1,CE a =- ，(2,2,0)CB =-，在直角梯形ABCD中，==AC，BC =所以222AC BC AB +=，即ACBC ⊥，又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，即CB即为平面PAC 的一个法向量，设(),,n x y z =为平面EAC 的法向量，则00n CA n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，2z =-，则(),,2n a a =--，依题意，cos ,3CB n CB n CB n⋅<>==，解得2a =．【小问2详解】由（1）可得()2,2,2n =-- ，()2,2,4PA =-．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,3PA n PA n PA nθ⋅=<>====⋅，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3．21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 上的点到右焦点F 的距离最长为3.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，AB 的中垂线1l 与x 轴交于点G ，试问AB FG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为4.【解析】【分析】（1）由离心率，椭圆上的点到右焦点距离最大值为a c +和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆标准方程；（2）当直线l 的斜率不为0时，设:1l x my =+，与椭圆联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可求得AB ，并利用中点坐标公式求得AB 中点H 坐标，由此可表示出1l 方程，从而求得G 点坐标，得到FG ，化简可得定值；当直线l 的斜率为0时，易求得满足所求定值；综合两种情况可得结论.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得：222312a c c a a b c+=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：2a =，b =，1c =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB的中点为()00,H x y .联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得：()2234690m y my ++-=，由题意可知：0m ≠，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，()2212134m AB m +∴=+.H 为AB 的中点，02334my m -∴=+，0024134x my m =+=+，即2243,3434m H m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.直线1l 的方程可设为221343434m x y m m m ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭，令0y =得：2134x m =+，则()22231113434m FG m m +=-=++，()()22221213443134m ABm FG m m ++∴==++.当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，1FG c ==，则4AB FG=.综上所述：AB FG为定值，且定值为4.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量；④化简所得式子，消元可得定值.22.已知函数121()(1)e(0)2x f x x a x ax x -=---+>.（1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a ≤时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增；当1a =时，()f x 在()0,+¥上单调递增；当1a >时，()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1),(,)a +∞上单调递增.（2）1,22e ⎛⎤- ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）对()f x 求导，然后对a 分类讨论分别得出()f x ¢所对应的x 的取值范围即为函数的单调增区间，()f x ¢所对应的x 的取值范围即为函数的单调减区间．（2）结合（1）中的单调性结论对函数的最小值进行讨论.对于第四种情况，得出关于a 的不等式后，需要构造新的函数分析求解.【详解】解：（1）因为121()(1)e(0)2x f x x a x ax x -=---+>，所以()1()(1)(0)x f x x a e x -'=-->.令()0f x ¢=，得x a =或1x =.①当0a ≤时，由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x ¢<，得01x <<.则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；②当01a <<时，由()0f x ¢>，得0x a <<或1x >；由()0f x ¢<，得1<<a x .则()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增.③当1a =时，()0f x ¢³恒成立，则()f x 在()0,+¥上单调递增.④当1a >时，由()0f x ¢>，得01x <<或x a >；由()0f x ¢<，得1x a <<.则()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增.综上，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增；当1a =时，()f x 在()0,+¥上单调递增；当1a >时，()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增.（2）①当0a ≤时，由（1）可知()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增，则()f x 有最小值()112f =-，故0a ≤不符合题意.②当01a <<时，由（1）可知()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增，因为()f x 无最小值，所以()()01f f <，即11<2a e +--，解得112e a -<<；③当1a =时，由（1）可知()f x 在()0,+¥上单调递增，所以()f x 无最小值，所以1a =符合题意；④当12a <≤时，由（1）可知()f x 在()1,a 上单调递减，在()()0,1,,a +∞上单调递增.因为()f x 无最小值，所以()()0f f a <，即2111<2a a a e e -+--，即121102a a e a e-+--<.设()()1211122x x g x ex x e -+=--<≤，则()()1112x g x e x x e-'=--<≤设()()()1112x h x g x e x x e-'==--<≤，则()110x h x e -'=->在(]1,2上恒成立.故()h x 在(]1,2上单调递增，即()g x '在(]1,2上单调递增.因为()()1110,220g g e e e''=-<=-->，所以存在唯一的(]01,2x ∈，使得()00g x '=.故()g x 在()01,x 上单调递减，在(]0,2x 上单调递增.因为()()124310,22022e g g e e e e-=--=<=--<，所以()0g x <在(]1,2上恒成立，即1211<02a a ea e-+--在(]1,2恒成立，即12a <≤符合题意.综上，实数a 的取值范围为1,22e ⎛⎤-⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查分类讨论思想，首先利用函数求导公式对函数求导，然后再利用导函数大于 0 或者小于 0 讨论函数单调性，分类时一般利用 f ¢(x )有无解对参数进行分类．常见注意点如下：（1）对二次项系数的符号进行讨论；（2）导函数是否有零点进行讨论；（3）导函数中零点的大小进行讨论；（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.。
2021-2022学年四川省南充市高二年级下册学期第一次月考数学(理)试题【含答案】
2021-2022学年四川省南充市高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．抛物线的准线方程是（ ）22y x =A ．B ．C ．D ．12x =12y =12x =-12y =-【答案】C【分析】利用抛物线的准线方程为即可得出．22y px =2px =-【详解】由抛物线，可得准线方程，即．22y x =24x =-12x =-故选：C ．2．在长方体中，，，点为的中点，则异面直线与1111ABCD A B C D -4AB =12AD AA ==P 1CC AP 所成角的正切值为11C DA B C D ．14【答案】A【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出与D DA x DC y 1DD zAP的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求出夹角余弦，再利用同角三角函数的关系可求所成角的11C D 正切值.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，D DA x DC y 1DD z 则，()()()()112,0,0,0,4,1,0,4,2,0,0,2A P C D,()()112,4,1,0,4,0AP C D =-=-设异面直线与所成角为，AP 11C Dθ则1111cos AP C D AP C D θ⋅===⋅sin θ==，sin tan cos θθθ==异面直线与A.∴AP 11C D 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.3．双曲线（7＜λ＜9）的焦点坐标为22197x y λλ+=--A．（±4，0）B ．（0）C．（0，±4）D ．（0，）【答案】B【详解】试题分析：∵双曲线（7＜λ＜9）22197x y λλ+=--∴9-λ＞0且7-λ＜0，方程化为22197x y λλ-=--由此可得：双曲线焦点在x轴，且c===∴双曲线的焦点坐标为(故选B【解析】双曲线的标准方程．4．如图，南北方向的公路，地在公路正东处，地在北偏东方向处，河流L A 2 km B A 60︒km 沿岸曲线上任意一点到公路和到地距离相等．现要在曲线上某处建一座码头，向，PQ L A PQ A 两地运货物，经测算，从到，修建公路的费用都为万元，那么，修建这两条公路的B M A B a /km总费用最低是（）A ．万元B ．万元C ．万元D ．万元(2a+1)a 5a 6a 【答案】C【分析】依题意知曲线是以A 为焦点、为准线的抛物线，利用抛物线的定义求的PQ L MA MB+最小值，即可求解.【详解】根据抛物线的定义知：欲求从到A ，修建公路的费用最低，即求的最小值，设点 到直线的距离为，M B MA MB+M L d 且，即求的最小值，即为点到直线的距离．d MA=d MB+B L 因地在A地东偏北300方向处，B ∴到点A 的水平距离为3（km ），B ∴到直线距离为：3+2=5（km ），B l 那么修建这两条公路的总费用最低为：（万元）．5a 故选：C ．5．圆锥曲线的离心率，则实数的值为（ ）22189x y m +=+2e =m A ．B ．C ．D ．5-35-1911-【答案】B【分析】首先根据离心率判断曲线为双曲线，根据双曲线的离心率列方程，解方程求得的值.m 【详解】由于曲线的离心率为，所以曲线为双曲线.故，方程化为2e =80m +<22189x y m +=+，所以，解得.22198y x m -=--2e ===35m =-故选B.【点睛】本小题主要考查根据圆锥曲线的离心率求参数，考查椭圆、双曲线离心率的特征，属于基础题.6．已知椭圆与双曲线）22132x y -=A ．B ．2212025x y +=2212520x y +=C ．D ．221255x y +=221525x y +=【答案】B【分析】设椭圆的方程为，求出即得解.22221x y a b +=(0)a b >>,a b 【详解】由题得双曲线的焦点为，所以椭圆的焦点为，设椭圆的方程为，22221x y a b +=(0)a b >>所以.225,5,a b a b ⎧=+∴===所以椭圆的标准方程为.2212520x y +=故选：B7．过点与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )(0,2)28y x =A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条【答案】C【详解】因为点在抛物线外面，与抛物线只有一个交点的直线有2条切线，1条和对称轴平行，(0,2)故3条．8．已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于22x a 25y ABC ．D ．3243【答案】C【详解】由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝＝．ca 329．已知直线与双曲线交于A ､B 两点，以AB 为直径的圆恰好()0y kx k =≠22221 (0,0y a b b x a -=>>）经过双曲线的右焦点F ，若的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（ ）ABF △A B C ．2D 【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为，则可得四边形为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三1F 1AF BF 角形面积可得，即可求出离心率.222(2)(2)16a c a =-【详解】设双曲线的左焦点为，根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左右焦点，如图，连接1F ，则四边形为矩形，11,AF BF 1AF BF则可得，，1||2AF AF a-=()222211||2AF AF F F c +==所以，()222211111||2||||2||AFAF AF AF AF AF F F AF AF -=-+=-又因为，1211||42ABF AF F S S AF AF a ==⋅=所以，得，222(2)(2)16a c a =-c =所以ce a =故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形的性质列出关于的齐次方程式，即可求出离心率.,a c 222(2)(2)16a c a =-10．椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，是坐标原点，则221259x y +=M 1F N 1MF O 的值为ONA ．4B ．8C ．3D ．2【答案】A【详解】 根据椭圆的定义得，28MF =由于中，是的中点，11MF F ∆,N O 112,MF F F 根据中位线定理得，故选A ．4ON =11．已知分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，12,F F ()222210,0x y a b a b -=>>P 使得点到直线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）2F 1PF a A ．B ．C ．D ．⎛⎝⎫+∞⎪⎪⎭()+∞【答案】B【分析】根据已知条件可知点到过且平行于渐近线的直线的距离大于，由此可构造不等式求2F 1F a 得的范围，根据可求得结果.ba e =【详解】由双曲线方程可知：双曲线的一条渐近线为，焦点，，by xa =()1,0F c -()2,0F c 过点作该渐近线的平行线，则该直线方程为：，即；1F ()by x c a =+0bx ay bc -+=若双曲线右支上存在点，使得点到直线的距离为，则只需点到直线的P 2F 1PF a 2F 0bx ay bc -+=距离大于，d a即，，22bcd b a c ===>12b a ∴>双曲线离心率.∴e =>=⎫+∞⎪⎪⎭故选：B.12．设双曲线=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线2222x y a b -的离心率为A ．B ．5CD54【答案】D【详解】双曲线＝1的一条渐近线设为y ＝x ，由方程组消去y ，得2222x y ab -ba 2{1b y x a y x ==+x 2－x ＋1＝0，由题意知该方程有唯一解，所以Δ＝－4＝0，所以e ＝b a 2()b a ca二、填空题13．若椭圆 的焦点在轴上，则的取值范围为_______．22112x y k k +=-+x k 【答案】12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据题意，列出不等式，即可求解.120k k ->+>【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，22112x y k k +=-+x 可得，解得，120k k ->+>122k -<<-所以的取值范围为.k 12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：.12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭14．双曲线的一条渐近线为，则_____221x y m -=20x y -=m =【答案】4【分析】利用双曲线渐近线方程即可.【详解】由题知，且双曲线的焦点在轴上，0m >x 所以，2,1a m b ==因为双曲线的一条渐近线为，221x y m -=1202b x y y x xa -=⇔==所以，24a m =⇒=故答案为：4.15．过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则_______.24y x =l ,A B ||AB =【答案】8【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理求得的值，进而根据抛物线的定义可知，求y 12x x +12||22p p AB x x =+++得答案.【详解】抛物线的焦点为，且斜率为1，则直线的方程为，()1,01y x =-代入抛物线方程得，设24y x =2610x x -+=()()1122,,,A x y B x y ，126x x ∴+=根据抛物线的定义可知.1212||62822p pAB x x x x p =+++=++=+=故答案为：8.16．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若22(0)y px p =>F l ,A B C ，且，则为_______．4BC BF=6AF =p 【答案】92【分析】分别过A 、B 作准线的垂线，利用抛物线定义将A 、B 到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p 值．【详解】设A ，B 在准线上的射影分别为A ′，B ′，则|BC |＝4|BB ′|，且'6AF AA ==由于|BC |＝4|BB ′|，故|AC |＝4|AA ′|＝24，从而即31CF AF =34CF AC =故，即p ＝ ，3'4p AA =92故答案为．92【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．三、解答题17．（1）求焦点在x 轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．2212x y -=【答案】椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为：．()122195x y +=()22212y x -=【分析】设出椭圆的标准方程，根据2a ，2c 所表示的几何意义求得a ，c 的值，再根据椭圆()1 ，求得b 2的值，进而可得到椭圆的标准方程；222a b c =+先求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为，将点代入双曲线()222221(,0)x y a b a b -=>方程，结合双曲线，解方程可得a ，b ，进而可得双曲线的方程．222c a b =+【详解】设椭圆标准方程为，则()122221(0)x y a b a b +=>>焦距为4，长轴长为6，，，，椭圆标准方程为；3a ∴=2c =25b ∴=∴22195x y +=双曲线双曲线的焦点为，()22212x y -=()设双曲线的方程为，22221(,0)x y a b a b -=>可得，223a b +=将点代入双曲线方程可得，，22221a b -=解得，，1a =b =即有所求双曲线的方程为：．2212y x -=【点睛】本题考查了椭圆的简单性质与椭圆标准方程的求法，考查了双曲线的方程的求法，考查了运算能力；求椭圆或双曲线的标准方程的一般步骤：先设出标准方程，再根据已知条件代入方程求解.18．已知双曲线中，，虚轴长为.()222210,0x y a b a b -=>>:c a =4(1)求双曲线的标准方程；(2)过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积.()0,145 l A B O AOB △【答案】(1)2214x y -=(2)43【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可求得双曲线的标a b c 准方程；（2）将直线的方程与双曲线的方程联立，求出点、的横坐标，即可求得的面积.l A B AOB △【详解】（1）解：由已知条件可得，解得2222=4=+c b c a b ⎧⎪⎨⎪⎩=1=2a b c ⎧⎪⎨⎪⎩因此，双曲线的标准方程为.2214x y -=（2）解：由题意可知，直线的方程为，设点、，l =+1y x ()11,A x y ()22,B x y 联立，可得，解得，，22=+14=4y x x y -⎧⎨⎩23250x x --=11x =-253x =因此，.1214123AOB S x x =⨯⨯-=△19．如图，四棱锥中，底面是正方形，，，且，E 为P ABCD -ABCD PB BC ⊥PD CD ⊥PA AB =中点.PD （1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）求二面角的正弦值.A BE C --【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）由，，即：，又因为，，即：PB BC ⊥BC AB ⊥BC PA ⊥PD CD ⊥CD AD ⊥，所以平面.CD AD ⊥PA ⊥ABCD （2）通过建立空间直角坐标系，运用向量法即可求出二面角的正弦值.A BE C --【详解】解：（1）∵底面是正方形，ABCD ，又，，平面，.BC AB ∴⊥BC PB ⊥AB PB B ⋂=BC ∴⊥PAB BC PA ∴⊥同理可得，又，平面.CD PA ⊥BC CD C ⋂=PA ∴⊥ABCD （2）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设底面正方形的边长为2，则，，，.()0,0,0A ()2,2,0C ()0,1,1E ()2,0,0B 设是平面的法向量，则(),,m x y z = ABE 0,0,m AE m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 又，，令，则，()0,1,1AE = ()2,0,0AB = 1y =-1z =得.()0,1,1m =- 设是平面的法向量，则(),,n x y z = BCE 0,0,n CE n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 又，，令，()2,1,1CE =-- ()0,2,0BC = =1x -2z =是平面的一个法向量，()1,0,2n = BCE 则，cos ,m m m n n n ⋅==sin ,m n ∴= ∴二面角A BE C --【点睛】本题主要考查线面垂直及二面角的知识，属于中档题目.20．如图，斜率为k 的直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，直线PM 垂直平分弦AB ，且分别交AB 、x 轴于M 、P ，已知P (4，0).(1)求M 点的横坐标；(2) 求面积的最大值.PAB ∆【答案】（1）；（2）28【分析】（1）设，，，，，，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公1(A x 1)y 2(B x 2)y 0(M x 0)y 式，解方程可得所求坐标；（2）设直线即，与抛物线联立，运用韦达定理和弦长0:()2AB x m y y =-+0:2AB x my my =-+24y x =公式，以及点到直线的距离公式，化简整理，运用导数判断单调性，可得最大值．【详解】解：（1）设，，，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 0(M x 0)y 则，，，121200,22x x y y x y ++==2114y x =2224y x =，∴121212042y y k x x y y y -===-+而，004MP y k x =-由得，即；1MP k k =- 042x -=-02x =（2）设直线即，0:()2AB x m y y =-+0:2AB x my my =-+与抛物线联立得，24y x =204480y my my -+-=则，，124y y m +=12048y y my =-所以，12|||AB y y =-而到直线的距离为P AB d =所以01||2|22PAB S d AB my ∆==+又由于，012y m k==所以，222(24(PAB S m m ∆=+=+，则且，t =0t >222m t =-所以，234(3)124PAB S t t t t ∆=-=-令，3()124(0)g t t t t =->则，2()121212(1)(1)g t t t t '=-=-+当，，当时，，01t <<()0g t '>1t >()0g t '<故，()3()12418g t t t g =-= 即面积的最大值为8．PAB ∆【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，AB ＝BC ＝2AD ＝4，四边形EDCF 为矩形，DE ＝2，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：DF ∥平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；(3)若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF AP 的长．【答案】(1)证明见解析；；(3)6.【分析】（1）由DE ⊥CD ，及面面垂直的性质定理得线面垂直，取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立如图所求的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出平面的一个法向量，ABE 由法向量与的方向向量垂直，再由不在平面内可证线面平行；DF DF ABE （2）求出平面ABE 与平面BEF 的法向量，由法向量的夹角正弦值得二面角正弦值；（3）点P 在线段EF 上，由，用表示出点坐标，由与平面BEF 方向向量的夹角EP EF λ= λP AP，求出，从而可得线段长．λ【详解】(1)证明：∵四边形EDCF 为矩形，∴DE ⊥CD ，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ∩平面ABCD ＝CD ，∴ED ⊥平面ABCD ．取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (2，0，0)，B (2，4，0)，C (﹣2，4，0)，E (0，0，2)，F (﹣2，4，2)，设平面ABE 的法向量＝(x ，y ，z )，m ∵＝(﹣2，﹣4，2)，＝(0，4，0)，BE AB 由，取z ＝1，得＝(1，0，1)，242040BE m x y z AB m y ⎧⋅=--+=⎨⋅==⎩ m 又＝(﹣2，4，2)，∴＝﹣2+0+2＝0，DF DF m ⋅ 则⊥，又∵DF ⊄平面ABE ，∴DF ∥平面ABE ．DF m (2)解：设平面BEF 的法向量＝(a ，b ，c )，n ∵＝(﹣2，﹣4，2)，＝(﹣2，4，0)BE EF 由，取b ＝1，可得＝(2，1，4)，2420240BE n a b c EF n a b ⎧⋅=--+=⎨⋅=-+=⎩ n ∴cos ＜＞＝，,m n||||||m n m n ⋅== ∴sin ＜，,m n=即平面ABE 与平面BEF ．(3)解：∵平面BEF 的法向量＝(2，1，4)，n 点P 在线段EF 上，设P (m ，n ，t )，，则(m ，n ，t ﹣2)＝(﹣2λ，4λ，0)，EP EF λ= 解得P (﹣2λ，4λ，2)，∴＝(﹣2λ﹣2，4λ，2)，AP∵直线AP 与平面BEF∴||||||AP n AP n ⋅= 解得λ＝1，∴线段AP |．6=【点睛】本题考查用空间向量法证明线面平行，求二面角，直线与平面所成的角，从而求得空间线段长，解题关键是建立空间直角坐标系．考查了空间想象能力与运算求解能力．22．已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为，点P 为椭圆22x a 22y b 1231,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上一点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点C (0，1)且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为k 1，直线BN 的斜率为k 2，若k 1＝2k 2，求直线l 斜率的值．【答案】（1）＋＝1；（2）.24x 23y 32【分析】(1)由椭圆的离心率,和点P 在椭圆上求出椭圆的标准方程;31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2) 由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx ＋1, 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2), 联立方程组消去y ,再将k 1＝2k 2用坐标表示,利用点在椭圆上和韦达定理求出直线l 的斜率.【详解】(1)因为椭圆的离心率为，所以a ＝2c .12又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b .所以椭圆的标准方程为＋＝1.224x c 223y c 又因为点P 为椭圆上一点，所以＋＝1，解得c ＝1.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭214c 2943c 所以椭圆的标准方程为＋＝1.24x 23y (2) 由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx ＋1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立方程组消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0.所以由根与系数关系可知x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－.2834k k +2834k +因为k 1＝，k 2＝，且k 1＝2k 2，所以＝.112y x +222y x -112y x +2222y x -即＝. ①()21212y x +()222242y x -又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆上，所以＝ (4－)，＝ (4－)． ②21y 3421x 22y 3422x 将②代入①可得：＝，即3x 1x 2＋10(x 1＋x 2)＋12＝0.1122x x -+()22422x x +-所以3＋10＋12＝0，即12k 2－20k ＋3＝0.2834k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭2834k k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭解得k ＝或k ＝，又因为k >1，所以k ＝.163232【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.。
2021-2022学年四川省成都市高二年级下册学期4月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年四川省成都市高二下学期4月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）．(){}ln 10A x x =-<{}2320B x xx =-+≤A B = A ．B ．{}12x x ≤<{}12x x ≤≤C ．D ．{}12x x <≤{}12x x <<【答案】D【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：∵，，{}12A x x =<<{}12B x x =≤≤∴，{}12A B x x ⋂=<<故选：D ．2．中心在原点的双曲线C 的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C 的方程为（ ）()2,0A ．B ．C ．D ．2213xy -=21x =2213x y -=2213y x -=【答案】D【分析】根据条件，求出，的值，结合双曲线的方程进行求解即可．a c 【详解】解：设双曲线的方程为．C 22221(0,0)x y a b a b -=>>由已知得：，，1a =2c =再由，，222+=a b c 23b ∴=双曲线的方程为：．∴C 2213y x -=故选：D ．3．若复数z 满足，则（ ）．()1i 13iz -=+z =A ．B ．12i -+12i +C ．D ．12i --12i-【答案】C【分析】根据复数的运算法则求得复数，再求其共轭复数即可.z 【详解】因为，故.()()()()13i 1i 13i 24i 12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+z =12i --故选：C ．4．已知，则外接圆的方程为（）((0,3)A B C ABC A ．B ．C ．D ．22(1)2x y -+=22(1)4x y -+=22(1)2x y +-=22(1)4x y +-=【答案】D【分析】求得外接圆的方程即可进行选择.ABC 【详解】设外接圆的方程为ABC ()222()x a y b r -+-=则有，解之得()()()222222222()0)0(0)3a b r a b ra b r ⎧+-=⎪⎪+-=⎨⎪-+-=⎪⎩012a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则外接圆的方程为ABC 22(1)4x y +-=故选：D5．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺，则立夏当日日影长为（ ）9.56A ．尺B ．尺C ．尺D ．尺16.513 3.5 2.5【答案】D【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.{}n a 【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，{}n a 49.5a =春分当日日影长为，所以立夏当日日影长为.76a =71042 2.5a a a =-=故选：D6．下列四个命题：①，使；0x ∃∈R 200230x x ++=②命题“”的否定是“”；00,lg 0x R x ∃∈>,lg 0x R x ∀∈<③如果，且，那么；,a b R ∈a b >22a b >④“若，则”的逆否命题为真命题，其中正确的命题是（ ）αβ=sin sin αβ=A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】D【详解】中故不存在，使，①错；2230x x ++=441380, =-⨯⨯=-<0x R ∈200230x x ++=命题“”的否定是“”，故②错；00,0x R lgx ∃∈>,lg 0x R x ∀∈≤如果，且，那么，故③错；,a b R ∈0a b >>22a b <“若，则”为真命题，故其逆否命题为真命题，故④对.αβ=sin sin αβ=本题选择D 选项.7．2021年4月8日，教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素.了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养.增强体质健康管理的意识和能力.某高中学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100 名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示.根据此图，下列说法中错误的是（ ）A ．样本的众数约为1672B ．样本的中位数约为2663C ．样本的平均值约为66D ．为确保学生体质健康，学校将对体重超过的学生进行健康监测，该校男生中需要监测的学75kg 生频数约为200人【答案】C【分析】根据众数、中位数、平均值的概念等求值即可判断.【详解】对于A ，样本的众数为，A 对；657016722+=对于B ，设样本的中位数为，，解得，B 对；x ()50.0350.05650.060.5x ⨯+⨯+-⨯=2663x =对于C ，由直方图估计样本平均值为57.50.1562.50.2567.50.372.50.277.50.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，C 错误；66.75=对于D ，2000名男生中体重大于的人数大约为，D 对.75kg 200050.02200⨯⨯=故选：C.8．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段N ABCD ECD ∆ECD ⊥,ABCD M 的中点，则EDA ．，且直线是相交直线BM EN =,BM ENB ．，且直线是相交直线BM EN ≠,BM ENC ．，且直线是异面直线BM EN =,BM END ．，且直线是异面直线BM EN ≠,BM EN 【答案】B【解析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示， 作于，连接，过作于．EO CD ⊥O ON M MF OD ⊥F 连，平面平面．BF CDE ⊥ABCD 平面，平面，平面，,EO CD EO ⊥⊂CDE EO ∴⊥ABCD MF ⊥ABCD与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，MFB ∴∆EON ∆12EO ON EN ==，故选B ．5,2MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角形．9．已知，，，则以下不等式正确的是（ ）ln 22a =1e b =ln 55c =A ．B ．C ．D ．c b a >>a b c>>b a c>>b c a>>【答案】C 【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再1ln e e e b ==ln ()(0)xf x x x =>利用单调性比较大小即可【详解】，，，ln 22a =1ln e e e b ==ln 55c =令，则，ln ()(0)xf x x x =>21ln ()x f x x -'=当时，，当时，，0e x <<()0f x '>e x >()0f x '<所以在上递增，在上递减，()f x (0,e)(e )+∞，因为，2e 5<<所以，，(2)(e)f f <(e)(5)f f >因为，ln 2ln 55ln 22ln 5ln 32ln 25(2)(5)0251010f f ---=-==>所以，(2)(5)f f >所以b a c >>故选：C10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点()2222:10x y C a b a b +=>>1F 2F 1F 与在轴上方的交点为.若，则的离心率是（ ）l C x A 112AF F F ＝CA ．BCD 23【答案】A【分析】结合条件及余弦定理可得，然后利用椭圆的定义即求.2AF c=【详解】设，则，12AF F α∠=tan α=7cos 8α=又，112=2AF F F c=在中，由余弦定理可得，12AF F △222227442228AF c c c c c =+-⋅⋅⋅=∴，2AF c=∴，1223a AF AF c=+=∴，23c e a ==故选：A.11．设定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式R ()f x '()f x '()()ln 20f x f x ->()14f =的解集为（ ）()22x f x ≥A ．B ．C ．D ．[]1,2[)1,+∞(],1-∞(]0,1【答案】B 【分析】首先设，从而得到在上为增函数，将等价于，再()()2x f x g x =()g x R ()22x f x ≥()()1g x g ≥利用单调性解不等式即可.【详解】设，，()()2x f x g x =()()()ln 202x f x f x g x '-'=>所以在上为增函数.()g x R 又因为，所以，()14f =()(1)122f g ==所以.()()()2112xf xg x g x ≥⇒≥⇒≥故选：B12．点，，，在同一个球面上，，若球的表面积为，则四面A B C D AB BC ==2AC =254π体体积的最大值为ABCDA ．B ．C ．D ．1234231【答案】C【分析】先求球的半径，再根据勾股定理得三角形ABC 为直角三角形，根据勾股定理可得球心到平面ABC 距离，最后可得四面体体积的最大值.ABCD 【详解】因为球的表面积为，所以,254π225π54π44R R =∴=因为所以三角形ABC 为直角三角形，222224AB BC AC +=+==，从而球心到平面ABC ,34==因此四面体体积的最大值为，选C.ABCD 13512()(34423⨯+⨯=【点睛】本题考查四面体体积以及外接球，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题13．设各项为正的等比数列的前n 项和，若，，成等差数列，则数列的公比为{}n a n S 1S -2S3a {}n a ______．【答案】3【分析】根据条件可得，然后可得关于公比的方程，解出即可.1322S a S =-+q 【详解】因为，，成等差数列，所以，1S -2S 3a 1322S a S =-+所以，因为，所以，解得或（舍），()211112a a q a a q +=-+10a ≠()2211q q +=-+3q =1q =-故答案为：314．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为____【答案】##6π30︒【分析】根据正方体性质有，则直线PB 与AD 1所成的角为，进而计算其正弦值11//AD BC 1PBC ∠得大小.【详解】由，连接，故直线PB 与AD 1所成的角为，11//AD BC 1PC 1[0,2PBC π∠∈若正方体棱长为2，则11BC PC PB ===所以，故，则，22211PC PB BC +=1PC PB⊥1111sin 2PC PBC BC ∠==故.16PBC π∠=故答案为：6π15．已知函数在处取得极值，则实数_________．()ln f x x =1x ==a 【答案】2-【分析】求出导函数，由求得值，并检验此时是极值点．()f x '()01f '=a 1x =【详解】∵()ln ,0f x x x =>∴，则，，1()f x x '=02(1)1af '+==2a =-当时，，2a =-1()f x x'==时，， 时，，01x <<()0f x '>1x >()0f x '<所以时，取得极值，1x =()f x 所以实数.=a 2-故答案为：.2-16．已知抛物线，过焦点F 的弦AB ，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交点P 的横坐24x y =标为1，则直线AB 的斜率为______．【答案】##0.512【分析】设，，先根据导数几何意义求得两切线方程，然后联立两切线方程211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭可求得交点横坐标结合条件即得.【详解】抛物线方程为，24x y =抛物线的焦点，∴()0,1F 由题意，直线AB 的斜率存在，设，，，:1AB l y kx =+211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立，得，241x yy kx ⎧=⎨=+⎩2440x kx --=，124x x k ∴+=由，得，求导得，24x y =24x y =2x y '=，即 ①∴()21111:42x x l y x x -=-21124x x y x =-同理②2222:24x x l y x =-由①②得，由题可得，即，∴1222x x x k +==12212x x x k +===12k =所以直线AB的斜率为.12故答案为：.12三、解答题17．为积极贯彻落实国家教育的“双减”政策，我市各地纷纷推行课后服务“5+2”模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时.某初中学校为了解该校学生上学期来参加学业辅导、体育锻炼、综合实践三大类别的课后服务情况，德育处从全校七、八、九年级学生中按照1：2：3分层抽样的方法，抽取容量为240的样本进行调查.被抽中的学生分别对参加课后服务进行评分，满分为100分.调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分.随后，德育处将八、九年级学生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：八年级学生评分结果频率分布表分数区间频数[)50,602[)60,70m[)70,8017[)80,9038[)90,10020(1)根据上述统计图表信息试求m和n的值；(2)为了便于调查学校开展课后服务“满意度"情况是否与年级高低有关，德育处把评分不低于70分的定义为“满意”，评分低于70分的定义为“不满意”，通过样本将七年级和九年级学生对课后服务“满意度"情况汇总得到下表：年级七年级九年级合计满意情况满意30不满意合计()20P K k ≥0.100.0500.0100k 2.706 3.841 6.635请补充上表，并判断是否有90%的可能性认为学校开展课后服务“满意度”情况与年级高低有关?附：，.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++【答案】(1)，；3m =0.015n =(2)列联表见解析，没有90%的可能性认为学校开展课后服务“满意度”情况与年级高低有关．【分析】（1）由题干数据结合频率和为1，八年级学生总数即可得解；（2）由题干数据完善列联表，计算卡方，对比即可得解.【详解】（1）由已知八年级抽取人数为，，224080123⨯=++8021738203m =----=由频率和为1得，．(0.0050.020.040.02)101n ++++⨯=0.015n =（2）七年级人数为，九年级不满意人数为，1240406⨯=(0.0050.015)1012024+⨯⨯=列联表如下：年级满意情况七年级九年级合计满意3096126不满意102434合计40120160，22160(30241096)0.448 2.7061263440120K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有90%的可能性认为学校开展课后服务“满意度”情况与年级高低有关．18．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E，F 分别在AD ，CD 上，，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到的位置，54AE CF ==D EF ' OD '=(1)证明：平面平面ABCD ；D EF '⊥(2)求三棱锥的体积．B D AC '-【答案】(1)证明见解析；(2)12.【分析】（1）由题可得，然后利用菱形的性质，勾股定理及线面垂直的判定定理可得//EF AC 平面ABCD ，再利用面面垂直的判定定理即得；D H '⊥（2）利用锥体的体积公式即得.【详解】（1）∵ABCD 是菱形，AD ＝DC ，又，54AE CF ==∴，则，DE DF EA FC =//EF AC 又由ABCD 是菱形，得AC ⊥BD ，则EF ⊥BD ，∴EF ⊥DH ，则，EF D H '⊥∵AC ＝6，∴AO ＝3，又AB ＝5，AO ⊥OB ，∴OB ＝4，∴，则，1AE OH OD AD =⋅=3DH D H '==∴，则，又，平面ABCD ，222OD OH D H ''=+D H OH '⊥OH EF H = ,OH EF ⊂∴平面ABCD ，平面，D H '⊥D H '⊂D EF '所以平面平面ABCD ；D EF '⊥（2）由题可知，，11641222ABC S AC OB =⋅=⨯⨯= 3D H '=所以三棱锥的体积为.B D AC '-111231233B D AC D BAC ABC V V S D H ''--'==⋅=⨯⨯=19．在△中，ABC b a=cos A =(1)求证：△为等腰三角形；ABC (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一，求的ABC b值.条件①：；π6B ∠=条件②：△的面积为；ABC 152条件③：边上的高为.AB 3注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析；(2)详见解析.【分析】（1）把转化为边a 、b 之间的倍数关系，把a 、b 、c 之间b a =cos A =的关系，综合可得证；（2）条件①,与已知cos A =条件②，通过三角形面积公式解得a ，可使△存在且唯一；ABC 条件③，通过转化条件，可使△存在且唯一.ABC【详解】（1）在△中，由ABC b a =b =则由cos A =2222a c =+-即，故有()(35)0a c a c -+=c a=故△为等腰三角形.ABC （2）选择条件①：时，由（1）知，则有，π6B ∠=c a =512A C π∠=∠=此时，5cos cos cos()1264A πππ==+=≠与已知矛盾，三角形无解.不能选；选择条件②：△的面积为时，ABC 152由得，cos A =3sin sin(2)2sin cos 25B A A A π=-===故有，解得，,21315252a ⨯=5a =5c=b =三角形存在且唯一，可选.选择条件③：边上的高为.AB 3由得，cos A =3sin sin(2)2sin cos 25B A A A π=-===可得，则有,3353sin 5a B ===5c =b =三角形存在且唯一，可选.综上可知:选择条件②时，三角形存在且唯一，b =选择条件③时，三角形存在且唯一，b =20．设函数，，()1x f x e kx =--0x ≥R k ∈（1）求的单调递增区间；()f x （2）当，时，求证：.1k =12a ≤2()f x ax ≥【答案】（1）当时，的单调递增区间是，当时，的单调递增区间是1k ()f x (0,)+∞1k >()f x ；（2）证明见解析(ln ,)k +∞【分析】（1）对函数进行求导，再对进行分类讨论，即可得到答案；k （2）由，只需证，设，又，只需证12a ≤21()2f x x ≥2211()()122x g x f x x e x x =-=---(0)0g =，利用恒成立，即可证明结论.()0g x '≥1x e x ≥+【详解】（1）， ()x f x e k '=-①当时，在恒成立，1k ()0f x ' (0,)+∞在单调递增；∴()f x (0,)+∞②当时，，，1k >'()0ln f x x k >⇒>'()00ln f x x k <⇒<<在单调递增，∴()f x (ln ,)k +∞综上，当时，的单调递增区间是，1k ()f x (0,)+∞当时，的单调递增区间是；1k >()f x (ln ,)k +∞（2）因为，要证，只需证，12a ≤2()f x ax ≥21()2f x x ≥设，2211()()1,022x g x f x x e x x x =-=---≥，令恒成立，()1x g x e x '=--()1,()10,0x x u x e x u x e x '=--=-≥≥所以在上单调递增，所以，()u x [0,)+∞()(0)0u x u ≥=即上恒成立，()0,[0,)g x x '≥∈+∞所以单调递增，，(),[0,)g x x ∈+∞()(0)0g x g ≥=即，得证.21()()02g x f x x =-≥【点睛】证明指对不等式要注意常用不等式的应用，如，等1,,ln 1x x e x e ex x x ≥+≥≥+ln(1)x x ≥+等，以及注意端点函数值与不等式的关系.21．已知椭圆分别为椭圆的上、下顶点，且2222:1(0)x y E a b a b +=>>,A B E .2AB =(1)求椭圆的标准方程；E (2)设直线与椭圆交于（不与点重合）两点，若直线与直线的斜率之和为，l E ,M N ,A B AM AN 2判断直线是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.l 【答案】(1)2214x y +=(2)直线经过定点．l (1,1)--【分析】（1）根据离心率和，求出，，从而求出椭圆方程；（2）先2AB =222a b c =+2a =1b =考虑直线斜率存在时，设直线，()，联立后用韦达定理，利用题干条件列出方程，:l y kx t =+1t ≠±求出，从而求出直线过的定点，再考虑斜率不存在时是否满足，最终求出答案.1t k =-【详解】（1c a=因为为椭圆的上、下顶点，且，所以 即 ，,A B 2AB =22b =1b =又222a b c =+解得：2a =所以椭圆的标准方程为E 2214x y +=（2）直线经过定点，证明如下：l ()1,1--①当直线的斜率存在时，设，()，l :l y kx t =+1t ≠±由，得，2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(14)8440k x ktx t +++-=则 得：222(8)4(14)(44)0kt k t ∆=-+->2241t k <+设1122(,),(,)M x y N x y 则，， 122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则1212121212112(1)()AM AN y y kx x t x x k k x x x x --+-++=+=8(1)24(1)(1)k t t t -==+-所以，经检验，可满足，1t k =-2241t k <+所以直线的方程为，即l 1y kx k =+-()11y k x =+-所以直线经过定点．l ()11--，②当直线的斜率不存在时，设，，，l :l x m =(,)M M m y (,)M N m y -则112M M AM AN y y k k m m---+=+=解得，此时直线也经过定点1m =-l ()11--，综上直线经过定点．l (1,1)--【点睛】直线过定点问题，需要设出直线方程，与曲线联立方程后用韦达定理得到两根之y kx b =+和，两根之积，利用题干中条件得到等量关系，找到与的关系，或者求出的值，从而确定所k b b 过的定点，注意考虑直线斜率不存在的情况.22．已知函数，函数()21f x x =-()ln g x a x =(1)如果曲线与在x ＝1处具有公共的切线，求a 的值及切线方程；()y f x =()y g x =(2)当时，讨论的零点个数．2a ≥()()()h x f x g x =-【答案】(1)；；2a =220x y --=(2)当时，函数的有一个零点；当时，函数的有两个零点.2a =()h x 2a >()h x 【分析】（1）和在处的切线相同，则在该点出的导数相等，从而求解a 的值，()y f x =()y g x =1x =以及切线l 的方程；（2）分和讨论，利用导数研究函数的性质结合条件及零点存在定理即得.2a =2a >【详解】（1）由题可知，()2,()(0)a f x x g x x x ''==>由题意，公共切线的斜率，即，(1)(1)k f g ''==2a =又因为，(1)0f =所以切线方程为，即；()21y x =-220x y --=（2）因为函数，2()()()1ln (0)h x f x g x x a x x =-=-->则，22()2a x a h x x x x -'=-=当时，令，解得，2a =()0h x '=1x =与的变化情况如下：()h x '()h x x (0,1)1(1,)+∞()h x '-0+()h x 减函数增函数所以在上单调递减，在上单调递增，()h x (0,1)(1,)+∞所以当时，，1x =min ()(1)0h x h ==故有且仅有一个零点，()y h x =1当时，令，解得，2a >()0h x '=x 与的变化情况如下：()h x '()h x所以在上单调递减，在上单调递增，()hx ⎛ ⎝⎫∞⎪⎪⎭所以当，x=()min h x h = 因为，(1)0h =1> 所以函数在上存在一个零点，且，⎛ ⎝()10h h <=又，222e e 1ln e e 12a a a a a h a ⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭令，则，()2e 1,22aa t a a =-->()e a t a a '=-设，则，在上单调递增，()()e a s a t a a '==-()e 10a s a ='->()s a ()2,a ∈+∞则，故，在上单调递增，()()22e 20s a s >=->()0t a '>()t a ()2,a ∈+∞所以，即，又，在上单调递增，()()22=e 30t a t >->2e 0a h ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭0h <()h x ⎫∞⎪⎪⎭所以存在，使得，20,e a x ∈⎫⎪⎪⎭0()0h x =所以，当时，函数存在两个零点；2a >()y h x =01,x 综上，当时，函数的有一个零点；当时，函数的有两个零点.2a =()h x 2a >()h x 【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.。
2021年高二数学下学期第一次月考试卷(含解析)
2021年高二数学下学期第一次月考试卷（含解析）一、选择题（每个小题5分，共12个小题）1．设命题p：∀x＞0，2x＞log2x，则¬p为（）A．∀x＞0，2x＜log2x B．∃x＞0，2x≤log2xC．∃x＞0，2x＜log2x D．∃x＞0，2x≥log2x2．已知命题p：∃x0∈R，sinx≥，则￢p是（）A．∃x0∈R，sinx≤B．∃x∈R，sinx＜C．∀x∈R，sinx≤D．∀x∈R，sinx＜3．在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么（）A．命题p、q都是真命题B．命题p、q都是假命题C．命题p、q至少有一个是真命题D．命题p、q只有一个真命题5．设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有（）A． p真q真B． p假q假C． p真q假D． p假q真6．下列说法中正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程7．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（）A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错8．下列几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三1班55人，2班54人，3班52人，由此得高三所有班级的人数超过50人B．由圆的周长C=πd推测球的表面积S=πd2C．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°D．在数列{an }中，a1=1，an=（an﹣1+）（n≥2），由此归纳数列{an}的通项公式9．已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）A． 0 B． i C．﹣i D． 110．已知z+5﹣6i=3+4i，则复数z为（）A．﹣4+20i B．﹣2+10i C．﹣8+20i D．﹣2+20i 11．=（）A．B．C． i D．﹣i12．i是虚数单位，复数=（）A． 2﹣i B． 2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i二、填空题（每个小题5分，共4个小题）13．命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．14．已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是．15．已知复数z=2﹣i（i是虚数单位），则|z|= ．16．若复数z=（m2﹣1）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值等于．三、解答题（共计6个小题，其中17小题10分，其他小题各12分）17．计算：（1+2i）÷（3﹣4i）．18．写出命题“若a＜b，则ac2＜bc2”的逆命题，否命题，逆否命题．19．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题．（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）三角函数都是周期函数吗？（3）有一个实数x，x不能取倒数；（4）有的三角形内角和不等于180°．20．在数列{an }中，a1=1，，试猜想这个数列的通项公式．21．实数m取什么值时，复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．22．m取何实数时，复数．（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？上海市奉贤区奉城中学xx学年高二（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每个小题5分，共12个小题）1．设命题p：∀x＞0，2x＞log2x，则¬p为（）A．∀x＞0，2x＜log2x B．∃x＞0，2x≤log2xC．∃x＞0，2x＜log2x D．∃x＞0，2x≥log2x考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x＞0，2x＞log2x，则¬p为∃x＞0，2x≤log2x．故选：B．点评：本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题．2．已知命题p：∃x0∈R，sinx≥，则￢p是（）A．∃x0∈R，sinx≤B．∃x∈R，sinx＜C．∀x∈R，sinx≤D．∀x∈R，sinx＜考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题所以，命题p：∃x0∈R，sinx≥，则￢p是∀x∈R，sinx＜．故选：D．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合正弦定理进行判断即可．解答：解：在△ABC中中，若A=B，则a=b，由正弦定理得sinA=sinB，即充分性成立，若sinA=sinB，则由正弦定理得a=b，即A=B，即必要性成立，故，“A=B”是“sinA=sinB”的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合正弦定理是解决本题的关键．4．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么（）A．命题p、q都是真命题B．命题p、q都是假命题C．命题p、q至少有一个是真命题D．命题p、q只有一个真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系即可判断出p，q的真假情况．解答：解：由p∨q为真命题，p∧q为假命题知，p，q一真一假；即p，q中只有一个真命题；∴D正确．故选D．点评：考查“∨”“∧”两个符号的含义，以及p∧q，p∨q真假和p，q真假的关系．5．设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有（）A． p真q真B． p假q假C． p真q假D． p假q真考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由于“p∨q”的否定是真命题，可得p∨q是假命题，即可判断出p与q 的真假．解答：解：∵“p∨q”的否定是真命题，∴p∨q是假命题，因此p与q都是假命题．故选：B．点评：本题考查了复合命题的真假判断方法，属于基础题．6．下列说法中正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程考点：合情推理的含义与作用．专题：阅读型．分析：合情推理的结论不一定正确可判定选项A，合情推理包含归纳推理与类比推理可判定选项B，归纳推理是从特殊到一般的推理过程可判定选项C，类比推理是从特殊到特殊的推理过程可判定选项D．解答：解：合情推理的结论不一定正确，有待证明，而演绎推理的结论是一定正确的，故选项A不正确；合情推理包含归纳推理与类比推理，故选项B不正确；所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故选项C不正确；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是从特殊到特殊的推理过程．故选项D正确．故选D．点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．7．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（）A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错考点：演绎推理的基本方法．专题：阅读型．分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．解答：解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方大于0是不正确的，故选A．点评：本题考查演绎推理的基本方法，考查实数的性质，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识，判断这种说法是否正确即可，是一个基础题．8．下列几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三1班55人，2班54人，3班52人，由此得高三所有班级的人数超过50人B．由圆的周长C=πd推测球的表面积S=πd2C．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°D．在数列{an }中，a1=1，an=（an﹣1+）（n≥2），由此归纳数列{an}的通项公式考点：演绎推理的意义．专题：探究型．分析：分别根据归纳推理，类比推理以及演绎推理的定义进行判断．解答：解：A．由高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人，属于归纳推理．B．由圆的周长C=πd推测球的表面积S=πd2，属于类比推理．C．直线平行的性质得到结论为演绎推理．D．根据条件推出数列的通项公式为归纳推理．故选C．点评：本题主要考查归纳推理，类比推理和演绎推理的判断，要求熟练掌握它们的区别和联系．9．已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）A． 0 B． i C．﹣i D． 1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====i的虚部是1．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．10．已知z+5﹣6i=3+4i，则复数z为（）A．﹣4+20i B．﹣2+10i C．﹣8+20i D．﹣2+20i 考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的代数形式的混合运算，求出复数z即可．解答：解：∵z+5﹣6i=3+4i，∴z=3+4i﹣5+6i=﹣2+10i．故选：B．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．11．=（）A．B．C． i D．﹣i考点：复数代数形式的混合运算．分析：化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．解答：解：故选A．点评：本题考查的知识点复数的运算，（乘法和除法），比较简单．12．i是虚数单位，复数=（）A． 2﹣i B． 2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．解答：解：复数=故选A点评：本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意分母实数化，考查计算能力，常考题型．二、填空题（每个小题5分，共4个小题）13．命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0 ．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．14．已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是自然数n是3的倍数．考点：演绎推理的基本方法．专题：规律型．分析：三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“自然数n是9的倍数”叫小前提．另外一个是结论．解答：解：由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：“自然数n是3的倍数”．故答案为：自然数n是3的倍数．点评：三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．15．已知复数z=2﹣i（i是虚数单位），则|z|= ．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数模长的定义直接进行计算即可．解答：解：∵复数z=2﹣i，∴|z|===．故答案为：．点评：本题主要考查复数的长度的计算，比较基础．16．若复数z=（m2﹣1）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值等于 1 ．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：由复数z的是不等于0，虚部不等于0列式计算m的值．解答：解：复数z=（m2﹣1）+（m+1）i当z是纯虚数时，必有：m2﹣1=0且m+1≠0解得，m=1．故答案为1．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，复数为纯虚数，当且仅当实部等于0而虚部不等于0，是基础题．三、解答题（共计6个小题，其中17小题10分，其他小题各12分）17．计算：（1+2i）÷（3﹣4i）．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数除法的运算法则进行化简即可．解答：解：（1+2i）÷（3﹣4i）====+i．点评：本题主要考查复数的基本运算，根据复数除法的运算法则是解决本题的关键．18．写出命题“若a＜b，则ac2＜bc2”的逆命题，否命题，逆否命题．考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：把原命题的题设和结论互换，得到原命题的逆命题；同时否定原命题的题设和结论，得到原命题的否命题；否定原命题的题设作结论，否定原命题的结论作题设，得到原命题的逆否命题．解答：解：命题“若a＜b，则ac2＜bc2”的逆命题：若ac2＜bc2，则a＜b；否命题：若a≥b，则ac2≥bc2；逆否命题：若ac2≥bc2，则a≥b．点评：本题考查四种命题的相互转化，解题时要注意四种命题的变换方法．19．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题．（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）三角函数都是周期函数吗？（3）有一个实数x，x不能取倒数；（4）有的三角形内角和不等于180°．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题的定义以及特称命题与全称命题的定义，对题目中的语句进行判断即可．解答：解：对于（1），任何一个实数除以1，仍等于这个数，是命题，且是全称命题；对于（2），三角函数都是周期函数吗？不是命题；对于（3），有一个实数x，x不能取倒数，是命题，是特称命题；对于（4），有的三角形内角和不等于180°，是命题，是特称命题．点评：本题考查了命题的概念以及特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．20．在数列{an }中，a1=1，，试猜想这个数列的通项公式．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据已知的递推关系，可以构造出我们熟悉的等差数列．再用等差数列的性质进行求解．解答：解：根据，得2an+1+an+1an=2an，两边同时除以an+1an，得到，所以数列是公差为1的等差数列，且，所以，所以．点评：构造数列是对已知数列的递推关系式变形后发现规律，创造一个等差或等比数列，借此求原数列的通项公式，是考查的重要内容．21．实数m取什么值时，复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：（1）当复数的虚部等于零，复数为实数，由此求得m的值．（2）当复数的虚部不等于零，复数为虚数，由此求得m的值．（3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数，即，由此求得m 的值．解答：解：（1）当复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i的虚部等于零，即m2﹣3m=0，求得m=0，或 m=3，即m=0，或 m=3时，复数为实数．（2）当复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i的虚部不等于零，即m2﹣3m≠0，求得m≠0，且m≠3，即m≠0，且m≠3时，复数为虚数．（3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数，由，求得 m=2，即当 m=2时，复数为纯虚数．点评：本题主要考查复数的基本概念，属于基础题．22．m取何实数时，复数．（1）是实数？（2）是虚数？精品文档（3）是纯虚数？考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：（1）由虚部等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（2）由虚部不等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m的值．解答：解：（1）当，即，即m=5时，z的虚部等于0，实部有意义，∴m=5时，z是实数．（2）当，即时，z的虚部不等于0，实部有意义，∴当m≠5且m≠﹣3时，z是虚数．（3）当，即时，z为纯虚数，∴当m=3或m=﹣2时，z是纯虚数．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是实数、虚数、纯虚数的条件，关键是注意实部的分母不等于0，此题是基础的计算题．ZBB 32548 7F24 缤dSt30230 7616 瘖%25765 64A5 撥39076 98A4 颤,20854 5176 其31123 7993 禓实用文档。
2022-2023学年四川省成都市树德中学高二年级下册学期4月月考数学(文)试题 【含答案】
树德中学高2021级4月阶段性测试数学试题（文科）时间：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知复数，则（ ）1i z =-21z z -=A.B. C. D.31i2--11i2--11i 2-11i 2+【答案】B 【解析】【分析】将复数代入目标式，结合复数的除法和共轭复数求解即可.z 【详解】因为，所以．1i z =-21111(1i)i (1i)1i 2i 22z z -=-+=-+=---故选：B ．2. 若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ）1:10l x my --=2:(2)310l m x y --+=12l l ∥3m =A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用两直线平行的结论即可进行判断.【详解】由题意，若，则，解得或，12l l ∥1(3)(2)()m m ⨯-=--1m =-3m =经检验，或时，，则“”是“”的必要不充分条件，1m =-3m =12l l ∥12l l ∥3m =故选：C ．3. 如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）()yf x =()y f x '=A. 在区间上，是增函数(2,1)-()f x B. 当时，取到极小值2x =()f x C. 在区间上，是减函数(1,3)()f x D. 在区间上，是增函数(4,5)()f x 【答案】D 【解析】【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;对于B ，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A 错；时，取得极大值322-<<-x ()0f x '<()f x 2x =()f x （函数是先增后减），B 错；时，，递增，C 错；时，，12x <<()0f x '>()f x 45x <<()0f x '>递增，D 正确．()f x 故选：D.4. 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，下列说法正确的是（）A. 若甲、乙两组数据的方差分别为，，则21s 22s 2212s s >B. 甲成绩比乙成绩更稳定C. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差D. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则1x 2x 12x x <【答案】B 【解析】【分析】根据题中折线图的数据信息以及变化趋势，结合平均数、方差和极差的定义逐项分析判断【详解】对A 、B ：由折线图的变化趋势可知：甲的成绩较为集中，乙成绩波动很大，故甲成绩比乙成绩更稳定，故，故A 错误，B 正确；2212s s <对C ：极差为样本的最大值与最小值之差，甲的极差大约为30，乙的极差远大于30，故甲的极差小于乙的极差，C 错误；对D ：由图可知：甲的成绩除第二次略低于乙的成绩，其余均高于乙的成绩，故，D 错误；12x x >故选：B.5. 德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开ππ式计算的近似值（其中P 表示的近似值）”.若输入，输出的结果P 可以表示为ππ8n =A.B.11114(1)35711P =-+-+- 11114(1)35713P =-+-++ C.D.11114(135715P =-+-+- 11114(135717P =-+-++ 【答案】C 【解析】【分析】根据已知程序框图依次代入计算,即可得出输出结果.【详解】第1次循环:;1,2S i ==第2次循环:；11,33S i =-=第3次循环: ;111,435S i =-+=…第8次循环:,1111135715S =-+-+⋯-9i =此时满足判定条件,输出结果.111144135715P S ⎛⎫==-+-+⋯- ⎪⎝⎭故选:C【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题6. 椭圆与直线相交于A ，B 两点，过的中点M 与坐标原点的()222210,0x y m n m n +=>>10x y +-=AB 直线的斜率为2，则（ ）mn =D. 2【答案】A 【解析】【分析】设,所以，利用点差法，做差化简，利用()()()112200,,,,,A x y B x y M x y 22112222222211x y m n x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解出．0120122,1OM AB y y y k k x x x -====--m n 【详解】设，()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ∴，0120122,1OM AB y y y k k x x x -====--由AB 的中点为M 可得①，②，1202x x x +=1202y y y +=由A ．B 在椭圆上，可得，22112222222211x y m n x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得③，()()()()1212121222x x x x y y y y m n +-+-+=把①②代入③可得()()01201222220x x y y m n x y --+=整理可得222n m mn =⇒=故选：A.7. 已知是区间内任取的一个数，那么函数在上是增函数的概m []0,43221()233f x x x m x =-++x ∈R 率是（ ）A. B. C. D. 14131223【答案】C 【解析】【分析】首先得到恒成立，则解出的范围，再根据其在内取数，利用几220()4f x x x m '=-≥+m [0,4]何概型公式得到答案.【详解】，22()4f x x x m '=-+ 在上是增函数3221()233f x x x m x =-++x ∈R 恒成立22()40f x x x m '∴=-+≥21640m ∴∆=-≤解得或2m ≥2m ≤-又是区间内任取的一个数m [0,4]24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数在上是增函数的概率3221()233f x x x m x =-++x ∈R 42142P -==故选：C ．8. 一艘船的燃料费（单位：元/时）与船速（单位：）的关系是.若该船航行时其y x /km h 31100y x x =+他费用为540元/时，则在的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为100kmA. B. C. D. 30/km h /h/h60/km h【答案】A 【解析】【分析】根据题意列出总费用与航速的关系,再求导分析函数的单调性与最值求解即可.【详解】由题, 的航程需要小时,故总的费用.100km 100x 31100()540100f x x x x ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭即.故.254000()100f x x x =++()32222700054000'()2x f x x x x -=-=令有.故当时,单调递减,'()0f x =30x =030x <<'()0f x <()f x 当时,单调递增. 使得航行的总费用最少,航速应为30x >'()0f x >()f x 30/km h 故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数解决实际问题中的最值问题,需要根据题意列出关于航速的函数解析式,再求导分析单调性与最值即可.属于中档题.9. 直线被圆所截得弦长的最小值为（）:10l mx y m +-+=()()22:1116C x y ++-=A. B. C. 【答案】A 【解析】【分析】先判断直线与圆的位置关系，再由圆心与直线过的定点与直线垂直求解.【详解】解：易知直线l 过定点，圆心，()1,1A -()1,1C -因为，()()22111116++--<所以直线l 与圆C 相交，当时，l 被圆C 所截得的弦最短，l AC ⊥此时弦长．L ==故选：A ．10. 已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式R ()f x ()f x 'x ∈R ()2f x '>(1)3f =的解集为()210f x x -->A. B. C. D. (,1)-∞(1,)+∞(0,)+∞(,0)-∞【答案】B 【解析】【分析】先构造函数，求导得到在R 上单调递增，根据函数的单调性可求()()21g x f x x =--()g x 得不等式的解集.【详解】构造函数， ， .()()21g x f x x =--(1)3f = (1)(1)210g f x ∴=--=又任意都有.在R 上恒成立. 在R 上单调递增.当 x R ∈()2f x '>∴()()20g x f x '='->∴()g x ∴时，有，即的解集为.()(1)g x g >1x >()210f x x -->{}|1x x >【点睛】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，根据题目条件构造一个新函数是解决本题的关键.11. 已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>A 2:12C y ax =F 的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）E P 0PA PF ⋅=E A.B. C.D. ()1,2⎛ ⎝()2,+∞⎫+∞⎪⎭【答案】B 【解析】【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，根据向量的数量积,b P m m a ⎛⎫⎪⎝⎭为；再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．00【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为，()2222:10,0x y E a b a b -=>>(),0A a b y x a =±抛物线的焦点为，2:12C y ax =()3,0F a设，则，，,b P m m a ⎛⎫⎪⎝⎭,b PA a m m a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 3,b PF a m m a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由可得：，0PA PF ⋅= ()()22230b a m a m m a --+=整理可得：，22221430b m ma a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，2222Δ164130b a a a ⎛⎫∴=-+⋅≥ ⎪⎝⎭，()222233a b c a ∴≥=-，2234c a ∴≤则：c e a =≤由可得：.1e>e ⎛∈ ⎝故选：B.12. 已知函数若函数恰有5个零点，则实数的2,1,()eln 52,1,xx f x xx x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩2[()](24)()1y f x a f x =+-+a 取值范围是（）A. B. 949,824⎡⎫⎪⎢⎣⎭491,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C. D.91,8⎛⎤ ⎥⎝⎦9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】先研究时，的单调性和极值，画出分段函数的图象，换元后数形结合转化为1x >()e ln xf x x =二次函数根的分布情况，列出不等式组，求出实数的取值范围.a 【详解】当时，，则，1x >()e ln x f x x =()2ln 1e ln xf x x -'=当时，，单调递减，当时，，单调递增，1e x <<()0f x '<()f x e x >()0f x ¢>()f x 则时，.当时，.1x >()(e)1f x f ≥=1x ≤22()52(1)66f x x x x =--=-++≤作出大致图象，函数恰有5个不同零点，()f x 2[()](42)()1y f x a f x =--+即方程恰有5个根.令，则需方程.2[()](24)()10f x a f x +-+=()f x t =2(24)10(*)t a t +-+=（l ）在区间和上各有一个实数根，令函数，(,1)-∞[2,6)2()(24)1u t t a t =+-+则解得.(1)12410,(2)42(24)10,(6)366(24)10,u a u a u a =+-+<⎧⎪=+-+≤⎨⎪=+-+>⎩949824a ≤<（2）方程（*）在和各有一根时，则(1,2)(6,)+∞(1)12410,(2)42(24)10,(6)366(24)10,u a u a u a =+-+>⎧⎪=+-+<⎨⎪=+-+<⎩即无解.1,9,849,24a a a ⎧⎪<⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩（3）方程（*）的一个根为6时，可得，验证得另一根为，不满足.4924a =16（4）方程（*）的一个根为1时，可得，可知不满足.1a =综上，.949824a ≤<故选：A【点睛】复合函数与分段函数结合问题，要利用数形结合思想和转化思想，这道题目中要先研究出分段函数的图象，再令，换元后转化为二次函数根的分布问题，接下来就迎刃而解了.()f x t =第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知线性相关的变量与的部分数据如表所示：x y x24568y34.5m7.59若其回归直线方程是，则_____________.ˆ1.050.85y x =+m =【答案】6.5【解析】【分析】根据回归直线必过样本点的中心，代入即可求解.【详解】由题意可得，，2456855x ++++==3 4.57.592455m m y +++++==则，解得241.0555m +=⨯+0.85 6.5.m =故答案为：6.5【点睛】此题考查回归直线方程的理解应用，利用回归直线方程求解参数的取值，需要掌握回归直线必过样本点的中心这一重要性质.14. 若实数x ，y 满足约束条件，设，则t 的最大值为__________.30201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩2=+t x y 【答案】5【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出A 点的坐标，将t =2x+y 转化为y =﹣2x+t ，结合函数图象求出t 的最大值即可．【详解】画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A （2,1），130y x y =⎧⎨+-=⎩由t =2x+y 得：y =﹣2x+t ，显然直线y =﹣2x+t 过A （2,1）时，t 最大，故t 的最大值是：t =4+1=5.故答案为：5．15. 已知，对，且，恒有，则()()e ,0,xa f x x x x ∞=-∈+()12,0,x x ∀∈+∞12x x <()()12210f x f x x x -<实数的取值范围是__________.a 【答案】2ea ≥【解析】【分析】根据对条件做出的解释构造函数，利用函数的单调性求解.()()1221f x f x x x -<【详解】对，且，恒有，即 ，所以()12,0,x x ∀∈+∞12x x <()()12210f x f x x x -<()()1122120x f x x f x x x -<函数 是增函数，()xf x 设，则在上单调递增，故()()()2'e ,e 2x x g x xf x a x g x a x==-=-()g x ()0,∞+ 恒成立，()'e 20x g x a x =-≥即，设 ，2e x xa ≥()()'222,e e x x x x F x F x -==当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；()0,1x ∈()'0F x >[)1,x ∞∈+()'0F x ≤故，即；()max 2()1e F x F ==2e a ≥故答案为：.2e a ≥16. 已知A ，B 分别为抛物线与圆上的动点，抛物线的焦点21:8C y x=222:6160C x y x +--+=为F ，P ，Q 为平面内两点，且当取得最小值时，点A 与点P 重合；当取得最大值AF AB+-AF AB时，点A 与点Q 重合，则__________.PQ =【解析】【分析】如图，利用抛物线和圆的几何性质可知，当时取得最小值；当且仅当A 为2C M l ⊥AF AB +射线与抛物线的交点，且为射线与圆的交点（为线段上的点），取得2FC 1C B 2FC 2C 2C FB -AF AB 最大值.直线、的方程分别联立抛物线方程，求出点、的坐标，结合两点距离公式21FC +2C M 2FC P Q 计算即可求解.【详解】抛物线的焦点为，准线为，1C ()2,0F:2l x =-圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：2C ()(2231xy -+-=(23,C 1过点A 作抛物线的垂线，垂足为点，1C AM M 由抛物线的定义可得，则，AM AF=21AF AB AM AB AM AC +=+≥+-当时，取最小值，此时取最小值；2C M l ⊥2AM AC+AF AB +直线的方程为，联立，解得，2C M y=28y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(1,P点到圆上任意一点的距离，F 2C N 21FN FC ≤+当且仅当为射线与圆的交点，且为线段上的点.N 2FC 2C 2C FN 所以，21AF AB FB FC -≤≤+当且仅当A 为射线与抛物线的交点，且为射线与圆的交点（为线段上的点），2FC 1C B 2FC 2C 2C FB 取得最大值.-AF AB21FC +直线的斜率为的方程为，2FC 2FC k ==2FC)2y x =-联立，解得，即，)2282y xy x x ⎧=-⎪=⎨⎪>⎩4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(4,Q 所以，PQ ==.三、解答题（17题10分，18～22题各12分，共70分）17. 已知命题：复数，．复数在复平面内对应的点在第四象p ()()2226i z m m m m =++--Rm ∈z 限．命题：关于的函数在上是增函数．若是真命题，是真命题，求q x 21y x mx =++[)1,+∞p q ∨p ⌝实数的取值范围．m 【答案】[][)2,03,-+∞ 【解析】【分析】由题可求出命题为真时的取值范围，然后根据复合命题的真假即得.,p q m 【详解】若命题为真，则，解得；p 222060m m m m ⎧+>⎨--<⎩03m <<命题为真：可得，所以；q 12m -≤2m ≥-由是真命题，可得命题为假命题，又是真命题，所以命题为真命题，p ⌝p p q ∨q 所以或，且，0m ≤3m ≥2m ≥-故或，即的取值范围为.20m -≤≤3m ≥m [][)2,03,-+∞18. 已知函数，且．()()312R 3f x x ax a =-+∈()20f '=（1）求函数在处的切线方程；()f x 3x =（2）求函数在上的最大值与最小值．()f x []0,3【答案】（1）；516y x =-（2）最大值为2，最小值为.103-【解析】【分析】（1）由题可得，然后根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程；4a =3x =（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.【小问1详解】因为，故，解得，()2f x x a'=-()240f a '=-=4a =因为，所以，()31423f x x x =-+()24f x x '=-则所求切线的斜率为，且，()23345f '=-=()391221f =-+=-故所求切线方程为，即；()()153y x --=-516y x =-【小问2详解】因为，，所以，()31423f x x x =-+[]0,3x ∈()24f x x '=-令，得（舍去），()240f x x '=-=2x =2x =-由，可得，函数单调递减，()0f x '≤[]0,2x ∈()f x 由，可得，函数单调递增，()0f x '≥[]2,3x ∈()f x 所以的极小值为，又，，()f x ()81028233f =-+=-()02f =()31f =-所以的最大值为2，最小值为.()f x 103-19. 为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动．为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图：[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]（1）估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；（2）在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于70分为“优秀”，竞赛成绩低于70分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？（精确到0.001）优秀非优秀合计男30女50合计100参考公式及数据：，其中．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）中位数为72（2）表格见解析，有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”．【解析】【分析】（1）运用频率分布直方图中位数计算公式可求得结果.（2）计算出优秀人数完成列联表，再运用独立性检验判断即可.22⨯【小问1详解】因为，(0.0100.030)100.40.5,0.40.045100.850.5+⨯=<+⨯=>所以竞赛成绩的中位数在内．[70,80)设竞赛成绩的中位数为m ，则，解得，(70)0.0450.40.5m -⨯+=72m ≈所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72．【小问2详解】由（1）知，在抽取的100名学生中，竞赛成绩为“优秀”的有：人，100(0.450.100.05)1000.660⨯++=⨯=由此可得完整的2×2列联表：优秀非优秀合计男203050女401050合计6040100零假设：竞赛成绩是否优秀与性别无关.0H 因为，2K 2100(20104030)10016.667 6.635604050506⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”．20. 某高科技公司对其产品研发年投资额x （单位：百万元）与其年销售量y （单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图.通过初步分析，求得年销售量y 关于年投资额x 的线性回归方程为.1.2 1.3y x =-表1x 12345y0.511.535.5表2x12345ln z y =0.7-00.4 1.1 1.7（1）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y 关于年投资额xe bx ay +=的非线性回归方程，请根据参考数据及表2的数据，求出此方程；（2）若求得线性回归模型的相关系数，请根据参考数据，求出（1）中非线性回归模型的相关210.88R =系数，并比较两种回归方程的拟合效果哪个更好？（精确到0.01）22R 参考数据：，；，，，，52155ii x==∑5113.4i ii x z==∑0.68e0.54-≈0.09e 0.96-≈0.50e 1.74≈ 1.09e 3.15≈；1.68e 5.67≈参考公式：，，()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑ˆˆa y bx =-.()() ()222112221111nni i iii i n n iii i y y y y R y y yny ====--=-=---∑∑∑∑【答案】（1）0.59 1.27e x y -=（2）0.99，非线性回归方程拟合效果更好【解析】【分析】（1）根据已知公式计算，，根据，即可求得答案；ba ln z y =（2）由（1）的结论，求得，与相比较，可得结论.0.59 1.27e x y -=22R 210.88R =【小问1详解】由，则，记，即，e bx ay +=ln y bx a =+ln z y =z bx a =+，，0.700.4 1.1 1.70.55z -++++==1234535x ++++==，，213.4530.50.595553b -⨯⨯==-⨯ 0.50.593 1.27a =-⨯=-所以，即非线性回归方程为.ln 0.59 1.27z y x ==-0.59 1.27e x y -=【小问2详解】由（1）可得：，0.59 1.27e x y -=x 12345y0.51 1.53 5.5y 0.540.961.743.155.67，()()()()22222222222220.040.040.240.150.1710.990.51 1.53 5.55 2.3R -++-+-+-≈-≈++++-⨯显然，故非线性回归方程拟合效果更好.22210.88R R >=21. 已知椭圆过点.()2222:10x y E a b a b +=>>)（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过作斜率之积为1的两条直线与，设交E 于A ，B 两点，交E 于C ，D 两点，，()1,0T 1l 2l 1l 2lAB 的中点分别为M ，N .试问：直线是否恒过定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.CD MN 【答案】（1）22142x y +=（2）过定点，()2,0【解析】【分析】（1）由椭圆的性质列出方程组求解即可；（2）直线，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得出坐标，进而由点斜式():10AB x my m =+≠,M N 方程得出恒过定点.MN ()2,0Q 【小问1详解】由题意可得，解得，22222211a b c a a b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩则E 的方程.22142x y +=【小问2详解】设直线，，，():10AB x my m =+≠()11,A x y ()22,B x y 联立可得，，221142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222230m y my ++-=221630m +=>∆则，，12222m y y m -+=+12232y y m -=+所以，，12222M y y my m +-==+2221122M M m x my m m m -=+=⋅+=++所以，222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭设，同理可得.1:1CD x y m =+2222,2121m m N m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以，()22222222211212212MN m m m m m m k m m m -+++==-+++所以直线，即，()222212:22m m MN x y m m m +⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭()2212m x y m +=+所以直线恒过定点，其坐标为.MN ()2,0【点睛】关键点睛：在解决问题（2）时，关键在于利用直线斜率的关系表示出点的坐标，,AB CD ,M N 从而由点斜式方程得出恒过定点.MN ()2,022. 已知函数.()ln f x x ax=-（1）求的单调区间；()f x （2）若存在两个不同的零点，且..()fx 1x 2x 12x x <+<【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数分类讨论当、时函数的单调性，即可求解；0a ≤0a >()f x （2）由（1），根据零点的存在性定理可得，由零点的定义得，令1211e x x a <<<<1212ln ln x x x x =，由换元法得.结合分析法证明可得221x t x =()122ln ln 11tx t t =>-，利用二阶导数讨论函数的单调性即可证明.()()2211()1lnln 1022t m t t t t t +=-⋅-+-<()m t 【小问1详解】因为，所以，()ln f x x ax=-()()110axf x a x x x -'=-=>（ⅰ）当时，恒成立，在单调递增；0a ≤()0f x ¢>()f x ()0,∞+（ⅱ）当时，令得，，0a >()0f x '=1x a =故时，，在上单调递增；10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，，在上单调递减.1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；0a ≤()f x ()0,∞+当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 【小问2详解】因为存在两个不同的零点且，()f x 12,x x 12x x <由（1）知，且，即，解得，且，0a >10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭1ln 10a ->10e a <<121x x a <<又，所以，()()1ln100f a a a a =-=-=->()10f a =-<由，得，即，10e a <<()1e e 1e 1e 0e f lne a a =-=->-=()e 0f >所以.1211e x x a <<<<<因为是函数的两个零点，则，12,x x ()f x 1212ln ln x x a x x ==即，令，得，1212ln ln x x x x =221x t x =()122ln ln 11t x t t =>-，<11t ⎫+<⎪⎭等式两边取对数，得，1111ln ln ln 222t x t +-+<-即证，212ln 11ln ln 2212t t t t +-+<--即证，212ln 11ln ln 20212t t t t +-+-+<-即证，()()22111ln ln 1022t t t t t +-⋅-+-<设，()()()22111ln ln 122t m t t t t t +=-⋅-+-(1)t >，且，()()()211112ln 12ln 1212t t m t t t t t t t t t t t+-+'=+--+=+-+(1)0m '=.()12112ln12ln 02121t t t m t t t t t ++-''=-+=+<++当时，，则函数在上单调递减，且，1t >()0m t '<()m t (1,)t ∈+∞(1)0m =所以，即.()()10m t m <=()()22111ln ln 1022t t t t t +-⋅-+-<所以不等式得证.【点睛】破解含双参不等式证明题的3个关键点（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.。
2021学年下学期高二数学4月月考试题5.docx
下学期高二数学月考试题05一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共75分）2 —bi1、若复数----- g R）的实部与虚部互为相反数，则力= （）1+ 2，rr 2 2A、A/2B、一C、——D、23 32、用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ajc2+bx+c = 0（a^0）有有理数根，那么。
、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）A、假设。
、b、c都是偶数；B、假设。
、b、c都不是偶数；C、假设。
、b、c至多有一个偶数；D、假设。
、b、c至多有两个偶数。
3、函数y = sinx与y = 的图象在［-y,^］±的交点有（）A、1个B、2个C、3个D、4个4、设全集为 R,集合 A = {x|—1<X<1},B={X|X Z0},.则C R(AIJB)等于()A、(%| 0<%<1)B、(x| x> 0)C、{x\x< -1}D、［x\ x>-l}5、下列程序执行后输出的结果是()A、-1 C、1B、0D、2n = 5S = 0WHILE S <14X +1 (-l<%<0)S = S + n n= n — lWEND3A、一B、 121C、 2D、一27、设。
>0,人>0, J=Lo + /?<4,则有（）1 1 = - 1 1 , 1 1A、一>-B、slab >2C、—+ -> 1D、--------------------------------- <-ab 2 a b a+ b 48、过抛物线y2=8x焦点的弦AB以M（4,a）为中点，贝||A3|的长为（）A、40B、4A/2C、8D、129、 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排, 若其他人相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A、C^3B、C魏C、&D、C酒10、自然数1, 2, 3,…，n按照一定的顺序排成一个数列：％,缶，若满足I % —11 +1角—21+• • •+1 q —〃4 ,则称数列%为一个“优数列〃’当〃 =6时，这样的"优数列〃共有（）A、24 个B、23 个C、18 个D、16 个二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、在^ABC 中，a = 2 ,则bcosC + ccosB =；12、与曲线x=(3-j)(y-1)相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有条;13> 求值：J (』4-(x-2)2 —x)dx=；14、已知函数f 3)= 牛Q的图象在点M(-l,/(-!))处的切线方程为x + 2y + 5 = 0 ,x +b则函数/Xx)的解析式/(%)=；15、平面几何里有结论：“边长为］的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值—a\2 若考察棱长为。
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2021-2022年高二数学下学期第一次月考试题4月试题文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页，满分150分．考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，，则图中阴影（）部分所表示的集合是
A. B. C. D.
2. 在复平面内,复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
3．下列说法正确的是( )
A．命题“，均有”的否定是：“，使”；
B．“”是“”的必要不充分条件；
C. 命题“若，则”的逆否命题是真命题；
D. 若命题为真则命题一定为真
4．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是( )
A．没有一个内角是钝角 B．有两个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角 D．有三个内角是钝角
5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数函数的是（）
A. B. C. D.
6. 年劳动生产率（千元）和工人工资（元）之间回归方程为，这意味着年劳动生产率每提高
1千元时，工人工资平均（）
Ａ．增加10元Ｂ．减少10元Ｃ．增加80元Ｄ．减少80元
7、演绎推理“因为指数函数（）是增函数，而函数是指数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理过程错误 D．以上都不是
8．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并由回归分析法分别求得相关指数R
甲乙丙丁
R 0.85 0.780.690.82
m 103 106124115
则哪位同学的试验结果体现A，B两变量更强的线性相关性( )
A．甲B．乙
C．丙D．丁
9. 已知
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
-
-
≤
+
=
,0
x,
)1
x(
,0
x,1
x
2
1
)x(f
2
使成立的x 取值范围是( )
A.[-4,2)
B.[-4,2]
C.(0,2]
D.(-4,2]
10.下面给出了关于复数的四种类比推理:
①若a，b∈R，则a-b＞0a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a-b＞0a＞b”;
②复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则
③ 由实数a绝对值的性质|a|2=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2;
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
其中类比得到的结论错误的是( ).
A.①③
B.②④
C.②③
D.①④
11．已知函数()m
x
)
4
m
(
x
2
x
f2
2+
-
+
=是偶函数，32
()2
g x x x m
x
=-++在内单调递减，则实数=（）
A. B. C. D.
12. 四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在1,2,3,4号位子上(如图),第一次前后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,…,这样交替进行下去,那么第2 015 次互换座位后,小兔的座位对应的是( ).
A.编号1
B.编号2
C.编号3
D.编号4
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案
填在答题卡的相应位置
13. 函数的定义域为_______________；
14．程序框图如右图所示，若，输入，则输出结果为
______________
15．已知，则 .
16．定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面是关于的判断： ① ②在[0，1]上是增函数； ③的图像关于直线对称 ④关于点P()对称 .
其中正确的判断是____
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分） 设， ，， （1）求，
(2)由（1）你能得出什么结论？
18（本小题满分12分）
已知复数，且为纯虚数 （1）求复数；
（2）若，求复数的模． 19．（本小题满分12分）
（1）若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”，请根据上表数据完成下面的2×2列联表。
（2）根据（1）中的2×2列联表，试运用独立性检验的思想方法：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为脚的大小与身高之间有关系。
参考公式：2
2
()
K ()()()()
n a d b c a bc da cb d -=++++
，其中 参考数据:
20.（本小题满分12分）已知二次函数的图象经（0，0），（1，2），（-1，-4）三点，（1）求该二次函数的解析式和最值；
（2）已知函数在（t-1，+∞）上为减函数，求实数t的取值范围．
21.（本小题满分12分）已知定义在区间上的函数为奇函数。
（1）求函数的解析式并判断函数上的单调性
（2）解关于的不等式.
22（本小题满分14分）已知函数，
（1）判断函数的奇偶性并求当时函数的单调区间；
（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D C D C A A B A B D 二填空题13. 14. 15. 3 16. ①③④
三解答题
17.【解析】
解：(1)∵A=，B={x|x≤3}；=
C R A={x| x<-2或x≥4} C R B={x| x>3}
={x| x<-2或x>3}………8分
(2) …………12分
18 【解析】
解：（1）
∴，.又b为正实数
∴b＝1.∴z＝3＋i.
，………………………………6分
（2）3(3)2771
222555
i i i i w i
i i i ++⋅--=
===-++⋅-（）（）（） ………………7分
w ∴ ………………… 12分
19. 解：
（1）
…6分
（2）假设成立：脚的大小与身高之间没有关系
K 2
的观测值2
20(51012)
8.802
614713
k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ …………………………………8分
∵，又8.802 6.635
∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为脚的大小与身高之间有关系．…………………………12分
20．【解析】设这个二次函数的解析式是y=ax+bx+c （a ≠0），把（0，0），（1，1），（-1，-4）代入得：
c ＝0 a+b+c ＝1 a −b+c ＝−3 ， 解之得 a ＝−1 b ＝2 c ＝0 ； 所以该函数的解析式为：y=-x+2x ．
因为()()
2
22111fx x x x =-+=--+≤， 当x=1时函数值最大值为1，无最小值；[]………………………………8分 (2)∵函数f (x )在(t －1，＋∞)上是减的，∴t －1≥1.∴t ≥2. …………… 12分
21．【解析】（1）是在区间上的奇函数
……………………2分
设
则121
212
1222
22
1212
()(1)()()11(1)(1)x x xx x x f x f x x x x x ---=-=++++
22
121212
0,10,(1)(1)0x x x x x x ∴-<->++> 即
函数在区间上是增函数
…………………6分
证法二：用导数证明 （2），且为奇函数
又函数在区间上是增函数111111t t
t t <-⎧⎪
∴-<<⎨⎪-<-<⎩
，解得
故关于的不等式的解集为 …………………12分
22. 解：.解：（1）函数的定义域为{且}
)(ln ||ln )()(2
2x f x x x x x f ==--=- ∴为偶函数 当时，)
1ln 2(1
ln 2)(2
+⋅=⋅+⋅='x x x
x x x x f 若，则，递减； 若， 则，递增．
得的递增区间是；递减区间是．
K39706 9B1A 鬚 K33539 8303 范23632 5C50 屐32115 7D73 絳30414 76CE 盎<22908 597C 奼C 29967 750F 甏。