构造法求数列通项

构造法求数列通项
构造法求数列通项
an f ( n )
点燃青春激情 成就非凡梦想
武岭中学高三数学组徐云燕 2018年9月18日星期二
解读高考
构造法求数列通项
数列的通项公式是数列的核心内容之 一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式 便可研究其性质等; 而有了数列的通项公式便可求出任一 项以及前n项和等.因此,求数列的通项公式 往往是解题的突破口、关键点. 因此近年来 的高考题中经常出现给出数列的解析式 （包括递推关系式和非递推关系式），求 通项公式的问题，对于这类问题考生感到 困难较大.
1 数列 3 为等比数列． an
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方法归纳
求数列a n 的通项公式．
n n
构造法求数列通项
变式2：已知数列a n 满足a n+1 =2a n +3n，且a1 1．
a n+1 an 解：a n+1 =2a n +3 两边除以 3 得 n =2 n +1 n 3 3 (5)形如ana 1 pan + aq r ( p, q, r为非零常数)
方法归纳 1、观察法
构造法求数列通项
2、由an与sn的关系求an
(1)已知sn 求a n时，要分n=1和n 2两种情况讨论，然后 验证两种情况可否统一的解析式表示，若不能则用分段 s1 ，n 1 函数的形式表示为a n ; sn sn 1 , n 2
（2）当an与sn 在同一关系式中
(6)形如an1 pan qn r ( p, q, r为常数)的;
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(3)形如an1 pan q( p, q为常数)的
小
结
构造法求数列通项
常用数学思想:
1．化归思想；
2. 换元思想；
3. 方程思想;
4. 分类思想．
作业：《限时作业》
(7)形如an 2 pan1 qan ( p, q为常数,且p+q=1)的，将其变形
变式5：已知数列an 中，a1 2, a2 5, 且an+2 3an+1 2an 0， 求通项an .
分析：变形得an2 -an+1 =2 an+1 an ，构造得数列an1 an 为等比数列并求其通项，再利用累加法求得an．
an1 q( (q (2) n为常数 )( g ) (n)可求积) g an
,(n+1)an=(n-1)an-1
1 n ( n 1)
1 2 3 an a1 3 4 5
n 3 n 2 n 1 n 1 n n 1
累 积 法
反思：哪一类题型可用累积法求出通项？
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方法归纳
3、已知数列的递推公式求通项：
构造法求数列通项
若p=1，则a n 为等差数列，否则，构造等比数列
(3)形如an1 pan q( p, q为非零常数)的，
例2、数列an 中，a1 =3，an+1 =2an +3,求通项an .
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典型例题
构造法求数列通项
变式3：已知数列a n 满足a n =2a n-1 +3n -9 n 2，且a1 1． 求数列a n 的通项公式．
评析：差分法是解决递推数列的主要方法，其作用 是转化出等差或等比数列．
武岭中学高三数学组徐云燕
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课前热身
4 8 16 , 1、数列 2, , , 3 7 15
2、数列
构造法求数列通项
n 2 n 的一个通项公式为an (1) n 2 1
an 的前 n 项和sn n 1 ,
2
____________。
Hale Waihona Puke Baidu
则
2 , n 1 an n 1, n 2 __________________ 。 2
(7)形如an2 pan1 qan ( p, q为常数,且p+q=1)的
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2 bn 3 是以-2为首项， 为公比的等比数列 3
2 则bn 3=-2 3 故an 3
n 1 n 1
r

2 ,即bn =-2 3
n 1
3
2 n 1 n n 2 3 3 2 3
1 an 2n(n 1)
1 而 a1 ; 2
(n 2)
1 , n 1 2 an 1 ,n 2 2n(n 1)
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方法归纳
3、已知数列的递推公式求通项：
(d为常数 )可求和) （1）an+1-an= d f(n) (f(n)
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构造法求数列通项
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方法归纳
3、已知数列的递推公式求通项：
构造法求数列通项
为an 2 an1 q an1 an , 则an an 1 是等比数列，且公 比为 q，可以求得an an1 f n , 然后用累加法求得通项．
sn
解：（1） an sn sn1 (n 2),
sn sn1 2sn sn1 0
sn sn1 1 1 2 即 2 sn sn1 sn sn1
1 为等差数列 sn
用an sn sn1 , n 2代入变形为等差、等比数列问题来解.
构造法求数列通项
3、在数列a n 中，a1 =1，a n+1 =a n +2n+1， 求数列a n 通项公式.
累 加 法
反思：哪一类题型可用累加法求通项？
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方法归纳
3、已知数列的递推公式求通项：
构造法求数列通项
1 4、已知数列{an}满足 a1= 2 (n≥2)，求数列{an}的通项公式.
1 q 若p=r,则 是等差数列，公差为 ，可用公式求通项． p a n 若p r，则采用 3 的办法求．
an-1 1 变式1：已知数列an 中，a1 = ，an = n 2，求通项an . 3 3an-1 2
分析：变形得 1 1 1 1 =2 +3 t =2 t 且2t-t=3，构造得 an a n-1 an a n-1
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典型例题
例1、已知数列前n项和为sn，a1
构造法求数列通项
1 , 且an 2sn sn 1 0(n 2), 2
1 (1)求证 为等差数列； 2 求an 的通项公式。 sn
2
1 1 1 （n-1） 2=2n 为等差数列 sn s1 sn 1 1 1 sn = 又 an sn -sn 1 = 2n 2n 2(n 1)
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典型例题
构造法求数列通项
1 例1、已知数列an 前n项和为sn，a1 , 且an 2sn sn 1 0(n 2), 2 1 (1)求证 为等差数列； 2 求an 的通项公式。
分析：变形得an+1 +t =2（an +t）且2t-t=3，构造得 数列an 3为等比数列．
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2018年9月18日星期二
方法归纳
3、已知数列的递推公式求通项：
构造法求数列通项
例2、数列an 中，a1 =3，an+1 =2an +3,求通项an .
且2t-t=3，得t=3 解：令an+1 +t=2（an +t）
2 n +1 3 a n+13 3n-1 p an 将其变形为 q an n n2 1 令bn n-1 r ，有bnr r 3 bn 1 1 3 整理的
n+1 n
=
b t n 1 若p=r，则
2 a n b t 且 2 t-t 1, 则t 3 n 为等差数列，否则采用（ 3）的办法． 3n1 3
3、在数列 an 中， a1
n _____ 1, an1 an 2n 1 ，则 an

1 n n 1_ ____
2
1 an a1 , n 1 an n 1 an1 (n 2),则 4、数列 an 中，若 2
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则数列an 3是以6为首项， 2为公比的等比数列．
an 3=6 2
n-1
则an =6 2n-1 3
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方法归纳
3、已知数列的递推公式求通项：
构造法求数列通项
pan 1 r 1 q (4)形如an1 ( p, q, r为非零常数)的，将其变形为 qan r an+1 p an p
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方法归纳
3、已知数列的递推公式求通项：
构造法求数列通项
(6)形如an1 pan qn r ( p, q, r为非零常数)
变式4：已知数列an 中，a1 3, an1 2an 3n-3, 求通项a n .
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小
结
构造法求数列通项
求解通项的几种方法：
1、观察法（归纳猜想法） 2、和与项的关系（注意：不要忘记讨论n=1的情形） 3、已知数列的递推公式求通项： （1）累加法； （2）累积法；
构 造 法 求 数 列 通 项
pan (4)形如an1 ( p, q, r为常数) qan r (5)形如an1 pan +q r n ( p, q, r为常数,且pqr 0)的;