2011年体育单招数学试题及答案

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2011年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试
一．选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母填写在题后的括号内。

（1）设集合M = {x|0<x<1}，集合N={x| -1<x<1}，则【 】
（A ）M ∩N=M （B ）M ∪N=N
（C ）M ∩N=N （D ）M ∩N= M ∩N
（2）已知函数()f x 的图象与函数sin y x =的图象关于y 轴对称，则()f x =【
】 （A ）cos x - （B ）cos x （C ）sin x - （D ）sin x
（3）已知平面向量(1,2),(1,3)a b ==-，则a 与b 的夹角是【 】
（A ）2π
（B ）3π
（C ）4π
（D ）6π
（4）函数1
(5)5y x x =≠-+的反函数是【 】
（A ）5()y x x R =-∈ （B ）1
5(0)y x x =+≠ （C ）5()y x x R =+∈
（D ）1
5(0)y x x =-≠
(5)不等式1
0x x -<的解集是 【 】
（A ）{x|0<x<1} （B ）{x|1<x<∞}
（C ）{x|-∞<x<0} （D ）{x|-∞<x<0}
(6)已知函数1()cos 222x x
f x =+，则()f x 是区间 【 】
（A ）28(,)33ππ上的增函数 （B ）24
(,)33ππ-上的增函数
（C ）8
2
(,)33ππ--上的增函数 （D ）4
2
(,)33ππ-上的增函数
(7)已知直线l 过点(1,1)-，且与直线230x y --= 垂直，则直线l 的方程是【
】 （A ）210x y +-= （B ）230x y +-= （C ）230x y --= （
D ）210x y --=
(8) 已知圆锥曲线母线长为5，底面周长为6π，则圆锥的体积是【 】
（A ）6π （B ）12π （C ）18π （D ）36π
(9) n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知312S =-，66S =-，则公差d =【 】
（A ）-1 （B ）-2 （C ）1 （D ）2
(10)将3名教练员与6名运动员分为3组，每组一名教练员与2名运动员，不同的分法有【 】
（A ）90中 （B ）180种 （C ）270种 （D ）360种
二．填空题：本大题共6 小题，每小题6 分，共36 分．把答案填在题中横线上。

（11）261
(2)x x
+的展开式中常数项是 。

(12)已知椭圆两个焦点为1(1,0)F -与2(1,0)F ，离心率13
e =，则椭圆的标准方程是 。

（13）正三棱锥的底面边长为1 。

(14)已知{n a }是等比数列，12a a ≠且123231a a a +==，则1a = 。

(15)在ABC ∆中，AC=1,BC=4, 3cos 5
A =-则cos
B = 。

（16）已知函数22()4(0)a f x ax a x
=+>有最小值8，则a = 。

三．解答题：本大题共3小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(17)（本题满分18 分）
甲、乙两名篮球运动员进行罚球比赛，设甲罚球命中率为0.6，乙罚球命中率为0.5。

(I ）甲、乙各罚球3次，命中1次得1分，求甲、乙得分相等的概率；
(II)命中1次得1分，若不中则停止罚球，且至多罚球3次，求甲得分比乙多的概率。

（18）（本题满分18分）如图正方体''''ABCD A B C D -中,P 是线段AB 上的点，AP=1,PB=3 (I ）求异面直线'PB 与BD 的夹角的余弦值；
(II)求二面角'B PC B --的大小；
(III)求点B 到平面'PCB 的距离
(19)（本题满分18 分）
设F(c,0)(c>0)是双曲线2
2
12y x -=的右焦点，过点F(c,0)的直线l 交双曲线于P,Q 两点，O 是坐标原点。

（I ）证明1OP OQ ⋅=-；
(II)若原点O 到直线l 的距离是32
，求OPQ ∆的面积。

B ’ D B
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数学试题参考答案和评分参考
评分说明：
1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则，
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分效的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数．表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题6分，满分60分．
( 1 ) B ( 2 ) C ( 3 ) C （4）D （5）A( 6 ) D ( 7 ) A ( 8 ) B ( 9 ) D
（10）A
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题6分，满分36分．
(11）60 （12）22
198
x y += (13) 34
（14）3
（16）2 三．解答题：
(17）解：
(I) 设甲得分为k 的事件为k A ，乙得分为k 的事件为k B ，k=0,1,2,3则
30()0.40.064P A ==
21()30.60.40.288P A =⨯⨯=
2()30.60.40.432P A =⨯⨯=
33()0.60.216P A ==
30()0.50.215P B ==
31()30.50.375P B =⨯=
32()30.50.375P B =⨯=
33()0.50.125P B ==
甲和乙得分相等的概率为
001122()0.305p p A B A B A B =++=
（II ）设甲得分多于k 的事件为k D ，乙得分为k 的事件为k E ,0,1,2k =,则 0()0.6p D =
21()0.60.36p D ==
32()0.60.216p D ==
0()0.5p E =
21()0.50.25p E ==
32()0.50.125p E ==
甲得分比乙多的概率为
001122()0.417p p D E D E D E =++=
18. 本题主要考查立体儿何中角与距离的计算，涉及两条异面直线角、二面角、点到面的距离．考查运算能力和空间想象能力。

解：（I ）连接''B D ,''B D //BD,异面直线'PB 与BD 的夹角是''PB D ∠。

过点'A 作'PB 的垂线，垂足为Q ，由三垂线定理，D Q ⊥'PB 由'''''A Q BB A B PB =得16'5
A Q =
DQ=
5,12'5QB =,cos ''10PB D ∠= (II)过点B 作PC 的垂线BR ，垂足为R,由三垂线定理BR ⊥PC. 'BRB ∠是二面角'B PC B --的平面角 由BR PC BP BC
=，得125BR = 5tan '3
BRB ∠= 二面角'B PC B --的大小为5arctan 3
（III ）四面体'B PCB -的体积8V =
三角形'PCB 的距离3V d S == （19）本题主要考查直线与双曲线的位置关系应用．涉及平面向量的数量积、点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查分析问题、解决问题的能力和运算能力。

解：（I ）c =
若直线l 的方程是x =
2)2)-
从而1OP OQ ⋅=-
若直线l 的方程是(|y k x k ==代入双曲线方程，化简得
2222(2)(32)0k x x k -+-+=
解得两个交点的坐标分别是
从而4222234(1)124(1)1(2)
k k k k k OP OQ k -++-+⋅==--
（II ）原点O 到直线(y k x =的距离
d =若32
d =，则k =|PQ|=16
OPQ ∆的面积是12。