2.1数列的概念与简单表示法

称 递 公 。 为 推 式
果 知 列 的 1 （ 前 ） 且 一 a 它 如 已 数 {an} 第项 或 n项 ， 任 项n与 前 项 （ 前 ） 的 系 以 一公 来 示 的 一 an−1 或 n项 间 关 可 用 个 式 表 ， 么 个 式 叫 这数 的 推 式 那 这 公 就 做个 列 递 公 。 递推公式也是数列的一种表示方法。 递推公式也是数列的一种表示方法。
数列中的每一个数叫 做这个数列的项 做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列 的第1项，第2项，······， 项 项 ， 第n项， ······ 项 数列的分类
(1)按项数分： 按项数分 项数有限的数列叫有穷数列 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列 项数无限的数列叫无穷数列
(2)按项之间的大小关系： 关系： 按项之间的大小关系
例 ： 数 {an}满 3 设 列 足 ， a1 =1 a =1+ 1 （ >1 . n ） n an−1 写 这 数 的 5项 出 个 列 前 。
3 5 8 1 , , , ,2 2 3 5
二、新课讲解
1 例3.已知 a1 = 1, a n = 1 + ( n ≥ 2), 写出这个数列 a n −1 的前 5项. 解：∵a1=1
an =
1 n
=
写出下面数列的一个通项公式， 例1：写出下面数列的一个通项公式，使 它的前4项分别是下列各数： 它的前4项分别是下列各数：
1 1 1 1 ， − （）1 − ，， ； 2 3 4 2 ，， （）2 0 2 0 ，；
根据数列的前若干项写 出的通项公式的形式唯 一吗？请举例说明。 一吗？请举例说明。
8
7
6
5
4
3
2
1
8 7 6 5 4 3 2 1
你认为国王 有能力满足 上述要求吗
每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子
2 1
0
2 2 18446744073709551615
2
1
2
3
…… ?63 2
传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题： 传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：
摆动数列
的第n项 如果数列 {an}的第 项 与项数之间的关系可以用一 个公式来表示， 个公式来表示， 那么这个 公式就叫做这个数列的 通项公式。 通项公式。
… 第n项 项 数列的一般形式可以 数列的一般形式可以 a1 a2 a3 … an 写成： 写成： a1，a2，a3， ，an …， 1 0 , 21 , 22 , …, 2n−1 … , 63 … 2 , 2 简记为{an } 其中 an是数 {2n−1}(n∈N*,n≤ 64) an= 2n−1 1 1 1 …, 1 , … , , 列的第n项 列的第 项。 1 2 1 3 ,
（2） ）
（3） ）
（4） ）
an = 3
n- 1
果 个 列 的 项 如 一 数 {an} 首 a1 =1 从 2项 每 项 于 ， 第 起 一 等 它 前 项 2 再 上， 1n ） 的 一 的倍 加 1 即 an = 2an−1 +（ >1 a2 = 2a1 +1 那 么 ，
a3 = 2a2 +1 ， L 象 样 出 列 方叫 递 法 其 这 给 数 的 法做 推 ， 中 an = 2an−1 +（ >1 1n ）
数列是一种特殊的函数 数列与函数的关系： 数列与函数的关系：
对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数（ 对于数列中的每个序号 都有唯一的一个数（项） 都有唯一的一个数 an与之对应 与之对应. 序号n 序号 1 2 3 4 ……64 （自变量） 自变量） 项 an 1 22 23
n −1
…… 263
第二章
数列
数列的概念与简单表示法
8
7
6
5
4
陛下，赏小 人一些麦粒 请在第一个格 请在第三个格 请在第四个格 子放1颗麦粒 子放4颗麦粒 就可以。 请在第二个格 子放8颗麦粒 依次类推……
子放2颗麦粒
8 7 6 5 4 64个格子 你想得到 个格子 3 什么样的 2 赏赐？ 1 3 2 1
OK
?
64个格子
1 1 ∴ a2 = 1 + = 1+ = 2 1 a1
1 1 3 a3 = 1 + = 1+ = a2 2 2 1 2 5 a4 = 1 + = 1 + = a3 3 3 1 3 8 a5 = 1+ = 1+ = 5 5 a4
1.通项公式能够很清楚的表示数列中项数和 1.通项公式能够很清楚的表示数列中项数和 项的关系; 项的关系; 2.由通项公式可以求出数列中的每一项 由通项公式可以求出数列中的每一项. 2.由通项公式可以求出数列中的每一项. 例1: 根据下面数列的通项公式，写出前5项. 根据下面数列的通项公式，写出前5
可以认为： 可以认为：
2
（函数值） 函数值）
an = f ( n ) = 2 从函数的观点看， 的函数。 从函数的观点看， 数列的项 是 序号 的函数。
数列可以看作是一个定义域为正整数集 N （ 或它的 的函数， 有限子集{1 {1， 有限子集{1，2，…，n}）的函数， = f n,即当自变量 ， an 从小到大依次取值时对应的一列函数值。 从小到大依次取值时对应的一列函数值。
…
… …
a
n
数列是一种特殊函数！ 数列是一种特殊函数！
x 1 2 2.5 4 4.5 y 3 4 5 6 7 n
定义域是 N*(或它的 有限子集)
1 2 3 4 5
an a1 a2 a3 a4 a5
通项公式：数列 的第n项 通项公式：数列{an}的第 项an与n的关系式 的第 的关系式
3.数列与函数 3.数列与函数 对于数列中的每个序号n都有唯一的 对于数列中的每个序号 都有唯一的 一个数（项）an与之对应. 一个数（ 与之对应
− 1，， 1，… … 1 − 1
1 ， ， ， ，… 1 1 1 共同特点： 共同特点：
1. 都是一列数； 都是一列数；
…
2. 都有一定的顺序
定义： 定义：按一定顺序排列着的一列数称为
问1： 数列 ：
(数列具有有序性) 数列具有有序性 数列具有有序性 1，2 ， 3 ，… ，35 改为
请问：是不是同一数列？ 请问：是不是同一数列？
下图中的三角形称为谢宾斯基三角形 在下图4 谢宾斯基三角形， 例2. 下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图4个 三角形中， 三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 请写出这个数列的一个通项公式， 4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标 系中画出它的图象. 系中画出它的图象.
（1） ）
6
7
8
9
10
5
做出常数数列： 做出常数数列： 4 , 4 , 4 , 4 , … 图象
4 3
做出摆动数列： 做出摆动数列： - 1，， 1，， 图象 1 - 1 …
2
1
0 -1 1 2 3 4 5
我们好孤单！ 我们好孤单！
数列用图象表示时的特点——一群孤立的点 一群孤立的点 数列用图象表示时的特点
三角形数 三角形数
1,
3,
6,
10,
.…..
正方形数 1, 4, 9, 16, …… 提问：这些数有什么规律吗？ 提问：这些数有什么规律吗？
上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数： 上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：
1， ， ， ， … 2 2 2 2 …
2 3
63
三角形数： 三角形数：1，3，6，10，··· 正方形数： 正方形数：1，4，9，16，··· 1，2，3，4……的倒数排列成的一列数： ， ， ， 的倒数排列成的一列数： 的倒数排列成的一列数
1， ， 2 ， 3 ， … 2 63 2 2 2 …
有穷数列 无穷数列 递增数列
1 1 1 1， ， ， ， … … 2 3 4
1
2
递减数列
3
1，，，， … 35 2 3 4 …
有穷数列
递增数列 常数列
1 ， ， ， ，… 1 1 1
无穷数列 无穷数列
…
4
− 1，， 1，… … 1 − 1
5
递增数列， 递减数列， 递增数列， 递减数列， 常数列。 摆动数列， 常数列。
第1项 第2项 第3项 项 项 项
1 (n∈N*) { } ∈ n , …
1
2
n
1, 2 3 , , n , … , 35 3 { n} (n∈N*,n≤ 35) an n =n , … - 1 , 1 , - 1 , … , (-1) 4 an = (-1)n (n∈N*) ∈ 1 , 1 , 1 , …, 1 , … 5 0 n an = 1 或 an n (n∈N*) ∈
1 1 1 1， ， ， ， … … 2 3 4
高一（ ）班每次考试的名次由小到大排成的一列数： 高一（5）班每次考试的名次由小到大排成的一列数：
1，，，， … 35 2 3 4 …
-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数： 的 次幂 次幂， 次幂 次幂， 次幂 次幂， 排列成一列数： 排列成一列数
− 1，， 1，… … 1 − 1
无穷多个1排列成的一列数： 无穷多个 排列成的一列数： 排列成的一列数
1 ， ， ， ，… 1 1 1
…
1，3，6，10，···
2 3
1，4，9，16，···
63
1， ， ， ， … 2 2 2 2 …
1 1 1 1， ， ， ， … … 2 3 4
1，，，， … 35 2 3 4 …
项数n 项数 1 2 3 4 ……64 （自变量 ） 自变量n）
（函数值an ）
项 an 1
2
22 23
…… 263
可以认为： 可以认为： n = a
f (n)
数列是一种特殊的函数
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5
an = n n+1)的 象 ( 图
是些孤立点
注意：①一些数列的通项公式不是唯一的 注意：
②不是每一个数列都能写出它的通项公式
为通项的数列， ③ {a n }表示以 a n为通项的数列，即 {a n }表示 L 数列 a1， a 2， a 3， ， a n L；而 a n 表示这个 数列 {a n }中的第 n 项，其中 n表示项的位置 序号。 序号。
n (1)an = ; n +1
n
1 2 3 4 5 , , , , . 2 3 4 5 6
(2)an = (−1) ⋅ n
(3)an = (−1) ⋅ n
n+1 2
− 1, 2 , − 3, 4 , − 5
1,−4,9,−16,25
例1、 写出下面数列的一个通项公式，使它的 、 写出下面数列的一个通项公式， 项分别是下列各数： 前4项分别是下列各数： 项分别是下列各数
∗
()
每个序号也都对应着一 例1：设某一数列的通项公式为 an = n n+1 ： ( ) 个数（ 个数（项）
数列的实质
序号
1
2
3
4
…
从映射的观点看， 从映射的观点看， 数列可以看作是： 数列可以看作是： 序号 项 2 6 12 20 到 数列项 的映射 高一（ ） 例2 高一（2）班考试名次由小到大排成的一列数 从函数的观点看， 从函数的观点看， 35 2 3 序号 1 数列项 是序号 的函数。 的函数。 即，数列可以看作是一 35 个定义域为正整数集 N* 项 1 2 3 或它的有限子集{1 （ 或它的有限子集 （ ） 函数值 y=f（x） 自变量 ，2，…，n}）的函数 ， ， ） ，当自变量从小到大依 序号 正整数 （ n 通项 次取值时对应的一列函 项 或它的有限 数值。 数值 子集） 公式 子集）
3 , 2 ，1 ，… ，35
问2: 数列
改为： -1，1，-1，1…… 改为： ， ， ，
1，-1，1，-1……，请问：是不是同一数列？ ， ， ， ，请问：是不是同一数列？
想一想: 数列与集合的区别是什么？ 想一想 数列与集合的区别是什么？
思考：数列与集合的概念有何区别
中是一列数， （1）数列 n}中是一列数，而集合中的元素 ）数列{a 中是一列数 不一定是数； 不一定是数； 中的数是有一定次序的， （2） 数列 n}中的数是有一定次序的，而集 ） 数列{a 中的数是有一定次序的 合中的元素没有次序； 合中的元素没有次序wenku.baidu.com 中的数可以重复， （3） 数列 n}中的数可以重复，而集合中的 ） 数列{a 中的数可以重复 元素不能重复。 元素不能重复。
1 （ 1） , 3 , 5 , 7 ;
an = 2n − 1
2
an = (n + 1) （ 2） ，， ， ； 4 9 16 25 1 1 1 n +1 1 ( 3 )1， − ， ， − ； an = (−1) n 2 3 4 n +1 an = 1 + (−1) （ 4） ， ， ，。 2 0 2 0