2018中考数学动点问题专题复习(含答案)

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2018年中考数学压轴题专题32动态几何之双(多)动点形成的最值问题(解析版)

AG AC
5t 6
4 (5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t) ，∴ S= SΔPMN = 1 MN ?PG= GN ?PG= (5
2t )
4 (5
8t 2 t) =
60t
100 ；
3
2
3
3
10
③当 2.5 t
时， M 在 N的右边，在 AC上逐渐远离 C，如图 3．
3
MN =NB+AM－ AB= 3t t 10 = 4t 10 ， GN=MG =2t 5 ， AM=t， ∴ AG= AM－ MG = t (2 t 5) = 5 t ，
10
5
2
2
1
1 26
10
FM = t ， 5
∴
SΔKAC
=
2
AC? EK =
2
6 t = t ， ∵ 1.4 55
t
，∴当 t 3
1.4 时， SΔKAC 的最小值 =
6 1.4 1.68 ，当 t 5
10
时，
3
SΔKAC
的最大值
6
=
5
10 3
4 ．∴当 P在 CA上运动时，△ KAC 面积的最小值为
8 t ， ∴ QP=
QF 2
PF 2 =
BP 5
5
5
(8
8 t)2
( 4 t )2 = 4 1 t 2
8 t
4
5
5
55
3
40
①当 PQ=PB 时，∵ PF ⊥ QB，∴ BF=QF，∴ BQ=2BF，即： 8 t 2 t ，解得 t= ；
5
11
②当 PQ=BQ 时，即 4 1 t2 5

2018中考压轴之因动点产生的相似三角形问题(部分答案)(PDF版)

课前导学:相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．九年级数学试题因动点产生的相似三角形问题1.如图，在平面直角坐标系中，双曲线kyx=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2,m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n,2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．满分解答:（1）将点A(2,m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2,4)．将点A(2,4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B (n ,2)，代入8y x=，得n ＝4．所以点B 的坐标为(4,2)．设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B (4,2)，得b ＝－2．所以点C 的坐标为(0,－2)．由A (2,4)、B (4,2)、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝BC＝，∠ABC ＝90°．所以S △ABC ＝12BA BC ⋅＝12⨯＝8．（3）由A (2,4)、D (0,2)、C (0,－2)，得AD＝AC＝．由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ．所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：①如图3，当CE AD CA AC=时，CE ＝AD＝此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．②如图4，当CE AC CA AD ==CE＝．此时C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E (10,8)．图3图4图22.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．4.如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m=-+-(m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点M (2,2)，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．满分解答（1）将M (2,2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m=-⨯-．解得m ＝4．（2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4,0)，E (0,2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO CP CO=．因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2．（4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF =，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ．设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2,0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以(m BF m +=．由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=．整理，得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ．在Rt △BFF′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m +-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF′＝2m ＋2，2)BF m =+．由2BC BE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合①、②，符合题意的m为2+．5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？7．如图，已知二次函数(其中0＜m＜1)的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=P C．(1)∠ABC的度数为°；(2)求P点坐标(用含m的代数式表示)；(3)在坐标轴上是否存在点Q(与原点O不重合)，使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8.如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接B C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．9.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．10.如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1满分解答（1）B 的坐标为(b ,0)，点C 的坐标为(0,4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x,x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1,0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14b b =-．解得843b =±Q 为(1,23+)．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

2018年人教版中考数学经典复习题中考动点问题

中考动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1 )如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2 如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NGPOAB图1x y解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

2018年中考数学真题分类汇编(第三期)专题40动态问题试题(含解析)

动态问题一.选择题．(·辽宁省葫芦岛市) 如图，在▱中，，，⊥，点从点出发沿着→→的路径运动，同时点从点出发沿着→→的路径以相同的速度运动，当点到达点时，点随之停止运动，设点运动的路程为，，下列图象中大致反映与之间的函数关系的是（）．．．．【解答】解：在△中，∠°，，，∴．当≤≤时，﹣，，∴﹣；当≤≤时，﹣，，∴（﹣）；当≤≤时，﹣，﹣，∴﹣．故选．. （•广安•分）已知点为某个封闭图形边界上的一定点，动点从点出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点的运动时间为，线段的长度为，表示与的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）．．．．【分析】先观察图象得到与的函数图象分三个部分，则可对有边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，点在圆上运动时，总上等于半径，则可对进行判断，从而得到正确选项．【解答】解：与的函数图象分三个部分，而选项和选项中的封闭图形都有条线段，其图象要分四个部分，所以选项不正确；选项中的封闭图形为圆，为定中，所以选项不正确；选项为三角形，点在三边上运动对应三段图象，且点在点的对边上运动时，的长有最小值．故选：．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．. （•莱芜•分）如图，边长为的正△的边在直线上，两条距离为的平行直线和垂直于直线，和同时向右移动（的起始位置在点），速度均为每秒个单位，运动时间为（秒），直到到达点停止，在和向右移动的过程中，记△夹在和之间的部分的面积为，则关于的函数图象大致为（）．．．．【分析】依据和同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当≤＜时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当≤＜时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，当≤≤时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分．【解答】解：如图①，当≤＜时，，，∴△××；如图②，当≤＜时，﹣，﹣，∴（﹣），（﹣），∴五边形△﹣△﹣△××﹣×（﹣）×（﹣）﹣×（﹣）×（﹣）﹣﹣；如图③，当≤≤时，﹣，（﹣），∴△×（﹣）×（﹣）﹣，综上所述，当≤＜时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当≤＜时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当≤≤时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故选：．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．二.填空题．（·辽宁省盘锦市）如图①，在矩形中，动点从出发，以相同的速度，沿→→→→方向运动到点处停止．设点运动的路程为，△面积为，如果与的函数图象如图②所示，则矩形的面积为．【解答】解：从图象②和已知可知：，﹣，所以矩形的面积是×．故答案为：．三.解答题. （·广西贺州·分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点（在的左侧），且，，与轴交于（，），抛物线的顶点坐标为（﹣，）．（）求两点的坐标；（）求抛物线的解析式；（）过点作直线∥轴，交轴于点，点是抛物线上两点间的一个动点（点不与两点重合），与直线分别交于点、，当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（）由抛物线交轴于两点（在的左侧），且，，得点坐标（﹣，），点坐标（，）；（）设抛物线的解析式为（）（﹣），把点坐标代入函数解析式，得（）（﹣），解得﹣，抛物线的解析式为﹣（）（﹣）﹣﹣；（）（或是定值），理由如下：过点作∥轴交轴于，如图．设（，﹣﹣），则﹣﹣，，﹣，∵∥，∴△∽△，∴，∴×（﹣﹣）（﹣）；又∵∥，∴△∽△，∴，∴（），∴（﹣）（）．. （·湖北江汉·分）抛物线﹣﹣与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．将抛物线位于直线：（＜）上方的部分沿直线向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“”形的新图象．（）点，，的坐标分别为（，），（，），（，）；（）如图①，抛物线翻折后，点落在点处．当点在△内（含边界）时，求的取值范围；（）如图②，当时，若是“”形新图象上一动点，是否存在以为直径的圆与轴相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点的坐标；（）由点的坐标结合对称找出点的坐标，根据点的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围；（）假设存在，设点的坐标为（，），则点的横坐标为，分＜或＞及≤≤两种情况，利用勾股定理找出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，进而可找出点的坐标，此题得解．【解答】解：（）当时，有﹣﹣，解得：，，∴点的坐标为（，），点的坐标为（，）．∵﹣﹣﹣（﹣）﹣﹣（﹣），∴点的坐标为（，）．故答案为：（，）；（，）；（，）．（）∵点.点关于直线对称，∴点的坐标为（，﹣）．当时，﹣﹣﹣，∴点的坐标为（，﹣）．设线段所在直线的解析式为，将（，）、（，﹣）代入，，解得：，∴线段所在直线的解析式为﹣．∵点在△内（含边界），∴，解得：≤≤．（）当＜或＞时，﹣﹣；当≤≤时，﹣．假设存在，设点的坐标为（，），则点的横坐标为．①当＜或＞时，点的坐标为（，﹣﹣）（如图），∵以为直径的圆与轴相切于点，∴⊥，∴，即（﹣）（﹣﹣），整理，得：，，∴点的坐标为（，）或（，）；②当≤≤时，点的坐标为（，﹣）（如图），∵以为直径的圆与轴相切于点，∴⊥，∴，即（﹣）（﹣），整理，得：﹣，解得：，，∴点的坐标为（，）或（，）．综上所述：存在以为直径的圆与轴相切于点，点的坐标为（，）、（，）、（，）或（，）．.（·四川省攀枝花）如图，在△中，，，△．动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，动点从点同时出发，以相同的速度沿方向向点匀速运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，以为边作正△（、、按逆时针排序），以为边在上方作正△，设点运动时间为秒．（）求的值；（）当△与△的面积满足△△时，求的值；（）当为何值时，△的某个顶点（点除外）落在△的边上．解：（）如图中，作⊥于．∵△••，∴．在△中，，∴．（）如图中，作⊥于．∵，，，﹣﹣﹣，∴（﹣）．∵△△，∴•×•，∴（﹣）×（），整理得：﹣，解得（舍弃）或，∴当时，满足△△．（）①如图中，当点落在上时，作⊥于．易知：∥，∴∠∠°，∴，∴（﹣），∴．②如图中，当点在上时，作⊥于．同法可得，∴（﹣），∴．综上所述：当或时，△的某个顶点（点除外）落在△的边上．.（·吉林长春·分）如图，在△中，∠°，∠°，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动．过点作⊥于点（点不与点重合），作∠°，边交射线于点．设点的运动时间为秒．（）用含的代数式表示线段的长；（）当点与点重合时，求的值；（）设△与△重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式；（）当线段的垂直平分线经过△一边中点时，直接写出的值．【分析】（）先求出，用三角函数求出，即可得出结论；（）利用，即可得出结论；（）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；（）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【解答】解：（）在△中，∠°，，∴，∵⊥，∴∠∠°，在△中，，∴，×，∴﹣﹣（＜＜）；（）在△中，∵∠°，∴∠°∠，∴，∵⊥，∴，∵点和点重合，∴，∴×，∴；（）当＜≤时，△×××；当＜＜时，如图，﹣﹣﹣（﹣），在△中，∠°，∴•∠（﹣）×（﹣），∴△﹣△××﹣×（﹣）×（﹣）﹣﹣，∴；（）当的垂直平分线过的中点时，如图，∴∠°，，，∵∠∠°，∴∠°，∴∠°，∴，∴，∴；当的垂直平分线过的中点时，如图，∴∠°，，，在△中，，∵，∴，∴，当的垂直平分线过的中点时，如图，∴，，∠°，∵∠°，∴∠°∠，∴，在△中，，∴，∴，∴，即：当线段的垂直平分线经过△一边中点时，的值为秒或秒或秒．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．。

2018年中考与圆有关的动点问题(答案)

1.【答案】D 【解析】如解图，点D 运动的路径是以AO 中点M 为圆心，AO 一半的长为半径的圆，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝8，∴AO ＝12AB ＝4，∴点D 运动的路径长为：π×4＝4π．2.【答案】B 【解析】如解图，过A 作⊙O 的直径AE ，连接ED ，AD ，∴∠ADE ＝90°，∵∠E ＝∠B ＝30°，∴∠EAD ＝60°．在Rt △ADE 中，AD ＝12AE ＝6，∵AC 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，∴∠OAC ＝90°，∴∠CAD ＝90°－60°＝30°，过点D 作AC 的垂线，垂足为C ＇，在Rt △DA C ＇中，∵∠DA C ＇＝30°，∴DC ＇＝12AD ＝3，∴当点C 在C ＇点时，CD 有最小值，最小值为3．3.【答案】D 【解析】如解图，连接OA ，OB ，∵∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝60°．∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝6．当GH 为⊙O 的直径时，GE ＋FH 有最大值．∵当GH 为直径时，E 点与O 点重合，∴AC 也是直径，AC ＝12．∵∠ABC 是直径所对的圆周角，∴∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，∴AB ＝12AC ＝6．∵点E 、F 分别为AC 、BC 的中点，∴EF ＝12AB ＝3．∴GE ＋FH ＝GH －EF ＝12－3＝9． 4.【答案】D 【解析】∵AB ＝15，AC ＝9，BC ＝9，∴2AB ＝2AC ＋2BC ，∴△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，点C 在圆上，所以EF 为圆的直径，若求线段EF 的最值，即要使圆最小，圆与AB 的切点为D ，如解图，连接CD ，当CD 垂直于AB 时，即CD 是圆的直径时，EF 长度最小，即最小值是斜边AB 上的高CD ，利用三角形面积可得：12AB ·CD ＝12AC ·BC ＝12×15×CD ＝12×12×9，解得CD ＝365． 5.【答案】C 【解析】当点C 为劣弧AB 的中点时，△ABC 内切圆半径r 最大，如解图，连接OC 交AB 于D 点，⊙M 为△ABC 内切圆，作ME ⊥AC 于E 点，∵点C 为劣弧AB 的中点，∴OC ⊥AB ，AD ＝BD ＝12AB ＝3，AC ＝BC ，∴点M 在CD 上，∴ME 和MD 都为⊙M 的半径，设ME ＝MD ＝r ，∵∠ACB ＝120°，∴∠A ＝30°，∠ACD ＝60°，在Rt △ACD 中，CD在Rt △CEM 中，∠ECM ＝60°，∠CME ＝30°，CEEMr ，第1题解图B第2题解图第3题图D第4题解图AF E CB∴CM ＝2CE，CM ＋DM ＝CD＋rr ＝6－6.【答案】C 【解析】由题可知=ABCACDABCD S SS+四边形，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，如解图，则1=2ABCD S AC BF ∙四边形＋12AC DE ∙＝12＋12DE，当点D 为劣弧AC 的中点时，DE 取得最大值，此时∠DAC ＝∠ACD ＝∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，在Rt △ADE 中，AE ＝12AC，DE ＝12AD ，由勾股定理可得DE ＝12，∴此时12ABCD S 四边形7.【答案】B 【解析】如解图，作直径BD ，连接CD ，OC ，BM ，CM ，OM ，则∠BCD ＝90°，则∠BAC ＝∠D ，∵BC ＝BD ＝2OB ＝4，∴CD2，∴CD ＝12BD ，∴∠DBC ＝30°，∴∠BAC ＝∠D ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∵P 点是△ABC 的内心，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12（∠ABC ＋∠ACB ）＝60°，∴∠BPC ＝120°＝∠BOC ，∴点O 在⊙M 上，∴OM ＝CM ，∵BM ＝CM ，∴BM ＝CM ，∴∠BOM ＝∠COM ＝60°，∴△OCM 是等边三角形，∴CM ＝OC ＝2，即⊙M 的半径不变等于2．故选B ．8.【答案】B 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵∠ACB ＝45°，∴∠AOB ＝90°，又∵OA =OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∵AB ＝6，∴OA =OB =6M 、N 分别是AB 、BC 的中点，∴MN 是△ABC 的中位线，∴MN =12AC ，要使MN 最大，即AC 最大，而AC 是⊙O 的弦，故AC 是⊙O 的直径时，值最大，此时AC =2OA MN 长的最大值是12AC =12⨯第5题解图A第6题解图第7题解图第8题解图9.【答案】B 【解析】如解图，将⊙O 补全，延长BO 交⊙O 于点C ，连接AC 交MO 于点P ，连接BP ，∵CB ⊥MN ，OB =OC ，∴BP =CP ，∴PA +PB =PA +PC ，根据两点之间线段最短可知所作点P 即为所求，此时PA +PC =AC ．∵CB 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC 中，AB =4，BC =2OB =10，∴AC10.【答案】C 【解析】如解图，∵AC 为其直径，∠ACB ＝30°，∴∠A ＝60°，∵点A ＇在AC 上运动，∴∠A ＇＝∠A ＝60°，∵C ＇B ⊥A ＇B ，∴∠C ＇＝90°－60°＝30°，∵∠C ＇是定值，∴点C ＇的运动路径是一个圆，当点C ＇运动到C ''时，C C ''＝2BC ，∵⊙O 的半径为7，∴AC ＝14，AB ＝7 ，∴BC ＝C C ''＝C ＇以在C C ''中点M 为圆心，BC ＇的最大值为11.【答案】A 【解析】连接AE ，如解图①，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝AB ＝AC ＝4，∵AD 为直径，∴∠AED ＝90°，∴∠AEB ＝90°，∴点E 在以AB 为直径的⊙O 的上，∵⊙O 的半径为2，∴当点E 为线段OC 与⊙O 的交点时，CE 最小．如解图②，在Rt △AOC 中，∵OA ＝2，AC ＝4，∴OCCE ＝OC －OE＝－2．即线段CE长度最小值为2．当点E 为射线CO 与⊙O 的交点时，CE 最大，最大值为+2，∴－2≤CE ≤＋2．12.【答案】A 【解析】如解图，连接OQ ，∵MN ＝OP （矩形对角线相等），⊙O 的半径为2，OQ ＝12MN ＝12OP ＝1，可得点Q 的运动轨迹是以O 为圆心，1为半径的圆．当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 也是转过45°．∴Q 运动过的长度为45360︒︒×2π＝4π．故选A ． 13.【答案】C 【解析】如解图，连接CE ，∵点E 是AD 的中点，A ＇E ＝AE ＝12AD ，点F 为动点，则随着F 的运动，A ＇的运动轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径在矩形ABCD 内的第9题解图第10题解图②图B①图圆弧，则C A ＇、A ＇E 和CE 围成三角形，根据三角形的三边关系，即A ＇E + C A ＇＞CE ，当E 、A ＇、C 在同一直线上时，则A ＇E + C A ＇＝CE ，此时C A ＇最小．在Rt △CDE 中，CD ＝3，DE ＝1，则CEC A ＇1．14.【答案】A 【解析】过点A 、B 作圆P ，且使OA 、OB 交⊙P 于A 、B 两点，如解图，连接AP ，BP ，∵OA ＝OB ＝AB ＝4，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°，∵BD ⊥BC ，∴∠D ＝60°，∵AB ＝4，是一个定值，∴点D 在圆P 上，要使△ABD 面积的最大，∴点D 到AB 的距离要最大时，此时D 为圆P 优弧AB 的中点，此时△ABD 为等边三角形，D 到AB 的距离为ABD S ∆＝12△ABD 面积的最大值为15.【答案】B 【解析】当点C 运动到A 点处时，点D 在如解图D ＇的位置处，当点C 运动到B 点处时，点D 与点B 重合，∵△BCD 是等边三角形，∴∠CDB ＝60°，又∵CO ＝BO ，∴△CDO ≌△BDO ，∴∠ODB ＝30°，∴点C 在半圆AB 上运动时，点D 在以BD ＇为直径的圆上运动，当点O ，D 与BD ＇的中点M 共线时，线段OD 最长，为⊙M 的直径，∴OD 的长随点C 的运动而变化，最大值为16.【答案】B 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵∠AMB ＝45°，∴∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，∵⊙O 的半径是2，∴AB＝＝，∵A M BA NM A N B S S S ∆∆=+四边形,∴要使四边形MANB 面积最大，则需两个三角形的高的和最大，当MN 为直径时，NM 最大，∴由垂径定理可知MN ⊥AB 时，四边形MANB 面积有最大值，∴MANB S 四边形＝12·AB ·MN ＝1217.【答案】C 【解析】如解图，取劣弧CB 的中点D ，连接AD ，BD ，∵∠BCA ＝90°，AB ＝第12题解图CF第13题解图第14题解图第15题解图2AC ＝4，∴CA ＝2，则∠ABC ＝30°，∴∠BAC ＝60°，∵D 为劣弧CB 的中点，∴BD ＝CD ，∴∠BAD ＝30°，∴BD ＝12AB ＝2，∠BPC ＝60°，∴∠BDC ＝120°，∵I 为△PBC 的内心，∴∠PBI ＝∠IBC ，∵BD ＝CD ，∴∠BPD ＝∠DBC ，∴∠PBI +∠BPD ＝∠IBC +∠DBC ，即∠BID ＝∠IBD ，∴ID ＝BD ，∵BD ＝CA ＝2，∴ID ＝2，∴动点I 到定点D 的距离为2，即点I 的轨迹是以点D 为圆心，2为半径的弧CIB （不含C 、B ），弧CIB 的长为1202180π⨯＝43π，则l 的取值范围是：0＜l ＜43π18.【答案】A 【解析】如解图，分别作∠A 与∠B 的角平分线，交点为P ，∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AP 与BP 为CD 、CE 的垂直平分线．又∵圆心O 在CD 、CE 垂直平分线上，则交点P 与圆心O 重合，即圆心O 是一个定点，连接OC ，若半径OC 最短，则OC ⊥AB ．又∵∠OAC ＝∠OBC ＝30°，AB ＝4，∴OA ＝OB ＝2OC ，∴AC ＝BC ＝2，∴在Rt △AOC 中，2OC =2AO －2AC ，即2OC =42OC －4，解得OC19.【答案】C 【解析】如解图，连接OP ，∵PM ⊥CD ，PN ⊥AB ，∴∠PMO ＝∠PNO ＝90°，∴点M 、N 在以OP 为直径的圆上，∴∠MPN ＝90°，MN 有最大值2．20.【答案】 B 【解析】如解图，连接DO 并延长，交⊙O 于点P ′，由圆的性质知，当点P 运动到点P ′时，DP 的值最大．∵△ABC 为等腰直角三角形，且AB＝∴BC＝根据勾股定理得8AC ==，∵点D 、O 分别为AB 、AC 的中点，∴DO为△ABC的中位线，∴12DO BC ==DP ′＝DO ＋OP ′＝4，故DP 的最大值为4．第16题解图第17题解图第18题解图B第19题解图第20题解图第22题解图第23题解图 21.C 【解析】如解图，点P 运动的路径是以G 为圆心的劣弧，在⊙G 上取一点H ，连接EH 、FH ，∵四边形AOCB 是正方形，∴∠AOC ＝90°，∵∠CEA ＝12∠COA ＝45°，∴∠AFP ＝45°，∵EF 是⊙O 的直径，∴∠AFP ＝45°，∵EF 是⊙O 的直径，∴∠EAF ＝90°，∴∠APF ＝∠AFP ＝45°，∴∠H ＝∠APF ＝45°，∴∠EGF ＝2∠H ＝90°，∵EF ＝4，GE ＝GF ，∴GE ＝GF＝EF 的长为90222180π=22.A 【解析】作DH ⊥BC 于H ，如解图，∵四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，∴四边形ABHD 为矩形，∴AB 为直径，∴AD 和BC 为⊙O 的切线，∵CD 和MN 为⊙O 切线，∴DE ＝DA ，CE ＝CB ，NE ＝NF ，MB ＝MF ，∵四边形ABHD 为矩形，∴BH ＝AD ＝2，DH ＝AB ＝6，设BC ＝x ，则CH ＝x －2，CD ＝x ＋2，在Rt △DCH 中，∵222CH DH DC += ，∴222(2)6(2)x x -+=+,解得x ＝92，∴CB ＝CE ＝92，∴△MCN 的周长＝CN ＋CM ＋MN ＝CN ＋CM ＋NF ＋MF ＝CE ＋CB ＝923.A 【解析】如解图，当点D 在⊙O 上运动时，点E 在以AO 为直径的圆上，当点D 运动到点C 处时，AE ′＝12AC ；当点D 运动到点B 处时，AE ′′＝12AB ，∴E ′E ′′为△ABC 的中位线，∴E ′E ′′＝12BC ＝2，∵∠A ＝45°，∴E E ''' 所对的圆心角为90°，点E所在圆的半径r ∵点D 在优弧BAC上运动，∴点E运动的路径长为(3601802-=．24.A 【解析】如解图，当点D 在⊙O 上运动时，点E 在⊙M 上，点D 运动到D ′处时，D ′、O 、B 、M 共线，此时D ′B 为⊙O 的直径，∵BE ＝12BD ，∴BM ＝12BO ，在Rt △ABC 中，∵BC ＝AB ＝4，∴AC ＝BO＝AO ＝BM D 与点A 重合时，点EC运动到E ′′处，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠C ＝45°，∴∠BOA ＝90，∴∠E ′′MB ＝90°，∴当点D 从点A 运动至点B 时，点E的运动路径长为901802=．第24题解图第25题解图25.C 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥OM ，交直线l 同侧的⊙O 于点F ，连接OF ，记OF 的中点为G ，∵CM ⊥直线l ，∴∠MCO ＝∠OPF ＝90°，在Rt △CMO 和Rt △POF ，∴∠POF ＝∠CMO ，OF ⊥直线l ，∵点G 是OF 的中点，∴OG =GP =GF ，∴点P 在以点G 或G ′为圆心，OG 或OG ′长为半径的圆上，当点M 运动一周时，点P 的运动路程是⊙G 周长的2倍，∵OF ＝OM ＝10，∴点P 运动路程为2×10π＝20π．。

2018年中考数学《几何图形的动点问题》同步提分训练含答案解析

2018年中考数学提分训练: 几何图形的动点问题一、选择题1.如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B，C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x 的大致图象是（）A. B. C. D.2.如图1,在矩形ABCD中,动点E从A出发,沿方向运动,当点E到达点C时停止运动,过点E做,交CD于F点,设点E运动路程为x, ,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象,当点E在BC上运动时,FC的最大长度是,则矩形ABCD的面积是( )A. B. C. 6 D. 53.如图甲，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（）A. ①B. ④C. ①或③D. ②或④4.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（）A. B. C. D.5.如图,矩形ABCD,R是CD的中点,点M在BC边上运动,E，F分别为AM，MR的中点,则EF的长随M点的运动( )A. 变短B. 变长C. 不变D. 无法确定二、填空题6.在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为________．（结果不取近似值）7.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为________．8.如图，在△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边的高，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC 在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动（1）连接OC，线段OC的长随t的变化而变化，当OC最大时，t＝________；（2）当△ABC的边与坐标轴平行时，t＝________。

2018年中考压轴题汇编《因动点产生的等腰三角形问题》含答案

因动点产生的等腰三角形问题例年重庆市中考第题如图，在△中，＝°，∠＝°，点是∠的平分线上一点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，点是的中点，⊥，垂足为，连接，．（）如图，若点是的中点，＝，求、的长；（）如图，求证：＝．（）如图，连接、，猜想：△是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图图例年长沙市中考第题如图，抛物线＝＋＋（、、是常数，≠）的对称轴为轴，且经过()和两点，点在该抛物线上运动，以点为圆心的⊙总经过定点(, )．（）求、、的值；（）求证：在点运动的过程中，⊙始终与轴相交；（）设⊙与轴相交于(, )、(, )两点，当△为等腰三角形时，求圆心的纵坐标．图例年上海市虹口区中考模拟第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点为边的中点，⊥交边于点，点为射线上的一动点，点为边上的一动点，且∠＝°．（）求、的长；（）若＝，求的长；（）记线段与线段的交点为，若△为等腰三角形，求的长．图备用图例年扬州市中考第题如图，抛物线＝＋＋经过(－)、(, )、( )三点，直线是抛物线的对称轴．（）求抛物线的函数关系式；（）设点是直线上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；（）在直线上是否存在点，使△为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图例年临沂市中考第题如图，点在轴上，＝，将线段绕点顺时针旋转°至的位置．（）求点的坐标；（）求经过、、的抛物线的解析式；（）在此抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．图例年盐城市中考第题如图，已知一次函数＝－＋与正比例函数的图象交于点，且与轴交于点．（）求点和点的坐标；（）过点作⊥轴于点，过点作直线轴．动点从点出发，以每秒个单位长的速度，沿——的路线向点运动；同时直线从点出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线交轴于点，交线段或线段于点．当点到达点时，点和直线都停止运动．在运动过程中，设动点运动的时间为秒．①当为何值时，以、、为顶点的三角形的面积为？②是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．图因动点产生的等腰三角形问题答案例年重庆市中考第题如图，在△中，＝°，∠＝°，点是∠的平分线上一点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，点是的中点，⊥，垂足为，连接，．（）如图，若点是的中点，＝，求、的长；（）如图，求证：＝．（）如图，连接、，猜想：△是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图图动感体验请打开几何画板文件名“重庆”，拖动点运动，可以体验到，△与△保持全等，△与△保持全等，△保持等边三角形的形状．思路点拨．把图形中所有°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．．中点有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．满分解答（）如图，在△中，∠＝°，＝，所以＝．在△中，∠＝°，＝，所以＝，＝．在△中，＝，＝，由勾股定理，得＝．（）如图，由∠＝°，∠＝°，平分∠，得∠＝°，∠＝°．在△中，＝．在△中，＝．所以＝．因为点是△的斜边上的中线，所以＝，∠＝∠．所以∠＝∠．所以△≌△．所以＝．图图图（）如图，作⊥于，联结．由，是的中点，得是的中点．因此＝，△是等边三角形．又因为＝，所以＝．又因为＝，∠＝∠＝°，所以△≌△．所以∠＝∠，＝．所以∠＝∠＝°．所以△是等边三角形．考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．如图，如图，当点落在边上时，点与点重合．图图如图，图，点落在边上．如图，图，等腰梯形．图图图图例年长沙市中考第题如图，抛物线＝＋＋（、、是常数，≠）的对称轴为轴，且经过()和两点，点在该抛物线上运动，以点为圆心的⊙总经过定点(, )．（）求、、的值；（）求证：在点运动的过程中，⊙始终与轴相交；（）设⊙与轴相交于(, )、(, )两点，当△为等腰三角形时，求圆心的纵坐标．图动感体验请打开几何画板文件名“长沙”，拖动圆心在抛物线上运动，可以体验到，圆与轴总是相交的，等腰三角形存在三种情况．思路点拨．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙在轴上截得的弦长＝是定值．．等腰三角形存在三种情况，其中＝和＝两种情况时，点的纵坐标是相等的．满分解答（）已知抛物线的顶点为()，所以＝．所以＝，＝．将代入＝，得．解得（舍去了负值）．（）抛物线的解析式为，设点的坐标为．已知(, )，所以＞．而圆心到轴的距离为，所以半径＞圆心到轴的距离．所以在点运动的过程中，⊙始终与轴相交．（）如图，设的中点为，那么垂直平分．在△中，，，所以＝．所以＝．因此＝，为定值．等腰△存在三种情况：①如图，当＝时，点为原点重合，此时点的纵坐标为．图图②如图，当＝时，在△中，＝，＝，所以＝．此时＝＝．所以点的纵坐标为．③如图，当＝时，点的纵坐标为也为．图图考点伸展如果点在抛物线上运动，以点为圆心的⊙总经过定点(, )，那么在点运动的过程中，⊙始终与直线＝－相切．这是因为：设点的坐标为．已知(, )，所以．而圆心到直线＝－的距离也为，所以半径＝圆心到直线＝－的距离．所以在点运动的过程中，⊙始终与直线＝－相切．例年上海市虹口区中考模拟第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点为边的中点，⊥交边于点，点为射线上的一动点，点为边上的一动点，且∠＝°．（）求、的长；（）若＝，求的长；（）记线段与线段的交点为，若△为等腰三角形，求的长．图备用图动感体验请打开几何画板文件名“虹口”，拖动点在射线上运动，可以体验到，△与△保持相似．观察△，可以看到，、可以落在对边的垂直平分线上，不存在＝的情况．请打开超级画板文件名“虹口”，拖动点在射线上运动，可以体验到，△与△保持相似．观察△，可以看到，、可以落在对边的垂直平分线上，不存在＝的情况．思路点拨．第（）题＝分两种情况．．解第（）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．．第（）题探求等腰三角形时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形．满分解答（）在△中，＝，＝，所以＝．在△中，＝，所以，．（）如图，过点作⊥，⊥，垂足分别为、，那么、是△的两条中位线，＝，＝．由∠＝°，∠＝°，可得∠＝∠．因此△∽△．所以．所以，．图图图①如图，当＝，在上时，＝．此时．所以．②如图，当＝，在的延长线上时，＝．此时．所以．（）如图，如图，在△中，．在△中，．所以∠＝∠．由∠＝°，∠＝°，可得∠＝∠．因此△∽△．当△是等腰三角形时，△也是等腰三角形．①如图，当＝＝时，＝－＝－＝（如图所示）．此时．所以．②如图，当＝时，由，可得．所以＝－＝（如图所示）．此时．所以．③不存在＝的情况．这是因为∠≥∠＞∠（如图，图所示）．图图考点伸展如图，当△是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△也是等腰三角形，＝．在△中可以直接求解．例年扬州市中考第题如图，抛物线＝＋＋经过(－)、(, )、( )三点，直线是抛物线的对称轴．（）求抛物线的函数关系式；（）设点是直线上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；（）在直线上是否存在点，使△为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图动感体验请打开几何画板文件名“扬州”，拖动点在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点落在线段上时，＋最小，△的周长最小．拖动点在抛物线的对称轴上运动，观察△的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点有次机会落在的垂直平分线上；点有次机会落在的垂直平分线上；点有次机会落在的垂直平分线上，但是有次、、三点共线．思路点拨．第（）题是典型的“牛喝水”问题，点在线段上时△的周长最小．．第（）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（）因为抛物线与轴交于(－)、(, )两点，设＝(＋)(－)，代入点( )，得－＝．解得＝－．所以抛物线的函数关系式是＝－(＋)(－)＝－＋＋．（）如图，抛物线的对称轴是直线＝．当点落在线段上时，＋最小，△的周长最小．设抛物线的对称轴与轴的交点为．由，＝，得＝＝．所以点的坐标为(, )．图（）点的坐标为(, )、(,)、(,)或()．考点伸展第（）题的解题过程是这样的：设点的坐标为()．在△中，＝，＝＋(－)，＝＋．①如图，当＝时，＝．解方程＋＝＋(－)，得＝．此时点的坐标为(, )．②如图，当＝时，＝．解方程＋＝，得．此时点的坐标为(,)或(,)．③如图，当＝时，＝．解方程＋(－)＝，得＝或．当(, )时，、、三点共线，所以此时符合条件的点的坐标为()．图图图例年临沂市中考第题如图，点在轴上，＝，将线段绕点顺时针旋转°至的位置．（）求点的坐标；（）求经过、、的抛物线的解析式；（）在此抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．图动感体验请打开几何画板文件名“临沂”，拖动点在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙和⊙以及的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点运动到⊙与对称轴的另一个交点时，、、三点共线．请打开超级画板文件名“临沂”，拖动点，发现存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点重合在一起．满分解答（）如图，过点作⊥轴，垂足为．在△中，∠＝°，＝，所以＝，．所以点的坐标为．（）因为抛物线与轴交于、(, )，设抛物线的解析式为＝(－)，代入点，．解得．所以抛物线的解析式为．（）抛物线的对称轴是直线＝，设点的坐标为(, )．①当＝＝时，＝．所以＝．解得．当在时，、、三点共线（如图）．②当＝＝时，＝．所以．解得．③当＝时，＝．所以．解得．综合①、②、③，点的坐标为，如图所示．图图考点伸展如图，在本题中，设抛物线的顶点为，那么△与△是两个相似的等腰三角形．由，得抛物线的顶点为．因此．所以∠＝°，∠＝°．例年盐城市中考第题如图，已知一次函数＝－＋与正比例函数的图象交于点，且与轴交于点．（）求点和点的坐标；（）过点作⊥轴于点，过点作直线轴．动点从点出发，以每秒个单位长的速度，沿——的路线向点运动；同时直线从点出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线交轴于点，交线段或线段于点．当点到达点时，点和直线都停止运动．在运动过程中，设动点运动的时间为秒．①当为何值时，以、、为顶点的三角形的面积为？②是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．图动感体验请打开几何画板文件名“盐城”，拖动点由向运动，从图象中可以看到，△的面积有一个时刻等于．观察△，可以体验到，在上时，只存在＝的情况；在上时，有三个时刻，△是等腰三角形．思路点拨．把图复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．．求△的面积等于，按照点的位置分两种情况讨论．事实上，在上运动时，高是定值，最大面积为，因此不存在面积为的可能．．讨论等腰三角形，按照点的位置分两种情况讨论，点的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（）解方程组得所以点的坐标是(，)．令，得．所以点的坐标是(，)．（）①如图，当在上运动时，≤＜．由，得．整理，得．解得＝或＝（舍去）．如图，当在上运动时，△的最大面积为．因此，当＝时，以、、为顶点的三角形的面积为．图图图②我们先讨论在上运动时的情形，≤＜．如图，在△中，∠＝°，∠＞°，＝，，所以＞．因此∠＞∠＞∠．如图，点由向运动的过程中，＝＝，所以轴．因此∠＝°保持不变，∠越来越大，所以只存在∠＝∠的情况．此时点在的垂直平分线上，＝＝．所以＝，＝．我们再来讨论在上运动时的情形，≤＜．在△中，为定值，，．如图，当＝时，解方程，得．如图，当＝时，点在的垂直平分线上，＝(－)．解方程，得．如，当＝时，那么．因此．解方程，得．综上所述，＝或或或时，△是等腰三角形．图图图考点伸展当在上，＝时，也可以用来求解．。

2018年中考压轴题(动点问题) 精品

2018压轴题-动点问题1、（2018包头）如图，已知ABC△中，10AB AC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？2、（2018齐齐哈尔）直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．3（2018深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？4（2018哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．5（2018河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C 出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．6（2018河南））如图，在Rt ABC°，°，2BC=．点ACB B∠=∠=△中，9060O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．（2）当90（备用图）7（2018济南）如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．8（2018江西）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.CMA D E BF C图4（备用）ADE BF C图5（备用）A D E BF C图1 图2A D EBF C PNM 图3A D EBFCPN M（第25题）9（2018兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C →D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．10（2018临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD∠的是正方形，点E是边BC的中点．90∠=，且EF交正方形外角DCGAEF平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．11（2018天津）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．ADFC GE 图1ADF C GE 图2 ADFC GE B图312（2018太原）问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14CE CD =，则AMBN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于．（用含m n ，的式子表示）方法指导：为了求得AMBN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图（2）N A BCDEFM 图（1） A B CDEFMN。

2018年中考数学压轴题专题解析---几何动态探究问题—动点+动面

第１题图（1）在整个运动过程中，当点 G在线段 AE上时，求 t 的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点 P，使△ APQ是等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由；（3）在整个运动过程中，设△ GMN与△ AEF重叠部分的面积为 S．请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式以及自变量 t 的取值范围 ; (4) 在运动过程中，是否存在某一时刻 t , 使得 S: S△GMN=1:2? 若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由 .
2018 年中考数学压轴题专题解析 --- 几何动态探究问题—动点 +动面
1. 已知在矩形 ABCD中， E 为 BC边上一点， AE⊥DE， AB＝12， BE＝16， F 为线段 BE上一点， EF＝ 7，连接 AF．如图①，现有一张硬质纸片△ GMN，∠ NGM＝ 90°， NG＝ 6，MG＝ 8，斜边 MN 与边 BC在同一直线上，点 N与点 E 重合，点 G在线段 DE上．如图②，△ GMN从图①的位置出发，以每秒 1 个单位的速度沿 EB向点 B 匀速移动，同时点 P 从 A点出发，以每秒 1 个单位的速度沿 AD向点 D匀速移动，点 Q为直线 GN与线段 AE的交点，连接 PQ．当点 N到达终点 B 时，△ GMN和点 P同时停止运动．设运动时间为 t 秒，解答下列问题：
AB与 QR在同一直线 l 上，开始时点 Q与点 A 重合，让△ PQR以 1cm/ s 的速度在直线 l 上运动，同时 M点从点 Q出发以 1cm/ s 沿 QP运动，直至点 Q与点 B 重合时，都停止运动，设运
动的时间为
t （ s），四边形
PMBN的面积为
S（
2
cm
）．
第 2 题图
（1）当 t =1s 时，求 S 的值；

江苏苏州市2018届中考数学二轮复习第18课时《坐标系中的动点问题》

第18课时坐标系中的动点问题(50分)一、填空题(每题10分，共20分)1．[2019·泰州]如图6－2－1，在平面内，线段＝6，P为线段上的动点，三角形纸片的边所在的直线与线段垂直相交于点P，且满足＝，若点P沿方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为6．图6－2－1 第1题答图【解析】如答图，E点运动的轨迹与C点运动的轨迹相同，C点运动的路径长是＝6，故答案是6.2．菱形在平面直角坐标系中的位置如图6－2－2所示，顶点B(2，0)，∠＝60°，P是对角线上一个动点，E(0，－1)，当＋最短时，点P的坐标为．图6－2－2 第2题答图【解析】如答图，连结交于点P，则点P满足＋最短．延长交y轴于点F，则⊥y轴，∵四边形是菱形，∴＝＝＝2，∵∠＝60°，则∠＝30°，∴＝1，＝，∴D(1，)，C(3，)．设直线的解析式为y＝－1，将点D坐标代入，则k－1＝，∴k＝＋1，则y＝(＋1)x－1，设直线的表达式为y＝，将点C坐标代入，则3m ＝，∴m＝，则y＝x，由解得∴点P的坐标为(2－3，2－)．二、解答题(共30分)3．(15分)[2019·长沙]如图6－2－3，直线l：y＝－x＋1与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠＝135°.(1)求△的周长；图6－2－3(2)设＝t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；(3)当动点P，Q在直线l上运动到使得△与△的周长相等时，记∠＝m，若过点A的二次函数y＝2＋＋c同时满足以下两个条件：①6a＋3b＋2c＝0；②当m≤x≤m＋2时，函数y的最大值等于，求二次项系数a的值．解：(1)在函数y＝－x＋1中，令x＝0，得y＝1，∴B(0，1)，令y＝0，得x＝1，∴A(1，0)，则＝＝1，＝，∴△的周长为1＋1＋＝2＋；(2)∵＝，∴∠＝∠＝45°，∴∠＝∠＝135°，∴∠＝∠－∠＝45°－∠，∴∠＝∠－∠－∠＝45°－∠，即∠＝∠，∴△∽△，∴＝，∴＝＝，如答图，过点P作⊥于点H，则△为等腰直角三角形．∵＝，∴＝＝，∴；(3)由(2)可知△∽△，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等，∴＝，∴＝1，∴t＝1，第3题答图同理可得，∴m ＝＝－1，∵抛物线经过点A ，∴a ＋b ＋c ＝0，又∵6a ＋3b ＋2c ＝0，∴b ＝－4a ，c ＝3a ，对称轴为直线x ＝2，当－1≤x ≤＋1时，①若a ＞0，则开口向上，由题意，得x ＝－1时，取得最大值＝2＋2，即(－1)2a ＋(－1)b ＋c ＝2＋2，解得a ＝；②若a ＜0，则开口向下，由题意，得x ＝2时，取得最大值2＋2，即4a ＋2b ＋c ＝2＋2，解得a ＝－2－2.综上所述，所求a 的值为或－2－2.4．(15分)如图6－2－4，已知在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，以P (1，1)为圆心的⊙P 与x 轴，y 轴分别相切于点M 和点N .点F 从点M 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结，过点P 作⊥交y 轴于点E .设点F 运动的时间是t s(t >0)．(1)若点E 在y 轴的负半轴上，求证：＝；(2)在点F 运动过程中，设＝a ，＝b ，试用含a 的代数式表示b ；(3)作点F 关于点M 的对称点F ′.经过M ，E 和F ′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q ，连结.在点F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q ，O ，E 为顶点的三角形与以点P ，M ，F 为顶点的三角形相似，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如答图①，连结，.图6－2－4第4题答图①∵⊙P 与x 轴，y 轴分别相切于点M 和点N ，∴⊥，⊥且＝，∴∠＝∠＝90°且∠＝90°.∵⊥，∴∠1＝∠3＝90°－∠2.在△和△中，∴△≌△()，∴＝；(2)分两种情况：①当t >1时，点E 在y 轴的负半轴上，如答图②，由(1)得△≌△，∴＝＝t ，＝＝1，∴b ＝＝＋＝1＋t ，a ＝－＝t －1.∴b －a ＝1＋t －(t －1)＝2，∴b ＝2＋a ；②当0<t ≤1时，如答图③，点E 在y 轴的正半轴上或原点，同理可证△≌△， ∴b ＝＝＋＝1＋t ，a ＝＝－＝1－t ，∴b ＋a ＝1＋t ＋1－t ＝2，∴b ＝2－a .综上所述，当t >1时，b ＝2＋a ；当0<t ≤1时，b ＝2－a ；(3)存在．t 的值是2＋或2－或或. 第4题答图②第4题答图③(30分)5．(15分)[2019·攀枝花]如图6－2－5，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点M(6，0)，N(0，2)，等边三角形的顶点B与原点O重合，边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段上，将等边三角形从图①的位置沿正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边，分别与线段交于点E，F(如图②所示)，设△平移的时间为t(s)．(1)等边三角形的边长为3；(2)在运动过程中，当t＝3时，垂直平分；(3)若在△开始平移的同时，点P从△的顶点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线→运动，当点P运动到C时即停止运动，△也随之停止平移．①当点P在线段上运动时，若△与△相似，求t的值；＝S，求S与t的函数关系式，并求出S最大②当点P在线段上运动时，设S△值及此时点P的坐标．图6－2－5【解析】(1)由题易知＝6，＝2，∴＝4，∴∠＝30°，∵∠＝60°，∴∠＝90°，即⊥，∴＝＝3，即等边三角形边长为3；(2)由等边三角形的性质易知当垂直平分时，C点与M点重合，∴＝－＝3，即t＝3；(3)①当P点在线段上运动时，则＝t，＝2t，则＝6－t，＝3－2t，△与△相似分为△∽△或△∽△两种对应情况思考；②当点P在线段上运动时，S△＝·＝·t·＝－t2＋t＝－2＋≤，∴当t＝时，＝.解：(3)①当P点在线段上运动时，＝t，＝2t，则＝6－t，＝3－2t，△与△相似分为△∽△或△∽△两种对应情况，第5题答图当△∽△时，则∠＝∠＝∠＝30°，∴＝＝＝，＝＝.又∵＝－＝3－，∴3－＝，解得t ＝；当△∽△时，若点P 在线段上，则∠＝∠＝30°，即∥，∴△是等边三角形，∴垂直平分，∴＝＋＝＋t ，又∵＝＝，∴＋t ＝，解得t ＝1；当△∽△时，若点P 在线段上，则P 点与A 点重合，即t ＝.综上所述，t ＝或1或；②当点P 在线段上运动时，则＝6－t ，＝6－2t ，≤t ≤3.∴＝＝3－，即＝，∴＝＝t ，＝2＝t ，∴＝－＝3－t ，∴＝－＝3－t .如答图③，作⊥于H 点，由∠＝30°可知，＝＝△＝·＝·t ·＝－t 2＋t ＝－＋≤，∴当t ＝时＝.6．(15分)[2019·衢州]在直角坐标系中，过原点O 及点A (8，0)，C (0，6)作矩形.连结，点D 为的中点，点E 是线段上的动点，连结，作⊥，交于点F ，连结.已知点E 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段上移动，设移动时间为t s.图6－2－6(1)如图6－2－6①，当t ＝3时，求的长；(2)如图②，当点E 在线段上移动的过程中，∠的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠的值；(3)连结，当将△分成的两部分面积之比为1∶2时，求相应t 的值．【解析】 (1)当t ＝3时，点E 为中点．为△的中位线．(2)过D 作⊥，⊥，垂足分别为M ，N .利用△∽△即可求解．第5题答图③(3)将△分成的两部分面积之比为1∶2可转化为与交点G为的三等分点，即讨论G点所处的位置．解：(1)当t＝3时，点E为中点．∵点D为中点，∴∥，＝＝4.∵⊥，∴⊥.∴∠＝∠＝90°.又∵⊥，∴∠＝90°，∴四边形是矩形，∴＝＝3.(2)∠的大小不变．如答图①，过D作⊥，⊥，垂足分别为M，N.∵四边形是矩形，∴⊥，∴四边形是矩形，∴∠＝90°，∥，∥，∴＝，＝.∵点D为中点，∴M，N分别是，中点．∴＝＝3，＝＝4，∵∠＝90°，∴∠＝∠.又∵∠＝∠＝90°，∴△∽△，∴＝＝.∵∠＝90°，∴∠＝.第6题答图(3)过D作⊥，⊥，垂足分别为M，N.若将△的面积分成1∶2的两部分，设交于点G，则易得点G为的三等分点．①如答图②，当E到达中点之前时，＝3－t，由△∽△，得＝(3－t)．∴＝4＋＝－t ＋.∵G 1为的三等分点，∴G 1.由点A (8，0)，D (4，3)得直线的表达式为y ＝－x ＋6，将G 1代入，得t ＝.②如答图③，当E 越过中点之后，＝t －3，由△∽△，得＝(t －3)．∴＝4－＝－t ＋.∵G 2为的三等分点，∴G 2.代入直线表达式y ＝－x ＋6，得t ＝.综上，t 的值为.(20分)7．(20分)[2019·绍兴]如图6－2－7①，已知▱，∥x 轴，＝6，点A 的坐标为(1，－4)，点D 的坐标为(－3，4)，点B 在第四象限，点P 是▱边上的一个动点．(1)若点P 在边上，＝，求点P 的坐标；(2)若点P 在边，上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y ＝x －1上，求点P 的坐标；(3)若点P 在边，，上，点G 是与y 轴的交点，如图②，过点P 作y 轴的平行线，过点G 作x 轴的平行线，它们相交于点M ，将△沿直线翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标(直接写出答案)．图6－2－7解：(1)∵＝6，∴点P 与点C 重合，∴点P 的坐标是(3，4)．(2)①当点P 在边上时，由已知得直线的函数表达式为y＝－2x －2，设P (a ，－2a －2)，且－3≤a ≤1.若点P 关于x 轴的对称点Q 1(a ，2a ＋2)在直线y ＝x －1上，则2a ＋2＝a －1，解得a ＝－3，此时P 1(－3，4)．第7题答图①若点P关于y轴对称点Q2(－a，－2a－2)在直线y＝x－1上，则－2a－2＝－a－1，解得a＝－1，此时P2(－1，0)．②当点P在边上时，设P(a，－4)，且1≤a≤7.若点P关于x轴对称点Q3(a，4)在直线y＝x－1上，则4＝a－1，解得a＝5，此时P(5，－4)．若点P关于y轴对称点Q4(－a，－4)在直线y＝x－1上，则－4＝－a－1，解得a＝3，此时P4(3，－4)．综上所述，点P的坐标为(－3，4)或(－1，0)或(5，－4)或(3，－4)；(3)∵直线：y＝－2x－2，∴G(0，－2)，①如答图②，当点P在边上，设P(m，4)，－3≤m≤3，则M′P＝＝4＋2＝6，M′G＝＝，易证得△′M′∽△′P，则＝，即＝，∴′＝，在△′中，由勾股定理，得＋22＝m2，解得m＝－或，则P点坐标为或；第7题答图②第7题答图③②如答图③，当点P在边上时，设P(m，－2m－2)，则′＝＝|－2，′＝＝，易证得△′∽△′P，则＝，即＝，∴′＝|2m＋2|，在△′中，由勾股定理，得＋22＝m2，解得m＝－，则；③如答图④，当点P在边上时，设P(m，－4)，此时M′在y轴上，则四边形′为正方形，＝＝4－2＝2，∴P(2，－4)．综上所述，点P的坐标为(2，－4)或或或.第7题答图④。

(完整)2018中考压轴题1.4因动点产生的平行四边形问题(含答案),推荐文档

1.4因动点产生的平行四边形问题例1 2017年成都市中考第28题如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2—2ax—3a (a v 0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l: y= kx+ b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D，且CD = 4AC .(1)直接写出点A的坐标，并求直线I的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示)；(2)点E是直线I上方的抛物线上的动点，若厶ACE的面积的最大值为5 ,求a的值；(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.图1 备用图例2如图1,已知抛物线C: y=- x2+ bx+ c经过A(— 3,0)和B(0, 3)两点.将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N .(1)求抛物线C的表达式；(2)求点M的坐标；(3)将抛物线C平移到抛物线C',抛物线C的顶点记为M',它的对称轴与x轴的交点记为N'.如果以点M、N、M'、N'为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？例3 2018年上海市松江区中考模拟第24题如图1,已知抛物线y=—x2+ bx+ c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)求tan/ABO 的值；AB(3)过点B作BC丄x轴，垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标.如图1,在Rt△ ABC中，/ C= 90° AC= 6, BC = 8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒(t>0.(1 )直接用含t的代数式分别表示：QB= ________ , PD = ________ ;(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；(3)如图2,在整个运动过程中，求出线段如图1,在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以A为顶点的抛物线y= ax2+ bx+ c过点C •动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒.过点P作PE丄AB交AC于点E.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)过点E作EF丄AD于F，交抛物线于点G,当t为何值时，△ ACG的面积最大？最大值为多少？(3)在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H , 使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.图1已知平面直角坐标系xOy (如图1), 一次函数y3x 3的图象与y轴交于点A,点M4在正比例函数y3x的图象上，且MO = MA .二次函数2y = x2+ bx+ c的图象经过点A、M .(1)求线段AM的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数y 3x 3的图象上，且四边形ABCD是菱形,4求点C的坐标.将抛物线C i：y 3x23沿x轴翻折，得到抛物线C2,如图1所示.(1)请直接写出抛物线C2的表达式；(2)现将抛物线c i向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A、B ;将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E.①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.图11.4因动点产生的平行四边形问题答案例12017年成都市中考第28题5点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若厶ACE 的面积的最大值为 -，求a 的值;4 设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点 A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“15成都28”，拖动点E 在直线AD 上方的抛物线上运动，可以体验到，当EC 丄AC 时，△ ACE 的面积最大.点击屏幕左下角的按钮第（3）题”，拖动点H 在y 轴正半轴运动，观察点 Q 和Q 可以看到点 Q 和点Q 都可以落在抛物线上.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线另一个交点为 D ，且CD = 4AC . 直接写出点A 的坐标，并求直线y = ax 2— 2ax — 3a （a v 0）与 x 轴交于 A 、B 两点l : y = kx + b 与y 轴负半轴交于点 C ,与抛物线的(1) l 的函数表达式（其中 k 、b 用含a 的式子表示）；(2)(3)图1 备用图1.4因动点产生的平行四边形问题答案思路点拨1. 过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△ AEF与厶CEF是共底的两个三角形.2. 以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP = QD ;当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等.满分解答(1) 由y= ax2—2ax—3a= a(x+ 1)(x—3),得A(—1,0).由CD = 4AC ,得X D= 4.所以D(4, 5a).由A(—1,0)、D(4, 5a),得直线l的函数表达式为y= ax+ a.(2) 如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F.设E(x, ax2—2ax—3a), F(x, ax+ a),那么EF = y E—y F= ax2—3ax—4a. 由S SC E = S A AEF —S A CEF= 1EF(X E X A)1 EF (X E X C )2 2X A ) = 1(ax 2 3ax 4a) = -a(x 3)22 2 2得厶ACE 的面积的最大值为25a •解方程 25 a 5，得a -.8845(3) 已知A( — -, 0)、D(4, 5a), x p =-，以AD 为分类标准，分两种情况讨论： ①如图2，如果AD 为矩形的边，那么 AD//QP ，AD = QP ，对角线AP = QD • 由 x D — X A = X p — X Q ，得 X Q =— 4.当 x = — 4 时，y = a(x + 1)(X — 3) = 21a .所以 Q(— 4, 21a). 由 y D — y A = y p — y Q ，得 y p = 26a .所以 P(1,26a).由 AP 2= QD 2, 得 22 + (26a)2 = 82 + (16a)2.考点伸展第(3)题也可以这样解.设P(1,n).①如图2，当AD 时矩形的边时，/ QPD = 90°所以处MD 2 2解得 n L -5^ .所以 P (1,d^).所以 Q ( 4,-).a aa3 将 Q ( 4, 一)代入 y = a(x + 1)(x — 3), 3 得_ 21a .所以a近aa7②如图3，当AD 为矩形的对角线时，先求得Q(2, — 3a).=1 EF% 25 a , 8整理，得7a 2= 1.所以a近.此时P (-迟.7 7②如图3，如果AD 为矩形的对角线，那么 AD 与PQ 互相平分且相等. 由 X D +X A = X P + X Q ，得 X Q = 2 .所以 Q(2, — 3a).由 y D + y A = y p + y Q ，得 y p = 8a .所以 P(1, 8a). 由 AD 2= PQ 2,得 52 + (5a)2= 12+ (11a)2.整理，得4a 2= 1 .所以a 1 .此时P (1, 4). 2DN，即 2 JNP5a 3由/ AQD = 90° 得AG QK，即3a2.解得1aGQ KD33a 5a2如图1,已知抛物线C: y=- x2+ bx+ c经过A(— 3,0)和B(0, 3)两点.将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N .(1)求抛物线C的表达式；(2)求点M的坐标；(3)将抛物线C平移到抛物线C',抛物线C的顶点记为M',它的对称轴与x轴的交点记为N'.如果以点M、N、M'、N'为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？动感体验请打开几何画板文件名“14陕西24”，拖动右侧的点M上下运动，可以体验到，以点M、N、M、N为顶点的平行四边形有四种情况.思路点拨1. 抛物线在平移的过程中，M' N与MN保持平行，当M' N、MN = 4时，以点M、N、M'、N'为顶点的四边形就是平行四边形.2•平行四边形的面积为16,底边MN、4,那么高NN' = 4.3. M' N= 4分两种情况：点M'在点N'的上方和下方.4. NN' = 4分两种情况：点N'在点N的右侧和左侧.满分解答(1)将A(—3,0)、B(0, 3)分别代入y=—x2+ bx+ c，得9 3b c0,c 3.解得b =—2，c= 3.所以抛物线C的表达式为y=—x2—2x+ 3.(2)由y=—x2—2x+ 3 =—(x + 1)2+ 4,得顶点M 的坐标为(一1,4).(3)抛物线在平移过程中，M N与MN保持平行，当M N'= MN = 4时，以点M、N、M '、N'为顶点的四边形就是平行四边形.所以专代入y_（x+ "J 4，得2 2 m m4 .所以DH = 4 .4 4因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN = 4. 那么以点M、N、M '、N为顶点的平行四边形有4种情况：抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN M '（如图2）；抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN M '（如图2）；抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNMN'（如图3）；抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNMN'（如图3）. 考点伸展本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D,那么△ MM D的面积S 关于m有怎样的函数关系？如图4,△ MM D是等腰三角形，由M（—1,4）、M （— 1 + m, 4）,可得点D的横坐标为1 34) m 2m .图4例3 2018年上海市松江区中考模拟第24题如图1,已知抛物线y=—x2+ bx+ c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)求tan/ABO 的值；(3)过点B作BC丄x轴，垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB 于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标.所以抛物线的解析式是(2)在 Rt △ BOC 中, 9xOC = 4, BC = 3，所以 OB = 5.如图2,过点A 作AH 丄OB ,垂足为H . 在 RfAOH 中, OA= 1, sin AOH sin OBC 4,所以 AH OA sin AOH 4 .动感体验请打开几何画板文件名 “1：松江24”，拖动点N 在直线AB 上运动，可以体验到，以 M 、 N 、C 、B 为顶点的平行四边形有 4个,符合MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形 MNCB 只有一个.请打开超级画板文件名 “13松江24”，拖动点N 在直线AB 上运动，可以体验到， MN 有4次机会等于3,这说明以M 、N 、C 、B 为顶点的平行四边形有 4个，而符合MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形 MNCB 只有一个.思路点拨1. 第(2)题求/ ABO 的正切值，要构造包含锐角/ABO 的角直角三角形.2. 第(3)题解方程 MN = y M — y N = BC ,并且检验x 的值是否在对称轴左侧.满分解答(1) 将 A(0, 1)、B(4, 3)分别代入 y =— x 2 + bx + c ,得c 1,16 4b c 3.9解得b , c = 1.22 229 12那么 MN ( x 2 —x 1) (—x 1)x 24x •2 2当四边形 MNCB 是平行四边形时， MN = BC = 3.55在 Rt △ ABH 中， tan ABOAH 422 2BH 5 5 11（3）直线AB 的解析式为y 1 x 1.2设点M 的坐标为 (x, x 2 9 x 1)，占八N 的坐 1 标为（x, x所以 OH 3 , BH OB OH 竺•1)，解方程一x2+ 4x= 3，得x= 1 或x= 3.考点伸展第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN = y M —y N或MN = y N—y M.由y N—y M= 4x—x2,解方程x2—4x = 3,得x 2 , 7 （如图5）.所以符合题意的点M有4个：（1,|），（3,11），（2 可5^7）(27,（如图3）.图5如图1,在Rt △ ABC 中，/ C = 90° AC = 6, BC = 8,动点P 从点A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点 Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点 P 作PD//BC ，交AB 于点D ，联结PQ .点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 (1 )直接用含t 的代数式分别表示： QB= __________ , PD = _______(2) 是否存在t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点 Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度；动感体验请打开几何画板文件名 “12福州21”，拖动左图中的点 P 运动，可以体验到，PQ 的中点M 的运动路径是一条线段•拖动右图中的点 Q 运动，可以体验到，当 PQ//AB 时，四边形PDBQ 为菱形.请打开超级画板文件名 “12福州21”，拖动点Q 向上运动，可以体验到，PQ 的中点M 的运动路径是一条线段. 点击动画按钮的左部，Q 的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB 时，四边形PDBQ 为菱形•点击动画按钮的中部， Q 的速度变成1.思路点拨1.菱形PDBQ 必须符合两个条件，点P 在/ ABC 的平分线上，PQ//AB .先求出点P运动的时间t ，再根据PQ//AB ，对应线段成比例求 CQ 的长，从而求出点 Q 的速度.2•探究点 M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点 M 的路径.满分解答(1) QB = 8 — 2t , PD = 4t .3(2) 如图3，作/ ABC 的平分线交 CA 于P ,过点P 作PQ//AB 交BC 于Q ,那么四边形PDBQ 是菱形.t 秒（t >0. (3)如图2,在整个运动过程中，求出线段R图3过点P作PE丄AB，垂足为E,那么BE= BC = 8.例5在 Rt △ ABC 中，AC = 6, BC = 8，所以 AB = 10.在 Rt △ APE 中，cosA AE2 3，所以 t 巴.AP t 53c1当 PQ//AB 时，CQCP, 即CQ 6空 .解得CQ 32CB CA8 69所以点Q 的运动速度为32 10 16.9 315(3) 以C 为原点建立直角坐标系.如图4,当t = 0时，PQ 的中点就是 AC 的中点E(3, 0). 如图5,当t = 4时，PQ 的中点就是 PB 的中点F(1 , 4). 直线EF 的解析式是y =— 2x + 6.如图6, PQ 的中点M 的坐标可以表示为( 乞丄,t ).经验证，点 M ( LJ , t )在直2 2线 EF 上.所以PQ 的中点M 的运动路径长就是线段 EF 的长，EF = 2 一 5 .考点伸展第(3)题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t = 2时，PQ 的中点为(2, 2). 设点M 的运动路径的解析式为y = ax 2+ bx + c ,代入E(3, 0)、F(1, 4)和(2, 2),9a 3b c 0,得 a b c 4, 解得 a = 0, b =— 2, c = 6. 4a 2b c 2.所以点M 的运动路径的解析式为 y = — 2x + 6.如图1,在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以 A 为顶点的抛物线 y = ax 2 + bx + c 过点C •动点P 从点A 出发，沿线段 AB 向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段 CD 向点D 运动.点P 、Q 的运动速度均为每秒 1个单位，运动时间为t 秒.过点P 作PE 丄AB 交AC 于点E .(1) 直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；图6(2)过点E作EF丄AD于F，交抛物线于点G,当t为何值时，△ ACG的面积最大？最大值为多少？(3)在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H , 使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.A e动感体验请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB 的中点时，△ ACG的面积最大.观察右图，我们构造了和△ CEQ中心对称的△ FQE和厶ECH ；可以体验到，线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F，线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H',因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个.请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB 的中点时，即t = 2, △ ACG的面积取得最大值1.观察CQ , EQ, EC的值，发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个.点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。

2018中考数学专题复习动点通关51题(PDF 含答案)

的坐标；为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接，设平行四边形的面积为．的值． h ，，，以
落在该二次函数图象上时，请直接写出此时 h 与直线 h 交于两点，，与
轴交于点，
（1）求抛物线的解析式；（ 2）设作，是线段上异于的两个动点（点在点的右上方），轴的平行线，交抛物线于，设点作的横坐标为，的面积为，把表示为的的 h ，过点
函数，并求自变量的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点 9. 如图，在 Rt 均以每秒的速度沿位置，使 ‸ h 中， ?如果能，求出此时点 h h，， h 轴的平行线，交抛物线于 ‸，试问能不能适当选择点的坐标；如果不能，请说明理由． h cm．动点，从点 cm，分别从点出发，以每秒
点
同时出发， cm
cm 的速度分别沿向终点
向终点，移动，同时动点，
移动，连接
，设移动时间为（单位：秒）（h t t ）．
（1）当为何值时，以，，存在，请说明由．
为顶点的三角形与的面积
相似? 有最小值?若存在，求出㐠 h 的最小值；若不与㐠 h
（2）是否存在某一时刻，使四边形
逆时针旋转 h 得到线段，连接
，且点
恰好落在抛物线
上?若存在，求上的动点，将
11. 如图，在长方形
h ，是
边的中点，是线段的最小值.
，求
12. ，分别是不等边三角形面上的动点，连接（1）如图，当点，在
（即，点 ‸，分别是，
）的边
，
的中点，是
所在平，．
的内部时，求证：四边形 ‸
th且
、

2018年中考数学压轴题专题汇编36 动点综合问题 (解析版)

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，学生需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答．考点：1．圆的综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．压轴题．归纳3：动点问题的图象基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合．基本方法归纳：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是抛物线．注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势．【例3】（山东省济南市）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）A． B．　C． D．【答案】D．【分析】先求出DN，判断点Q到D点时，DP⊥AB，然后分三种情况分别用三角形的面积公式计算即可．【点评】此题是动点问题的函数图象，考查了三角形的面积公式，矩形的性质，解本题的关键是分段画出图象，判断出点Q在线段CD时，PQ⊥AB是易错的地方．考点：1．动点问题的函数图象；2．分类讨论；3．分段函数；4．综合题．☞2年中考【题组】一、选择题1．（山东省泰安市）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）A． B．C． D．【答案】C．【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得△BPD∽△CAP 是关键．考点：动点问题的函数图象．．．．．象为：，故选A ．B ．C ． D ．【答案】C ．【分析】分P 在AB 、BC 、CD 、AD 上四种情况，表示出y 与x 的函数解析式，确定出大致图象即可．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．考点：1．动点问题的函数图象；2．动点型；3．分段函数；4．分类讨论；5．函数思想．4．（湖北省荆州市）如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧上不与点A 、点C 重合的一个动点，连接AD 、CD ，若∠APB =80°，则∠ADC 的 ABC 度数是（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】C ．【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA ，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．，已，运动一周，同时另一端点运动的总路程为M E 2550）时，四边形8、C的坐标；若不存在，请说明理由；为该抛物线上一动点，在（39【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．1（3）如图，当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P1，P之间运动，∴P1O=PO=3，AO=9，∴AP的最大值为12，AP的最小值为6．【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解本题的关键是作出辅助线．考点：1．菱形的性质；2．最值问题；3．动点型．）根据矩形的性质和勾股定理得到251139，得出比例式求出的二次函数，由二次函数的性质即可得出结点较多，综合性很强，难度适中．．二次函数综合题；A D）中确定出满足条件的（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．【点评】本题是二次函数的综合问题，综合性较强；考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并利用方程组求图象的交点坐标，将函数和方程有机地结合，进一步把函数简单化；同时还考查了相似的性质：在二次函数的问题中，如果利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．动点型；5．存在型；6．压轴题．23．（四川省凉山州）如图，已知抛物线（a ≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，2y ax bx c =++﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）；（2）P （1，0）；（3）．223y x x =--【分析】（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA =AC 、②MA =MC 、③AC =MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．①若MA =MC ，则，得：=，解得：m =﹣1；22MA MC =24m +2610m m ++y=【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．压轴题．26．（浙江省宁波市）如图，已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点32++-=mx x y B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求点P 的坐标．【答案】（1） m =2，顶点坐标为：（1，4）；（2）（1，2）．【分析】（1）首先把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线，利用待定系数法即可求得m 的32++-=mx x y 值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA +PC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC 的解析式，继而求得答案．【解析】（1）把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线得：，解得：32++-=mx x y 20333m =-++m =2，∴ =，∴顶点坐标为：（1，4）．223y x x =-++2(1)4x --+。

河南省中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练

专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图.∠MAN＝90°.点C在边AM上.AC＝4.点B为边AN上一动点.连接BC.△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.点D.E分别为AC.BC的中点.连接DE并延长交A′B所在直线于点F.连接A′E.当△A′EF为直角三角形时.AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况：①∠A′EF＝90°.②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时.如解图①.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴A′C＝AC＝4.∠ACB＝∠A′CB.∵点D.E分别为AC.BC的中点.∴D、E是△ABC的中位线.∴DE∥AB.∴∠CDE＝∠MAN＝90°.∴∠CDE＝∠A′EF.∴AC∥A′E.∴∠ACB＝∠A′EC.∴∠A′CB＝∠A′EC.∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中.∵E是斜边BC的中点.∴BC＝2A′E＝8.由勾股定理.得AB2＝BC2－AC2.∴AB＝82－42＝43；②当∠A′FE＝90°时.如解图②.∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴∠ABC＝∠CBA′＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形.∴AB＝AC＝4；综上所述.AB的长为43或4.图①图②1．如图.四边形ABCD是菱形.AB＝2.∠ABC＝30°.点E是射线DA上一动点.把△CDE沿CE折叠.其中点D 的对应点为D′.连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形.则DE＝________________.2．如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AB＝5.AC＝4.E、F分别为AB、AC上的点.沿直线EF将∠B折叠.使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时.BE的长为______．3．(2017·河南)如图.在Rt△ABC中.∠A＝90°.AB＝AC.BC＝2＋1.点M.N分别是边BC.AB上的动点.沿MN所在的直线折叠∠B.使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形.则BM的长为__________．4．(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4.∠DAB＝60°.点M、N分别在边AD、AB上.且MN⊥AC.垂足为P.把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形.则AP的长为____________．5．(2017·三门峡一模)如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AB＝5.AC＝3.点D是BC上一动点.连接AD.将△ACD沿AD折叠.点C落在点C′.连接C′D交AB于点E.连接BC′.当△BC′D是直角三角形时.DE的长为______．6．(2018·盘锦)如图.已知Rt△ABC中.∠B＝90°.∠A＝60°.AC＝23＋4.点M、N分别在线段AC、AB 上．将△ANM沿直线MN折叠.使点A的对应点D恰好落在线段BC上.当△DCM为直角三角形时.折痕MN的长为__________．7．(2018·乌鲁木齐)如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.BC＝2 3.AC＝2.点D是BC的中点.点E是边AB上一动点.沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置.B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形.则AE的长为________．8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD 中.AB ＝5.AC ＝8.点P 是对角线AC 上的一个动点.过点P 作EF 垂直AC 交AD 于点E.交AB 于点F.将△AEF 折叠.使点A 落在点A′处.当△A′CD 为等腰三角形时.AP 的长为______．9．(2018·濮阳一模)如图.在Rt△ABC 中.∠C＝90°.AC ＝3.BC ＝4.点D.E 为AC.BC 上两个动点．若将∠C 沿DE 折叠.点C 的对应点C′恰好落在AB 上.且△ADC′恰好为直角三角形.则此时CD 的长为__________．类型二点的位置不确定(2016·河南)如图.已知AD∥BC .AB⊥BC .AB ＝3.点E 为射线BC 上一个动点.连接AE.将△ABE 沿AE折叠.点B 落在点B′处.过点B′作AD 的垂线.分别交AD.BC 于点M.N.当点B′为线段MN 的三等分点时.BE 的长为________．【分析】根据勾股定理.可得EB′.根据相似三角形的性质.可得EN 的长.根据勾股定理.可得答案．【自主解答】由翻折的性质.得AB ＝AB′.BE ＝B′E.①当MB′＝2.B′N＝1时.设EN ＝x.得B′E＝x 2＋1.由△B′EN～△AB′M .EN B′M ＝B′E AB′.即x 2＝x 2＋13.x 2＝45.BE ＝B′E＝45＋1＝355； ②当MB′＝1.B′N＝2时.设EN ＝x.得B′E＝x 2＋22.△B′EN∽△AB′M .EN B′M ＝B′E AB′.即x 1＝x 2＋43.解得x 2＝12.BE ＝B′E＝12＋4＝322.故答案为：322或355.1．如图.正方形ABCD 的边长为9.将正方形折叠.使D 点落在BC 边上的点E 处.折痕为GH.若点E 是BC 的三等分点.则线段CH 的长是_______．2．(2018·林州一模)在矩形ABCD中.AB＝4.BC＝9.点E是AD边上一动点.将边AB沿BE折叠.点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.则AE的长为__________．3．(2015·河南)如图.矩形ABCD中.AD＝5.AB＝7.点E为DC上一个动点.把△ADE沿AE折叠.当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时.DE的长为______．4．(2017·商丘模拟)如图.在矩形ABCD中.AD＝5.AB＝8.点E为射线DC上一个动点.把△ADE沿直线AE 折叠.当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时.则DE的长为__________．5．如图.在矩形ABCD中.BC＝6.CD＝8.点P是AB上(不含端点A.B)任意一点.把△PBC沿PC折叠.当点B 的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时.BP＝________．6．(2018·河南模拟)如图.△ABC中.AB＝ 5.AC＝5.tan A＝2.D是BC中点.点P是AC上一个动点.将△BPD 沿PD折叠.折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半.则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中.AB＝6.BC＝12.点E在边BC上.且BE＝2CE.将矩形沿过点E的直线折叠.点C.D的对应点分别为C′.D′.折痕与边AD交于点 F.当点 B.C′.D′恰好在同一直线上时.AF的长为__________________．类型三根据图形折叠探究最值问题如图.在矩形纸片ABCD中.AB＝2.AD＝3.点E是AB的中点.点F是AD边上的一个动点.将△AEF沿EF所在直线翻折.得到△A′EF.则A′C的长的最小值是________．【分析】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.根据折叠的性质可知A′E＝1.在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度.用CE－A′E即可求出结论．例3题解图【自主解答】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.如解图所示．根据折叠可知：A′E＝AE＝12AB＝1.在Rt△BCE中.BE＝12AB＝1.BC＝3.∠B＝90°.∴CE＝BE2＋BC2＝10.∴A′C的最小值＝CE－A′E＝10－1.故答案为10－1.1．(2019·原创)如图.在边长为10的等边三角形△ABC中.D是AB边上的动点.E是AC边的中点.将△ADE 沿DE翻折得到△A′DE.连接BA′.则BA′的最小值是__________．2．在矩形ABCD中.AD＝12.E是AB边上的点.AE＝5.点P在AD边上.将△AEP沿EP折叠.使得点A落在点A′的位置.如图.当A′与点D的距离最短时.△A′PD的面积为________．3．如图.在边长为4的正方形ABCD中.E为AB边的中点.F是BC边上的动点.将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F.连接B′D.则当B′D取得最小值时.tan∠BEF的值为__________．4．(2017·河南模拟)如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝4.BC＝6.点D是边BC的中点.点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合).沿DE翻折△DBE使点B落在点F处.连接AF.则线段AF的长取最小值时.BF 的长为_________．参考答案类型一针对训练1.3＋1或23－2 【解析】(1)当点E在边AD上时.过点E作EF⊥CD于F.如解图①.设CF＝x.第1题解图①∵∠ABC＝30°.∴∠BCD＝150°.∵△BCD′是等边三角形.∴∠DCD′＝90°.由折叠可知.∠ECD＝∠D′CE＝45°.∵EF＝CF＝x.在直角三角形DEF中.∠D＝30°.∴DE＝2x.∴DF＝3x.∴CD＝CF＋DF＝x＋3x＝2.解得x＝3x－1.∴DE＝2x＝23－2.(2)当E在DA的延长线上时.如解图②.第1题解图②过点B作BF⊥DA于点F.根据折叠可知.∠ED′C＝∠D＝30°.又∵三角形BD′C是等边三角形.∴D′E垂直平分BC.∵AD∥BC.∴D′E⊥AD.∵∠ABC＝30°∴∠BAF＝30°.又∵AB＝2.∴AF＝ 3.令D′E与BC的交点为G.则易知EF ＝BG ＝12BC ＝1.∴AE＝3－1.∴DE＝3＋1.综上所述.DE 的长度为3＋1或23－2. 2.158或157【解析】在Rt△ABC 中.∵∠C＝90°.AB ＝5.AC ＝4.∴BC＝3.沿直线EF 将∠B 折叠.使点B 恰好落在BC 上的D 处.当△ADE 恰好为直角三角形时.根据折叠的性质：BE ＝DE.设BE ＝x.则DE ＝x.AE ＝5－x.①当∠ADE＝90°时.则DE∥BC .∴DE CB ＝AE AB .∴x 3＝5－x 5.解得x ＝158；②当∠AED＝90°时.则△AED∽△ACB .∴DE BC＝AE AC .∴x 3＝5－x 4.解得x ＝157.故所求BE 的长度为：158或157. 3.122＋12或1 【解析】①如解图①.当∠B′MC＝90°.B′与A 重合.M 是BC 的中点.∴BM＝12BC ＝122＋12；②如解图②.当∠MB′C＝90°.∵∠A＝90°.AB ＝AC.∴∠C＝45°.∴△CMB′是等腰直角三角形.∴CM＝2MB′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B.使点B 的对应点为B′.∴BM＝B′M .∴CM＝2BM.∵BC＝2＋1.∴CM ＋BM ＝2BM ＋BM ＝2＋1.∴BM＝1.综上所述.若△MB′C 为直角三角形.则BM 的长为122＋12或1.图①图②第3题解图 4.433或23－2 【解析】①如解图①.当A′D＝A′C 时.∠A′DC＝∠A′CD＝30°.∴∠AA′D＝60°.又∵∠CAD＝30°.∴∠ADA′＝90°.在Rt△ADA′中.AA′＝AD cos 30°＝432＝833.由折叠可得AP ＝12AA′＝433；图①图②第4题解图②如解图②.当CD ＝CA′＝4时.连接BD 交AC 于O.则Rt△COD 中.CO ＝CD×cos 30°＝4×32＝2 3.∴AC ＝4 3.∴AA′＝AC －A′C＝43－4.由折叠可得AP ＝12AA′＝23－2；故答案为433或23－2. 5 .32或34【解析】如解图①所示.点E 与点C′重合时．在Rt△ABC 中.BC ＝AB 2－AC 2＝4.由翻折的性质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE.则EB ＝2.设DC ＝ED ＝x.则BD ＝4－x.在Rt△DBE 中.DE 2＋BE 2＝DB 2.即x 2＋22＝(4－x)2.解得x ＝32.∴DE＝32.图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：AC ＝AC′.∠C＝∠AC′D＝90°.∵∠C＝∠AC′D ＝∠CDC′＝90°.∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC＝AC′.∴四边形ACDC′为正方形．∴CD＝AC ＝3.∴DB＝BC －DC ＝4－3＝1.∵DE∥AC .∴△BDE∽△BCA.∴DE AC ＝DB CB ＝14.即ED 3＝14.解得DE ＝34.点D 在CB 上运动.∠DBC′＜90°.故∠DBC′不可能为直角．故答案为：32或34. 6.23＋43或 6 【解析】分两种情况：①如解图①.当∠CDM＝90°.△CDM 是直角三角形.∵在Rt△ABC 中.∠B＝90°.∠A＝60°.AC ＝23＋4.∴∠C＝30°.AB ＝12AC ＝3＋2.由折叠可得.∠MDN＝∠A＝60°.∴∠BDN＝30°.∴BN＝12DN ＝12AN.∴BN＝13AB ＝3＋23.∴AN＝2BN ＝233＋43.∵∠DNB＝60°.∴∠ANM ＝∠DNM＝60°.∴∠ANM＝60°.∴AN＝MN ＝23＋43.②如解图②.当∠CMD＝90°时.△CDM 是直角三角形.由题可得∠CDM＝60°.∠A＝∠MDN＝60°.∴∠BDN＝60°.∠BND＝30°.∴BD＝12DN ＝12AN.BN ＝3BD.又∵AB＝3＋2.∴AN＝2.BN ＝ 3.过N 作NH⊥AM 于H.则∠ANH＝30°.∴AH＝12AN ＝1.HN ＝ 3.由折叠可得∠AMN＝∠DMN＝45°.∴△MNH 是等腰直角三角形.∴HM＝HN ＝ 3.∴MN＝ 6.故答案为23＋43或 6.图①图②第6题解图7．3或145 【解析】∴∠C＝90°.BC ＝2 3.AC ＝2.∴tan B＝AC BC ＝223＝33.∴∠B＝30°.∴AB＝2AC ＝4.∵点D 是BC 的中点.沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′D′E 的位置.B′D 交AB 于点F.∴DB＝DC ＝ 3.EB′＝EB.∠DB′E＝∠B＝30°.设AE ＝x.则BE ＝4－x.EB′＝4－x.当∠AFB′＝90°时.在Rt△BDF 中.cos B ＝BF BD .∴BF＝3cos 30°＝32.∴EF＝32－(4－x)＝x －52.在Rt△B′EF 中.∵∠EB′F＝30°.∴EB′＝2EF. 则4－x ＝2(x －52).解得x ＝3.此时AE 为3；第7题解图当∠FB′A＝90°时.作EH⊥AB′于H.连接AD.如解图.∵DC＝DB′.AD ＝AD.∴Rt△ADB′≌Rt△ADC .∴AB′＝AC ＝2.∵∠AB′E＝∠AB′F＋∠EB′F＝90°＋30°＝120°.∴∠EB′H＝60°.在Rt△EHB′中.B′H＝12B ′E ＝12(4－x).EH ＝3B′H＝32(4－x).在Rt△AEH 中.∵EH 2＋AH 2＝AE 2.∴34(4－x)2＋[12(4－x)＋2]2＝x 2.解得x ＝145.此时AE 为145.综上所述.AE 的长为3或145. 8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形.∴AB＝BC ＝CD ＝AD ＝5.∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′.∴∠EPA＝∠FPA′＝90°.∴∠EAP＋∠AEP＝90°.∠FAP＋∠AFP＝90°.∴∠AEP＝∠AFP .∴AE＝AF.∵△A′EF 是由△AEF 翻折.∴AE＝EA′.AF ＝FA′.∴AE＝EA′＝A′F＝FA.∴四边形AEA′F 是菱形.∴AP＝PA′.①当CD＝CA′时.∵AA′＝AC －CA′＝3.∴AP ＝12AA′＝32.②当A′C ＝A′D 时.∵∠A′CD ＝∠A′DC ＝∠DAC .∴△A′CD∽△DAC.∴A′C AD ＝DC AC .∴A′C＝258.∴AA′＝8－258＝398.∴AP＝12AA′＝3916.故答案为32或3916. 9.127或43【解析】①如解图①.当∠ADC′＝90°时.∠ADC′＝∠C .第9题解图①∴DC′∥CB .∴△ADC′∽△ACB.又∵AC＝3.BC ＝4.∴AD DC′＝34.设CD ＝C′D＝x.则AD ＝3－x.∴3－x x ＝34.解得x ＝127.经检验：x ＝127是所列方程的解.∴CD＝127；②如解图②.当∠DC′A＝90°时.∠DCB＝90°.第9题解图②由折叠可得.∠C ＝∠DC′E ＝90°.∴C′B 与CE 重合.由∠C ＝∠AC′D ＝90°.∠A ＝∠A .可得△ADC′∽△ABC .在Rt △ABC 中.AB ＝5.∴AD C′D ＝AB CB ＝54.设CD ＝C′D＝x.则AD ＝3－x.∴3－x x ＝54.解得x ＝43.∴CD＝43.综上所述.CD 的长为127或43. 类型二针对训练1．4或52 【解析】设CH ＝x.则DH ＝EH ＝9－x.当BE∶EC＝2∶1时.BC ＝9.∴CE＝13BC ＝3.在Rt△ECH 中.EH 2＝EC 2＋CH 2.即(9－x)2＝32＋x 2.解得x ＝4.即CH ＝4.当BE∶EC＝1∶2时.CE ＝23BC ＝6.在Rt△ECH 中.EH 2＝EC 2＋CH 2.即(9－x)2＝62＋x 2.解得：x ＝52.即CH ＝52.故CH 的长为4或52. 2.477或4155【解析】如解图.过点A′作A′M⊥AD 于M 交BC 于N.则四边形ABNM 是矩形.∴AB＝MN ＝4.∵若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.∴A′M＝1.A′N＝3或A′M＝3.A′N＝1.①当A′M＝1.A′N ＝3时.在Rt△BA′N 中.BN ＝42－32＝7.∴AM ＝BN ＝7.由△A′EM～△BA′N .∴EM A′N ＝A′M BN .∴EM 3＝17.∴EM＝377.∴AE＝477；②当A′M＝3.A′N＝1时.同理可得AE ＝4155.,第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图.连接BD′.过D′作MN⊥AB .交AB 于点M.CD 于点N.作D′P⊥BC 交BC 于点P.∵点D 的对应点D′落在∠ABC 的平分线上.∴MD′＝PD′.设MD′＝x.则PD′＝BM ＝x.∴AM＝AB －BM ＝7－x.又由折叠图形可得AD ＝AD′＝5.∴x 2＋(7－x)2＝25.解得x ＝3或4.即MD′＝3或4.在Rt△END′中.设ED′＝a.①当MD′＝3时.AM ＝7－3＝4.D′N＝5－3＝2.EN ＝4－a.∴a 2＝22＋(4－a)2.解得a ＝52.即DE ＝52；②当MD′＝4时.AM ＝7－4＝3.D′N＝5－4＝1.EN ＝3－a.∴a 2＝12＋(3－a)2.解得a ＝53.即DE ＝53.综上所述.DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况：①如解图①.当点F 在矩形内部时.∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上.∴AN ＝4.∵AF＝AD ＝5.由勾股定理得FN ＝3.∴FM＝2.设DE 为x.则EM ＝4－x.FE ＝x.在△EMF 中.由勾股定理.得x 2＝(4－x)2＋22.∴x＝52.即DE 的长为52；图①图②第4题解图②如解图②.当点F 在矩形外部时.同①的方法可得FN ＝3.∴FM＝8.设DE 为y.则EM ＝y －4.FE ＝y.在△EMF 中.由勾股定理.得y 2＝(y －4)2＋82.∴y＝10.即DE 的长为10.综上所述.点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时.DE 的长为52或10. 5．3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上.如解图①.∵在矩形ABCD 中.AB ＝8.BC ＝6∴∠ABC＝90°.AC ＝BD.∴AC＝BD ＝62＋82＝10.根据折叠的性质.得PC⊥BB′.∴∠PBD＝∠BCP .∴△BCP∽△ABD .∴BP AD ＝BC AB.即BP 6＝68.解得BP ＝92；②点A 落在矩形对角线AC 上.如解图②.根据折叠的性质.得BP ＝B′P .∠B＝∠PB′C ＝90°.∴∠AB′A＝90°.∴△APB′∽△ACB .∴B′P BC ＝AP AC .即BP 6＝8－BP 10.解得BP ＝3.故答案为：3或92.图①图②第5题解图6．2或5－ 5 【解析】分两种情况：①当点B′在AC 的下方时.如解图①.∵D 是BC 中点.∴S △BPD ＝S △PDC .∵S △PDF ＝12S △BPD .∴S △PDF ＝12S △PDC .∴F 是PC 的中点.∴DF 是△BPC 的中位线.∴DF∥BP .∴∠BPD＝∠PDF .由折叠得：∠BPD＝∠B′PD .∴∠B′PD＝∠PDF .∴PB′＝B′D .即PB ＝BD.过B 作BE⊥AC 于E.在Rt△ABE中.tan A ＝BE AE＝2.∵AB＝ 5.∴AE＝1.BE ＝2.∴EC＝5－1＝4.由勾股定理.得BC ＝BE 2＋EC 2＝22＋42＝2 5.∵D 为BC 的中点.∴BD＝ 5.∴PB＝BD ＝ 5.在Rt△BPE 中.PE ＝1.∴AP＝AE ＋PE ＝1＋1＝2；图①图②第6题解图②当点B′在AC 的上方时.如解图②.连接B′C .同理得：F 是DC 的中点.F 是PB′的中点.∴DF＝FC.PF ＝FB′.∴四边形DPCB′是平行四边形.∴PC＝B′D＝BD＝ 5.∴AP＝5－ 5.综上所述.AP的长为2或5－5.7．8＋23或8－2 3 【解析】由折叠的性质得.∠EC′D′＝∠C＝90°.C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上.∴∠BC′E＝90°.∵BC＝12.BE＝2CE.∴BE＝8.C′E＝CE＝4.在Rt△BC′E中.BE C′E＝2.∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时.如解图①.过E作EG⊥AD于G.延长EC′交AD于H.则四边形ABEG是矩形.∴EG＝AB＝6.AG＝BE＝8.∵∠C′BE＝30°.∠BC′E＝90°.∴∠BEC′＝60°.由折叠的性质得.∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC.∴∠HFE＝∠CEF＝60°.∴△EFH是等边三角形.∴在Rt△EFG 中.EG＝6.∴GF＝23.∴AF＝8＋23；②当点C′在BC的下方时.如解图②.过F作FG⊥AD于G.D′F交BE于H.同①可得.四边形ABGF是矩形.△EFH是等边三角形.∴AF＝BG.FG＝AB＝6.∠FEH＝60°.在Rt△EFG 中.GE＝23.∵BE＝8.∴BG＝8－2 3.∴AF＝8－2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1．53－5 【解析】如解图.连接BE.第1题解图∵AB＝BC＝AC＝10.∴∠C＝60°.∵AB＝BC.E是AC的中点.∴BE⊥AC.∴BE＝BC2－EC2＝102－52＝53.∵AC＝10.E是AC边的中点.∴AE＝5.由翻折的性质可知A′E＝AE＝5.∵BA′＋A′E≥BE.∴当点B、A′、E在一条直线上时.BA′有最小值.最小值＝BE－A′E＝53－5.2.403【解析】连接DE.DE＝52＋122＝13.∵将△AEP沿FP折叠.使得点A落在点A′的位置.∴EA′＝EA＝5.∵A′D≥DE－EA′第2题解图(当且仅当A′点在DE 上时.取等号).∴当A′与点D 的距离最短时.A′点在DE 上.∴DA′＝13－5＝8.设PA′＝x.则PA ＝x.PD ＝12－x.在Rt△DPA′中.x 2＋82＝(12－x)2.解得x ＝103.∴△A′PD 的面积＝12×8×103＝403. 3.1＋52【解析】在Rt△ADE 中.DE ＝22＋42＝2 5.当B′在ED 上时.B′D 最小.在ED 上截取EB′＝EB ＝2.连接B′F .FD.则B′D＝ED －EB′＝25－2.设BF ＝x.则B′F＝x.CF ＝4－x.在Rt△B′FD 和Rt△FCD 中.利用勾股定理.可得DB′2＋B′F 2＝DF 2＝CF 2＋DC 2.即(25－2)2＋x 2＝(4－x)2＋42.解得x ＝5＋1.∴Rt△BEF 中.tan∠BEF＝BF BE ＝1＋52.第3题解图4.1255【解析】由题意得：DF ＝DB.第4题解图∴点F 在以D 为圆心.BD 为半径的圆上.作⊙D; 连接AD 交⊙D 于点F.此时AF 值最小.∵点D 是边BC 的中点.∴CD＝BD ＝3；而AC ＝4.由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2.∴AD＝5.而FD ＝3.∴FA＝5－3＝2.即线段AF长的最小值是2.连接BF.过F 作FH⊥BC 于H.∵∠ACB＝90°.∴FH∥AC .∴△DFH∽△DAC .∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC.即35＝DH 3＝HF 4.∴HF＝125.DH ＝95.∴BH＝245.∴BF＝BH 2＋HF 2＝1255.。

2018年吉林中考数学总复习动点问题练习含答案

QDDN32018吉林中考数学总复习动点问题??tan?QPD?4PDDM．3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，（因动点产生的等腰三角形问题练习BA3?C?tan?成绩：年班姓名4CA．所以∠QPD＝∠C在Rt△ABC．中，，于点ED＝8，点为边BC的中点，DE⊥BC交边ACABRt1.如图1，在△ABC中，∠A＝90°，＝6，AC由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ90上的一动点，点点P为射线ABQ为边AC上的一动点，且∠PDQ＝°．．因此△PDF ∽△CDQ．EC（1）求ED、的长；当△＝2，求CQ的长；PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．（2）若BP①如图5，当BPPQ（3）记线段与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求的长．CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．44453?PM?QN??BP?BMPM??3333．．所以此时CH5425?Ccos???CQ备用图图1 CQ285．，可得时，由，当②如图6QC＝QD ＝10．，所以，Rt解：（1）在△ABC中，AB＝6AC＝8BC15325725??5?CCDED??tan???4?EC 44848（如图在，．＝2所示）所以，所以QN＝CN－CQ．CDRt△CDE中，＝5 ⊥⊥作，过点）如图2DDMAB，DNAC是、N，那么DMDN、，垂足分别为M （272574???PM?3BP?BM?QNPM?＝，＝△ABC的两条中位线，DM4DN3．6663．．所以此时MDN＝90QDN．＝∠°，可得∠PDM°，∠＝由∠PDQ90③不存在DP＝．∽△因此△PDMQDN DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．4DMPM43??QNQNPMPM??3DNQN34．所以，．所以图5 图62.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（ 3 图图2 4图1）求抛物线的函数关系式；（2 ．1PM上时，BMP，2BP，当3①如图＝在＝）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的19333??CQ?4?QN?CN?PM?QN坐标；若不存在，请说明理由．4444此时．．所以PM的延长线上时，MB在，2＝BP，当4②如图P5＝．3115153??CN?CQ?QN4??PM?QN 4444此时．所以．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，3??a6)2a?(?2,??23)?23??(6．．解得，代入点B33232x4)???y??xx(x?366．所以抛物线的解析式为（3图1 ）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．＋，1)(x－3)1,0)x解：（1）因为抛物线与轴交于A(－、B(3, 0)两点，设y＝a(x y??23．．解得4时，OP2＝16．所以4+y2＝16①当OP＝OB＝1．＝3．解得a＝－3a代入点C(0 ,3)，得－．＋32x3)(x所以抛物线的函数关系式是y＝－＋1)(x－＝－x2＋(2,23)时，B、O、PP在三点共线（如图2）．当12（2）如图，抛物线的对称轴是直线x＝．PACPA上时，＋PC最小，△的周长最小．P当点落在线段BC223?2?y?y16??243)?(y 4时，BP2＝16．．所以．解得＝②当BPBO＝21．x设抛物线的对称轴与轴的交点为H PHBH?2222322y??y4y?(?23)??．解得＝③当PB＝PO时，PB2PO2．．所以COBO．BHPHCO，BO＝，得＝＝由2 所以点(1, 2)的坐标为．P3)2(2,?的坐标为所示．，如图2综合①、②、③，点P2图66? M3（）点的坐标为(1, 1)、(1,))(1,0)、(1,．或°至顺时针旋转O120OB的位置．绕点，将线段＝轴上，在，点如图3.1AxOA4OA的坐标；）求点（1B 、、OB的抛物线的解析式；）求经过（2A为顶点的三角形是等腰三角形？若，使得以点）在此抛物线的对称轴上，是否存在点3PPB、、O（存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．P3图图24x?y3 B．，且与x轴交于点74.如图1，已知一次函数y＝－x＋的图象交于点与正比例函数A 的坐标；A和点B（1）求点出OP从点，过点B作直线l//y轴．动点y（2）过点A作AC⊥轴于点C运动；同时直AC—A的路线向点—发，以每秒1个单位长的速度，沿O轴于x出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l1 图交l线从点BlP和直线P到达点A时，点．当点．C 轴，垂足为y⊥作B，过点）如图1（解：2BC或线段点R，交线段BAAO于点Q秒．都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t3OC?2 BOC中，∠OBC△在Rt，所以4＝OB2＝BC，．°，30＝？为顶点的三角形的面积为、AP、R8为何值时，以①当t的为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求、、②是否存在以APQt3)(?2,?2．的坐标为所以点B 值；若不存在，请说明理由．] [键入文字226图1 ?t43．412267,??x?y?438?时，△APQ是等腰三角形．或5 t综上所述，＝1或或3,x??4?,y?x??4.y?3??）解方程组．(3，4) 所以点A的坐标是得1解：（0?x?7y??7?x令．(7，0)．所以点B 的坐标是，得8S??S?SS?，得，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由（2）①如图2R△APRPO△△ACPA梯形COR 1118)?(7??t(4?4??t)??t（3+7?t)?42012?8tt??222．如（舍去）t＝6．解得t．整理，得＝2或图5 图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．图6图7为顶点的三角形的面积为＝因此，当t2时，以A、P、R8．5.如图1，在矩形ABCD中，AB＝m （m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？12?y m，要使△DEF（3为等腰三角形，）若m的值应为多少？4 图图2 3 图＜0≤t4．上运动时的情形，②我们先讨论P在OC2AB4?＞．因此∠OABOB，所以745AOB45AOB如图1，在△中，∠B＝°，∠＞°，OB＝＞，AB图．B 1＞∠AOB∠解：(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠，所以＝向由，点如图4POC运动的过程中，OPBR＝RQPQ//x轴．B＝90°，所以△°保持不变，∠＝因此∠AQP45PAQ越来越大，所以只存在∠APQ的情况．＝∠AQP m8?x18DCEB?2xx??y??．＝，＝＝＝的垂直平分线上，此时点A在PQOR2CA6．所以BR1t1yxmCEBFm．∽△EBFy．因此关于x，即的函数关系为．整理，得DCE ．＜上运动时的情形，CA4≤t7在我们再来讨论P2035511??tOROAOQOAAQ?????cosA?22?4)2??y??(xx?x?t7??AP3353中，在△APQ ．为定值，，88．因此当x＝4时，y时，取得最大值为2．，当(2)如图2m＝841205?t?tt7??833 AQAP，当5如图＝时，解方程，得．1218122?x??x?y24)]??7tt?()?2[(7t??8x?x12?0mmm m，QP当6如图，AP的垂直平分线上，PA在＝OP)－2(OR．解方程Q点时，＝QA．解得．整理，得x(3) ＝若2或，那么x＝6．要使△DEF5t?为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y ＝2代得．12121y?y?AQ3520mm2，得m＝2＝＝；将3入6m，得＝（如图）xy 6代入（如图4）．?2(7?)?tt??A?cos A?cos?AP2AQ?533AP，得，当7如PQ＝PA．因此时，那么．解方程3＝GM＝x，PM＝EG．＝在矩形EGMP中，EP．中，在平行四边形BMQEBM＝EQ＝1＋x ．所以BG＝PQ＝1 2PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝．因为PM与NH平行且相等，所以73，PH ＝2，所以PN．在Rt△PNH中，NH＝＝4．在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4 图 3 图2图73的周长为．＋因此△PMN＋4BC＝AB4，交CD于点F，作是中，6.如图1，在等腰梯形ABCDAD//BC，EAB的中点，过点EEF//BC，∠B°．＝60＝6 到EBC的距离；（1）求点，⊥P（2）点为线段EF上的一个动点，过点P 作PMEF交BC于NM过作MN//AB交折线ADC于M，＝，设EPx．连结PN的周长；若的形状是否发生改变？若不变，求出△PMNPMN①当点N在线段AD上时（如图2），△改变，请说明理由；5图PMN）在线段②当点NDC上时（如图3，是否存在点P，使△为等腰三角形？若存在，请求出所有满图4恒为等边三角形．的值；若不存在，请说明理由．x DC②当点N在线段上时，△CMN足条件的的平分线上．关于直线PC对称，点P在∠DCB如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC3．30°，所以MC＝在Rt△PCM中，PM3＝，∠PCM＝．的中点，x＝2、此时M、P分别为BCEF33＝5．－，x＝GM＝GC＝如图6，当MP＝MN时，MPMN＝MC－＝MC2 图1 图°．PNM＝120＝时，∠图3 NMP＝∠NPM30°，所以∠，当如图7NP＝NM1解：（）如图重合．P与F又因为∠FNM＝120 GBCEGE4，过点作⊥于．°，所以．＝4此时x12BEAB 32 60中，△Rt在BEG＝，∠B°，时，△PMN为等腰三角形．或5－综上所述，当x＝2或43BE?EG??60sin?1?60?cos?BEBG?．所以3所以点BC到E的距离为．是F的中点，所以是E，）因为2（AD//EF//BCABDC的中点．ABCD是梯形EF因此4＝的中位线，EF．8 7 的形状不是否发生改变．PMN上时，△AD在线段，当点4①如图N图6 图图于EF⊥NH作N过点交于点NM与PH，设HQ．] [键入文字。

江苏省2018年中考数学选择填空压轴题专题4函数的动点问题(含答案)

专题04 函数的动点问题例1．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD的面积y（单位：cm 2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b的和为___________．同类题型1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A． B．C．D．同类题型1.2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A 出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．同类题型1.3 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，一个以点B为顶点的60°角绕点B旋转，这个角的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点P、Q，设DP＝x，DQ＝y，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．例2．如图，等边△ABC 的边长为2cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿AC 向点C 运动，到达点C 停止；同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB －BC 向点C 运动，到达点C 停止，设△APQ 的面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．同类题型2.1 如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE －ED －DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm/s ．若P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（）A ．AE ＝12cmB ．sin ∠EBC ＝74C ．当0＜t ≤8时，y ＝72t 2 D ．当t ＝9s 时，△PBQ 是等腰三角形同类题型2.2 矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 从点B 出发以每秒2个单位长的速度沿BA －AD －DCD 的方向运动到C 点停止，动点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 方向运动到C 点停止，假设P 、两点同时出发，运动时间是t 秒，y ＝S △PBQ ，则y 与t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．同类题型2.3 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B →C →D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（）A．B．C．D．例3．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点P从B点出发且以1cm/s的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A． B．C． D．同类题型3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l 从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．同类题型3.2（2015秋﹒荆州校级月考）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ．设AP ＝x ，当△APQ 的面积为14 3 时，则x 的值为（）A ．2 21B ．2 21 或14C ．2或2 21 或14D ．2或14同类题型3.3 如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么AD 的长为____________．例4．如图，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，四边形DEFG 为矩形，DE ＝2 3 cm ，EF ＝6cm ，且点C 、B 、E 、F 在同一条直线上，点B 与点E 重合．Rt △ABC 以每秒1cm 的速度沿矩形DEFG 的边EF 向右平移，当点C 与点F 重合时停止．设Rt △ABC 与矩形DEFG 的重叠部分的面积为y cm 2，运动时间xs ．能反映y cm 2与xs 之间函数关系的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．同类题型4.1 如图，菱形ABCD 的边长为1，菱形EFGH 的边长为2，∠BAD ＝∠FEH ＝60°点C 与点E 重合，点A ，C （E ），G 在同一条直线上，将菱形ABCD 沿C ⇒G 方向平移至点A 与点G 重合时停止，设点C 、E 之间的距离为x ，菱形ABCD 与菱形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A． B．C．D．同类题型4.2 如图，等边△ABC的边AB与正方形DEFG的边长均为2，且AB与DE在同一条直线上，开始时点B与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设BD的长为x，△ABC与正方形DEFG重叠部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．同类题型4.3 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．参考答案例1．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD的面积y（单位：cm 2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b的和为___________．解：由图②可知点P从A点运动到B点的时间为10s，又因为P点运动的速度为1cm/s，所以AB＝10×1＝10（cm），由AD＝9可知点P在边BC上的运动时间为9s，所以a＝10＋9＝19；分别过B点、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．由图②知S△ABD＝36，则12×9×BE＝36，解得BE＝8，在直角△ABE中，由勾股定理，得AE＝AB 2－BE2＝6．易证△BAE≌△CDF，则BE＝CF＝8，AE＝DF＝6，AF＝AD＋DF＝9＋6＝15．在直角△ACF中，由勾股定理，得CA＝AF 2＋CF2＝17，则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17s，所以b＝19＋17＝36，a＋b＝19＋36＝55．同类题型1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A ．B ．C ．D ．解：∵AE ⊥EF ，∴∠AEB ＋∠FCE ＝90°∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠C ＝90° AB ＝BC ＝4， ∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠FCE ， ∴△ABE ∽△ECF ，∴AB EC ＝BEFC， ∵BE ＝x ，FC ＝y ，∴EC ＝4－x ，则有44－x ＝xy，整理后得y ＝－14x 2 ＋x 配方后得到y ＝－14（x －2）2＋1从而得到图象为抛物线，开口朝下，顶点坐标为（2，1）．选C ．同类题型1.2如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A →D →C →E 运动，则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（）A ．B ．C ．D ．解：∵在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3， ∴CD ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝3，∵点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，∴CE ＝23×3＝2，①点P 在AD 上时，△APE 的面积y ＝12x ﹒2＝x （0≤x ≤3），②点P 在CD 上时，S △APE ＝S _(梯形AECD )－S _(△ADP )－S _(△CEP )，＝12（2＋3）×2－12×3×（x －3）－12 ×2×（3＋2－x ），＝5－32x ＋92 －5＋x ，＝－12x ＋92，∴y ＝－12x ＋92（3＜x ≤5），③点P 在CE 上时，S △APE ＝12×（3＋2＋2－x ）×2＝－x ＋7，∴y ＝－x ＋7（5＜x ≤7），选A ．同类题型1.3 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，一个以点B 为顶点的60°角绕点B 旋转，这个角的两边分别与线段AD 的延长线及CD 的延长线交于点P 、Q ，设DP ＝x ，DQ ＝y ，则能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．解：∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠ADB ＝∠BDC ＝60°， ∴∠BDQ ＝∠BDP ＝120°， ∵∠QBP ＝60°， ∴∠QBD ＝∠PBC ， ∵AP ∥BC ， ∴∠P ＝∠PBC ， ∴∠QBD ＝∠P ， ∴△BDQ ∽△PDB ， ∴DQ BD ＝BD PD ，即y 2＝2x ， ∴xy ＝4，∴y 与x 的函数关系的图象是双曲线，选A ．例2．如图，等边△ABC 的边长为2cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿AC 向点C 运动，到达点C 停止；同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB －BC 向点C 运动，到达点C 停止，设△APQ 的面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．解：由题得，点Q 移动的路程为2x ，点P 移动的路程为x ， ∠A ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝2，①如图，当点Q 在AB 上运动时，过点Q 作QD ⊥AC 于D ，则 AQ ＝2x ，DQ ＝ 3 x ，AP ＝x ，∴△APQ 的面积y ＝12×x ×3x ＝32x 2（0＜x ≤1），即当0＜x ≤1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故A 、B 排除；②如图，当点Q 在BC 上运动时，过点Q 作QE ⊥AC 于E ，则CQ ＝4－2x ，EQ ＝23－ 3 x ，AP ＝x ，∴△APQ 的面积y ＝12×x ×（23－3x ）＝－32x 2＋ 3 x （1＜x ≤2），即当1＜x ≤2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故C 排除，而D 正确；选D ．同类题型2.1 如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE －ED －DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm/s ．若P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（）A ．AE ＝12cmB ．sin ∠EBC ＝74C ．当0＜t ≤8时，y ＝72t 2 D ．当t ＝9s 时，△PBQ 是等腰三角形解：A 、分析函数图象可知，当点Q 到达点C 时，点P 到达点E 处， ∴BC ＝BE ＝2×8＝16cm ，ED ＝2×2＝4cm ，∴AE ＝AD －ED ＝BC －ED ＝16－4＝12cm ，故A 正确； B 、作EF ⊥BC 于点F ，如图，由函数图象可知，BC ＝BE ＝16cm ，BF ＝AE ＝12cm ，由勾股定理得，EF ＝47 cm ，∴sin ∠EBC ＝EF BE ＝4716＝74，故B 正确；C 、作PM ⊥BQ 于点M ，如图，∵BQ ＝BP ＝2t ，∴y ＝S △BPQ ＝12BQ ﹒PM ＝12BQ ﹒BP ﹒sin ∠EBC ＝12×2t ﹒2t ﹒74＝72t 2．故C 正确；D 、当t ＝9s 时，点Q 与点C 重合，点P 运动到ED 的中点，设为N ，如图所示，连接NB ，N C ．此时AN ＝14，ND ＝2，由勾股定理求得：NB ＝211 ，NC ＝229 ， ∵BC ＝16，∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PBQ 不是等腰三角形．故D 错误；选D ．同类题型2.2 矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 从点B 出发以每秒2个单位长的速度沿BA －AD －DCD 的方向运动到C 点停止，动点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 方向运动到C 点停止，假设P 、两点同时出发，运动时间是t 秒，y=S △PBQ ，则y 与t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．解：①当0＜t ≤3时，△PBQ 是Rt △，y ＝12×t ×2t ＝t 2；②当3＜t ≤7时，y ＝12 ×t ×6＝3t ；③当7＜t ≤8时，y ＝12t （20－2t ）＝－t 2＋10t ；④当8＜t ≤10时，y ＝12×8（20－2t ）＝80－8t ；观察各选项可知，y 与t 的函数图象大致是选项D ．选D ．同类题型2.3 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B →C →D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（）A ．B ．C ．D ．解：∵矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，∴点O 到BC 的距离＝12 AB ＝4，到CD 的距离＝12AD ＝6，∵点M 是BC 的中点，∴CM ＝12BC ＝6，∴点Q 到达点C 的时间为6÷1＝6秒，点P 到达点C 的时间为12÷1＝12秒，点Q 到达点D 的时间为（6＋8）÷1＝14秒， ①0≤t ≤6时，点P 、Q 都在BC 上，PQ ＝6，△OPQ 的面积＝12×6×4＝12；②6＜t ≤12时，点P 在BC 上，点Q 在CD 上， C P ＝12－t ，CQ ＝t －6，S △OPQ ＝S △COP ＋S △COQ －S △PCQ ，＝12×（12－t ）×4＋12×（t －6）×6－12 ×（12－t ）×（t －6），＝12t 2－8t ＋42，＝12（t －8）2＋10， ③12＜t ≤14时，PQ ＝6，△OPQ 的面积＝12×6×6＝18；纵观各选项，只有B 选项图形符合．选B ．例3．如图，正六边形ABCDEF 的边长为6cm ，P 是对角线BE 上一动点，过点P 作直线l 与BE 垂直，动点P 从B 点出发且以1cm/s 的速度匀速平移至E 点．设直线l 扫过正六边形ABCD EF 区域的面积为S （cm 2），点P 的运动时间为t （s ），下列能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．解：由题意得：BP ＝t ，如图1，连接AC ，交BE 于G ，Rt △ABG 中，AB ＝6，∠ABG ＝60°， ∴∠BAG ＝30°，∴BG ＝12 AB ＝3，由勾股定理得：AG ＝62－32＝3 3 ， ∴AC ＝2AG ＝6 3 ，当0≤t ≤3时，PM ＝ 3 t ， ∴MN ＝2 3 t ，S ＝S △BMN ＝12MN ﹒PB ＝12﹒3t 2＝32t 2 ，所以选项A 和B 不正确；如图2，当9≤t ≤12时，PE ＝12－t ，∵∠MEP ＝60°， ∴tan ∠MEP ＝PM PE，∴PM ＝ 3 （12－t ）， ∴MN ＝2PM ＝2 3 （12－t ），∴S ＝S _(正六边形)－S _(△EMN )，＝2×12（AF ＋BE ）×AG －12MN ﹒PE ，＝（6＋12）×33－12×2 3 （12－t ）（12－t ），＝543－3（144－24t ＋t 2），＝－3t 2＋243t －90 3 ，此二次函数的开口向下，所以选项C 正确，选项D 不正确；选C ．同类题型3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．解：①当0≤t ≤4时，S ＝12×t ×t ＝12t 2 ，即S ＝12t 2．该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B 、C 错误；②当4＜t ≤8时，S ＝16－12×（8－t ）×（8－t ）＝－12t 2＋8t －16．该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．故A 错误．选D ．同类题型3.2（2015秋﹒荆州校级月考）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ．设AP ＝x ，当△APQ 的面积为14 3 时，则x 的值为（） A ．2 21 B ．2 21 或14 C ．2或2 21 或14 D ．2或14解：当点Q 在AC 上时， ∵∠A ＝30°，AP ＝x ，∴PQ ＝x tan30°＝33x ，∴S ＝12×AP ×PQ ＝12×x ×33＝36x 2＝14 3解得：x ＝221 或x ＝－221 （舍去），当点Q 在BC 上时，如下图所示：∵AP ＝x ，AB ＝16，∠A ＝30°， ∴BP ＝16－x ，∠B ＝60°，∴PQ ＝BP ﹒tan60°＝ 3 （16－x ）．∴S ＝12AP ×PQ ＝32x 2＋83x ＝14 3 ，解得：x ＝2（舍去）或x ＝14．选B ．同类题型3.3 如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么AD 的长为____________．解：①当AB ＞4时如图1，由图可知：OE ＝4，OF ＝8，DG ＝3 2 ， ∴EF ＝AG ＝OF －OE ＝4 ∵直线解析式为：y ＝－x ∴∠AGD ＝∠EFD ＝45° ∴△AGD 是等腰直角三角形∴DH ＝GH ＝22DG ＝22×3 2 ＝3，∴AH ＝AG －GH ＝4－3＝1，∴AD ＝DH 2＋AH 2＝32＋12＝10 ； ②当AB ＝4时，如图2，由图可知：OI ＝4，OJ ＝8，KB ＝3 2 ，OM ＝9， ∴IJ ＝AB ＝4，IM ＝AN ＝5， ∵直线解析式为：y ＝－x ， ∴△KLB 是等腰直角三角形，∴KL ＝BL ＝22KB ＝3，∵AB ＝4，∴AL ＝AB －BL ＝1， T 同①得，DM ＝MN ， ∴过K 作KM ∥IM ， ∴tan ∠DAN ＝KL AL＝3， ∴AM ＝DM tan ∠DAN ＝DM3，∴AN ＝AM ＋MN ＝43 DM ＝5，∴DM ＝MN ＝154，∴AM ＝AN －MN ＝5－154＝54 ，∴AD ＝AM 2＋DM 2＝5104，故答案为10 或5104．例4．如图，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，四边形DEFG 为矩形，DE ＝2 3 cm ，EF ＝6cm ，且点C 、B 、E 、F 在同一条直线上，点B 与点E 重合．Rt △ABC 以每秒1cm 的速度沿矩形DEFG 的边EF 向右平移，当点C 与点F 重合时停止．设Rt △ABC 与矩形DEFG 的重叠部分的面积为y cm 2，运动时间xs ．能反映y cm 2与xs 之间函数关系的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．解：已知∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°， ∴AB ＝4，由勾股定理得：AC ＝2 3 ，∵四边形DEFG 为矩形，∠C ＝90，∴DE ＝GF ＝2 3 ，∠C ＝∠DEF ＝90°， ∴AC ∥DE ，此题有三种情况：（1）当0＜x ＜2时，AB 交DE 于H ，如图∵DE ∥AC ， ∴EH AC ＝BE BC ，即EH 23＝x ﹒12 ，解得：EH ＝ 3 x ，所以y ＝12﹒3x ﹒x ＝32x 2，∵x y 之间是二次函数，所以所选答案C 错误，答案D 错误，∵a ＝32＞0，开口向上；（2）当2≤x ≤6时，如图，此时y ＝12×2×23＝2 3 ，（3）当6＜x ≤8时，如图，设△ABC 的面积是s 1 ，△FNB 的面积是s 2 ，BF ＝x －6，与（1）类同，同法可求FN ＝3X －6 3 ， ∴y ＝s 1－s 2 ，＝12×2×23－12×（x －6）×（3X －6 3 ），＝－32x 2＋63x －16 3 ， ∵-32＜0， ∴开口向下，所以答案A 正确，答案B 错误，选A ．同类题型4.1 如图，菱形ABCD 的边长为1，菱形EFGH 的边长为2，∠BAD ＝∠FEH ＝60°点C 与点E 重合，点A ，C （E ），G 在同一条直线上，将菱形ABCD 沿C ⇒G 方向平移至点A 与点G 重合时停止，设点C 、E 之间的距离为x ，菱形ABCD 与菱形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．解：由菱形ABCD 、EFGH 边长为1，2可得：AC ＝2AB ×sin30°＝ 3 ，EG ＝2 3（1）当菱形ABCD 移动到点A 与点E 重合的过程，即0≤x ≤ 3 时，重合部分的菱形的两条对角线长度分别为：x ，2×x 2×tan30°＝3x3∴y ＝12﹒x ﹒3x 3＝36x 2（2）当菱形ABCD 移动到点C 与点G 重合的过程，重合部分的菱形面积不变，即3＜x ≤2 3 时，y ＝S 菱形ABCD ＝12×1×3＝32；（3）当菱形ABCD 移动到点A 与点G 重合的过程，即23＜x ≤33时，重合部分的菱形的两条对角线长度分别为： 3 －x ，2×3－x 2×tan30°＝3(3－x )3y ＝12×（3－x ）×3(3－x )3＝36（3－x ）2．由（1）（2）（3）可以看出图象应该是y ＝36x 2 图上像0≤x ≤ 3 时的部分，y ＝32图象上3＜x ≤2 3 时的部分，y ＝36（3－x ）2图象上23＜x ≤33时的部分组成．选D ．同类题型4.2 如图，等边△ABC 的边AB 与正方形DEFG 的边长均为2，且AB 与DE 在同一条直线上，开始时点B 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点B 与点E 重合为止，设BD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．解：设BD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，当B 从D 点运动到DE 的中点时，即0≤x ≤1时，y ＝12×x ×3x ＝32x 2．当B 从DE 中点运动到E 点时，即1＜x ≤2时，y ＝3－12（2－x ）×3（2－x ）＝－32x 2＋23x － 3由函数关系式可看出D 中的函数图象与所求的分段函数对应．选D ．同类题型4.3 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F ⇒H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．解：DF ＝x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为yy ＝12DF 2＝12x 2（0≤x ＜ 2 ）；②y ＝1（2≤x ＜2 2 ）；③∵BH ＝3 2 －x ∴y ＝12BH 2＝12x 2－32x ＋9（22≤x ＜3 2 ）．综上可知，图象是选B ．。

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2018中考数学动点问题专题复习1.如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 为边BC 的中点，DE ⊥BC 交边AC 于点E ，点P 为射线AB 上的一动点，点Q 为边AC 上的一动点，且∠PDQ ＝90°．（1）求ED 、EC 的长；（2）若BP ＝2，求CQ 的长；（3）记线段PQ 与线段DE 的交点为F ，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长．图1 备用图解：（1）在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10．在Rt △CDE 中，CD ＝5，所以315tan 544ED CD C =⋅∠=⨯=，254EC =．（2）如图2，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，那么DM 、DN 是△ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3．由∠PDQ ＝90°，∠MDN ＝90°，可得∠PDM ＝∠QDN ．因此△PDM ∽△QDN ．所以43PM DM QN DN ==．所以34QN PM =，43PM QN=．图2 图3 图4①如图3，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1．此时3344QN PM ==．所以319444CQ CN QN =+=+=．②如图4，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5．此时31544QN PM ==．所以1531444CQ CN QN =+=+=．（3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，3tan 4QD DN QPD PD DM ∠===．在Rt △ABC 中，3tan 4BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ．由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ．因此△PDF ∽△CDQ ．当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）．此时4433PM QN ==．所以45333BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CH C CQ =，可得5425258CQ =÷=．所以QN ＝CN －CQ ＝257488-=（如图2所示）．此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．图5 图62.如图1，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1解：（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由BH PHBO CO=，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1, 2)．图2（3）点M的坐标为(1, 1)、、(1,)或(1,0)．3.如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1解：（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC=所以点B的坐标为(2,--．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B(2,--，2(6)a-=-⨯-．解得a=．所以抛物线的解析式为2(4)y x x=-=+．（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得y=±．当P在(2,时，B、O、P三点共线（如图2）．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以224(16y++=．解得12y y==-③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以22224(2y y++=+．解得y=-综合①、②、③，点P的坐标为(2,-，如图2所示．图2 图34.如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43y x=的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1解：（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)．令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8A P R A C PP O RC O R A S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，AB =OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ//x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况．此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中，3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP)．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQA AP ∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =．综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图75.如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m =，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1解：(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CEBF =，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x xm m =-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x xmm m =-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y ＝2代入12ym=，得m＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入12ym=，得m＝2（如图4）．图2 图3 图46.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC ＝6，∠B＝60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 图3解：（1）如图4，过点E作EG⊥BC于G．在Rt△BEG中，221==ABBE，∠B＝60°，所以160cos=︒⋅=BEBG，360sin=︒⋅=BEEG．所以点E到BC的距离为3．（2）因为AD//EF//BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点．因此EF是梯形ABCD的中位线，EF＝4．①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不是否发生改变．过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q．在矩形EGMP中，EP＝G M＝x，PM＝EG＝3．在平行四边形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x．所以BG＝PQ＝1．因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝2．在Rt△PNH中，NH＝3，PH＝2，所以PN＝7．在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4．因此△PMN的周长为3＋7＋4．图4 图5②当点N在线段DC上时，△CMN恒为等边三角形．如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC关于直线PC对称，点P在∠DCB的平分线上．在Rt△PCM中，PM＝3，∠PCM＝30°，所以MC＝3．此时M、P分别为BC、EF的中点，x＝2．如图6，当MP＝MN时，MP＝MN＝MC＝3，x＝GM＝GC－MC＝5－3．如图7，当NP＝NM时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°．又因为∠FNM＝120°，所以P与F重合．此时x＝4．综上所述，当x＝2或4或5－3时，△PMN为等腰三角形．图6 图7 图8。