高一数学函数的值域课件

第二章 函数
3x ; (1) y = 3x +1 (3) y = x - 1- 2x ;
1 Q1− 2x ≥ 0∴x ≤ 2
（ ）法二：（利用函数的单调性） 3
2 - sinx (2) y = 2 + sinx 1 (4) y = x + +1( x ≠ 1) x
1 Q函数y = x和y = − 1− 2x均在 − ∞, 上单调递增， 2 1 1 1 1 ∴y ≤ − 1− 2× = ∴函数的值域为 y | y ≤ 2 2 2 2
2 - sinx (2) y = 2 + sinx 1 (4) y = x + +1( x ≠ 1) x
1 1 由 y = x + +1 (x ≠ 0), 得 y −1 = x + x x 1 1 1 Q x + |=| x | + | | ≥ 2 | x | ⋅ = 2 | x x x
∴ y −1| ≥ 2,即 数 值 为 y | y ≤ −1 y ≥ 3} | 函 的 域 { 或
m > 0 ∆ = (−6m)2 − 4m(m+ 8) ≥ 0
解得m∈ 解得 ∈[1,+∞)
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延伸· 延伸·拓展
2 2 2
第二章 函数
的最大值为M(a)，最小值为 例 3.设f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为 设 的最大值为 ， 最小值为m(a)， ， 试求M(a)及m(a)的表达式 的表达式. 试求 及 的表达式
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1 ∴定义域为 − ∞， 2；
能力·思维· 能力·思维·方法
例题. 例题
例1．求下列函数的值域： ．求下列函数的值域：
第二章 函数
3x ; (1) y = 3x +1 (3) y = x - 1- 2x ;
（ ）法一：（基本不等式法） 4
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第二章 函数
已知函数y=√mx2-6mx+m+8的定义域为 的定义域为R 例2.已知函数 已知函数 的定义域为 (1)求实数 的取值范围； 求实数m的取值范围 求实数 的取值范围； (2)当m变化时，若y的最小值为 f(m)，求 f(m) 的值域 变化时， 的最小值为 当 变化时 ， 解题分析： 当 = R时,mx2 + m+8 的 义 恒成立 解题分析：由 x∈mx2 − 6mx-6mx+m+8≥0恒成立 当 定 域 R 是 依题意,当 恒成立,当 解:依题意 y ∈ 时 依题意
1 由 y = x + +1 (x ≠ 0), 得x2 + (1− y)x +1 = 0 x Q方程有不为0的根， ∆ = (1− y)2 − 4 ≥ 0 ∴
即( y −1)2 ≥ 4,∴y −1≤ −2或y −1≥ 2 得{y | y ≤ −1或 y ≥ 3}
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1+ y
利用| 利用|sinx|≤1，得 | ，
1+ y
，求函数的值wenku.baidu.com
域.
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第二章 函数
第 (3)题用换元法求函数的值域， 要特别注意换元后新变量 题用换元法求函数的值域， 题用换元法求函数的值域 的取值范围． 的取值范围．
题利用基本不等式求函数的值域时， 第(4)题利用基本不等式求函数的值域时，必须注意公式使 题利用基本不等式求函数的值域时 用的条件，本题也可分x＞ ， ＜ 两类情况利用基本不等 用的条件，本题也可分 ＞0，x＜0两类情况利用基本不等 式求函数的值域； 式求函数的值域；利用判别式法求函数值域的关键是构造 自变量x的二次方程 的二次方程. 自变量 的二次方程
第二章 函数
第二章
函
数
第3课时 函数的值域
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要点·疑点· 要点·疑点·考点
第二章 函数
函数的值域取决于定义域和对应法则， 1. 函数的值域取决于定义域和对应法则 ， 不论采取什么方 法求函数的值域,都应先考虑其定义域. 法求函数的值域,都应先考虑其定义域. 2.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、 2.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各 应熟悉掌握一次函数 三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. 三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. 3.求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、 3.求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、 求函数值域的常用方法有 配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.
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例题. 例题
例1．求下列函数的值域： ．求下列函数的值域：
第二章 函数
3x ; (1) y = 3x +1 (3) y = x - 1- 2x ;
（ ）法二：（判别式法） 4
2 - sinx (2) y = 2 + sinx 1 (4) y = x + +1( x ≠ 1) x
2− 2− sin x 4 （） y = 2Q = −1+ 2 + sin x 2 + sin x
2 - sinx (2) y = 2 + sinx 1 (4) y = x + +1( x ≠ 1) x
4 4 又Q−1 ≤ sin x ≤1, ∴ ≤ ≤4 3 2 + sin x 1 ∴函数的值域为 y | ≤ y ≤ 3 3
已知函数y=√mx2-6mx+m+8的定义域为 的定义域为R 例2.已知函数 已知函数 的定义域为 (1)求实数 的取值范围； 求实数m的取值范围 求实数 的取值范围； (2)当m变化时，若y的最小值为 f(m)，求 f(m) 的值域 变化时， 的最小值为 当 变化时 ，
【 解题回顾 】 对于 ∈R时ax2+bx+c≥0恒成立 一定要分 解题回顾】对于x∈ 时 恒成立.一定要分 恒成立 一定要分a=0 两种情况来讨论.这样才能避免错误 与a＞0两种情况来讨论 这样才能避免错误 ＞ 两种情况来讨论 这样才能避免错误.
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例题. 例题
例1．求下列函数的值域： ．求下列函数的值域：
第二章 函数
3x ; (1) y = 3x +1 (3) y = x - 1- 2x ;
2 - sinx (2) y = 2 + sinx 1 (4) y = x + +1( x ≠ 0) x
2 - sinx (2) y = 2 + sinx 1 (4) y = x + +1( x ≠ 1) x
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例题. 例题
例1．求下列函数的值域： ．求下列函数的值域：
第二章 函数
3x ; (1) y = 3x +1 (3) y = x - 1- 2x ;
第二章 函数
题是通过求原函数的反函数的定义域， 【解题回顾】第(1)题是通过求原函数的反函数的定义域， 解题回顾】 题是通过求原函数的反函数的定义域 y 求原函数的值域.也可将原函数式化为 求原函数的值域 也可将原函数式化为 > 0，可利用指 1− y y > 0. 数函数的性质 3x＞0 得 1− y
(1)当a ≤ 0时 M(a) = f (1) =1− 2a, m(a) = f (0) = 0 ， 1 (2)当0 < a ≤ 时 M(a) = f (1) =1− 2a, m(a) = −a2 ， 2 1 2 (3)当 < a ≤1时 M(a) = f (0) = 0, m(a) = −a ， 2 (4)当a >1时，M(a) = f (0) = 0, m(a) = f (1) =1− 2a 1 0 (a ≤ 0) 1− 2a (a ≤ ) 2 , m(a) = − a2 (0 < a ≤1) 综上所述： (a) = M 1 0(a > ) 1− 2a (a >1) 2
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例题. 例题
例1．求下列函数的值域： ．求下列函数的值域：
第二章 函数
3x ; (1) y = 3x +1 (3) y = x - 1- 2x ;
1−t 2 （）法一：（换元法）设 1− 2x = t (t ≥ 0) 得 x = 3 2 2 1−t 1 1 2 ∴y = −t = − (t +1) +1≤ (t ≥ 0) 2 2 2
(2)当m = 0时 y = 2 2; 当0 < m ≤1时 y = m(x − 3)2 + 8 −8m; ∴ymin = 8 −8m;
因此， (m) = 8 −8m (0 ≤ m ≤1) f ∴ f (m) 的值域为 0， 2 2
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[
]
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第二章 函数
题采用了“ 即将原分式分解成两项， 第(2)题采用了“部分分式法”求解 即将原分式分解成两项，其 题采用了 部分分式法”求解,即将原分式分解成两项 cx + d 中 y= 一项为常数，另一项容易求出值域． 一项为常数，另一项容易求出值域．形如
ax − b
(a≠0，c≠0)的函数均可使用这种方法 本题也可化为 ， 2 − 2y 的函数均可使用这种方法 2 − 2 y ≤ 1 sinx = 的函数均可使用这种方法.本题也可化为
解题分析:本题为 −顶点动，区间定− 的二次函数最值问题，只 解题分析 x) = x “顶点动，区间定”a , x ∈[0,1 解 f ( 本题为“ 2ax = (x − a) ”的二次函数最值问题， ： 本题为 ], 须讨论顶点的移动情况与区间[0， 的位置关系 的位置关系， 须讨论顶点的移动情况与区间 ，1]的位置关系，便可确定最 顶 点 坐 为 值。 横 标 x = a
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第二章 函数
变式题1 已知函数y=lg(mx2-6mx+m+8)的值域为 的值域为R, 变式题 已知函数 的值域为 求实数m的取值范围 的取值范围. 求实数 的取值范围
函数为y=lg8,值域不为 值域不为R; 解:当m=0时,函数为 当 时 函数为 值域不为 不能取遍所有正数,故值域也不为 当m<0时,mx2-6mx+m+8不能取遍所有正数 故值域也不为 时 不能取遍所有正数 故值域也不为R; 欲使mx2-6mx+m+8取遍一切正数 只需 取遍一切正数,只需 欲使 取遍一切正数
m > 0 m > 0 m=0时,x∈R;当m≠0时的取值, 即 。 时 ∈ 而可求出时, , 从 当 m 范 围 2 ∆ ≤ 0 (−6m) − 4m(m+ 8) ≤ 0
mx 成 ， 可 x ∈R时 2 − 6mx + +m+ 8 ≥ 0恒 立 知
解之得0<m≤1, 解之得
综上0≤m≤1, 综上
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例题. 例题
例1．求下列函数的值域： ．求下列函数的值域：
第二章 函数
3x ; (1) y = 3x +1 (3) y = x - 1- 2x ;
3x y 解: 1 由y = x , 得 x = log3 （） 3 +1 1− y y Q > 0, ∴y ∈(0,1) 1− y
2 - sinx (2) y = 2 + sinx 1 (4) y = x + +1( x ≠ 1) x
1 ∴函数的值域为 y | y ≤ 2
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例题. 例题
例1．求下列函数的值域： ．求下列函数的值域：
解题分析: 可采用方程的思想方法求出值域,即把函数 解题分析 (1)(2)可采用方程的思想方法求出值域 即把函数 可采用方程的思想方法求出值域 看成是关于x 的方程,利用方程有解的充要条件求出 的范围; 利用方程有解的充要条件求出y的范围 看成是关于 的方程 利用方程有解的充要条件求出 的范围 (3)可采用换元法或利用函数的单调性求出值域 可采用换元法或利用函数的单调性求出值域;(4)还可采用 可采用换元法或利用函数的单调性求出值域 还可采用 基本不等式或利用函数的单调性求出值域. 基本不等式或利用函数的单调性求出值域