矩阵的逆及其求法

1
am1x1 am2x2 amn xn bm
a11
a21
a12
a22
a1n
a2
n
x1 b1
x2
b2
am1
am2
amn
mn
xn
bm
AX B
（2）
2
则求（1）的解的问题归结为求(2)的解矢量问题，
而后者即求 AX B 中未知矩阵X的问题。这需要用到
•A是满秩矩阵 A是非奇异矩阵 A可逆 A 0
11
逆矩阵的求法一：伴随矩阵法
例 2.15 设
1 2
A
3
4
,
判断 A 是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵 .
解
因为
1 A
2 4 6 2 0 , 故 A 可逆，且
34
A1
1 A
A*
1 2
4 3
2
1
2 3 2
1
1 2
.
12
推论 若方阵 A、B 有 AB = E，则 A、B 均可逆. 证明 因为
(A2 2A 3E)(A 2E) 8E
1 ( A2 2A 3E)(A 2E) E
(
A
8 2E)
可逆，
且
(
A
2E)1
1
(
A2
2
A
3E)
8
32
例15
设A,B分别是m阶,
n阶可逆矩阵，D
A C
A0
0 B
，求
D 1
。
解 D
AB
D
CB 0，D可逆，设
D 1
X X
11 21
X X
12 22
P，求An
解：
A PP1
An PP1PP1PP1 PP1PP1
Pn P1
P 1
1 2
4 1
12
n
1 0
0 2n
An 11
42
1 0
0 2n
1 2
4 1
2 1
2 2n 2 2n1
22nn111
21
二、逆矩阵求解方法二——初等变换法 初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了
充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。
4
x3
由于 A 2 0 , 故 A 可逆，因此 x A1b ,
其中
21
21
A11 4
2, 3
A12 3
3 , 3
22
23
A13 3
2, 4
A21 4
6, 3
15
13
12
2
A22 3 3 6 , A23 3 4 2 , A31 2
13
12
A32 2
1 5 , A33 2
A21 a12 ,
所以
A*
a22 a12
a21
a11
8
定理2.1 AA A A A E.
a11
证明：AA*
an1
a1n A11
ann A1n
An1
Ann
a11 A11
an1 A11
a1n A1n ann A1n
a11 An1 an1 An1
第六节
第二章
矩阵逆及其求法
一、逆矩阵的概念
二、方阵可逆的判别定理
三、逆矩阵的基本性质
四、用矩阵的初等变换求逆矩阵
1
线性方程组的矩阵表示法
设 A (aij )mn X (xi )n1 B (bi )m1
a11x1 a12x2 a1n xn b1
n 元线性方程组 a21x1 a22x2 a2n xn b2
0 5 5 3 0 1
B1 不存在。
25
定理3 设A、B为n 阶方阵，且A可逆，则
行初等变换
（A|B）
(E|A-1B)
26
例8 求解下列矩阵方程
3 0 8
1 1 2
3 1 6 X 1 3 4
2 0 5 2 0 5
解 A 0 X A1B
3 0 8 1 1 2
4、 秩（A）= 秩( Ai ) i 1
A11
5、Ai 可逆时，则A可逆，且
A1
A21
As1
34
： 定理4 方阵A可逆的充分必要条件是它能表示
成一些初等矩阵的乘积： A p1 p2 ps
定理5 设A，B是 m n 矩阵，则以下三个条件等价 （1） A与B等价； (2) R(A) R(B)
DD 1
=
AX
11
Em
CAXX1112
BX
21
0
0
CX12 BX 22 En
X 11 A1，X 12 0 X 21 B 1CA1 ，X 22 B 1
则
D 1
A1 B 1CA1
0 B 1
33
•关于分块对角矩阵有下列运算性质：
设 A diag(A1 , A2 ,, As ) ，
s
a1n Ann
.
ann Ann
由第一章行列式展开定理及其推论知
A
AA*
A
0
0
A
E.
A
类似有 A A A E.
9
定理2. 2 矩阵 A 可逆充分必要条件是 A 0 .
且当 A 0 时，A1 1 A* . A
证明：必要性．设 A 可逆，于是有 AA1 E ,
两边取行列式有，
2 , 2
于是
2 6 4
A1
1 A
A
1 2
3 2
6 2
5 2
,
2 6 4 2 9
x
1 2
3 2
6 2
5 2
1 4
10 3
.
3 4 ,
1
16
利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量 个数等于方程个数的一种方法 ( 第一章给出了行列式 法 ) ，但对于 n 较大时，两种方法都不适用 .我们将 在余下的章节讨论第三种方法 .
逆矩阵的问题。
代数方程 a x b 的解 x a1b
问矩阵方程 AX B 的解是否为 X A1B ? 若可以，那么 A1 的含义是什么呢？
3
一、逆矩阵的概念
定义1 设 A 为 n 阶方阵，如有 n 阶方阵 B ，使 AB = BA = E .
则称 A 为可逆阵，B 为 A 的逆阵，记作B A1 .
A A1 E 1 0, 因此 A 0 .
充分性．设 A 0 , 由定理 2.1 知
AA A A A E.
故有 A( 1 A* ) ( 1 A* )A E .
A
A
10
由逆矩阵定义知，A 可逆，且其逆为
A1 1 A* . A
定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法， 还给出了求解逆矩阵的一种方法 .
17
2 1 1
例 2.18
设
A
2
6
4
,
AB
A B ,
求
A+B
.
2 1 3
解 由于 AB = A + B ，于是 ( A – E ) B = A ,
111
又 A E 2 5 4 20,
212
6 1 1
于是
B ( A E )1 A .
而
(
A
E )
4
0
2
.
8 1 3
18
6 1 1
0 1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0
0 2 8 3 0 1 0 0 12 7 2 1
23
1 ~ 0
0
0 1 0
1 2 12
1 2 7
0 1 2
0 0 1
~
1 0 0
0 1 0
1 2 1
1
2 7
12
0
1
1 6
0
0
1 12
1 0 1 1
0 0
~ 0 0
1
1 0
定理3 A可逆 A 行 E Pm P2P1A E
Pm P2P1E A1 E 行 A1
求 A1方法 ：( A E) 行(E A1)
22
例7 求下列矩阵的逆矩阵
1 0 1 1. A 2 1 0
3 2 5
解：
1 0 1 1 0 0
(A
E)
2
1
0
0
1
0
3 2 5 0 0 1
1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0
(A
B)
3
1
6
1
3
4
2 0 5 2 0 5
1 0 0 11 5 50
0 1 0 10
0
40
(E
A1B)
0 0 1 4 2 19
27
0
例10 设 A 1
1 1
2 1 4，B 1
，A
1
2X
A
B，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 1 3
求X。
1 A1 1 A* A
解 A1 2X A B ， A1 2X A A BA ，
343
4 43
123
12
D2 2 1 1 20 , D3 2 2
343
34
于是有 x1 9 , x2 10 , x3 3 .
2 1 6 , 4
14
方法二 ( 逆阵法 ) 因为方程可写成矩阵形式 Ax = b，其中
1 2 3 2 x1
A
2
2
1
,
b
1
,
x
x2
.
3 4 3
8
( A E)1 1 ( A2 A E) 8
31
例14若 A3 A 2E 0 ，判别 A 及 ( A 2E) 可逆，
并求其逆。
解 (1)
A(A2 E) 2E ,
A2 E
A
E,
A 可逆 且 A1 1 (E A2 ) 2
2
(2) A2(A 2E) 2A(A 2E) 3(A 2E) 8E 0
2 2
，
0 BA 1
1 1
2 4
，
3 2 1
2 1 3
7 2 3 0 X 3 3 2 3
5 2 3 2 2
29
例12 已知 A2 A 求 ( A E)1 ( A 2E)1
解 A2 A 2E 2E (A 2E)( A E) 2E
( A E)1 1 ( A 2E) 2
( A 2E)1 1 ( A E) 2
30
例13 设A3 9E 0，求(A 2E)1及(A E)1
A3 8E E，(A 2E)( A2 2A 4E2 ) E
(A 2E)1 A2 2AE 4E2 A3 E 8E， ( A E) 1 ( A2 A E) E
(4) ( AT )1 ( A1 )T .
证明 只证 (3) 和 (4) .
(3) (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 =AEA-1 =AA-1
= E. (4) AT(A-1)T = (A-1A)T = (E)T = E,
6
矩阵可逆的条件： a11 a12
定义
设 矩阵
A
a21
19
例 2.19 设 A 为 3 阶矩阵，且 A 3 , 求 3 A1 1 A .
3 解 由于 AA A E , 故 A A A1 ,于是
3 A1 1 A 3 A1 1 A A1
3
3
3A1 A1
2A1 23 A1
23
1 A
8. 3
20
例6
设P 11
42，
1 0
0 2
，AP
0
0 1
0
56
2 3
1 6
7 12
1 6
112
5 12
1 6
A1
1 12
1 12
5 10
7
2 8 2
1 2 1
~
0
1
0
56
2 3
1 6
0
0
1
7 12
1 6
1 12
24
1 3 4 1 0 0
解2
(B
E)
2
2
0
0
1
0
3 4 7 0 0 1
1 3 4 1 0 0 ~ 0 8 8 2 1 0
a22
an1 an2
中元素 aij 的代数余子式 Aij ，
a1n
a2n
ann
A11 A21
A*
A12
A22
A1n A2n
An1
An2
Ann
称为 A 的伴随矩阵.
7
例 2.16 求二阶方阵
A
a11 a21
a12
a22
的伴随矩阵.
解 A11 a22 , A22 a11 , A12 a21 ,
A1 2X A E BA，
，
A1 2X BA ， X 1 ( A1 BA) 2
A
E
0 1
1 1
2 4
1 0 0 1 0 0 7 0 1 0 0 1 0 5
5 4
2 2
2 1 3 0 0 1 0 0 1 3 2 1
28
X 1 ( A1 BA) 2
A 1
7 5
5 4
所以逆矩阵唯一.
➢单位矩阵的逆为其本身。
➢对角矩阵的逆为（如果它可逆的话）
1
2
0
0 1
1 1
1 2
n
0
0
.
1 n
5
方阵的可逆满足性质：
(1) ( A1 )1 A;
(2) (kA)1 1 A1 (k 0) ; k
(3) A、B 均是同阶可逆阵，则 ( AB)1 B1 A1 ;
( A E )
4
0
2
.
8 1 3
6 1 1
所以
(A
E )1
1 2
(
A
E )
1 2
4 8
0 1
2
,
3
6
B
1 2
4 8
1 0 1
1 2
2
2
3 2
1 6 1
1
4
3
8
1 2
4 8
1 2 1
1
2
.
5
故
6
1 2
1
2
A B 4 7 3 .
2
3
11
2 2
AB A B E 1 , 故
A 0, B 0, 于是 A、B 均可逆 .
13
x1 2 x2 3 x3 2 ,
例 2.17
求解线性方程组
2
x1
2 x2
x3
1 ,
3
x1
4 x2
3 x3
4
.
解 方法一 ( Cramer 法则 )
由于 1 2 3
2 23
D 2 2 1 2 , D1 1 2 1 18 ,
(3) 存在 m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q ，使
B PAQ
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵 . 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
1 1 1 2 1 2 因为 AB = BA = E . 所以 B 是 A 的一个逆矩阵。
4
若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 .
证明 设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义 有 AB = BA = E，AC = CA = E， B = BE = B( AC ) = ( BA )C = EC = C .