北师大概率测度习题答案Ex6.1

∞
(Ai × yi )) (
∞
(xj × Bj )) (
∞
(Ck × Dk )),
i=1
其中Ai , Bj , ∈ F , (Ck )c , (Dk ) 为至多可数集, xj , yi ∈ Ω, i, j, k ≥ 1, 且xj 之间, yi 之间互不相同. 则
∞ ∞ ∞
j =1 c
k=1
A =(
i=1
Rn
Rn
F1 (x − y )dF2 (y ),
F1 (x − y )dF2 (y ) p1 (z )dzp2 (y )dy
Rn (−∞,x−y ]
= =
(−∞,x] Rn
p1 (z + y )p2 (y )dydz
最后一个等号由先做一个积分变换 z = zy , 再交换积分顺序得来. 于是可得 X1 + X2 的分布密度函数为 p1 ∗ p2 . (3) 以分布函数为例, 即证: 一切概率分布测度对卷积运算作成一个可交换半群. (i) 任取概率分布测度 P1 , P2 , P3 , 我们来证 (P1 ∗ P2 ) ∗ P3 = P1 ∗ (P2 ∗ P3 ).
c
(Ai × yi ))
c
(
j =1 c
(xj × Bj ))
∞
c
(
k=1
(Ck × Dk ))c
∞
= ((Ω × {yi : i ≥ 1} )
i=1 ∞
(Ac i
× yi ))
(({xj : j ≥ 1} × Ω)
j =1
c
c (xj × Bj ))
c c ((Ck × Ω) ∪ (Ω × Dk )) k=1
(P1 ∗ P2 ) ∗ P3 (B ) =
Rn
P1 ∗ P2 (B − y )P3 (dy ) P1 (B − y − z )P2 (dz )P3 (dy )
Rn Rn
= =
Rn Rn
P1 (B − z )P2 (dz − y )P3 (dy ) P1 (B − z )
Rn Rn
= =
Rn
P2 (dz − y )P3 (dy )
∞ ∞
(Ai × yi )) (
∞
(xj × Bj ))或者(
∞
{ Ai ×
i=1
j =1
i=1
{xj × Bj }) (
∞
(Ck × Dk )), 其中Ai , Bj , ∈ F , (Ck )c , (Dk )c 为至多可数集, xj , yi ∈
j =1
k=1
Ω, i, j, k ≥ 1, 且xj 之间, yi 之间互不相同}. 下证 F × F ⊂ A . 令 C := {F × H : F, H ∈ F }, 则 F × F = σ (C ). 注意到 F 中集合的形式及 A 的 定义, 易有 C ⊂ A , 下面只需证 A 是一 σ - 代数. 首先, ∅, Ω ∈ A 易得. 其次, 显然 A 对可列并运算封闭. 再者, 证 A 对余运算封闭. 设A=(
§ 6.1 习题 第 1 题 设 Ω 是一不可数集, F 是包含 Ω 中一切单点集的最小 σ - 代数, 则 Ω × Ω 的对 角线 ∆ := {(ω, ω ) : ω ∈ Ω} ∈ F × F , 但 ∀ωi ∈ Ω, i = 1, 2, ∆ω1 := {ω2 : (ω1 , ω2 ) ∈ ∆} ∈ F , ∆ω2 := {ω1 : (ω1 , ω2 ) ∈ ∆} ∈ F , 这个例子说明了什么? 证明: 我们来证 ∆ ∈ F × F . 首先, 由习题 3.1 第 9 题 (i) 知 G := {F ∈ Ω : F 或者F c 为有限集, 或可数集} 为 Ω 上 的 σ - 代数. 易知 G 包含 Ω 中的所有单点集, 且是包含这些单点集的最小的 σ - 代数, 于 是 F = G = {F ∈ Ω : F 或者F c 为有限集, 或可数集}. 设 A := {A ∈ Ω × Ω : A具有形式( y i }) (
i=1
j =1
k=1
第 2题 F1 × F2 ⊂ F1 × F2 , 但是 F1 × F2 ⊂ F1 × F2 不一定成立. 举例: 设 Ω1 = Ω2 = R, F1 , F2 均为 R 上的 Borel 可测集的全体, µ1 , µ2 均为 R 上 的 Lebesgue 测度. 于是 F1 , F2 均为 R 上的 Lebesgue 可测集的全体. 取集合 A ⊂ R, 但 A 不是 Lebesgue 可测的, 任取 ω2 ∈ Ω2 , 则 A × ω2 ⊂ Ω1 × ω2 , 又 µ1 × µ2 (Ω1 × ω2 ) = 0, 于是 A × ω2 是 µ1 × µ2 - 零集, 于是 A × ω2 ∈ F1 × F2 , 但是注意到 (A × ω2 )ω2 = A ∈ F1 , 于是 A × ω2 ∈ F1 × F2 . 下面来证: F1 × F2 ⊂ F1 × F2 . 设 C := {A × B : A ∈ F1 , B ∈ F2 }, 则 F1 × F2 = σ (C ). 任取 A × B ∈ C , 则存 在 C ∈ F1 , D ∈ F2 , 及 µ1 - 零集 N1 , µ2 - 零集 N2 , s.t. A = C ∪ N1 , B = D ∪ N2 . 于 是 A × B = (C ∪ N1 ) × (D ∪ N2 ) = (C × D) ∪ (C × N2 ) ∪ (N1 × D) ∪ (N1 × N2 ), 注意 到 C × N2 , N1 × D, N1 × N2 均为 µ1 × µ2 - 零集, 于是 (C × N2 ) ∪ (N1 × D) ∪ (N1 × N2 ) 为 µ1 × µ2 - 零集, 又 C × D ∈ F1 × F2 , 于是 A × B ∈ F1 × F2 , 于是证得 C ⊂ F1 × F2 , 又 F1 × F2 是一个 σ - 代数, 于是便有 F1 × F2 ⊂ F1 × F2 . 这个问题对 Lebesgue 可测集说明: 在低维空间中不是 Lebesgue 可测的集合, 放到高 维空间中来看时有可能是高维空间中的 Lebesgue 可测集. 第 3题 2
我们来看
∞ k=1
c c ((Ck × Ω) ∪ (Ω × Dk )), 首先计算
c c c c )) × Ω) ∪ (Ω × D2 )) ∩ ((C2 × Ω) ∪ (Ω × D1 ((C1 c c c c c c c c = ((C1 ∩ C2 ) × Ω) ∪ (C1 × D2 ) ∪ (C2 × D1 ) ∪ (Ω × (D1 ∩ D2 )) c c c c c c = {v j : = {wi : i ≥ 1}, C1 ∩ C2 均为至多可数集, 不妨设 C1 , C1 ∩ C2 注意到 C1 c c × Ω) = ∩ C2 j ≥ 1}, 于是 (C1 c c c C2 ) × Ω) ∪ (C1 × D2 ) 具有形式 ∞ i=1 ∞ j =1 c c ) = × D2 (wi × Ω), (C1 ∞ j =1 c c ∩ ), 于是 ((C1 (vj × D2
(1) 证明: P(X1 + X2 ∈ B ) =
Rn
P(X1 ∈ B − y, X2 ∈ dy ) P(X1 ∈ B − y )P(X2 ∈ dy )
Rn
= =
Rn
P1 (B − y )P2 (dy )
上面第二个等号用到 X1 , X2 的相互独立性. 于是 X1 + X2 的概率分布测度是 P1 ∗ P2 . 由上面的推导知 P(X1 + X2 ≤ x) = Rn P1 ((−∞, x − y ])P2 (dy ) = ∀x ∈ Rn , 于是 X1 + X2 的分布函数是 F1 ∗ F2 . (2) 因为 X1 , X2 的密度函数分别为 p1 , p2 , 于是结合 (1), 有 P(X1 + X2 ≤ x) =
证明: 令 A := {(t, ω ) : f (t, ω ) = ∞}, At := {ω : f (t, ω ) = ∞}, ∀t ∈ R,Aω := {t : f (t, ω ) = ∞}, ∀ω ∈ Ω. 由题意知, P(At ) = 0, ∀t ∈ R, 于是 (λ × P)(A) = R P(At )dλ = 0. 所以 Ω λ(Aω )dP = (λ × P)(A) = 0. 注意到 λ(Aω ) ≥ 0, ∀ω ∈ Ω, 于是 λ(Aω ) = 0, a.e. ω (P), 即 λ({t : f (t, ω ) = ∞}) = 0, a.e. ω (P). 第 5题 证明: 先证任意 F1 × F2 × · · · × Fn 可测的集合 A 在 (ωi1 , ωi2 , · · · , ωik ) 处的截集 是 Fj1 × Fj2 × · · · × Fjn−k 可测的. 设 Λ = {A ∈ F1 × F2 × · · · × Fn : A在(ωi1 , ωi2 , · · · , ωik ) 处的截集是Fj1 × Fj2 × · · · × Fjn−k 可测的}. 取 A = A1 × A2 × · · · × An , 这里 Ai ∈ Fi , i = 1, · · · , n, 则 A(ωi1 ,ωi2 ,··· ,ωik ) = Aj1 × Aj2 · · · × Ajn−k ∈ Fj1 × Fj2 × · · · × Fjn−k , 于是 F1 × F2 × · · · × Fn 中的所有柱集都属 于 Λ. 下面来证 Λ 是一个 σ - 代数. (i) ∅, Ω ∈ Λ. (ii) 任取 A ∈ Λ, 则 A(ωi1 ,ωi2 ,··· ,ωik ) ∈ Fj1 × Fj2 × · · · × Fjn−k , 于是 Ac (ωi1 ,ωi2 ,··· ,ωik ) = (A(ωi1 ,ωi2 ,··· ,ωik ) )c ∈ Fj1 × Fj2 × · · · × Fjn−k , 于是 Ac ∈ Λ. (iii) 任取一列集 An ∈ Λ, n ≥ 1, 则 (An )(ωi1 ,ωi2 ,··· ,ωik ) ∈ Fj1 × Fj2 × · · · × Fjn−k , ∀n ≥ 1, (An )(ωi1 ,ωi2 ,··· ,ωik ) ∈ Fj1 × Fj2 × · · · × Fjn−k . 于是 ( An )(ωi1 ,ωi2 ,··· ,ωik ) =
P1 (B − z )P2 ∗ P3 (dz )
= P1 ∗ (P2 ∗ P3 )(B ) 于是证得一切概率分布测度对卷积运算作成一个半群. (ii) 可交换性. 这可由 P1 ∗ P2 , P2 ∗ P1 的概率涵义直接可得. 由 (1) 知, P1 ∗ P2 是 X1 + X2 的概率分布测度, P2 ∗ P1 是 X2 + X1 的概率分布测度, 于是 P1 ∗ P2 = P2 ∗ P1 . 这样证得一切概率分布测度对卷积运算作成一个可交换半群. 第 4题 3
c c c c (xj × Bj ), 同理 (C2 × D1 ) ∪ (Ω × (D1 ∩ D2 )wk.baidu.com 是形
1
如
∞ i=1
(Ai × yi ) 的集合, 于是
2 k=1
c c ((Ck × Ω) ∪ (Ω × Dk )) 形如 (
∞
(Ai × yi )) (
∞ k=1
∞
(xj × Bj )),
i=1
(
j =1
(xj ×Bj )), 其中Ai , Bj , ∈ F , xj , yi ∈ Ω, i, j, k ≥ 1, 且xj 之间, yi 之间互不相同.
∞
由上面的推导可得 Ac 具有形式 (
(Ai × yi )) (
∞
(xj × Bj )) (
∞
(Ck × Dk )). 总之,
Ac ∈ A . 于是 A 是一 σ - 代数, 从而得 F × F ⊂ A , 而集合 ∆ 不具备 A 中集合的形式, 于 是 ∆ ∈ F × F. 而对于任意 ω1 ∈ Ω, ∆ω1 = {ω1 } ∈ F , 对于任意 ω2 ∈ Ω, ∆ω2 = {ω2 } ∈ F . 此例子 说明命题 “可测集的截口仍可测” 的逆命题不成立, 即: 一个集合尽管它的任何截口都可 测, 但是它本身可能不可测.
∞ j =1
i=1 ∞
{Ai × yi }) ( (
∞ k=1
j =1 ∞
{Ck × Dk }),
i=1
k=1
c (xj × Bj ) 具有形式 ∞
{xj × Bj }
(Ck × Dk )), 那么可得此
(Ai × yi )) (
(xj × Bj )).
i=1
j =1
A=(
i=1
(Ai ×yi ))
j =1 c ((Ck × Ω) ∪ (Ω ×
c c 下面让它依次与 (Ck × Ω) ∪ (Ω × Dk ), k = 3, 4, · · · 做交运算, 可得 c Dk ))
仍然是一个形如 ( {Ai × yi }) (
∞
∞
{ Ai × y i } ) (
∞
{xj × Bj }) 的集合.(此处实际上证得一列形
∞
如(
∞
i=1
j =1
{xj × Bj }) 的集合的交集仍然形如 (
∞ i=1
{ Ai × y i } ) (
∞
{xj × Bj }).)
i=1
j =1
易知 (Ω × {yi : i ≥ 1}c ) ({xj : j ≥ 1}c × Ω) 时 Ac 具有形式 ( 如果设
∞ ∞ ∞ ∞ j =1
(Ac i × yi )) 具有形式 (