平面几何100题及答案(前80题)
平面几何100题及答案(前80题)
第一题、如图，F为。
0外一点，PA、PB分别切6于A、B, PCD为ST割线，CO 交CX）于另一点E, AC、EB交于点F,证明：CD平分匕ADF。
"证明方法一：如图，延长ED交CA于K,根据条件知四边形CADB为调和四边形，故ED、EC、EA、EB构成一组调和线束，进而知K、C、A、F构成一组调和点列。
而KD±CD, 故CD平分ZADFo 3证明方法二：如鼠连結OA、OE、AB、BC,因为ZAFB = ZACE-ZBEC =ZAOE-ZBOC ISCT-NAOC-NBOC 半，且PA = PB,故点P为TkABF的外心。
于是知ZPFA= ZPAC = ZPDA,所以P、A、D、F 四点共圆。
又PA= PF,故CD 平分Z A DF。
3第二题、如图，AB为©0直径，C、D为O。
上两点，且在AB同侧，。
在C、D两处的切城交于点E, BC、AD交于点F, EF交AB于证明：E、C、页、D四点共圆。
“证明：如图，延长白C、BD交于点K,则BC1AK, AD丄BK,从而知F^)AKAB的垂心。
又在圆内接六边形CCADDB中使用帕斯卡定理，知K、E、F三点共线，从而KM丄卽于価。
于是知匕CMF = ZCAF= ZCDE,所以E、C、页、D四点共圆。
K第三题、如图，AB为。
直径，C、D为伽上两点'且在AB同侧，O0在C. D两处的切线交于点E, BC、AD交于点F, EB交0。
于点G,证明；ZCEF = 2/AGF。
“证明：如图，根据条件知匕CF D =典牌=(脸-®；(i对-命)=Z CAB + / DBA = ZECF + ZEDF；且EC = ED；故点E 为△CED 外心。
于是知/EFC = ZECF = ZCAB = ZCGE,敌E、C、F、G四点共圆。
所以“ZCGF = ZCEF = 2(90° - ZECF)= 2(90° - ZCAB)= 2ZABC 二2ZAGC " 0lWZAGF = —=—,即得ZCEF = 2ZAGFo，2 2第四題、如图，AB为直径，P为AB延长线上一点，PC切于C,点C关于朋的对称点为点D, CE1AD于E, F为CE中点，AF交于K,求证：AP为ZXPCK外扬圆的切线。
2024年数学九年级上册解析几何基础练习题(含答案)
2024年数学九年级上册解析几何基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)关于x轴的对称点是（）A. (2, 3)B. (2, 3)C. (2, 3)D. (2, 3)2. 已知点P在第二象限，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P的坐标是（）A. (3, 4)B. (3, 4)C. (4, 3)D. (4, 3)3. 直线y=2x+1的斜率是（）A. 1B. 2C. 1D. 24. 下列函数中，哪一个是一次函数？（）A. y=x^2B. y=2xC. y=x^3D. y=1/x5. 在平面直角坐标系中，点A(1, 2)和点B(2, 4)所在的直线方程是（）A. y=2x+4B. y=2x+4C. y=x+3D. y=x+36. 一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，则k和b的取值范围是（）A. k>0, b>0B. k<0, b>0C. k>0, b<0D. k<0, b<07. 下列各点中，哪一个点不在直线y=x+3上？（）A. (1, 2)B. (2, 1)C. (1, 4)D. (2, 5)8. 已知直线y=2x+1与y轴的交点坐标是（0, a），则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 19. 在平面直角坐标系中，两条平行线的斜率分别是2和2，则这两条直线（）A. 相交B. 平行C. 重合D. 垂直10. 已知一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0, 3)，且过点(1,5)，则该函数的解析式为（）A. y=2x+3B. y=3x+3C. y=2x+3D. y=3x+3二、判断题：1. 一次函数的图象是一条直线。
（）2. 两条平行线的斜率一定相等。
（）3. 一次函数y=kx+b中，当k>0时，直线必经过第一象限。
（）4. 点(0, 0)是所有直线上的点。
（）5. 直线y=2x+1的斜率为2，说明直线与x轴的夹角为60度。
几何图形初步真题汇编含答案
几何图形初步真题汇编含答案一、选择题1．下列说法，正确的是( )A．经过一点有且只有一条直线B．两条射线组成的图形叫做角C．两条直线相交至少有两个交点D．两点确定一条直线【答案】D【解析】【分析】根据直线的性质、角的定义、相交线的概念一一判断即可．【详解】A、经过两点有且只有一条直线，故错误；B、有公共顶点的两条射线组成的图形叫做角，故错误；C、两条直线相交有一个交点，故错误；D、两点确定一条直线，故正确，故选D．【点睛】本题考查直线的性质、角的定义、相交线的概念，熟练掌握相关知识是解题的关键. 2．将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，主视图是等腰三角形．故选D．首先判断直角三角形ACB 绕直角边AC 旋转一周所得到的几何体是圆锥，再找出圆锥的主视图即可．3．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（ ）A ．90°B ．75°C ．105°D ．120°【答案】B【解析】【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==︒∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数．【详解】∵//BC DE∴30E BCE ==︒∠∠∴453075AFC B BCE =+=︒+︒=︒∠∠∠故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键．4．如图所示是一个正方体展开图，图中六个正方形内分别标有“新”、“时”、“代”、“去”、“奋”、“斗”、六个字，将其围成一个正方体后，则与“奋”相对的字是( )A ．斗B ．新C ．时D ．代【答案】C【解析】分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 详解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“时”相对的字是“奋”；“代”相对的字是“新”；“去”相对的字是“斗”．故选C ．点睛：本题主要考查了正方体的平面展开图，解题的关键是掌握立方体的11种展开图的特征．5．如图，O是直线AB上一点，OC平分∠DOB,∠COD=55°45′,则∠AOD=（）A．68°30′B．69°30′C．68°38′D．69°38′【答案】A【解析】【分析】先根据平分，求出∠COB，再利用互补求∠AOD【详解】∵OC平分∠DOB，∠COD=55°45′∴∠COB=55°45′，∠DOB=55°45′+55°45′=111°30′∴∠AOD=180－111°30′=68°30′故选：A【点睛】本题考查角度的简单推理，计算过程中，设计到了分这个单位，需要注意，分与度的进率是606．如图，是一个正方体的表面展开图，将其折成正方体后，则“扫”的对面是（）A．黑B．除C．恶D．☆【答案】B【解析】【分析】正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．【详解】解：将其折成正方体后，则“扫”的对面是除．故选B．【点睛】本题考查了正方体的相对面的问题．能够根据正方体及其表面展开图的特点，找到相对的面是解题的关键．∠=∠的图形的个数是（）7．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中αβA．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】【分析】根据直角三角板可得第一个图形∠β=45°，进而可得∠α=45°；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中∠α=∠β，第三个图形∠α和∠β互补．【详解】根据角的和差关系可得第一个图形∠α=∠β=45°，根据等角的补角相等可得第二个图形∠α=∠β，第三个图形∠α+∠β=180°，不相等，根据同角的余角相等可得第四个图形∠α=∠β，因此∠α=∠β的图形个数共有3个，故选：C．【点睛】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的性质：等角的补角相等．等角的余角相等．8．一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（）A．中B．考C．顺D．利【答案】C【解析】试题解析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“祝”与“考”是相对面，“你”与“顺”是相对面，“中”与“立”是相对面．故选C．考点：正方体展开图.9．如图是由四个正方体组合而成，当从正面看时，则得到的平面视图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可．【详解】解：从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行最左边是一个正方体．故选：D．【点睛】本题主要考查三视图的识别，解决本题的关键是要熟练掌握三视图的识别方法.10．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=3，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上一点，则DE+BE的最小值为（）A．2B31C3D．23【答案】C【解析】作B关于AC的对称点B'，连接B′D，易求∠ABB'=60°，则AB=AB'，且△ABB'为等边三角形，BE+DE=DE+EB'为B'与直线AB之间的连接线段，其最小值为B'到AB的距离=AC=3，所以最小值为3．【详解】解：作B关于AC的对称点B'，连接B′D，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∵AB=AB'，∴△ABB'为等边三角形，∴BE+DE=DE+EB'为B'与直线AB之间的连接线段，∴最小值为B'到AB的距离=AC=3，故选C．【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．11．如图，小慧从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C 处，此时需要将方向调整到与出发时一致，则方向的调整应为（）A．左转80°B．右转80°C．左转100°D．右转100°【答案】B【解析】【分析】如图，延长AB到D，过C作CE//AD，由题意可得∠A=60°，∠1=20°，根据平行线的性质可得∠A=∠2，∠3=∠1+∠2，进而可得答案.如图，延长AB到D，过C作CE//AD，∵此时需要将方向调整到与出发时一致，∴此时沿CE方向行走，∵从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，∴∠A=60°，∠1=20°，AM∥BN，CE∥AB，∴∠A=∠2=60°，∠1+∠2=∠3∴∠3=∠1+∠2=20°+60°=80°，∴应右转80°.故选B.【点睛】本题考查了方向角有关的知识及平行线的性质，解答时要注意以北方为参照方向，进行角度调整.12．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：如右图，连接OP ，由于OP 是Rt △AOB 斜边上的中线，所以OP=12AB ，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP 是一个定值，点P 就在以O 为圆心的圆弧上，那么中点P 下落的路线是一段弧线．故选D ．13．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果145∠=°，330∠=°时，那么2∠的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．45°【答案】A【解析】【分析】 根据∠2=∠BOD+EOC-∠BOE ，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD 和∠EOC 的度数从而求解．【详解】∵∠BOD=90°-∠3=90°-30°=60°，∠EOC=90°-∠1=90°-45°=45°，∵∠2=∠BOD+∠EOC-∠BOE ，∴∠2=60°+45°-90°=15°．故选：A ．【点睛】此题考查余角和补角，正确理解∠2=∠BOD+EOC-∠BOE 这一关系是解题的关键．14．如图，直线 a ∥b ∥c ，直角三角板的直角顶点落在直线 b 上，若∠1＝30°，则∠2 等于（ ）A ．40°B ．60°C ．50°D ．70° 【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等得1324==∠∠，∠∠，再根据直角三角板的性质得341290+=+=︒∠∠∠∠，即可求出∠2的度数．【详解】∵a ∥b ∥c∴1324==∠∠，∠∠∵直角三角板的直角顶点落在直线 b 上∴341290+=+=︒∠∠∠∠∵∠1＝30°∴290160=︒-=︒∠∠故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线和三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角板的性质是解题的关键．15．如图，将一副三角板如图放置，∠COD=28°，则∠AOB 的度数为( )A ．152°B ．148°C ．136°D ．144°【答案】A【解析】【分析】根据三角板的性质得90AOD BOC ∠=∠=︒，再根据同角的余角相等可得62AOC BOD ==︒∠∠，即可求出∠AOB 的度数．【详解】∵这是一副三角板∴90AOD BOC ∠=∠=︒∵28COD =︒∠∴62AOC BOD ==︒∠∠∴62+28+62=152AOB AOC COD BOD =++=︒︒︒︒∠∠∠∠故答案为：A ．【点睛】本题考查了三角板的度数问题，掌握三角板的性质、同角的余角相等是解题的关键．16．如图：点 C 是线段 AB 上的中点，点 D 在线段 CB 上，若AD=8，DB=3AD 4，则CD 的长为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】D【解析】【分析】根据线段成比例求出DB 的长度，即可得到AB 的长度，再根据中点平分线段的长度可得AC 的长度，根据CD AD AC =-即可求出CD 的长度．【详解】∵38,4AD DB AD ==∴6DB =∴14AB AD DB =+=∵点 C 是线段 AB 上的中点∴172AC AB == ∴1CD AD AC =-=故答案为：D ．【点睛】本题考查了线段的长度问题，掌握成比例线段的性质、中点平分线段的长度是解题的关键．17．如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的主视图是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】对一个物体，在正面进行正投影得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图.【详解】解：由主视图的定义可知A选项中的图形为该立体图形的主视图，故选择A.【点睛】本题考查了三视图的概念.18．若∠AOB =60°，∠AOC =40°，则∠BOC等于（）A．100°B．20°C．20°或100°D．40°【答案】C【解析】【分析】画出符合题意的两个图形，根据图形即可得出答案.【详解】解: 如图1,当∠AOC在∠AOB的外部时,∵∠AOB=60°，∠AOC=40°∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=60°+40°=100°如图2,当∠AOC 在∠AOB 的内部时，∵∠AOB=60°，∠AOC=40°∴ ∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-40°=20°即∠BOC 的度数是100°或20°故选：C【点睛】本题考查了角的有关计算的应用，主要考查学生根据图形进行计算的能力，分类讨论思想和数形结合思想的运用.19．下列说法中正确的有（ ）（1）如果互余的两个角的度数之比为1：3，那么这两个角分别是45°和135° （2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角不一定相等（3）一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°（4）如果两个角的度数分别是73°42′与16°18′，那么这两个角互余．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】根据余角和补角的定义依次判断即可求解．【详解】（1）由互余的两个角的和为90°可知（1）错误；（2）由同角的补角相等可知（2）错误；（3）设这个角为x ，则其余角为（90°﹣x ），补角为（18 0°﹣x ），则（180°﹣x ）﹣（90°﹣x ）＝90°，由此可知（3）正确；（4）由73°42+16°18′＝90°可知（4）正确．综上，正确的结论为（3）（4），共2个.故选B ．【点睛】本题考查了余角和补角的定义，熟练运用余角和补角的定义是解决问题的关键．20．如图，已知直线AB 和CD 相交于G 点，CG EG ⊥，GF 平分AGE ∠，34CGF ∠=︒，则BGD ∠大小为（ ）A．22︒B．34︒C．56︒D．90︒【答案】A【解析】【分析】先根据垂直的定义求出∠EGF的度数，然后根据GF平分∠ABE可得出∠AGF的度数，再由∠AGC=∠AGF-∠CGF求出∠AGC的度数，最后根据对顶角相等可得出∠BGD的度数．【详解】解：∵CG⊥EG，∴∠EGF=90°-∠CGF=90°-34°=56°，又GF平分∠AGE，∴∠AGF=∠EGF=56°，∴∠AGC=∠AGF-∠CGF=56°-34°=22°，∴∠BGD=∠AGC=22°．故选：A．【点睛】本题考查了对顶角的性质，垂直的定义以及角平分线的定义，掌握基本概念和性质是解题的关键．。
公务员行测-几何问题
几何问题一、平面几何问题1、角度计算【例】如图：PA、PB与圆相切于A和B，C是圆上的一点。
若∠P=800，则∠ACB=（）A．450B．500 C．550D．600【答案】B【解题关键点】连接AB，即可知∠PAB=∠PBA=∠ACB，再根据∠P+∠PAB+∠PBA=1800，可求∠ACB=500。
2、周长计算【例】如图所示，以大圆的一条直径上的七个点为圆心，画出七个紧密相连的小圆。
请问，大圆的周长与大圆内部七个小圆的周长之和相比较，结果是（）。
A．大圆的周长大于小圆的周长之和B．小圆的周长之和大于大圆的周长C．一样长D．无法判断【答案】C【解题关键点】设小圆的直径从上到下依次为d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7，则小圆的周长分别为c1=π×d1, c2=π×d2, c3=π×d3, c4=π×d4, c5=π×d5, c6=π×d6, c7=π×d7,显然，c1+c2+c3+c4+c5+c6+c7=π×（d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7）=π×D （大圆直径）=C （大圆周长）。
3、面积问题a ．基本公式(1)三角形的面积S=½ a b(2)长方形的面积S=a ×b(3)正方形的面积S=a ²(4)梯形的面积S= (a+b)h(5)圆的面积S=πr ²=¼πd ²b ．基本性质(1)等底等高的两个三角形面积相同(2)等底的两个三角形面积之比等于高之比(3)等高的两个三角形面积之比等于底之比【例】如图，AF=2FB ，FD=2EF ，直角三角形ABC 的面积是36平方厘米，平行四边形EBCD 的面积为（ ）平方厘米。
A ．16B ．24C ．32D ．36【答案】B 【解题关键点】由于AF=2FB ，所以AF=32AB ，S AFD =94，S ABC =94×36=16，由于EFFD FB AF ==2：1，因此三角形AFD 与EFB 相似，则S AFD =45cm ，即S EFB =4，故S EBCD = S EFB +S ABC - S AFD =4+36-16=24平方厘米。
平面几何100题2.0版61-100,1'-30'
61.设ω是△A B C的外接圆，ΓA是与线段A B、A C相切且与ω内切的圆，ΓB是与线段B A、B C相切且与ω内切的圆，ΓC是与线段C A、C B相切且与ω内切的圆．设过B、C且与ΓA 相切的圆（不同于ω）切ΓA于X，过C、A且与ΓB相切的圆（不同于ω）切ΓB于Y，过A、B且与ΓC相切的圆（不同于ω）切ΓC于Z．证明：A X、B Y、C Z三线共点．62.设⊙I是△A B C的内切圆，⊙u、⊙v、⊙w分别是过点B和点C且与⊙I相切的圆、过点A和点C且与⊙I相切的圆、过点B和点A且与⊙I相切的圆．设P、Q、R、S、T、U分别是⊙w与B C、⊙v与B C、⊙v与A B、⊙u与A B、⊙u与C A、⊙w与A C的交点（均不同于A、B、C）．I1、I2分别是△A R Q、△B S T的内心，类似定义I3、I4、I5、I6．I A是△A S T∠S A T内的旁心，类似定义I B、I C．求证∶△I A I2I3、△I B I6I1、△I C I4I5的欧拉线共点．63.以凸四边形A B C D为边长向外作正方形A E1E2B、B F1F2C、C G1G2D、D H1H2A．连接A F1、B G1、C H1、D E1交出四边形A'B'C'D'，连接D F2、A G2、B H2、C E2交出四边形A''B''C''D''．证明∶A'A''、B'B''、C'C''、D'D''交出的四边形是正方形．64.圆内接四边形A B C D中，直线A C、B D交于E，直线A B、C D交于F，直线B C、D A交于G．设△A B E的外接圆与直线C B交于B、P两点，△A D E的外接圆与直线C D交于D、Q两点．设直线F P、G Q交于点M，证明∶A M⊥A C．65.设⊙X、⊙Y、⊙Z分别为△A B C∠B A C、∠A B C、∠B C A内的旁切圆，D、E、F、G、H、I分别是⊙Z与A C、⊙Z与B C、⊙X与A B、⊙X与A C、⊙Y与B C、⊙Y与A B的切点．F D、G I交于J，I E、H F交于K，E G、D H交于L，设M、N、O、P、Q、R分别是K L、L J、J K、B C、C A、A B的中点．证明∶直线M P、N Q、O R三线共点．66.已知凸六边形A B C D E F既有外接圆又有内切圆，记△A B C、△B C D、△C D E、△D E F、△E F A、△F A B的内切圆分别为ωb、ωc、ωd、ωe、ωf、ωa.l A B表示ωb、ωa的另一条外公切线（不为A B），类似定义l B C、l C D、l D E、l E F、l F A.设l F A与l A B的交点为A1，类似定义B1、C1、D1、E1、F1．若六边形A1B1C1D1E1F1为凸六边形，证明：该六边形的对角线共点．67.已知圆弧Γ1、Γ2、Γ3均过点A、C，且在直线A C同侧，Γ2在Γ1与Γ3之间，B是线段A C上一点，由B引三条射线h1、h2、h3，与Γ1、Γ2、Γ3在直线A C的同侧，且h2在h1与h3之间．设h i与Γj（i,j=1,2,3）的交点为V i j.由线段V i j V i l、V k j V k l及弧V i j V k j、弧V i l V k l构成的曲边四边形记为V i j V k j V k l V i l,若存在一个圆与其两条线段和两条弧均相切，则称这个圆为这个曲边四边形的内切圆．证明：若曲边四边形V11V21V22V12、V12V22V23V13、V21V31V32V22均有内切圆，则曲边四边形V22V32V33V23也有内切圆．68.设△A B C的内心为I，⊙I分别切边B C，C A，A B于点D、E、F，设A I与D E、D F交于点M、N，以M N为直径的圆交B C于P、Q．已知△A P Q的外接圆与⊙I切于R，△A B C 的外接圆与九点圆切于F e,设R F e与D E、D F分别交于点M'、N'．以M'N'为直径的圆交B C 于点P'、Q'．证明：△A P'Q'的外接圆与⊙I的根轴平分线段B C．69.设I是△A B C的内心，∠B A C、∠A B C、∠B C A的内角平分线分别交对边于点D、E、F．记H是△D E F垂心．证明：I H与△A B C的欧拉线平行．70.设⊙O、⊙P、⊙Q分别是△A B C∠B A C、∠C B A、∠A C B内的旁切圆，G、H、I、J、K、L分别是⊙P与A B、⊙Q与A C、⊙Q与B C、⊙O与A B、⊙O与A C、⊙P与B C的切点．证明∶△J K D、△L G E、△H I F、△A B C的欧拉线共点．71.△A B C中，O为外心，K为△A B C九点圆圆心关于△A B C的等角共轭点.K在B C、C A、A B上的射影分别为D、E、F，H是△D E F垂心.证明：O、K、H共线.72.已知H、I分别为△A B C垂心、内心，D、E、F分别在射线A H、B H、C H上，且A D=B E=C F=2r,这里r是△A B C的内切圆半径.证明：I也为△D E F内心.73.已知B、I1、I2、C是⊙M上顺次四点，B I1与C I2交于A，△I1I2M的外接圆与A B、A C 再次交于M1、M2，点O'满足M1O'∥C I1，M2O'∥B I2．X、Y为△A B C的一组等角共轭点，D、E分别在A B、A C上使得X D∥C I1、X E∥B I2，N为△B M C外接圆弧B C（不含M）的中点，X N与△B M C外接圆的另一个交点为F．证明：X、Y、O'共线当且仅当△D E F外接圆与△I1I2M的外接圆相切．74.设△A B C∠B A C内的旁切圆切A B、A C于G、F，∠A B C内的旁切圆⊙P切A B、A C于E、N，∠A C B内的旁切圆⊙Q切A B、A C于M、D．直线D E、M N分别交⊙Q于H、J，交⊙P 于I、K．H C、B I交于X，J F、K G交于Y，证明∶∠B A X＝∠C A Y．75.△A B C的内切圆⊙I切B C于D，连接A D交⊙I于J，K在J D上且D K=A J，若B J⊥C J，证明：I、K关于△J B C等角共轭.76.O为△A B C外心，B C、C A上的旁切圆切点分别是X、Y，A X、B Y交于点N.圆Γ1切B A、C A延长线于E、D使得A D=A E=B C，类似地定义Γ2、Γ3.⊙U为与Γ1、Γ2、Γ3均外切的圆，证明:N、O、U共线.77.△A B C内切圆⊙I切B C于D，∠A C B内的旁切圆⊙P分别切B C、A B、C A于E、F、G，∠A B C内的旁切圆⊙Q分别切B C、C A、A B于H、J、K，C F与⊙P交于F、M两点，B J与⊙Q交于J、N两点.证明:M J、N F、A D共点.78.P为圆外切四边形A B C D内任意一点，A P、D P分别交B C于N、M.证明:△A P D、△M P N、△A B N、△C D M四个三角形的内心共圆.79.设⊙I是△A B C的内切圆，△B C D外接圆⊙O1、△C A E外接圆⊙O2、△A B F外接圆⊙O3分别与⊙I内切于点D、E、F．G H与S T、J K与N P、L M与Q R分别是⊙O2与⊙O3、⊙O1与⊙O2、⊙O3与⊙O1的外公切线（L、N、R、K在⊙O1上，P、H、J、S在⊙O2上，G、Q、T、M在⊙O3上，G H、T S与A分别在B C的同侧、异侧，L M、R Q与B分别在A C的同侧、异侧，J K、Y M与C分别在A B的同侧、异侧）．设△G H F、△J K E、△L M D外接圆分别为ω1、ω2、ω3，X、Y、Z分别是ω2与ω3、ω1与ω3、ω1与ω2的交点且X、A在B C异侧，Y、C在B A异侧，Z、B在A C异侧．证明∶S△K S X•S△M N Y•S△H Q Z＝S△L T X•S△G P Y•S△R J Z．80.圆外切四边形A B C D中两点P、Q满足∠D P A+∠B P C=∠D Q A+∠B Q C,I1、I2、I3、I4、I11、I22、I33、I44分别是△P A B、△P B C、△P C D、△P D A、△Q A B、△Q B C、△Q C D、△Q D A 的内心.证明:I1、I2、I3、I4共圆当且仅当I11、I22、I33、I44共圆.81.△A B C的内切圆分别切A C、A B于E、F.P、Q分别为边A C、A B上的旁切圆切点.点M 为B C中点，P Q、E F交于R.设△A B C九点圆与内切圆切于K，证明:M、R、K共线.82.凸四边形A B C D中，△A B C、△B C D、△C D A、△D A B的内心分别为I D、I A、I B、I C，∠B A C与∠B D C的角平分线交于点E，∠A B D与∠AC D的角平分线交于点F，线段ID I A、I B I C、E F的中点分别为X、Y、Z.证明:X、Y、Z三点共线.83.设ω1、ω2分别是过A、C且与△A B C内切圆内切于J的圆与过B、A且与△A B C内切圆内切于K的圆.设Q、R分别是ω1、ω2与B C的交点，ω1与A B交于P，ω2与A C交于S,X 是△C S R∠C内的旁心，Y是△B P Q∠B内的旁心，M是△B S R的内心，N是△C P Q的内心.证明:四边形X Y M N是矩形.84.设圆Γ过B，C且与△A B C的内切圆⊙I内切于点J，延长A J交B C于K，交Γ于L.证明:（K B/K C）2=(L B/L C)3.85.⊙I、⊙J、⊙K与⊙O外切于X、Y、Z，E H、F L、M G分别是⊙I与⊙K、⊙I与⊙J、⊙J 与⊙K的外公切线且均与⊙O相交，并且E、F、G、H、L、M均为切点.H G与M L、E F与H G、E F与M L分别交于点U、V、W.证明:Y W·X V·Z U=WX·V Z·U Y.86.设I、O分别是△A B C的内心、外心，U、V分别为⊙O与⊙I的外位似中心与内位似中心，设E、F、Y、Z分别是B I与A C、C I与A B、B O与A C、C O与A B的交点.证明：U、E、F 共线的充要条件是V、Y、Z共线.87.设P、Q是△A B C的一对等角共轭点且△A B C的重心G与P、Q共线.D、E、F分别是A P 与B C、B P与A C、C P与A B的交点，A Q、B Q、C Q分别与△A B C外接圆再次交于点X、Y、Z，证明：△A D X、△B E Y、△C F Z外接圆有公共的根轴.88.给定△A B C，证明：在△A B C所在平面内存在唯一的一点P，使得△A B C、△P A B、△P B C、△P C A的欧拉线互相平行.89.设N为△A B C的九点圆圆心，N在B C、C A、A B上的射影分别为D、E、F，R为N 关于△D E F的等角共轭点，X是△A E F的九点圆圆心.证明：R X垂直于B C.90.设O、I a、I b、I c分别是△A B C的外心、∠B A C内的旁心、∠A B C内的旁心、∠B C A 内的旁心.设与⊙I b、⊙I c外切且与⊙O内切的圆与⊙O切于X，类似定义Y、Z.证明：A X、B Y、C Z三线共点.91.O为△A B C外心，P、Q为△A B C的一对等角共轭点.设D、E、F分别为A P与B C、B P与C A、C P与A B的交点.设一条与O Q垂直的直线分别与B C、C A、A B交于点X、Y、Z.证明：△AD X外接圆、△BE Y外接圆、△CF Z外接圆有一条公共的根轴.92.设I、O分别为△A B C的内心、外心，D、E、F分别为A I与B C、B I与A C、C I与A B的交点.设ωa为与A B、A C相切且与⊙O内切的圆，过E，F作ωa的切线(不同于直线A B、A C)交于D1，X为ωa与⊙O切点，类似定义E1、F1、Y、Z.证明：X D1、Y E1、Z F1、O I 四线共点.93.设P为△A B C内一点，D、E、F分别是A P与B C、B P与A C、C P与A B的交点.设△D E F外接圆与直线B C另一个交点为X，O为△A B C外心，T为△D E F垂心，X'为X 关于直线E F的对称点.证明：A X'、B C、O T三线共点.94.给定△A B C及与一点P，设A P与B C、B P与C A、C P与A B的交点分别为D、E、F.证明：存在两点U、V使得V是U关于△A B C的等角共轭点，也是U关于△D E F的等角共轭点.95.△A B C的垂心为H，A H与B C交点为D.U、V为线段B C上两点使得∠B H U=∠C H V，P Q、R S为△A B C外接圆的两条弦且分别过U、V.证明：△A D P、△A D Q、△A D R、△A D S四个三角形的垂心共圆.96.△A B C的内心、外心、垂心分别是I、O、H.P为直线O I上一点，P a、P b、P c分别是P在B C、C A、A B上的射影.设A I、B I、C I与⊙O再次交于D、E、F，设D'、E'、F'分别为D关于P a、E关于P b、F关于P c的对称点.证明：D'、E'、F'、H四点共圆.97.△A B C外心为O，P为△A B C所在平面内一点，D、E、F分别为P在B C、A C、A B 上的射影，A P、B P、C P与⊙O再次交于点X、Y、Z.X'、Y'、Z'分别是X关于O D、Y关于O E、Z关于O F的对称点.证明：A X'、B Y'、C Z'三线共点.98.△A B C外心为O，共轭重心为K，D与A在直线B C同侧且△B C D为正三角形，J是A D 中垂线与B C交点，A J与⊙O再次交于T.证明：T关于△A B C的西姆松线平行于O K.99.P为△A B C内一点，D、E、F分别是A P与B C、B P与A C、C P与A B交点，X、Y、Z分别是P在B C、C A、A B上的射影.P关于△A B C的等角共轭点Q，O为△A B C外心，r为⊙O 半径.R在射线O Q上且O P·O Q=r2.△D E F外接圆与△X Y Z外接圆有两个不同的交点T1、T2.l1、l2分别为T1、T2关于△D E F的西姆松线，直线l3、l4使得l3∥l1且T1到l3的距离为T1到l1距离的两倍，l4∥l2且T2到l4的距离等于T2到l2距离的两倍(T1在l1、l3的同侧，T2在l2、l4的同侧).证明：l3、l4一条过P，一条过R.100.已知⊙O上顺次五点A、B、C、D、E，设ω1为与B C、A C相切且与⊙O内切的圆，ω2为与A D、B E相切且与⊙O内切的圆，ω3为与A D、B E相切且与⊙O外切的圆.证明：C向ω3所作的一条切线与ω1与ω2的一条公切线平行.1'.已知⊙O1与△A B C的A B、B C边相切且与△A B C的外接圆内切于E，⊙O2与△A B C的A C、B C边相切且与△A B C的外接圆内切于F，连接E O2、F O1交于X.证明：A X平分∠B A C.2'.一直线交△X1X2X3三边所在直线X2X3、X3X1、X1X2于A1、A2、A3.分别过A1、A2、A3作X2X3、X3X1、X1X2的垂线,三垂线交成△Y1Y2Y3.证明：直线A1A2A3平分△X1X2X3垂心和△Y1Y2Y3垂心的连线段.3'.设H为锐角△A B C的垂心，M为B C中点，⊙I1、⊙I2分别为△A B H、△A C H的内切圆.证明：⊙I1、⊙I2除A H外的另一条内公切线过M.4'.设△A B C的内切圆分别切B C、C A、A B于D、E、F.记D关于E F、E关于F D、F关于D E 的对称点分别为D’、E’、F’,V为△A B C的九点圆心.证明：V在△D’E’F’的欧拉线上.5'.△A B C内接与⊙O,H是△A B C的垂心，E、F分别是H关于直线A C、A B的对称点.O E与A C交于M,O F与A B交于N,作平行四边形A B D C,设X、Y、Z分别是H在M N、N D、M D边上的射影.证明：△X Y Z的外接圆与△A B C的九点圆相切.6'.已知⊙I为△A B C的内切圆，⊙U过B、C两点，⊙V与边A B、A C相切且与⊙U内切，l 为平行于B C且与⊙I相切的直线（l不与B C重合），L为⊙U上任意一点，过L作⊙I的切线交l于E、F.证明：△E F L的外接圆与⊙V相切.7'.设K是△A B C的共轭重心，P是△A B C内任意一点，P在B C、C A、A B的射影分别为X、Y、Z，G为△X Y Z的重心，D在A B C的外接圆上且满足D关于△A B C的西姆松线与直线K P平行.设直线A D、B C交于E；直线B D、A C交于F；直线E F、A B交于J.证明：J、K、G共线.8'.设H、I分别为△A B C的垂心、内心，A B、A C上的旁切圆切点分别为F、E,线段B E与C F相交于N.设H N中点为M，J在射线M I上满足J M·I M＝M H²，直线I N与B C交于D，G在线段B C上且满足B G＝C D.证明：G I＝G J.9'.已知四边形A B C D为圆外切四边形，A C、B D的中垂线相交于P，设I1、I2、I3、I4分别为△A B P、△B C P、△C D P、△D A P的内心.证明：I1、I2、I3、I4四点共圆.10'.设四边形A B C D内接于⊙U,⊙V与线段A C、B D相切（与线段B C相交）且与⊙U内切于T,F为劣弧B C上任意一点，⊙P与线段A F、B C相切（与线段A B相交）且与⊙U内切.设M是⊙P与B C的切点，延长D M交⊙U于E.⊙Q与线段D E、B C相切（与线段C D相交）且与⊙U内切，⊙R与直线B F、C E相切且与⊙U外切于X.设N是⊙Q与B C的切点.证明：M、N、T、X四点共圆.。
平面解析几何初步一轮复习-(有答案)
第四章 平面解析几何初步 第1课时 直线的方程1．倾斜角：对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k ＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．2．过两点P 1(x 1，y 1），P 2（x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式 ．若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式例1。
已知直线(2m 2＋m －3)x ＋（m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－23．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时,直线过原点．解：(1) －1 ⑵ 2或－21⑶31或－2 ⑷－23⑸ 41变式训练1.(1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° （2）设直线的斜率k=2,P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点,则x 2，y 3依次是 （ ）A ．－3，4B ．2，－3C ．4,－3D ．4,3(3）直线l 1与l 2关于x 轴对称,l 1的斜率是－错误!，则l 2的斜率是 ( ）A ．7B ．－77 C ．77D ．－错误! （4）直线l 经过两点(1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．解:（1）D ．提示:直线的斜率即倾斜角的正切值是－33． （2）C ．提示：用斜率计算公式1212y y x x --． （3）A ．提示：两直线的斜率互为相反数．（4)2y ＋3x ＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式典型例题 基础过关例2. 已知三点A （1，—1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 证明 方法一 ∵A （1，—1)，B(3，3），C （4，5）, ∴k AB =1313-+=2,k BC =3435--=2,∴k AB =k BC ，∴A 、B 、C 三点共线.方法二 ∵A （1,-1)，B(3，3），C （4，5）， ∴｜AB|=25,|BC ｜=5，｜AC ｜=35, ∴|AB ｜+｜BC ｜=|AC ｜，即A 、B 、C 三点共线. 方法三 ∵A(1，—1），B （3，3），C （4，5）， ∴AB =(2,4），BC =（1，2）,∴AB =2BC . 又∵AB 与BC 有公共点B,∴A 、B 、C 三点共线.变式训练2。