概率与统计-中心极限定理
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n
b n a n n n
例1 某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工具, 他 分成1200段进行测量, 每段测量误差（单位: 厘米）服从
区间 0.5,0.5上的均匀分布, 试求总距离测量误差的
绝对值超过 20 厘米的概率.
1200
解
设第i 段的测量误差为 X i , 所以累计误差为
X ,
i 1 i
又 X1, X 2 ,, X1200 为独立同分布的随机变量, 由
X i R 0.5,0.5
得
1 E X i 0, D X i , 12
i 1, 2,,1200 .
由独立同分布情形下的中心极限定理:
X np P 2.326 0.99. np 1 p
从而
3 300 20 320. X 300 2.326 20 4
即: 只要供应 320Q 瓦的电力, 就能以99%的把握保证该
车间的机器能正常ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ作.
例5. 为了测定一台机床的质量, 将其分解成若干个部件 来称量. 假定每个部件的称量误差（单位: kg ）服从区
2 1 2 0.0456.
定理5.5中限定条件得到如下定理5.6
定理 5.6 设 X1, X 2 ,, X n 是一个独立同分布的 随机变量序列,且 Xi
B 1, p ,
n i 1
令
Yn X i ,
则对任意的 x x , 有
间 1,1 上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的, 试
问至多分成多少个部件才能以不低于99%的概率保证 机床的称量总误差的绝对值不超过10. 解 以 X i 表示第 i 个部件的称量误差, 设分成n个部件
从而
X i R 1,1. 1 2 0, , 3
n X i n n 10 0 P X i 10 P i 1 n n3 i 1 10 0 2 1 0.99 n3 2 10 10 0 u0.995 2.576 所以 n 3 45 n3 2.576
p 0.75,
及 Yn B 400,0.75 , 因 n 400, 由中心极限定理知, 对 任意的 x, 有
Y np P n x x, np 1 p
由条件所设, 所求的概率为
x 0.99.
而 x 为标准正态分布的分布函数, 查表得 x 2.326. 即:
则对任意的 x x , 有
i 1, 2, ,
n X i np lim P i 1 x x . n n
应 用 当 n 充 分 大 时
P a Xi b i 1 n a n X i n b n i 1 P n n n 2
1.55 1.55
2 1.55 1 0.8788.
例3. 有一批钢材, 其中80%的长度不小于3m, 现从钢材 中随机取出100根, 试利用中心极限定理求小于3m的钢
不超过30根的概率.
Yn B 100,0.2 , np 20, np 1 p 16,
则
解
以 Yn 为100根钢材中小于3m的钢材根数, 由题意知:
0 20 Yn np 30 20 P 0 Yn 30 P 4 4 np 1 p 2.5 5 0.9938.
例4. 设一个车间有400台同类型的机床, 每台机床需用 电 Q 瓦, 由于工艺关系, 每台机器并不连续开动, 开动的
标准化后得
X
i 1
n
i
n
2
n
n
N 0,1
因此:
X i n i 1 P b b n
定理5.5 独立同分布的中心极限 设 X1, X 2 ,, X n , 是独立同分布的随机变量序列, 且
E X i p, D X i 2 0
时候只占工作总时间的 3/ 4, 问应该供应多少瓦电力能
99%的概率保证该车间的车床能正常工作.（假定在工作 期内每台机器是否处于工作状态是相互独立的） . 解 令Yn 表示在时刻 t 时正在开动的机器数, 则Yn 可以表
A ”发生的 示在400次相互独立的重复实验试验中事件“ 次 数, 由前面所讨论的知:
Y np 1 n lim P x n np 1 p 2
即当 n 充分大时,
np 1 p Yn np
x
e
t2 2
dt ,
近似服从标准正态分布.
例2. 在次品率为1/6的一大批产品中, 任意取出300件产 品, 利用中心极限定理, 计算抽取的产品中次品数在40到60
之间的概率.
解 以 Yn 表示300件产品中次品的总数, 由题意得
1 Yn B 300, , 6 250 此时, np 50, np 1 p , 由中心极限定理得 6 40 50 Yn np 60 50 P 40 X 60 P 250 / 6 250 / 6 np 1 p
n P X i 20 P i 1
X i n 20 i 1 n 1 1200 12
n
1 P
X i n i 1 2 n
n
1 2 2
b n a n n n
例1 某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工具, 他 分成1200段进行测量, 每段测量误差（单位: 厘米）服从
区间 0.5,0.5上的均匀分布, 试求总距离测量误差的
绝对值超过 20 厘米的概率.
1200
解
设第i 段的测量误差为 X i , 所以累计误差为
X ,
i 1 i
又 X1, X 2 ,, X1200 为独立同分布的随机变量, 由
X i R 0.5,0.5
得
1 E X i 0, D X i , 12
i 1, 2,,1200 .
由独立同分布情形下的中心极限定理:
X np P 2.326 0.99. np 1 p
从而
3 300 20 320. X 300 2.326 20 4
即: 只要供应 320Q 瓦的电力, 就能以99%的把握保证该
车间的机器能正常ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ作.
例5. 为了测定一台机床的质量, 将其分解成若干个部件 来称量. 假定每个部件的称量误差（单位: kg ）服从区
2 1 2 0.0456.
定理5.5中限定条件得到如下定理5.6
定理 5.6 设 X1, X 2 ,, X n 是一个独立同分布的 随机变量序列,且 Xi
B 1, p ,
n i 1
令
Yn X i ,
则对任意的 x x , 有
间 1,1 上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的, 试
问至多分成多少个部件才能以不低于99%的概率保证 机床的称量总误差的绝对值不超过10. 解 以 X i 表示第 i 个部件的称量误差, 设分成n个部件
从而
X i R 1,1. 1 2 0, , 3
n X i n n 10 0 P X i 10 P i 1 n n3 i 1 10 0 2 1 0.99 n3 2 10 10 0 u0.995 2.576 所以 n 3 45 n3 2.576
p 0.75,
及 Yn B 400,0.75 , 因 n 400, 由中心极限定理知, 对 任意的 x, 有
Y np P n x x, np 1 p
由条件所设, 所求的概率为
x 0.99.
而 x 为标准正态分布的分布函数, 查表得 x 2.326. 即:
则对任意的 x x , 有
i 1, 2, ,
n X i np lim P i 1 x x . n n
应 用 当 n 充 分 大 时
P a Xi b i 1 n a n X i n b n i 1 P n n n 2
1.55 1.55
2 1.55 1 0.8788.
例3. 有一批钢材, 其中80%的长度不小于3m, 现从钢材 中随机取出100根, 试利用中心极限定理求小于3m的钢
不超过30根的概率.
Yn B 100,0.2 , np 20, np 1 p 16,
则
解
以 Yn 为100根钢材中小于3m的钢材根数, 由题意知:
0 20 Yn np 30 20 P 0 Yn 30 P 4 4 np 1 p 2.5 5 0.9938.
例4. 设一个车间有400台同类型的机床, 每台机床需用 电 Q 瓦, 由于工艺关系, 每台机器并不连续开动, 开动的
标准化后得
X
i 1
n
i
n
2
n
n
N 0,1
因此:
X i n i 1 P b b n
定理5.5 独立同分布的中心极限 设 X1, X 2 ,, X n , 是独立同分布的随机变量序列, 且
E X i p, D X i 2 0
时候只占工作总时间的 3/ 4, 问应该供应多少瓦电力能
99%的概率保证该车间的车床能正常工作.（假定在工作 期内每台机器是否处于工作状态是相互独立的） . 解 令Yn 表示在时刻 t 时正在开动的机器数, 则Yn 可以表
A ”发生的 示在400次相互独立的重复实验试验中事件“ 次 数, 由前面所讨论的知:
Y np 1 n lim P x n np 1 p 2
即当 n 充分大时,
np 1 p Yn np
x
e
t2 2
dt ,
近似服从标准正态分布.
例2. 在次品率为1/6的一大批产品中, 任意取出300件产 品, 利用中心极限定理, 计算抽取的产品中次品数在40到60
之间的概率.
解 以 Yn 表示300件产品中次品的总数, 由题意得
1 Yn B 300, , 6 250 此时, np 50, np 1 p , 由中心极限定理得 6 40 50 Yn np 60 50 P 40 X 60 P 250 / 6 250 / 6 np 1 p
n P X i 20 P i 1
X i n 20 i 1 n 1 1200 12
n
1 P
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n
1 2 2