线性时变周期系统的能控性分析
线性时变周期系统的能控性分析
1
引
言
线性时变系统也称为线性变系数系统，其特点是，表征系统动态过程的线性微分方程或 差分方程中,至少包含一个参数为随时间变化的函数。在现实世界中，由于系统外部和内部的 原因，参数的变化是不可避免的，因此严格地说几乎所有系统都属于时变系统的范畴。相比 于线性时不变系统，时变系统的研究分析和综合方法比线性时不变系统要复杂的多。然而， 在物理和工程技术中, 存在许多具有一定规律性的问题。许多问题最终都能导致具有周期系 数的线性微分方程组，大量的工业过程和社会系统的数学模型可归结为周期时变线性系统。 例如弹性力系统的动力学稳定性、卫星姿态控制、直升飞机传动系统、 生态系统和经济系统 中周期环境的竞争平衡等。又如在机械故障诊断中, 齿轮等零件周期性旋转而产生的振动信 号的模型；由于人体规律性作息，一天内不同时刻对相同刺激产生不同脑电信号的模型等。 这类常见而又特殊的系统一般称为时变周期系统。若系统还是线性的 , 则称为线性时变周期 ( linear time-varying periodic, LTVP)系统。为了研究用非线性微分方程描述的周期运动 的特性, 不少实际方法都是围绕研究带有周期系数的线性微分方程组而进行探索。 系统的能控性和能观性是线性系统理论中最基本的概念，两者之间已有了熟知的对偶关 系。线性定常系统经过半个多世纪的发展,系统能控性、能测性和能稳定性等基本问题已经有 相当完善的结果, 但与时变系统的对应结论一直欠缺。时变系统是一类重要而又研究较少的
线性时变周期系统的能控性分析
摘要: 本文讨论了线性时变系统研究现状及研究意义，介绍了线性时变周期系统的概念，并举出了 几种应用实例。 从线性时不变系统能控性的两个充要条件入手， 分别提出了两种类似线性时不变系 统能控性的判定时变周期系统能控性的必要条件的假设并加以证明。 该判别条件的优点是不必计算 系统的状态转移矩阵, 使判别时变周期系统能控性与能观性简单、 高效、 易于实现。并对两个判 定线性时变系统的能控性的必要条件的应用进行讨论。 关键词: 时变周期系统; 能控性; 状态转移矩阵;必要条件 Problem on controllability and stabilizability of linear time-varying periodic system Abstract: The present research situation and research significance of linear time-varying periodic system are discussed. The basic application instances are introduced. Two necessary conditions to judge the controllability of time-varying periodic systems are hypothesized from two necessary and sufficient conditions to judge the controllability of linear time invariant system. The determinant condition has such a merit of not calculating the system state transition matrix that it is simple and easy to judge the controllability and observability of time-varying periodic system. And application of the two necessary conditions to judge the controllability and observability of time-varying periodic systems are discussed. Keywords: time-varying periodic system; controllability; state transition matrix; necessary conditions
能控性与能观性
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
线性系统的能控性判据分析
线性系统的能控性判据分析摘要：能控性是线性系统的一个基本结构特征，它的出现对于系统控制和系统估计问题的研究具有重要意义。
本文主要讨论线性系统的能控性判据。
其中，能控性的判据分析有很多种方法，最常用的及时约旦标准型方法。
一：问题的提出设计一个线性系统，我们总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。
因此，判断一个系统能控性问题就显得尤为重要。
能控性是从状态的控制能力方面来揭示了控制系统的一个基本属性。
现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性为存在条件的。
1. 能控性定义 能控性的直观讨论从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量,状态为系统内部变量。
能控性主要看其状态是否可由输入影响。
每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的始点到达原点,为能控,反之为不完全能控。
具体来说就是指外加控制作用u(t) 对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。
二：问题的解决我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。
设线性定常系统状态方程为：能控性判据：1.格拉姆矩阵判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆（Gram ）矩阵其中，该判据的证明用到了范数理论中的矩阵范数，在此不再赘述。
2.秩判据线性定常系统（1）为完全控的充分必要条件是3.PBH 秩判据.,,,,)1(0,)0(,0常阵为维输入向量为维状态向量为p n n n B A p u n t x x Bu A ⨯⨯≥=+=x x x01>t 为非奇异⎰--=tt A T At c dte BB e t W T],0[.][,][11阵称为系统的能控性判别的维数为矩阵其中B A AB B Q A n nB A AB B rank n c n --==线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵A 的所有特征值4. PBH 特征向量判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是A 不能有与B 的所有列相正交的非零左特征向量。
4.4线性时变系统的能控性和能观性
n
M
N
n1
(t1
)
N0(t) C(t)
N k 1 (t )
Nk
(t ) A(t )
d dt
Nk
(t)
(k 0,1,2,L ,n 1)
第四章 线性系统的能控性与能观性
例 4.4.2.（2）已知线性时变连续系统为
x1 t 1 0 x1
x2
0
2t
0
x2
Td [0, 2], t0 0.5, t f 2
解：首先计算 0
M0 (t ) B(t ) 1
1
1
M1(t)
A(t )M0 (t )
d dt
M0 (t )
2t
t t 2
3t
M2 (t )
A(t )M1(t )
d dt
M1(t)
4t 2 2
(t 2 t )2 2t 1
进而，可以找到 t1 1，[0使,3有]
第四章 线性系统的能控性与能观性
t
t 2
第四章 线性系统的能控性与能观性
2t 0 2t
M
2
(t
)
A(t)M1(t)
d dt
M 1 (t )
t t
2 4
1
2t
t
2
1
t4 2t
M0(t) M1(t) M2(t) 秩为3，所以系统是完全能控
第四章 线性系统的能控性与能观性
推论（秩判据）：假设矩阵A(t)和B(t)在时间区间
N1 ( t )
t 2 1 4t 2 3t 2 (t 2 t )2 (2t 1)
N0 (t1 )
1 1 1
于是
rank
(k 1, 2,L , n 1)
现代控制理论(12-17讲：第4章知识点)
0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 x y x 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
MIMO系统，n=5，r=5，独立特征向量为2， C阵对应列 (1、4列)，线性无关, 故系统状态完全能观。
4-4 线性定常离散系统的能控性和能观性
故系统是不能观测的。
y 3 2 0 x
18
例2：判定如下系统的能观性。
1 0 3 x x 7 u 0 3
0 0 1 y x 0 u 1 1
故系统是能观测的。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
解： n=3、 r=1 有
0 2 8 Q c B AB A 2 B 0 0 0 1 3 11
显然：
rankQc 2( n)
4
故系统是不能控的。
3、能控性判据之二 (1)、系统特征值互异的情况：
若线性定常系统： Ax + Bu , 具有n个互不相同的 x 特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非 奇异变换后的状态方程式：
C 1 1 rankQo rank 1 n CA 5 5
故系统是不能观测的.（detQo=0）
16
例2：判定如下系统的能观性。
2 1 1 x x 1 u 1 3
1 0 y x 1 0
b1 0
故系统状态不可控。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
(2)、系统具有重特征值的情况： 若线性定常系统： Ax + Bu , 具有重特征值，且 x 每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则其状态完全能 控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的Jordan规范形：
系统的能控性能观测性稳定性分析
系统的能控性能观测性稳定性分析1. 能控性（Controllability）能控性是指系统输出能否通过适当的输入方式对系统进行控制。
如果一个系统是能控的，意味着通过控制器的输入信号，我们能够将系统的输出发展到我们所期望的状态。
对于一个线性时不变（LTI）系统，能控性可以通过判断其控制矩阵的秩来确定。
控制矩阵（也称为控制可达矩阵）是由系统的状态方程和控制器的输入方程组成的。
如果控制矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能控的；否则，系统是无法被完全控制的。
能控性的分析可以帮助我们选择合适的控制策略和控制器设计。
当系统的能控性差时，我们可能需要通过增加或修改系统的状态变量或控制器的输入方式来提高系统的能控性。
2. 能观测性（Observability）能观测性是指系统的内部状态能否通过系统的输出信号来判断。
一个能观测的系统意味着我们可以通过观测系统的输出来估计系统的状态。
对于一个线性时不变系统，能观测性可以通过判断其观测矩阵的秩来确定。
观测矩阵（也称为观测可达矩阵）是由系统的状态方程和输出方程组成的。
如果观测矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能观测的；否则，系统的一些状态是无法通过输出来观测到的。
能观测性的分析可以帮助我们选择合适的观测器设计，以实现对系统状态的估计。
当系统的能观测性差时，我们可能需要增加或改变系统的输出方程来提高系统的能观测性。
3. 稳定性（Stability）稳定性是指系统在受到扰动后是否会逐渐恢复到原来的状态。
对于线性时不变系统，稳定性可以分为几种类型：零状态稳定、有限状态稳定和无限状态稳定。
零状态稳定（Zero-state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到零。
有限状态稳定（Finite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到一些有限值。
无限状态稳定（Infinite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在无限时间内收敛到一些有限值。
线性系统能控性能控性与能观性
时变系统
能达性定义及判据 能观性定义及判据
①Gram 判据 ①Gram 矩阵非奇异
离散时间线性
能控性判据 ①Gram 判据②秩判据
rank H GH G n 1 H n
时不变系统
能达性判据 能观性判据 ①Gram 判据②秩判据 ①Gram 判据②秩判据
三、连续时间线性时不变系统的结构分解
* * 于物理构成，问题的提法；取输出反馈控制律 u Fy v ，对任意给定期望极点组 1 , * 2 , n ，确定
一个反馈矩阵 F ，使导出的输出反馈闭环系统
x A BFC x Bv y Cx
的所有特征值实现期望的配置，即有 i A BFC * i ， i 1,2, , n 。 输出反馈局限性： （1）对完全能控连续时间线性时不变受控系统，输出反馈一般不能任意配置系 统全部极点。 （2）对完全能控 n 维 SISO-LTIC 受控系统，输出反馈只能使闭环极点配置到根轨迹上。 扩大输出反馈配置功能的一个途径是采用动态输出反馈， 即在采用输出反馈同时附加引入补偿器。 可以证明，通过合理选取补偿器机构和特性，可对带补偿器输出反馈系统的全部极点进行任意配置。 4.2 状态反馈镇定问题 4.2.1 所谓的镇定问题就是，对给定的线性时不变受控系统，确定状态反馈控制律 u Kx v ，使 导出的状态反馈闭环系统 x A BK x Bv 为渐进稳定，即闭环系统特征值均具有负实部。 镇定问题实质上属于极点区域配置问题，对于镇定问题，系统闭环极点的综合目标，并不要求配 置于任意指定期望位置，而只要求配置于复平面的左半开平面上。 4.2.2 可镇定条件
4.1.2 极点配置问题的算法 [极点配置定理] 对 n 维连续时间线性时不变系统，系统可通过状态反馈任意配置全部 n 个极点 即特征值的充分必要条件是 A, B完全能控。 [多输入状态反馈阵算法] 给定 n 维多输入连续时间时不变受控系统 A, B 和一组任意的期望闭
线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性
An1B] T S 0
rankS n 系统状态不能控，与已知矛盾。
同理可证充分性。
例 线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
x
x u0 0 0 1 Nhomakorabea0
1
0 0 5 0 2 0
系统的特征值： 1 2 0 ,3 5 ,4 5
当 1 2 0 时：
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
An1B] T S 0
T Ai B 0； i 0，1，2， ，n 1 应用凯-哈定理 An , An1 均可表示为A 的 n-1 阶多项式
T Ai B 0； i 0，1，2，3,
对 t1 0
(1)i T
Ai t i i!
现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性
3.1 线性定常系统的能控性线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。
当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。
这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。
并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。
还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。
能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态空间结构的关系。
第一节线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。
状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一、离散系统的状态可控性引例设单输入离散状态方程为：初始状态为：用递推法可解得状态序列：可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。
系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。
可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。
下面来进行一般分析。
设单输入离散系统状态方程为：(3-1)式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩阵：表示离散瞬时，为采样周期。
初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方便，且不失一般性地假定。
单输入离散系统状态可控性定义如下：在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。
线性系统的能控性和能观性
对于能控系统有 命题：对状态方程进行 线性非奇异变换， 及 {1 , 2 , , r }不变。
线性系统理论 线性系统的能控性和能观性 15
3.5.2 线性系统的能观性指数
x Ax Bu A R nn , B R nr y Cx C R mn C CA 定义km n阶常数阵 Qk k 1 CA 若系统能观，k n时, Qn Qo为能观阵，rankQn n 当k由1增加，直到rankQk n, 存在一个使rankQk n成立 的k的最小正整数，称其为系统能观性指 数：
定义（状态不能观测） ：对于线性时变系统，若对取定初始 时刻t0J的一个非零初始状态x0,若t1 J,t1>t0,均有y(t)=0,t [t0 , t1],则称此x0在时刻t0为不能观测的。
定义（完全能观测的）：对于线性时变系统，若状态空间的所 有状态都是时刻t0(t0 J)的能观测状态,称系统在时刻t0 是完 全能观测的。若 t0 [T1 , T2],系统均在t0时刻是完全能观测 的，称系统在区间[T1 , T2]上是完全能观测的。
min{k : rankQk n}
线性系统理论 线性系统的能控性和能观性 13
引理：设系统能控性指 数为，rankB r , 则必成立 n n r 1 r 推论： r 1时, n 1、 2、线性定常系统能控的 充要条件 rankQn r 1 rank B
第6章 线性系统的能控
C
rankSo
rank
CA
n
CA
n1
(6.9)
6.3.3 能观性第二判别准则
能观性第二判别准则：设线性定常系统 x Ax Bu, y Cx
中的 A 阵具有重特征值，且每一个重特征值只对应一个
特征向量，则系统状态完全能观的充要条件是经非奇异
线性变换后的约当标准型
J1
0
x
J2
x Bu
第6章 线性系统的能控性 和能观性分析
6.1 系统能控性和能观性问题
能控性、能观性和稳定性一样，是控制系统的重要 性质，是实现各种控制和状态估计的基础，在控制理论中 起着核心的作用。
系统的状态空间描述可用图6.1表示。
u 状态方程
x
x Ax Bu
输出方程
y
y Cx
图6.1 状态空间描述
例如最优控制，如图6.2所示。
1
2
0
A
m M1
M2
0
M l
式中， 称为模式矩阵。 Mi
i i
i
i
(i 1,2, ,l)
6.23
若第j个复数特征值是r重的，并且与其相对应的独立 特征向量的数目只有一个，则可M j 写成
定理：在任何非奇异线性变换下，线性定常（连续、离散） 状态方程的能控性保持不变。
正因为线性非奇异变换不改变能控性，我们可以通过线性 变换，将状态方程变换为一些特殊形式，然后得到较简单 的能控性判据，下面介绍的第二判别准则就是沿着这一思 路进行的。
能控性第二判别准则——特征值互易的情况
设线性定常系统具有互异的特征值，则其状态完全
对于离散系统，若根据输出信号的有限个采样周期的 采样值 y(k) ，可以唯一地确定系统的任一初始状态 x(0) ，则 称系统是状态完全能观测的，简称系统是能观的。
线性系统能观性能控性判定
rank[ λi I − A ⋮ B ] = n ( i = 1, 2 , ⋯ , n ) 证明略） （证明略）
（10） ）
定理3 互异， 定理3-4 （2）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值 λ i 互异， ）
( i = 1, 2 , ⋯ , n ) 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵
0 λ1 λ2 x + Bu （11） ） ɺ x= ⋱ 0 λn 中不包含元素全为零的行。 则系统能控的充分必要条件是矩阵 B 中不包含元素全为零的行。
y 电路如下图所示。 为输入量， 为输出量， 例3-3 电路如下图所示。选取 u (t ) 为输入量， (t )为输出量，两个电 感上的电流分别作为状态变量， 感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为
- 2 1 1 ɺ x = Ax + Bu = x + u 1 - 2 0
y = Cx = [0 1]x
系统状态转移矩阵为
0 x (0) = 如果初始状态为 0
e At
1 e −t + e −3t = − t − 3t 2 e − e
e −t − e −3t −t − 3t e +e
系统状态方程的解为 1 t −(t − τ ) x(t ) = ∫ e u(τ ) d τ 0 1 可见， 可见，不论加入什么样的 输入信号， 输入信号，总是有 x1 = x2
对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与 既无直接关系， 对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与y 既无直接关系， 又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C，还与A 有关。 又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于 ，还与 有关。
3.2 能控性及其判据
(完整word版)线性时变周期系统的能控性分析
线性时变周期系统的能控性分析摘要:本文讨论了线性时变系统研究现状及研究意义，介绍了线性时变周期系统的概念，并举出了几种应用实例。
从线性时不变系统能控性的两个充要条件入手，分别提出了两种类似线性时不变系统能控性的判定时变周期系统能控性的必要条件的假设并加以证明。
该判别条件的优点是不必计算系统的状态转移矩阵, 使判别时变周期系统能控性与能观性简单、高效、易于实现。
并对两个判定线性时变系统的能控性的必要条件的应用进行讨论。
关键词: 时变周期系统; 能控性; 状态转移矩阵;必要条件Problem on controllability and stabilizability of linear time-varying periodic systemAbstract: The present research situation and research significance of linear time-varying periodic system are discussed. The basic application instances are introduced. Two necessary conditions to judge the controllability of time-varying periodic systems are hypothesized from two necessary and sufficient conditions to judge the controllability of linear time invariant system. The determinant condition has such a merit of not calculating the system state transition matrix that it is simple and easy to judge the controllability and observability of time-varying periodic system. And application of the two necessary conditions to judge the controllability and observability of time-varying periodic systems are discussed.Keywords: time-varying periodic system; controllability; state transition matrix; necessary conditions1 引言线性时变系统也称为线性变系数系统，其特点是，表征系统动态过程的线性微分方程或差分方程中,至少包含一个参数为随时间变化的函数。
线性系统理论4能控性和能观性
如果存在某个时刻 t1 t0，使得rankQ O (t1 ) n
t0 为不能观测的。
定义 4.1.6 对于线性时变系统
x A(t)x
, x(t0 ) x0 , t0 , t J
y C(t)x
如果状态空间中所有状态都是时刻 t0(t0 J )
的能观测状态,则称系统在时刻 t0 是完全能
观测的。如果对于任何 t0 [T1,T2] 系统均是在
t0 时刻为能观测的，则称系统在 [T1,T2 ]
在 t0 , t1 上行线性独立，即对任意 n
维非零向量 z 都有
zT (t1 , )B( ) 0, t0 t1
4.2.3 基于系统参数矩阵的判据
定理 4.2.3 假设系统
x A(t)x B(t)u, t J
中的 A(t) 和 B(t) 的每个元分别是 n 2和
n 1 一次连续可微函数，记 B1(t) B(t)
那么它能控的充分必要条件是:
det b Ab An1b 0
4.3.3 PBH判据
定理4.3.2 定常线性系统
x Ax Bu, x(t0 ) x0 , t t0
能控的充分必要条件是，对每个 (A)
都有 rank A In B n 其中， ( A)
表示 A 的特征值集合。
推论 4.3.3 定常线性系统
2
dt
x0T T
(t1 , t0 )Wc1(t1 , t0 )(t1 , t0
)x0
4.2.2 基于状态转移矩阵的判据
定理 4.2.2 假设 A(t) 和 B(t) 都是 t
的连续函数矩阵，则系统
x A(t)x B(t)u, t J
在t0 时刻能控的充分必要条件是存在某
线性系统的能控性和能观性
例3.4 判断下列系统的能控性
(1)、A
2
0
0 1 1, B 0
(2)、A
2
0
0 1 1, B 1
(3)、A
1
0
01B
1 1
3 1 0 0 0
(4)、A
0
3 0, B 2 1
0 0 1 0 3
4 1 0 0
(5)、A
0
4
0 , B 1
0 0 4 2
所以A为约旦阵，但有两个相同特征值的约旦块 对应b虽为最后一行全为0的元素行，仍不能控， 可算出rank[M]<3.
,t0)
tf t0
(
t
f
, )B()u()d
x(t0 )
tf t0
(
t
0
,
)B()u
()d
意义：系统状态x(t0)能控，即[t0,tf]区间上受 u(t)控制。
（三）能控性判据 [定理3.1]系统∑(A(t),B(t),C(t))在t0时刻或[t0,tf]
完全能控的充要条件是矩阵Φ(t0,t)*B(t)是行 线性无关的（满秩的、非奇异的）
例：x
1
0
-
-
02x 10u, y 1 1x
分析： 1、x1与输入u无关，不能 控，x2能控， x1, x2不完 全能控。 2、y= x1+ x2 , x1或x2 都能对y产生影响，通 过y能确定x1或x2 ，能 观测。
3、能控能观是最优制和 最优估计的设计基础。
3.1 线性连续系统的能控性
)d
x(t f ) (t f )x(0) 0t f (t f )B( )u( )d x(0) 0t f ( )Bu( )d
线性时变系统
能控性
对于线性时变系统，当t0时刻其x值为x0，在定义时间[t0,t1]时间内，状态完全能控 的充要条件是Gram矩 阵
非奇异。式中Φ(t,t0)为时变系统状态转移矩阵。 推论1（秩判据）： 假设矩阵A(t)和B(t)都是n-1此连续可微的，在时间区间[t0,t1]上，若有 则系统状态完全能控，其中分块矩阵 推论2（秩判据）： 假设矩阵A(t)和B(t)都是n-1此连续可微的，在时间区间上是n-1次连续可微的，若对初始时刻，存在有限时 刻，，使得 则系统在时刻t0是状态完全能控的，其中分块矩阵
基本概念
线性系统是指同时满足叠加性与均匀性（又称为其次性）的系统。所谓叠加性是指当几个输入信号共同作用 于系统时，总的输出等于每个输入单独作用时产生的输出之和；均匀性是指当输入信号增大若干倍时，输出也相 应增大同样的倍数。
时变系统(time-varying system)其中一或一个以上的参数值随时间而变化，从而整个特性也随时间而变化 的系统。时变系统的特点是，其输出响应的波形不仅同输入波形有关，而且也同输入信号加入的时刻有关。
能观性
线性时变系统 在定义时间[t0,t1]时间内，状态完全能观的充要条件是Gram矩阵 为非奇异。 推论1（秩判据）： 假设矩阵A(t)和C(t)都是n-1次连续可微的，在时间区间[t0,t1]上，又有 则系统是状态完全能观的，其中分块矩阵 推论2（秩判据）： 对于连续时间线性时变系统，假设矩阵A(t)和C(t)都是n-1阶连续可导的函数矩阵，则系统在时刻t0状态完 全能观的充要条件为：在一个有限时刻，，使得 则系统是状态完全能观的，其中分块矩阵
线性时变系统
同时满足线性系统和时变系统特征的系统
01 基本概念
03 能控性 05 稳定性
线性系统的能控性和能观性
3.约当规范型矩阵
若A是约当阵，且B阵中与每个约当块最后一行相对应 的行的元素不全为零，则系统可控。反之为零一行所 对应的状态不可控。
例.判断能控性
• 4 1. x 0
0 5
x1 x2
12u
7 0 0 2
•
2. x
0
5
0
x
0
0 0 3 7
1 1 0 4 2
3.
•
x
0
e3t
0
te3t
e3t
t
x(t) e At x(0) e A(t )Bu( )d
0
x1(t)
x2
(t
)
e3t
0
te3t e3t
x1(0)
x2
(0)
t 0
e 3(t
0
)
(t
)e3(t e3(t )
)
10u(
)d
t
x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
0
t
x2 (t) e3t x2 (0) e3(t )u( )d
0
t
y(t) x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
可见：1.两个状态变量中均有输入的作用，可0 控
2.输出中有两个状态变量的出现，输出可以反映初始状态，可测
例.如图所示，1、2表示蓄水池，u1、u2表示输入流量，R1、 R2液阻，H1、H2液面高度A1、A2截面积，问 （1）仅用一个调节阀，应放在何处？ （2）仅用一个液位计，应放在何处？
Z (S ) U (S )
S
2.5 1
S2
1 1.5S
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线性系统理论
北方工业大学
线性系统理论
总结
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两种判定周期时变系统能控性的必要条件
线性系统理论
两点说明
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利用对偶性, 可以得到完全对应的能观性结 论。 与线性时不变系统可控性PBH判据不同，以 上两种判别可控性的条件都为必要条件而 非充分条件。 下面举一个反例加以说明
线性系统理论
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线 性 时 变 周 期系 统 的 能 控 性 分析
线 性 系 统 理 论 线 性 系 统 理 论
参考文献：张雪峰, 张庆灵. 线性时变周期系统的能控性与能稳定性问题[ J ]. 系统工 程与电子技术, 2010,32(4):812-815
主要内容
一．线性时变周期系统的状态描述 二．线性时变周期系统的应用实例
线性系统理论
3
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周期线性时变系统的定义
• 为了研究用非线性微分方程描述的周期运动的特性, 不少实际方法都是围绕研究带有周期系数的线性微 分方程组而进行探索。例如在机械故障诊断中, 齿 轮等零件周期性旋转而产生的振动信号的模型; 由 于人体规律性作息, 一天内不同时刻对相同刺激产 生不同脑电信号的模型等。
假设是否成 立？
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12
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d t0 ,t t0 ,t A t dt
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t0 0,t ,t0 t0 0 t , 0 t
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线性系统理论
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• 这类常见而又特殊的系统一般称为时变周期系统。 若系统还是线性的, 则称为线性时变周期( linear time-varying periodic, LTVP ) 系统。
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4
状态方程及状态转移矩阵
线性时变系统： 状态方程： A x t x B t u 状态转移矩阵方程：
Wc (t0 , t1 ) (t0 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , )d
t0
t1
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由线性时不变系统能控性的等价条件 北方工业大学 推导出时变周期系统能控的必要条件
结论2：[线性时不变系统能控性判据]
假设是否成 立？
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证明: (与第一个假设证明类似)
1 0 0 2 1 1 0 2 0 1
北方工业 t 0 ,t A t
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状态方程及状态转移矩阵
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t At t ,
线性系统理论
0 I
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二、周期时变系统的应用实例
• 实例 1 卫星姿态控制问题
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• 1976 年, Sticher 提出了卫星姿态控制问题。利用位 于卫星上传感器的三维磁力计测量地球磁场的相互 作用原理, 卫星绕地球轨道运动的姿态稳定性常常 通过磁转矩来实现。由于沿飞机所在位置的轨道地 球场磁力的相互作用产生了周期性, 因此这类问题 在数学领域的适当模型为周期模型, 即:
式中, K (·) 表示系统的刚度矩阵, 具有周期性; D 表示系统的阻尼矩阵; M 表示系统的质量矩阵; f 表示系统施加的主动力矩阵; di 表示对系统的干扰; u(· ) 表示主动施加力; x ( ) 表示系统的状态变量; y ( ) 表示测量系统的位移。
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三、两种判定周期时变系统能控性 的必要条件
• 时变系统的能控性、 能观性、 稳定性问题在理论上有 一些基本结论, 但这些结果往往依赖于系统的状态转移 矩阵, 由于状态转移矩阵计算是十分困难和繁杂的, 因而 实际应用还并不现实。
• 下面对时变系统进行了讨论, 利用矩阵方程判定线性时 不变系统能控性、 能观性等价条件的方法, 得到了与定 常系统类似的结论。
对连续时间线性时变系统，满足矩阵方程：
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x t0 x 0
t t0 ,t
t ,t0 A t t ,t0 ,
的解矩阵ф(t,t0)称为状态转移矩阵。
结论：①状态转移矩阵为唯一
t0 ,t0 I
t ,t0 I ②
研究意义
• 线性时变系统也称为线性变系数系统。其特点是,表征系 统动态过程的线性微分方程或差分方程中,至少包含一个 参数为随时间变化的函数。 • 在现实世界中 , 由于系统外部和内部的原因 , 参数的变 化是不可避免的 , 因此严格地说几乎所有系统都属于时 变系统的范畴。 • 相比于线性时不变系统，时变系统的研究分析和综合方 法比线性时不变系统要复杂的多。然而，在物理和工程 技术中, 存在许多具有一定规律性的问题。许多问题最 终都能导致具有周期系数的线性微分方程组。例如弹性 力系统的动力学稳定性、 卫星姿态控制、直升飞机传动 系统、 生态系统和经济系统中周期环境的竞争平衡等。
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由线性时不变系统能控性的等价条件， 推导出时变周期系统能控的必要条件
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由线性时不变系统能控性的等价条件， 推导出时变周期系统能控的必要条件
结论1：[线性时不变系统能控性PBH判据]
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连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件是， 对矩阵A的所有特征值λi (i=1,2,---n)，均成立：
式中, A( t ) 、 B( t ) 、 C ( t ) 分别为连续的周期函数 矩阵。
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• 实例 2 直升飞机传动系统的振动衰减问题
直升飞机的传动系统由复杂的齿轮组成, 它的振动是典型的周期 振动问题, 其振动衰减研究是非常有意义的。振动的衰减可通过 主动控制方法来解决, 这一问题可由下述线性周期系统模型来描 述：
t A d t A t A d d
t t 1
0
1
2
2
1
0
0
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状态转移矩阵的性质
1 t ,t I 2 t ,t t ,t 3 t ,t t ,t t ,t d d 4 t ,t t ,t
• 能控的定义
能控性：状态是否可由输入影响。
每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，由任意 的始点达到原点，则是能控的，反之则不完全能控。
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北方工业大学 • 对时变系统来说, 由于系统矩阵中状态转移矩阵计算的 复杂性, 在研究时变系统时, 纯代数方法较少。到目前为 止,没有关于利用特征多项式或矩阵代数方程判别系统能 控性、 能观性的判据。
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三．两种判定时变周期系统能控性的必要条件
由线性时不变系统能控性的等价条件，推导出两种 判别线性时变周期系统能控的必要条件； 该判别条件的优点是不必计算系统的状态转移矩阵, 使判别线性时变周期系统能控性与能观性简单、高 效、易于实现.
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一、周期线性时变系统的状态描述