第七讲 功率谱密度分解

从本例的求解过程可得 RX ( ) ai cos( i )
i 1

的谱密度:
S X ( ) a i [ ( i ) ( i )]
n i 1
例2 已知平稳过程 { X t } 具有如下功率谱密度： 2 4 S X 4 10 2 9 求平稳过程相关函数及平均功率 。
四
1
平稳随机过程的功率谱密度
平均功率与功率谱密度的定义
X ( t )dt 为平稳过程的平均功率 2T T
T 2
定义8 1 lim E 称T
T 1 2 2 由此易得：lim E X ( t ) dt R ( 0 ) X X T 2T T 从而有平稳过程的平均功率等于过程的均方值，
2 S X ( ) , 0 G X ( ) , 0 0
相应地 S X ( ) 可称为“双边功率谱”它 们的图形关系如图所示。
G X ( )
S X ( )
0

性质4
有理谱密度是实际应用中最常
见的一类功率谱密度。其形式必为：
a2 n 2 a S X S0 2 m 2m2 b2 m 2 b 式中 S0 0 。上式要求有理函数的分 子、分母只出现偶次项的原因是因 S X ( ) 为偶函数，又由于要求平均功率有限，所
白噪声 在电路系统分析、自动控制和测量中经 常遇到一类随机干扰—“白噪声” ,因为在电 路系统中，由于分子的热运动，使电路各处 的电流或电压受到随机干扰，在系统分析中 也把随机干扰称为噪声，因为这种电压或电 流的变化反映为声波的变化时，就是人们不 爱听的嘶嘶嚓嚓的声音，从数学上看，这就
五
是随机过程。当外界条件基本不变时，又可认 为这种噪声的主要统计特性不随时间的推移而 改变，所以它又是平稳过程;从功率角度看，这 种噪声对不同频率的输入都能进行干扰，所以 它的谱在各个频率分量上都广泛地存在。一种 常用的抽象是把这类噪声假定为在各个频率分 量都有同样的功率。类似白光的能谱在各种频 率上是均匀分布，我们把这类噪声称为“白噪 声”。所以白噪声是功率谱密度为常数的零均 值平稳过程。即：
定义
一个均值为零，功率谱密度在整个
频率轴上为正常数：
S X S0 0

的平稳过程 { X ( t )}，称为白噪声过程，简
称白噪声。
其相关函数为： RX S0 ( )
例5 设 X ( t ) A cos 0 t B sin 0 t ( t ) , 0 为常数，A、B为相互 独立的随机变量，且
S X 2 0 RX cos d 1 RX 0 S X cos d
{ X t } 的相关函 维纳-辛钦公式又称为平稳过程 数的谱表示式或谱分解式.它表达了从时间角度 （即用相关函数 RX ( ) )和从频率角度（即用谱 密度 S X ）分别描述平稳过程的统计规律性 之间的联系。有很大的理论和实用价值。在具体 应用上我们可以根据实际情况选择时间域或等价 的频率域方法去解决问题。 性质2 S X 是的实的、非负偶函数。
T
2T
X
T

1 2

即：平稳过程的平均功率等于该过程的均方值，
或等于它的谱密度在频域上的积分。
{ X ( t )}在 1 , 2 内的平均功率为: 所以，

S
( )d

2 X
1 2

2
1
S X d
在工程中，由于只在正的频率范围内进行 测量，根据平稳过程的功率谱密度的偶函数 性质，可将负的频率范围内的值折算到正频 率范围内，得到所谓“单边功率谱”。 单边功率谱 G X ( ) 定义为：
2n 2 n 2
以必须满足 m n，且分母应该无实根。
若干相关函数及其对应的谱密度见书P255 表11.1(尤其是第一、五、七组）
例1 已知平稳过程的相关函数为： a2 2 a RX cos 0 b e 2 (a 0, b 0) 求功率谱密度 S X
它实际上刻画的是随机过程的强度。
称
S X
为平稳过程 { X t } 的功率谱密度，简称自谱 密度或者谱密度。 谱密度 S X 是从频率这个角度描述 X t


RX e
i
d
的统计规律的主要数字特征,它是 X t 的平均
功率关于频率的分布.具体看下面的性质。
A ~ N (0, 2 ) , B ~ N (0, 2 ) （1）证明{ X ( t )}是平稳过程；
实际上
2 1 S X lim E FX , T T 2T
其中 FX ( , T )

T
T
X t e i t dt
性质3 平稳过程的平均功率可由谱密度的积分 表出： 1 T 2 2 平均功率 lim E X (t )dt RX (0) X
2 功率谱密度的性质
从前面的讨论我们可以看到，相关函数是从时 间角度描述过程统计规律的最主要数字特征，而功 率谱密度则是从频率角度描述过程统计规律的数字
特征，二者描述的对象是一个，所以它们必定存在
某种关系。下面通过对 S X 的性质的研究得到： 相关函数与功率谱密度构成一个傅氏变换对。
性质1
S X 和自相关函数 RX 是
一傅氏变换对。即
i S X d RX e 称为维纳-辛钦公式。 1 i d RX S X e 2
特别，当X t 为实平稳过程时，上述公式为：