人教版八年级数学下册期末精炼课件：第十七章 勾股定理
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人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》复习ppt课件
第十七章《勾股定理》复习
一、 本章知识结构
实际问题 (直角三角形边长计算)
实际问题 (判定直角三角形)
勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
勾股定理:
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,
则有 a2+ b2=c2。
逆定理:
三角形的三边a、b、c，满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角
A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米)
２． 观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形三边长的有( )组 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
即b=
，c=
8、如图，小颖同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm， BC=6cm,你能求出CE的长吗？
B
D
A
E
C
9、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重 合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为 边长的正方形面积。
E
D
C
A
形;
最长边c 所对的角是直角.
类型一 已知两边求第三边
例1．在直角三角形中,若两边长分别为1cm,2cm ，则第三边长 为
类型二 构造Rt△，求线段的长
例2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠， 使C点与A点重合，求EB的长．
A
F
D
A
ห้องสมุดไป่ตู้
ED
P
A
C
BE
一、 本章知识结构
实际问题 (直角三角形边长计算)
实际问题 (判定直角三角形)
勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
勾股定理:
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,
则有 a2+ b2=c2。
逆定理:
三角形的三边a、b、c，满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角
A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米)
２． 观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形三边长的有( )组 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
即b=
，c=
8、如图，小颖同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm， BC=6cm,你能求出CE的长吗？
B
D
A
E
C
9、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重 合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为 边长的正方形面积。
E
D
C
A
形;
最长边c 所对的角是直角.
类型一 已知两边求第三边
例1．在直角三角形中,若两边长分别为1cm,2cm ，则第三边长 为
类型二 构造Rt△，求线段的长
例2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠， 使C点与A点重合，求EB的长．
A
F
D
A
ห้องสมุดไป่ตู้
ED
P
A
C
BE
人教版八年级数学下册期末复习课件：17
a＝12m2－n2， b＝mn， 其中 m＞n＞0，m、n 是互质的奇数． c＝12m2＋n2，
应用：当 n＝1 时，求有一边长为 5 的直角三角形的另外两条边长．
解：当 n＝1 时，a＝12(m2－1)，b＝m，c＝12(m2＋1)．∵直角三角形有一边长为 5，∴当 a＝5 时，12(m2－1)＝5，解得 m＝± 11(舍去)；当 b＝5 时，即 m＝5，∴a＝ 12，c＝13；当 c＝5 时，12(m2＋1)＝5，解得 m＝±3.∵m＞0，∴m＝3，∴a＝4，b＝ 3.综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为 12,13 或 3,4.
△BCF 中，由勾股定理，得 BF＝ BC2＋CF2＝5.在 Rt△EDF 中，由勾股定理，得
EF＝ DE2＋DF2＝ 5.在△BEF 中，BE2＋EF2＝(2 5)2＋( 5)2＝25＝BF2，由勾股定
理的逆定理，得△BEF 是直角三角形，且∠BEF＝90°，∴BE⊥EF.
思维训练
15．阅读材料： 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 a、b、c，称为勾股数．世界上第一 次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为
___________________________________
_______.
• 解析：∵(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2 ＋b2＝c2.当只有a＝b成立时，△ABC是等腰 三角形；当只有a2＋b2＝直c角2成立时，△ABC是 直角三角形；当两个条件同时成立时， △ABC是等腰直角三角形．
能力提升
• 8．下列定理中，没有逆定理的是 ( B ) • A．等腰三角形的两个底角相等 • B．对顶角相等 • C．三边对应相等的两个三角形全等 • D．直角三角形两个锐角的和等于90°
应用：当 n＝1 时，求有一边长为 5 的直角三角形的另外两条边长．
解：当 n＝1 时，a＝12(m2－1)，b＝m，c＝12(m2＋1)．∵直角三角形有一边长为 5，∴当 a＝5 时，12(m2－1)＝5，解得 m＝± 11(舍去)；当 b＝5 时，即 m＝5，∴a＝ 12，c＝13；当 c＝5 时，12(m2＋1)＝5，解得 m＝±3.∵m＞0，∴m＝3，∴a＝4，b＝ 3.综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为 12,13 或 3,4.
△BCF 中，由勾股定理，得 BF＝ BC2＋CF2＝5.在 Rt△EDF 中，由勾股定理，得
EF＝ DE2＋DF2＝ 5.在△BEF 中，BE2＋EF2＝(2 5)2＋( 5)2＝25＝BF2，由勾股定
理的逆定理，得△BEF 是直角三角形，且∠BEF＝90°，∴BE⊥EF.
思维训练
15．阅读材料： 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 a、b、c，称为勾股数．世界上第一 次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为
___________________________________
_______.
• 解析：∵(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2 ＋b2＝c2.当只有a＝b成立时，△ABC是等腰 三角形；当只有a2＋b2＝直c角2成立时，△ABC是 直角三角形；当两个条件同时成立时， △ABC是等腰直角三角形．
能力提升
• 8．下列定理中，没有逆定理的是 ( B ) • A．等腰三角形的两个底角相等 • B．对顶角相等 • C．三边对应相等的两个三角形全等 • D．直角三角形两个锐角的和等于90°
最新人教版初二数学下册第十七章 勾股定理 全单元课件
拓展提高
形成技能
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐．问水深、葭长各几何？
分析： 可设AB=x,则AC=x+1， 有 AB2+BC2=AC2， 2 2 2 （x+1 ）， 可列方程，得 x +5 = 通过解方程可得．
B
C
A
17.1 勾股定理（3）
课件说明
• 本课首先运用勾股定理证明了直角三角形全等的HL 判定定理，从中进一步确认，一个直角三角形中， 只要两边的大小确定，则这个三角形就形状大小就 确定了．然后，运用勾股定理，通过作直角三角形， 画出了长度为无理数的线段，并学习在数轴上画出 无理数表示的点的方法．
问题1 你见过这个图案吗？ 它由哪些基本图入课题
三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
追问 由这三个正方形 A，B，C的边长构成的等腰 直角三角形三条边长度之间 有怎样的特殊关系？
B
A
C
探究勾股定理
问题3 在网格中的一般的直角三角形，以它的三 边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积 关系？ B 追问 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边 之间有怎样的特殊关系？ C A
析已知量、待求量，让学生掌握解 决实际问题的一般套路．
D
C
A
B
1m
2m
做一做
例2 如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直 的墙AO上，这时AO 为2.4米． （1）求梯子的底端B距墙角O多少米？ （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米， 那么梯子底端B也外移0.5米吗？
跟踪练习：教科书第26页练习2．
课件说明
• 学习目标： 1．经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理 的一些文化历史背景，通过对于我国古代研究 勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪 感； 2．能用勾股定理解决一些简单问题. • 学习重点： 探索并证明勾股定理．
人教版八年级数学下册17.1.1勾股定理-课件PPT
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
当堂练习
1.下列说法中,正确的是（ C ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
2. 若一个直角三角形的两直角边的长分别为
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
课堂小结
内容
在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b为 直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
勾股定理 注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角 已知两边没有指来自是直角边 还是斜边时一定要分类讨论
THANKS！
新课导入
其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点， 世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上 人类的语言、音乐、各种图形等.
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾 股定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么 他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文 化的民族和国家都对勾股定理有所了解.
1×3×4＝6.
2
本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半圆形面
积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，
面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股
定理．
总结：
以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、 等边三角形，等腰直角三角形等，都具有相同的结论：S1+S2=S3 , 即两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积．
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=6,BC=8.求CD的长.
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
人教版-八年级下册数学-第十七章 勾股定理全章ppt课件
定理得:AC2+BC2=AB2
y2+52=132
y2=132-52
y2=144
∵y>0
∴ y=12
方法总结：利用勾股定理建立方程.
例：(补充)在直角三角形中，各边的长如 图，求出未知边的长度.
解:根据勾股定理,得 AB AC2 BC2 32 72 58.
解: 根据勾股定理,得
AB= BC2 AC2 102 42 2 21.
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（下册）
第十七章 勾股定理
全章ppt课件
义务教育教科书（ RJ ）八年级数学下册
第十七章 勾股定理
谁是全能王！
规则：老师出题你来答，每组同学均有回答机 会，答对，即可+1分，否则不加分。
活动即将开始
活动开始
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之 一。早在三千多年前，周朝数学家商高就 曾提出， “勾三、股四、弦五”，所以
勾股定理又叫“商高定理”
在西方，因为是毕达哥拉斯最先发现这 个定理的，所以西方人通常称勾股定理为
“毕达哥拉斯定理” ．传说毕达哥拉斯
证明这个定理之后，杀了一百头牛来庆祝，
所以它又叫“百牛定理” ．在欧洲中世 纪它又被戏称为“驴桥定理” ，因为那
时数学水平较低，很多人学习勾股定理时被 卡住，难以理解和接受。所以勾股定理被戏 称为“驴桥”，意谓笨蛋的难关 。
B的面积是 9 个单位面积．
C的面积是 25 个单位面
积．
A
C
你是怎样得到
正方形C的面积的？
与同伴交流交流．
B
图2
结论：仍然成立。
（图中每个小方格是1个单位面积）
人教版八年级下册课件 第十七章 17.1 勾股定理(共18张PPT)
y
解：由题意可知，在Rt△AOB中，
∵OA=5，OB=4
4B
∴AB2＝OA2+OB2＝52+42＝41 ∴AB≈6
O
∴A、B两点间的距离约为6m。
练一练
A
5
x
三、勾股证明（练习）
2、判断题
(1)若a、b、c是三角形的三边则 （ X） (2)直角三角形中，两边的平方和等于第三边 的平方. （X）
3、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则
三、勾股证明（2018中考题）
【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG， ∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴ = ， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴ = ，∵FC=FG， ∴ =，
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/122021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月12日星期四2021/8/122021/8/122021/8/12 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/122021/8/12August 12, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/122021/8/122021/8/122021/8/12
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》课件
(2)据勾股定理得
bA
b c2 a2 22 12 3.
巩固练习
设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
解：由勾股定理得62+b2=102, b=8;
a
（2）已知a=5，b=12，求c；
解：由勾股定理得52+122=c2 , c=13;
（3）已知c=25，b=15，求a. 解：由勾股定理得a2+152=252 , a=20.
x=10;
x
13
（2）由勾股定理得： ∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52 =169-25 =144 x=12.
连接中考
1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ A ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，
那么正方形ABCD的面积为（ B ）
1.求出下列直角三角形中未知的边.
B
B
AC=8 6
C
10
8
15
A
C
A
AB=17
C B
2
C
30° A
B
45° A 2
BC 1，AC 3
BC 2，AC 2
课堂检测
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8， 则以斜边为边长的正方形的面积为 15 .
3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0) 和B(0，4)，求这两点间的距离.
想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离
是（ C ）
A．3 1π
B．3
2
C．3
4 π2 2
bA
b c2 a2 22 12 3.
巩固练习
设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
解：由勾股定理得62+b2=102, b=8;
a
（2）已知a=5，b=12，求c；
解：由勾股定理得52+122=c2 , c=13;
（3）已知c=25，b=15，求a. 解：由勾股定理得a2+152=252 , a=20.
x=10;
x
13
（2）由勾股定理得： ∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52 =169-25 =144 x=12.
连接中考
1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ A ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，
那么正方形ABCD的面积为（ B ）
1.求出下列直角三角形中未知的边.
B
B
AC=8 6
C
10
8
15
A
C
A
AB=17
C B
2
C
30° A
B
45° A 2
BC 1，AC 3
BC 2，AC 2
课堂检测
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8， 则以斜边为边长的正方形的面积为 15 .
3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0) 和B(0，4)，求这两点间的距离.
想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离
是（ C ）
A．3 1π
B．3
2
C．3
4 π2 2
新人教版八年级下册初二数学第十七章勾股定理(全章)优秀PPT课件
的正方形面积叫黄
b a
c
实，大正方形面积 叫弦实，这个图也 叫弦图。
赵爽弦图
大正方形面积怎么求？
c a
b c
b
a
(b a)2 4 1 ab c2 2
b2 2ab a2 2ab c2
结论：
a2 b2 c2
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史 上被传为佳话人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、 易懂、明了的证明，就把 这一证法称为“总统”证法。
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
用
拼 图 法 证
ab
b
ca
明
a c cb
ba
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
用
拼 图 法 证
ab
b
ca
明
a c cb
ba
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
用 拼
∵ S大正方形=4×S直角三角形+ S小正方形
∴ AC2+BC2=A
B
∴
B2
AB
AC2 BC 2
242 72
625 25
24
如果将题目变为：
在Rt△ABC中,AB=41, BC=40,求AC的长呢？
A7C
24
AC AB2 BC 2 412 402 81 9
结论：在直角三角形中，已知两边可以求第三边.
试一试:
常
1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
C
在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2
∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理课件
2.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a， b， c 满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三 角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三 角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最长边，不要理所当然认为c为最 长边；
（2）验证a2＋b2与c2是否具有相等关系，若a2＋b2 ＝c2，则△ABC是以∠C为直角的பைடு நூலகம்角三角形（若c2＞a2 ＋b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2＜a2 ＋b2，则△ABC为锐角三角形）.
3.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆 定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相 反，都与直角三角形有关. 4.常见的勾股定理三边的组合： ①3，4，5；②5，12，13；③6，8，10；④7， 24，25；⑤8，15，17.
5.经过证明被确认正确的命题叫做定理.我们把题 设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其 中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. （例：勾股定理与勾股定理逆定理）
第十七章 勾股定理
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直 角三角形的重要性质之一，其主要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边； （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求 直角三角形的另两边； （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题.
人教版数学八年级下册第十七章《17.1 勾股定理》课件
求 知
？
？
？
1
2√
3√
思考 根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？
作 作图 在数轴上画出表示 的点.
图 步 骤
也可以使OA=2， AB=3，同样可以求
出C点.
步骤
l B
1.在数轴上找到点A,使OA=3; 2.作直线l⊥OA,在l上取一 点B，使AB=2;
3.以原点O为圆心，以OB为半径
2
作弧，弧与数轴交于C点.
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时 利用勾股定理作图或计算
情 欣赏海螺的图片：
景 引 入
数学中也有这样一幅美丽的“海螺型” 图案，如第七届国际数学教育大会的会 徽.
这个图是怎样绘制出 来的呢？
复 问题1 我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示 习 有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-
x2+ 42=(8－x)2 解得 x=3
即EC的长为3cm.
B
E
F
C
变 【变式题】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿
式 MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且
训 B′C＝3，求AM的长. 练 解：连接BM，MB′. 设AM＝x，
A' AM
D
在Rt△ABM中， AB2＋AM2＝BM2.
(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x
的方程；
(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
典 例6 如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，
例
CD=1，求四边形ABCD的面积．
精 解：如图，延长AD、BC交于E．
？
？
？
1
2√
3√
思考 根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？
作 作图 在数轴上画出表示 的点.
图 步 骤
也可以使OA=2， AB=3，同样可以求
出C点.
步骤
l B
1.在数轴上找到点A,使OA=3; 2.作直线l⊥OA,在l上取一 点B，使AB=2;
3.以原点O为圆心，以OB为半径
2
作弧，弧与数轴交于C点.
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时 利用勾股定理作图或计算
情 欣赏海螺的图片：
景 引 入
数学中也有这样一幅美丽的“海螺型” 图案，如第七届国际数学教育大会的会 徽.
这个图是怎样绘制出 来的呢？
复 问题1 我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示 习 有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-
x2+ 42=(8－x)2 解得 x=3
即EC的长为3cm.
B
E
F
C
变 【变式题】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿
式 MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且
训 B′C＝3，求AM的长. 练 解：连接BM，MB′. 设AM＝x，
A' AM
D
在Rt△ABM中， AB2＋AM2＝BM2.
(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x
的方程；
(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
典 例6 如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，
例
CD=1，求四边形ABCD的面积．
精 解：如图，延长AD、BC交于E．
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三、解答题
13. （2017宜昌）阅读：能够成为直角三角形三条边长 的三个正整数a，b，c称为勾股数.世界上第一次给出勾 股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其
勾股数组公式为
其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数. 应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外 两条边长.
三、解答题
解：当n=1时，a= （m2-1），①b=m，②
或3，4．
三、解答题
14. 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三 角形三边的长度，求三角形的面积”为主题开展数学活 动，小颖想到借助正方形网格解决问题.图M17-10①② 都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1， 每个小正方形的顶点称为格点.
三、解答题
操作发现：小颖在图M17-10①中画出△ABC，其顶点 A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶 点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A， 她借助此图求出了△ABC的面积． （1）在图M17-10①中，小颖所画的△ABC的三边长 分别是AB=_____5_____，BC=__________， AC=__________；△ABC的面积为__________．
一、选择题
4. （2017陕西）如图M17-3，将两个大小、形状完全相 同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合， 点C′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB=∠AC′B′=90°， AC=BC=3，则B′C的长为（ A ）
一、选择题
5. （2017温州）四个全等的直角三角形按如图M17-4所
c= （m2+1），③
∵直角三角形有一边长为5，∴Ⅰ. 当a=5时，
（m2-1）=5，解得m=
（舍去）.
Ⅱ. 当b=5时，即m=5，代入①③,得a=12，c=13.
Ⅲ. 当c=5时， （m2+1）=5，解得m=±3.
∵m＞0，∴m=3. 代入①②,得a=4，b=3.
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13
9.（2018无锡）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命 题是___菱__形__的__四__条_边__相__等_.
三、解答题
10. 如图M17-7所示是一个长、宽、高分别为12 cm，4 cm，3 cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的 粗细忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算， 能放入的细木条的最大长度是多少？
示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂
线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为
Rt△ABM较长直角边，AM=
EF，则正方形ABCD
Hale Waihona Puke 的面积为（ C ）A． 12S
B． 10S
C． 9S
D． 8S
二、填空题
6.（2018吉林）如图M17-5，在平面直角坐标系中，A （4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径 画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为_（__-1_，__0_）__.
三、解答题
解决问题：（2） 已知△ABC中，AB= ， BC=2 ，AC=5 ，请你根据小颖的思路，在图 M17-10②的正方形网格中画出△ABC，并直接写出 △ABC的面积．
解：（2）画出△ABC如答图M17-3. △ABC的面积=6×5- ×3×1- × 5×5- ×2×6=10.
三、解答题
解：连接AC，AD，如答图M17-1.
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，
则AC=
在Rt△ACD中，AD2=AC2+DC2，
则AD=
=13.
答：能放入的细木条的最大长度是13 cm.
三、解答题
11. 如图M17-8，在四边形ABCD中，AC⊥BC， AB=17，BC=8，CD=12，DA=9. （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积.
三、解答题
解：（1）∵∠ACB=90°，
∴AC2=AB2-BC2=172-82=225.
∴AC=15.
（2）∵AD2+CD2=92+122=225=AC2，
∴∠D=90°.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD = ×8×15+
×12×9
=114．
三、解答题
12. （2017长沙）为了维护国家主权和海洋权利，海监 部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图 M17-9，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的 速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方 向上，继续航行1 h到达B处，此时测得灯塔P在北偏东 30°方向上. （1）求∠APB的度数； （2）已知在灯塔P的周围 25海里内有暗礁，问海监 船继续向正东方向航行是 否安全？
二、填空题
7.（2018北京）如图M17-6所示的网格是正方形网格， ∠BAC____＞______∠DAE.（填“＞”“＜”或“=”）
二、填空题
8.（2018 黑龙江）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3， BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使 其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积 是___3_.6_或__4_._3_2_或_4_._8___.
第十七章 勾股定理
本章知识梳理
思维导图
考纲要求
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单 的实际问题；探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、 直角边 ”定理.
考点 勾股定理及其应用
一、选择题
1.（2018资阳）如图M17-1，将矩形ABCD的四个角向 内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH， EH=12 cm，EF=16 cm，则边AD的长是（ C ）
三、解答题
解：（1）∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，
∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=30°.
（2）过点P作PH⊥AB于点H，如答图M17-2.
∵∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=50.
在Rt△PBH中，∠BPH=30°，
∴BH= PB=25.
∴PH=
∵
＞25，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的.
A.12 cm C.20 cm
B.16 cm D.28 cm
一、选择题
2.下列命题的逆命题是真命题的是（ C ） A.全等三角形对应角相等 B.同角的余角相等 C.等腰三角形顶角的平分线和底边上的高重合 D.如果a=b，那么|a|=|b|
一、选择题
3. （2016台州）如图M17-2，数轴上点A，B分别对应 1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径 画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画 弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ B ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7