汇总排列组合题型总结.ppt
排列组合ppt课件
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
排列组合总结课件
• 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20
三.不相邻问题插空策略
• 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的 出场顺序有多少种？
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数 为 30
十九.树图策略
• 例19．人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手 中,则不同的传球方式有______
• 练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅（i=1,2,3,4,5）的 不同坐法有多少种？
二十.复杂分类问题表格策略
• 例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只, 要求各字母均
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
• 练习题： • 1．10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ • 2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解的组数
十一.正难则反总体淘汰策略(间接法)
• 例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同 的取法有多少种？
二十一：住店法策略
• 例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数
有
.
选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.
十四.构造模型策略
• 例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相 邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
排列组合解题技巧课件
解题步骤：首 先确定特殊值， 然后根据特殊 值的特性进行
计算。
注意事项：特 殊值的选择要 合理，不能随
意选取。
构造法
定义：根据题目的要求，通过构造模型或图形来解决问题的方法。
应用场景：适用于解决排列组合问题中的计数问题。
解题步骤：首先分析题目，确定需要构造的模型或图形，然后根据模型或图形的特点，选择合适 的构造方法，最后计算出结果。
多做练习，提高解题能力
反思总结：在练习过程中不 断反思和总结，发现自己的 不足并加以改进
大量练习：通过不断的练习， 熟悉排列组合的解题思路和 技巧
刻意练习：有针对性地进行 练习，针对自己的薄弱环节
进行强化训练
持续学习：不断学习新的解 题技巧和方法，提高自己的
解题能力
THANK YOU
汇报人：XX
解题思路：先考虑相邻元素之间的顺序，再对其他元素进行排列组合。
常见题型：如将5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都 不空，则不同的放法种数为多少。 注意事项：在解决相邻问题时，需要注意元素之间的顺序要求，避免出 现重复或遗漏的情况。
相同元素问题
相同元素在排列组合中的 处理方式
相同元素的排列组合计算 公式
排列组合解题技巧总结
熟悉基本概念和公式
理解排列组合的 定义和公式
掌握排列组合的 常用公式和定理
了解排列组合的 常见题型和解题 思路
掌握排列组合的 解题技巧和注意 事项
掌握解题思路和方法
分析问题，确定使用哪种解 题方法
理解排列组合的概念和公式
掌握常见的解题技巧，如插 空法、捆绑法等
练习经典例题，加深理解和 应用
排列组合解题技巧
汇报人：XX
排列组合题型归纳 课件
谢谢观看！
直接法
甲
第一类：甲在最右端，有A66种排法；
第二类：甲不在最右端，则甲有5个位置可选,有A51种排法;乙也有
5个位置可选，有A51种排法;其余全排列，有A55种排法.
故满足条件的排法有A66 +A51A51A55 =3720种.
有限制条件的排列问题
例3：有3名男生，4名女生，全体排成一行，其中甲不在最左端，乙
有限制条件的排列问题
例2：有3名男生，4名女生，全体排成一行，其中甲只能在中间或 两端位置，有多少种排法？
特殊元素/位置优先
第一步：安排甲从3个位置中选一个，有A31种排法； 第二步：其余6人全排列，有A66种排法； 故满足条件的排法有A31A66 =2160种.
有限制条件的排列问题
例3：有3名男生，4名女生，全体排成一行，其中甲不在最左端，乙 不在最右端，有多少种排法？
分配方案有：C96
平均分组（堆）
引例：将A，B，C，D分成三堆，每堆至少1个元素，共有多少种分
配方案？
堆与堆之间无顺序
枚举法 1 A A A B B C
1
2
1
1
2
B
CD
B
A
CD
C
BD 当C堆的容量A 相同时BD，
D
BC
C
AD
D
AC
D会带来A重复，BC
C
B
AD
D 需要去B 重！ AC
D
AB
D
C
AB
平均分组（堆）
先分组再分配问题
例12：6本不同的书，分成甲乙丙三人，每人至少一本，共有多少种
排列组合解题技巧ppt课件
解 43人中任抽5人的方法有C45种3 ,正副班长,团支部书记
都不在内的抽法有 种C45,0所以正副班长,团支部书记至少有
1人在内的抽法有
C种453. C450
结论6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它
的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中 排除.
2020/5/1
10
• 练习：有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数 ．
解 把所有的硬币全部取出来,将得到
0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元, 所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角, 所以共C23有3 C213 C110种取法.
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种
剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为 求剩法.
C171
结论3 转化法（插拔法）:对于某些较复杂的、或较
抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为 简单的、具体的问题来求解.
2020/5/1
7
例4 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个,
如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?
分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问
题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来. 但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很 容易解决问题.
2020/5/1
6
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学生
分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我
们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种
17种排列组合方法ppt课件
练习.在3×4的方格中，从A走到B的最短路径有多少种？
B
C 3 35 7
A
11
十一.构造模型策略 例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只 路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏 或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯 方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5
例.7名学生争夺5项冠军，每项冠军只能由一人
获得，获得冠军的可能的种数有
.
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生 可重复排列，将7名学生看作7家“店”，五项冠军 看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法 原理得75种.
14
十四.平均分组（或分堆）问题除法策略
例 有6本不同的书，按下列要求分配，有多少种
3.正确区分“至多”与“至少”，含与不含等问题
※解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉， 容易产生重复和遗漏，应仔细分析重在哪里漏在 何处，因此必须掌握一些常用的解题方法.
2
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五 位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置.
3）分3组，其中一组2人，一组3人，一组4人，有几种分 法？
4）分成3组，每组3人，每组参加一项活动，有几种方法？ 5）分3组，其中2组2人，一组5人，每组参加一项活动，
有几种方法？
6）分3组，其中一组2人，一组3人，一组4人，每组参加 一项活动，有几种方法？
16
练习1.：3名医生和6护士分到3个医院，每个医院分1 名医生和两名护士，有多少种分配方式？
甲乙 丙丁
由分步计数原理可得共有 A55A22 A22 =480
排列组合问题17种方法ppt课件
C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种
一个盒子装1个 （6）每个盒子至少1个
25
练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192
排列组合公式及例题方法【共12张PPT】
不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空
档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球
分成8份,显然有 种不同的放法,所以C171名额分配方案有 种.
C
7 11
结论3 转化法〔插拔法〕:对于某些较复杂的、或较抽象 的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具 体的问题来求解.
全体,那么问题就可以解决了.并且也防止了问题的复杂性.
对等法
解学之不前加考〞任,何与限“制数条学件安,排整在个语排文法之有前考种A〞99 ,“的语排法文是安相排等在的数,
所以语文安排在数学之前考的排法共有 种.
1 2
A
9 9
结论5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否认是
对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以
得到所求.
例6 某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支 部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
分析 此题假设是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复 的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容 易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化 计算过程.
排列组合公式及例题方法
1.熟悉解决排列组合问题的根本方法;
2.让学生掌握根本的排列组合应用 题的解题技巧;
3.学会应用数学思想分析解决排列组
合问题.
一 复习引入
二 新课讲授
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的,并且在实际中 的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际 应用中的解题技巧.
n! (nm)!
4.组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n1)(n2)(nm1) m!
《高三排列组合复习》课件
应用
计算在n个不同元素中取出m个 元素进行组合的不同方式的数目
。
示例
在5个不同元素中取出3个元素进 行组合的不同方式的数目为 $C_{5}^{3} = frac{5 times 4
times 3}{1 times 2 times 3} = 10$。
排列组合的逆序数计算
逆序数的定义
排列与组合的差异
排列考虑顺序，组合不考虑顺 序；
排列数的计算需要考虑取出的 元素顺序，而组合数的计算则 不需要考虑取出的元素顺序；
在实际应用中，排列和组合各 有其适用场景，需要根据具体 问题选择使用。
02
排列组合基本公式的应用
排列数公式的应用
排列数公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
06
复习总结与展望
本章重点回顾
排列组合的基本概念
排列组合的解题思路
排列和组合的定义、排列数和组合数 的计算公式等。
如何根据问题类型选择合适的解题方 法，如分步乘法计数原理、分类加法 计数原理等。
排列组合的常见问题类型
如分组、分配、排列、组合等问题。
学习心得体会
通过本次复习，我更加深入地理解了 排列组合的基本概念和计算方法，对 于常见问题类型也有了更清晰的认识 。
定序问题
总结词
解决定序问题需要使用定序法，根据题意确定元素的顺序。
详细描述
在排列组合问题中，有时需要特别注意元素的顺序。例如，有5个不同的书和4 个不同的笔，要求书和笔的顺序为“书-笔-书-笔-书”，则只要使用分组法，将元素分成若干组进行排列。
详细描述
求函数 y = x^2 - 4x + 4 在区间 [0,4] 的最值点
排列组合ppt课件高中
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
排列组合专题PPT课件
如1,2,3三个数的循环排列只有１２３，１３２ 二种。
第22页/共85页
例8．在圆形花坛外侧摆放８盆菊花和４盆兰花， 要求兰花不能相邻摆放，一共有多少种摆法？
８盆菊花摆成一周的排列方法有n1=７！ ４盆兰花插入８个空中的排列总数有n2=P４８=8!/4! 摆放总数为n=n1*n2=8467200
第一类：A在第一垄，B有3种选择； 第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第三类：A在第三垄，B有一种选择， 同理A、B位置互换 ， 共12种。
第6页/共85页
例6、
某小组有10人，每人至少会英语和日语的一门， 其中8人会英语，5人会日语，从中选出会英语与会 日语的各1人，有多少种不同的选法?
由于8+5＝13＞10，所以10人中必有3人既会英 语又会日语。（5+2+3） 所以可分三类： 5×2 + 5×3 + 2×3=31
3.个位为4,百位为1、2、3、5中的一个，十位为剩下的四个数字中的一个，所以 这样的偶数共有1×P14×P14
所以符合题意的个数为20＋16＋16＝52
第18页/共85页
例5、 8位同学排成相等的两行，要求某两位同 学必须排在前排，有多少种排法？
这两个同学排在前排4个位置的排列数是P24， 其它同学在余下的6个位置排的排列数是6！，所以 符合题意的个数为P24×6！＝12×720＝8640。
prn/(n1!*n2!*…*nm!).
第25页/共85页
例10、将N个红球和M个黄球排成一行。如:N=2,M=3 可得到10种排法。问题:当N=4,M=3时有 种不同 排法? NOIP2002
排列与组合的综合问题PPT教学课件
情境朗读
要求:认真听仔细看知道了什么?
初读课文 要求：
1.借助拼音读准生字的字音；读通句子. 2. 画出由生字组成的词语，并标好自 然段的序号。
反馈交流:
读一读
liàng gù
辆 顾掏
tāo jīn 襟
j ì xiāng xù bì 继厢 续 壁
识记生字
péi gǎo kǎo shǐ jì 培搞考始计 Yī bèi fěn yí ér 衣备粉移而
§10.4排列与组合的综合问题
高三备课组
一、解题思路：
解排列组合问题，要正确使用分类计数原理和 分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对 一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几 种常用的解题方法：
特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的 排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手， 先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素 或位置，这种解法叫做特殊优先法。
【思维点拨】特殊元素或特殊位置首先考虑
例3(优化设计P178例2)、对某种产品的6件 不同正品和4件不同次品一一进行测试，至 区分出所有次品为止，若所有次品恰好在 第5次测试时被全部发现，则这样的测试方 法有多少种可能?
【评述】本题涉及一类重要问题：问题中 既有元素的限制，又有排列的问题，一般 是先选元素（即组合）后排列。
例4(优化设计P178例3)、在一块并排10垄的田 地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种 作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法 共有多少种？
例5(优化设计P178例4)、有两排座位，前排11 个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规 定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不 左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）
排列组合综合课件
某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们
到各自的一层下电梯,下电梯的方法
（ 78
）
六.排列组合混合问题先选后排策略
例6.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共
有C__52种方法.再把5个元素(包含一个复合
元素)装入4个不同的盒内有_A__44__种方法.
(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列
问题,可先把这几个元素与其他元素一起
进行排列,然后用总排列数除以这几个元
素之间的全排列数,则共有不同排法种数 定是序：问AA73题73 可以用倍缩法，还可转化为占位插 入模型处理
练习题
期中安排考试科目9门,语文要在数学之前
考,有多少种不同的安排顺序?
1 2
A99
练习题
5个男生3个女生排成一排,3个女生 要排在一起,有多少种不同的排法?
共有A
6 6
A
3 3
=4320种不同的排法.
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种
装法, 同理3号球装5号盒时,4,5号球有也
只有1种装法,由分步计数原理有2
C
2 5
种
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状 图会收到意想不到的结果
排列组合经典例题总结ppt课件
二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
邻, 共有多少种不同的排法.
解：要可一求先个将某复甲几合乙元个两素元元，素素同必捆时须绑丙成排丁整在也体看一并成起看一的成个问题, 可复合以元用素捆，绑再法与来其解它决元素问进题行.即排将列，需要相
解 (C 3 1 ： C 5 4C 3 2C 5 3)A .5 5
（2）男生只能担任数学化学物理课代表；
解C 5 2 ： A 3 2.A 3 3C 5 3A 3 3.A 3 2
.
5综合问题
练习10：3张卡片正反面分别写着数字0与1、 3与4、5与6，将三张卡片并排组成三位数， 共可以组成多少个不同的三位数？
组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
组合数性质
.
两个原理的区别与联系：
做一件事，完成它可以有n类办 法，第i类办法中有mi种不同的 方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的 方法
做一件事，完成它可以有n个步 骤，做第i步中有mi种不同的方 法，那么完成这件事共有 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的 方法.
行的平面有3种； 故取4个不共面的点有 C . 140-(4C6 4+6+3)=141
练习8
以一个正方体的顶点为顶点，能 组成多少个不同的四面体？
C84- 12= 58
.
解排列组合题的常用方法
1.特殊元素优先考虑 2.不相邻问题插空法 3.相邻问题捆绑法 4. 定序问题缩倍法 5.多排问题直排法 6.排列组合混合题先选后排法 7.相同元素分配问题隔板法 8.正难则反间接法
排列组合经典例题总结ppt课件
有A53种排法第二步排其余的位置：有A44种排法
共有A53 A44种不同的排法
解二：第一步由葵花去占位： 有A42种排法 第二步由其余元素占位：有A55种排法
共有A42 A55种不同的排法
二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
为主然,后需排先首安位排共特有殊_C元_41_素,再处理其它元素.
若以最位后置排分其析它为位主置,共需有先_A满_43_足C41特殊位A43置的要C31
求,由再分处步理计其数它原位理置得。C31
C
1 4
A43
=288
练习1 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若 两种葵花不种在中间，也不种在两端的 花盆里，问有多少不同的种法？
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.
练习题6
某种产品有4只次品和6只正品，每只均不 同且可区分，今每次取出一只测试，直到 4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰 好在第五次测试中被发现的不同情况有多少 种？
知识结构网络图：
排列 基 本 原 理
组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
组合数性质
两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
做一件事，完成它可以有n类
办法，第i类办法中有mi种不同
定
义
的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方
法
分步原理
做一件事，完成它可以有n个步 骤，做第i步中有mi种不同的方 法，那么完成这件事共有
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结前排为一排考虑后,再排分段研究.
排列组合综合应用-PPT精选文档
规 律 方 法 提 炼
1、排列组合应用题大致可分为三特殊条件 有特殊元素 有特殊位置
组合型
无特殊条件 有特殊条件 排列与组合混合
混合型
分步计数原理与分类计数原理混合
2、常见的解题策略、方法
（1） 特殊元素优先法 （2） 选排问题先选后排法
（3） 相邻问题捆绑法
3、元素与位置
解答排列与组合问题，确定哪些事物是元素，哪些事物是 位置至关重要，又没有唯一的定势标准，所以要辩证地去 看待元素与位置。解题过程中，要优先安排有限制条件的 特殊元素和特殊位置，并灵活运用“捆绑法”和“插空 法”，“直接法”和“间接法”。
二、解决有附加条件的排列组合问题的三种 途径：
1、以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考 虑其他元素。 2、以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考 虑其他位置。 3、先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再 减去不符合要求的排列数或组合数。
三、解决排列组合题常用的方法
直接解法与间接解法；分类法与分步法；元 素分析法与位置分析法；插空法与捆绑法等。
经常运用的数学思想是：分类讨论思想，转 化思想，对称思想三种。
重 点 难 点 提 示
解排列组合的应用题，要注意四点： 1、仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元 素的性质分类，按事件发生的过程进行分步。 2、深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，既不 少也不多，辩证思想，多角度分析，全面考虑，这不仅 有助于锻炼提高逻辑推理能力，也有助于尽可能避免出 错． 3、对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周 密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简 单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解 决。 4、由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接 验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问 题的方案是否完备，有无重复或遗漏；也可采用多种不 同的方法来求解，看看是否相同。在对排列组合问题分 类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复。
2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳(解析版)
排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数．用符号“A m n ”表示A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)A n n ＝n ！；(2)0！＝1C m n ＝A m nm ！组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号“C m n ”表示C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)C n n ＝C 0n ＝1；(2)C m n ＝C n －m n ；(3)C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳（解析版）【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A．30B．36C．60D．722.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．144B．120C．72D．483.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A．28种B．32种C．36种D．44种【题型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7【变式演练】1.正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A．420B．600C．720D．7802.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种3.如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192B ．336C ．600D ．以上答案均不对【题型三】人坐座位模型3：染色（空间）:【典例分析】如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【变式演练】1.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420B．210C．70D．352.在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．3.用五种不同颜色给三棱台ABC DEF的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.【题型四】书架插书模型【典例分析】有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．168B．260C．840D．560【变式演练】A aB bC cD d1.从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按(),(),(),()先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc或aABc都可以），这样的情况有__________种．（用数字作答）2.．在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法3.书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（）.A．210种B．252种C．504种D．505种【题型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同【典例分析】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（）A．150B．240C．390D．1440【变式演练】1.将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A．30种B．90种C．180种D．270种2.将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为A．17B．16C．625D．7243.将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（）A．15B．30C．20D．42【题型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同【典例分析】把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i 个盒子中至少有i 个球（1,2,...,10i ），则不同放法的总数是A ．101940C B ．91940C C ．101949C D ．91949C 【变式演练】1.将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）A ．22B ．25C ．20D ．482.把20个相同的小球装入编号分别为①②③④的4个盒子里，要求①②号盒每盒至少3个球，③④号盒每盒至少4个球，共有种方法.A ．39C B ．319C C ．3494C AD ．143205C C 3.将7个相同的小球放入A ，B ，C 三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（）种不同的放法．A ．60种B ．36种C ．30种D ．15种【题型七】相同元素排列模型1：数字化法【典例分析】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓才加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9【变式演练】1.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？A ．5B ．25C ．55D ．752.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种3.如图所示，甲､乙两人同时出发，甲从点A 到B ，乙从点C 到D ，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲､乙的行走路线没有公共点的概率为（）.A ．37B ．57C ．514D ．1321【题型八】相同元素排列模型2：空车位停车等【典例分析】1.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．240B．360C．480D．7202.马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种【变式演练】1.某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是A．48B．54C．72D．842.现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.3.地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有________种.【题型九】相同元素排列模型3：上楼梯等【典例分析】欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有A．34种B．55种C．89种D．144种【变式演练】1.斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：()11f =，()21f =，()()()()122,f n f n f n n n N *=-+-≥∈.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（）种上楼方法.A ．377B ．610C ．987D ．15972.从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步走完，则从一楼到二楼共有走法．A ．12B ．8C ．70D ．663.某人从上一层到二层需跨10级台阶.他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步.从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶.则他从一层到二层可能的不同过程共有（）种.A ．6B ．8C ．10D ．122010年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题【题型十】多事件限制重叠型【典例分析】班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为A ．217B ．316C ．326D ．328【变式演练】1.某同学计划用他姓名的首字母,T X ，身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号,,αβθ设置一个六位的密码．若,T X 必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为（）A ．864B ．1009C ．1225D ．14412.2019年11月19日至20日，北京师范大学出版集团携手北师大版数学教材编写组在广东省珠海市联合举办了以“新课程，我们都是追梦人”为主题的北师大版中小学数学教材交流研讨会，会议期间举办了一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（）A ．1860B ．1320C ．1140D ．10203.有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有______种不同的停放方法．（用数字作答）【题型十一】多重限制分类讨论【典例分析】高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯（图1），她准备每次走1级或2级楼梯去二楼，并在心中默默计算这样走完25级楼梯大概有多少种不同的走法，可是当她走上去后发现（图2）原来在13级处有一宽度达1.5米的平台，这样原来的走楼梯方案需要调整，请问，对于剩下的15级()123+楼梯按分2段的走法与原来一次性走15级的走法相比较少了______种．【变式演练】1.市内某公共汽车站有7个候车位(成一排),现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为______；（用数字作答）3位同学相邻，另2位同学也相邻，但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为______.（用数字作答）2.2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有()种．A ．120B ．156C ．188D ．2403.甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》．《星火》的票价为50元/人，每人限购一张票．甲、乙、丙三人各带了一张50元钞，其余三人各带了一张100元钞．他们六人排成一列到售票处买票，而售票处一开始没有准备50元零钱，那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态．（）A ．720B ．360C ．180D ．90【题型十二】综合应用【典例分析】设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需Ti 分钟，假设Ti 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少()A ．从Ti 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从Ti 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近Ti 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变【变式演练】1.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（）A ．120B ．112C ．110D ．162.设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（）A ．32B ．56C ．72D ．843.为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担任冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（）A．34B．23C．56D．12【经典题专练】1.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C区域涂色不相同的概率为()A．17B．27C．37D．472.将一个四棱锥S ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是A．540B．480C．420D．3603.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（）A．512B．712C．914D．5144.10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A ．2263C A B ．2666C A C ．2266C AD ．2265C A 5.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A ．90B ．135C ．270D ．3606.现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（）A ．28B ．24C ．18D ．167.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为A ．16B ．18C ．32D ．728.校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）9.如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A ､2A ､3A ､4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ､M 处为止.则下列说法正确的是（）A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有64种C ．甲､乙两人在2A 处相遇的概率为81400D ．甲､乙两人相遇的概率为1210.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.11.2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P ，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P ，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P ，则满足123P P P <<的分配方案的概率为（）A ．13B ．23C ．120D ．3412.如图，在某海岸P 的附近有三个岛屿Q ，R ，S ，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.A ．24种B ．20种C ．16种D ．12种13.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A C C ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +14.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示.（如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）A ．87B ．95C ．100D ．10315.如图为33⨯的网格图，甲、乙两人均从A 出发去B 地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为M、 的值为（）N，则M NA．10B．14C．15D．16排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号“A m n”表示A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)A n n＝n！；(2)0！＝1C m n＝A m nm！组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号“C m n”表示C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)C n n＝C0n＝1；(2)C m n＝C n－m n；(3)C m n＋1＝C m n＋C m－1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，2242 3245 C A A A（2）分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A （）都不相邻：A 两队各自相邻：一对两人相邻：！【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。
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【四】相邻问题
例1、8人排成一列，甲乙丙三人必须相邻， 有多少种排法？
例2、一排8个座位，3人坐，5个空座位 相邻，有多少种坐法？
优选
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【五】不相邻问题
不相邻问题也有两大类：不相邻的对象相同， 不相邻的对象不相同
1、若不相邻对象不相同时，先把其他的对象 进行排列，再把不相邻的对象放在其他对象形成 空格中进行排列
优选
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【七】可（不可）重复使用的对象
问题中有两组对象，解决问题时要以不可 重复使用的对象作为分布的标准（住店、 投信、映射、冠亚军等） 例1、5人住3家店，有多少种住法？
例2、5人参加同一下比赛，最终冠亚季军 名次有多少种？
优选
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【八】 我不能我问题
在处理换位置、交换礼品、职务连任等问题 时规则要求往往是自己不允许和自己发生关系， 这种问题一般只到4或5组对象。常用穷举法、 或用间接法，或用分步法（注意第二步的处理技 巧）
排列组合题型总结
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【一】特殊对象问题：
在处理排列问题时，所要研究的对象 有两组，一是要被排列的对象，一是位置， 在这两组对象中有时候会出现一个或者多 个特殊的对象：
若有一个特殊对象，一般先把特殊的对象
优先进行处理，然后再对其他的没有特殊
要求的对象进行全排列；
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特殊对象问题：
如果出现了两个特殊要求，一般使用分类
的方法处理，针对其中的一个的位置不同 进行分类来处理，再或者用间接法
例1、有5人排成一列，其中甲不在第一的 位置，有多少种排法？
例2、有5人排成一列，其中甲不能在第一， 乙不能在最后，有多少种排法？
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【二】名额分配问题
这种问题处理时，要注意两个特征：
1、名额之间没有什么不同 2、名额分配时的具体要求是什么
2、若不相邻的对象相同时，也先把其他的对 象进行排列，再从其他对象摆好形成的空格中选 取相应的空格，最后直接把不相邻的对象放入 （1种方法，因为相同）
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【五】不相邻问题
例1、某人射击训练，8枪命中3枪，恰好 没有任何2枪连续命中，有多少种情况？
例2、8人排成一列，甲乙丙三人不可相 邻，有多少种排法？
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【三】分组分配问题
例3、有6本不同的书，分甲1本，乙2本， 丙3本，有多少种分法？
不平均定向分配：分步，直接分法 例4、有6本不同的书，分三组，一组1
本，一组2本，一组3本，有多少种分法？ 不平均分组:把例3理解成两步：先分组，
然后再把组定向分给人（只有1种方法）， 所以答案同问题3,方法为直接分法
当问题中要求分配时每人至少一个时，只需要在 所有名额形成空隙中选取比人数少一个的空隙， 放入相同的挡板即可
若问题中没有具体分配要求时，可以不上和人数 名额分配问题
例1、有10个三好学生的名额分给3个班， 要求每班至少有一个名额，怎么分？
例2、有7个三好学生的名额，分给3个 班，怎么分？
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【三】分组分配问题
这里的分配问题与名额分配的最大区别是： 名额是相同，现在是不同的对象进行分配
例1、有6本不同的书，平均分给甲乙丙三人， 有多少种分法？
平均分配:乘法原理，直接分法
例2、有6本不同的书，平均分为三组，有多少 种分法？
平均分组：把例1分成两步：先分成三组；把不 同的三组分给三个不同人（组数的阶乘），求乘 积。所以平均分组方法=直接分法/组数的阶乘
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【四】相邻问题
本组问题有两大类：相邻的对象相同，相邻的对象 不相同 1、若相邻对象不同时，先把相邻的对象当成一 个，和其他没有要求的对象进行全排列，然后再 把相邻的对象进行全排列，这两步求乘积 2、若相邻对象相同时，先把其他的对象排好， 再把相邻的对象当成一个按要求放在其他对象摆 好而形成的空格中
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【十一】相对顺序固定问题
例1、书架上6本不同的书，现在要放上去3本， 但要保持原来6本的相对顺序不变，有多少种放 法？
例2、 用1、2、3、4、5、6排成所有五位数 中，个位数小于十位数，而且十位数小于百位 数的有多少个？
例3、用1、2、3、4、5、6排成所有五位数中， 个位数小于十位数，而且十位数大于百位数的
例1、4人写4张卡片，自己不许拿自己的卡片， 有多少中拿法？
例2、5人换位置，有多少种不同的换法？（44 种）
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【九】至多至少问题
常用分类的方法或者间接法
例1、从5个男生和4个女生，选出4人参 加比赛，要求至少要有2名女生的选法有 多少种？
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【十】交叉功能问题
抓住一个特点进行分类，千万不要分类 过多
例1、10名翻译，有6人会英语，7人会 德语，现需要英语、德语翻译各3人，共 多少中选派方案？
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【十一】相对顺序固定问题
相对顺序固定问题，常用两种方法： （1）一般要先处理掉没有相对顺序要求的
元素，再把剩下的有相对顺序要求的元素 按照要求摆放， （2）先随意地进行排列，再除以随意摆放 过程中相对顺序固定部分的顺序
例3、8盏灯关掉3盏，不许关掉相邻的， 也不许关掉两端，多少种方法？
例4、某人射击训练，8枪命中3枪，恰好 2枪连续命中，有多少种情况？
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【六】成双成对问题
先按双取出，再从各双分别取出一只， 自然不成双
例1、从6双不同鞋子中取出4只，要求都 不许成双，有多少种方法？
例2、从6双不同鞋子中取出4只，要求恰 好有一双，有多少种方法？
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【三】分组分配问题
例5、有6本不同的书，分给三个人，一人1本， 一人2本，一人3本，有多少种分法？
不平均的不定向分配：理解成2步：先分组，然 后把组不定向的分给人（组数的阶乘）,再求乘积。 例6、有9本不同分成三组，一组5本，另外两组 各2本，有多少种分法？
混合型分组：理解成两步：先不平均的分，在 把某部分平均分组，再求两步乘积。整理规律即： 先直接分，然后除以平均组数的阶乘
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【三】分组分配问题
例7、有9本不同的书，分给甲乙均2本，丙5本， 有多少种分法？
混合型某部定向分配：理解成两步，先混合型 分组，然后把组分给人；其中平均部分的分配 （平均组数的阶乘），再求乘积
例8、有9本不同的书，分给两人各2本，另一 人5本，有多少种分法？
混合型部定向分配：理解成两步，先混合型分 组，然后把组分给人（不定向，所有组数的阶 乘），再求乘积