(完整版)四年级奥数奇数与偶数(教师用含答案)

第二讲：奇数与偶数

教学目标

本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。

知识点拨

一、奇数和偶数的定义

整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

二、奇数与偶数的运算性质

性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数

性质2：偶数±奇数=奇数

性质3：偶数个奇数的和或差是偶数

性质4：奇数个奇数的和或差是奇数

性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数

三、两个实用的推论：

推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。

推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b 与a-b 同奇或同偶

模块一：奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质

【例 1】 1231993++++……的和是奇数还是偶数？

【解析】 在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有

奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数

【巩固】 123456799100999897967654321

+++++++++++++++++++++L L 的和是奇数还是偶数？为什么？

【解析】 在算式中，1~99都出现了2次，所以

123499999897964321++++++++++++++L L 是偶数，而100也是偶数，所以1234567991009998979676++++++++++++++++L L

54321+++++的和是偶数．

【巩固】 2930318788+++++……得数是奇数还是偶数？

【解析】 偶数。原式中共有60个连续自然数，奇数开头偶数结尾说明有30个奇数，为偶数

个。

【例 2】 (200201202288151152153233++++-++++……）（……）

得数是奇数还是偶数？

【解析】 200至288共89个数，其中偶数比奇数多1，44个奇数的和是偶数；151至233

共83个数，奇数比偶数多1，42个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。

【例 3】 12345679899+⨯+⨯+⨯++⨯L 的计算结果是奇数还是偶数，为什么？

【解析】 特殊数字：“1”．在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数⨯偶数，所以它们的

乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有1是奇数，又因为奇数+偶数=奇数，所以这个题的计算结果是奇数．

【例 4】 能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请

说明理由

（1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10

（2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27

不能。很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有

例题精讲

5个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析后定量计算的题目”（2）可以。12345678927+++++++-=或12345678927---+++++=

模块二：奇偶运算性质综合及代数分析法

【例 5】 是否存在自然数a 和b ，使得ab(a ＋b)=115?

【解析】 不存在。此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想，即2个自然数在奇偶性的

组合上只有3种情况，“2奇0偶，1奇1偶，0奇2偶”，可以分别讨论发现均不成立。

【巩固】 是否存在自然数a 、b 、c ，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？

【解析】 不存在。可以分情况来讨论：3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶。但是比

较繁琐，可以根据45327是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以a-b 、b-c 、a-c 都为奇数，再根据奇偶性进行判断。

【巩固】 已知a,b,c 中有一个是511，一个是622，一个是793。求证：(1)(2)(3)

a b c ---是一个偶数

【解析】 因为在a,b,c 中有2个是奇数，1个是偶数，那么说明a,c 两个数中至少有一个是

奇数，那么(1)a -和(3)c -中至少有一个是偶数，所以(1)(2)(3)a b c ---中至少有一个因数是偶数，结果为偶数

模块三、奇偶模型与应用题

【例 6】 沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植

物上能否一共结有225个浆果?说明理由．

【解析】 不能。本题为俄罗斯小学生奥数竞赛题，可以给学生介绍。相邻的两个植物果实数

目差1个意味着相邻2个植物的奇偶性不同，所以一定有4棵植物的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为225.

【例 7】 试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于

1999．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．

【解析】 因为两个数的和a b +与两个数的差a b -的奇偶性相同，所以a b a b ++-（）（）

的和是偶数．由结论三可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加1000还是偶数，所以它们的和不能等于奇数1999．

模块四：整数的奇偶性分析法

【例 8】 一个图书馆分东西两个阅览室．东阅览室里每张桌子上有2盏灯．西阅览室里每

张桌子上有3盏灯．现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数．问：哪个阅览室的桌子数是奇数？

【解析】 根据两个阅览室里总的桌子数和灯数都是奇数，想一想可以确定哪个阅览室桌子数、