导数应用题

高二（文科）导数应用题

例题：

时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格y （单位：元/套）满足的关系式y =y y ?2+4(y ?6)2，其中2

（1）求y 的值；

（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格y 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数点） 试题分析：（1）直接代入点（4，21）即可求出y =10；（2）先建立利润函数模型y (y )=(y ?2)[10y ?2+4(y ?6)2]=10+4(y ?6)2(y ?2)=4y 3?56y 2+240y ?278(2

然后由导数确定函数的单调性，求出函数的最值及条件.

试题解析：（1）因为y =4时，y =21，

代入关系式y =y y ?2+4(y ?6)2，得y 2+16=21， 2分

解得y =10. 4分

（2）由（1）可知，套题每日的销售量y =10y ?2+4(y ?6)2， 6分

所以每日销售套题所获得的利润 y (y )=(y ?2)[10y ?2+4(y ?6)2]=10+4(y ?6)2(y ?2)=4y 3?56y 2+240y ?278(2<

y <6)从而y′(y )=12y 2?112y +240=4(3y ?10)(y ?6)(2

，函数单调递增；在(103,6)上，，函数

单调递减， 10分 所以y =103是函数

在(2,6)内的极大值点，也是最大值点， 11分 所以当y =10

3≈3.3时，函数

取得最大值. 12分 故当销售价格为元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.

考点：1.利用导数处理函数的最值；2.函数模型的应用

练习题

一、单选题

1．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是64π，且用料最省，则圆柱的底面半径为（ ）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

2．现有一段长为18m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（ ）

A. 1m

B. 1.5m

C. 0.75m

D. 0.5m

二、填空题

3．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12yy 且以每秒1yy 等速率缩短，而长度以每秒20yy 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12yy 缩到4yy 为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为10yy 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒,则此时金箍棒的底面半径为__________yy ．

4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－和L 2＝2x ，其

中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．

三、解答题

5．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往

经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为3

110v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

（升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为（升），返回水面的平均速度为2v （米/单位时间），每单位时间用氧量为（升），记潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升）.

（1）求y 关于v 的函数关系式；

（2）求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.

6．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m 元(m 为常数，且2≤m ≤3)，设每个水杯的出厂价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．

(1)求该工厂的日利润y (元)与每个水杯的出厂价x (元)的函数关系式；

(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值．

7．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3 700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x －5 000(单位：万元)．

(1)求利润函数P (x )；(提示：利润＝产值－成本)

(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

8．某辆汽车以x km /h 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求

60≤x ≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为145005x k L x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭

，其中k 为常数，若汽车以120km /h 的速度行驶时，每小时的油耗为.

（1）求k 的值；

（2）求该汽车每小时油耗的最小值．

9．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单

位： cm ）满足关系()()01025

k c x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

（1）求k 的值及()f x 的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值.