上海交大数字信号处理第一次作业答案

上海交大第一次作业布置：

1、请证明下列哪个是因果系统 A

A))()]([n nx n x T =； B))()]([3

n

x n x T =；

C))()]([n x n x T -=

2. 请证明下列哪个是移不变系统。C

A)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

79

2sin )()]([ππn n x n x T ;

B))2()]([n x n x T =; C))](Re[)]([n x n x T =

3、直接计算N 点DFT 所需的复数乘法次数与2

N 成正比

4. 一个线性移不变系统的系统函数为2

11

6848)(---++-=z

z z z H ，请画出其零极点分布图。若该系统是因果稳定系统，那么其会是最小相位延时系统吗，为什么？

1111212H(z)111z z(z )22H(z)1111(1z )(1z )(z )(z )4242

111

z z z 0z 422

-----==++++=-=-==对的分母进行因式分解得

可见，极点为，；零点为，，从而可得零极点分布

图如下图所示。

1图零极点分布图

在因果稳定情形下，该系统会是最小相位延时系统，原因在于：其所有零极点都在单

位圆内，正是符合最小相位延时系统的特点。 5、若

12x (n)x (n)、都是因果稳定序列，请证明

j j j j 1212111X (e )X (e )d X (e )d X (e )d 222π

π

π

ωωωωπ

π

π

ωωω

π

π

π

-

-

-

=

⋅

⎰⎰⎰。

解：

12j j j 12j j j n

j j n 12

12n

j j 1

21212n 0

k=0

12j j 11y(n)x (n)*x (n)Y X (e )X (e )

11X (e )X (e )e d Y e d x (n)*x (n)

22n 01X (e

)X (e )d x (0)*x (0)=[x (k)x (n-k)]2x (0)x (0)

1x (0)=X (e )e 2ωωωππ

ωωωω

ωπππ

ω

ω

ππωπωωππωπ

π--

-

-======⎰⎰∑⎰⎰=设则()=进而，有

(

)当时，有

由于n

j j n 22j j j j 12121d x (0)=X (e )e d 2111X (e )X (e )d X (e )d X (e )d 222πωωωππππωωω

ωπππ

ωωπωωωπππ----=⋅⎰⎰⎰⎰，所以可得：

得证。