刚体的平动与转动(定轴)
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大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
平动与转动
J z I zz z I zz
dJ z I zz I zz Mz dt ( M z 为诸外力对z 轴的主矩)
1 2 I zz V E 2
( F 为保守力时)
P.188: e.g.1
三. 轴上的附加压力
A ,B 两点受约束不动. 研究约束反力 如图: P.189
外力为保守力时： 辅助方程
1 1 2 E mv c I zz 2 V 2 2
1. 四个方程只有三个是独立的, Izz 是一个标量； 2. Fx Fy Mz 中的力包括约束反力的作用, 故需加约束方程才能求解.
P.201: 例2
方法1: 机械能守恒定律
方法2: 质心的运动定律 + 对质心的动量矩定律 补充例题: 3.2、3.3, P.228~229
另一种推导方法
0
讨 论
1. 轴上附加压力（动压力）为零的条件： ！ 转轴(z)为中心惯量主轴 (xc=0, xy=0 , Izx= 0 , Iyz= 0 ）. 2. 如果 动反力 = 静反力, 则转轴必为中心惯量主轴, 同时刚 体也必为动平衡,即使去掉约束,也会一直转下去.此时,转轴 称为自由转动轴. 3. 附加压力是由于刚体转动时所产生的惯性力引起的， 2 主要部分 . 所以高速运转的机器，制造与安装质量非常重要！ P.192: e.g.2 静力学复习
( r r0 ) ( x x0 ) j ( y y0 )i
与基点的选取无关，是一个滑移矢量
.
静系：
相对于原点
动系：
相对于瞬心
v x v Ax ( y y0 ) 基点法 v y v Ay ( x x0 ) v x v Ax y V’A 为动系中基点 (相对于瞬心)的速度！ v y v Ay x
第四章 刚体的转动
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
刚体的转动
第三章 刚体的转动出发点：牛顿质点运动定律刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运动。
§3-1 刚体的平动，转动和定轴转动一 刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。
（理想模型）二 平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。
2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。
受力：内力和外力对每一个质元：满足牛顿运动定律+=Mi i 对刚体而言：∑(+fi )=∑Mi i⇒∑+∑=∑Mi i显然∑=0 ⇒∑=∑Mi I=∑Mi故：∑F ==M a即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。
三 转动和定轴转动定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。
ω=dt d θ, α=dtd ω对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系：v=R ωa t=R αa n=ω2R更一般的形式：角速度矢量的定义：=ωγ⨯ ， =dtd 显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。
例：一飞轮在时间t 内转过角度θ=t b at 3+-c t 4,式中abc 都是常量。
求它的角加速度。
解： 飞轮上某点的角位置可用θ表示为θ=t b at 3+-c t 4,将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为ω＝(dtdt b at 3+-c t 4）＝a+3b t 2-4c t 3角加速度是角速度对t 导数，因此得α =dt d ω=d td ( a+3b t 2-4c t 3)=6bt-12c t 2由此可见，飞轮作的是变加速转动。
§3-2 力距 刚体定轴转动定律一 力矩：设在转动平面内，=⨯是矢量，对绕固定轴转动，只有两种可能的方向，用正负即可表示，按代数求和（对多个力）。
第六章 刚体的平动和定轴转动
2
由上式可知：法向加速度的大小为 R 2 即与半径成正比，方 法向加速度的大小为 ω ，即与半径成正比， 向指向点O，即曲率中心。 向指向点 ，即曲率中心。
v 2 =R ω an = R
M点的全加速度大小： 点的全加速度大小：
a = a +a = τ
2 2 n
(Rε)
2
+R ω
(
2 2
)
= R ε 2 +ω4
ρ
α
20 ε= = = 50rad / s 2 ρ 0 .4
为常量。所以，叶轮作匀加速转动
aτ
图 转动的叶轮
ϕ ω 由题意知，t =0 =0时， 0 =0， 0 =0，得叶轮的转动方程为：
(2) 求t =4s时，M点 的速度和法向加速度
1 2 ϕ = ϕ 0 + ω0t + εt = 25t 2 2
ω 0 = 10 rad / s , ω = 0
ω − ω0 0 − 10 t= = = 10 s ε −1
二、 转动刚体内各点的速度和加速度
设刚体绕z轴变速转动,在刚体上任取一点M来考察。M点到 转动轴的距离为R，M点的轨迹是半径为R的一个圆，如图。
R
R
ω
R
M
R ϕ
O
s
M0
1.M点的运动方程 1.M点的运动方程
′ A′
A
′ A
B
B′
′ B′
平动的特点: 平动的特点: (1) 刚体中各质点的运动情况相同 (2)可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。
二、平动刚体的运动学特征
同一瞬时，平动刚体上各点的速度相同、加速度相同。
在平动刚体上任选两点A、B，设 BA = ρ ,则任意瞬时A点的矢 径可写为 A
由上式可知：法向加速度的大小为 R 2 即与半径成正比，方 法向加速度的大小为 ω ，即与半径成正比， 向指向点O，即曲率中心。 向指向点 ，即曲率中心。
v 2 =R ω an = R
M点的全加速度大小： 点的全加速度大小：
a = a +a = τ
2 2 n
(Rε)
2
+R ω
(
2 2
)
= R ε 2 +ω4
ρ
α
20 ε= = = 50rad / s 2 ρ 0 .4
为常量。所以，叶轮作匀加速转动
aτ
图 转动的叶轮
ϕ ω 由题意知，t =0 =0时， 0 =0， 0 =0，得叶轮的转动方程为：
(2) 求t =4s时，M点 的速度和法向加速度
1 2 ϕ = ϕ 0 + ω0t + εt = 25t 2 2
ω 0 = 10 rad / s , ω = 0
ω − ω0 0 − 10 t= = = 10 s ε −1
二、 转动刚体内各点的速度和加速度
设刚体绕z轴变速转动,在刚体上任取一点M来考察。M点到 转动轴的距离为R，M点的轨迹是半径为R的一个圆，如图。
R
R
ω
R
M
R ϕ
O
s
M0
1.M点的运动方程 1.M点的运动方程
′ A′
A
′ A
B
B′
′ B′
平动的特点: 平动的特点: (1) 刚体中各质点的运动情况相同 (2)可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。
二、平动刚体的运动学特征
同一瞬时，平动刚体上各点的速度相同、加速度相同。
在平动刚体上任选两点A、B，设 BA = ρ ,则任意瞬时A点的矢 径可写为 A
刚体的转动
J miri
i
例 如图
I m1r12 m2r22 m3r32
m2
可视为 质点
r1
m1
r2 r3
m3
转轴
•质量连续分布的物体
J rdm dm d 或 ds 或 dV
线积分
面积分
体积分
（记住：棒、圆盘和圆柱体的I）
例题 5-2
例题 5-3
例题 5-4
（4）以上三式联立，可得物体下落的加速度和速度：
a m g mM 2
V 2ah 4mgh 2m M
这时滑轮转动的角速度为 V 1 4mgh
R R 2m M
例题:质量M=1.1kg，半径=0.6m的匀质圆盘，可绕通过其
中心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动。圆盘边缘绕有
看成质点 水平飞行
刚体作平动，其上所有点的速度、加速度相等，运动 轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿 定律。
转动 刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一直线 作圆周运动，则这刚体的运动称为转动，这条直 线称为转轴。转轴固定的转动叫定轴转动。
转轴
地球仪转动
一般情况下，刚体十分复杂，同时存在平动和 转动；可以证明，刚体的一般运动可以当作由一平 动和一绕瞬时轴的转动组合而成。
F
ds
F
cos
ds
Ft rd
Md
The total work done during a finite angular displacement
is then
W 0 M d
(5-18)
In the special case of M is a constant
i
例 如图
I m1r12 m2r22 m3r32
m2
可视为 质点
r1
m1
r2 r3
m3
转轴
•质量连续分布的物体
J rdm dm d 或 ds 或 dV
线积分
面积分
体积分
（记住：棒、圆盘和圆柱体的I）
例题 5-2
例题 5-3
例题 5-4
（4）以上三式联立，可得物体下落的加速度和速度：
a m g mM 2
V 2ah 4mgh 2m M
这时滑轮转动的角速度为 V 1 4mgh
R R 2m M
例题:质量M=1.1kg，半径=0.6m的匀质圆盘，可绕通过其
中心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动。圆盘边缘绕有
看成质点 水平飞行
刚体作平动，其上所有点的速度、加速度相等，运动 轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿 定律。
转动 刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一直线 作圆周运动，则这刚体的运动称为转动，这条直 线称为转轴。转轴固定的转动叫定轴转动。
转轴
地球仪转动
一般情况下，刚体十分复杂，同时存在平动和 转动；可以证明，刚体的一般运动可以当作由一平 动和一绕瞬时轴的转动组合而成。
F
ds
F
cos
ds
Ft rd
Md
The total work done during a finite angular displacement
is then
W 0 M d
(5-18)
In the special case of M is a constant
大学物理—刚体的动轴转动
25
麦克斯韦分布
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
t 0 2 1 g dt R d 0 0 3 2
F1
转动 平面
F
F2
r F1 只能引起轴的
变形, 对转动无贡献。 注 （1）在定轴动问题 中，如不加说明，所指的 力矩是指力在转动平面内 的分力对转轴的力矩。
r
（2） M Z rF2 sin F2d
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。
F123麦克来自韦分布例 2: 一半径为 R ，质量为 m 匀质圆盘，平放 在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘 面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
d r dr
R
e
解 : 因摩擦力不是集中作用于一点，而是分布 在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积 分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质 元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
a m2 G2
a
21
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮 边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
麦克斯韦分布
a r
从以上各式即可解得
m 2 m1 g M r / r m 2 m1 g M / r a
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
1. 刚体的角动量
图为以角速度绕定轴oz 转动的一根均匀细棒。
L
z
ri
O
Li
把细棒分成许多质点，其中第 i 个质点的质量为 mi 当细棒以转动时，该 质点绕轴的半径为 ri
第4章 刚体力学
j
x
i
y
上述关系简记为右图（顺时针取正，逆时针取负）。
讨论 1）若力 不在转动平面内，可把力分解为 平行于和垂直于转轴方向的两个分量
F
F Fz F
其中 Fz 对转轴的力矩为
z
k
O
零，故力对转轴的力矩
Fz
F
M z k r F M z rF sin
M M ij 0
二
转动定律 切向力：Fit (mi )at
z
O
ri Fit
Fit
切向力Fit 对转轴的力矩大小 M i ri Fit ri Fit (mi )at ri
质量元mi 受到的 切向力矩(对z轴)
ri
mi
at ri
M i (mi )ri 2
非定轴转动 (转轴位置或方向变化)
转动是否是定轴的，取决于参照系的选择。
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
质心: 质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此 的一个假想点。
二 刚体绕定轴转动的角速度和角加速度 z 1 角速度和角加速度
角坐标 沿逆时针方向转 0 (t ) 沿顺时针方向转 0
式中 m 540r/s， 2.0s . 求：(1) t = 6s 时电动机 的转速．(2) 起动后, 电动机在 t = 6s 时间内转过的圈数. (3) 角加速度随时间变化的规律． 解: (1) 将 t = 6s 代入得
ω 0.95ωm 513r/s
1 6 1 6 t / ( 2) N dt m (1 e )dt 344 2π 0 2π 0 d m t / （角加速度 t / 2 2 e 540 πe rad s ( 3) 指数衰减） dt
3.6 刚体平动与定轴转动
dJ z dt
I zz
I zz
(Mz为主矩的 z 分量)
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1 2
I zz2
V
E
三、轴上的附加压力
把刚体的定轴转动等价于空间 两点A、B保持不动时刚体的运 动。A、B两点作用于刚体上的 约束反力NA、 NB。刚体受力如 图示。Fra bibliotekF3 Fn
第三章 刚体力学
(F 为保守力时)
z
例
+
涡轮可以看作是一个均质圆盘,
由于安装第不三善章, 涡刚轮体转力动学轴与
盘面法线成交角＝1. 涡轮圆盘质量为20kg,半径0.2m, 重心O在转
轴上, O至两轴承A与B的距离均为0.6m. 设轴以12000r／min的角速 度匀速转动, 试求轴承上的压力.
解 选取坐标轴如图. 图中x, y, z是固定的坐标轴, 而x′, y′, z′为 圆盘的几何对称轴. 设在图示瞬间, y和y′正好重合.
显然 xC yC 0, I y ' z ' I z ' x ' I yz 0
a
x
N Ax
b
x
N Bx
z
又 N 0,
如以OA为z 参考点0 , 则
z
A
o
B
N
N By
Ay y y
0 N Ax N Bx mg
0 N Ay N By
(1)
0 aN Ay bN By
I zx 2 aN Ax bN Bx
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第三章 刚体力学
vi ri
z
o vi
vin
Ri
0
刚体的定轴转动和转动定律
受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章 刚体的转动
3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章 刚体的转动
大小： d
dt
方向： 若 2 > 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对 圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：
m V
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
三 转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS
理论力学 刚体的平动和定轴转动
§7-4 刚体内各点的速度和加速度的矢量表示
用矢量表示角速度与角加速度
z
三维定轴
转动刚体
x
考察三维定轴转动刚体
角速度矢量、角加速度矢量
ω k d k
dt
y
α
k
dω dt
d 2
dt 2
k
用矢积表示刚体上点的速度与加速度
vP ω rP
aP
dvP dt
dω dt
rP
ω drP dt
考察三维定轴转动刚体
刚体的转动方程： ＝f (t)
转动角速度： 转动角加速度：
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
3. 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度：
v ω r, a α r, an ωv
解：板运动过程中， 其上任意直线始终平 行于它的初始位置。 因此，板作平移。
1、运动轨迹
C点的运动轨迹与A、
B两点的运动轨迹形状 相同，即以O点为圆心
l为半径的圆弧线。
例题2
已知：O1A＝ O1B ＝l；O1A杆的角速度 和角加速度 。
求： C点的运动轨迹、速度和加速度。
2、速 度
vC= vA= vB= l
dt dt 2
讨论
（1）匀速转动 =常量
＝ 0+ t
2 n n
60 30
（2）匀变速转动 =常量
0 t
0
t
1
2
t2
2
2 0
2
§7-3 刚体内各点的速度和加速度
速度
S＝R
M0
R
O
R——转动半径
M
v
v dS R d R
dt dt
《工程力学》刚体的平移与绕定轴转动
§12.3 刚体绕定轴转动
M点的加速度：
a
dv dt
d r r d
dt
dt
r
an
v2
r 2
r
r 2
即： 切向加速度为 法向加速度为
an (r12.213） a r
M点全加速度的大小和方向为
(12.14)
a a2 an2 R 2 4
tan
a an
2
（12.15） （12.16）
间的二阶导数。
说明：
1. 角加速度是代数量，角加速度的单位ra是d / s2 。 2. 角加速度的大小：表示角速度变化的快慢。 角加速度的正负号：表示角速度变化的方向：
① 若 >0：表示角加速度与转角 的正方向一致。 ② 若<0：表示角加速度与转角的正方向相反。
§12.3 刚体绕定轴转动
3.当α与ω同号时，表示角速度的绝对值随时间增加而增大，刚体作
yc
m1 y1 m1
m2 y2 m2
m2 m1 m2
e sin t
由此可求得质心C 的加速度为
acx
d2 xc dt 2
m2 m1 m2
eω2 cos ωt
acy
d2 yc dt 2
m2 m1 m2
eω2 sin ωt
§12.2 质心运动定理
利用质心运动定理的投影式，有
m1 m2 acx Fx m1 m2 acy Fy G1 G2
将 acx ,代acy入，解得机座对电动机的约束力为 Fx m2e 2 cost Fy G1 G2 m2e 2 sin t
说明：
1.在 Fx , 的Fy表达式中，由重力引起的约束力 G1称为G静2 反力；
刚体的平动与定轴转动
.
vi ri , vi ri sin i Ri
刚体的平动与定轴转动 2. 定轴转动微分方程 k
J x I xx I xy I xz 0 I xz I yz 0 I yz J y I yx I yy I I I I zx yz zz zz Jz 或 J I xzi I yzj I zz k
大学 物理
刚体的平动与定轴转动
3. 转动动能
1 2 T ( I xx x2 I yy y I zz z2 2 I yz y z 2 I zx z x 2 I xy x y ) 2 1 1 2 I zz z I zz 2 2 2
若外力是保守力 1 F V , 则 I zz 2 V E 2 (2)
dJ J 0, M 不需用.可见自由刚体的平动和质心运动无区别。 dt
大学 物理
刚体的平动与定轴转动
2）实际刚体作平动都受约束 则有刚体运动微分方程：
mrC Fi dJ 0, M 0 J 0, dt
其次还需要考虑约束方程，才能解出约束反力及 运动规律
刚体的平动 与定轴转动
大学 物理
刚体的平动与定轴转动
一、平动：
1.运动学特征： 刚体上各点的速度，加速度均相同， 通常以质心的运动来代表刚体的整体运动。 2.运动为微分方程 1)自由刚体：取质心为代表（力系向质心简化）
由三个独立变数可以描述
C Fix m x C Fiy mrC Fi m y C Fiz z m xC xC (t ) 已知Fi , 可以解出 yC yC (t ) z z (t ) C C
刚体的平动与转动定轴课件
发生变化。
平动与转动定轴的应用场景
平动与转动定轴是工程力学 和机械学中常用的概念，广 泛应用于各种机械系统、车 辆工程、航空航天等领域。
在机械系统中，通过合理设 计刚体的平动与转动定轴， 可以实现精确的运动控制和
稳定的系统性能。
在车辆工程中，平动与转动 定轴的概念用于分析车辆的 运动性能和稳定性，从而提 高车辆的安全性和操控性。
平动刚体的速度和加速度都是矢量，具 有大小和方向。
平动刚体上任意两点的连线在运动过程 中始终保持平行，且长度不变。
平动刚体的转动惯量为零。
平动的实例
03
匀速直线运动的汽车
匀速圆周运动的飞轮
滑冰运动员在冰上滑行
汽车在行驶过程中，其整体可以视为一个 平动刚体，其上任意两点的连线始终保持 平行且长度不变。
夹角会发生变化。
转动的特点
转动过程中，刚体的角速度和角加速度是矢量，具有方 向性。
转动过程中，刚体上各点的线速度和线加速度与该点到 转动中心的距离成正比。
转动过程中，刚体的动能和势能之间可以相互转化，但 总机械能保持不变。
转动的实例
01
陀螺
陀螺绕其轴线高速旋转，产生 进动和自转现象。
02
车轮的旋转
飞轮在转动过程中，其整体可以视为一个 平动刚体，其上任意两点的连线始终保持 平行且长度不变。
滑冰运动员在冰上滑行时，其整体可以视 为一个平动刚体，其上任意两点的连线始 终保持平行且长度不变。
02
刚体的转动
转动的定义
转动是指刚体绕某一定点（称 为转动中心）的旋转运动。
02
01
刚体在转动过程中，其上任意两 点与转动中心形成的线段之间的
位置有关。
定轴转动的特点
平动与转动定轴的应用场景
平动与转动定轴是工程力学 和机械学中常用的概念，广 泛应用于各种机械系统、车 辆工程、航空航天等领域。
在机械系统中，通过合理设 计刚体的平动与转动定轴， 可以实现精确的运动控制和
稳定的系统性能。
在车辆工程中，平动与转动 定轴的概念用于分析车辆的 运动性能和稳定性，从而提 高车辆的安全性和操控性。
平动刚体的速度和加速度都是矢量，具 有大小和方向。
平动刚体上任意两点的连线在运动过程 中始终保持平行，且长度不变。
平动刚体的转动惯量为零。
平动的实例
03
匀速直线运动的汽车
匀速圆周运动的飞轮
滑冰运动员在冰上滑行
汽车在行驶过程中，其整体可以视为一个 平动刚体，其上任意两点的连线始终保持 平行且长度不变。
夹角会发生变化。
转动的特点
转动过程中，刚体的角速度和角加速度是矢量，具有方 向性。
转动过程中，刚体上各点的线速度和线加速度与该点到 转动中心的距离成正比。
转动过程中，刚体的动能和势能之间可以相互转化，但 总机械能保持不变。
转动的实例
01
陀螺
陀螺绕其轴线高速旋转，产生 进动和自转现象。
02
车轮的旋转
飞轮在转动过程中，其整体可以视为一个 平动刚体，其上任意两点的连线始终保持 平行且长度不变。
滑冰运动员在冰上滑行时，其整体可以视 为一个平动刚体，其上任意两点的连线始 终保持平行且长度不变。
02
刚体的转动
转动的定义
转动是指刚体绕某一定点（称 为转动中心）的旋转运动。
02
01
刚体在转动过程中，其上任意两 点与转动中心形成的线段之间的
位置有关。
定轴转动的特点
刚体的基本运动
刚体的基本运动
答案：
刚体的基本运动形式包括平动、转动（分为定轴转动和非定轴转动）以及平面运动（随质心的平动、绕质心的转动）。
平动是指刚体在运动过程中，整体上以同一速度沿直线运动的现象，其特点是刚体内各点的运动轨迹完全相同。
转动则是刚体绕某一轴心进行旋转的运动，根据轴心的位置不同，可以分为定轴转动和非定轴转动。
平面运动则包括了随质心的平动和绕质心的转动，这种运动形式在工程实际中也是常见的。
复合运动，即平动和转动的组合运动，是刚体运动的一种特殊形式。
例如，自行车在平地上行驶时，既有整车质心的平动，又有轮胎相对于地面的转动。
因此，复合运动确实是刚体的基本运动形式之一。
延伸：
刚体指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点相对位置不变的物体。
绝对刚体实际上只是一种理想模型，因为任何物体在受力作用后，都或多或少地变形，如果变形的程度相对于物体本身几何尺寸来说极为微小，在研究物体运动时变形就可以忽略不计。
把许多固体视为刚体，所得到的结果在工程上一般已有足够的准确度。
刚体的特点：刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的。
刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同。
因此，常用“刚体的质心”来研究刚体的平动。
平动与转动
平动与转动
一、刚体的平动和转动
1、平动 当刚体中所有点的运动轨 迹都保持完全相同时，或 者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初 始位置间的连线时，刚体 的运动叫作平动。 平动是刚体的一种基本运动形式，刚体做平动 时，刚体上所有点运动都相同，可用其上任何一 点的运动来代表整体的运动。
2、转动 刚体中所有的点都绕同 一条直线作圆周运动， 这种运动称为转动。这 条直线叫作转轴。 瞬时转轴： 转轴随时间变化 —— 一般转动 固定转轴： 转轴不随时间变化—— 刚体定轴转动
2 a (a n a t2 )1 / 2
r
v2 an r 2 r
曲线运动
R
an tg at
R为曲率半径
法向加速度的证明
v vB
B,t+t
vA
v 是v 的方向的变化所引 起的。
t0,B A, 0
vB
vA
此时v方向垂直于vA，
指向圆心。 由二个相似等腰三角形，有
9.8 30 302 (9.8 5) 2
8.36m S 2
5.12m S 2
转动平面
o
r
·
p
角加速度α
＝lim
t 0
d d 2 2 t dt dt
三、匀变速转动
当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内， 角速度的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变 速转动。 角加速度 角速度 角位置
＝const
＝ 0 t
v o r
P
1 2 ＝ 0＋ 0 t t 2
dx d vx (v0 t ) v 0 dt dt dy d 1 2 vy ( gt ) gt dt dt 2
一、刚体的平动和转动
1、平动 当刚体中所有点的运动轨 迹都保持完全相同时，或 者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初 始位置间的连线时，刚体 的运动叫作平动。 平动是刚体的一种基本运动形式，刚体做平动 时，刚体上所有点运动都相同，可用其上任何一 点的运动来代表整体的运动。
2、转动 刚体中所有的点都绕同 一条直线作圆周运动， 这种运动称为转动。这 条直线叫作转轴。 瞬时转轴： 转轴随时间变化 —— 一般转动 固定转轴： 转轴不随时间变化—— 刚体定轴转动
2 a (a n a t2 )1 / 2
r
v2 an r 2 r
曲线运动
R
an tg at
R为曲率半径
法向加速度的证明
v vB
B,t+t
vA
v 是v 的方向的变化所引 起的。
t0,B A, 0
vB
vA
此时v方向垂直于vA，
指向圆心。 由二个相似等腰三角形，有
9.8 30 302 (9.8 5) 2
8.36m S 2
5.12m S 2
转动平面
o
r
·
p
角加速度α
＝lim
t 0
d d 2 2 t dt dt
三、匀变速转动
当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内， 角速度的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变 速转动。 角加速度 角速度 角位置
＝const
＝ 0 t
v o r
P
1 2 ＝ 0＋ 0 t t 2
dx d vx (v0 t ) v 0 dt dt dy d 1 2 vy ( gt ) gt dt dt 2
刚体的定轴转动和平面运动微分方程
（c）
（d）
（e）
二、刚体的平面运动微分方程
应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，可建立起刚体平面运
动微分方程，研究刚体平面运动的动力学问题。
设刚体具有质量对称平面，在该平面内受到平面力系
F1(e) ，F2(e) ，F3(e) ， ，Fn(e) 的作用，刚体将在该平面内运动。
根据运动学，平面运动可分解为随基点的平动
（e）
（4）根据刚体平面运动微分方程，可得
maCx FB
（f）
maCx FA mg
（g）
J C FAl cos FB l sin
（h）
将式（d）、式（e）分别代入式（f）、式（g）得
FB m( 2l cos l sin )
（i）
FA mg m( 2l sin l cos )
由于轴承 A ，B 处的约束力的对于 z 轴的力矩
等于零，根据刚体对 z 轴的动量矩定理，有
dLz
M z ( F (e) )
dt
d
J z M z ( F (e) )
dt
图10-18
或
J z M z ( F (e) )
（10-24）
d2
J z 2 M z ( F (e) )
n
MaC F (e)
d
(e)
( J C ) M C (F )
dt
图10-21
式中，M为刚体的质量；J 为刚体对质心C的转动惯量。
将上面第一式写成投影的形式，并注意到
C
d 2 xC
d 2 yC
d
aCx 2 ，aC y 2 ，
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Rotation inertial mass 三。转动惯量：
J点=m r2
转动惯量的物理意义：刚体转动惯性的量度. z
转动惯量仅取决于 刚体本身的性质，即与 刚体的形状、大小、质 量分布以及转轴的位置 有关。而与转动状态无 关.
2
ri
Δmi
J r dm
回转半径rG(加权平均半径)
设物体的总质量为点 m，刚体对 给定轴的转动惯量为J，
6。在地面上发射一航天器，使它不但脱离地球引力范围还 要脱离太阳引力范围所需的最小发射速度称_____________， 为16.7km/s。 A．第三宇宙速度 C．第一宇宙速度 B．最低轨道速度 D．第二宇宙速度
7．论述伽利略科学研究方法及其对我们的启示。
8．牛顿万有引力定律如何揭示了物理美学中的普遍性.谈 谈你的体会？
M J
例2、质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一根细绳绕在 滑轮上，一端挂一质量为m=8kg的物体。求（1）由静止开始1秒 钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。
解：
1 2 a TR MR 2 R
( M J )
mg T ma
（F=ma）
T m m
M R
角动量守恒
机械能守恒 动量守恒
1.F,a,M,ß都是瞬时量 2.三个守恒定律来自F(M)的累积效应.
3.累积效应可用对应的始末状态量的变化来量度。
4.守恒定律只是各度量关系在特定条件下的特例。 5.累积效应可使我们只考量始末两个状态量， 回避了过程的繁杂。
4。火箭是 最重要的应用之一。火箭内装置了大 量的燃料，燃料燃烧后产生高温高压气体通过尾部不断 向后高速喷出，从而使火箭不断向前加速，这就是火箭 推进原理。火箭是唯一可以不依赖空气，自携燃料，能 胜任星际航行的飞行工具。
mg h
E p mgh弹性势来自：（弹簧平衡位置为势能零点）
kx 0 x
1 2 E p kx 2
引力势能：
（无限远处为势能零点）
r GMm/r2
Mm E p G0 r
∞
系统：
A外 A非保内 EK EP ( Ek E p ) ( Eko E po )
A外 A非保内 E机 E机0
作业2
1。哥白尼能够提出日心说，是由于
1. 哥白尼具有天文观测技术和天文学理论。对希 腊自然哲学著作的钻研给了他批判托勒玫理论的勇 气。 2. 哥白尼得知古代就曾有人提出地球绕太阳转动 的设想后，开始认真考虑以太阳为静止中心，诸行 星包括地球围绕太阳运转的宇宙体系。 3. 哥白尼时代，航海事业发展很快，迫切需要精 确简明的天文历表，客观形势促使哥白尼提出自己 的革命性理论。 A． 1、2条对 B．1、2、3条都对 对 D． 2、3条对 C．1、3条
2
解方程组，得：
代入上式，得：
二、第二宇宙速度
宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度
（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少
等于零。 （2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。 由机械能守恒定律：
h
解得：
∞
3 1
v2 2 gR 2v1 11.2 10 m s
ω
ri v
v0
mv0 r0 mvr r0 v v0 r1
v0
F
已知：m1, m2, M ,R
M,R
T1
求：T1,T2, a
m1
T2
m2
a
M1,R1 T1 T M2,R2 T2
m1
a m2
三个守恒定律比较
F=ma (M J )
来 源
过渡
力（矩）对空间的积累 力对时间的积累 力矩对时间的积累
2。1967年国际计量大会决定采用 作为新的时间计量 基准，定义1秒是 基态的两个超精细能级之间跃迁所 对应的辐射周期的9192631770倍的持续时间。
A．铯原子钟，铯–103原子 原子 C．铑原子钟，铑–103原子 原子 B．铯原子钟，铯–133 D．铑原子钟，铑–133
3。放射性发现后，地质学家从岩石里铀和铅的含量值估算 出岩石的年龄已有40亿年。按______ ___ ___估计，地 球的年令为46亿年，即1017秒的数量级。 A．放射性238U含量 C．放射性同位素238U和235U总量 素238U和235U之比 B．放射性235U含量 D．放射性同位
2.
F ma M J
牛 顿 米 千 克 米2
牛 顿
千 克
米/秒2 弧度/秒2
3.
F F
（M =-M/）
J mi ri
v r
1 2 J MR 2
2
（J点=m r2）
M rF (二二 )
a=r β
1 J ML2 12
1 2 J ML 3
t0—t1: 机守
0 1. 2 H 3
mgh mv
1 2
2 1
h
m
t1—t2: 动守
M H
mv1 (m M )v2
t2—t3: 机守
1 2
(m M )v2 mgH MgH
2
F
M,R 0 1. 2
t0—t1: 机守
t1—t2: 角动守
h H
m
3
M
H
t2—t3: 机守
v2 mv 1R (M m)v 2 R J R
J mr
z
2 G
刚体质量集中于等效点G
rG
rG :
R
m=m
R
J
<J
J mi ri
环与盘 Δmi r dm ri
r
2
（J点=m r2）
r
dr
R
J=ΣΔm iR2=MR2
1 2 J mi ri MR 2 0
2
R
1 2 J mi ri ML 3 0
2
L
1 2 J ML 12
圆盘M, R
长杆M, L
L
J=MR2/2
a
J=ML2/3
a
位移
速度 加速度 惯量
动能
动量
线量：ΔX 角量: Δθ
V
a
m
mv2/2
mv
ω
ΔX
β
J
J ω2/2
Jω
r
Δθ
ΔX=r Δθ
V=r ω
a=r β
刚体定轴转动，各点线量不同 V
角量相同 ω
牛顿力学三定律 v 恒矢量 1.
ω=恒矢量
（F 0） （M=0）
二，转动的牛顿定律：
刚体： 形状和大小都不变的物体。 刚体的平动与转动（定轴）
平动——刚体上各点的状态量（线）保持不变
一、对转轴的力矩
对转轴力矩的定义： 在垂直与转轴的平面 内，外力 F 与力线到转 轴的距离d的乘积定义为 对转轴的力矩。
M
z
r
d
F
M r F rFsin F d
A．牛顿第一定律
C．动量守恒定律
B．万有引力定律
D．角动量守恒定律
5。如果一个系统在 的情况下，系统内部又 _________________________________的话，那么系统的机 械能守恒，这就是机械能守恒定律。
A．不受外力，没有像摩擦力这类会消耗能量的力
B．外力不做功，没有像摩擦力这类会消耗能量的力做功 C．不受外力，没有相互作用力 D．不受外力，没有像摩擦力这类会消耗能量的力做功
转动动能
P m v v L mr r J
2
m vr
动量矩 Angular momentum
角 动 量
三，守恒定律：
功能关系：
功：过程量（涉及两者）。能：状态量（本身具有）。
功（A）是能量变化（ΔE）的量度
质点：A外=
ΔE动
（A 内=A非保内+A保内）
系统：A外+A非保内+A保内=
ΔE动
一、第一宇宙速度 已知：地球半径为R，质量为M， M 卫星质量为m。要使卫星在距地 面h高度绕地球作匀速圆周运动， 求其发射速度。 设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。 机械能守恒： 万有引力作为 向心力：
R
m
1 2 Mm 1 2 Mm mv1 G mv G 2 R 2 Rh
Mm v G m 2 Rh R h
F=ma
EK=mv2/2
M=Jβ
EK=Jω2/2
Ft mv2 mv1
P=mv
L=Jω
Mt J 2 J1
ΣM外=0
mi vi C
动量守恒
ΣF外=0
J ii C
角动量守恒
判断守恒:
F
T
例2、 质量为m的小球系在绳子的一端，绳穿过铅 直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。先使 小球一速度v0绕管心作半径为r0的圆周运动，然后 向下拉绳子，使小球运动半径变为r1。求小球的速 度? r1 解： 角动量守恒 r0
mg 8 10 a 5 m s 2 m M 2 88 1 T 16 5 40 N 2
mg
1 2 1 2 h at 5 1 2.5 m 2 2
平动
转动；
平动惯量
线量
角量。
F = ma F r=m r2 a /r M= J β
转动惯量
1 2 Ek m v 2 1 2 v 2 mr ( ) 2 r 1 2 J 2
牛顿名言：
• 如果我比别人看得远些，那是因为 我站在巨人们的身上。 • 我不知道世人怎么看，但我自己看 来，我只不过是一个在海滨玩耍的小孩， 不时地比别人找到一块更光滑、更美丽 的鹅卵石和贝壳而感到高兴，而在我面 前的真理的海洋却是个迷。