第10讲+透镜的相位变换作用及傅立叶变换特性

,
A0为常数
透过物体（或衍射片），0后背面的场分布变为
A0t

x0 ,
y0

exp

jk
x02
2 p
y02 d0


,
t x0, y0 为物体的透过率系数
根据菲涅耳衍射公式，透镜前表面（P1面）的光场分布为
U
x, y
A0
jd0
0
t

x0 ,

因此，透镜的透过系数为
t

x,
y


U1 U1

x, x,
y y

exp

j
k 2
x2 y2

1 p

1 q


exp

j
k 2f
x2 y2


这里利用到透镜成像的高斯公式： 1 1 1 （f 为焦距） pq f


透镜的傅立叶变换性质
透镜除了可以成像外，还能作傅立叶变换。
我们将会看到，单位振幅平面波垂直照射衍射屏，在透镜的后 焦面（无穷远照明光源的共轭面）上观察的夫琅和费衍射，恰 好是衍射屏透过率函数的傅里叶变换。
另外，在会聚光照明下的菲涅耳衍射，通过会聚中心的观察屏 上的菲涅耳衍射场分布，也是衍射屏透过率函数的傅里叶变换。
观察面上频谱的空间尺度将按一定的比例缩放。这是因为其空
间频率
fx

x
q
,
fy

y
q
,随q的值（或照明光源位置）而变化。
透镜的傅立叶变换性质（续）
（2）物在透镜后方
光源S和观察平面S互为共轭面，即满足高斯成像关系： 11 1 pq f
和物在透镜之前讨论类似，下面依次给出每个面的复振幅分布。
dx0dy0
透镜的傅立叶变换（考虑透镜的孔径效应）
（1）物在透镜后面情形
设透镜的孔径函数为Px, y。
显然，一旦透镜的大小给定，
物体能被照明的范围也随即
确定下来，其大小满足
x0 x

q
d0 q

x

q q d0
x0
同理
y
q q d0
y0
因此，透镜的孔径函数用x0 ,
y
y
x0
x
x


d0 f
x, d0 f
y


x, y
衍射物
d0
对于任一像点 x,
y,其对应的物的坐标为

d0 f
x,
d0 f
y 。
因此，透镜的孔径函数为P

x0


d0 f
x,
y0

d0 f
y0 。
实际情况下(平行光入射)，并考虑透镜的孔径效应，物在透镜
此时，由于d0 f ,观察平面上的复振幅分布简化为
U x, y c

t

x0 ,
y0

exp



jk
x0 x
f
y0 y
dx0dy0
该式表明，衍射场的复振幅分布与衍射物体的复振幅透过率
存在准确的傅里叶变换关系，且与照明光源的具体位置无关。
这种情况下，观察平面上的空间频率为
我们也知道，用单位振幅平面波垂直照射衍射屏的情况下， 夫琅和费衍射分布函数就是屏函数的傅立叶变换。
加上透镜以后，我们可以实现近距离观察夫琅和费衍射，原 因在于：透镜具有相位变换作用。
透镜的相位变换作用（续）
无像差的正薄透镜对点光源的成像过程是点物成点像，从 波面变换的观点看，透镜将一个发散球面波变换成一个会 聚球面波。
透镜的相位变换因子
因此到达S面的光场分布为（利用菲涅耳衍射公式）
U x, y
1
j
q

p
U

x,
y
exp


jk

x2 y2
2f


exp

jk

x

x2


y

y2

dxdy

2q

这里已假定薄透镜孔径很大，因此 P(x, y) 1。
A0
jd0

exp
p

jk
x2 y2 2p

exp


jk
x2 y2
2f

exp

jk
( x0

x)2 ( 2d0
y0

y)2

dxdy
透过物体的场分布0后背面则为
U0 x0, y0 t x0, y0 U0 x0, y0
透镜的傅立叶变换性质（数学讨论）
（1）物在透镜之前
说明：置于透镜前方d0处的衍射片就是物，位于光源 共轭面的q平面上的图案就是它的像了。
下面我们一步一步地来分析这种物像关系。
首先，在傍轴近似下，单色点光源到达0前表面时的场分布为
A0
exp

jk
x02
2 p
y02 d0


光源面
光源共轭面
发散球面波和会聚球面波在透镜平面上都具有球面波的二 次相位因子，透镜的功能就是改变二次相位因子的大小。
透镜的相位变换作用（数学推导）
设透镜的复振幅透过率为t x, y,定义为
t

x,
y


U1 U1

x, x,
y y

U1、U1 分别为P1、P2面上的复振幅分布
当照明光源和观察面是一对成物像关系的共轭面，物透明片 无论是放在透镜前或透镜后，除一常数相位因子外，观察面 总是物的频谱面。
下面讨论一种任意情况，物面（输入面）和观察面（输出面） 的位置是任意的，将导出此时的输入输出关系式。
求解前的参数假设
透镜焦距为 f，物面0 位于透镜前d1处，观察面1位于透镜后
又根据菲涅耳衍射公式，到达观察屏S上的场分布为
U x, y
1
j q d0
t x0, y0 U0 x0, y0
0

exp

jk

x

x0 2
2 y q d0


y0
2

dx0dy0
同样经过大量的代数运算，观察平面上的复振幅分布变为
fx

x
f
,
fy

y
f
,
与照明光源的位置无关。
情形2、输入面紧贴透镜时
此时，由于d0 0,观察平面上的复振幅分布简化为
U
x,
y

c exp


jk
x2 y2 2q


t

x0 ,
y0

exp



jk
x0 x
q
y0 y
dx0dy0
该式表明，衍射场的复振幅分布与衍射物体的复振幅透过率 不是准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子。
公式：t

x,
y

U1 U1
x, x,
y y

exp

j
k 2f
x2 y2


又称为透镜的相位变换因子。
若考虑到透镜的孔径效应，P
x,
y

1, 0，
则透镜的相位变换因子可写为
孔径内 孔径外
t

x,
y


P
பைடு நூலகம்

x,
y
exp

j
k 2f
x2 y2
y0表示，即为P

q
q d0
x0
,
q
q d
0
y0 。
所以考虑透镜孔径效应时，物在透镜后面情形下的复振幅分布 改写为：
U

x,
y

cexp

jk
x2
2q
y2 d0



t

x0
,
y0

P

q q d0
x0
,
q
q d0
y0 exp
y

exp jkd2
jλd2



U1
x,
y exp

j
k 2d2
x

x2


y

y2


y0

e xp

jk
x02 y02
2 p d0



exp

jk

x

x0
2
2d0
y

y0
2

dx0dy0
透过透镜后，P2面的场分布为
U (x,
y)
U
(
x,
y)P(
x,
y)
exp



jk
x2 y2 2f


exp

jk
x

x0
2
2d1
y

y0 2
dx0dy0
透镜后表面的场分布为（考虑到透镜的相位变换因子）
U1

x,
y

exp

j
k 2f
x2 y2
U1

x,
y


最后，根据菲涅耳衍射公式，观察平面上的场分布为
U
x,
f


f
x0 x y0
d0
y
fd0

dx0dy0
此即输入面位于透镜前，光源共轭面上光场分布的一般公式。
两个特殊位置的讨论
说明：照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系。因此 当照明光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直照明时，这时 观察平面位于透镜后焦面上。
情形1、输入平面位于透镜前焦面时
y0表示，即为P


p p d0
x0 ,
p
p d0
y0 。
实际情况下，p通常足够大，即入射光为近似平行光，故可认为
q f 。此时，我们有 x x0, y y0，孔径函数变为P x0, y0 。
上面的分析还不够全面，我们还需考虑像的位置影响。 如下图所示
y0

t

x0 ,
y0

exp

jk
q
f


f
x0x
d0
y0
y
fd0

dx0dy0
物在透镜后面，观察平面上的复振幅分布：
U

x,
y

cexp

jk
x2
2q
y2 d0



t

x0,
y0

exp



jk
x0x y0 y q d0
前面情形的复振幅分布为：
U

x,
y

c exp

jk

f

d0 x2 y2
2f2


t

x0 ,
y0


P

x0


d0 f
x,
y0

d0 f
y

exp


jk
x0x
f
y0
y


dx0dy0

透镜的傅立叶变换性质（广义情形）
当d0 0时，该公式可以进一步简化，且与物在透镜之前的 紧贴情形一致。
透镜的傅立叶变换性质（归纳）
物在透镜前面，观察平面的复振幅分布：
U
x,
y

c exp

jk
f d0 x2 2 q f d0

y2 fd0


第三章 光学成像系统的频率特性
3.1 透镜的相位变换作用 3.2 透镜的傅立叶变换特性
陈世华
Department of Physics Southeast University
cshua@seu.edu.cn 2011-8-29
透镜的相位变换作用
在衍射屏后面的自由空间观察夫琅和费衍射是比较困难的。 近距离观察夫琅和费衍射，则需要借助透镜来实现。
根据球面波公式，透镜前表面P1的场分布为
x2 y2
A0 exp jk
2p
,
A0为常数
透镜后背面P2的场分布则为
A0
exp


jk
x2 y2 2p

exp



jk
x2 2f
y2

根据菲涅耳衍射公式，物前表面0的场分布为
U0(x0, y0)
U

x,
y

cexp

jk
x2
2q
y2 d0



t

x0,
y0

exp



jk
x0x y0 y q d0
dx0dy0
我们可看出，不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明 光源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之间的 关系都是傅里叶变换关系，观察面上的衍射场都是夫琅和费型。
d
2
处，d1和d
是任意的。
2
用单位振幅单色平面波垂直照明物平面，设物面上的场分布
为U0 x0, y0 ，观察上的场分布为U x, y，并假设光场在d1 和
d
距离上的传播满足菲涅耳衍射条件。
2
透镜前表面的场分布为
U1
x,
y

exp jkd1
jd1

U0 x0 , y0

jk
x0x y0 y q d0
dx0dy0
（2）物在透镜前面情形
设透镜的孔径函数为Px, y。
假定物离透镜的距离d0很小， 因此透镜与物之间的传播可 假定为直线传播。
因此，根据几何关系，可得
x
p p d0
x0
y
p p d0
y0
因此，透镜的孔径函数用x0 ,
接下来的工作是化简公式。
把U x, y的表达式代入，经过大量的代数运算，化简得
U
x,
y

c exp

jk
f d0 x2 2 q f d0

y2 fd0



t

x0 ,
y0

exp

jk
q
根据发散球面波公式（傍轴近似下），知P1面上的复振幅分布为：
U1(x,
y)

Aexp
jkp exp

j
k 2p
x2 y2

此球面波经过透镜后会聚，则球面波在P2面上的分布可以写为：
U1
x,
y

Aexp
jkq exp

j
k 2q
x2 y2