第2章 单自由度系统的受迫振动题解

20 习 题

2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值1

2.41

=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。

解：由题意，可求出系统的运动微分方程为

t m

x

n x p x n 3cos 36022

=++

得到稳态解

)3cos(α-=t B x

其中

m k

B B B 45.03604)1(02

2

2

2

==

+-=

λ

ζλ

2

2

2

122tg λ

ζλωωα-=-=

n p n

由 d

nT i i A A e 2.41

===+η

489

.3π2797

.0ln 8

.1ln ==

==

==d

d d

d d T p T n T nT ηη

又

2

2

n p p n d -=

有

579.32

2

2

=+=n d n p n

p p

45

.51255

.1298

.0374.0838

.01838.0223.02tg 103.1408

.045.0838

.0223.04)838.01(45

.0223.0579

.3797.0838

.0579.332

2

2

2===

-⨯⨯=

==⨯⨯+-=

=====

=

ααζωλB p n p n

n

所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')

2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给

21

质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。

解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由

m

k p n =

，共振时m

k p n =

=1ω 所以 m

k =6 ①

又由 当 86.51

2=+=

=m k p n ω ②

①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m

2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。

解：列出平衡方程可得： 2

22()sin sin()sin()

st Q W W k x w e w t x

g

g

W Q x kx w e w t g g kg Q x x w e w t W

W ππ-σ+-

=

+=++

=

+

所以：

2n kg

P W

Q

h w e

W

=

=

， 又因为st st

W W k k =σ=

σ即

22()

st st B w e B W g w =

σ-σ将结果代入：

Q =

即为所求的振幅

2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动

t a x s ωc o

s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。

题2-4图

22 解：选0s x =时物块平衡位置为坐标原点O ，建立坐标系，如右图， 则 ()()s m x k x x p t +-= 即 ()s m x kx kx p t +=+ 即 0

c o s

s i n m x k x k a w t p w t +=

+ （*）0p 改成0F ，下面也都一样

利用复数求解 ， 用 jwt e 代换sinwt 并设方程（*）的特解为

()jw t

x t Be

= 代入方程（*）得02

j p jka B B e

k m w

φ

+=

=-

其中B 为振幅，φ为响应与激励之间的相位差，有

B B ==

=

=

=

2

2

ka

ka k m w tg p p k m w

φ-==

- 0

ka arctg

p φ∴=

()0()sin arc ka x t B w t w t tg p φ⎛⎫∴=+=

+ ⎪⎝

⎭

其中

,n n

w p p λ=

=

2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力t F ωsin 0，求质量块的振幅。

解：设弹簧1，2的伸长分别为x 1和x 2，则有，

21x x x += （A ）

由图（1）和图（2）的受力分析，得到

t

P x k x k ωsin 02211+= （B ）

22x k x

m -=

（C ） 题2-5图