电动力学 4章 菲涅耳公式讲解

?
2n1 cos i1 n1 cos i1 ? n2 cos i2
?
2cos i1 sin i2 sin( i1 ? i2 )
关于菲涅耳公式的讨论
一、菲涅耳公式中的能量守恒
既然 E02 表示光的能量流动，为什么
2
2
2
E1s ? E1s ' ? E 2s ?
平面电磁波的能流密度：
S? 1 2
? ?
E02
这就是著名的反射定律和折射定律（Snell定律），它包 括两个内容：
（1）入射、反射和折射光线在同一个面内。
（2）反射角等于入射角；以及， n1 sin i1 ? n2 sin i2
再由磁矢量在界面（即z=0）处的条件： H1s ? H1s ' ? H 2s
并利用在非铁磁质中的关系： ? r ? 1, n ? ?r ? r ? ?r
? 根据叠加原理：可以只研究入射波电场仅含s 分量和仅含p分量这两种特殊情况；当两种 分量同时存在时，则只要先分别计算由单个 分量所造成的折、反射波电场，然后再作矢 量相加即可得到结果。
把电矢量分成两个分量 :
E1 p
p分量—— 平行于入射面
E1s
（光线方向与界面法线所确定的平面，
E1?p
i1 i1?
E1?s
如图中 xy面为界面，z轴为法线。） s分量—— 垂直于入射面。
图中的y轴方向。
规定s 分量的正方向为沿y 轴正方
O i2
x
E2 p
E2 s
z
向，p 分量的正方向为与s 分量和传播 方向构成右手螺旋关系：
p? ? s? ? k?
对于s分量，设:
? ? E 1s
?
y 0 ? A1s exp
? i(k1
? 菲涅尔公式描述折、反射波（复）振幅与入射波 （复）振幅之间的关系，是物理光学中的又一组基 本公式：
rp
?
tg (i1 tg (i1
? ?
i2 ) i2 )
tp
?
2 sin i2 cos i1 sin(i1 ? i2 ) cos(i1 ?
i2 )
rs
?
?
sin(i1 sin(i1
? ?
i2 ) i2 )
? n? ?
? (E2
?
? E1 )
?
0
? ? ? ?
? ?
n? n? n?
?
? (H
?
?(
D ?
2
?( B2
?
2
?
H ?
1
)
? D? 1 ) ?
? B1 ) ?
?
?
0
J
s
s
在绝缘介质界面，无自由电荷和传导电流
注：Js 为表 面传导电流 密度；
? s 为表 面自由电荷
密度。
??1E1n ? ?2E2n
ts
?
2 sin i2 cos i1 sin(i1 ? i2 )
（1）p分量的振幅反射率：
rp
?
E1?p E1 p
?
n2 cos i1 ? n1 cos i2 n2 cos i1 ? n1 cos i2
?
tan( i1 ? i2 ) tan( i1 ? i2 )
（2）s分量的振幅反射率：
rs
?
E1?s E1s
由电磁场边界条件，在界面（即z=0）处有： E1s ? E1s ' ? E2s
因对于所有时间t，和所有x、y上式成立，所以： ? 1 ? ? 1 ' ? ? 2
cos i1y ' ? 0 , cos i2 y ? 0
由此可知道，（1）入射、反射和折射光线在同一个面内。
因而，
? k1
'
和
? k2
可表达为：
?r?
?
?
1t )
? ? ,
E 1s
?
y 0 ? A1,s exp
? i(k1
?r?
?
?
'1 t )
? ? E 2 s
?
y 0 ? A2 s exp
? i(k2
?r?
?
?
2t)
其中:
? k?1 ? x0 ?k1 sin i1 ? z0 ?k1 cosi1 k?1'? x0 ?k1'cosi1x '? y0 ?k1'cosi1y '? z0 ?k1'cosi1z ' k2 ? x0 ?k2 cosi2x ? y0 ?k2 cosi2y ? z0 ?k2 cosi2z
?? E1t ? E2t
? ?
?
1 H 1n
?
? 2H2n
?? H1t ? H 2t
电位移矢量法线分量连续 电场强度矢量切线分量连续 磁感应强度矢量法线分量连续 磁场强度切线分量连续
? 研究该问题的基本思路：我们可以把入射波 电场的振幅矢量分解成两个分量，一个分量 垂直于入射面，称为“s”分量；另一个分量 位在入射面内，称为“p”分量。
?
n1 cos i1 ? n2 cos i2 n1 cos i1 ? n2 cos i2
?
sin( i2 ? i1 ) sin( i2 ? i1 )
（3）p分量的振幅透射率：
tp
?
E2 p E1 p
?
2n1 cos i1 n2 cos i1 ? n1 cos i2
（4）s分量的振幅透射率：
ts
?
E2s E1s
? 菲涅耳给出在分界面处，入射波、反射波、折; 1s
A1s
?
sin(i2 ? i1) sin(i2 ? i1)
ts
?
A2 s A1s
?
2sin i2 cos i1 sin(i1 ? i2 )
? 同理可得出在分界面处，p分量的振幅关系。
? 折射、反射定律只解决了平面光波在两个介质分界 面上的传播方向问题。
? ?k1'? x0 ?k1 sin i1'? z0 ?k1 cosi1'
k2 ? x0 ?k2 sin i2 ? z0 ?k2 cosi2
从而， k1 sin i1 ? k1 sin i1'? k2 sin i2
得到，（2） i1 ? i1' ，即反射角等于入射角； 以及， n1 sin i1 ? n2 sin i2
菲涅耳在麦克斯韦之前得到了反射、折射公式 .
电磁场边界条件：电磁场边值关系由麦克斯韦积分方程给出，反 映了电磁场在两种介质分界面处的突变的规律。
? ?
?L
? E
?dl
?
?
d dt
?
??SB ?dS
? ?? ?
?L
? H
?dl
?
If
?
d dt
?
??SD ?dS
? ?
?
??S D
?dS
?
Qf
?
????SB ?dS ? 0
1.4 菲涅耳公式
（Augustin-Jean Fresnel 1788-1827 ）
光射在两种介质的界面上时，将发生反射和折 射。能流的分配与入射角有关，还存在相位的跃变 和偏振态的变化。
从电磁场的边界条件出发，可以得到 反射和折 射定律，以及入射与反射、折射的振幅关系 ——解
决光在界面上的强度分配问题。
一般 ? r? 1
n? ?r
S? 1 2
?0 ?0
?(n ?E02 )
平面电磁波的能流密度与 (n?E02) 成正比。