指数对数练习题

专题四：指数函数和对数函数

一、知识梳理

1.指数函数

（1）指数函数的定义

一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象

a > ）

1

(0

底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.

（3）指数函数的性质 ①定义域：R . ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x =0时，y =1.

④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数.

2. 对数函数

（1）对数函数的定义

函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数. （2）对数函数的图象

a <11))

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.

（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.

④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 二、基础练习

1．若函数y =a x +b －1（a ＞0且a ≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有( )

A.0＜a ＜1且b ＞0

B.a ＞1且b ＞0

C.0＜a ＜1且b ＜0

D.a ＞1且b ＜0 解析：作函数y =a x +b －1的图象.答案：C

2. 已知c a b 2

12

12

1log log log <<，则( A )

A ． 2b

>2a

>2c

B ．2a >2b >2c

C ．2c >2b >2a

D ．2c >2a >2b

3.函数)

34(log 1

)(22-+-=

x x x f 的定义域为 （1，2）∪（2，3）

4. 若011log 22<++a a a

，则a 的取值范围是 )1,2

1

(

5.若函数)1,0( )(log )(3

≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2

1

(-

内单调递增，则a 的取值范围是 )1,4

3[

6.方程2

lg lg(2)0x x -+=的解集是 }2,1{- .

7．函数y =（

2

1）222+-x x 的递增区间是___________. 解析：∵y =（2

1

）x 在（－∞，+∞）上是减函数，而函数y =x 2－2x +2=（x －1）2+1

的递减区间是（－∞，1），∴原函数的递增区间是（－∞，1）.

8．若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －

1（x ）的值域为_（－1，+∞）.

解析：f －

1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域. 由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），

∴f －

1（x ）的值域为（－1，+∞）.

三、典型例题

例1．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = 。（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.

答案：①x 轴，－3－log 2x ②y 轴，3+log 2(－x ) ③原点，－3－log 2(x ) ④直

线y=x , 2x －

3

例2. 若函数)1,0( )2(log )(2

≠>+=a a x x x f a 在区间)2

1,0(内恒有f (x )>0，则f (x )的

单调递增区间为( ) 答案：)2

1

,(--∞

例3．若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）.

（1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；

（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）. 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ， ∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ， ∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2. 又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.

故f （x ）=x 2－x +2，从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+4

7. ∴当log 2x =

21即x =2时，f （log 2x ）有最小值4

7

. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2

)2(log 2

2log log 22222x x x x ⇒⎩⎨

⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 例4．要使函数y =1+2x +4x a 在x ∈（－∞，1）上y ＞0恒成立，求a 的取值范围.

解：由题意，得1+2x +4x a ＞0在x ∈（－∞，1）上恒成立，

即a ＞－x

x

4

21+在x ∈（－∞，1）上恒成立. 又∵－x

x 421+=－（21）2x －（21）x =－［（21）x +21］2+41，

当x ∈（－∞，1］时值域为（－∞，－

43］，∴a ＞－4

3

. 四、课后练习

1.已知f （x ）=a x ，g （x ）=－log b x ，且lg a +lg b =0，a ≠1，b ≠1，则y =f （x ）与y =g （x ）的图象（ C ）

A.关于直线x +y =0对称

B.关于直线x －y =0对称

C.关于y 轴对称

D.关于原点对称

2．设函数x x x f -+=11ln )(，则函数)1

()2()(x

f x f x

g +=的定义域为_(

2,1)⋃(1,2)__