5.3 三维静磁场的有限元分析

5.3 三维静磁场的有限元分析

5.3.1 边值问题

以标量磁位m ϕ表示的无源区磁场的边值问题与电位的拉普拉斯边值问题的数学表达形式完全一样，可以如前节所述的有限元分析。在此，考虑有电流存在以矢量磁位A 作为待求变量的有限元分析。

设在线性媒质中，磁场满足的边界条件：边界1S 面上有0A A =，在边界S 2面上取某种形式的对称面作为第二类齐次边界，在该面上磁场强度H 的切向分量为零：

()0=⨯⨯∇=⨯n m n e A e H γ，有如下边值问题：

()()⎪⎩⎪

⎨⎧∈=⨯⨯∇∈=∈=⨯∇⨯∇2

10

s s V n m

m e A A A J A γγ

5.3.2 场域剖分与插值

对于求解场域V ，根据其形状和场的定性分布，选择合适的单元(例如四面体单元)，进行场域剖分，得到0Z 个单元、0N 个节点。在单元e 内，对位函数A 进行插值。若采用四面体单元：

∑

==

4

1

j j

e j N A A ~

式中e

j N 是单元形状函数，分量形式

z j zj

e j y j yj e

j x j xj e

j z

z y y x x A N A N A N A A A e e e e ~

e ~e ~A ~⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛+⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=++=∑

∑

∑

===4

1

4

14

1 以矩阵表示磁矢量位A 在单元节点上的各分量

[][]

()z y x l A A A A A T

l l l l e l ,,==43

21

),,(][][~41

z y x l A N A N A e

l T e j lj e j l ===

∑=

于是，磁矢量位z z y y x x A A A e ~

e ~e ~A ~++=的矩阵表达式

∴

[][][][][][][][][][][][]e T

e z x T

e T e

T e

e z T e

e y T e

e x T

e

z y x A A A N N N A N A N A N A A A A 0410

000

00

N ~~~

~=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=

式中：T

z z y y x x x e A A A A A A A A ][][4141421 =

[][][][]⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=e e

e e N N N 0

0000

0N 5.3.3 单元分析

将近似函数A ~

代入方程有余量

()

J A ~

R -⨯∇⨯∇=m γ 取矢量权函数为W i ，有加权余量方程

0>=

单元剖分后余量加权的和式为零

()[]{}

∑∑

⎰===∑=-⨯∇⨯∇⋅>=<0

1

1

0Z e Z e i Ve

m

i

e

i

dV εγ

J A W R

,W

由矢量恒等式

()()()B A A B B A ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇

上式分解为：d

()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⋅-⋅⨯∇⨯-⨯∇⋅⨯∇=⋅-⨯∇⨯⋅∇-⨯∇⋅⨯∇=⋅-⨯∇⨯∇⋅e

e

e

e

e

e

e

e

V V i S m i m i V V i V m i m i V i m V i V

V V V V V

V d d d d d d d d J W S A W A W J W A W A W J W A W γγγγγ

分析上式第二项，若有一部分处在外边界上，则由边界条件2s 上：()⇒=⨯⨯∇0n m e A γ

()[]()[]0=⨯⨯∇⋅=⋅⨯∇⨯n m i n m i e A W e A W γγ

被积函数为零。若e S 全为内部边界，则相邻单元的交界面上，该面积分的合成将为零，

所以该面积分不必计算，可放在i ε中，所以：

()()i V V i m

i

e

e

V V εγ

=⋅-⨯∇⋅⨯∇⎰⎰d d J W A W

在直角坐标系下，取伽辽金法，权函数为

zi yi xi i W W W W ++=

z i y i x i z zi y yi x xi N N N W W W e e e e e e ++=++=

对于ix W

z

i

y i xi

z

y x xi y

W z W W z y x e e e e e W ∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂

=

⨯∇0

0 矩阵表示

[][][]

xi i i xi W y W z W ⨯∇=⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=⨯∇0W 其中

[]⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡

∂∂∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂

-=⨯∇000x

y x z y z ， []()n i N W i xi ,,, 2100=⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=

按同样的道理，以矩阵形式表示yi W 和zi W

[][]T i

yi

N W 00

=， [][]T

i zi N W 00

=

则i W 可表示为：

[][]i i i i

N N N N =⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=0

00

00W [][][][][]i N ⨯∇=⨯∇=⨯∇W W

单元分析式