2021届高三数学之函数与导数(文理通用)专题04 函数与导数之零点问题

专题04 函数与导数之零点问题一．考情分析零点问题涉及到函数与方程，但函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标,函数y ＝f (x )也可以看作二元方程f (x )－y ＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：②是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.二．经验分享1.确定函数f (x )零点个数(方程f (x )＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f (x )在R 上的零点个数，一般由对应的二次方程f (x )＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f (x )在[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f (a )·f (b )＜0，则y ＝f (x )在区间(a ，b )内有唯一零点．2.导数研究函数图象交点及零点问题利用导数来探讨函数)(x f y =的图象与函数)(x g y =的图象的交点问题，有以下几个步骤： ①构造函数)()()(x g x f x h -=； ②求导)('x h ；③研究函数)(x h 的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）； ④画出函数)(x h 的草图，观察与x 轴的交点情况，列不等式； ⑤解不等式得解.探讨函数)(x f y =的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.三、题型分析（一）确定函数的零点与方程根的个数问题例1.【四川省成都七中2020届高三上半期考试，理科数学，12】函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，周期是4，当[]2,0∈x 时，3)(2+-=x x f ，则方程0log )(2=-x x f 的根个数为（ ）A.3B.4C.5D.6 【答案】C【解析】)(x f 是定义在R 上的偶函数，周期是4，当[]2,0∈x 时，3)(2+-=x x f ，根据性质我们可以画出函数图像，方程0log )(2=-x x f 的根个数转化成⎩⎨⎧==x y x f y 2log )(的交点个数，有图像可以看出，一共有5个交点，ABCDE.其中我x=8处是要仔细看图，是易错点。

我们将图像放大在8=x 时，可以看到有两个交点。

【变式训练1】【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】定义在实数集R 上的函数()f x ,满足()()()22f x f x f x =-=-,当[]0,1x ∈时,()2xf x x =⋅.则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为（ ）A ．99B ．100 C.198 D ．200 【答案】B【解析】()f x 是偶函数,图象关于直线1x =对称,周期是2,画图可得,零点个数为100,故选B.【变式训练2】 【2017河南百校联盟高三11月质检】已知函数()f x 满足()14f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭,当1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()ln f x x =,若在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,方程()f x kx =有三个不同的实根,则实数k 的取值范围是（ ）A.44ln 4,e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.[]4ln 4,ln 4--C.4,ln 4e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D. 4,ln 4e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】由题意,1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()ln f x x=,当(]1,4x ∈时,()1111,1,44ln 44f x f x x x x ⎡⎫⎛⎫∈===-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭,如图 4ln x kx -=在(]1,4x ∈有两解,4ln xk x-=有两解,设函数()()24ln 1n ,4x l xg x g x x x--'==-g x （）在(]1,e 上单调递减,在[],4e 上单调递增,4ln 4k e∴-≤≤-.故选：D ．【变式训练3】已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A【解析】2'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象如下：x21)=x 1如图则有3个交点，故选A.【变式训练4】若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）A ．(),a b 和(),b c 内B ．(),a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A【解析】由a b c <<，可得()()()0f a a b a c =-->，()()()0f b b c b a =--<，()()()0f c c a c b =-->．显然()()0f a f b ⋅<，()()0f b f c ⋅<，所以该函数在(,)a b 和(,)b c 上均有零点，故选A ．（二）根据函数零点个数或方程实根个数确定参数取值范围例2.已知关于x 的方程22||ln 0x x ax x +-=恰有两解，则实数a 的取值范围为（ ） （A ）1322(,2)(2,)e e ---∞--+∞（B ）3122(2,2)ee --（C ）1322(2,2)[0,)e e ----+∞（D ）1322(2,2)ee ----【答案】C【解析】由已知得：求定义域()()+∞⋃∞-∈,00,x ， ①当0>x 时，0)ln(22=-+x ax x x 整理，分离常数x x a ln 21-=，令xxx g ln 21)(-=， 求导)('x g 23ln 2x x -=，令导函数等于0，得到23e x =，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛230e ，，x x x g ln 21)(-=递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，23e 单增，==)()(23e g x g 极小值232--e ；②当0<x 时，0)ln(-22=++x ax x x 整理，分离常数x x a 1ln 2+=，令xx x h 1ln )(2+=，求导22'ln 1)(x x x h -=，令导函数等于0，得到21e x -=，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21e ，，)(x h 单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021，e 单调递增，21212)()(--=-=e e h x h 极小值，恰好有两个解，结合函数图像得a 的取值范围为（C ）1322(2,2)[0,)e e ----+∞，所以正确答案是C 。

【变式训练1】【高2020届泸州高三第一次教学质量诊断性考试数学文科理科试题，12题】 已知函数x x f 3log )(=的图像与函数)(x g 的图像关于直线x y =对称，函数)(x h 的最小正周期为2的偶函数，且当[]1,0∈x 时，1)()(-=x g x h ，若函数)()(x h x kf y +=有三个零点，则实数k 的取值范围（ ）A.()37log 1， B.()35log 2,2-- C.()1,log 235-- D.⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,log 37 【解析】因为函数x x f 3log )(=的图像与函数)(x g 的图像关于直线x y =对称； 所以：xx g 3)(=，再根据：13)(-=x x h ，()10≤≤x 且周期4=T ，画出图像：函数)()(x h x kf y +=有三个零点⎩⎨⎧-=-=⇔xx k x kf x h 3log )(13)(有三个交点， 讨论k 的不同情况：①0=k ，此时会有无数多的交点，不符合题意，舍去； ②0>k ，此时只会有一个交点，也不符合题意，舍去； ③0<k ,要保证有三个交点，我们做出图像：由图像可以得出：35log 220)5(0)3(-<<-⇒⎩⎨⎧><k kf kf【变式训练2】 【第12题】已知偶函数)(x g 满足)1()1(--=-x g x g ，当[]1,0∈x 时，12)(-=x x g ；若函数)()1(log k 2x g x y -+=有3个零点，则k 的取值范围（ ）A.⎪⎭⎫⎝⎛1,21 B.[)1,log 23 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛32log 21， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛21log 26，【解析】由已知得：偶函数)(x g 满足)1()1(--=-x g x g ，满足)()(x g x g =- 所以)1()1()1(+=--=-x g x g x g )2()(+=⇒x g x g 周期是2，然后是偶函数。

12)(-=x x g 的函数图像为图中红色部分；函数)()1(log k 2x g x y -+=有3个零点⇔()()⎩⎨⎧-==+，偶函数周期为212)(log )(12xx x g k x h 有三个交点；分类讨论k 的不同情况：①0=k ，此时会有无数多的交点，不符合题意，舍去； ②0<k ，此时只会有一个交点，也不符合题意，舍去； ③0>k ,要保证有三个交点，我们做出图像：由图像可以知道：⎩⎨⎧>+<+.1)13(log ;1)11(log 22k k ⇔121<<k 【变式训练3】 设函数)(x f ()x R ∈满足()()f x f x -=，()(2)f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()3=f x x ．又函数()()=cos g x x x π，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【解析】由题意()()f x f x -=知，所以函数()f x 为偶函数，所以()(2)(2)f x f x f x =-=-，所以函数()f x 为周期为2的周期函数，且(0)0f =，(1)1f =，而()|cos()|g x x x π=为偶函数，且113(0)()()()0222g g g g ==-==，在同一坐标系下作出两函数在13[,]22-上的图像，发现在13[,]22-内图像共有6个公共点，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为6，故选B ．（三）根据函数零点满足条件解不等式或证明不等式例3.已知函数321()e 2(4)243x f x x x a x a ⎡⎤=-++--⎢⎥⎣⎦，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）若函数()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直，求a 的值； （2）关于x 的不等式4()e 3x f x <-在(2)-∞，上恒成立，求a 的取值范围； （3）讨论函数()f x 极值点的个数． 【解析】(1) 由题意，321()e 3x f x x x ax a ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， 因为()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直，所以(0)=1f '，解得1a =-.(2) 【法一】：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<对任意(2)x ∈-∞，恒成立， 即()32636128x a x x x ->-=-对任意(2)x ∈-∞，恒成立，因为2x <，所以()()322612812323x x x a x x -++>=----， 记()21()23g x x =--，因为()g x 在(2)-∞，上单调递增，且(2)0g =， 所以0a ≥，即a 的取值范围是[0)+∞，．【法二】：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<在(2)-∞，上恒成立，因为326(312)680x x a x a -++--<等价于2(2)(434)0x x x a --++<， ①当0a ≥时，22434(2)30x x a x a -++=-+≥恒成立， 所以原不等式的解集为(2)-∞，，满足题意．②当0a <时，记2()434g x x x a =-++，有(2)30g a =<， 所以方程24340x x a -++=必有两个根12,x x ，且122x x <<， 原不等式等价于12(2)()()0x x x x x ---<，解集为12()(2)x x -∞，，，与题设矛盾，所以0a <不符合题意．综合①②可知，所求a 的取值范围是[0)+∞，．(3) 因为由题意，可得321()e 3x f'x x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，所以()f x 只有一个极值点或有三个极值点. ……11分 令321()3g x x x ax a =-+-， ①若()f x 有且只有一个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次， 即()g x 为单调递增函数或者()g x 极值同号．ⅰ）当()g x 为单调递增函数时，2()20g'x x x a =-+≥在R 上恒成立，得1a ≥．………12分ⅰ）当()g x 极值同号时，设12,x x 为极值点，则12()()0g x g x ⋅≥，由2()20g'x x x a =-+=有解，得1a <，且21120,x x a -+=22220x x a -+=， 所以12122,x x x x a +==，所以3211111()3g x x x ax a =-+-211111(2)3x x a x ax a =--+- 11111(2)33x a ax ax a =---+-[]12(1)3a x a =--，同理，[]222()(1)3g x a x a =--，所以()()[][]121222(1)(1)033g x g x a x a a x a =--⋅--≥，化简得221212(1)(1)()0a x x a a x x a ---++≥，所以22(1)2(1)0a a a a a ---+≥，即0a ≥， 所以01a <≤． 所以，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点；②若()f x 有三个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得0a <； 综上，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点， 当0a <时，()f x 有三个极值点．【变式训练1】【2017浙江杭州地区重点中学期中】已知函数2||()2x f x kx x =-+（x R ∈）有四个不同的零点,则实数k 的取值范围是（ ） A ．0k <B ．1k <C ．01k <<D ．1k >【分析】把函数2||()2x f x kx x =-+（x R ∈）有四个不同的零点转化为方程1(2)k x x =+有三个不同的根,再利用函数图象求解【点评】()()y f x g x =- 零点问题也可转化为方程()()f x g x =的根的问题,()()f x g x =的根的个数问题,可以转化为函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数问题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程()()f x g x =根的个数．【变式训练2】【2018届北京北京师大附中高中三年级期中】已知函数()()221,1{log 1,1x x f x x x +≤=+>, ()2221g x x x m =-+-.若函数()y f g x m ⎡⎤=-⎣⎦ 恰有6个不同的零点,则m 的取值范围是( )A. (]0,3 B. (),1-∞ C. ()0,1 D. 30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】∵函数()()2211{log 11x x f x x x +≤=->，，, ()2221g x x x m =-+-．∴当()()21221g x x m =-+-≤时,即()2132x m -≤-时,则()()()()2212143y f g x g x x m ==+=-+-,当()()21221g x x m =-+->时,即()2132x m ->-时,则()()()22log 123y f g x x m ⎡⎤==-+-⎣⎦,①当320m -≤,即32m ≥时, y m =只与()()()22log 123y f g x x m ⎡⎤==-+-⎣⎦的图象有两个交点,不满足题意,应该舍去；②当32m <时, y m =与()()()22log 123y f g x x m ⎡⎤==-+-⎣⎦的图象有两个交点,需要直线y m =与函数()()()()2212143y f g x g x x m ==+=-+-的图象有四个交点时才满足题意,∴034m m <<-,又32m <,解得305m <<,综上可得： m 的取值范围是305m <<,故选D ．【变式训练3】【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】已知定义在()0,+∞的函数()()41f x x x =-,若关于x 的方程()()()2320f x t f x t +-+-=有且只有3个不同的实数根,则实数t 的取值集合是 ． 【答案】{}2,522-【解析】设()()232g y y t y t =+-+-,当2t =时,0y =,1y =显然符合题意.2t <时,一正一负根,()()00,10g g <<,方程的根大于1,()()()2220fx t f x t +-+-=只有1根；2t >时,两根同号,只能有一个正根在区间()0,1,而()()02,1240g t g t =-=->,对称轴()30,12ty -=∈,13t <<,0522t ∆=⇒=±所以522t =-所以取值集合为{}2,522-,故答案为{}2,522-.四、迁移应用1.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】：因为(1)2()f x f x +=，所以()2(1)f x f x =-，当(0,1]x ∈时，1()(1),04f x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 当(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦， 当(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，[]()2(1)4(2)(3)1,0f x f x x x =-=--∈-， 当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得73x =或83x =， 若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x -，则73m ．故选B ．2.已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <-1，b <0B ．a <-1，b >0C ．a ＞-1，b <0D ．a ＞-1，b >0【答案】C【解析】：当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--，最多一个零点； 当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +，即1a -时，0y '>，()y f x ax b =--在上递增，()y f x ax b=--最多一个零点不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得(1,)x a ∈++∞，函数递增，令0y '<得(0,1)x a ∈+，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0,)+∞上有2个零点， 如下图：所以01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+． 故选C ．3．已知函数0()ln 0⎧=⎨>⎩，≤，，，x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞【答案】C【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2 个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ．4．已知当[0,1]x ∈时，函数2(1)y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A ．(])0,123,⎡+∞⎣B ．(][)0,13,+∞C ．()23,⎡+∞⎣D ．([)3,+∞【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥，函数2()(1)y f x mx ==-，在[0,1]上单调递减，函数()y g x m ==，在[0,1]上单调递增，因为(0)1f =，(0)g m =，2(1)(1)f m =-，(1)1g m =+，所以(0)(0)f g >，(1)(1)f g <，此时()f x 与()g x 在[0,1]x ∈有一个交点；当1m >时，101m<<，函数2()(1)y f x mx ==-，在 1[0,]m 上单调递减，在1[,1]m 上单调递增，此时(0)(0)f g <，在1[0,]m无交点， 要使两个函数的图象有一个交点，需(1)(1)f g ≥，即2(1)1m m -+≥，解得3m ≥． 选B ．5．已知函数()f x =2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（0a >,且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 A ．(0，23] B ．[23，34] C ．[13，23]{34} D ．[13，23）{34} 【答案】C【解析】当0x <时，()f x 单调递减，必须满足4302a --，故304a <，此时函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，若()f x 在R 上单调递减，还需31a ，即13a，所以1334a．当0x 时，函数|()|y f x =的图象和直线2y x =-只有一个公共点，即当0x 时，方程|()|2f x x =-只有一个实数解．因此，只需当0x <时，方程|()|2f x x =-只有一个实数解，根据已知条件可得，当0x <时，方程2(43)x a x +-+32a x =-，即22(21)320x a x a +-+-=在(,0)-∞上恰有唯一的实数解．判别式24(21)4(32)4(1)(43)a a a a ∆=---=--，当34a =时，0∆=，此时12x =-满足题意；令2()2(21)32h x x a x a =+-+-，由题意得(0)0h <，即320a -<，即23a <时，方程22(21)320x a x a +-+-=有一个正根、一个负根，满足要求；当(0)0h =，即23a =时，方程22(21)320x a x a +-+-=有一个为0、一个根为23-，满足要求；当(0)0h >，即320a ->，即2334a <<时对称轴(21)0a --<，此时方程22(21)320x a x a +-+-=有两个负根，不满足要求；综上实数a 的取值范围是123[,]{}334．6．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】．D【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a=-，解得1a =，4b =； 当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==， 所以p q +9=，选D ．7．对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A ．－1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D ．点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A【解析】由A 知0a b c -+=；由B 知()2f x ax b '=+，20a b +=；由C 知()2f x ax b '=+，令()0f x '=可得2b x a =-，则()32bf a-=，则2434ac b a -=； 由D 知428a b c ++=，假设A 选项错误，则2020434428a b c a b ac b a a b c -+≠⎧⎪+=⎪⎪⎨-=⎪⎪++=⎪⎩，得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，满足题意，故A 结论错误，同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A ． 8．已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,4 D ．()4,+∞ 【答案】C【解析】∵2(1)6log 160f =-=>，2(2)3log 220f =-=>，231(4)log 4022f =-=-<，∴()f x 零点的区间是()2,4．9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -．则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为A ．{1,3}B ．{3,1,1,3}-- C．{23} D．{21,3}-【答案】D【解析】当0x ≥时，函数()g x 的零点即方程()3f x x =-的根，由233x x x -=-，解得1x =或3；当0x <时，由()f x 是奇函数得2()()3()f x f x x x -=-=--，即()f x =23x x --，由()3f x x =-得2x =-．10．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间A ．(),a b 和(),b c 内B ．(),a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A【解析】由a b c <<，可得()()()0f a a b a c =-->，()()()0f b b c b a =--<，()()()0f c c a c b =-->．显然()()0f a f b ⋅<，()()0f b f c ⋅<，所以该函数在(,)a b 和(,)b c 上均有零点，故选A ． 11．函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】令()0f x =，可得0.51log 2xx =，由图象法可知()f x 有两个零点． 12．函数121()()2xf x x =-的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】因为()f x 在[0,)+∞内单调递增，又1(0)10,(1)02f f =-<=>， 所以()f x 在[0,)+∞内存在唯一的零点．13．设函数)(x f ()x R ∈满足()()f x f x -=，()(2)f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()3=f x x ．又函数()()=cos g x x x π，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【解析】由题意()()f x f x -=知，所以函数()f x 为偶函数，所以()(2)(2)f x f x f x =-=-，所以函数()f x 为周期为2的周期函数，且(0)0f =，(1)1f =，而()|cos()|g x x x π=为偶函数，且113(0)()()()0222g g g g ==-==，在同一坐标系下作出两函数在13[,]22-上的图像，发现在13[,]22-内图像共有6个公共点，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为6，故选B ．14．对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】B【解析】由题意知，若222()1x x x ---≤，即312x -≤≤时，2()2f x x =-；当222()1x x x --->，即1x <-或32x >时，2()f x x x =-，要使函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，只须方程()0f x c -=有两个不相等的实数根即可，即函数()y f x =的图像与直线y c =有两个不同的交点即可，画出函数()y f x =的图像与直线y c =，不难得出答案B ．15．若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是A ．（-1,1）B ．（-2,2）C ．（-∞，-2）∪（2，+∞）D ．（-∞，-1）∪（1，+∞）【答案】C【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式0∆>，即240m ->，解得2m <-或2m >，故选C ．16．函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D 【解析】图像法求解．11y x =-的对称中心是(1,0)也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，24x -≤≤他们的图像在1x =的左侧有4个交点，则1x =右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x ，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，所以选D17．已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x <≤时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】因为当02x ≤<时, 3()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7个,选B ． 18．函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-=⎨-+>⎩≤，的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C ．19．函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是A ．（-2，-1）B ．（-1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）【答案】B【解析】因为1(1)230f --=-<，0(0)2010f =-=>，所以选B ．20．“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的 A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】A 【解析】20x x m ++=有实数解等价于140m ∆=-≥，即14m ≤．当14m <时，14m ≤成立，但14m ≤时，14m <不一定成立，故选A ．。