【高二数学】归纳推理
高二数学选修2-2(B版)_总结归纳：推理与证明
推理与证明对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一．推理部分1．知识结构：2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知2()53f n n n =-+-，可以(1)10f =>，(2)30,f =>(3)30,(4)10f f =>=>，于是推出：对入任何n N *∈，都有()0f n >；而这个结论是错误的，显然有当5n =时，(5)30f =-<．因此，归纳法得到的结论有待证明．例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．④推理过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想．3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（M 是P ）；ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S 是M ）；ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P ）；集合简述：ⅰ大前提：x ∈M 且x 具有性质P ；ⅱ小前提：y ∈S 且S ⊆M ；ⅲ结论： y 也具有性质P ；例题1．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤，称函数()f x 为D 上的凸函数；现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是 ．解答：由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤（大前提）因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数 （小前提）得()()()3()3A B C f A f B f C f ++++≤ （结论）即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=因此，sin sin sin A B C ++的最大值是2 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型4.和情推理与演绎推理的关系：①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；例2．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >且1a ≠） （1）5＝2＋3请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答:（1）由(3)(2)(3)(2)f g g f +＝332a a -+222a a --＋332a a --222a a -+ ＝552a a -- 又(5)g ＝552a a -- 因此，(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +（2）由(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +即(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +于是推测()g x y +＝()()()()f x g y g x f y + 证明：因为：()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提） 所以()g x y +＝2x y x ya a ++-， ()g y ＝2y y a a --，()f y ＝2y ya a -+，（小前提及结论） 所以()()()()f x g y g x f y +＝2x x a a -+2y y a a --＋2x x a a --2y ya a -+ ＝2x y x ya a ++-＝()g x y + 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +．二．证明部分1．知识结构2．综合法与分析法①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．例3．已知：0a b >>，求证：22()()828a b a b a b ab a b-+-<-< 证明：因为0a b >> 所以22()()828a b a b a b ab a b-+-<< ⇔222()()()44a b a b a b a b--<< ⇔|22a b a b<< ⇔2a b a b a b<< ⇔121b a a b < ⇔1b a a b<又由已知0a b >>1b a a b<<成立． 由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)1b a a b<,(0a b >>)是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例4.求证抛物线22(0)y px p =>，以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 证明：（如图）作AA ／、BB ／垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ／垂直准线. 要证明以AB 为直径的圆与准线相切只需证｜MM ／｜＝12｜AB ｜ 由抛物线的定义：｜AA ／｜＝｜AF ｜，｜BB ／｜＝｜BF ｜所以｜AB ｜＝｜AA ／｜＋｜BB ／｜因此只需证｜MM ／｜＝12（｜AA ／｜＋｜BB ／｜） 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；（2）（归纳递推）假设ｎ＝k （0(,)k n k n ≥∈*时命题成立，证明当1n k =+ 时命题也成立。
北师大版数学高二选修1试题 归纳推理
知能巩固提升（六）(30分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )(A)6n-2 (B)8n-2 (C)6n+2 (D)8n+22.关于归纳推理，下列说法正确的是( )(A)归纳推理是从一般到一般的推理(B)归纳推理是从一般到个别的推理(C)归纳推理的结论一定正确(D)归纳推理的结论不一定正确3.观察如图所示的图形规律，其右下角的空格内合适的图形应为( )4.对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55,如此反复操作，则第2 012次操作后得到的数是( )(A)25 (B)250 (C)55 (D)133二、填空题(每小题4分，共8分)5.已知下列等式：22334422334433881515+=+=+=，，，…，若a a 66b b+= (a ，b 均为正实数)，试推测a=_____，b=_____.6.设函数f(x)=x x 2+ (x ＞0)，观察： f 1(x)=f(x)= x x 2+， f 2(x)=f(f 1(x))=x 3x 4+， f 3(x)=f(f 2(x))=x 7x 8+， f 4(x)=f(f 3(x))=x 15x 16+， …根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n≥2时，f n (x)=f(f n-1(x))=______.三、解答题(每小题8分，共16分)7.(易错题)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5);(2)利用归纳推理归纳出f(n+1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式.8.已知f(x)=x 33+分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2), f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并证明你的结论. 【挑战能力】(10分)设{a n }是集合{2t +2s |0≤s<t,且s,t ∈Z}中所有的数从小到大排列的数列，即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,…，将数列{a n}各项按照上小下大，左小右大的原则写出如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行中的各数；(2)求a100.答案解析1.【解析】选C.记第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为a n，则a1=8，a2=a1+6，a3=a2+6，由此推测：a n=a n-1+6，所以数列{a n}是以8为首项，以6为公差的等差数列，故a n=8+6(n-1)=6n+2.2.【解析】选D.由归纳推理的概念知，归纳推理是从个别到一般的推理，其结论不一定正确.故选D.3.【解析】选A.观察图形规律可知，每行每列的图形各不相同，且应两黑一白，所以应选A.4.【解题指南】解答本题可先观察各次操作的规律，利用周期性解决.【解析】选C.由23+53=133,13+33+33=55,53+53=250,23+53+03=133，得该种操作呈周期性变化且周期为3，又2 012＝3×670+2.∴第2 012次操作的结果即为第2次操作的结果.【变式训练】观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=( )(A)28 (B)76 (C)123 (D)199【解析】选C.利用归纳法，a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4=3+1，a4+b4=4+3=7，a5+b5=7+4=11，a6+b6=11+7=18，a7+b7=18+11=29，a8+b8=29+18=47，a9+b9=47+29=76，a10+b10=76+47=123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和.5.【解析】由已知等式可知a=6=b=35. 答案：6 356.【解析】依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n =2n -1，又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n =2n .所以当n ∈N *且n≥2时，f n (x)=f(f n-1(x))=()n n x 21x 2-+. 答案：()n n x 21x 2-+ 7.【解析】(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,∴f(5)=25+4×4=41.(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,由上式可得出f(n+1)-f(n)=4n.∴f(2)-f(1)=4×1,f(3)-f(2)=4×2,f(4)-f(3)=4×3,…f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),f(n)-f(n-1)=4·(n-1),∴f(n)-f(1)=4［1+2+3+…+(n -1)］=2(n-1)·n.∴f(n)=2n 2-2n+1.【方法技巧】利用归纳推理解决数学问题的一般步骤第一步：观察、分析所列特殊情况的共性，如图形中的点、线的个数，位置关系，数列中数的变化规律，一系列式子的共同运算特点等.第二步：将第一步中观察到的共性，进行推广形成一般化的结论，使之能够涵盖所有的如图形的结构或变化的规律，如数列的通项公式，式子的运算结果等.第三步：产生猜想，得到合理的一般结论.8.【解析】,∴3=，==归纳猜想一般性结论:f(-x)+f(x+1)=3. 证明如下:f(-x)+f(x+1)x x x 13+++x x 1333++x x 1331++ x x 33(133)+=3.[] 【挑战能力】【解析】(1)将前三行中的各数分别写成2t +2s 的形式：第一行：3=21+20；第二行：5=22+20，6=22+21；第三行：9=23+20，10=23+21，12=23+22；由此归纳猜想出：第四行：24+20=17,24+21=18,24+22=20,24+23=24；第五行：25+20=33, 25+21=34,25+22=36,25+23=40,25+24=48，即第四行的各数依次是17,18,20,24；第五行的各数依次是33,34,36,40,48.(2)由每行数的个数与所在的行数相同，即第一行一个数，第二行两个数，第三行三个数，……故前13行共有1+2+3+…+13=91个数.因此，a100应该是第14行中的第9个数.所以a100=214+28=16 640.。
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋ ＋n 2＝，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ ＋(k ＋1)2【答案】D 【解析】当时，,当时，,所以时左端应在的基础上加上. 【考点】数学归纳法.2. 某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域 内植树，第一棵 树在点A l （0，1），第二棵树在点．B 1（l ， l ），第三棵树在点C 1（1,0），第四棵树在点C 2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么（1）第n 棵树所在点坐标是（44,0），则n= ．（2）第2014棵树所在点的坐标是 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）从图上可以看出：第3棵树在点，第4颗树在点，第15棵数在点，第16棵数在点，设第棵树在点，显然可以归纳出，∴；由图可知，以，为左右端点的正方形区域内共有棵树，而， ∴第2014的数应是，为左右端点的正方形区域内的依次种植的倒数第11棵树，∴第2014棵树的所在点的坐标为. 【考点】归纳推理.3. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋ 【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.4. 是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由. 【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)时，该命题成立，那么可6.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＋推得当n＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )．A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立【答案】C【解析】依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题成立；而n＝5时该命题不成立，却无法判断n＝6时该命题成立还是不成立，故选C.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)【答案】B【解析】因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1正确．8.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是A．1B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，数学归纳法证明等式时，第一步验证时，坐标表示的为前4项的和，因为最后一项为4，且从1开始，因此可知左边为，选D.【考点】数学归纳法点评：主要是考查了数学归纳法的基本原理的运用，属于基础题。
高中数学(选修1—2)《归纳推理》教学设计
ｌ ５ １３ １７
３
ｌｌ １ ９５ ９ ２ｌ ７ ２３ ３１
２９
２７
２ ５
３ 通 过 本 节 学 习 ， 学 生 养 成 主 动 运 用 归 纳 推 理 思 维 的 ． 使
意识 和 习惯 。
４ 激 发 学 生 学 习 数 学 的 浓 厚 兴 趣 和 应 用 数 学 的 良好 品 ． 质 ， 步 形 成 发 现 新 知识 ， 决 新 问 题 的 能力 。 逐 解
理能力。
质 ， 利导 人本 节 新 课 。 顺 （ ） 二 引导 学生分析 总结 归纳思维解决数 学 问题 的方法步骤 。 １指 导 学 生 阅 读 课 本 例 题 ： １ 哥 德 巴 赫 猜 想 ；２） 拉 公 ． （） （ 欧 式 ；３ 数 列 通 项 公式 。 （） 通 过 以 上 三 个 实 例 的 学 习 理 解 ，使 学 生 对 归 纳 推 理 有 一 个 初 步 的感 性认 识 。 ２组 织 学 生 分 组 讨 论 ： 励 学 生积 极 思 考 ， 胆 发 表 自 己 ． 鼓 大 的看 法 与 见 解 ．结 合 教 材 内容 初 步 得 出归 纳 推 理 解 决 实 际 问 题 的“ 观察 规 律 一 猜 想 结 果一 检 验 论证 ” 方 法 步骤 。 的 ３教 师 总结 归 纳 推 理 概 念 。 ． 归 纳 推 理 是 根 据 一 类 事 物 中部 分 事 物 具 有 某 种 属 性 。 推 断 该 类 事 物 中所 有 事 物 都 具 有 这 种 属 性 的 一 种 推 理 形 式 。 它 是 由局 部 到 整 体 、 别 到 一 般 的 一 种思 维 方 式 。 个 （ ） 识 应 用 ． 题 训 练 三 知 解 例 ３将 正 奇 数 按 下 面 表 格 中 的 数 字 呈 现 的规 律填 入 各 方 ． 格 中， 则数 字 ５ 位 于 第 几 行 第 几 列 ？ ５
高二数学下册必修二重要知识点(最新)
1.高二数学下册必修二重要知识点一、导数的应用1.用导数研究函数的最值确定函数在其确定的定义域内可导(通常为开区间)，求出导函数在定义域内的零点，研究在零点左、右的函数的单调性，若左增，右减，则在该零点处，函数去极大值;若左边减少，右边增加，则该零点处函数取极小值。
学习了如何用导数研究函数的最值之后，可以做一个有关导数和函数的综合题来检验下学习成果。
2.生活中常见的函数优化问题1)费用、成本最省问题2)利润、收益问题3)面积、体积最(大)问题二、推理与证明1.归纳推理：归纳推理是高二数学的一个重点内容，其难点就是有部分结论得到一般结论，破解的方法是充分考虑部分结论提供的信息，从中发现一般规律;类比推理的难点是发现两类对象的相似特征，由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征，破解的方法是利用已经掌握的数学知识，分析两类对象之间的关系，通过两类对象已知的相似特征得出所需要的相似特征。
2.类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，简而言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
三、不等式对于含有参数的一元二次不等式解的讨论1)二次项系数：如果二次项系数含有字母，要分二次项系数是正数、零和负数三种情况进行讨论。
2)不等式对应方程的根：如果一元二次不等式对应的方程的根能够通过因式分解的方法求出来，则根据这两个根的大小进行分类讨论，这时，两个根的大小关系就是分类标准，如果一元二次不等式对应的方程根不能通过因式分解的方法求出来，则根据方程的判别式进行分类讨论。
通过不等式练习题能够帮助你更加熟练的运用不等式的知识点，例如用放缩法证明不等式这种技巧以及利用均值不等式求最值的九种技巧这样的解题思路需要再做题的过程中总结出来。
2.高二数学下册必修二重要知识点一、曲线与方程1.椭圆椭圆的定义是椭圆章节的基础内容，高考对本节内容的考查可能仍然将以求椭圆的方程和研究椭圆的性质为主，两种题型均有可能出现.椭圆方面的知识与向量等知识的综合考查命题趋势较强。
高二数学归纳推理22
结语
谢谢大家！
高二数学归纳推理22
案例：
1.蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的， 海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。
2.三角形内角和是180°，凸四边形内角和 是360°=2× 180°，凸五边形内角和是 540°=3× 180° 由此我们猜测：凸n边形内角和是(n -2)× 180°
例如: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7,
12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11, 16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . .
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
a 试归纳出数列{ n}
的一个通项公式.
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位 中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年， 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥 德巴赫发现，每个大于2的偶数可以表示为两个素 数（只能被和它本身整除的数）之和。
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966 年证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “任何充份大的偶数都是一个质数与一个 自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积 。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。
归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据假设干的、没有穷尽的现象推断尚属 未知的现象,因而结论具有猜测性,需要经过逻辑证 明和实践检验. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经历和实验的根底之上.
归纳推理-高中数学知识点讲解
归纳推理1．归纳推理【知识点的认识】1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，A n，…}，퐴1具有属性푝具有属性푝}퐴푛⇒푆类事物中的每一个对象都可能具有属性푝⋯2．特点：（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．3．作用：（1）获取新知，发现真理；（2）说明和论证问题．【解题技巧点拨】归纳推理一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想．【命题方向】归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．1/ 4（1）考查对归纳推理理解掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．例 1：下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对 5 个命题逐一判断即可得到答案．解答：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤是正确的故选D点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．例 2：下列推理是归纳推理的是（）A．A，B 为定点，动点P 满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线B．由a1＝2，a n＝3n﹣1 求出S1，S2，S3，猜想出数列{a n}的前n 项和S n 的表达式푥2푎2 C．由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆+푦2푏2=1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．2/ 4解答：A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B 选项根据前 3 个S1，S2，S3 的值，猜想出S n 的表达式，属于归纳推理，符合要求．푥2푎2 C 选项由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆+푦2푏2=1的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．D 选项用的是演绎推理，不符合要求．故选B．点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．（2）考查归纳推理的运用做题的关键是读懂题意．例：对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1+332＝1+3+542＝1+3+5+723＝3+533＝7+9+1143＝13+15+17+19根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是 21，则m+n＝（）A．10 B．11 C．12 D．13分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是 21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n 的值．解答：：m2＝1+3+5+…+11 =1+112×6= 36，∴m＝6∵23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，∴53＝21+23+25+27+29，3/ 4∵n3 的分解中最小的数是 21，∴n3＝53，n＝5∴m+n＝6+5＝11故选B．点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n 的值是解题的关键．4/ 4。
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1.若，则对于，．【答案】【解析】【考点】数学归纳法2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋＋a n＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】C【解析】当n=1时，左端为1＋a＋a2，故选C.考点:数学归纳法3.已知,,,,…,由此你猜想出第n个数为【答案】【解析】观察根式的规律，和式的前一项与后一项的分子相同，是等差数列,而后一项的分母可表示为，故答案为【考点】归纳推理.4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.5.利用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，左边应该是．【答案】【解析】用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.【考点】数学归纳法.6.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)能被9整除”，要利7.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.8.用数学归纳法证明：【答案】通过两步（n=1，n=k+1）证明即可得出结论。
【解析】解：当n=1时，等式左边为2，右边为2，左边等于右边，当n=k时，假设成立，可以得到（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项，由题意，n=k时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（k+k），n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1），比较可得n=k+1时等式左边等于右边，进而综上可知，满足题意的所有正整数都成立，故证明。
灌南高级中学高二年级下学期数学导学案：合情推理--归纳推理
1．什么叫推理？从结构上说,推理一般由哪两部分组成？请分析一下.
2．合情推理的两种主要形式是什么？
3．什么样的推理叫归纳推理？它的思维过程是什么？
4．归纳推理有哪些特点？
5.对任意的正整数n,猜想n 2与2
n 的大小.
通过观察以上两个式子，请你写出一般性的命题，并加以证明.
7.设,),()(,),()(),()(,cos )(*
112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+
则=)(2008x f .
8.将全体正整数排成一个三角形数阵:
按照以上排列的规律,第n 行 (3≥n )从左向右的第3个数为 .
1.已知,6,321==a a 且n n n a a a -=++12,则33a = .
2.从222576543,3432,11=++++=++=中,可得一般规律为 .
3.已知数列{}n a 满足:3
3,311+==+n n n a a a a ,试通过计算5432,,,a a a a 的值,推测出=n a .
依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是 . 5.)(131211)(*N n n
n f ∈++++
= , 经计算27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ,推测当2≥n 时,有 . 6.当5,4,3,2,1=n 时,41)(2
++=n n n f 的值分别是43,47,53,61,71,它们都是素数. 由归纳法你能得到什么猜想?所得的猜想正确吗?。
高中数学选修教材归纳推理教学设计
学习好资料欢迎下载《归纳推理》教学设计四川省万源市第三中学校黄少林一、教学内容分析《归纳推理》是人教A选修2-2第二章第一节内容。
推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系。
本节内容将归纳推理的一般方法进行了必要的总结和归纳，同时也对后继知识的学习起到引领的作用。
二、学生学习情况分析授课对象是高二2班的学生。
学生思维较活跃，具有一定的归纳推理能力。
并且学生从小学起接触过很多运用归纳推理进行探索的实例，所以对本节课的教学内容来说并不缺乏认知基础。
三、设计思想以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境。
让学生带着问题通过自主学习、课堂讨论、相互合作等方式，使学生在解决问题的过程中不知不觉实现知识的传递、迁移和融合。
四、教学目标知识技能目标：理解归纳推理的概念，掌握归纳推理的一般步骤，会进行一些简单的归纳推理。
过程方法目标：学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，从理性上认识归纳推理。
情感态度目标：学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风。
五、教学重点和难点教学重点：引导学生“从理性上认识归纳推理”教学难点：归纳推理概念的形成过程六、教学过程设计1、听故事，引课题从前有一位富翁想吃苹果,打发他的仆人到果园去买,并告诉他:"要甜的,好吃的,你才买。
"仆人到了果园,园主说:"我这里树上的苹果个个都是甜的,你尝一个看。
"仆人说:"我尝一个怎能知道全体呢我应当个个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠。
"于是仆人自己动手摘苹果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？设计意图：首先，听比让学生自己看更能让学生专注。
其次，通过这则故事自然合理地过度到这节课的主题“推理”，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛。
高二数学选修2-2：第二章 推理与证明
【例 3】 一直线与△ABC 的边 AB，AC 分别相交于 E，F，则SS△△AABECF ＝AABE··AACF.将平面上的三角形与空间中的三棱锥进行类比，试 推理三棱锥的性质，并给出证明． 解 在三棱锥 S-ABC 中，平面 α 与侧棱 SA，SB，SC 分别相 交于 D，E，F. 则VVSS－－DABECF＝SSDA··SSBE··SSCF. 证明如下：
则当 n＝k＋1 时，2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31
＞ k＋1·22kk＋＋31＝22kk＋＋31.
要证当 n＝k＋1 时结论成立，
只需证 2
2k＋k＋3 1＞
k＋2成立，
只需证：4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8 成立，显然成立，
∴当 n＝k＋1 时，2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31＞ k＋1＋1成立， 综合①②可知不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＞ n＋1成立．
从而只需证 2
a2＋a12≥ 2 a＋1a，
只要证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12，
即 a2＋a12≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
【例5】 如图，在四面体B-ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F 分别是AB，BD的中点，求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD.
∴AB∥EN. 又AB∥CD∥EF， ∴EN∥EF， 这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立． ∴ME与BN不共面，即它们是异面直线．
专题四 数学归纳法 1．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自
然数有关的问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不 成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等 变换． 2．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问 题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般 结论，它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、 归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行证 明．
编号28 2.1.1(1)归纳推理
曹县三中高二数学理导学案
编号
28 2.1.1归纳推理
制作
王俊兰
审核
高二数学组
2017.04 学习目标：1.了解合情推理的含义.
2.认识归纳推理的基本方法与步骤，能应用归纳推理进行简单的推理应用. 学习重点：了解合情推理的含义，能应用归纳推理进行简单的推理. 学习难点：用归纳推理进行推理，做出猜想。
预习导航：1. 推理的定义 2.归纳推理的定义：
3.归纳推理的特点：
【问题探究】：探究活动一 归纳推理的定义及特点 探究活动二 归纳推理的一般步骤
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
例1:已知数列{a n }的第1项a 1=1且 (n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
例2:数一数图中的凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔
例3:有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n 个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 课后练习1.观察
,由归纳推理可得，若定
义在上的函数满足，记为
的导函数，则=( )
A. B.
C.
D.
2.观察：
所得的结果都是
24的倍数，继续试验，你能得到什么猜想？
3.在数列中，,试猜想这个数列的通项公式。
小结：
【课后作业】。
高二数学试题答案及解析
高二数学试题答案及解析1.“金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是（）A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．以上都不对【答案】B【解析】归纳推理由是部分到整体, 由个别到一般的推理.故选B.【考点】归纳推理特点.2.某公司的组织结构图如图所示，则开发部的直接领导是__________．【答案】总经理【解析】从题设中提供的组织结构图可以看出开发部的直接领导是总经理，应填答案总经理。
3.用反证法证明：如果，那么。
【答案】如下【解析】假设x2＋2x－1＝0则(x＋1)2＝2∴x＝－1±此时x<与已知x>矛盾，故假设不成立．∴原命题成立4.观察下列等式:,,,,由以上等式推测:对于,若则=______【答案】【解析】由已知中的式了，我们观察后分析：等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，即：1，1+2．1+2+3，1+2+3+4，…根据已知可以推断：第n（n∈N*）个等式中为：1+2+3+4+…+n=【考点】归纳推理5.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28B．76C．123D．199【答案】C【解析】观察各等式的右边，它们分别为1,3,4,7,11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…故a10＋b10＝123.6.观察下列等式：，，，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈，；【答案】【解析】根据题意，由于下列等式：，，，……，由以上等式推测到一个一般的结论：左边为和式，右边为1减去项数加1乘以2的项数次幂的倒数，故可知对于n∈，【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。
7.观察下列等式：13＋23＝32, 13＋23＋33＝62, 13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为_______【答案】13+23+33+43+53+63=212【解析】由13+23=(1+2)2=32;13+23+33=(1+2+3)2=62;13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102得,第五个等式为13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.8.某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点．你认为以上推理的（）A．小前提错误B．大前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】B【解析】还必须左增右减或者左减右增才是极值点,所以大前提错误.【考点】合情推理与演绎推理．9.观察下列各式：，，则（）A．28B．76C．123D．199【答案】C【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即【考点】归纳推理10.已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为。
高中数学归纳推理综合测试题(含答案)
高中数学归纳推理综合测试题(含答案 )修 2-2 2.1.1 第 1推理一、1．对于推理，以下法正确的选项是()A．推理是一般到一般的推理B．推理是一般到个的推理C．推理的必定是正确的D．推理的是或然性的[答案] D[ 分析 ]推理是由特别到一般的推理，其的正确性不必定．故 D.2．以下推理是推理的是()A ．A ，B 定点，点P 足 |PA|＋ |PB|＝ 2a|AB| ，得 P 的迹B．由 a1＝ 1，an＝ 3n－ 1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的前 n 和 Sn 的表达式C．由 x2＋ y2＝ r2 的面 r2，猜出x2a2＋y2b2＝ 1 的面 S＝ abD．科学家利用的沉浮原理制造潜艇[答案]B[ 分析 ]由推理的定知 B 是推理，故 B. 3．数列 {an} ：2,5,11,20， x,47，⋯中的 x 等于 ()A．28B．32C．33D．27[答案]B[ 分析 ]因为5－2＝31,11－5＝6＝32,20－11＝9＝33，猜想x－ 20＝34,47－ x＝ 35，推知 x ＝32.故应选 B.4．在数列 {an} 中， a1＝0， an＋1＝2an＋2，则猜想an 是() A．2n－ 2－12B．2n－ 2C．2n－ 1＋1D ．2n＋ 1－4[答案]B[ 分析 ]∵a1＝0＝21－2，a2＝ 2a1＋ 2＝ 2＝ 22－ 2，a3＝ 2a2＋ 2＝ 4＋ 2＝ 6＝23－ 2，a4＝ 2a3＋ 2＝ 12＋ 2＝ 14＝ 24－ 2，猜想 an＝ 2n－ 2.故应选 B.5．某人为了观看2019 年奥运会，从2019 年起，每年 5 月10 日到银行存入 a 元按期积蓄，若年利率为p 且保持不变，并商定每年到期存款均自动转为新的一年按期，到2019 年将所有的存款及利息所有取回，可取回的的数(元 ) ()A．a(1＋p)7B．a(1＋ p)8C.ap[(1 ＋p)7－(1＋ p)]D.ap[(1 ＋p)8－(1＋ p)][答案] D[ 分析 ]到2019年5月10日存款及利息a(1＋p)．到 2019 年 5 月 10 日存款及利息a(1＋p)(1＋ p)＋ a(1＋ p)＝a[(1＋ p)2＋ (1＋p)] 到 2019 年 5 月 10 日存款及利息a[(1＋ p)2＋ (1＋ p)](1 ＋p)＋ a(1＋ p)＝a[(1 ＋ p)3＋ (1＋ p)2＋ (1＋ p)]因此到 2019 年 5 月 10 日存款及利息a[(1＋ p)7＋ (1＋ p)6＋⋯＋ (1＋ p)]＝a(1＋ p)[1 － (1＋ p)7]1 －(1＋ p)＝a p[(1 ＋p)8－ (1＋ p)] ．故 D.6．已知数列 {an} 的前 n 和 Sn＝ n2an(n2)，而 a1＝ 1，通算 a2， a3， a4，猜想 an 等于 ()A.2(n ＋ 1)2B.2n(n ＋ 1)C.22n－1D.22n －1[答案]B[ 分析 ]因为Sn＝n2an，a1＝1，因此 S2＝ 4a2＝ a1＋a2a2＝13＝ 232，S3＝ 9a3＝ a1＋ a2＋ a3a3＝ a1＋a28＝16＝ 243，S4＝ 16a4＝ a1＋a2＋ a3＋a4a4＝ a1＋ a2＋a315＝ 110＝ 254.因此猜想 an＝ 2n(n＋ 1)，故应选 B.7． n 个连续自然数按规律摆列下表：依据规律，从2019 到 2019 箭头的方向挨次为()A ．B．C．D ．[答案] C[ 分析 ]察看特例的规律知：地点同样的数字都是以 4 为公差的等差数列，由234 可知从 2019 到 2019 为，故应选 C. 8． (2019 山东文， 10)察看 (x2) ＝ 2x ，(x4) ＝ 4x3 ，(cosx) ＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数 f(x) 知足 f( －x) ＝f(x) ，记 g(x) 为 f(x) 的导函数，则g(－ x)＝ ()A ．f(x)B．－ f(x)C．g(x)D ．－ g(x)[答案] D[ 分析 ]本考了推理明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求后都成了奇函数，g(－x) ＝－ g(x) ， D，体了学生察能力，归纳推理的能力的考．9．依据出的数塔猜1234569＋ 7 等于 ()19＋ 2＝11129＋ 3＝1111239＋ 4＝ 111112349＋5＝ 11111123459＋6＝ 111111A．1111110B．1111111C．1111112D ．1111113[答案]B[ 分析 ]依据律7 个 1，故 B.10．把 1、3、6、 10、15、 21、⋯些数叫做三角形数，是因些数量的点子能够排成一个正三角形(以下 )，求第七个三角形数是()A ．27B．28C．29D．30[答案 ]B[分析 ]察可知第n 个三角形数共有点数： 1＋2＋3＋4＋⋯＋n＝ n(n＋ 1)2 个，第七个三角形数7(7＋1)2＝ 28.二、填空11．察以下由火柴杆拼成的一列形中，第n 个形由 n 个正方形成：通察能够：第 4 个形中，火柴杆有________根；第 n 个形中，火柴杆有________ 根．[答案 ]13,3n＋1[分析 ]第一个形有 4 根，第 2 个形有 7 根，第 3 个形有 10 根，第 4 个形有 13 根⋯⋯猜想第 n 个形有3n ＋1 根．12．从 1＝12,2＋3＋ 4＝ 32,3＋4＋ 5＋ 6＋7＝ 52 中，可得一般律是 __________________ ．[ 答案 ] n＋(n＋1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)2 [分析]第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n 个式子有 2n－ 1 个数相加，且第 n 个式子的第一个加数n，每数增添1，共有 2n－1 个数相加，故第 n 个式子：n＋ (n＋1)＋(n＋2)＋⋯＋ {n ＋ [(2n －1)－ 1]}＝(2n－1)2，即 n＋ (n＋1)＋(n ＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝(2n－1)2.13．察下中各正方形案，每条上有n(n2)个圈，每个案中圈的数是S，按此律推出S 与 n 的关系式________．[ 答案 ]S＝4(n－ 1)(n2)[ 分析 ]每条上有 2 个圈共有S＝ 4 个；每条上有3个圈，共有S＝ 8 个；每条上有 4 个圈，共有S ＝12 个．可每条上增添一个点，S 增添 4， S 与 n 的关系 S＝ 4(n－ 1)(n2) ．14． (2009 浙江理， 15) 察以下等式：C15＋ C55＝ 23－ 2，C19＋ C59＋ C99＝27＋ 23，C113＋ C513＋C913＋ C1313＝211－ 25，C117＋ C517＋C917＋ C1317＋C1717＝ 215＋ 27，由以上等式推到一个一般的：于 nN* ，C14n＋ 1＋ C54n＋1＋ C94n＋ 1＋⋯＋ C4n＋14n＋1＝ __________________.[ 答案 ]24n－1＋ (－ 1)n22n － 1[ 分析 ]本小主要考推理的能力等式右端第一指数3,7,11,15，⋯组成的数列通公式an＝4n－ 1，第二指数 1,3,5,7，⋯的通公式 bn＝ 2n－1，两中等号正、相出，右端＝ 24n－1＋(－ 1)n22n－1.三、解答15．在△ABC 中，不等式 1A＋1B＋1C 建立，在四形 ABCD 中，不等式 1A ＋ 1B＋ 1C＋ 1D 建立，在五形 ABCDE 中，不等式1A＋ 1B＋ 1C＋ 1D＋ 1E 建立，猜想在 n 形 A1A2⋯An 中，有怎的不等式建立？[ 分析 ] 依据已知特别的数：9、162、253，⋯，出一般性的律：n2(n －2)3)．在 n 形 A1A2⋯An 中： 1A1 ＋ 1A2 ＋⋯＋ 1Ann2(n － 2)3)．16．下中 (1)、 (2) 、(3)、 (4)四个平面．数一数每个平面各有多少个点？多少条？它成了多少个区域？并将果填入下表中．平面地区点数数地区数(1)(2)(3)(4)(1)察上表，推测一个平面形的点数、数、地区数之有什么关系？(2)现已知某个平面图有999 个极点，且围成了999 个地区，试依据以上关系确立这个平面图有多少条边？[ 分析 ]各平面图形的极点数、边数、地区数以下表：平面地区极点数边数地区数关系(1)3 3 2 3＋2－3＝2(2)8 12 6 8＋ 6－ 12＝2(3)6 9 5 6＋5－9＝2(4)10 15 7 10＋7－15＝2结论V E F V ＋F－E＝2推行999 E 999 E＝ 999＋999－ 2＝2019其极点数 V ，边数 E，平面地区数 F 知足关系式V ＋F－ E＝2.故可猜想此平面图可能有2019 条边．17．在一容器内装有浓度为r%的溶液 a 升，注入浓度为p%的溶液 14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第 n 次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是 p%)，计算 b1、b2、 b3，并归纳出bn 的计算公式．[ 分析 ] b1＝ ar100＋ a4p100a＋ a4＝ 110045r＋15p，b2＝ab1＋ a4p100a＋ a4＝ 1100452r＋15p＋ 452p.b3＝ ab2＋ a4p100a＋ a4＝1100453r＋15p＋ 452p＋ 4253P，得 bn＝110045nr＋ 15p＋ 452p＋⋯＋ 4n－15nP.18． f(n) ＝n2＋ n＋41， nN＋，算f(1) ， f(2) ，f(3) ，⋯，f(10) 的，同作出推理，并用n＝ 40 猜想能否正确．[ 分析 ] f(1) ＝ 12＋ 1＋ 41＝43， f(2) ＝ 22＋ 2＋ 41＝47，f(3)＝32＋ 3＋ 41＝53， f(4)＝42＋ 4＋41＝ 61，f(5)＝52＋ 5＋ 41＝71， f(6)＝62＋ 6＋41＝ 83，f(7)＝72＋ 7＋ 41＝97， f(8)＝82＋ 8＋41＝ 113，f(9)＝92＋ 9＋ 41＝131， f(10) ＝ 102＋10＋ 41＝151.因为 43、 47、53、 61、 71、 83、 97、 113、 131、151 都数．要，得看。
归纳推理-高考数学知识点
归纳推理-高考数学知识点
知识点总结1.定义
所谓归纳推理，就是从若干零散的现象中推出一个一般规律，也就是从若干特殊现象中总结出一般规律，是从特殊到一般.归纳推理的前提是其结论的必要条件.首先，归纳推理的前提必须是真实的，否则，归纳就失去了意义.其次，归纳推理的前提是真实的，但结论却未必真实，而可能为假.
2.演绎法和归纳法的关系
1）归纳法是由认识个别到认识一般；演绎法是由认识一般进而认识个别.2）演绎推理如果要以一般性知识为前提，（演绎推理未必都要以一般性知识为前提）则通常要依赖归纳推理来提供一般性知识.3）归纳推理离不开演绎推理。
其一，为了提高归纳推理的可靠程度，需要运用已有的理论知识，对归纳推理的个别性前提进行分析，把握其中的因果性，必然性，这就要用到演绎推理.其二，归纳推理依靠演绎推理来验证自己的结论.。
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1.观察下列各不等式：…（1）由上述不等式，归纳出一个与正整数有关的一般性结论；（2）用数学归纳法证明你得到的结论．【答案】（1）且；（2）以下用数学归纳法证明这个不等式．①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立.②假设当n=k时，不等式成立，即那么，当n=k+1时，有.所以当n=k+1时，不等式也成立.根据①和②，可知不等式对任何且都成立.【解析】（1）由上述不等式，归纳出表达式的左侧的关系与右侧分子与分母的特征写出一个正整数，有关的一般性结论；（2）利用数学归纳法证明步骤，直接证明即可.试题解析：（1）观察上述各不等式，得到与正整数n有关的一般不等式为且.（2）以下用数学归纳法证明这个不等式．①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立.②假设当n=k时，不等式成立，即那么，当n=k+1时，有.所以当n=k+1时，不等式也成立.根据①和②，可知不等式对任何且都成立.【考点】归纳推理；数学归纳法.2.设，其中为正整数．（1）求，，的值；（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1）；（2）【解析】（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少；（3)由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写.试题解析：解：（1） 3分（2）猜想： 4分证明：①当时，成立 5分②假设当时猜想正确，即∴由于8分∴，即成立由①②可知，对成立 10分【考点】数学归纳法及其应用.3.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第4个“金鱼”图需要火柴棒的根数为A．24B．26C．28D．30【答案】B【解析】由图形间的关系可以看出，第一个图形中有8根火柴，第二个图形中有8+6根火柴，第三个图形中有8+26根火柴，第三个图形中有8+36根火柴，即26根火柴，故选B.【考点】归纳推理.4.是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由.【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.6.用数学归纳法证明（），在验证当n=1时，等式左边应为A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a3【答案】D【解析】注意到的左端，表示直到共n+3项的和，所以，当n=1时，等式左边应为1+a+a2+a3，选D。
高中数学归纳推理教案
高中数学归纳推理教案
一、教学目标：使学生了解数学归纳法的基本原理和应用方法，能运用数学归纳法解决相
关问题。
二、教学重点：数学归纳法的基本原理和应用方法。
三、教学难点：对于一些较为复杂的问题，如何运用数学归纳法进行证明。
四、教学内容：
1. 数学归纳法的基本原理
2. 数学归纳法的应用方法
3. 实际问题中的数学归纳应用
五、教学过程：
1. 引入：通过一个简单的例子引入数学归纳法的概念，让学生了解数学归纳法的重要性和
应用价值。
2. 讲解：讲解数学归纳法的基本原理和应用方法，包括归纳起点的选择、归纳假设的建立、归纳步骤的进行等内容。
3. 练习：设计一些简单的练习题，让学生掌握数学归纳法的基本操作方法。
4. 拓展：引导学生思考一些实际问题，并尝试运用数学归纳法进行解决。
5. 总结：对数学归纳法的基本原理和应用方法进行总结，强化学生对此内容的理解和应用
能力。
六、作业布置：布置一些相关的练习题，要求学生独立完成，并对实际问题进行数学归纳
法的应用。
七、教学反思：及时总结教学过程中的不足之处，不断优化教学方法，提高教学效果。
以上是一份高中数学归纳推理教案范本，希望能对您有所帮助。
如果有其他需要，或者有
任何问题，请随时联系我。
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四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
四棱柱
三棱锥
八面体
凸多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
四棱柱
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尖顶塔 9
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三棱柱 四棱锥
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凸多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
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a2 n 1
an2
1
(n=1,2,…)
试归纳出这个数列的通项公式。
例3 观察下列的等式,你有什么猜想吗?
1=1=12 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52
……
由此猜想:前n个连续的奇数的和 等于n的平方,即:
1+3+5+…+ห้องสมุดไป่ตู้2n-1)=n2
《行政职业能力测验》 数字推理：给你一个数列，但其中缺少一项，要 求你仔细观察数列的排列规律，然后从四个供选 择的选项中选出你认为最合理的一项，来填补空 缺项。
（1）2，0，3，-1，4，（ A ）
A.-2 B.0 C.5 D.6
（2） 168，183，195，210，（ A ）
A.213 B.222 C.223 D.225
三角形的内角和是 180 ,
凸四边形的内角和是360 ,
凸五边形的内角和是 540 … 三角形、凸四边形、凸五边形都
是凸多边形
由此我们猜想:凸n边形的内角和是
(n 2)180
2 21 3 31
2 22 3 32
2 23 3 33
由此我们猜想: b b m (a,b, m均为正实数） a am
问题： 我们是由什么得到这样的猜想？
个别
一般
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
归哥纳德巴推赫理猜想的的过过程程：：
具体的材料 观察分析
猜想出一般性的结论
例1.数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和 棱数E,然后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的 关系.
别说话，看谁大意失荆州 练习（2010·陕西高考）观察下列等式： 13+23=32， 13+23+33=62， 13+23+33+43=102， …, 根据上述规律，第五个等式是_______.
【解题提示】找出等式两边底数的规 律是解题的关键. 答案：13+23+33+43+53+63=212
2009年广东省公务员录用考试（你想当官吗？）
（3） 38，24，62，12，74，28，（ D ） A.74 B.75 C.80 D.102
（4） 4，5，8，10，16，19，32，（ B ） A.35 B.36 C.37 D.38
小宝的爸爸有4个儿子， 大儿子叫大宝，二儿子叫二宝， 三儿子叫三宝，那小儿子叫什 么名字呢？
1、对自然数n，考查 n 0 1
对于所有的自然数n，n2 n 11的值都是质数。
归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真 实,还需经过逻辑证明和实践检验
归纳推理的特点:
1. 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得 的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所 包容的范围。
2. 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真 实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数 学证明的工具。
9
四棱锥
5
5
8
尖顶塔
9
9
16
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间
的关系式为：F＋V－E＝2
欧拉公式
例2.已知数列 ｛an｝的第一项 a1 =1,
且
an1
an 1 an
(n
＝1，2，3，···)，
请归纳出这个数列的通项公式为________.
练习.已知数列{an}的每一项均为正数，a1=1， 且
1. 一个人看见一群乌鸦都是黑的，
于是断言“天下乌鸦一般黑”.
2. 蛇是用肺呼吸的, 鳄鱼是用肺呼吸的， 海龟也是用肺呼吸的， 蜥蜴是用肺呼吸的， 蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。
由此我们猜想: 所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
（数学） 1，4，9，16，…，由此你猜 想出第n个数是_______.
n2 n 11 n2 n 11
11
11
都是质数
2
13
3
17
4
23
5
31
6
41
结论：对所有的自然数n，n2 n 11
都是质数。
思考：当n=6,7,8,9,10,11时，n2-n+11=?
当n=0时，n2 n 11 11 当n=6时，n2 n 11 41 当n=1时，n2 n 11 11 当n=7时，n2 n 11 53 当n=2时，n2 n 11 13 当n=8时，n2 n 11 67 当n=3时，n2 n 11 17 当n=9时，n2 n 11 83 当n=4时，n2 n 11 23 当n=10时，n2 n 11 101 当n=5时，n2 n 11 31 当n=11时，n2 n 11 121
3. 归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得 到的猜想,可以作为进一步研究的起点,或者提供一种 方向，帮助人们发现问题和提出问题。
课堂小结：
1：归纳推理
由部分到整体、 个别到一般的推理
2 :归纳推理的基础
观察、分析
3:归纳推理的作用 注意
发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
苔 清 袁枚 白 日 不 到 处， 青 春 恰 自 来。 苔 花 如 米 小， 也 学 牡 丹 开。