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中心极限定理在社会保险中的应用

≤ ≤ P{X>180- 40}=P{X>140}=P X- E(X) ≤ 140- 100 姨D(X) 姨99.9
Φ Φ ≈1- Φ
40 9.995
=1- Φ(4.002)=1- 0.99997=0.00003
又保险公司的利润 Y=180- 40- X(万元)
故保险公司的平均利润为 E(Y)=E(140- X)=140- E(X)=40(万元)
于解决问题。
≤1，若第 i 个被保险人发生重大事故
解：记 Xi=
，i=1，2，…，5000， 0，若第 i 个被保险人未发生重大事故
于是，Xi 均服从参数为 p=0.005 的 0- 1 分布，P{Xi=1}=0.005，np=25。
5000
ΣXi 是 5000 个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数，保险公 i=1
3.抽屉原理在面积问题中的应用例 4 已知在边长为 1 的等边三角形内（包括边界）有任意 10 个点。证明至少有两个点之间的距离不大于 1/3 。证明：把正三角形的每条边都三等分，并连接各点，将这个三角形
化分成 9 个边长为 1/3 的正三角形。10 个点放在 9 个小三角形中，根据抽屉原理必有两个点在同一个小正三角形内（包括边界），这两点之间
抽屉原理是一种重要的非常规解题方法，应用它能解决许多涉及存在性的数学问题。
参考文献［1］曹汝成.组合数学［M］.广州：华南理工大学出版社，2000：170177. ［2］钟颖.关于抽屉原理［J］.成都教育学院学报，2003，17（7）：75. ［3］朱华伟,符开广.抽屉原理［J］.数学通讯，2006，19（17）：37.
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金。已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为 0.005，现有 5000

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-中心极限定理在保险业务中的应用中心极限定理在保险业务中的应用学生姓名：许红红指导教师:赵连阔一、引言保险是以合同的形式来确定双方经济关系，以投保人缴纳保险费所建立起来的保险基金，对保险合同规定范围内的意外所造成的损失，进行经济补偿或给付的一种经济形式。

保险费是根据数理统计原理进行制定，对未来发生的成本进行预测和估算，将预期赔偿金额作为纯保险费来收取的。

为避免和减少未来风险因素带来的经济损失，保险公司采取一些方法保证自己的偿付能力。

在实际生活中有诸如交通事故发生率、人口死亡率等许多随机因素影响着保险的预期利润和偿付能力，这些随机因素是相互独立的，且每一个因素的影响在总结果中所起到的作用都是很小的随机变量。

这些随机变量都通常近似服从正态分布。

这种现象就是中心极限定理产生的客观背景条件。

二、中心极限定理结合上文中心极限定理的产生的客观背景，我们给出中心极限定理的具体内容。

我们把描述或验证大量随机变量和的极限是正态分布的那些定理通称为中心极限定理。

但其中最常见、最基本且应用最广泛的是两个定理德莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布的正态近似）和林德贝格—勒维中心极限定理（独立同分布下的中心极限定理）。

(一)德莫弗——拉普拉斯定理设n重伯努利试验(将事件A 重复进行n 次)中，事件A 在每次试验中出现的概率为 ()01p p <<，记n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，且记*n Y =，其中1.q p =-则对任意实数y ，有{}()2*2lim .t yn n P Y y dt y -→+∞≤==Φ⎰这个定理可以说是二项分布的近似正态分布，当n 充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。

即(),A B n p :，其中1q p =-，则当n 很大时，有()P a X b ≤≤≈-. (二)林德贝格——勒维中心极限定理设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且()()2,0i i E X Var X μσ==>记 *n Y则对任意实数y ，有*lim ()n n P Y y ϕ→+∞≤=22()t yy e dt --∞=.此定理也可称为独立同分布中心极限定理且应用十分广泛，它只假设{}n X 独立同分布、方差存在，且是随便变量的序列，不管原来的分布是什么，只要n 充分大，就可以用正态分布去逼近。

中心极限定理在分析保险偿付能力中的应用

中心极限定理在分析保险偿付能力中的应用引言:1.中心极限定理的客观背景保险是经营风险的特殊企业，保险商品与其他商品的定价有明显的不同，一般商品的价格是在实际成本发生之后制定，而保费的制定是在实际成本发生之前制定的。

由于存在未来不确定因素，使保险公司所收取的保费不足以出场实际发生的成本，为了避免和减少未来不确定带来的经营，保险公司采用了若干手段来保证自己的偿付能力。

在客观实际中有很多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的。

而其中某一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的。

这种随机变量往往近似地服从正太分布。

这种现象就是中心极限定理的客观背景。

2．保险企业的偿付能力与保险经营的关系保险机构是经营风险的企业，必须随时准备应付应付各种灾害事故的发生，这就必须要求拥有足够的资金积累和起码的偿付能力。

这不仅是保护被保险人利益的需求，也是保险企业自身稳定经营的需要。

因此各国政府把保险企业的偿付能力均作为监管的主要目标。

我国《保险法》规定："保险公司应当具有与其业务规模相适应的最低偿付能力。

保险公司的实际资产减去实际负债的差额不得低于金融监督管理部门规定的数额，低于规定数额的，应当增加资本金，补足差额。

"一.保险费的结构投保人和保险公司订立保险合同后，投保人应按照约定的方式缴齐保险费。

保险费P 的结构如下:P=P0+A+R,其中P0是纯保费(即设X为损失量，则有P0=E（）)，A为保险公司的管理费用，R为保险人承保被保险人投保的风险回报，也即是保险现任所收取承担风险的服务费。

P称为总保险费或毛保险费，A+R称为附加保险费。

从总保险费的结构分析，我们可以推出:1.保险人所收取的纯保费是用于投保风险发生的赔偿和给付的，它直接关系到保险公司的赔付能力；2.估算的纯保费的大小受未来风险的影响，故纯保费在保险公司的管理上是不可控制的，而附加保费是保险公司可以控制的。

因此，在确定一份保单的时候，预测和估算纯保费是保险公司收取总保费的核心任务。

大数定律和中心极限定理在保险业中的重要应用

大数定律和中心极限定理在保险业中的重要
应用
大数定律和中心极限定理是概率论和数理统计学中重要的理论，它们在保险业中应用广泛。

大数定律认为，当独立随机事件的数量越来越多时，它们的平均值趋近于期望值。

在保险业中，大数定律可用来推断一个保险产品的风险水平，即根据历史数据预测未来的风险。

例如，如果某个保险公司已有数千起汽车事故的记录，那么他们可以利用大数定律来计算未来的理赔率，以便更好地制定保险政策。

中心极限定理则认为，当随机变量的数量越来越多时，它们的和会趋近于正态分布。

在保险业中，中心极限定理可用来计算整体的风险水平。

例如，如果一个保险公司提供数百种不同类型的保险，那么他们可以利用中心极限定理来计算整个保险组合的风险水平，以便更好地评估整体的风险。

综上所述，大数定律和中心极限定理在保险业中的应用是非常重要的，它们可以帮助保险公司更好地估计风险、制定保险策略和评估整体风险水平，从而更好地为客户提供服务。

概率论在经济学中的应用

概率论在经济学中的应用【摘要】本文指出概率论与经济学结合的原因，并分析了概率论知识在经济学诸多领域的应用。

着重分析概率论在描述经济数据特征、效用函数、保险和资产组合等经济学领域的应用，并指出概率论在经济动态前沿领域的新发展。

【关键词】概率论与数理统计；经济学；实际应用一、引言这些年随着科学技术的发展概率论与数理统计在经济学的研究中得到广泛应用。

借助概率论方法研究经济问题有三个优势：(1)由于数学固有的灵活性，使金融领域的相关研究和探索借助于其多种计算方法和数学模型，从而更好地实现金融问题背后的经济变量函数，使复杂的关系清晰化；(2)由于其固有的严密逻辑性，使得数学分析成为科学推理的主要手段，并使其他一些难以解释的逻辑关系变得简单化；(3)由于其固有的精确性，使得对经济范畴之间的数量关系的描述和研究可以数量化。

总之，概率论在经济学中的应用使得经济学成为一门更加规范的科学。

二、概率论在资产组合方面的应用在金融市场上规避风险是任何投资者首要考虑的目标，而多样化投资是降低风险的一种途径，这也是资产组合理论的核心内容。

我们举一个太阳镜和雨衣的例子来分析资产组合在降低风险方面的作用，所用到的概率论知识也是很简单的期望收益。

这也是笔者在日常教学中一个深刻的体验，现代经济学虽然所用到的数学知识越来越深奥，但是一些简单的数学概念却能够揭露经济学深刻的内涵。

假设在当前的市场上，一副太阳镜与一件雨衣的价格都是10元，如果未来的夏季是雨季，雨衣的价格会涨到20元，太阳镜的价格会跌到5元。

但是，如果未来的天气是炎炎夏日，则太阳镜的价格会涨到20元，而雨衣的价格会降到5元。

如果天气是雨季还是酷暑的概率各位50%，你要投资100元。

如果你把100元全投资于雨衣(买下10件雨衣，因为现价是10元一件)，那么你有50%的概率获得200元，有50的概率获得50元。

如果你把100元投资于太阳镜，结果也是一样的。

最后，你的期望收入是125元。

概率统计在保险中的应用

1002022年3月 Financial Sight概率论与数理统计是基于大量同类随机变量的统计规律，对随机现象出现某一个结果可能性的大小做出描述的科学，在自然科学及经济工作中都有广泛的应用。

随着金融市场的繁荣和发展，各式各样的保险业务如雨后春笋般涌现。

自然灾害和意外事故是保险产生和发展的自然基础，决定了风险的存在，由于风险具有损害性和普遍性，且单一风险具有不确定性。

因此，在一定时间和空间内，风险发生频率及损失程度只能被降低，却无法被彻底消除，人们通过转嫁风险，才能相对减小风险。

保险作为风险管理的方式，需要估算风险发生的概率及损失率来作为开展业务、制定保费标准的依据，而概率统计恰恰能够研究风险不确定性在大数中呈现出的规律性。

本文就保险中的概率统计模型及应用情况进行简单讨论。

1 随机变量与概率分布在概率统计中，随机变量是随机事件的数量表现，随机变量的概率分布描述的是变量取值与相应概率之间的对应关系。

意外的发生具有不确定性，因此在保险中，为了达到统计事件结果的目的，需要使用随机变量及其分布描述由意外造成的损失的数量及损失可能性的大小。

例：某航运公司为4艘船舶投保，发生事故的船舶数目是一个随机变量，以X 表示发生事故的船舶数目，X 的可能取值是0、1、2、3、4，根据保险公司的统计，每种结果发生的概率如表1所示。

表1 发生事故的船舶数目概率分布发生事故的船舶数目X01234概率0.890.050.030.020.01以上表达方式，是船舶发生事故的概率分布，在风险估计中，常常由大量统计数据抽象出可用数学公式描述的分布规律。

保险理论中，一些随机变量近似服从于理论概率分布，其中常用的有正态分布、二项分布等，二项分布可用来计算n 个投保个体中有k 个个体需要理赔的概率，当信息量不足时，通常使用正态分布作为近似估计。

正态分布是大数规律下的表现形态，在保险概率统计中发挥着重要的作用。

2 中心极限定理棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：设随机变量n Y 服从二项分布(,)B n p ，则对任意实数y 恒有：lim ()n P y y →+∞=Φ此定理是概率论历史上第一个中心极限定理，专门针对二项分布，因此被称为“二项分布的正态近似”。

浅谈大数定律与中心极限定理在经济生活中的应用

解：假设这 1000 户客户对这种微机的年需求量依次为
孜1，孜2，…，孜1000，则由统计资料表明：孜k荠p(姿（) 姿=3），
即
P（孜k=j）=
3j j!
e-（3 j=0，1，…，k=1,2，…，1000）
由泊松分布理论知：E孜k=D孜k=姿=3 又设为浊1000 这 1000 家客户对这种微机的年需求量，则：
基金项目：江苏省高校自然科学基金（13KJB110006）；江苏科技大学创新课题（633051203）；江苏科技大学高教研究课题（105040808）。作者简介：王康康（1980—），讲师，研究方向为概率极限理论。
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教改教法
份保单，那么安全附加系数会是多少呢？
移n
解：（1）因为S= i=1 Xi，EXi=100，DXi=99×105
1000
移浊1000= 孜k，（n=1000） k=1
因为 n 比较大，那么由林德伯格 - 莱维中心极限定理
可知：浊1000 近似地服从于正态分布 N（n姿，n姿），即 N（3000，3000）再设该无线电厂应安排年生产量为 M 台，则 M 应满足
下式（这时 n=1000，茁=0.977，求 M）
p 代表客观存在的损失率；nx 则表示实际损失率。而客观存
在的损失与实际观察到的损失之间所存在的差额将会趋向
于零。所以，如果要估计 p，则只要选择包含有所有情况的样
本
n，最后就能用
x n
来估计 p。如果知道 p 的话，也可以 n伊p
用来求得 x。这体现了大数定律在保险应用中的双重意义。
例：若某保险公司承保 n=1000 份保单为 B（1,0.01）的风
因此 M≥3150.62，则可取 M=3151（台），也就是说如果

D5-2 中心极限定理

引言
1.背景如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响背景: 背景所造成的，而每一个因素在总影响中所起的作用并不大, 则这种随机变量通常服从或近似服从正态分布. 2.内容设相互独立的随机变量序列 X1, X 2 ⋯, X n ,⋯的数内容: 内容学期望和方差都存在, 则当n 很大时
n ∑ Xi − E ∑ Xi i =1 i =1 ~ N (0,1) n D ∑ Xi i =1
例3. 某保险公司多年统计资料表明,在理赔用户中被盗理赔用户占20%, 以X表示在随意抽查的100个理赔用户中因被盗理赔的用户数, (1) 写出X 的概率分布 (2) 利用拉普拉斯中心极限定理, 求被盗理赔用户大于14 户且不多于30户的概率近似值.
解: (1) 易知 X ~ B (100,0.2 ) ,
∴ P { X > 10100} = 1 −0 10100 − 10000 = 1− P ≤ 40 40 ≈ 1 − Φ ( 2.5 ) = 0.0062
二、De Moivre-Laplace 中心极限定理
(levy-Lindeberg 中心极限定理的特殊形式) 定理2: 定理设 un 是n重伯努利试验中事件A发生的次数，
n
3. 如何刻划：如何刻划：
n n ∑ X − E ∑ X i i i =1 i =1 ≤ x → Φ ( x ) P n D ∑ Xi i =1
(n → ∞)
一、Levy-Lindeberg 中心极限定理
= Φ(2.5) − Φ(−1.5) = 0.927
例4. 由甲地到乙地有A、B两种交通工具，每个乘客以1/2的概率选择其中一个；假设每天有1000名乘客同时由甲地去乙地。问每种交通工具上应设置多少个座位才能有99%的概率不会出现座位不够？解: 设每天有 X 人用A工具去乙地则 X ∼ B(1000,0.5)

中心极限定理在保险中的应用

交的保费为 α，则当 α×104 ≥5S×104 ，即 S≤α/5 时保险
公司不亏钱，P{S≤α/5]=P{ S-nEXi ≤
α/5-10
}
σ姨 n 100× 姨9.99×10-4
～φ( α/5-10 )>99%，所以 α/5-10 >2.326，α>86.7，如果
姨9.99
姨9.99
要保证 99.9%概率不亏钱，则要求 α/5-10 >3.09，α>98.8，
=0 不死亡，EYi =3×10-4 ，Var (Yi )～3×10-4 ，记 T=Σkn=1 Yi ，
m=4×104 ，则保险公司保本须要 5×104 S+105 T≤80×104
+50×4×104 ，即 S+2T≤56，在上面公式中取 τ=2，λ=4 得
到
P{ S+2T-ES-2ET ≤t}～渍(t)
揖参考文献铱 [1]吴星.高中化学核心素养的建构视角[J].化学教学， 2017(2):3 [2]吴星.对高中化学核心素养的认识[J].化学教学，2017
(5):3 [3]臧景芹.浅谈高中化学核心素养的培养策略[Jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.中外交
流，2017(6):81
姨姨 n 10-3 +48×10-4
所以 P{S+2T≤48}～φ( 56-10-24 )=99.8％，超过了第姨58
一种保险 97.1%和第二种保险 98.9%（重复例 1 第一小问的方
（下转第 102 页）
88 2018.07 文理导航（教育研究与实践）
理科辅导
探究高中化学核心素养的培养措施
概率可以履行兑付责任？如果是 99.9%呢？（3）如果保险公司在

中心极限定理在保险业中的应用例题

中心极限定理在保险业中的应用例题中心极限定理是统计学中的基本理论之一，广泛应用于各个领域，包括保险业。

保险业是一个风险管理的行业，通过对大量风险事件的收集和分析，可以评估和预测风险的概率和损失的程度。

中心极限定理在保险业中可以帮助精确估计和预测保险索赔的风险分布和损失分布。

举一个应用中心极限定理的例子，假设某保险公司要对某一类型的索赔进行评估，该类型的索赔金额呈现出较大的变异性。

为了准确估计整体的索赔风险，保险公司需要通过对一小部分索赔进行抽样来分析和推断整体的风险分布。

假设保险公司抽取了一百个索赔案例，并记录了其对应的索赔金额。

根据中心极限定理，当样本量足够大时，这些样本的平均值将近似呈正态分布。

保险公司可以根据这些样本的平均值来估计整体索赔的平均值，并计算标准误差。

例如，假设这一百个索赔案例的平均值为1000美元，并且标准误差为50美元。

通过中心极限定理，保险公司可以得出结论，整体索赔的平均值有95%的概率落在950美元到1050美元之间。

这个区间提供了保险公司对索赔风险的估计，使其能够制定相应的保险策略和定价策略。

此外，保险公司还可以使用中心极限定理来估计整体索赔的分布形状。

根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布将近似为正态分布。

通过绘制样本索赔金额的频率分布图，并计算其标准差，保险公司可以估计整体索赔的分布形状，并据此进行风险评估和风险管理。

总之，中心极限定理在保险业中的应用可以帮助保险公司准确估计和预测保险索赔的风险分布和损失分布。

通过抽样和分析样本数据，保险公司可以利用中心极限定理来制定风险管理策略、定价策略和理赔策略，从而更好地管理和控制风险。

大数定律在保险中的应用

论大数法则在保险业中的重要应用前言研究背景及意义在现代生活中，风险无处不在，无时不有。

因而只有加强对风险的管理，才能使人们的生活更为安定，使得社会更加和谐。

而保险业就是经营风险的特殊的金融机构，它将风险从被保险人向保险人转移，从而为被保险人提供了风险保障。

当前，全球各国都非常重视保险业的发展，都在争取不断完善保险业市场体系，不断普及全民的保险观念，稳定人民的生活。

在国内，当前经济的高速发展，人民生活水平的提高，社会保障体制改革的深化，为中国保险业的发展提供了难得的机遇和广阔的空间。

我国保险业增长迅速，保险观念日益深入人心，保险业在国民经济中的重要性日益增强。

而今，中国已经是世界上最大的潜在保险市场。

但国内保险公司目前在管理、经营理念、产品创新等方面与国际先进企业相比还有一定差距。

要想持续健康的发展，要把巨大的潜在市场转变为现实的市场，将取决于保险公司能否提高自身的经营管理水平。

所以只有具备了科学的精算理念，中国保险市场才能真正走向成熟。

而“大数法则”就是精算的基础理论之一，它对保险经营理念的科学性起到了至关重要的作用。

所以每个保险业界人士对于大数法则都应该有个准确认识，只有深刻了解大数法则，最佳应用，才能保证保险业的稳健经营管理。

文献综述国内外关于保险业的研究，集中从保险经营各个方面做研究。

其中包括对承保风险，偿付风险以及投资风险等全方面的研究。

关于保险资金投资方面，从当代国际保险市场发展看，保险资金运用和保险业的发展己经融为一体。

很多人认为承保业务和投资业务的并驾齐驱已成为保险业发展的一种潮流。

事实上，自20世纪70年代以来，金融创新使得资本市场不断推出新的投资工具，保险业本身的竞争日趋激烈，承保利润不断下降甚至亏损，迫使保险监管机构与保险公司不断适应新的市场环境，全方位地加强保险资金运用业务，来提高利润率。

摩根斯坦利所说:“投资是保险行业的核心任务，没有投资就等于没有保险行业。

没有保险投资，整个保险行业的经营是不能维持下去的”。

大数定律及中心极限定理在保险中的应用_王丙参

保险体现了“人人为我，我为人人” 的互助思想，它的数理依据是大数定律的合理分摊，化整为
［1 － 3 ］．零，因此大数法则是保险业存在、发展的基础根据中心极限定理，含有 n 个风险单位随机样本的
不同的大数定律只是对不同的 r． v 序列｛ X n ｝而言：（ 1 ） Chebysherv 大数定律：｛ X n ｝为一列两两不相 i = 1， 2 …；（ 2 ） Bernoulli 大关的 r． v 序列，若 DX i c， p）；频率 v A / n 依概率收敛数定律： X i i． i． d 于 B （ 1 ，（稳定）于概率；（ 3 ）泊松大数定律： X i ～ B （ 1 ， pi ）， i = 1， 2， … 且相互独立；即当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍具有稳定性．显然大数定律（ 2）、（ 3 ）是大数定律（ 1 ）的特例，而（ 1 ）是定理的特例．定理说明：在承保标的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保费与其获得赔款的期望值是相等的．（ Kolmogorov 强大数定律）设｛ X n ｝为 DX i n 一相互独立的 r． v 序列，若∑ i = 1 2 ＜ ∞ ，则｛ Xn ｝ i 定理 2 服从强大数定律．（ 3 ）也服从强大数定律．不论 n 多大，显然（ 2 ）、 vA 伯努利大数定律不能排除｛ ≠ p｝这一事件发生的 n 可能性，但强大数定律可保证这一事件的概率为 0 ．上面的大数定律都要求方差存在，以下辛欣大数定律去掉了这一假设，仅设期望存在，但要求 X i i． i． d．
n
a． s
a． s
a． s
p

中心极限定理在金融中的应用

中心极限定理在金融中的应用中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它是统计学中最为基础和最为重要的一条定理。

中心极限定理是指当样本容量足够大时，样本均值的分布趋向于正态分布，且随着样本容量的增大，这种趋势越来越明显。

在金融中，中心极限定理可以应用于风险评估、投资组合分析、资产定价等方面。

风险评估风险评估是金融中最为重要的问题之一，而中心极限定理可以帮助我们更加准确地评估风险。

通过中心极限定理，我们可以知道，一个样本的均值在大样本情况下必然服从正态分布。

因此，如果我们收集大量的风险数据并计算出其均值，可用样本均值的分布情况来评估整个风险的分布情况，帮助我们更好地进行风险管理和决策。

投资组合分析在投资组合分析中，中心极限定理可以用来评估投资组合收益的分布情况。

对于一个投资组合而言，它的收益往往受到多种因素的影响，这些因素可能是市场因素、行业因素、企业自身因素等。

而这些因素的影响会形成投资组合收益的随机波动性。

如果我们收集到足够的历史数据，并计算出投资组合的收益均值和标准差，通过中心极限定理，我们可以将投资组合的收益分布近似为正态分布，从而更好地进行投资决策。

资产定价资产定价是金融中一个重要的问题，而中心极限定理可以帮助我们定价资产。

在金融市场上，股票价格、债券价格等资产价格往往受到多种因素的影响。

如果我们将这些因素看做随机变量，并收集到大量的历史数据，可以通过中心极限定理将资产价格近似为正态分布，这有助于我们更准确地进行资产定价。

总之，中心极限定理在金融中有着广泛的应用。

它可以帮助我们更好地理解金融市场中的随机变量分布规律，精准地评估风险、分析投资组合、定价资产等，为金融决策提供了有力的支持。

5.2 中心极限定理

中心极限定理的客观背景（Central Limit Theorem(CLT)）在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的.而其中每一因素在总的影响中所起的作用都是微小的.这种随机变量往往近似地服从正态分布.该结论得益于高斯对测量误差分布的研究.Gauss(1777-1855)例如：考虑炮弹的射击误差.设靶心为坐标原点，弹着点的坐标为(X,Y)，X，Y分别表示弹着点与靶心的横向和纵向误差.我们来看造成误差的原因是什么？炮身在每次射击后，因震动而造成微小的偏差；每发炮弹外形上的细小差别引起空气阻力不同，由此出现的误差；每发炮弹内炸药的数量和质量上的微小差异而引起的误差；炮弹在前进时遇到的空气气流的微小扰动而造成的误差；等等许多原因，每种原因引起一个微小的误差，有的为正，有的为负，都是随机的.误差X 或Y 是这许多彼此间相互独立的随机小误差的总和，即n k k X X 1==∑考察有限个独立同分布随机变量和：12,n n S X X X =+++可否考虑用极限的方法来计算呢？1lim 1n n P S n με→∞⎛⎫-<= ⎪⎝⎭,n S n μ≈→∞2()D n σ=→∞n S n μ-n n Y n σ=在一些较松的条件下，和的极限分布就是正态分布呢，此类定理就是中心极限定理定理1（独立同分布的中心极限定理）设X 1, X 2,…是独立同分布的随机变量序列，且E (X i )=μ，D (X i )=σ2>0，i =1,2,…，则1lim n i i n X n P x n μσ=→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑222x t e dt π--∞=⎰x ()=Φ当n 较大时近似服从标准正态分布N (0,1).12n k k n X n Y n μσ=-=∑近似服从正态分布N (n μ,n σ2)（1）当n 较大时利用该定理，可以得到如下近似分布：（2）特别地，当n 较大时，近似服从正态分布N (μ,σ2/n )1n k n k Xn Y n σμ==+∑n k k X X n 11==∑例如：设随机变量X1,X2,…,X n独立同分布，都服从参数为λ的泊松分布，即Xi ~π(λ)，则nn iiS X n1~()πλ==∑取λ=1，当n=1,3,5,10,20时，Sn的分布律的图像如下所示.可以看出，当n 越来越大时，S n 的分布律的图像形状越来越像正态分布.0.0500.10.150.20.250.30.350.405101520253035n=20n=10n=5n=3n=1定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理）证明：设随机变量Y n 服从参数为n 和p (0<p <1)的二项分布，n =1,2,…,则对于任意的x ，有令n n Y np P x np p lim }(1)→∞-≤-222x t e dt π--∞=⎰x ()=Φi i A X i n i A 1,,1,...,0,⎧==⎨⎩第次试验发生第次试验不发生则X 1,X 2,…,X n 独立同分布，且E (X i )=p ，D (X i )=p (1−p ).设Y n 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，P (A )=p (0<p <1)则故由定理1，有i i A X i n i A 1,,1,...,0,⎧==⎨⎩第次试验发生第次试验不发生1n n i i Y X ==∑n i i n X n P x x n 1lim ()μσ=→∞⎧⎫-⎪⎪⎪⎪≤=Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑n n Y np P x x np p lim {}()(1)→∞-≤=Φ-定理表明，当n 较大，0<p <1时，于是，当n 较大，0<p <1时，Y n ~N (np ,np (1−p )).近似于标准正态分布N (0,1).n Y npnp p (1)--即，若Y ~b (n ,p )，则：Y ~N (np ,np (1−p ))近似例1.当辐射的强度超过每小时0.5毫伦琴（mr）时，辐射会对人的健康造成伤害.设一台彩电工作时的平均辐射强度是0.036（mr/h），方差是0.0081.则家庭中一台彩电的辐射一般不会对人造成健康伤害.但是彩电销售店同时有多台彩电工作时，辐射可能对人造成健康伤害.现在有16台彩电同时工作，问这16台彩电的辐射量可以对人造成健康伤害的概率.解：设Xi 为第i台彩电的辐射量，则EXi=0.036，DX i=0.0081，i=1,2, (16)则S=X1+X2+…+X16是16台彩电的总辐射量.即：这16台彩电以大约58%的概率会对人造成健康伤害.P S F (0.5)1(0.5)>≈-0.5160.0361()160.0081-⨯=-Φ⨯(0.211)0.58≈Φ=由中心极限定理，S ~N (16×0.036,16×0.0081)（近似）S =X 1+X 2+…+X 16是16台彩电的总辐射量，EX i =0.036，DX i =0.0081当辐射的强度超过每小时0.5毫伦琴时，会对人的健康造成伤害.例2.某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加某种医疗保险.已知该类人在一年内生该种病的概率为0.006.每个参加保险的人在年初付12元保险费，而在生病时可从公司领得1000元.问在此项业务活动中，（1）保险公司赔钱的概率是多少？（2）保险公司获得利润（暂不计管理费）不少于40000的概率是多少？解：令X表示10000个参加该种医疗保险的人中，一年内生该病的人数，易知：X~b(10000, 0.006)10000个人参加保险，得病的概率为0.06，每人保险费12元，生病时可得1000元.（1）保险公司赔钱的概率是多少？由棣莫佛-拉普拉斯定理，有120601()59.64-≈-Φ1(7.769)0≈-Φ≈EX =10000×0.006=60DX =10000×0.006×0.994=59.64X ~N (60,59.64) （近似）P (10000×12−X ×1000≤0)=P (X ≥120)≈1−F (120)X ~b (10000, 0.006)P X (1000012100040000)⨯-⨯≥X ~N (60,59.64) （近似）P X (80)=≤F (80)≈()59.64=Φ(2.59)0.9952=Φ=10000个人参加保险，得病的概率为0.06，每人保险费12元，生病时可得1000元.（2）保险公司获得利润（暂不计管理费）不少于40000的概率是多少？中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现钟形曲线这一值得注意的事实.。

5.2中心极限定理解析

2.李雅普诺夫定理
设随机变量 X 1 , X 2 ,…, X n 相互独立 , 且具有数学期望
2 和方差， E ( X k ) k , D( X k ) k 0 , ( k 1,2,) , 记
2 2 Bn k 若存在正数 0，使得当 n 时， k 1 n
X 400 1.1 1 P 1.147 400 0.19
1 (1.147) 0.1257
(2) 以Y表示有一名家长来参加会议的学生, 则
Y~b(400, 0.8)
P{Y 340}
Y 400 0.8 340 400 0.8 P 400 0.8 0.2 400 0.8 0.2
n n
X k n k 1 n
n
x}
x

1 t22 e dt ( x ) 2
说明
(1)在所给的条件下，当n无穷大
时， n个具有相同期望和方差的独立同分布的随机变量之和的标准化变量似服从标准正态分布

i 1 n
Yn
X i n

n
(2)虽然在一般情况下，我们很难求出 X X 2 X n
Y 400 0.8 P 2. 5 400 0.8 0.2
( 2.5) 0.9938
高尔顿钉板试验
高尔顿( Francis Galton,1822-1911) 英国人类学家和气象学家
共15层小钉
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1
X 25 20 25 i 30 25 i 1 P 25 0.995 25 0.995 25 0.995

中心极限定理及其应用——以定期寿险为例 Stone工作室270元

毕业论文开题报告一、题目：中心极限定理及其应用——以定期寿险为例二、研究意义：中心极限定理核心内容：只要n足够大，就可以把独立的随机变量和当成正态变量，所以在实际生活中可以利用它解决很多问题，并且这还有助于解释很多自然群体的频率，能够呈现出钟形曲线的原因。

从而正态分布变成概率论中最重要的部分，这也就奠定出中心极限定理的重要功绩。

中心极限定理在其他学科上也有重要的作用。

例如：数理统计中的参数估计、抽样调查、假设检验等；进一步来说，中心极限定理也为数理的统计在统计学中的应用问题作了铺路，用样本可以推断出总体的关键就是要掌握样本的特征值的分布情况。

中心极限定理表明：样本容量足够大时，未知总体的样本特征值也就越近似服从正态分布了。

从而，只要通过大量观察的方法就能获得到足够多的随机样本数，也就几乎可以把数理统计中出现的全部问题有了解决的方法，最后应用于统计学。

三、研究内容：中心极限定理产生的客观背景常见的中心极限定理德莫佛-拉普拉斯中心极限定理林德贝格-勒维中心极限定理中心极限定理的应用四、参考文献：[1]概率论与数理统计教程[M].魏宗书.北京：高等教育出版社，2005.[2]概率论[M].林正炎，苏中根.浙江：浙江大学出版社，2001.[3]朱朱，京江晚报，买保险得中老年人[N].2009-3-28，（4）[4]张永良，唐汇龙.南京审计学院学报,中心极限定理的两个应用[J].2005,2（4）：70-71[5]杨静平.北京：寿险精算基础[M].北京大学出版社，2002.[6]李晓林.第三卷[M].精算学原理：北京：经济科学出版社，1999.五、研究结果：本问通过在最常用的两个中心极限定理的基础上，讨论了其在定期寿险业、生产供应需求及决策问题中的应用问题。

首先，在寿险业中了解到：中心极限定理在保费的厘定中有指导性的作用，从而进一步讨论了老年寿险与年轻的区别，但不管从哪个角度，都应当具备偿还能力，也就是要应用中心极限定理对寿险公司做出计算，让受保人要有最低准备金。

中心极限定理及其初步应用

中心极限定理及其初步应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。

它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。

本文讨论了中心极限定理在定期寿险业、决策问题及生产供应需求三个方面的应用，说明其与现实有紧密的联系。

【关键词】中心极限定理，定期寿险, 决策问题【Abstract】The production of the central limit theorem has objective background, the most common forms are the De Moivre -Laplace central limit theorem and Lindeberg-Levy central limit theorem. They show that when n is sufficiently large and variance exists, the sum of n independence identity distribution random variables approximates normal distribution. So it has widespread application in reality. The article discusses the application of the central limit theorem in three aspects, which are the regular life insurance industry, the policy-making question and producti on’s supply and demand. They have the close relation with the reality.【Keywords】central limit theorem，regular life insurance, policy-making question目录第一章中心极限定理 (4)1.1中心极限定理产生的客观背景 (4)1.2常见的中心极限定理 (4)1.2.1德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 (4)1.2.2林德贝格-勒维中心极限定理 (4)1.3中心极限定理的意义 (5)第二章中心极限定理的应用 (6)2.1中心极限定理在定期寿险中的应用 (6)2.1.1保险学的概率论数学原理 (6)2.1.2定期寿险的保险金给付模型 (7)2.1.3定期寿险业的盈亏预测 (9)2.1.4实例分析 (10)2.2中心极限定理在决策问题中的应用 (11)2.3中心极限定理在生产供应需求中的应用 (14)2.1.1根据现有生产能力及用户需求状态，估算能满足社会需求的可靠程度 (14)2.1.2根据社会需求状态来确定生产任务 (15)2.1.3根据需求及产品质量情况来确定生产量 (15)2.1.4例题分析 (16)第三章结束语 (19)参考文献 (20)致谢 (21)附录一：文献综述 (22)附录二：外文文献译文1 (25)原文1 (31)译文2 (37)原文2 (43)附录三：远雄人寿千喜男性一年定期寿险费率表 (49)附录四：中国人寿保险业经验生命表（1990－1993）（男性） (50)第一章中心极限定理1.1 中心极限定理产生的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹射击的落点与目标的偏差等。

chap5-2 中心极限定理

Q 比如, 盈利的概率要到95%, 即 1 n 0.95, 500
查表得 Q 1 n 1.645, 500 500 1.645 Q 500 n
例2
某市保险公司开办一年人身保险业务. 被保险人每年需交付保险费160元. 若一年内发生重大人身事故,其本人或家属可获2万元赔金. 己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005.现有5000人参加此项保险. 求:保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率.
i
5000 i 1
20 np np (1 p )
X
i
np
np (1 p )
5000
30 np } np (1 p )
5 5 i 1 P{ } 25 0.995 25 0.995 25 0.995
X
25
(1) (1) 2(1) 1 0.6826
定理1（独立同分布下的中心极限定理）
且E(Xi)= ，Var(Xi)=
Yn
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量序列，
X
i 1
n
， i=1,2,…，则
2
i
n
的分布函数 Fn ( x) 收敛到标准正态分布函数即
n
lim Fn ( x) lim P{Yn x} -
第五章第二节中心极限定理
中心极限定理的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.
如瞄准时的误差，
空气阻力所产生的误差，
炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.

概率统计模型在保险业中的应用研究

概率统计模型在保险业中的应用研究作者：徐文祥韦俊葛玉凤高侨来源：《科技资讯》 2014年第28期徐文祥韦俊葛玉凤高侨（盐城工学院江苏盐城 224051）摘要:该文阐述了概率统计和日常生活的联系的紧密性和应用范围广泛性,尤其是在当今金融市场的繁荣与发展时代,概率统计无处不用,该文将概率统计中的有关随机变量、中心极限定理、大数定理、全概率、古典概型等重要结论应用到保险业中,对某些重要案例进行了研究,建立了切实可行的统计模型,并给出求解,进一步说明了概率统计与保险联系,文章中对案例研究,能深入浅出,丰富有趣,有一定的应用意义。

关键词:概率统计应用保险模型中图分类号:G71 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2014)10(a)-0236-02概率统计和日常生活的联系非常紧密,应用范围广泛,一些看似深奥或难以做出选择的问题,若能使用概率统计的知识,将其转化为数学问题,那么很多都可以较轻松的解决。

随着金融市场的繁荣与发展,以及概率统计的不断进步与创新,笔者就概率统计在保险业中的应用,利用数据区间分布研究社会经济状况进行了具体的探讨。

17世纪西方工商业快速发展,社会保险业应运而生,概率统计作为数学的一门重要分支渐渐被人所熟知。

保险公司需要知道各类意外事件如火灾、水灾、意外死亡等随机事件出现的概率,以便确定自己的理赔金额和保险金额。

有人会想,如果在保险期间,投保意外伤害险的被保险人受伤频繁,保险公司会亏本吗？显然,答案是肯定的。

保险经营的主要科学依据是大数定理,大数定理是概率论中重要的理论,有广泛的实际应用背景,它主要解决的问题是在什么条件下一个随机变量序列的算术平均值收敛于所期望的平均值。

随机试验中,一次试验出现的结果是随机的,大量重复试验出现的结果的平均值却呈现一定的规律性和稳定性,几乎总是接近于某个确定的值。

如：相同条件下抛掷一枚均质硬币,掷的次数越多,字面向上的频率越接近0.5,反之则越远离0.5的这个期望值,即抛掷次数越少,统计得出的相应频率与客观概率可能有较大差距;次数越多,统计频率与客观概率相差越小。