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-中心极限定理在保险业务中的应用

中心极限定理在保险业务中的应用

学生姓名：许红红指导教师:赵连阔

一、引言

保险是以合同的形式来确定双方经济关系，以投保人缴纳保险费所建立起来的保险基金，对保险合同规定范围内的意外所造成的损失，进行经济补偿或给付的一种经济形式。保险费是根据数理统计原理进行制定，对未来发生的成本进行预测和估算，将预期赔偿金额作为纯保险费来收取的。为避免和减少未来风险因素带来的经济损失，保险公司采取一些方法保证自己的偿付能力。

在实际生活中有诸如交通事故发生率、人口死亡率等许多随机因素影响着保险的预期利润和偿付能力，这些随机因素是相互独立的，且每一个因素的影响在总结果中所起到的作用都是很小的随机变量。这些随机变量都通常近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景条件。

二、中心极限定理

结合上文中心极限定理的产生的客观背景，我们给出中心极限定理的具体内容。我们把描述或验证大量随机变量和的极限是正态分布的那些定理通称为中心极限定理。但其中最常见、最基本且应用最广泛的是两个定理德莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布的正态近似）和林德贝格—勒维中心极限定理（独立同分布下的中心极限定理）。

(一)德莫弗——拉普拉斯定理 设n

重伯努利试验(将事件A 重复进行n 次)中，事件

A 在每次试验中出现的概率为 ()01p p <<，记n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，且记*

n Y =

，其中1.q p =-

则对任意实数y ，有

{}()2

*2

lim .

t y

n n P Y y dt y -→+∞

≤==Φ⎰

这个定理可以说是二项分布的近似正态分布，当n 充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。

即(),A B n p :，其中1q p =-，则当n 很大时，有

()P a X b ≤≤≈-. (二)林德贝格——勒维中心极限定理

设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且()()2,0i i E X Var X μσ==>记 *

n Y

则对任意实数y ，有

*lim ()

n n P Y y ϕ→+∞

≤=22

()t y

y e dt -

-∞

=

.

此定理也可称为独立同分布中心极限定理且应用十分广泛，它只假设{}n X 独立同分布、方差存在，且是随便变量的序列，不管原来的分布是什么，只要n 充分大，就可以用正态分布去逼近。于是有：

（1）当n 充分大时，随机变量序列

()0,1n

i

X

n N μ

-∑；

（2）当n 很大时，独立同分布的随机变量i X 的和1

n

i i X =∑近似服从正态分布

()2,N n n μσ.

以上定理适用于那些可以看作由许多微小、独立的随机因素作用的总结果，而每一个因素的影响在总结果中所起到的作用都是很小的随机变量，一般都可以近似地服从正态分布的理论依据，因而正态分布在理论意义上和应用上都具有极大的重要性。

三、中心极限定理的应用

我们了解到保险主要是对死亡、事故等所造成的经济损失而进行的一种赔偿，同时这些因素对保险公司的影响是相互独立分布的，那么究竟如何利用中心极限定理来进行经济估算与预测呢？ (一)保险学的概率论数学原理

保险体现了“人人为我，我为人人”的互助思想。

在生活中比如从事煤矿井下生产作业的工人有很大的生命风险，这就需要有风险单位来计算发生危险后的赔偿金额。风险单位在保险中是指发生一次风险事故可能造成的人或事物的最大损失范围。风险单位也是风险独立的单位，这就使保险人可以据此向每个潜在的被保险人收取同样的保费。且根据中心极限定理，符合正态分布是含有n 个风险单位的随机样本的平均损失，这个结论对保险费率的制定非常重要。

保险公司对各险种的收费标准是以同期银行利率进行参照，再经过核算后而制定的，所以保险公司在根据大量的损失统计资料精算出预期损失概率并制定出合理的保

险费率的基础上也应尽可能地多承保风险单位，有足够的资金赔付保险期内发生的索赔，从而使保险公司运营更加平稳，也就越有利于投保人和被保险人。 (二) 保险公司的偿付能力

在估算保险公司的偿付能力之前我们先来了解保险费的结构。 2.1保险费的结构

保险费=纯保险费+附加保险费。纯保险费是指用于投资未来风险的预期赔偿金额。附加保险费指各种业务费用、预计利润、安全费等。

从保险费的结构中可知：纯保险费是用于投资风险发生的赔偿和给付，且纯保险费的预算受到未来风险大小的影响，但附加保险费不受任何风险的影响，因此纯保险费直接关系到保险公司的偿付能力。

下面我们来建立一个数学模型：

设X 为某一定时期内保险人所面临的总赔偿量,且X 为一随机变量。设该时期内共有n 个投保人，每个投保人投保风险的索赔量分别为1,,n X X K ，则有

1n X X X =++K .即保险人的总损失为n 个个体损失之和，保险人承保风险X 所收取的

保险费为()E X （暂不考虑利息的影响）。

假设：1,,n X X K 相互独立且具有相同的分布，即保险人承保n 个同质风险是彼此互不影响的。在此期间，没有新的投保人加入该项保险业务，也没有人中途退保，则

n 为固定常数。

当保险公司承保量n 充分大时，由中心极限定理可知随机变量

X E X -近似正

态于()0,1N ，这样我们就可简化相关的运算。

设α为可靠性系数，k 为一常数（预期赔款金额），则保险公司以α的概率保证

实际发生的损失不超过预先确定的数k ，用数学式子表示()P X k α≤=， 它等价于

X E X k E X P α⎛⎫

--≤

=.

2.1偿付能力的应用

1.安全附加量与偿付能力

由于纯保险的估算受到未来风险大小的影响,造成与实际赔付间的偏差,保险公司须在事前处理好这些偏差，因此安全附加量则在实际估算纯保险费起到了重要的作用。安全附加量就是为了预防偏差而加收的风险保费，一般表示为()E X λ，其中λ为安全附加系数，()E X 为赔款总额的期望值。举例来说明λ的求法。

例 1 某保险公司承保了1000份同质保单，每份保单的保险金额为1000元，其发生索赔的概率为0.2.如果保险公司在签单时，希望有95%的把握应付赔付，那么在初始保险费中应含多少安全附加量？ 解

设X 为所以保单总的赔偿量，有1000个人投保，且这1000个人是互不影响且独立同分布的随机序列

令11000X X X =++K ,

()0,1X nE X N -:

，也

()0,1X E X N -:.()()i i E X X 其中，为每份保单的赔款期望，Var 是其方差,

1000n =,则

()10000.2200i E X =⨯=，

()()10000.210.2160000

i Var X =⨯⨯-=(

)1,2,...,1000

i =