20162017学年江苏省徐州市高一(上)期末数学试卷

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江苏省徐州市高一数学上学期期末考试试题(扫描版)

2016—2017学年度第一学期期末抽测高一数学试题参考答案一、填空题 1．{}0,1 2．π23．(2,1) 4．12 5．12- 6．[e,)+∞ 7．108．12 9．6 10．35- 11．1 12．0 13．[1,2)[4,)+∞ 14．{}4,24-二、解答题15．（1）当1a =-时，[)1,1B =-，由于[)0,3A =，所以[)1,3A B =-．…………6分（2）由A B B =，得B A ⊆，………………………………………………………9分于是0,23,a a ⎧⎨⎩+≥≤即01a ≤≤，所以，a 的取值范围是[]0,1．…………………………………………………14分16．（1）因为145⋅=-a b ，所以142cos 2sin 5αα-+=，即7sin cos 5αα-=，……………………………………………………………2分于是22749(sin cos )12sin cos ()525αααα-=-==，从而242sin cos 25αα=-．………………………………………………………4分因此，2241(sin cos )12sin cos 12525αααα+=+=-=．……………………6分（2）因为//a b ，所以2cos (2)sin 0αα--⋅=，即cos sin 0αα+=，……………8分于是tan 1α=-，………………………………………………………………10分因此，πsin(π)sin()sin cos 2αααα-⋅+=⋅ …………………………………12分222sin cos tan 1sin cos tan 12αααααα⋅===-++．………14分 17.（1）根据表中已知数据可得：3A =，ππ62ωϕ+=，2π3π32ωϕ+=，解得2ω=，π6ϕ=. 数据补全如下表：x ωϕ+π2 π 3π22π xπ12- π6 5π12 2π3 11π12sin()A x ωϕ+ 0 3 0 3-0 …………………………………………………………………………………………3分函数表达式为π()3sin(2)6f x x =+.……………………………………………5分（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，所以π()3sin()6g x x =+．………………………………………7分当ππ[,]33x ∈-时，πππ[,]662x +∈-，所以π1sin()[,1]62x +∈-．于是函数)(x g 的值域为3[,3]2-．………………………………………………9分（3）由（1）可得，π()3sin(22)6h x x q =++，由()h x 图象的一个对称中心为π(,0)12可得，π()012h =，所以ππ3sin(22)0126q ?+=，即πsin(2)03q +=，………………………12分从而π2π,3k k Z q +=?，解得ππ,26k k Z q =-?，由0q >可得，当1k =时，q 取得最小值π3.…………………………………14分18．（1）3m =-时，()3,1=--a ，于是3⋅=-a b ，……………………………3分又2=a ，1=b ，所以3cos 2θ⋅==-a b a b ，因为[]0,θ∈π，所以6θ5π=．…………………6分（2）①因为⊥a b ，所以0⋅=a b ，即()131022m -⨯=+，得3m =．………8分②3m =时，2=a ，1=b ，由()()23t k t ⎡⎤-⊥-⎣⎦++a b a b ，得()()230t k t ⎡⎤-⋅-=⎣⎦++a b a b ，因为0⋅=a b ，所以()22230k t t --=+a b，于是()234t t k -=，…………12分故()()23222341174324444k t t t t t t t t t -==-=+-+++，当2t =-时，2k t t +取最小值74-．…………………………………………16分19．（1）当甲的用水量不超过5吨时，即55x ≤，1x ≤时，乙的用水量也不超过5吨，()2.65320.8y x x x ==+；…………………………………………………2分当甲的用水量超过5吨，乙的用水量不超过5吨，即55,35,x x >⎧⎨⎩≤513x <≤时，()5 2.64553 2.627.87y x x x =⨯⨯-⨯=-++；……………………………4分当乙的用水量超过5吨，即35x >，53x >时， ()()25 2.6435553214y x x x =⨯⨯⨯⎡--⎤=-⎣⎦++.…………………………6分所以20.8,01,527.87,1,353214,.3x x y x x x x ⎧⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪->⎪⎩≤≤≤ …………………………………………………7分（2）由于()y f x =在各段区间上均单调增，当[]0,1x ∈时，()134.7y f <≤；……………………………………………9分当5(,)3x ∈∞+时，5()34.73y f >>；…………………………………………11分当5(1,]3x ∈时，令27.8734.7x -=，解得 1.5x =.…………………………13分所以甲户用水量为57.5x =（吨），付费15 2.6 2.5423y =⨯⨯=+(元)；乙户用水量为3 4.5x =（吨），付费2 4.5 2.611.7y =⨯=(元)．………………………………………………15分答：甲户该月的用水量为7.5吨、水费为23元，乙户该月的用水量为4.5吨、水费为11.7元．………………………………16分 20．（1）由函数2()45f x x x a =++-的对称轴是2x =-，知()f x 在区间[]1,1-上是增函数， …………………………………2分因为函数在区间[]1,1-上存在零点，则必有： ()()1010f f ⎧-⎪⎨⎪⎩≤≥即800a a -⎧⎨⎩≤≥，解得08a ≤≤，故所求实数a 的取值范围为[]0,8． ………………………………4分（2）若对任意的[]11,2x ∈，总存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x =成立，只需函数()y f x =的值域是函数()y g x =的值域的子集． …………………6分当0a =时，2()45f x x x =+-，[]1,2x ∈的值域为[]0,7， ………………… 7分下面求1()427x g x m m -=⋅-+，[]1,2x ∈的值域．令14x t -= ，则[1,4]t ∈，27y mt m =-+①当0m =时，()7g x =为常数，不符合题意，舍去；②当0m >时，()g x 的值域为[]7,27m m -+，要使[][]0,77,27m m ⊆-+，需70277m m -⎧⎨+⎩≤≥，解得7m ≥；③当0m <时，()g x 的值域为[]27,7m m +-，要使[][]0,727,7m m ⊆+-，需2707m m +⎧⎨-⎩≤≥7，解得72m -≤；综上，m 的取值范围为[)7,7,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦． ……………………………10分（3）由题意知2640t t <⎧⎨->⎩，可得32t <． ………………………………… 12分①当6t -≤时，在区间[],2t 上，()f t 最大，(2)f -最小，所以2()(2)4464f t f t t t --=++=-，即2820t t +-=，解得432t =--或432t =-+（舍去）； ②当26t -<-≤时，在区间[],2t 上，(2)f 最大，(2)f -最小，所以(2)(2)1664f f t --==-，解得52t =-；③当322t -<<时，在区间[],2t 上，(2)f 最大，()f t 最小，所以2(2)()41264f f t t t t -=--+=-，即26t =，解得6t =或6t =-，所以此时不存在常数t 满足题意；综上所述，存在常数t 满足题意，432t =--或52t =-．……………………16分。

(2021年整理)江苏省徐州市2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

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2015—2016学年江苏省徐州市高一（上)期末数学试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分,将答案填在答题纸上）A=｛2｝,则m= ．1．已知全集U=｛1,2,3}，A={1，m｝，∁U（x﹣1）的定义域是．2．函数y=log23．幂函数f(x）=xα的图象经过点（2，），则α=．4．sin240°=．5．已知向量，，且，则x的值为．6．若sinα=，,则tanα的值为．7．已知，，且，则向量与的夹角为．∈(k,k+1），其中k∈Z，则k= ．8．若方程lnx+x=3的根x9．若角α的终边经过点 P（1，2），则sin2α﹣cos2α=．10．已知向量=（2，1）,=（1,﹣2），若m=（9,﹣8)（m，n∈R），则m+n的值为．11．已知函数g（x)=x3+x，若g（3a﹣2）+g(a+4）＞0，则实数a的取值范围是．12．若函数f(x）=log（2x2+x）(a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0,则f（x）的a单调递增区间是．13．已知函数f（x）=,若关于x的方程f2（x)+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是．14．若方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在[0,2π)上有且只有两解，则实数m的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知集合 A=｛x｜0≤x≤5，x∈Z｝,B={x｜≤2x≤4,x∈Z}．(1）用列举法表示集合A和B；（2）求A∩B和A∪B；（3）若集合C=（﹣∞，a），B∩C中仅有3个元素,求实数a的取值范围．16．已知函数f(x）=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，），若函数y=f(x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，当时,函数y=f(x）取得最大值3．（1）求函数f（x）的解析式；(2）求函数f（x）的单调减区间；(3）若，求函数f（x）的值域．17．设向量，,且．求：（1)tanα；（2）；(3）sin2α+sinαcosα．18．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，且E为对角线AC上一点．（1）求•；（2）若=2，求•；（3）连结BE并延长,交CD于点F，连结AF，设=λ（0≤λ≤1）．当λ为何值时，可使•最小,并求出的最小值．19．某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润 P（x)与投资额x成正比，其关系如图1;乙产品的利润Q（x）与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）．(1）试写出利润 P(x）和Q（x）的函数关系式；（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？20．已知函数f（x）=a x+a﹣x(a＞0且a≠1）．(1)判断函数f（x）的奇偶性；（2)设g（x）=，当x∈（0，1）时,求函数g(x）的值域；（3)若f（1)=，设h（x)=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）的最小值为﹣7，求实数m的值．2015—2016学年江苏省徐州市高一(上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上)1．已知全集U=｛1，2，3｝，A=｛1，m}，∁A={2}，则m= 3 ．U【考点】补集及其运算．【专题】计算题;集合思想；定义法;集合．【分析】由全集U及A的补集,确定出A，再根据元素集合的特征即可求出m．A=｛2}，【解答】解：∵全集U=｛1,2，3｝,且∁U∴A={1，3}∵A=｛1，m}，∴m=3．故答案为：3．【点评】此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键．（x﹣1）的定义域是（1,+∞）．2．函数y=log2【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．【解答】解:∵y=log（x﹣1）,∴x﹣1＞0，x＞12（x﹣1)的定义域是（1，+∞）函数y=log2故答案为（1，+∞）【点评】本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．3．幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则α=﹣2 ．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题；方程思想．【分析】幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），故将点的坐标代入函数解析式,建立方程求α【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象经过点（2,),∴2α==2﹣2∴α=﹣2故答案为：﹣2．【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是利用幂函数的解析式建立关于参数的方程求参数．4．sin240°=．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】由诱导公式sin（180°+α)=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：根据诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα得：sin240°=sin（180°+60°)=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了学生利用诱导公式sin（180°+α）=﹣cosα进行化简求值的能力，以及会利用特殊角的三角函数解决问题的能力．5．已知向量，，且，则x的值为．【考点】平面向量共线（平行)的坐标表示．【专题】转化思想;构造法；平面向量及应用．【分析】根据平行向量或共线向量的坐标交叉相乘差为0，构造一个关于x的方程，解方程即可．【解答】解:∵向量，,且，∴3x﹣（﹣1）•（﹣1)=0,解得x=．故答案为：．【点评】本题考查了平行向量与共线向量的坐标表示与应用问题，是基础题目．6．若sinα=,，则tanα的值为﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；分析法;三角函数的求值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系的运用可先求cosα，从而可求tanα的值．【解答】解:∵sinα=,,∴cosα==﹣=﹣,∴tan==﹣．故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．7．已知,,且，则向量与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】设向量与的夹角为θ，根据向量的数量积运算即可得到cosθ=，问题得以解决．【解答】解：设向量与的夹角为θ，，，且，∴（3）•(）=|3｜•｜|cosθ=3×10××12cosθ=36，∴cosθ=，∵0≤θ≤π，∴θ=，故答案为:．【点评】本题考查了向量的数量积运算，以及向量的夹角公式,和三角函数值,属于基础题．8．若方程lnx+x=3的根x∈(k，k+1），其中k∈Z，则k= 2 ．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题;函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得可得x0是函数f(x）=lnx+x﹣3 的零点．再由f（2）f（3)＜0,可得x∈（2，3),从而求得 k的值．【解答】解：令函数f(x）=lnx+x﹣3，则由x0是方程lnx+x=3的根,可得x是函数f（x)=lnx+x﹣3 的零点．再由f(2)=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0，f(3）=ln3＞0，可得f(2）f（3）＜0，故x∈(2，3），∴k=2，故答案为 2．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，函数的零点与方程的根的关系,体现了转化的数学思想，属于中档题．9．若角α的终边经过点 P(1，2)，则sin2α﹣cos2α=．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；定义法;三角函数的求值．【分析】由已知条件利用任意角的三角函数定义分别求出sinα，cosα,由此能求出结果．【解答】解:∵角α的终边经过点 P(1，2），∴,∴sin2α﹣cos2α=（）2﹣（）2=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角三角函数的定义的合理运用．10．已知向量=（2，1），=（1，﹣2)，若m=(9,﹣8）（m，n∈R），则m+n的值为7 ．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】方程思想;转化法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的加法运算,利用向量相等列出方程组，求出m、n的值即可．【解答】解：∵向量=（2，1),=(1，﹣2），∴m=（2m+n,m﹣2n）=（9，﹣8），即，解得，∴m+n=7．故答案为：7．【点评】本题考查了平面向量的加法运算与向量相等的应用问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题．11．已知函数g（x）=x3+x，若g（3a﹣2）+g(a+4）＞0,则实数a的取值范围是a＞﹣．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得函数g(x)为奇函数，并且是增函数；进而将g（3a ﹣2）+g（a+4）＞0变形为g（3a﹣2）＞﹣g（a+4）=g（﹣a﹣4），由函数的单调性可将其转化为3a﹣2＞﹣a﹣4，解可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数g(x）=x3+x，有g(﹣x)=﹣x3﹣x=﹣g(x），即函数g（x）为奇函数；而g（x）=x3+x，g′（x）=2x2+1,则g′(x)≥0恒成立，即函数g（x）为增函数;若g（3a﹣2）+g（a+4)＞0,即g（3a﹣2)＞﹣g（a+4）=g（﹣a﹣4）,又由函数g（x）为增函数,则可以转化为3a﹣2＞﹣a﹣4,解可得a＞﹣；即a的取值范围是a＞﹣；故答案为：a＞﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定与性质的运用，关键是判断并运用函数的奇偶性与单调性．12．若函数f(x）=log（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f(x)＞0,则f(x)的单调a递增区间是．【考点】对数函数的单调性与特殊点;函数恒成立问题．【专题】计算题．【分析】本题要根据题设中所给的条件解出f（x)的底数a的值,由x∈，得2x2+x∈（0，1），至此可由恒有f(x）＞0，得出底数a的取值范围，再利用复合函数单调性求出其单调区间即可．（2x2+x）（a＞0，a≠1)在区间恒有f（x)＞0，【解答】解：函数f（x）=loga由于x∈，得2x2+x∈（0，1），又在区间恒有f（x）＞0，故有a∈（0,1)对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣）故应填（﹣∞，﹣）【点评】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，在本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围,解决本题的关键．13．已知函数f（x）=,若关于x的方程f2（x）+bf(x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是(﹣，6﹣2）∪［﹣2，﹣）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题;作图题；数形结合;分类讨论；函数的性质及应用．【分析】作函数f（x）=的图象,从而可得x2+bx+3b﹣2=0有2个不同的实数根，从而根据根的不同位置求解即可．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，,∵关于x的方程f2(x）+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，∴x2+bx+3b﹣2=0有2个不同的实数根，令g（x）=x2+bx+3b﹣2，若2个不同的实数根都在［﹣2，2）上，则，解得，﹣＜b＜6﹣2，若2个不同的实数根都在（3，+∞）上，则，无解；若分别在［﹣2，2），（3，+∞）上,令g(x）=x2+bx+3b﹣2，则,解得,﹣2≤b＜﹣;故答案为：（﹣，6﹣2)∪［﹣2，﹣）．【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用．14．若方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在［0，2π）上有且只有两解,则实数m的取值范围是（﹣1，1)∪｛﹣｝．【考点】三角函数的化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在[0，2π）上有且只有两个交点，即函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（﹣1,1）上有且只有一个交点，数形结合求得m的范围．【解答】解：由于方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在［0，2π）上有且只有两解,故函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在［0，2π）上有且只有两个交点．由于sinx在(﹣1，1）上任意取一个值，在[0,2π)上都有2个x值和它对应，故令t=sinx∈［﹣1，1]，则函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（﹣1,1）上有且只有一个交点，如图所示:∵当t=﹣时，y=﹣，故 1＜m+2＜3或m+2=﹣，求得﹣1＜m＜1或m=﹣，故答案为：（﹣1，1)∪{﹣}．【点评】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，满分90分。

2016-2017学年江苏省徐州市高一(上)期末数学试卷

2016-2017学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．（5分）函数y=3tan（2x+）的最小正周期为．3．（5分）已知点A（﹣1，2），B（1，3），则向量的坐标为．4．（5分）若指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f （﹣1）的值为．5．（5分）cos240°的值等于．6．（5分）函数f（x）=的定义域是．7．（5分）已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则||=．8．（5分）若偶函数f（x）满足f（x+π）=f（x），且f（﹣）=，则f（）的值为．9．（5分）设函数f（x）=则f（log214）+f（﹣4）的值为．10．（5分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为．11．（5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则f（）的值为．12．（5分）平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足：=3，=2，则=．13．（5分）设函数f（x）=，若函数f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知不等式（mx+5）（x2﹣n）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整数，则m+n的取值的集合为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知集合A=[0，3），B=[a，a+2）．（1）若a=﹣1，求A∪B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．16．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．（1）若=，求（sinα+cosα）2的值；（2）若，求sin（π﹣α）•sin（）的值．17．（14分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数g（x）的值域；（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若=h（x）图象的一个对称中心为（），求θ的最小值．18．（16分）已知向量=（m，﹣1），=（）（1）若m=﹣，求与的夹角θ；（2）设．①求实数m的值；②若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），求的最小值．19．（16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）2016-2017学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．2．（5分）函数y=3tan（2x+）的最小正周期为．【解答】解：由正切函数的周期公式得T=，故答案为：3．（5分）已知点A（﹣1，2），B（1，3），则向量的坐标为（2，1）．【解答】解：点A（﹣1，2），B（1，3），则向量=（1﹣（﹣1），3﹣2）=（2，1）．故答案为：（2，1）．4．（5分）若指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f（﹣1）的值为．【解答】解：指数函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（3，8），∴8=a3，解得a=2，∴f（x）=2x，∴f（﹣1）=2﹣1=，5．（5分）cos240°的值等于﹣．【解答】解：由题意得，cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣．故答案为：﹣．6．（5分）函数f（x）=的定义域是[e，+∞）．【解答】解：要使原函数有意义，则﹣1+lnx≥0，即lnx≥1，解得x≥e．∴函数f（x）=的定义域是[e，+∞）．故答案为：[e，+∞）．7．（5分）已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则||=．【解答】解：由题意可得||====，故答案为：．8．（5分）若偶函数f（x）满足f（x+π）=f（x），且f（﹣）=，则f（）的值为．【解答】解：由题意，f（x+π）=f（x），可知函数的周期T=π，则f（）=f（）∵f（﹣）=，f（x）是偶函数．∴f（）=即f（）的值为．9．（5分）设函数f（x）=则f（log214）+f（﹣4）的值为6．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（log214）=7，f（﹣4）=﹣1，∴f（log214）+f（﹣4）=6，故答案为：6．10．（5分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为．【解答】解：函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，即x+4=1，解得：x=﹣3，则y=4故P的坐标为（﹣3，4），角α的终边经过点P，则cosα=．故答案为：．11．（5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则f（）的值为1．【解答】解：将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sinω（x﹣）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则﹣=，∴T==π，∴ω=2，f（x）=sin2x，则f（）=sin=1，故答案为：1．12．（5分）平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足：=3，=2，则=9．【解答】解：∵=3，=2，∴，，==．∴==，==﹣．∴=（）•（﹣）=﹣=36﹣=9．故答案为：9．13．（5分）设函数f（x）=，若函数f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是1≤a＜2，或a≥4．【解答】解：∵y=2x，x＜2，0＜2x＜4，∴0＜a＜4时，2x﹣a=0，有一个解，a≤0或a≥4，2x﹣a=0无解∵x2﹣3ax+2a2=（x﹣a）（x﹣2a），∴当a∈（0，1）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在[1，+∞）上无解；当a∈[1，2）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在[1，+∞）上有且仅有一个解；当a∈[2，+∞）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在x∈[1，+∞）上有且仅有两个解；综上所述，函数f（x）恰有2个零点，1≤a＜2，或a≥4故答案为：1≤a＜2，或a≥414．（5分）已知不等式（mx+5）（x2﹣n）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整数，则m+n的取值的集合为{﹣4，24} ．【解答】解：当n≤0 时，由（mx+5）（x2﹣n）≤0，得到mx+5≤0 在x∈（0，+∞）上恒成立，则m不存在；当n＞0 时，由（mx+5）（x2﹣n）≤0，可设f（x）=mx+5，g（x）=x2﹣n，那么由题意可知：，再由m，n是整数得到或，因此m+n=24或﹣4．故答案为：{﹣4，24}．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知集合A=[0，3），B=[a，a+2）．（1）若a=﹣1，求A∪B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A=[0，3），B=[a，a+2）=[﹣1，1），∴A∪B=[﹣1，3）；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，∴，解得：0≤a≤1．16．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．（1）若=，求（sinα+cosα）2的值；（2）若，求sin（π﹣α）•sin（）的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．=2sinα﹣2cosα=，∴解得：sinα﹣cosα=，两边平方，可得：1﹣2sinαcosα=，解得：2sinαcosα=﹣，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1﹣=．（2）∵，∴2cosα+2sinα=0，解得：cosα+sinα=0，∴两边平方可得：1+2sinαcosα=0，解得：sinαcosα=﹣，∴sin（π﹣α）•s in（）=sinα•cosα=﹣．17．（14分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：﹣（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数g（x）的值域；（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若=h（x）图象的一个对称中心为（），求θ的最小值．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=3，ω=2，φ=，数据补全如下表：函数表达式为f（x）=3sin（2x+）．（2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到图象对于的函数解析式为：g（x）=3sin（x+）．由x∈[﹣，]，可得：x+∈[﹣，]，可得：sin（x+）∈[﹣，1]，可得：函数g（x）=3sin（x+）∈[﹣，3]．（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若h（x）图象的一个对称中心为（），由（Ⅰ）知f（x）=3sin（2x+），得g（x）=3sin（2x+2θ+）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ+=kπ，解得x=﹣θ，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令：﹣θ=，解得θ=﹣，k∈Z．由θ＞0可知，当k=1时，θ取得最小值．18．（16分）已知向量=（m，﹣1），=（）（1）若m=﹣，求与的夹角θ；（2）设．①求实数m的值；②若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），求的最小值．【解答】解：（1）向量=（m，﹣1），=（），若m=﹣，与的夹角θ，则有cosθ===﹣，∴θ=．（2）①设，则=﹣=0，∴m=．②由①可得，=（，﹣1），=﹣=0，若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），故有[+（t2﹣3）]•（﹣k+t）=0，∴﹣k+[﹣k（t2﹣3）+t]+t（t2﹣3）=﹣k•4+0+t（t2﹣3）=0，∴4k=t（t2﹣3），∴=+t==≥﹣，当且仅当t=﹣2时，取等号，故的最小值为﹣．19．（16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．【解答】解：（1）由题意知，x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x=．则当0≤x≤1时，y=（5x+3x）×2.6=20.8x当1＜x≤时，y=5×2.6+（5x﹣5）×4+3x×2.6=27.8x﹣7，当x＞时，y=（5+5）×2.6+（5x+3x﹣5﹣5）×4=32x﹣14；即得y=（2）由于y=f（x）在各段区间上均单增，当x∈[0，1]时，y≤f（1）=20.8＜34.7；当x∈（1，]时，y≤f（）≈39.3＞34.7；令27.8x﹣7=34.7，得x=1.5，所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=5×2.6+2.5×4=23元乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=4.5×2.6=11.7元20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）【解答】解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x=﹣2，故f（x）在区间[﹣1，1]递增，∵函数在区间[﹣1，1]存在零点，故有，即，解得：0≤a≤8，故所求实数a的范围是[0，8]；（2）若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，a=0时，f（x）=x2+4x﹣5，x∈[1，2]的值域是[0，7]，下面求g（x），x∈[1，2]的值域，令t=4x﹣1，则t∈[1，4]，y=mt﹣2m+7，①m=0时，g（x）=7是常数，不合题意，舍去；②m＞0时，g（x）的值域是[7﹣m，2m+7]，要使[0，7]⊆[7﹣m，2m+7]，只需，解得：m≥7；③m＜0时，g（x）的值域是[2m+7，7﹣m]，要使[0，7]⊆[2m+7，7﹣m]，只需，解得：m≤﹣，综上，m的范围是（﹣∞，﹣]∪[7，+∞）；（3）由题意得，解得：t＜，①t≤﹣6时，在区间[t，2]上，f（t）最大，f（﹣2）最小，∴f（t）﹣f（﹣2）=t2+4t+4=6﹣4t，即t2+8t﹣2=0，解得：t=﹣4﹣3或t=﹣4+3（舍去）；②﹣6＜t≤﹣2时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（﹣2）最小，∴f（2）﹣f（﹣2）=16=6﹣4t，解得：t=﹣；③﹣2＜t＜时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，∴f（2）﹣f（t）=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t，即t2=6，解得：t=或t=﹣，故此时不存在常数t满足题意，综上，存在常数t满足题意，t=﹣4﹣3或t=﹣．。

江苏省徐州市2015-2016学年高一上学期期末抽测数学试卷

2015-2016学年度第一学期期末抽测高一年级数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1.已知全集{}U 1,2,3=，{}1,m A =，{}U 2A =ð，则m = ．2.函数()2log 1y x =-的定义域为．3.若幂函数()f x x α=的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则实数α= ． 4.sin 240=．5.已知向量()1,3a =-，(),1b x =-，且//a b，则x 的值为． 6.若4sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值为． 7.已知10a =，12b =，且()13365a b ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，则向量a与b的夹角为． 8.若方程ln 3x x +=的根()0,1x k k ∈+，其中k ∈Z ，则k = ． 9.若角α的终边经过点()1,2P ，则22sin cos αα-= ．10.已知向量()2,1a = ，()1,2b =- ，若()9,8ma nb +=-（m ，R n ∈），则m n +的值为．11.已知函数()3g x x x =+，若()()3240g a g a -++>，则实数a 的取值范围是．12.已知函数()()2log 2a f x x x =+（0a >且1a ≠），当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()0f x >，则函数()f x 的单调增区间为．13.已知函数()()2ln 13,121,1x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程()()2320f x bf x b ++-=恰有4个不同的实数根，则实数b 的取值范围是．14.若方程22sin sin 20x x m +--=在[)0,2π上有且只有两解，则实数m 的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本题满分14分）已知集合{}05,x x x A =≤≤∈Z ，124,2x x x ⎧⎫B =≤≤∈Z ⎨⎬⎩⎭．（1）用列举法表示集合A 和B ；（2）求A B 和A B ；（3）若集合()C ,a =-∞，C B 中仅有3个元素，求实数a 的取值范围． 16.（本题满分14分）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<），若函数()y f x =的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，当6x π=时，函数()y f x =取得最大值3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调减区间；（3）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域． 17.（本题满分14分）设向量()2,sin a α=，()cos ,1b α=- ，且a b ⊥ ．求：（1）tan α；（2）sin cos sin cos αααα+-；（3）2sin sin cos ααα+．18.（本小题满分16分）如图，在菱形CD AB 中，1AB =，D 60∠BA =，且E 为对角线C A 上一点．（1）求D AB⋅A；（2）若2C AE =E ，求AE⋅AB；（3）连结BE 并延长，交CD 于点F ，连结F A ，设C λE =EA（01λ≤≤）．当λ为何值时，可使F F A ⋅B 最小，并求出F F A ⋅B的最小值．19.（本小题满分16分）某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润()x P 与投资额x 成正比，其关系如图1；乙产品的利润()Q x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）．（1）试写出利润()x P 和()Q x 的函数关系式；（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？20.（本小题满分16分）已知函数()x xf x a a -=+（0a >且1a ≠）．（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）设()()1g x f x =，当()0,1x ∈时，求函数()g x 的值域；（3）若()512f =，设()()222x xh x a a mf x -=+-的最小值为7-，求实数m 的值．2015—2016学年度第一学期期末抽测高一数学试题参考答案一、填空题1．3 2．(1,)+∞ 3．2- 4． 5．136．43- 7．3π8．2 9．35 10．7 11．12a >- 12．1(,)2-∞-13．72[2,)(,665----U 14．178m =-或11m -<<二、解答题15．（1）{}0,1,2,3,4,5A =，……………………………………………………………2分{}{}12,1,0,1,2B x x x =-∈=-Z ≤≤． ……………………………………4分（2）{}0,1,2A B =I ， ……………………………………………………………7分 {}1,0,1,2,3,4,5A B =-U ． …………………………………………………10分（3）如图所示：实数a 的取值范围为12a <≤． …………………………………………14分16．（1）因为当6x π=时，函数()y f x =取得最大值3，所以3A =，……………1分因为函数()y f x =的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，所以22T π=⨯=π，即2ωπ=π，所以2ω=， ……………………………3分将点(,3)6π代入()3sin(2)f x x ϕ=+，得sin(2)16ϕπ⨯+=，因为2ϕπ<，所以6ϕπ=，…………………………………………………5分所以()3sin(2)6f x x π=+．…………………………………………………6分（2）令3222262k x k ππππ++π+≤≤，k ∈Z ， ……………………………8分解得263k x k πππ+π+≤≤，k ∈Z ，所以()f x 的单调减区间是2,(63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z)． ………………10分（结果未写出区间形式或缺少k ∈Z 的，此处两分不得）（3）当[,]63x ππ∈-，2[,]666x ππ5π+∈-，1sin(2)[,1]62x π+∈-， …………12分所以函数()f x 的值域是3[,3]2-． ………………………………………14分17．解法一：（1）由⊥a b ，得2cos sin 0αα-=， ………………………………2分解得tan 2α=． ………………………………………………4分（2）sin cos tan 1sin cos tan 1αααααα++=-- ………………………………………7分21321+==-． ……………………………………9分（3）2222sin sin cos sin sin cos sin cos αααααααα++=+ ……………………12分22tan tan tan 1ααα+=+426415+==+． …………14分解法二：（1）由⊥a b ，得2cos sin 0αα-=， ……………………………2分解得tan 2α=． …………………………………………4分（2）由22tan 2,sin cos 1,ααα=⎧⎨+=⎩解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…8分将数值代入得sin cos sin cos αααα+-3=． ……………………………11分（3）由（2），代入数值得26sin sin cos 5ααα+=． …………………14分18．（1）1cos 11cos602AB AD AB AD BAD ⋅=∠=⨯⨯=o u u u r u u u r u u u r u u u r ． …………………2分（2）因为AC AB AD =+uuu r uu u r uuu r，所以AC AB AD =+=u u u r u u u r u u u r ……4分…………………………………………5分又2AE EC =，所以23AE AC == …………………………6分故cos 11AE AB AE AB BAC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r ． …………………8分（3）因为CE EA λ=uu u r uu r ，ABE △∽CFE △，1AB =uu u r，故CF λ= ，1FD λ=-， ……………………………………………10分所以()()AF BF AD DF BC CF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAD BC AD CF DF BC DF CF =⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11cos120(1)1cos60(1)cos180λλλλ=+⨯+-⨯⨯+-⨯⨯o o o22312(1)22λλλ=-+=-+， ……………………14分故当1=λ时，AF BF ⋅uu u r uu u r 的值最小，最小值为12． ……………………16分19．（1）设1()P x k x =，代入(1,0.2)，解得115k =，所以1()5P x x =，…………………3分设()Q x k =(4,1.2)，解得235k =，所以()Q x ．……………6分（2）设投入乙产品x 万元，则甲产品投入3x -万元，利润总和为1()(3)5f x x =-03x ≤≤， …………………………9分（少定义域扣1分）t，则0t ≤ ………………………………………………11分此时22131321()(3)()555220g t t t t =-+=--+， …………………………………13分当32t =，即9 2.254x ==时，()g t 取得最大值2120． …………………………15分答：对甲乙产品分别投入0.75万元和2.25万元时，可使获利总额最大，最大获利为1.05万元． …………………………………………………………16分20．（1）函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ∈R ，都有()()()x x x x f x a a a a f x -----=+=+=，所以()f x 为偶函数． ………………………………………………………2分（2）因为()xxf x a a -=+，所以2()1xx a g x a =+(0a >且1a ≠)，………………4分①当1a >时，因为(0,1)x ∈，所以(1,)x a a ∈，设x t a =，1y t t=+，(1,)t a ∈，在区间(1,)a 内任取两个数1t ，2t ，12t t <，则121212121212()(1)11()()t t t t y y t t t t t t ---=+-+=，因为120t t -<，121t t <，所以120y y -<，即12y y <，所以1y t t=+在(1,)a 上是单调增函数， ………………………………6分故2111(,)xx a y t a a t a a+=+=+∈，所以2211()(,)1112x x x x a a g x a a a a==∈+++． ……………………………8分②当01a <<时，(0,1)x ∈，(,1)xa a ∈，同理可得21()(,)12a g x a ∈+．综上所述，()g x 的值域为21(,)12a a +． …………………………………10分（3）若5(1)2f =，则2a =或12a =，所以()22x x f x -=+， …………………11分222()222(22)(22)2(22)2x x x xx x x x h x m m ----=+-+=+-+-，令()22x x t f x -==+，因为x ∈R，故22222x x -++≥，即2t ≥， …………12分令222()22()2F t t mt t m m =--=---，①若2m ≥，则2min [()]()27F t F m m ==--=-，解得m = 又因为2m ≥，所以m =②若2m <，则min [()](2)247F t F m ==-=-，解得94m =（舍）．综上所述，实数m…………………………………………16分。

2016-2017学年江苏省徐州市高一(下)期末数学试卷

2016-2017学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）不等式x（x﹣1）≤0的解集为．2．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则边a的长为．3．（5分）过点（1，2）且与直线2x﹣y+1=0垂直的直线方程为．4．（5分）如图为60辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图，则时速在[60，70）的汽车大约有辆．5．（5分）已知一组数据：10.1，9.8，10，x，10.2的平均数为10，则该组数据的方差为．6．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．7．（5分）在△ABC中，若sin2B+C，则A的值为．8．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．9．（5分）已知sin，则cos2θ=．10．（5分）某数学兴趣小组有男生3人，女生2人，若从中任选两人去参加学校的数学竞赛，则至少选中一名女生的概率为．11．（5分）设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1，a2，a4成等比数列，则的值为．12．（5分）已知a＞1，b＞0，且a+2b=2，则的最小值为．13．（5分）已知函数f（x）=ax2+8x+b（a，b为互不相等的正整数），方程f（x）=0的两个实根为x1，x2（x1≠x2），且|x1|＜1，|x2|＜1，若f（1）+f（﹣1）的最大值与最小值分别为M，m，则M+m的值为．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=3，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*若对于任意的a∈[﹣1，1]，n∈N*，不等式﹣2at+1恒成立，则实数t的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知直线l1：x﹣2y+3=0和l2：x+2y﹣9=0的交点为A．（1）求过点A，且与直线2x+3y﹣1=0平行的直线方程；（2）求过点A，且倾斜角为直线l1倾斜角2倍的直线方程．16．（14分）已知．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若，求sinα的值．17．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btanB=．（1）求角B的值；（2）若△ABC的面积为，a+c=8，求边b．18．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a n=2﹣2S n，数列{b n}为等差数列，且b5=14，b7=20．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和T n．19．（16分）某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出y的最大值．20．（16分）已知数列{a n}，{b n}分别满足a1=1，|a n+1﹣a n|=2，且|=2，其中n∈N*，设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n．（1）若数列{a n}，{b n}都是递增数列，求数列{a n}，{b n}的通项公式；，则称数列{c n}（2）若数列{c n}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得c k＜c k﹣1为“k坠点数列”．①若数列{a n}为“5坠点数列”，求S n；②若数列{a n}为“p坠点数列”，数列{b n}为“q坠点数列”，是否存在正整数m使=T m？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．得S m+12016-2017学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）不等式x（x﹣1）≤0的解集为{x|0≤x≤1}．．【解答】解：解方程x（x﹣1）=0，得x1=0，x2=1，∴不等式x（x﹣1）≤0的解集是{x|0≤x≤1}．故答案为：{x|0≤x≤1}．2．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则边a的长为2．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：a===2．故答案为：2．3．（5分）过点（1，2）且与直线2x﹣y+1=0垂直的直线方程为x+2y﹣5=0．【解答】解：设与直线2x﹣y+1=0垂直的直线方程为x+2y+m=0，把点（1，2）代入可得：1+4+m=0，解得m=﹣5．可得要求的直线方程为：x+2y﹣5=0，故答案为：x+2y﹣5=0．4．（5分）如图为60辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图，则时速在[60，70）的汽车大约有24辆．【解答】解：由频率分布直方图得：60辆汽车通过某一段公路时的时速在[60，70）的汽车所占频率为：0.04×10=0.4，∴60辆汽车通过某一段公路时的时速在[60，70）的汽车大约有：60×0.4=24辆．故答案为：24．5．（5分）已知一组数据：10.1，9.8，10，x，10.2的平均数为10，则该组数据的方差为0.02．【解答】解：∵数据10.1，9.8，10，x，10.2的平均数为10，∴（10.1+9.8+10+x+10.2）=10，解得：a=9.8，故这组数据的方差是（0.04+0.01+0+0.01+0.04）=0.02，故答案为：0.02．6．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为8．【解答】解：模拟程序的运行，可得：n=21，满足条件n为奇数，n=10，k=2，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=5，k=4，不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n为奇数，n=2，k=6，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=1，k=8，满足条件n=1，退出循环，输出k的值为8．故答案为：8．7．（5分）在△ABC中，若sin2B+C，则A的值为．【解答】解：根据正弦定理=2R，化简已知的等式得：b2+bc=a2﹣c2，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴根据余弦定理得：cosA==﹣，又∵A∈（0，π），∴A=．故答案为：．8．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为3．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，1）目标函数z=2x+y可看做斜率为﹣2的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=2×1+1=3．故答案为：3．9．（5分）已知sin，则cos2θ=．【解答】解：∵sin，∴1+sinθ=，∴sinθ=﹣，∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．故答案为．10．（5分）某数学兴趣小组有男生3人，女生2人，若从中任选两人去参加学校的数学竞赛，则至少选中一名女生的概率为．【解答】解：某数学兴趣小组有男生3人，女生2人，从中任选两人去参加学校的数学竞赛，基本事件总数n=，至少选中一名女生的对立事件是选中两名男生，∴至少选中一名女生的概率为：p=1﹣=．故答案为：．11．（5分）设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1，a2，a4成等比数列，则的值为．【解答】解：设等差数列{a n}的公差d≠0，∵a1，a2，a4成等比数列，∴，可得=a1（a1+3d），d≠0．化为：d=a1≠0，∴==．故答案为：．12．（5分）已知a＞1，b＞0，且a+2b=2，则的最小值为4（+1）．【解答】解：∵a+2b=2，∴a﹣1=1﹣2b，∴+=+，设+=t，则2b+（2﹣2b）（1﹣2b）=tb（1﹣2b），故（4+2t）b2﹣（4+t）b+2=0，①4+2t=0时，t=﹣2，故（4﹣2）b+2=0，解得：b=1，a+2b=2，得a+2=2，故a=0，与a=1不符，故4+2t≠0；②4+2t≠0时，得t≠﹣2，由（4+2t）b2﹣（4+t）b+2=0，由△≥0，得（4+t）2﹣4（4+2t）﹣2≥0，故t2﹣8t﹣16≥0，解得：t≤4﹣4（舍）或t≥4+4，故的最小值为4（1+），故答案为：4（1+）．13．（5分）已知函数f（x）=ax2+8x+b（a，b为互不相等的正整数），方程f（x）=0的两个实根为x1，x2（x1≠x2），且|x1|＜1，|x2|＜1，若f（1）+f（﹣1）的最大值与最小值分别为M，m，则M+m的值为50．【解答】解：f（x）=ax2+8x+b，此函数的图象与x轴的两个交点在区间（﹣1，1），∴∴即有，∵a，b为互不相等的正整数，∴a，b可能的取值有（7，2）（8，1）（9，1）（10，1），（11，1），（12，1），（13，1），（14，1）（15，1）共9个．∴a+b的最小值是9，最大值为16．则f（1）+f（﹣1）=2（a+b）的最大值与最小值分别为M=32，m=18，可得M+m=50．故答案为：50．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=3，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*若对于任意的a∈[﹣1，1]，n∈N*，不等式﹣2at+1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．﹣a n）=a n+1，【解答】解：∵n（a n+1∴﹣==．∴=++…++a1=++…++3=1﹣+3（n=1时也成立）．∴不等式﹣2at+1化为：4﹣＜t2﹣2at+1，∵对于任意的a∈[﹣1，1]，n∈N*，不等式﹣2at+1恒成立，∴t2﹣2at+1≥4，化为：t2﹣2at﹣3≥0，t≠0，t＞0时，a≤，可得1≤，化为t2﹣2t﹣3≥0，t＞0，解得t≥3．t＜0时，a≥，可得﹣1≥，化为t2+2t﹣3≥0，t＜0，解得t≤﹣3．则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知直线l1：x﹣2y+3=0和l2：x+2y﹣9=0的交点为A．（1）求过点A，且与直线2x+3y﹣1=0平行的直线方程；（2）求过点A，且倾斜角为直线l1倾斜角2倍的直线方程．【解答】解：（1）由，解得：A（3，3）；设所求直线的方程是：2x+3y+c=0，将（3，3）代入，解得：c=﹣15，故所求直线方程是：2x+3y﹣15=0；（2）设直线的倾斜角是α，则tanα=，于是所求直线的斜率是tan2α==，故所求直线的方程为：y﹣3=（x﹣3），整理得：4x﹣3y﹣3=0．16．（14分）已知．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若，求sinα的值．【解答】解：（1）由，又sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，解得或．∴cos（α﹣β）=；（2）∵0＜α＜，＜β＜0，∴0＜α﹣β＜π．又tan（α﹣β）=＞0，∴cos（α﹣β）=．∴sin（α﹣β）=．又sinβ=，∴cosβ=．∴sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=．17．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btanB=．（1）求角B的值；（2）若△ABC的面积为，a+c=8，求边b．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btanB=，∴由正弦定理得：sinBtanB=（sinAcosC+sinCcosA）=sin（A+C）=sinB，∵B∈（0，π），∴sinB≠0，∴tanB=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵△ABC的面积为，∴=，∴，∵a+c=8，∴在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=36，∴b=6．18．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a n=2﹣2S n，数列{b n}为等差数列，且b5=14，b7=20．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵a n=2﹣2S n，当n=1时，a1=2﹣2a1，解得a1=；当n≥2时，a n=2﹣2S n﹣1，﹣1=2﹣2S n﹣（2﹣2S n﹣1）=﹣2a n，∴a n﹣a n﹣1化为3a n=a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，首项为，公比为，可得：a n=•（）n﹣1=2•（）n，n∈N*；（2）数列{b n}为等差数列，公差为d且b5=14，b7=20．可得b1+4d=14，b1+6d=20，解得b1=2，d=3，可得b n=b1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1，n∈N*；c n=a n•b n=2（3n﹣1）•（）n．前n项和T n=2[2•（）+5•（）2+7•（）3+…+（3n﹣1）•（）n]，T n=2[2•（）2+5•（）3+7•（）4+…+（3n﹣1）•（）n+1]，相减可得T n=2[+2•（）2+2•（）3+…+2•（）n﹣（3n﹣1）•（）n+1]=2[+2•﹣（3n﹣1）•（）n+1]，化简可得T n=﹣．19．（16分）某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出y的最大值．【解答】解：（1）由题可知30=θ（10+x）+2（10﹣x），所以θ=，x∈（0，10） (5)（2）花坛的面积为θ（102﹣x2）=（5+x）（10﹣x）=﹣x2+5x+50（0＜x＜10），装饰总费用为9θ（10+x）+8（10﹣x）=170+10x，所以花坛的面积与装饰总费用之比为y==﹣． (7)令t=17+x，t∈（17，27）则y=﹣（t+）≤﹣=，…（10分）当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=．（若利用双勾函数单调性求最值的，则同等标准给分，但须说明单调性．）故当x=1时，花坛的面积与装饰总费用之比最大． (12)20．（16分）已知数列{a n}，{b n}分别满足a1=1，|a n+1﹣a n|=2，且|=2，其中n∈N*，设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n．（1）若数列{a n}，{b n}都是递增数列，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得c k＜c k﹣1，则称数列{c n}为“k坠点数列”．①若数列{a n}为“5坠点数列”，求S n；②若数列{a n}为“p坠点数列”，数列{b n}为“q坠点数列”，是否存在正整数m使得S m+1=T m？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵数列{a n}，{b n}都为递增数列，∴由递推式可得a n+1﹣a n=2，b2=﹣2b1=2，b n+2=2b n+1，n∈N*，则数列{a n}为等差数列，数列{b n}从第二项起构成等比数列．∴a n=2n﹣1，b n=；（2）①∵数列{a n}满足：存在唯一的正整数k=5，使得a k＜a k﹣1，且|a n+1﹣a n|=2，∴数列{a n}必为1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，故S n=；②∵||=2，即b n+1=±2b n，∴|b n|=2n﹣1，而数列{b n}为“q坠点数列”且b1=﹣1，∴数列{b n}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得S m+1=T m，显然m≠1，且T m为奇数，而{a n}中各项均为奇数，∴m必为偶数．≤1+3+…+（2m+1）=（m+1）2，由S m+1当q＞m时，T m=﹣1+2+4+…+2m﹣2+2m﹣1=2m﹣3，当m≥6时，2m﹣3＞（m+1）2，故不存在正整数m使得S m=T m；+1当q=m时，T m=﹣1+21+…+2m﹣2+（﹣2m﹣1）=﹣3＜0，=T m；显然不存在正整数m使得S m+1当q＜m时，∴（T m）min=﹣1+21+…+2m﹣3+（﹣2m﹣2）+2m﹣1=2m﹣1﹣3．=T m；当2m﹣1﹣3＜（m+1）2，才存在正整数m使得S m+1即m≤6．当m=6时，q＜6，构造：{a n}为1，3，1，3，5，7，9，…，{b n}为﹣1，2，4，8，﹣16，32，64，…此时p=3，q=5．∴m max=6，对应的p=3，q=5．。

江苏省徐州市2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案

高一年级数学试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}101A =-，，，{}012B =，，，则A B = ．2.函数53tan 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为． 3.已知点()12A -，，()13B ，，则向量AB的坐标为．4.若指数函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）的图象经过点()38，，则()1f -的值为．5.cos 240︒的值等于．6.函数()f x =的定义域是．7.已知向量a b ，满足2a =，b = a 与b 的夹角为4π，则a +8.若偶函数()f x 满足()()f x f x π+=，且132f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则20173f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为．9.设函数()()212log 4020x x x f x x -⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩，，，则()()2log 144f f +-的值为．10.已知0a >且1a ≠，函数()()4log 4a f x x =++的图象恒过定点P ，若角α的终边经过点P ，则cos α的值为．11.将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象，若对于满足()()122f x g x -=的12x x ，，有12min4x x π-=，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为． 12.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD =，若点E ，F 满足BE EC = ，2DF FC =，则AF EF ⋅ 的值为．13．设函数()2222322x a x f x x ax a x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若函数()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．14．已知不等式()()250mx x n +-≤对任意()0x ∈+∞，恒成立，其中m n ，是整数，则m n+的取值的集合为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分14分）已知集合[)03A =，，[)2B a a =+，．（1）若1a =-，求A B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围． 16. （本小题满分14分）已知向量()cos sin a αα= ，，()22b =-，．（1）若145a b ⋅= ，求()2sin cos αα+的值；（2）若a b ∥，求()sin sin 2ππαα⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭的值．17. （本小题满分14分）某同学用“五点法”画函数()()sin 02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡相应位置上，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求当33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x 的值域；（3）若将()y f x =图象上所有点向左平移()0θθ>个单位长度，得到()y h x =的图象，若()y h x =图象的一个对称中心为012π⎛⎫⎪⎝⎭，，求θ的最小值．18. （本小题满分16分）已知向量()1a m =- ，，12b ⎛= ⎝ ．（1）若m =，求a 与b的夹角θ；（2）设a b ⊥．①求实数m 的值；②若存在非零实数k ，t ，使得()()23a t b ka tb ⎡⎤+-⊥-+⎣⎦ ，求2k t t+的最小值．19. （本小题满分16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x ，3x 吨．（1）求y 关于x 的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费． 20. （本小题满分16分）已知函数()245f x x x a =++-，()1427x g x m m -=⋅-+．（1）若函数()f x 在区间[]11-，上存在零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a =时，若对任意的[]112x ∈，，总存在[]212x ∈，，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围；（3）若()[]()2y f x x t =∈，的值域为区间D ，是否存在常数t ，使区间D 的长度为64t -？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[]p q ，的长度为q p -）．2016-2017学年度第一学期期末抽测高一数学试题参考答案一、填空题1．{}0,1 2．π2 3．(2,1) 4．12 5．12- 6．[e,)+∞ 7． 8．12 9．6 10．35- 11．1 12．0 13．[1,2)[4,)+∞ 14．{}4,24- 二、解答题15．（1）当1a =-时，[)1,1B =-，由于[)0,3A =，所以[)1,3A B =- ．…………6分（2）由A B B = ，得B A ⊆，………………………………………………………9分于是0,23,a a ⎧⎨⎩+≥≤即01a ≤≤，所以，a 的取值范围是[]0,1．…………………………………………………14分 16．（1）因为145⋅=-a b ，所以142cos 2sin 5αα-+=，即7sin cos 5αα-=，……………………………………………………………2分于是22749(sin cos )12sin cos ()525αααα-=-==，从而242sin cos 25αα=-．………………………………………………………4分因此，2241(sin cos )12sin cos 12525αααα+=+=-=．……………………6分（2）因为//a b ，所以2cos (2)sin 0αα--⋅=，即cos sin 0αα+=，……………8分于是tan 1α=-，………………………………………………………………10分因此，πsin(π)sin()sin cos 2αααα-⋅+=⋅ …………………………………12分222sin cos tan 1sin cos tan 12αααααα⋅===-++．………14分17.（1）根据表中已知数据可得：3A =，ππ62ωϕ+=，2π3π32ωϕ+=，解得2ω=，π6ϕ=.数据补全如下表：3分函数表达式为π()3sin(2)6f x x =+.……………………………………………5分（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，所以π()3sin()6g x x =+．………………………………………7分当ππ[,]33x ∈-时，πππ[,]662x +∈-，所以π1sin()[,1]62x +∈-．于是函数)(x g 的值域为3[,3]2-．………………………………………………9分（3）由（1）可得，π()3sin(22)6h x x q =++，由()h x 图象的一个对称中心为π(,0)12可得，π()012h =，所以ππ3sin(22)0126q ?+=，即πsin(2)03q +=，………………………12分从而π2π,3k k Z q +=?，解得ππ,26k k Z q =-?，由0q >可得，当1k =时，q 取得最小值π3.…………………………………14分18．（1）m =()1=-a ，于是⋅=a b ，……………………………3分又2=a ，1=b ，所以cos θ⋅==a b a b []0,θ∈π，所以6θ5π=．…………………6分（2）①因为⊥a b ，所以0⋅=a b ，即()1102m -=+，得m =．………8分②m =时，2=a ，1=b ，由()()23t k t ⎡⎤-⊥-⎣⎦++a b a b ，得()()230t k t ⎡⎤-⋅-=⎣⎦++a b a b ，因为0⋅=a b ，所以()22230k t t --=+a b，于是()234t t k -=，…………12分故()()23222341174324444k t t t t t t t t t -==-=+-+++，当2t =-时，2k t t+取最小值74-．…………………………………………16分19．（1）当甲的用水量不超过5吨时，即55x ≤，1x ≤时，乙的用水量也不超过5吨，()2.65320.8y x x x ==+；…………………………………………………2分当甲的用水量超过5吨，乙的用水量不超过5吨，即55,35,x x >⎧⎨⎩≤513x <≤时， ()5 2.64553 2.627.87y x x x =⨯⨯-⨯=-++；……………………………4分当乙的用水量超过5吨，即35x >，53x >时，()()25 2.6435553214y x x x =⨯⨯⨯⎡--⎤=-⎣⎦++.…………………………6分所以20.8,01,527.87,1,353214,.3x x y x x x x ⎧⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪->⎪⎩≤≤≤ …………………………………………………7分（2）由于()y f x =在各段区间上均单调增，当[]0,1x ∈时，()134.7y f <≤；……………………………………………9分当5(,)3x ∈∞+时，5()34.73y f >>；…………………………………………11分当5(1,]3x ∈时，令27.8734.7x -=，解得 1.5x =.…………………………13分所以甲户用水量为57.5x =（吨），付费15 2.6 2.5423y =⨯⨯=+(元)；乙户用水量为3 4.5x =（吨），付费2 4.5 2.611.7y =⨯=(元)．………………………………………………15分答：甲户该月的用水量为7.5吨、水费为23元，乙户该月的用水量为4.5吨、水费为11.7元．………………………………16分 20．（1）由函数2()45f x x x a =++-的对称轴是2x =-，知()f x 在区间[]1,1-上是增函数， …………………………………2分因为函数在区间[]1,1-上存在零点，则必有： ()()1010f f ⎧-⎪⎨⎪⎩≤≥即800a a -⎧⎨⎩≤≥，解得08a ≤≤，故所求实数a 的取值范围为[]0,8． ………………………………4分（2）若对任意的[]11,2x ∈，总存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x =成立，只需函数()y f x =的值域是函数()y g x =的值域的子集． …………………6分当0a =时，2()45f x x x =+-，[]1,2x ∈的值域为[]0,7， ………………… 7分下面求1()427x g x m m -=⋅-+，[]1,2x ∈的值域．令14x t -= ，则[1,4]t ∈，27y mt m =-+①当0m =时，()7g x =为常数，不符合题意，舍去；②当0m >时，()g x 的值域为[]7,27m m -+，要使[][]0,77,27m m ⊆-+，需70277m m -⎧⎨+⎩≤≥，解得7m ≥；③当0m <时，()g x 的值域为[]27,7m m +-，要使[][]0,727,7m m ⊆+-，需2707m m +⎧⎨-⎩≤≥7，解得72m -≤；所以2()(2)4464f t f t t t --=++=-，即2820t t +-=，解得4t =--4t =-+（舍去）； ②当26t -<-≤时，在区间[],2t 上，(2)f 最大，(2)f -最小，所以(2)(2)1664f f t --==-，解得52t =-； ③当322t -<<时，在区间[],2t 上，(2)f 最大，()f t 最小，所以2(2)()41264f f t t t t -=--+=-，即26t =，解得t =或t =，所以此时不存在常数t 满足题意；综上所述，存在常数t 满足题意，4t =--52t =-．……………………16分。

江苏省徐州市2015-2016学年度高一第一学期期末抽测数学试题带答案

江苏省徐州市2015-2016学年度高一第一学期期末抽测试题高一年级数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1.已知全集{}U 1,2,3=，{}1,m A =，{}U 2A =ð，则m = ．2.函数()2log 1y x =-的定义域为．3.若幂函数()f x x α=的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则实数α= ． 4.sin 240= ． 5.已知向量()1,3a =- ，(),1b x =- ，且//a b ，则x 的值为．6.若4sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值为． 7.已知10a = ，12b = ，且()13365a b ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，则向量a 与b 的夹角为． 8.若方程ln 3x x +=的根()0,1x k k ∈+，其中k ∈Z ，则k = ．9.若角α的终边经过点()1,2P ，则22sin cos αα-= ． 10.已知向量()2,1a = ，()1,2b =- ，若()9,8ma nb +=- （m ，R n ∈），则m n +的值为．11.已知函数()3g x x x =+，若()()3240g a g a -++>，则实数a 的取值范围是． 12.已知函数()()2log 2a f x x x =+（0a >且1a ≠），当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()0f x >，则函数()f x 的单调增区间为．13.已知函数()()2ln 13,121,1x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程()()2320f x bf x b ++-=恰有4个不同的实数根，则实数b 的取值范围是．14.若方程22sin sin 20x x m +--=在[)0,2π上有且只有两解，则实数m 的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本题满分14分）已知集合{}05,x x x A =≤≤∈Z ，124,2x xx ⎧⎫B =≤≤∈Z ⎨⎬⎩⎭．（1）用列举法表示集合A 和B ；（2）求A B 和A B ；（3）若集合()C ,a =-∞，C B 中仅有3个元素，求实数a 的取值范围．16.（本题满分14分）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<），若函数()y f x =的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，当6x π=时，函数()y f x =取得最大值3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调减区间；（3）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域． 17.（本题满分14分）设向量()2,sin a α= ，()cos ,1b α=- ，且a b ⊥ ．求：（1）tan α；（2）sin cos sin cos αααα+-；（3）2sin sin cos ααα+．18.（本小题满分16分）如图，在菱形CD AB 中，1AB =，D 60∠BA =，且E 为对角线C A 上一点．（1）求D AB⋅A ；（2）若2C AE =E ，求AE⋅AB ；（3）连结BE 并延长，交CD 于点F ，连结F A ，设C λE=E A （01λ≤≤）．当λ为何值时，可使F F A ⋅B 最小，并求出F F A ⋅B 的最小值．19.（本小题满分16分）某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润()x P 与投资额x 成正比，其关系如图1；乙产品的利润()Q x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）．（1）试写出利润()x P 和()Q x 的函数关系式；（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？20.（本小题满分16分）已知函数()x x f x a a -=+（0a >且1a ≠）．（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）设()()1g x f x =，当()0,1x ∈时，求函数()g x 的值域；（3）若()512f =，设()()222x x h x a a mf x -=+-的最小值为7-，求实数m 的值．2015—2016学年度第一学期期末抽测高一数学试题参考答案一、填空题1．3 2．(1,)+∞ 3．2- 4． 5．13 6．43- 7．3π 8．2 9．35 10．7 11．12a >- 12．1(,)2-∞-13．72[2,)(,665----U 14．178m =-或11m -<< 二、解答题15．（1）{}0,1,2,3,4,5A =，……………………………………………………………2分{}{}12,1,0,1,2B x x x =-∈=-Z ≤≤． ……………………………………4分（2）{}0,1,2A B =I ， ……………………………………………………………7分{}1,0,1,2,3,4,5A B =-U ． …………………………………………………10分（3）如图所示：实数a 的取值范围为12a <≤． …………………………………………14分16．（1）因为当6x π=时，函数()y f x =取得最大值3，所以3A =，……………1分因为函数()y f x =的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，所以22T π=⨯=π，即2ωπ=π，所以2ω=， ……………………………3分将点(,3)6π代入()3sin(2)f x x ϕ=+，得sin(2)16ϕπ⨯+=，因为2ϕπ<，所以6ϕπ=，…………………………………………………5分所以()3sin(2)6f x x π=+．…………………………………………………6分（2）令3222262k x k ππππ++π+≤≤，k ∈Z ， ……………………………8分解得263k x k πππ+π+≤≤，k ∈Z ，所以()f x 的单调减区间是2,(63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z)． ………………10分（结果未写出区间形式或缺少k ∈Z 的，此处两分不得）（3）当[,]63x ππ∈-，2[,]666x ππ5π+∈-，1sin(2)[,1]62x π+∈-， …………12分所以函数()f x 的值域是3[,3]2-． ………………………………………14分 17．解法一：（1）由⊥a b ，得2cos sin 0αα-=， ………………………………2分解得tan 2α=． ………………………………………………4分（2）sin cos tan 1sin cos tan 1αααααα++=-- ………………………………………7分 21321+==-． ……………………………………9分（3）2222sin sin cos sin sin cos sin cos αααααααα++=+ ……………………12分 22tan tan tan 1ααα+=+426415+==+． …………14分解法二：（1）由⊥a b ，得2cos sin 0αα-=， ……………………………2分解得tan 2α=． …………………………………………4分（2）由22tan 2,sin cos 1,ααα=⎧⎨+=⎩解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …8分将数值代入得sin cos sin cos αααα+-3=． ……………………………11分（3）由（2），代入数值得26sin sin cos 5ααα+=． …………………14分 18．（1）1cos 11cos602AB AD AB AD BAD ⋅=∠=⨯⨯=o u u u r u u u r u u u r u u u r ． …………………2分（2）因为AC AB AD =+uuu r uu u r uuu r ，所以AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ……4分…………………………………………5分又2AE EC = ，所以23AE AC == …………………………6分故cos 11AE AB AE AB BAC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r ． …………………8分（3）因为CE EA λ=uu u r uu r ，ABE △∽CFE △，1AB =uu u r ，故CF λ= ，1FD λ=- ， ……………………………………………10分所以()()AF BF AD DF BC CF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AD BC AD CF DF BC DF CF =⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11cos120(1)1cos60(1)cos180λλλλ=+⨯+-⨯⨯+-⨯⨯o o o22312(1)22λλλ=-+=-+， ……………………14分故当1=λ时，AF BF ⋅uu u r uu u r 的值最小，最小值为12． ……………………16分 19．（1）设1()P x k x =，代入(1,0.2)，解得115k =，所以1()5P x x =，…………………3分设()Q x k =(4,1.2)，解得235k =，所以()Q x ．……………6分（2）设投入乙产品x 万元，则甲产品投入3x -万元，利润总和为1()(3)5f x x =-03x ≤≤， …………………………9分（少定义域扣1分）t ，则0t ≤ ………………………………………………11分此时22131321()(3)()555220g t t t t =-+=--+， …………………………………13分当32t =，即9 2.254x ==时，()g t 取得最大值2120． …………………………15分答：对甲乙产品分别投入0.75万元和2.25万元时，可使获利总额最大，最大获利为1.05万元． …………………………………………………………16分20．（1）函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ∈R ，都有()()()x x x x f x a a a a f x -----=+=+=，所以()f x 为偶函数． ………………………………………………………2分（2）因为()x xf x a a -=+，所以2()1xx a g x a =+(0a >且1a ≠)，………………4分 ①当1a >时，因为(0,1)x ∈，所以(1,)x a a ∈，设x t a =，1y t t=+，(1,)t a ∈，在区间(1,)a 内任取两个数1t ，2t ，12t t <，则121212121212()(1)11()()t t t t y y t t t t t t ---=+-+=，因为120t t -<，121t t <，所以120y y -<，即12y y <，所以1y t t=+在(1,)a 上是单调增函数， ………………………………6分故2111(,)x x a y t a a t a a+=+=+∈，所以2211()(,)1112x x x x a a g x a a a a==∈+++． ……………………………8分 ②当01a <<时，(0,1)x ∈，(,1)x a a ∈，同理可得21()(,)12a g x a ∈+．综上所述，()g x 的值域为21(,)12a a +． …………………………………10分（3）若5(1)2f =，则2a =或12a =，所以()22x x f x -=+， …………………11分 222()222(22)(22)2(22)2x x x x x x x x h x m m ----=+-+=+-+-，令()22x x t f x -==+，因为x ∈R，故22222x x -++≥，即2t ≥， …………12分令222()22()2F t t mt t m m =--=---，①若2m ≥，则2min [()]()27F t F m m ==--=-，解得m =，又因为2m ≥，所以m =②若2m <，则min [()](2)247F t F m ==-=-，解得94m =（舍）．综上所述，实数m…………………………………………16分。

2015-2016学年江苏省徐州市高一上学期期末数学试卷解析版

2015-2016学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1．已知全集U={1，2，3}，A={1，m}，∁U A={2}，则m=3．【考点】补集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由全集U及A的补集，确定出A，再根据元素集合的特征即可求出m．【解答】解：∵全集U={1，2，3}，且∁U A={2}，∴A={1，3}∵A={1，m}，∴m=3．故答案为：3．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．【解答】解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）【点评】本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．3．幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则α=﹣2．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题；方程思想．【分析】幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），故将点的坐标代入函数解析式，建立方程求α【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），∴2α==2﹣2∴α=﹣2故答案为：﹣2．【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是利用幂函数的解析式建立关于参数的方程求参数．4．sin240°=．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】由诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：根据诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα得：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了学生利用诱导公式sin（180°+α）=﹣cosα进行化简求值的能力，以及会利用特殊角的三角函数解决问题的能力．5．已知向量，，且，则x的值为．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；构造法；平面向量及应用．【分析】根据平行向量或共线向量的坐标交叉相乘差为0，构造一个关于x的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量，，且，∴3x﹣（﹣1）•（﹣1）=0，解得x=．故答案为：．【点评】本题考查了平行向量与共线向量的坐标表示与应用问题，是基础题目．6．若sinα=，，则tanα的值为﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系的运用可先求cosα，从而可求tanα的值．【解答】解：∵sinα=，，∴cosα==﹣=﹣，∴tan==﹣．故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．7．已知，，且，则向量与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】设向量与的夹角为θ，根据向量的数量积运算即可得到cosθ=，问题得以解决．【解答】解：设向量与的夹角为θ，，，且，∴（3）•（）=|3|•||cosθ=3×10××12cosθ=36，∴cosθ=，∵0≤θ≤π，∴θ=，故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积运算，以及向量的夹角公式，和三角函数值，属于基础题．8．若方程lnx+x=3的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=2．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得可得x0是函数f（x）=lnx+x﹣3 的零点．再由f（2）f（3）＜0，可得x0∈（2，3），从而求得k的值．【解答】解：令函数f（x）=lnx+x﹣3，则由x0是方程lnx+x=3的根，可得x0是函数f（x）=lnx+x﹣3 的零点．再由f（2）=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0，f（3）=ln3＞0，可得f（2）f（3）＜0，故x0∈（2，3），∴k=2，故答案为2．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．9．若角α的终边经过点P（1，2），则sin2α﹣cos2α=．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；定义法；三角函数的求值．【分析】由已知条件利用任意角的三角函数定义分别求出sinα，cosα，由此能求出结果．【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，2），∴，∴sin2α﹣cos2α=（）2﹣（）2=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角三角函数的定义的合理运用．10．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m=（9，﹣8）（m，n∈R），则m+n的值为7．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】方程思想；转化法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的加法运算，利用向量相等列出方程组，求出m、n的值即可．【解答】解：∵向量=（2，1），=（1，﹣2），∴m=（2m+n，m﹣2n）=（9，﹣8），即，解得，∴m+n=7．故答案为：7．【点评】本题考查了平面向量的加法运算与向量相等的应用问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题．11．已知函数g（x）=x3+x，若g（3a﹣2）+g（a+4）＞0，则实数a的取值范围是a＞﹣．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得函数g（x）为奇函数，并且是增函数；进而将g（3a﹣2）+g（a+4）＞0变形为g（3a﹣2）＞﹣g（a+4）=g（﹣a﹣4），由函数的单调性可将其转化为3a﹣2＞﹣a﹣4，解可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数g（x）=x3+x，有g（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣g（x），即函数g（x）为奇函数；而g（x）=x3+x，g′（x）=2x2+1，则g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）为增函数；若g（3a﹣2）+g（a+4）＞0，即g（3a﹣2）＞﹣g（a+4）=g（﹣a﹣4），又由函数g（x）为增函数，则可以转化为3a﹣2＞﹣a﹣4，解可得a＞﹣；即a的取值范围是a＞﹣；故答案为：a＞﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定与性质的运用，关键是判断并运用函数的奇偶性与单调性．12．若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是．【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数恒成立问题．【专题】计算题．【分析】本题要根据题设中所给的条件解出f（x）的底数a的值，由x∈，得2x2+x∈（0，1），至此可由恒有f（x）＞0，得出底数a的取值范围，再利用复合函数单调性求出其单调区间即可．【解答】解：函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，由于x∈，得2x2+x∈（0，1），又在区间恒有f（x）＞0，故有a∈（0，1）对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣）故应填（﹣∞，﹣）【点评】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，在本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，解决本题的关键．13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是（﹣，6﹣2）∪[﹣2，﹣）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】作函数f（x）=的图象，从而可得x2+bx+3b﹣2=0有2个不同的实数根，从而根据根的不同位置求解即可．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，，∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，∴x2+bx+3b﹣2=0有2个不同的实数根，令g（x）=x2+bx+3b﹣2，若2个不同的实数根都在[﹣2，2）上，则，解得，﹣＜b＜6﹣2，若2个不同的实数根都在（3，+∞）上，则，无解；若分别在[﹣2，2），（3，+∞）上，令g（x）=x2+bx+3b﹣2，则，解得，﹣2≤b＜﹣；故答案为：（﹣，6﹣2）∪[﹣2，﹣）．【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用．14．若方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在[0，2π）上有且只有两解，则实数m的取值范围是（﹣1，1）∪{﹣}．【考点】三角函数的化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在[0，2π）上有且只有两个交点，即函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（﹣1，1）上有且只有一个交点，数形结合求得m的范围．【解答】解：由于方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在[0，2π）上有且只有两解，故函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在[0，2π）上有且只有两个交点．由于sinx在（﹣1，1）上任意取一个值，在[0，2π）上都有2个x值和它对应，故令t=sinx∈[﹣1，1]，则函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（﹣1，1）上有且只有一个交点，如图所示：∵当t=﹣时，y=﹣，故1＜m+2＜3或m+2=﹣，求得﹣1＜m＜1或m=﹣，故答案为：（﹣1，1）∪{﹣}．【点评】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知集合A={x|0≤x≤5，x∈Z}，B={x|≤2x≤4，x∈Z}．（1）用列举法表示集合A和B；（2）求A∩B和A∪B；（3）若集合C=（﹣∞，a），B∩C中仅有3个元素，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的表示法．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】（1）找出A与B中不等式的整数解，分别确定出A与B即可；（2）由A与B，求出A与B的交集，并集即可；（3）由B，C，以及B与C的交集仅有3个元素，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）由题意得：A={x|0≤x≤5，x∈Z}={0，1，2，3，4，5}，B={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}={﹣1，0，1，2}；（2）∵A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，A∪B={﹣1，0，1，2，3，4，5}；（3）∵B={﹣1，0，1，2}，C=（﹣∞，a），且B∩C中仅有3个元素，∴实数a的取值范围为1＜a≤2．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，），若函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，当时，函数y=f（x）取得最大值3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）若，求函数f（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）先确定A的值，函数的周期，利用周期公式可得ω的值，利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）在x=处取得最大值3，即可求得f（x）的解析式；（2）利用正弦函数的单调性求解函数的单调减区间．（3）由，可求，利用正弦函数的性质可得，从而得解．【解答】解：（1）因为当时，函数y=f（x）取得最大值3，所以A=3，…因为函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，所以，即，所以ω=2，…将点代入f（x）=3sin（2x+φ），得，因为，所以，…所以．…（2）令，k∈Z，…解得，k∈Z，所以f（x）的单调减区间是．…（结果未写出区间形式或缺少k∈Z的，此处两分不得）（3）当，，，…所以函数f（x）的值域是．…【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数的单调性，正确求函数的解析式是关键，属于基础题．17．设向量，，且．求：（1）tanα；（2）；（3）sin2α+sinαcosα．【考点】平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】解法一：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，即可解得tanα．（2）利用同角三角函数基本关系式转化后，由（1）即可代入得解．（3）利用同角三角函数基本关系式转化后，由（1）即可代入得解．解法二：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0即可解得tanα．（2）由，解得sinα，cosα的值，代入即可得解．（3）由（2），代入数值得．【解答】（本题满分为14分）解：解法一：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，…解得tanα=2．…（2）…=．…（3）…==．…解法二：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，…解得tanα=2．…（2）由，解得或．…将数值代入得=3．…（3）由（2），代入数值得．…【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，平面向量数量积的运算的应用，考查了转换思想，属于基础题．18．如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠BAD=60°，且E 为对角线AC 上一点．（1）求•；（2）若=2，求•；（3）连结BE 并延长，交CD 于点F ，连结AF ，设=λ（0≤λ≤1）．当λ为何值时，可使•最小，并求出的最小值．【考点】向量在几何中的应用．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】（1）代入数量积公式计算；（2）用表示，代入数量积公式计算；（3）建立平面直角坐标系，用λ表示出的坐标，代入数量积公式计算，求出关于λ的函数最值．【解答】解：（1）•=AB •AD •cos ∠BAD=1×1×cos60°=．（2）∵=2，∴==（），∴•=（）•=+=+×=1．（3）以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系，则A （0，0），B （1，0），D （，）．C （，）．∴，=（，）．∵=λ，∴=（﹣λ，0），=（1﹣λ，0）．∴==（，），==（，），∴•=（）×（）+=λ2﹣2λ=（λ﹣1）2+．∴当λ=1时，•最小，的最小值是．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．19．某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润P（x）与投资额x成正比，其关系如图1；乙产品的利润Q（x）与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）．（1）试写出利润P（x）和Q（x）的函数关系式；（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）设P（x）=k1x，代入（1，0.2），能求出P（x），设，代入（4，1.2），能求出Q（x）．（2）设投入乙产品x万元，则甲产品投入3﹣x万元，fiy bm 利润总和，利用换元法和配方法能求出怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润及其最大利润是多少万元．【解答】解：（1）设P（x）=k1x，代入（1，0.2），解得，所以，…设，代入（4，1.2），解得，所以．…（2）设投入乙产品x万元，则甲产品投入3﹣x万元，利润总和为，0≤x≤3，…记，则，…此时，…当，即时，g（t）取得最大值．…答：对甲乙产品分别投入0.75万元和2.25万元时，可使获利总额最大，最大获利为1.05万元．…【点评】本题考查函数解析式的求法，考查企业最大利润的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法、换元法的合理运用．20．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0且a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）设g（x）=，当x∈（0，1）时，求函数g（x）的值域；（3）若f（1）=，设h（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）的最小值为﹣7，求实数m的值．【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．【专题】数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）函数f（x）的定义域为R．计算f（﹣x）与±f（x）的关系，即可判断出．（2）x∈（0，1）时，a x＞0.0＜g（x）===，即可得出函数g（x）的值域．（3）f（1）==a+a﹣1，解得a=2．h（x）=（2x+2﹣x﹣m）2﹣m2﹣2，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R．f（﹣x）=a﹣x+a x=f（x），∴函数f（x）为偶函数．（2）x∈（0，1）时，a x＞0.0＜g（x）===＜，∴函数g（x）的值域为．（3）f（1）==a+a﹣1，解得a=2．h（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x+2﹣x）=（2x+2﹣x﹣m）2﹣m2﹣2，当m≤2时，h（x）的最小值为h（0）=2﹣4m=﹣7，解得m=，舍去；当m＞2时，h（x）的最小值为﹣m2，∴﹣m2﹣2=﹣7，解得m=．综上可得：m=．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性、二次函数的单调性，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．。

江苏省徐州市2015-2016学年高一上学期期末抽测数学试卷Word版含答案

2015-2016学年度第一学期期末抽测高一年级数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1.已知全集{}U 1,2,3=，{}1,m A =，{}U 2A =ð，则m = ．2.函数()2log 1y x =-的定义域为．3.若幂函数()f x x α=的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则实数α= ． 4.sin 240= ．5.已知向量()1,3a =-，(),1b x =-，且//a b ，则x 的值为．6.若4sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值为． 7.已知10a =，12b =，且()13365a b ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，则向量a 与b 的夹角为． 8.若方程ln 3x x +=的根()0,1x k k ∈+，其中k ∈Z ，则k = ． 9.若角α的终边经过点()1,2P ，则22sin cos αα-= ．10.已知向量()2,1a =，()1,2b =-，若()9,8ma nb +=-（m ，R n ∈），则m n +的值为．11.已知函数()3g x x x =+，若()()3240g a g a -++>，则实数a 的取值范围是．12.已知函数()()2log 2a f x x x =+（0a >且1a ≠），当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()0f x >，则函数()f x 的单调增区间为．13.已知函数()()2ln 13,121,1x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程()()2320f x bf x b ++-=恰有4个不同的实数根，则实数b 的取值范围是．14.若方程22sin sin 20x x m +--=在[)0,2π上有且只有两解，则实数m 的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本题满分14分）已知集合{}05,x x x A =≤≤∈Z ，124,2x x x ⎧⎫B =≤≤∈Z ⎨⎬⎩⎭．（1）用列举法表示集合A 和B ；（2）求AB 和A B ；（3）若集合()C ,a =-∞，C B 中仅有3个元素，求实数a 的取值范围．16.（本题满分14分）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<），若函数()y f x =的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，当6x π=时，函数()y f x =取得最大值3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调减区间；（3）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域． 17.（本题满分14分）设向量()2,sin a α=，()cos ,1b α=-，且a b ⊥．求：（1）tan α；（2）sin cos sin cos αααα+-；（3）2sin sin cos ααα+．18.（本小题满分16分）如图，在菱形CD AB 中，1AB =，D 60∠BA =，且E 为对角线C A 上一点．（1）求D AB⋅A ；（2）若2C AE =E ，求AE⋅AB ；（3）连结BE 并延长，交CD 于点F ，连结F A ，设C λE =EA （01λ≤≤）．当λ为何值时，可使F F A ⋅B 最小，并求出F F A ⋅B 的最小值．19.（本小题满分16分）某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润()x P 与投资额x 成正比，其关系如图1；乙产品的利润()Q x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）．（1）试写出利润()x P 和()Q x 的函数关系式；（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？20.（本小题满分16分）已知函数()xxf x a a -=+（0a >且1a ≠）．（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）设()()1g x f x =，当()0,1x ∈时，求函数()g x 的值域；（3）若()512f =，设()()222x xh x a a mf x -=+-的最小值为7-，求实数m 的值．2015—2016学年度第一学期期末抽测高一数学试题参考答案一、填空题1．3 2．(1,)+∞ 3．2- 4． 5．136．43- 7．3π8．2 9．35 10．7 11．12a >- 12．1(,)2-∞-13．72[2,)(,665----U 14．178m =-或11m -<<二、解答题15．（1）{}0,1,2,3,4,5A =，……………………………………………………………2分{}{}12,1,0,1,2B x x x =-∈=-Z ≤≤． ……………………………………4分（2）{}0,1,2A B =I ， ……………………………………………………………7分 {}1,0,1,2,3,4,5A B =-U ． …………………………………………………10分（3）如图所示：实数a 的取值范围为12a <≤． …………………………………………14分16．（1）因为当6x π=时，函数()y f x =取得最大值3，所以3A =，……………1分因为函数()y f x =的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，所以22T π=⨯=π，即2ωπ=π，所以2ω=， ……………………………3分将点(,3)6π代入()3sin(2)f x x ϕ=+，得sin(2)16ϕπ⨯+=，因为2ϕπ<，所以6ϕπ=，…………………………………………………5分所以()3sin(2)6f x x π=+．…………………………………………………6分（2）令3222262k x k ππππ++π+≤≤，k ∈Z ， ……………………………8分解得263k x k πππ+π+≤≤，k ∈Z ，所以()f x 的单调减区间是2,(63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z)． ………………10分（结果未写出区间形式或缺少k ∈Z 的，此处两分不得）（3）当[,]63x ππ∈-，2[,]666x ππ5π+∈-，1sin(2)[,1]62x π+∈-， …………12分所以函数()f x 的值域是3[,3]2-． ………………………………………14分17．解法一：（1）由⊥a b ，得2cos sin 0αα-=， ………………………………2分解得tan 2α=． ………………………………………………4分（2）sin cos tan 1sin cos tan 1αααααα++=-- ………………………………………7分21321+==-． ……………………………………9分（3）2222sin sin cos sin sin cos sin cos αααααααα++=+ ……………………12分 22tan tan tan 1ααα+=+426415+==+． …………14分解法二：（1）由⊥a b ，得2cos sin 0αα-=， ……………………………2分解得tan 2α=． …………………………………………4分（2）由22tan 2,sin cos 1,ααα=⎧⎨+=⎩解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…8分将数值代入得sin cos sin cos αααα+-3=． ……………………………11分（3）由（2），代入数值得26sin sin cos 5ααα+=． …………………14分18．（1）1cos 11cos602AB AD AB AD BAD ⋅=∠=⨯⨯=o uu u r uuu r uu u r uuu r ． …………………2分（2）因为AC AB AD =+uuu r uu u r uuu r，所以AC AB AD =+=uuu r uu u r uuu r ……4分== …………………………………………5分又2AE EC =，所以2233AE AC ==…………………………6分故cos 11AE AB AE AB BAC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r ． …………………8分（3）因为CE EA λ=uu u r uu r ，ABE △∽CFE △，1AB =uu u r，故CF λ=，1FD λ=-， ……………………………………………10分所以()()AF BF AD DF BC CF ⋅=+⋅+uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u rAD BC AD CF DF BC DF CF =⋅+⋅+⋅+⋅uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r11cos120(1)1cos60(1)cos180λλλλ=+⨯+-⨯⨯+-⨯⨯o o o22312(1)22λλλ=-+=-+， ……………………14分故当1=λ时，AF BF ⋅uu u r uu u r 的值最小，最小值为12． ……………………16分19．（1）设1()P x k x =，代入(1,0.2)，解得115k =，所以1()5P xx =，…………………3分设()Q x k =(4,1.2)，解得235k =，所以()Q x =．……………6分（2）设投入乙产品x 万元，则甲产品投入3x -万元，利润总和为1()(3)5f x x =-03x ≤≤， …………………………9分（少定义域扣1分）t =，则0t ≤ ………………………………………………11分此时22131321()(3)()555220g t t t t =-+=--+， …………………………………13分当32t =，即9 2.254x ==时，()g t 取得最大值2120． …………………………15分答：对甲乙产品分别投入0.75万元和2.25万元时，可使获利总额最大，最大获利为1.05万元． …………………………………………………………16分20．（1）函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ∈R ，都有()()()x x x x f x a a a a f x -----=+=+=，所以()f x 为偶函数． ………………………………………………………2分（2）因为()xxf x a a -=+，所以2()1xx a g x a =+(0a >且1a ≠)，………………4分①当1a >时，因为(0,1)x ∈，所以(1,)xa a ∈，设x t a =，1y t t=+，(1,)t a ∈，在区间(1,)a 内任取两个数1t ，2t ，12t t <，则121212121212()(1)11()()t t t t y y t t t t t t ---=+-+=，因为120t t -<，121t t <，所以120y y -<，即12y y <，所以1y t t=+在(1,)a 上是单调增函数， ………………………………6分故2111(,)x x a y t a a t a a+=+=+∈，所以2211()(,)1112x x x xa a g x a a a a ==∈+++． ……………………………8分②当01a <<时，(0,1)x ∈，(,1)xa a ∈，同理可得21()(,)12a g x a ∈+．综上所述，()g x 的值域为21(,)12a a +． …………………………………10分（3）若5(1)2f =，则2a =或12a =，所以()22x x f x -=+， …………………11分222()222(22)(22)2(22)2x x x xx x x x h x m m ----=+-+=+-+-，令()22x xt f x -==+，因为x ∈R，故22222x x -++≥，即2t ≥， …………12分令222()22()2F t t mt t m m =--=---，①若2m ≥，则2min [()]()27F t F m m ==--=-，解得m =，又因为2m ≥，所以m =②若2m <，则min [()](2)247F t F m ==-=-，解得94m =（舍）．综上所述，实数m…………………………………………16分。

数学---江苏省徐州市2016-2017学年高二(上)期末试卷(理)(解析版)

2016-2017学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）命题p“∀x∈R，sin x≤1”的否定是．2．（5分）准线方程x=﹣1的抛物线的标准方程为．3．（5分）底面半径为1高为3的圆锥的体积为．4．（5分）双曲线的一条渐近线方程为y=x，则实数m的值为．5．（5分）若直线l1：x+4y﹣1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直，则k的值为．6．（5分）函数f（x）=x3﹣3x的单调减区间为．7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱共有条．8．（5分）已知函数f（x）=cos x+sin x，则的值为．9．（5分）“a=b”是“a2=b2”成立的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）10．（5分）若圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，则实数t的值为．11．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f（4）+f'（4）的值等于．12．（5分）椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，则该椭圆的离心率的取值范围是．13．（5分）已知A（3，1），B（﹣4，0），P是椭圆上的一点，则P A+PB的最大值为．14．（5分）已知函数f（x）=ln x，g（x）=﹣2x，当x＞2时k（x﹣2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，则整数k最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，AP=AB，平面P AB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：DE∥平面P AC；（2）求证：DE⊥AD．16．（14分）已知圆C的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为P（1，﹣2），Q（3，4）．（1）求圆C的方程；（2）若直线y=2x+b被圆C截得的弦长为，求b的值．17．（14分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．18．（16分）某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3π．设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S．（1）写出S关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）如何设计瓶子的尺寸（不考虑瓶壁的厚度），可以使表面积S最小，并求出最小值．19．（16分）已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（c＜4），其导函数y=h'（x）的图象如图所示，函数f（x）=8ln x+h（x）．（1）求a，b的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+）上是单调增函数，求实数m的取值范围；（3）若对任意k∈[﹣1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，求实数c的取值范围．20．（16分）把半椭圆=1（x≥0）与圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲线称作“曲圆”，其中F（c，0）为半椭圆的右焦点．如图，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面积为．（1）求a，c的值；（2）过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P，Q两点，试将△A1PQ的周长L表示为θ的函数；（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时，试探究△A1PQ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．参考答案一、填空题1．∃x∈R，sin x＞1【解析】根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sin x≤1”的否定是：∃x∈R，sin x＞1．故答案为：∃x∈R，sin x＞1．2．y2=4x【解析】∵抛物线的准线方程为x=﹣1，∴可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由准线方程x=﹣，得p=2．∴抛物线的标准方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．3．π【解析】底面半径为1高为3的圆锥的体积为：V==π．故答案为：π．4．6【解析】根据题意，双曲线的标准方程为：，则其焦点在x轴上，且a=，b=，故其渐近线方程为y=±x，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有=1，解可得m=6；故答案为：6．5．﹣4【解析】∵直线l1：x+4y﹣1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直互相垂直，∴﹣•（﹣k）=﹣1，解得k=﹣4，故答案为：﹣46．（﹣1，1）【解析】令y′=3x2﹣3＜0解得﹣1＜x＜1，∴函数y=x3﹣3x的单调递减区间是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．7．4【解析】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱有：DD1，CC1，A1D1，B1C1，共4条．故答案为：4．8．0【解析】函数的导数为f′（x）=﹣sin x+cos x，则f′（）=﹣sin+cos=﹣+=0，故答案为：09．充分不必要【解析】若a2=b2，则a=b或a=﹣b，即a=b”是“a2=b2”成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．10．±3【解析】由题意，圆心距=|t|=2+1，∴t=±3，故答案为±3．11．【解析】根据题意，由函数的图象可得f（4）=5，直线l过点（0，3）和（4，5），则直线l的斜率k==又由直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f′（4）=，则有f（4）+f'（4）=5+=；故答案为：．12．[，1）【解析】如图根据椭圆的性质可知，∠F1PF2当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，tan∠F1AO=，故椭圆离心率的取范围是[，1）故答案为[，1）13．【解析】由椭圆方程，得a2=25，b2=9，则c2=16，∴B（﹣4，0）是椭圆的左焦点，A（3，1）在椭圆内部，如图：设椭圆右焦点为F，由题意定义可得：|PB|+|PF|=2a=10，则|PB|=10﹣|PF|，∴|P A|+|PB|=10+（|P A|﹣|PF|）．连接AF并延长，交椭圆与P，则此时|P A|﹣|PF|有最大值为|AF|=∴|P A|+|PB|的最大值为10+．故答案为：10+14．5【解析】因为当x＞2时，不等式k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，即k（x﹣2）＜x ln x+2（x﹣2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，亦即k＜=+2对一切x∈（2，+∞）恒成立，所以不等式转化为k＜+2对任意x＞2恒成立．设p（x）=+2，则p′（x）=，令r（x）=x﹣2ln x﹣5（x＞2），则r′（x）=1﹣=＞0，所以r（x）在（2，+∞）上单调递增．因为r（9）=4（1﹣ln3）＜0，r（10）=5﹣2ln10＞0，所以r（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（9，10），当2＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函数p（x）在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又r（x0）=x0﹣2ln x0﹣5=0，所以2ln x0=x0﹣5．所以[p（x）]min=p（x0）=+2=+2∈（5，6），所以k＜[p（x）]min∈（5，6），故整数k的最大值是5．故答案为：5．二、解答题15．证明：（1）因为D，E分别为PB，BC的中点，所以DE∥PC，又DE⊄平面P AC，PC⊂平面P AC，故DE∥平面P AC．（2）因为AP=AB，PD=DB，所以AD⊥PB，因为平面P AB⊥平面ABC，平面P AB∩平面ABC=AB，又BC⊥AB，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面P AB，因为AD⊂平面P AB，所以AD⊥BC，又PB∩BC=B，PB，BC⊂平面ABC，故AD⊥平面PBC，因为DE⊂平面PBC，所以DE⊥AD．16．解：（1）由已知可知PQ为圆C的直径，故圆心C的坐标为（2，1），圆C的半径，所以圆C的方程是：（x﹣2）2+（y﹣1）2=10．（2）设圆心C到直线y=2x+b的距离是，据题意得：，即，解之得，b=2或b=﹣8．17．解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：18．解：（1）据题意，可知πx2h=3π，得，（2），令S′=0，得x=±1，舍负，当S′（x）＞0时，解得x＞1，函数S（x）单调递增，当S′（x）＜0时，解得0＜x＜1，函数S（x）单调递减，故当x=1时，函数有极小值，且是最小值，S（1）=9π答：当圆柱的底面半径为1时，可使表面积S取得最小值9π．19．解：（1）二次函数h（x）=ax2+bx+c的导数为：y=h′（x）=2ax+b，由导函数y=h′（x）的图象可知，导函数y=h′（x）过点（5，0）和（0，﹣10），代入h′（x）=2ax+b得：b=﹣10，a=1；（2）由（1）得：h（x）=x2﹣10x+c，h′（x）=2x﹣10，f（x）=8ln x+h（x）=8ln x+x2﹣10x+c，f′（x）=+2x﹣10=，当x变化时所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（4，+∞）．单调递减区间为（1，4），若函数在（m，m+）上是单调递增函数，则有或者m≥4，解得0≤m≤或m≥4；故m的范围是：[0，]∪[4，+∞）．（3）若对任意k∈[﹣1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，即对k=﹣1时，x∈（0，8]，不等式c≤﹣x2﹣8ln x+10x恒成立，设g（x）=﹣x2﹣8ln x+10x，x∈（0，8]，则g′（x）=，x∈（0，8]，令g′（x）＞0，解得：1＜x＜4，令g′（x）＜0，解得：4＜x≤8或0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，4）递增，在（4，8]递减，故g（x）的最小值是g（1）或g（8），而g（1）=9，g（8）=16﹣24ln3＜4＜9，c＜4，故c≤g（x）min=g（8）=16﹣24ln3，即c的取值范围是（﹣∞，16﹣24ln3]．20．解：（1）∵扇形FB1A1B2的面积为=，∴a=2，圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）与y轴交点B2（0，b），在△OFB2中，tan∠OFB2=tan60°=，又因为c2+b2=a2，∴c=1．（2）显然直线PQ的斜率不能为0（θ∈（0，π）），故设PQ方程为：x=my+1由（1）得半椭圆方程为：（x≥0）与圆弧方程为：（x﹣1）2+y2=4（x＜0），且A1（﹣1，0）恰为椭圆的左焦点．①当θ∈（0，）时，P、Q分别在圆弧：（x﹣1）2+y2=4（x＜0）、半椭圆：（x≥0）上，△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4sin，△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4sin，②当θ∈（）时，P、Q分别在圆弧：（x﹣1）2+y2=4（x＜0）、半椭圆：（x≥0）上，△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4cos，△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4cos，③当θ∈（，）时，P、Q在半椭圆：（x≥0）上，△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4sin，△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=4a=8（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时P、Q在半椭圆：（x ≥0）上，联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0y1+y2=，y1y2=．|PQ|=，点A1到PQ的距离d=．△A1PQ的面积s=|PQ|•d=12．令m2+1=t，t∈[1，]，s=12=12；∵g（t）=9t+在[1，+]上递增，∴g（1）≤g（t）≤g（），；10≤g（t）≤，≤s≤3∴△A1PQ的面积不为定值，面积的取值范围为：[].。

2016—2017学年第一学期高一级数学期末考试答案精品

2016-2017学年度第一学期高一级数学科期末试题答案二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）2y x =或 30x y +-= 16. 1118三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

）17．（本题满分10分）【解答】解：（1）∵点O （0，0），点C （1，3），∴OC 所在直线的斜率为．（2）在平行四边形OABC 中，AB ∥OC ， ∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥OC ．∴CD 所在直线的斜率为．∴CD 所在直线方程为，即x+3y ﹣10=0．18. （本题满分12分）【解答】证明：（Ⅰ）∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴AE ⊥CD ，又在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，AE∩AD =A ， ∴CD ⊥平面ADE ，又在正方形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴AB ⊥平面ADE ．…（6分）解：（Ⅱ）连接BD ，设B 到平面CDE 的距离为h ， ∵AB ∥CD ，CD ⊂平面CDE ，∴AB ∥平面CDE ，又AE ⊥平面CDE ， ∴h=AE=1，又=，∴=，又==，∴凸多面体ABCDE 的体积V=V B ﹣CDE +V B ﹣ADE =．…（12分）19. （本题满分12分）解：1）、(0)01x R f a ∈∴=∴=-……………….3分2)、22()1()13131x x f x f x =-∴+=++， 012314x x ≤≤∴≤+≤ ……………….5分1()112f x ∴≤+≤……………….7分 112t ∴≤≤……………….8分（3）1132)(-+=xx f 在R 上单调递减，…………….9分 )22()(2m x f mx x f -≥-m x mx x 222-≤-…………….10分02)2(2≤++-m x m x0))(2(≤--m x x …………….11分（1）当2>m 时，不等式的解集是{}m x x ≤≤2| （2）当2=m 时，不等式的解集是{}2|=x x（3）当2<m 时，不等式的解集是{}2|≤≤x m x …………….14分20．解：（1）由题意，112(),(),0;0)f x k x g x k k k x ==≠≥ 又由图知f （1.8）=0.45 ，g(4)=2.5；解得1215,44k k == ………….2分∴1()(0);()0)4f x x x g x x =≥=≥ ……….3分 (不写定义域扣1分）（2）设对股票等风险型产品B 投资x 万元，则对债券等稳键型产品A 投资（10-x ）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y 万元， ……….4分则1(10)0)4y x x =-+≥ ……….6分t =，则2x t =，(0t ≤ ……….8分∴21565()4216y t =--+ ……….10分当52t =也即254x =时，y 取最大值6516……….11分答：对股票等风险型产品B 投资254万元，对债券等稳键型产品A 投资154万元时，可获最大收益6516万元. ……….12分 21．解：(1)连接CN .因为ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，所以AC ⊥CC 1. 因为AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1.因为MC ＝1，CN ＝CC 21＋C 1N 2＝5，所以MN ＝ 6.(2)证明：取AB 中点D ，连接DM ，DB 1.在△ABC 中，因为M 为AC 中点，所以DM ∥BC ，DM ＝12BC .在矩形B 1BCC 1中，因为N 为B 1C 1中点，所以B 1N ∥BC ，B 1N ＝12BC .所以DM ∥B 1N ，DM ＝B 1N .所以四边形MDB 1N 为平行四边形，所以MN ∥DB 1. 因为MN ⊄平面ABB 1A 1，DB 1⊂平面ABB 1A 1，所以MN ∥平面ABB 1A 1.(3)线段CC 1上存在点Q ，且Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ . 证明如下：连接BC 1.在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1.又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥QN ，从而NQ ⊥平面A 1BC 1. 所以A 1B ⊥QN .同理可得A 1B ⊥MQ ，所以A 1B ⊥平面MNQ . 故线段CC 1上存在点Q ，使得A 1B ⊥平面MNQ . 22．解：（I ）抛物线的对称轴为2b x a=-， ①当22ba-<时，即4b a >-时，当2bx a =-时，222max 29()()24248b b b b f x f ac c a a a a -=-=⨯-+=+=， min ()(2)422f x f a b c ==++=-，∴2948422b c a a b ⎧-+=⎪⎨⎪+=-⎩， ∴2,3a b =-=.②当22ba-≥时，即4b a ≥-时， ()f x 在[0,2]上为增函数，min ()(0)0f x f ==与min ()2f x =-矛盾，无解，综合得：2,3a b =-=.（II ）()||2f x x ≤对任意[1,2]x ∈恒成立，即1||2ax b x ++≤对任意[1,2]x ∈恒成立，即122ax b x-≤++≤对任意[1,2]x ∈恒成立，令1()g x ax b x =++，则max min [()]2[()]2g x g x ≤⎧⎨≥-⎩， ∵01a <<1>，2≥，即104a <≤时，()g x 在[1,2]单调递减，此时max min [()](1)2[()](2)2g x g g x g =≤⎧⎨=≥-⎩，即121222a b a b ++≤⎧⎪⎨++≥-⎪⎩，得1522b ab a ≤-⎧⎪⎨≥--⎪⎩，此时57(2)(1)022a a a ----=--<， ∴5(2)(1)2a a --<- ∴5212a b a --≤≤-.（ⅱ）12<<，即114a <<时，()g x在单调递减，在单调递增，此时，min [()]222g x g b b =≥-⇒≥-⇒≥--只要(1)121(2)2222g a b g a b b ⎧=++≤⎪⎪=++≤⎨⎪⎪≥-⎩13222b a b a b ⎧≤-⎪⎪⇒≤-⎨⎪⎪≥-⎩，31(1)(2)22a a a ---=-当112a ≤<时，3122a a -≥-，3222b a -≤≤- 当1142a <<时，3122a a -<-，21b a -≤≤-. 综上得：①104a <≤时，5212a b a --≤≤-；②1142a <<时，21b a -≤≤-； ③112a ≤<时，3222b a -≤≤-.。

高一(数学)江苏省徐州市2016-2017学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年江苏省徐州市云高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上.1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A ∪B= ． 2．函数f （x ）=ln （﹣x +1）的定义域为．3．函数f （x ）=，则f [f （1）]的值为．4．函数f （x ）=（）x +1，x ∈[﹣1，1]的值域是． 5．已知f （2x ）=6x ﹣1，则f （x ）= ．6．幂函数f （x ）的图象过点，则f （4）= ．7．函数f （x ）=的单调递减区间为．8．已知函数f （x ）=x 3+ax +3，f （﹣m ）=1，则f （m ）= ．9．已知a +a ﹣1=3，则a +a= ．10．方程的实数解的个数为．11．若函数y=x 2﹣4x 的定义域为[﹣4，a ]，值域为[﹣4，32]，则实数a 的取值范围为． 12．设定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （2）=0，则不等式f （x ）＜0的解集为．13．已知函数y=lg （ax 2﹣2x +2）的值域为R ，则实数a 的取值范围为．14．定义在（﹣1，1）上的函数f （x ）满足：f （x ）﹣f （y ）=f （），当x ∈（﹣1，0）时，有f （x ）＞0；若P=f （）+f （），Q=f （），R=f （0）；则P ，Q ，R 的大小关系为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．设集合A={x |a ﹣1≤x ≤a +1}，集合B={x |﹣1≤x ≤5}．（1）若a=5，求A ∩B ；（2）若A ∪B=B ，求实数a 的取值范围． 16．计算下列各式的值（1）（2）﹣（）0+0.25×（）﹣4．17．已知y=f （x ）（x ∈R ）是偶函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x ．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．18．已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与进货资金t（单位：万元）的关系有经验公式P=t和Q=．某商场决定投入进货资金50万元，全部用来购入这两种电脑，那么该商场应如何分配进货资金，才能使销售电脑获得的利润y（单位：万元）最大？最大利润是多少万元？19．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=﹣2x+1且f（2）=15．（1）求函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=（2﹣2m）x﹣f（x）；①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；②求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．20．设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；（2）若a＞2，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；（3）若存在a∈[﹣2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．2016-2017学年江苏省徐州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上.1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={﹣1，0，1，2} ．【考点】并集及其运算．【分析】直接利用并集运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={0，1，2}∪{﹣1，0，1}={﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}．2．函数f（x）=ln（﹣x+1）的定义域为（﹣∞，1）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由对数的性质计算得答案．【解答】解：由﹣x+1＞0，得x＜1．∴函数f（x）=ln（﹣x+1）的定义域为：（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．3．函数f（x）=，则f[f（1）]的值为1．【考点】函数的值．【分析】先求出f（1）=﹣1，从而f[f（1）]=f（﹣1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（1）=﹣1，f[f（1）]=f（﹣1）=（﹣1）2=1．故答案为：1．4．函数f（x）=（）x+1，x∈[﹣1，1]的值域是．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【分析】根据x的范围确定的范围，然后求出函数的值域．【解答】解：因为x∈[﹣1，1]，所以所以即f（x）∈故答案为：5．已知f（2x）=6x﹣1，则f（x）=3x﹣1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用配凑法或者换元法求解该类函数的解析式，注意复合函数中的自变量与简单函数自变量之间的联系与区别．【解答】解：由f（2x）=6x﹣1，得到f（2x）=3（2x﹣）=3（2x）﹣1故f（x）=3x﹣1故答案为：3x﹣1．6．幂函数f（x）的图象过点，则f（4）=2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数的解析式，由图象过，确定出解析式，然后令x=4即可得到f（4）的值．【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过，则有=3a，∴a=，即f（x）=x，∴f（4）=（4）=2．故答案为：2．7．函数f（x）=的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】先求导，再令f′（x）＜0，解得即可．【解答】解：∵f（x）=1+，∴f′（x）=﹣＜0∵x≠0∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故答案为：（﹣∞，0），（0，+∞）．8．已知函数f（x）=x3+ax+3，f（﹣m）=1，则f（m）=5．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】结合函数的奇偶性，利用整体代换求出f（m）的值．【解答】解：由已知f（m）=﹣m3﹣am+3=1，所以m3+am=2．所以f（m）=m3+am+3=2+3=5．故答案为5．9．已知a+a﹣1=3，则a+a=．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】利用a+a=，即可得出．【解答】解：∵a＞0，∴a+a==．故答案为：．10．方程的实数解的个数为2．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】将方程变为2﹣x=，方程的根即相关的两个函数的交点的横坐标，故判断方程实数解的个数的问题可以转化求两个函数y=2﹣x与y=的两个函数的交点个数的问题，至此解题方法已明．【解答】解：方程变为2﹣x=，令y=2﹣x与y=，作出两函数的图象如图，两个函数在（0，+∞）有两个交点，故方程有两个根．故应填2．11．若函数y=x2﹣4x的定义域为[﹣4，a]，值域为[﹣4，32]，则实数a的取值范围为2≤a≤8．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】先配方，再计算当x=2时，y=﹣4；当x=﹣4时，y=（﹣4﹣2）2﹣4=32，利用定义域为[﹣4，a]，值域为[﹣4，32]，即可确定实数a的取值范围．【解答】解：配方可得：y=（x﹣2）2﹣4当x=2时，y=﹣4；当x=﹣4时，y=（﹣4﹣2）2﹣4=32；∵定义域为[﹣4，a]，值域为[﹣4，32]，∴2≤a≤8∴实数a的取值范围为2≤a≤8故答案为：2≤a≤812．设定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【分析】利用奇函数的对称性、单调性即可得出．【解答】解：如图所示，不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．13．已知函数y=lg（ax2﹣2x+2）的值域为R，则实数a的取值范围为（0，] ．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】本题中函数y=lg（ax2﹣2x+2）的值域为R，故内层函数ax2﹣2x+2的值域要取遍全体正实数，当a=0时不符合条件，当a＞0时，可由△≥0保障内层函数的值域能取遍全体正实数．【解答】解：当a=0时不符合条件，故a=0不可取；当a＞0时，△=4﹣8a≥0，解得a≤，故0＜a≤，故答案为：（0，]．14．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：f（x）﹣f（y）=f（），当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0；若P=f（）+f（），Q=f（），R=f（0）；则P，Q，R的大小关系为R＞P＞Q．【考点】抽象函数及其应用．【分析】令x=y，可求得f（0）=0，令x=0，可得f（﹣y）=﹣f（y），判断出f（x）为奇函数，当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0可得当x∈（0，1）时，有f（x）＜0．令x=，y=，则f（）﹣f（）=f（），求出f（）+f（），从而可将进行比较．【解答】解：∵定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：f（x）﹣f（y）=f（），∴令x=y，则f（x）﹣f（x）=f（0），即f（0）=0，令x=0，则f（0）﹣f（y）=f（﹣y），即f（﹣y）=﹣f（y），∴f（x）在（﹣1，1）是奇函数，∵当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，∴当x∈（0，1）时，有f（x）＜0．令x=，y=，则f（）﹣f（）=f（）=f（），∴f（）+f（）=f（）﹣f（）+f（）﹣f（）=f（）﹣f（），∴P﹣Q=﹣f（）＞0，P＞Q，∵P，Q＜0，∴R＞P＞Q．故答案为：R＞P＞Q．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．设集合A={x|a﹣1≤x≤a+1}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．（1）若a=5，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【分析】（1）利用交集的定义求解．（2）利用并集的性质求解．【解答】解：（1）∵a=5，A={x|a﹣1≤x≤a+1}={x|4≤x≤6}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．∴A∩B={x|4≤x≤5}．（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，∴，解得0≤a≤4．16．计算下列各式的值（1）（2）﹣（）0+0.25×（）﹣4．【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可，（2）根据幂的运算性质计算即可．【解答】解：（1）原式====1，（2）原式=﹣4﹣1+×（）4=﹣5+2=﹣317．已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）当x＜0时，有﹣x＞0，由f（x）为偶函数，求得此时f（x）=f（﹣x）的解析式，从而得到函数f（x）在R上的解析式．（2）由题意得m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立，而在1≤x≤2时，求得（x﹣2）min=﹣1，由此可得m的取值范围．【解答】解：（1）当x＜0时，有﹣x＞0，∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，∴f（x）=．（2）由题意得x2﹣2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x﹣2≥m在1≤x≤2时都成立，即m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立．而在1≤x≤2时，（x﹣2）min=﹣1，∴m≤﹣1．18．已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与进货资金t（单位：万元）的关系有经验公式P=t和Q=．某商场决定投入进货资金50万元，全部用来购入这两种电脑，那么该商场应如何分配进货资金，才能使销售电脑获得的利润y（单位：万元）最大？最大利润是多少万元？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】设用于台式电脑的进货资金为m万元，则用于笔记本电脑的进货资金为（50﹣m）万元，那么y=P+Q，代入可得关于x的解析式，利用换元法得到二次函数f（t），再由二次函数的图象与性质，可得结论．．【解答】解：设用于台式电脑的进货资金为m万元，则用于笔记本电脑的进货资金为（50﹣m）万元，…所以，销售电脑获得的利润为y=P+Q=（50﹣m）+（0≤m≤50）．…令u=，则u∈[0，5]，（不写u的取值范围，则扣1分）则y=﹣u2+u+=﹣（u﹣4）2+．…当u=4，即m=16时，y取得最大值为．所以当用于台式机的进货资金为16万元，用于笔记本的进货资金为34万元时，可使销售电脑的利润最大，最大为万元．…19．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=﹣2x+1且f（2）=15．（1）求函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=（2﹣2m）x﹣f（x）；①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；②求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．（2）函数g（x）的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；②分当m≤0时，当0＜m＜2时，当m≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，∵f（2）=15，f（x+1）﹣f（x）=﹣2x+1，∴4a+2b+c=15；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=﹣2x+1；∴2a=﹣2，a+b=1，4a+2b+c=15，解得a=﹣1，b=2，c=15，∴函数f（x）的表达式为f（x）=﹣x2+2x+15；（2）∵g（x）=（2﹣2m）x﹣f（x）=x2﹣2mx﹣15的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；②当m≤0时，g（x）在[0，2]上为增函数，当x=0时，函数g（x）取最小值﹣15；当0＜m＜2时，g（x）在[0，m]上为减函数，在[m，2]上为增函数，当x=m时，函数g （x）取最小值﹣m2﹣15；当m≥2时，g（x）在[0，2]上为减函数，当x=2时，函数g（x）取最小值﹣4m﹣11；∴函数g（x）在x∈[0，2]的最小值为20．设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；（2）若a＞2，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；（3）若存在a∈[﹣2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；函数的图象．【分析】（1）通过图象直接得出，（2）将x分区间进行讨论，去绝对值写出解析式，求出单调区间，（3）将a分区间讨论，求出单调区间解出即可．【解答】解：（1）当a=2，x∈[0，3]时，作函数图象，可知函数f（x）在区间[0，3]上是增函数．所以f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9．（2）①当x≥a时，．因为a＞2，所以．所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．②当x＜a时，．因为a＞2，所以．所以f（x）在上单调递增，在上单调递减．综上所述，函数f（x）的递增区间是和[a，+∞），递减区间是[，a]．（3）①当﹣2≤a≤2时，，，11 ∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是增函数，关于x 的方程f （x ）=t ﹣f （a ）不可能有三个不相等的实数解．②当2＜a ≤4时，由（1）知f （x ）在和[a ，+∞）上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程f （x ）=t •f （a ）有三个不相等的实数解．即．令，g （a ）在a ∈（2，4]时是增函数，故g （a ）max =5．∴实数t 的取值范围是．。

江苏省徐州市2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题扫描版含答案

2016—2017学年度第一学期期末抽测高一数学试题参考答案一、填空题8．2 9．6 10．5- 11．1 12．0 13．[1,2)[4,)+∞ 14．{}4,24- 二、解答题 15．（1）当1a =-时，[)1,1B =-，由于[)0,3A =，所以[)1,3AB =-．…………6分（2）由A B B =，得B A ⊆，………………………………………………………9分于是0,23,a a ⎧⎨⎩+≥≤即01a ≤≤，所以，a 的取值范围是[]0,1．…………………………………………………14分16．（1）因为145⋅=-a b ，所以142cos 2sin 5αα-+=，即7sin cos 5αα-=，……………………………………………………………2分于是22749(sin cos )12sin cos ()525αααα-=-==，从而242sin cos 25αα=-．………………………………………………………4分因此，2241(sin cos )12sin cos 12525αααα+=+=-=．……………………6分（2）因为//a b ，所以2cos (2)sin 0αα--⋅=，即cos sin 0αα+=，……………8分于是tan 1α=-，………………………………………………………………10分因此，πsin(π)sin()sin cos 2αααα-⋅+=⋅ …………………………………12分222sin cos tan 1sin cos tan 12αααααα⋅===-++．………14分 17.（1）根据表中已知数据可得：3A =，ππ62ωϕ+=，2π3π32ωϕ+=，解得2ω=，π6ϕ=. 数据补全如下表：3分函数表达式为π()3sin(2)6f x x =+.……………………………………………5分（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，所以π()3sin()6g x x =+．………………………………………7分当ππ[,]33x ∈-时，πππ[,]662x +∈-，所以π1sin()[,1]62x +∈-．于是函数)(x g 的值域为3[,3]2-．………………………………………………9分（3）由（1）可得，π()3sin(22)6h x x q =++，由()h x 图象的一个对称中心为π(,0)12可得，π()012h =，所以ππ3sin(22)0126q ?+=，即πsin(2)03q +=，………………………12分从而π2π,3k k Z q +=?，解得ππ,26k k Z q =-?，由0q >可得，当1k =时，q 取得最小值π3.…………………………………14分18．（1）m =()1=-a ，于是⋅=a b 3分又2=a ，1=b ，所以cos θ⋅==a b a b []0,θ∈π，所以6θ5π=．…………………6分（2）①因为⊥a b ，所以0⋅=a b ，即()1102m -=+，得m =8分②m =2=a ，1=b ，由()()23t k t ⎡⎤-⊥-⎣⎦++a b a b ，得()()230t k t ⎡⎤-⋅-=⎣⎦++a b a b ，因为0⋅=a b ，所以()22230k t t --=+a b ，于是()234t tk -=，…………12分故()()23222341174324444k t t t t t t t t t -==-=+-+++，当2t =-时，2k t t +取最小值74-．…………………………………………16分 19．（1）当甲的用水量不超过5吨时，即55x ≤，1x ≤时，乙的用水量也不超过5吨，()2.65320.8y x x x ==+；…………………………………………………2分当甲的用水量超过5吨，乙的用水量不超过5吨，即55,35,x x >⎧⎨⎩≤513x <≤时， ()5 2.64553 2.627.87y x x x =⨯⨯-⨯=-++；……………………………4分当乙的用水量超过5吨，即35x >，53x >时， ()()25 2.6435553214y x x x =⨯⨯⨯⎡--⎤=-⎣⎦++.…………………………6分所以20.8,01,527.87,1,353214,.3x x y x x x x ⎧⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪->⎪⎩≤≤≤ …………………………………………………7分（2）由于()y f x =在各段区间上均单调增，当[]0,1x ∈时，()134.7y f <≤；……………………………………………9分当5(,)3x ∈∞+时，5()34.73y f >>；…………………………………………11分当5(1,]3x ∈时，令27.8734.7x -=，解得 1.5x =.…………………………13分所以甲户用水量为57.5x =（吨），付费15 2.6 2.5423y =⨯⨯=+(元)；乙户用水量为3 4.5x =（吨），付费2 4.5 2.611.7y =⨯=(元)．………………………………………………15分答：甲户该月的用水量为7.5吨、水费为23元，乙户该月的用水量为4.5吨、水费为11.7元．………………………………16分20．（1）由函数2()45f x x x a =++-的对称轴是2x =-，知()f x 在区间[]1,1-上是增函数， …………………………………2分因为函数在区间[]1,1-上存在零点，则必有： ()()1010f f ⎧-⎪⎨⎪⎩≤≥即800a a -⎧⎨⎩≤≥，解得08a ≤≤，故所求实数a 的取值范围为[]0,8． ………………………………4分（2）若对任意的[]11,2x ∈，总存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x =成立，只需函数()y f x =的值域是函数()y g x =的值域的子集． …………………6分当0a =时，2()45f x x x =+-，[]1,2x ∈的值域为[]0,7， ………………… 7分下面求1()427x g x m m -=⋅-+，[]1,2x ∈的值域．令14x t -= ，则[1,4]t ∈，27y mt m =-+ ①当0m =时，()7g x =为常数，不符合题意，舍去； ②当0m >时，()g x 的值域为[]7,27m m -+，要使[][]0,77,27m m ⊆-+，需70277m m -⎧⎨+⎩≤≥，解得7m ≥； ③当0m <时，()g x 的值域为[]27,7m m +-，要使[][]0,727,7m m ⊆+-，需2707m m +⎧⎨-⎩≤≥7，解得72m -≤；综上，m 的取值范围为[)7,7,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦． ……………………………10分（3）由题意知2640t t <⎧⎨->⎩，可得32t <． ………………………………… 12分 ①当6t -≤时，在区间[],2t 上，()f t 最大，(2)f -最小，所以2()(2)4464f t f t t t --=++=-，即2820t t +-=，解得4t =--4t =-+（舍去）； ②当26t -<-≤时，在区间[],2t 上，(2)f 最大，(2)f -最小，所以(2)(2)1664f f t --==-，解得52t =-； ③当322t -<<时，在区间[],2t 上，(2)f 最大，()f t 最小，所以2(2)()41264f f t t t t -=--+=-，即26t =，解得t =t =t 满足题意；综上所述，存在常数t 满足题意，4t =--52t =-．……………………16分。

2015-2016学年江苏省徐州市高一第一学期期末数学试卷与解析

2015-2016学年江苏省徐州市高一第一学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1．已知全集U={1，2，3}，A={1，m}，∁U A={2}，则m=3．解：∵全集U={1，2，3}，且∁U A={2}，∴A={1，3}∵A={1，m}，∴m=3．2．函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）．解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）3．幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则α=﹣2．解：∵幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），∴2α==2﹣2∴α=﹣2故答案为：﹣2．4．sin240°=．解：根据诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα得：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣5．已知向量，，且，则x的值为．解：∵向量，，且，∴3x﹣（﹣1）•（﹣1）=0，解得x=．故答案为：．6．若sinα=，，则tanα的值为﹣．解：∵sinα=，，∴cosα==﹣=﹣，∴tan==﹣．故答案为：﹣7．已知，，且，则向量与的夹角为．解：设向量与的夹角为θ，，，且，∴（3）•（）=|3|•||cosθ=3×10××12cosθ=36，∴cosθ=，∵0≤θ≤π，∴θ=，故答案为：．8．若方程lnx+x=3的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=2．解：令函数f（x）=lnx+x﹣3，则由x0是方程lnx+x=3的根，可得x0是函数f（x）=lnx+x﹣3 的零点．再由f（2）=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0，f（3）=ln3＞0，可得f（2）f（3）＜0，故x0∈（2，3），∴k=2，故答案为2．9．若角α的终边经过点P（1，2），则sin2α﹣cos2α=．解：∵角α的终边经过点P（1，2），∴，∴sin2α﹣cos2α=（）2﹣（）2=．故答案为：．10．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m=（9，﹣8）（m，n∈R），则m+n的值为7．解：∵向量=（2，1），=（1，﹣2），∴m=（2m+n，m﹣2n）=（9，﹣8），即，解得，∴m+n=7．故答案为：7．11．已知函数g（x）=x3+x，若g（3a﹣2）+g（a+4）＞0，则实数a的取值范围是a＞﹣．解：根据题意，对于函数g（x）=x3+x，有g（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣g（x），即函数g（x）为奇函数；而g（x）=x3+x，g′（x）=2x2+1，则g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）为增函数；若g（3a﹣2）+g（a+4）＞0，即g（3a﹣2）＞﹣g（a+4）=g（﹣a﹣4），又由函数g（x）为增函数，则可以转化为3a﹣2＞﹣a﹣4，解可得a＞﹣；即a的取值范围是a＞﹣；故答案为：a＞﹣．12．若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是．解：函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，由于x∈，得2x2+x∈（0，1），又在区间恒有f（x）＞0，故有a∈（0，1）对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣）故应填（﹣∞，﹣）13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是（﹣，6﹣2）∪[﹣2，﹣）．解：作函数f（x）=的图象如下，，∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+3b﹣2=0有4个不同的实数根，∴x2+bx+3b﹣2=0有2个不同的实数根，令g（x）=x2+bx+3b﹣2，若2个不同的实数根都在[﹣2，2）上，则，解得，﹣＜b＜6﹣2，若2个不同的实数根都在（3，+∞）上，则，无解；若分别在[﹣2，2），（3，+∞）上，令g（x）=x2+bx+3b﹣2，则，解得，﹣2≤b＜﹣；故答案为：（﹣，6﹣2）∪[﹣2，﹣）．14．若方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在[0，2π）上有且只有两解，则实数m的取值范围是（﹣1，1）∪{﹣}．解：由于方程2sin2x+sinx﹣m﹣2=0在[0，2π）上有且只有两解，故函数y=2sin2x+sinx的图象和直线y=m+2在[0，2π）上有且只有两个交点．由于sinx在（﹣1，1）上任意取一个值，在[0，2π）上都有2个x值和它对应，故令t=sinx∈[﹣1，1]，则函数y=2t2+t的图象和直线直线y=m+2在（﹣1，1）上有且只有一个交点，如图所示：∵当t=﹣时，y=﹣，故1＜m+2＜3或m+2=﹣，求得﹣1＜m＜1或m=﹣，故答案为：（﹣1，1）∪{﹣}．【点评】本题主要考查正弦函数二、解答题（本大题共6小题，满分90分）15．已知集合A={x|0≤x≤5，x∈Z}，B={x|≤2x≤4，x∈Z}．（1）用列举法表示集合A和B；（2）求A∩B和A∪B；（3）若集合C=（﹣∞，a），B∩C中仅有3个元素，求实数a的取值范围．解：（1）由题意得：A={x|0≤x≤5，x∈Z}={0，1，2，3，4，5}，B={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}={﹣1，0，1，2}；（2）∵A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，A∪B={﹣1，0，1，2，3，4，5}；（3）∵B={﹣1，0，1，2}，C=（﹣∞，a），且B∩C中仅有3个元素，∴实数a的取值范围为1＜a≤2．16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，），若函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，当时，函数y=f （x）取得最大值3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）若，求函数f（x）的值域．解：（1）因为当时，函数y=f（x）取得最大值3，所以A=3，…因为函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，所以，即，所以ω=2，…将点代入f（x）=3sin（2x+φ），得，因为，所以，…所以．…（2）令，k∈Z，…解得，k∈Z，所以f（x）的单调减区间是．…（结果未写出区间形式或缺少k∈Z的，此处两分不得）（3）当，，，…所以函数f（x）的值域是．…17．设向量，，且．求：（1）tanα；（2）；（3）sin2α+sinαcosα．解：解法一：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，…解得tanα=2．…（2）…=．…（3）…==．…解法二：（1）由a⊥b，得2cosα﹣sinα=0，…解得tanα=2．…（2）由，解得或．…将数值代入得=3．…（3）由（2），代入数值得．…18．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，且E为对角线AC上一点．（1）求•；（2）若=2，求•；（3）连结BE并延长，交CD于点F，连结AF，设=λ（0≤λ≤1）．当λ为何值时，可使•最小，并求出的最小值．解：（1）•=AB•AD•cos∠BAD=1×1×cos60°=．（2）∵=2，∴==（），∴•=（）•=+=+×=1．（3）以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（，）．C（，）．∴，=（，）．∵=λ，∴=（﹣λ，0），=（1﹣λ，0）．∴==（，），==（，），∴•=（）×（）+=λ2﹣2λ=（λ﹣1）2+．∴当λ=1时，•最小，的最小值是．19．某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润P（x）与投资额x成正比，其关系如图1；乙产品的利润Q（x）与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2（利润与投资单位：万元）．（1）试写出利润P（x）和Q（x）的函数关系式；（2）该企业已筹集到3万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这3万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？解：（1）设P（x）=k1x，代入（1，0.2），解得，所以，…设，代入（4，1.2），解得，所以．…（2）设投入乙产品x万元，则甲产品投入3﹣x万元，利润总和为，0≤x≤3，…记，则，…此时，…当，即时，g（t）取得最大值．…答：对甲乙产品分别投入0.75万元和2.25万元时，可使获利总额最大，最大获利为1.05万元．…20．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0且a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）设g（x）=，当x∈（0，1）时，求函数g（x）的值域；（3）若f（1）=，设h（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）的最小值为﹣7，求实数m值．解：（1）函数f（x）的定义域为R．f（﹣x）=a﹣x+a x=f（x），∴函数f（x）为偶函数．（2）x∈（0，1）时，a x＞0.0＜g（x）===＜，∴函数g（x）的值域为．（3）f（1）==a+a﹣1，解得a=2．h（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x+2﹣x）=（2x+2﹣x﹣m）2﹣m2﹣2，当m≤2时，h（x）的最小值为h（0）=2﹣4m=﹣7，解得m=，舍去；当m＞2时，h（x）的最小值为﹣m2，∴﹣m2﹣2=﹣7，解得m=．综上可得：m=．。

2017-2018学年江苏省徐州市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共60.0分）1.已知集合A={-1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=______．2.sin405°的值为______．3.若幂函数f（x）=x a的图象过点（9，3），则实数α的值为______．4.已知角α的终边经过点（-3，4），则cosα的值为______．5.函数y=lg（3-x）的定义域为______．6.圆心角为2rad，半径为3cm的扇形的面积为______．7.求值：82+log32×log227=______．8.已知函数f(x)=x2−2x，x≤0ax，x＞0若f（f（-1））=2，则实数a的值为______．9.已知点O（0，0），A（1，0），B（0，2），C（-1，4），若OC=λOA+μOB(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为______．10.若cos(75°+x)=14，则sin（x-15°）的值为______．11.将函数y=sin（2x-π3）的图象先向左平移π6个单位，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为______．12.若函数f(x)=loga x,x≥11−2a−ax,x<1是R上的单调函数，则实数a的取值范围是______．13.已知定义在R上的偶函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（1，2]时，f（x）=-2x+3，若关于x的方程f（x）=log a|x|（a＞1）恰好有8个不同的实数根，则实数a的取值范围是______．14.已知函数f（x）=2|x|，若存在实数m，n，使得f（x-m）≤2x对任意的x∈[2，n]都成立，则m+n的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)(−π2＜φ＜π2)，且f（x）的图象过点（0，1）．（1）求函数f（x）的最小正周期及φ的值；（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时自变量x的集合；（3）求函数f（x）的单调增区间．16.已知向量a=(cosα，1)，b=(12，sinα)．（1）若a∥b，求（sinα+cosα）2的值；（2）若a⊥b，求tanα及的4sinα+cosα2sinα−3cosα值．17.如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=60°．（1）求AB⋅AC的值；（2）求cos∠BAC的值．18.如图，某学校有一块直角三角形空地ABC，其中∠C=π，BC=20m，AB=40m，该2校欲在此空地上建造一平行四边形生物实践基地BMPN，点M，P，N分别在BC，CA，AB上．（1）若四边形BMPN为菱形，求基地边BM的长；（2）求生物实践基地的最大占地面积．19.集合A由满足以下性质的函数f（x）组成：①f（x）在[0，+∞）上是增函数；②对于任意的x≥0，f（x）∈[3，4]．已知函数f1(x)=x+3，f2(x)=4−12x．（1）试判断f1（x），f2（x）是否属于集合A，并说明理由；（2）将（1）中你认为属于集合A的函数记为f（x）（ⅰ）试用列举法表示集合P={x|f（x）[4-f（x）]=3}；（ⅱ）若函数f（x）在区间[m，n]（m≥0）上的值域为[2m+a2m ，2n+a2n]，求实数a的取值范围．20.已知函数f（x）=a（x+1）2+|x|．（1）当a=0时，求证：函数f（x）是偶函数；（2）若对任意的x∈[-1，0）∪（0，+∞），都有f(x)≤ax+1|x|+a，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）有且仅有4个零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】{0，1}【解析】解：∵集合A={-1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．利用交集的性质求解．本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．2.【答案】22【解析】解：sin405°=sin（360°+45°）=sin45°=，故答案为：．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．3.【答案】12【解析】解：设幂函数为f（x）=xα，则由f（x）的图象过点（9，3），可得9α=3，∴α=，故答案为：．设幂函数为f（x）=xα，则由f（x）的图象过点（9，3），求得α 的值即可．本题主要考查利用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．4.【答案】−35【解析】解：角α的终边上的点P（-3，4）到原点的距离为r=5，由任意角的三角函数的定义得cosα==．故答案为：．先求出角α的终边上的点P（-3，4）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，考查计算能力．5.【答案】（-∞，3）【解析】解：由3-x＞0，得x＜3．∴函数y=lg（3-x）的定义域为：（-∞，3）．故答案为：（-∞，3）．由对数式的真数大于0求解得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．6.【答案】9【解析】解：扇形的圆心角为2，半径为3，扇形的弧长为：6，所以扇形的面积为：=9．故答案为：9．直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．本题是基础题，考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力．7.【答案】7【解析】解：=4+=4+=4+3=7．故答案为：7．利用指数、对数的性质、运算法则、换底公式直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】6【解析】解：根据题意，函数，则f（-1）=（-1）2-2×（-1）=3，f（3）=，即f（f（-1））=，若f（f（-1））=2，则=2，解可得a=6，故答案为：6．根据题意，由函数的解析式可得f（f（-1））=，进而可得=2，解可得a的值，即可得答案．本题考查分段函数的求值，注意分段函数的解析式，属于基础题．9.【答案】1【解析】解：根据题意得：=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）=（-1，4）∴λ=-1，2μ=4∴λ=-1，μ=2∴λ+μ=1故答案为：1．运用向量的坐标运算可得结果．本题考查平面向量基本定理．10.【答案】−14【解析】解：∵，∵75°+x=90°+（x-15°），∴cos（75°+x）=cos[90°+（x-15°）]=-sin（x-15°）=，则sin（x-15°）=-的值．故答案为：．由75°+x=90°+（x-15°），结合诱导公式cos（75°+x）=cos[90°+（x-15°）]=-sin（x-15°）可求本题主要考查了诱导公式在解题中的应用，属于基础试题．11.【答案】y=sin x【解析】解：将函数的图象先向左平移个单位，得到=sin2x，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx．故答案为：y=sinx．直接利用左加右减的平移原则，以及横坐标伸长变换后，写出平移伸缩后的函数解析式，本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．]12.【答案】(0，13【解析】解：∵函数，（a＞0且a≠1）是R上的单调函数，a＞1，分段函数不是单调函数，则，解得：a∈（0，]，故答案为：．由已知中函数，（a＞0且a≠1）是R上的单调函数，则解得实数a的取值范围．本题考查的知识点是函数的单调性，分段函数的应用，难度中档．13.【答案】（3，4）【解析】解：定义在R上的偶函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，可得f（-x）=f（x），f（2-x）=-f（x），即为f（2-x）=-f（-x），即为f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）为周期为4的函数，当x∈（1，2]时，f（x）=3-2x，可得当x∈[-2，-1）时，f（x）=3+2x，当x∈（0，1]时，f（x）=-f（x-2）=-3-2（x-2）=-2x+1，当x∈（-1，0]时，f（x）=2x+1，作出f（x）在R上的图象，以及y=log a|x|（a＞1）的图象，关于x的方程f（x）=log a|x|（a＞1）恰好有8个不同的实数根，即为y=f（x）与y=log a|x|（a＞1）的图象恰好有8个交点，由图象可得f（4）=1，即log a4＞1，解得a＜4．且log a3＜1，解得a＞3．此时y=f（x）与y=log a|x|（a＞1）的图象恰好有8个交点，故答案为：（3，4）由函数的奇偶性和对称性，可得f（x）为周期为4的函数，求得f（x）在一个周期的函数解析式，作出f（x）的图象，y=log a|x|（a＞1）的图象，通过图象观察，即可得到所求a的取值范围．本题考查函数方程的转化思想，以及函数的周期性的运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力，属于中档题14.【答案】（2，12]【解析】解：由f（x-m）≤2x，即2|x-m|≤2x对任意x∈[2，n]都成立，函数y=2|x-m|关于直线x=m对称，则首先2|2-m|≤2×2成立，可得0＜m≤4，观察可知m=4，x=8时，2|x-4|=2x=16，可知2＜n≤8，2＜m+n≤12，故答案为：（2，12]．由函数y=2|x-m|关于直线x=m对称，可知m=4，x=8时，2|x-4|=2x=16，可知2＜n≤8，从而求出m+n的范围即可．本题考查了函数恒成立问题，考查对称问题以及转化思想，是一道中档题．15.【答案】解：（1）函数f（x）的最小正周期为T=2π2=π．………………………………………（2分）因为f（x）的图象过点（0，1），所以f（0）=2sinφ=1，即sinφ=12，又−π2＜φ＜π2，所以φ=π6．…………………………………………………（6分）（2）由（1）知，f(x)=2sin(2x+π6)，所以函数f（x）的最大值是2．…………（8分）由2x+π6=π2+2kπ(k∈Z)，得x=π6+kπ(k∈Z)，所以f（x）取得最大值时x的集合是{x|x=π6+kπ，k∈Z}．…………………（10分）（3）由（1）知，f(x)=2sin(2x+π6)．由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k∈Z)．…………………（14分）【解析】（1）点（0，1）代入函数求得φ．由求得函数f（x）的最小正周期；（2）由，得，求得函数f（x）的最大值及取得最大值时自变量x的集合；（3）由正弦函数单调性求函数f（x）的单调增区间．本题主要考查三角函数的图象和性质、属于中档题．16.【答案】解：（1）∵a∥b，∴cosαsinα−1×12=0，即sinαcosα=12，∴(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2×12=2；（2）∵a⊥b，∴a⋅b=12cosα+sinα=0，得tanα=−12．∴4sinα+cosα2sinα−3cosα=4tanα+12tanα−3=4×(−12)+12×(−1)−3=14．【解析】（1）由向量共线的坐标运算可得，由同角三角函数基本关系式求（sinα+cosα）2的值；（2）由向量垂直的坐标运算求得tanα，化弦为切求的值．本题考查向量共线与垂直的坐标运算，考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．17.【答案】解：根据题意得，（1）在平行四边形ABCD中，AC=AB+AD，所以AB⋅AC=AB⋅(AB+AD)=AB2+AB⋅AD=32+3×2×cos60°=12．（2）由（1）知，AB⋅AC=12，又|AC|=|AB+AD|=AB2+2AB⋅AD+AD2=32+2×3×2×cos60°+22=19，所以cos∠BAC=AB⋅AC|AB||AC|=319=41919．【解析】（1）利用平行四边形法则和数量积的定义可解决（1）问；（2）利用向量的夹角公式可得第二问．本题考查平面向量数量积的定义及向量的夹角公式．18.【答案】解：（1）在△ABC中，cos∠B=BCAB =2040=12，所以∠B=π3，……………………（2分）所以∠CMP =π3，所以PM =2CM ，又四边形BMPN 为菱形，所以BM =PM =2（20-BM ），…………………（6分）所以BM =403（m ），即基地边BM 的长为403m ．……………………………（7分）（2）设BM =x ，0＜x ＜20，则PC = 3CM = 3(20−x )，……………………（10分）所以生物实践基地的面积S =BM ⋅PC =x ⋅ 3(20−x )……………………（12分） =− 3(x −10)2+100 3，所以当x =10时，S max =100 3．………………………………………………（14分）答：生物实践基地的最大占地面积为100 m 2． …………………………………（16分）【解析】（1）在△ABC 中，求出B ，推出PM=2CM ，得到BM=PM=2（20-BM ），即可求出基地边BM 的长．（2）设BM=x ，0＜x ＜20，可得四边形BMPN 的面积S=|PC|•|BM|=x （20-x ），运用二次函数的最值求法，可得值域；本题考查函数模型的运用，考查函数的值域和最值的求法，注意运用二次函数的图象与性质，考查运算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为f 1(4)= 4+3=5∉[3，4]，不满足②，所以f 1（x ）不属于集合A ．………（2分）在[0，+∞）内任取两个数x 1，x 2，设x 1＜x 2，则f 2(x 1)−f 2(x 2)=(4−121)−(4−122)=122−121=2x 1−2x 221⋅22，因为y =2x是单调增函数，且x 1＜x 2，所以2x 1⋅2x 2＞0，2x 1−2x 2＜0，所以f 2（x 1）-f 2（x 2）＜0，即f 2（x 1）＜f 2（x 2），故f 2（x ）在[0，+∞）上是增函数，满足①；所以f 2（x ）在[0，+∞）上的值域为[3，4）⊆[3，4]，满足②．故函数f 2（x ）属于集合A ．………………………………………………………（6分）（2）（i ）由（1）知，f (x )=4−12x ，所以f (x )[4−f (x )]=(4−12x )12x =3，即(12x )2−4(12x )+3=0，解得12x =1或12x =3，………………………………（8分）所以x =0或x =log 213，故P ={0，log 213}． …………………………………（10分）（ii ）由（1）知，f (x )=4−12在[m ，n ]上单调增，所以f (m )=2m +a2m f (n )=2n+a2即 (2n )2−4(2n )+1+a =0.(2m )2−4(2m)+1+a =0…………………………………………………（12分）所以方程t 2-4t +1+a =0在t ∈[1，+∞）内有两个不等的实根，……………（14分）所以 (−4)2−4(1+a )>012−4+1+a≥0解得2≤a ＜3．故实数a 的取值范围是[2，3）． ………………………………………………（16分）【解析】（1）根据函数，．分别函数的单调性和值域，可得结论；（2）（i ）由（1）知，，解方程可得集合P ；（ii ）由（1）知，在[m ，n]上单调增，所以，即方程t 2-4t+1+a=0在t ∈[1，+∞）内有两个不等的实根，进而可得答案．本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数的值域，转化思想，难度中档．20.【答案】解：（1）当a =0时，f （x ）=|x |，定义域为R ．因为对任意的x ∈R ，都有f （-x ）=|-x |=|x |=f （x ），所以函数f （x ）是偶函数．………………………………………………………（2分）（2）由题意知，a (x +1)2+|x |≤ax +1|x |+a 在[-1，0）∪（0，+∞）上恒成立，即a (x 2+x )≤1|x |−|x |在[-1，0）∪（0，+∞）上恒成立．………………………（4分） ①当x ＞0时，a ≤1x−x x 2+x=1−x x 2=(1x −12)2−14，因为当x =2时，y =(1x −12)2−14取得最小值−14，所以a ≤−14；………（6分） ②当x =-1时，a ×0≤0恒成立； ③当-1＜x ＜0时，a ≥x−1xx 2+x=x−1x 2=−(1x −12)2+14，因为-1＜x ＜0，所以y =−(1x −12)2+14的值域为（-∞，-2），所以a ≥-2．综上所述，a 的取值范围为[−2，−14]．…………………………………………（8分）（3）当a =0时，f （x ）=|x |，有唯一零点0，不符合题意；………………………（9分）当a ≠0时，f (x )= ax 2+(2a −1)x +a ,x <0.ax 2+(2a +1)x +a ,x≥0①若a ＞0，则−2a +12a＜0，所以f （x ）在[0，+∞）上单调增，则f （x ）≥f （0）=a ＞0，因此f （x ）在[0，+∞）内无零点，而f （x ）在（-∞，0）内最多有两个零点，不符合题意；…………………………（11分） ②若a ＜0，则−2a−12a＜0，所以f （x ）在(−∞，−2a−12a)上单调增，在(−2a−12a，0)上单调减，而f(−2a−12a )=4a−14a＞0，f（0）=a＜0，所以f（x）在（-∞，0）内有两个零点，……………………………………………（13分）因此f（x）在[0，+∞）内也有两个零点．若a≤−12，则−2a+12a≤0，所以f（x）在[0，+∞）上单调减，又f（0）=a＜0，此时f（x）在[0，+∞）内无零点，不符合题意；若−12＜a＜0，则−2a+12a＞0，所以f（x）在(0，−2a+12a)上单调增，在(−2a+12a，+∞)上单调减，要使f（x）在[0，+∞）内有两个零点，则f(−2a+12a )=−4a+14a＞0，即4a+1＞0，故−14＜a＜0．综上所述，a的取值范围为(−14，0)．…………………………………………（16分）【解析】（1）根据函数的奇偶性的定义证明即可；（2）若在[-1，0）∪（0，+∞）上恒成立，通过讨论x的范围，去掉绝对值号，分离参数a，结合二次函数的性质去掉a的范围即可；（3）通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及函数的零点问题，确定a的范围即可．本题考查了函数的奇偶性，单调性，函数的零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查二次函数的性质，是一道综合题．。

2016徐州市第一学期期末高一数学答案

2015—2016学年度第一学期期末抽测高一数学试题参考答案一、填空题1．3 2．(1,)+∞ 3．2- 4． 5．13 6．43- 7．3π 8．2 9．35 10．7 11．12a >- 12．1(,)2-∞- 13．72[2,)(,665----U 14．178m =-或11m -<< 二、解答题15．（1）{}0,1,2,3,4,5A =，……………………………………………………………2分{}{}12,1,0,1,2B x x x =-∈=-Z ≤≤． ……………………………………4分（2）{}0,1,2A B =I ， ……………………………………………………………7分{}1,0,1,2,3,4,5A B =-U ． …………………………………………………10分（3）如图所示：实数a 的取值范围为12a <≤． …………………………………………14分16．（1）因为当6x π=时，函数()y f x =取得最大值3，所以3A =，……………1分因为函数()y f x =的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，所以22T π=⨯=π，即2ωπ=π，所以2ω=， ……………………………3分将点(,3)6π代入()3sin(2)f x x ϕ=+，得sin(2)16ϕπ⨯+=，因为2ϕπ<，所以6ϕπ=，…………………………………………………5分所以()3sin(2)6f x x π=+．…………………………………………………6分（2）令3222262k x k ππππ++π+≤≤，k ∈Z ， ……………………………8分解得263k x k πππ+π+≤≤，k ∈Z ，所以()f x 的单调减区间是2,(63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z)． ………………10分（结果未写出区间形式或缺少k ∈Z 的，此处两分不得）（3）当[,]63x ππ∈-，2[,]666x ππ5π+∈-，1sin(2)[,1]62x π+∈-， …………12分所以函数()f x 的值域是3[,3]2-． ………………………………………14分 17．解法一：（1）由⊥a b ，得2cos sin 0αα-=， ………………………………2分解得tan 2α=． ………………………………………………4分（2）sin cos tan 1sin cos tan 1αααααα++=-- ………………………………………7分 21321+==-． ……………………………………9分（3）2222sin sin cos sin sin cos sin cos αααααααα++=+ ……………………12分 22tan tan tan 1ααα+=+426415+==+． …………14分解法二：（1）由⊥a b ，得2cos sin 0αα-=， ……………………………2分解得tan 2α=． …………………………………………4分（2）由22tan 2,sin cos 1,ααα=⎧⎨+=⎩解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…8分将数值代入得sin cos sin cos αααα+-3=． ……………………………11分（3）由（2），代入数值得26sin sin cos 5ααα+=． …………………14分 18．（1）1cos 11cos602AB AD AB AD BAD ⋅=∠=⨯⨯=o u u u r u u u r u u u r u u u r ． …………………2分（2）因为AC AB AD =+uuu r uu u r uuu r ，所以AC AB AD =+=u u u r u u u r u u u r ……4分…………………………………………5分又2AE EC =，所以23AE AC == …………………………6分故cos 11AE AB AE AB BAC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r ． …………………8分（3）因为CE EA λ=uu u r r ，ABE △∽CFE △，1AB =uu u r ，故CF λ= ，1FD λ=- ， ……………………………………………10分所以()()AF BF AD DF BC CF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AD BC AD CF DF BC DF CF =⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11cos120(1)1cos60(1)cos180λλλλ=+⨯+-⨯⨯+-⨯⨯o o o22312(1)22λλλ=-+=-+， ……………………14分故当1=λ时，AF BF ⋅uu u r uu u r 的值最小，最小值为12． ……………………16分 19．（1）设1()P x k x =，代入(1,0.2)，解得115k =，所以1()5P x x =，…………………3分设()Q x k =(4,1.2)，解得235k =，所以()Q x ．……………6分（2）设投入乙产品x 万元，则甲产品投入3x -万元，利润总和为1()(3)5f x x =-03x ≤≤， …………………………9分（少定义域扣1分）t，则0t ≤ ………………………………………………11分此时22131321()(3)()555220g t t t t =-+=--+， …………………………………13分当32t =，即9 2.254x ==时，()g t 取得最大值2120． …………………………15分答：对甲乙产品分别投入0.75万元和2.25万元时，可使获利总额最大，最大获利为1.05万元． …………………………………………………………16分20．（1）函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ∈R ，都有()()()x x x x f x a a a a f x -----=+=+=，所以()f x 为偶函数． ………………………………………………………2分（2）因为()x xf x a a -=+，所以2()1xx a g x a =+(0a >且1a ≠)，………………4分 ①当1a >时，因为(0,1)x ∈，所以(1,)x a a ∈，设x t a =，1y t t =+，(1,)t a ∈，在区间(1,)a 内任取两个数1t ，2t ，12t t <，则121212121212()(1)11()()t t t t y y t t t t t t ---=+-+=，因为120t t -<，121t t <，所以120y y -<，即12y y <，所以1y t t=+在(1,)a 上是单调增函数， ………………………………6分故2111(,)x x a y t a a t a a+=+=+∈，所以2211()(,)1112x x x xa a g x a a a a ==∈+++． ……………………………8分 ②当01a <<时，(0,1)x ∈，(,1)x a a ∈，同理可得21()(,)12a g x a ∈+．综上所述，()g x 的值域为21(,)12a a +． …………………………………10分（3）若5(1)2f =，则2a =或12a =，所以()22x x f x -=+， …………………11分 222()222(22)(22)2(22)2x x x x x x x x h x m m ----=+-+=+-+-，令()22x x t f x -==+，因为x ∈R ，故22222x x -++≥，即2t ≥， …………12分令222()22()2F t t mt t m m =--=---，①若2m ≥，则2min [()]()27F t F m m ==--=-，解得m =又因为2m ≥，所以m =②若2m <，则min [()](2)247F t F m ==-=-，解得94m =（舍）．综上所述，实数m …………………………………………16分。