分数阶过程模型推导

分数阶过程模型推导
考虑一个如下所示的单输入单输出分数阶一阶加时滞传递函数模型：
（5.1）
其中，α表示过程模型的非整数阶，τ表示时间延迟，T 表示时间常数，K 表示过程模型增益。

将上述过程模型以差分方程形式重写为：
（5.2）
进一步对式子（5.2）取拉普拉斯反变换，得到下列分数阶差分方程： （5.3）
继续对上式差分方程进行离散化，根据分数阶G -L 定义，分数阶微分的离散化表达可定义为：
00()()k t j
j D y t h y k j αααω-==-∑ （5.4）
其中，h 表示采样时间，j αω表示加权系数，
它可由下列递推方程计算得到： 0-1+11,1,1,2,...,j j j k j ααααωωω⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ （5.5）
最后，将式（5.5）带入前面（5.4）式子，并整理，便可得到离散分数阶差分方程，该过程的近似有效性已有证明[77,78]：
1()()()L j j y k w y k j Hu k d α
μ=+-=-∑
（5.6）
其中，11=(1),(1)Th Th H K Th αααμ-----+=+，/s d T τ=,s T 为采样时间，L 为分数阶算子的近似记忆长度，(),()u t y t 分别为分数阶系统的过程输入和输出。

()()1s p y s K G e u s Ts τα-==+()()()s TS Y s Y s e U s ατ-+=0()()(-)n t D y t y t u t d +=。