(同济大学微积分第三版)8-2偏导数共40页
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t2 ta 2n 1 2 n 1 t2 1 a 2n 1t2 a 2 a 2n d t.
即 In 1t2ta 2n 12n 1In 1a2In,
于是
In2 a 21 n 1 t2 ta 2n 1 2 n 3 In 1 ,n 2 ,3 ,
I11aarctanat C.
xx d x12lnxx 1x1 1C .
例5 求积分12x11x2dx.
解设
1
12x1x2
1 a2x1 bx xc 2
a1x212xbxc 12x1x2
a2bx2b2cxac
12x1x2 ,
即有
a 2b 0,
b
2c
0
,
a c 1,
a4,b2,c1, 5 55
因此有
1
12x1x2
M lnx2pxqNM 2parctan
xp 2
C .
2
x2M xp x N qndxM 2 2(xx 2 p px2 M N q )npdx M 2 x 2 2 x p x p qnd x N M 2 p x2 p 2 d xq p 4 2 2 n
fsinx,cosxdx其中 f 为有理函数. 由于
sinx2sinxcosx2tan2 x
2tanx 2
,
2 2 sec2x 1tan2x
2
2
cosxcos2xsin2x1tan22x,
2
2 1tan2x
2
令 utanxπxπ,则，
2
sinx1 2u u2,cosx1 1 u u2 2,
而 du1sec2 xdx, 即 dx2du 2du 2du,
22
sec2x 1tan2x 1u2
同济大学微积分课件ch.ppt
例 求函数z x2 y3 2xy 在点1,2 处的导数.
解 zx 2x 2y, zy 3y2 2x,
所以 zx 1,2 6, zy 1,2 4.
x 例 设 z arctan y ,求 zx , zy.
解 由一元复合函数的求导法则得
11 y
zx
1
x 2
y
y
x2
, y2
zy
1
2z
a2
2z .
y2
x2
证
z cos x ay,
x
2z x2
sin
x
ay ,
z a cos x ay,y2z x2来自a2sin x
ay .
从而有
2z
a2
2z .
y2
x2
例 验证函数 z ln x2 y2 满足拉普拉斯方程
2z 2z 0.
x2 y2
证
z
x
x2
x
y2
,
2z x2
lim y z lim f x0, y0 y f x0, y0
y y 0
y 0
y
存在，则称此极限为函数z f x, y 在点 x0, y0 对 y
的偏导数，记作
z
, y x0 , y0
zy
x0, y0
,
f ,
y x0 , y0
fy x0, y0 .
当函数z f x, y 在点 x0, y0 同时存在对 x, y 的偏导数， 则称函数 z f x, y 在点 x0, y0 可偏导.
yx
x
y
,
2z z
z yy
y2
y
y
.
而其中的第二与第三项称为混合偏导.
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
同济大学微积分第三版课件第二章第四节
y0 1 .
2
对⑴式继续求导, 得
2 0 y 3 y 2 5 y 4 y 2 y 1 2 6 x 5 0 ,⑶
将 x0,y0,y1 代入⑶得, 2
y0 0.
上节我们建立了由参数方程所确定的函数的导数, 在 二阶可导的条件下, 我们建立相应的的二阶导数公式.
设函数 x t 和 y t 为二阶可导函数, 且 t 0, 则由方程所确定的函数的二阶导数为
ddx2y2 ttt3tt.
但更多的情况下, 我们宁可采取直接求导的方法来求 出高阶导数, 而不是死记这个烦琐的公式.
例8 计算由摆线的参数方程
x a t sin t
y
a
1
cos
t
所确定的函数的二阶导数.
解
dya1cost dx atsint
a1asicnotstcot2t,
d2y dx2
cot
t 2
a t sin t
csc2 t 1 22
a1cost
a11cost2
,
t 2kπ,kZ.
n 阶导数的莱布尼茨公式: 设uu(x),vv(x) 在 x 处有n 阶导数, 则:
u v n u n v n u n 1 v n n 1 u n 2 v
2
n n 1 n 2 n k 1 u n k v k u v n .
代入莱布尼茨公式, 得
y 2 0 2 2 0 e 2 x x 2 2 0 2 1 9 e 2 x2 x 2 0 1 9 2 1 8 e 2 x2 2 !
220e2x x220x95.
记为
f ( x 0 )
或
y ,d2y xx0 dx2
,d2 f (x) dx2
.
2
对⑴式继续求导, 得
2 0 y 3 y 2 5 y 4 y 2 y 1 2 6 x 5 0 ,⑶
将 x0,y0,y1 代入⑶得, 2
y0 0.
上节我们建立了由参数方程所确定的函数的导数, 在 二阶可导的条件下, 我们建立相应的的二阶导数公式.
设函数 x t 和 y t 为二阶可导函数, 且 t 0, 则由方程所确定的函数的二阶导数为
ddx2y2 ttt3tt.
但更多的情况下, 我们宁可采取直接求导的方法来求 出高阶导数, 而不是死记这个烦琐的公式.
例8 计算由摆线的参数方程
x a t sin t
y
a
1
cos
t
所确定的函数的二阶导数.
解
dya1cost dx atsint
a1asicnotstcot2t,
d2y dx2
cot
t 2
a t sin t
csc2 t 1 22
a1cost
a11cost2
,
t 2kπ,kZ.
n 阶导数的莱布尼茨公式: 设uu(x),vv(x) 在 x 处有n 阶导数, 则:
u v n u n v n u n 1 v n n 1 u n 2 v
2
n n 1 n 2 n k 1 u n k v k u v n .
代入莱布尼茨公式, 得
y 2 0 2 2 0 e 2 x x 2 2 0 2 1 9 e 2 x2 x 2 0 1 9 2 1 8 e 2 x2 2 !
220e2x x220x95.
记为
f ( x 0 )
或
y ,d2y xx0 dx2
,d2 f (x) dx2
.
同济大学微积分课件 PPT
1,1 1,.
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 ysgnx,
1 x 0,
ysgnx来自0x 0,y
1 x 0.
ysgnx
O
x
4 321
例 取整函数 y x.
y
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
2. 函数的几种特性
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D , 数集 X D,
a
b
x
半开半闭区间: a,bxaxb;
a
b
x
(a,b]xaxb;
a
b
x
无穷区间:
( , ) x x .
x
[a , ) xax
a
x
(a , ) xax
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
邻域：
设a , 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
如果M 0,x X , 都有 f x M, 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
O
有界
x
M
O
x
M 无界
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
, 2
上无界.
y
y y tanx
y sin x
1
O
x
O
x
2
2
1
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 ysgnx,
1 x 0,
ysgnx来自0x 0,y
1 x 0.
ysgnx
O
x
4 321
例 取整函数 y x.
y
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
2. 函数的几种特性
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D , 数集 X D,
a
b
x
半开半闭区间: a,bxaxb;
a
b
x
(a,b]xaxb;
a
b
x
无穷区间:
( , ) x x .
x
[a , ) xax
a
x
(a , ) xax
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
邻域：
设a , 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
如果M 0,x X , 都有 f x M, 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
O
有界
x
M
O
x
M 无界
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
, 2
上无界.
y
y y tanx
y sin x
1
O
x
O
x
2
2
1
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
第八章 多元函数的极限与连续、偏导数
sin xy 2. lim ; x 0 x y 0
2
1 cos( x y ) 3. lim 2 . 2 2 2 x 0 ( x y ) x y y 0
2
微积分
三.证明 lim
x 0 y 0
xy x2 y2
0.
xy 1 1 四.证明 极限 lim 不存 在 . x 0 x y y 0
( 2)找两种不同趋于方式使 lim f ( x , y )存在, ,
x x0 y y0
但两者不相等则可断言极限不存在 , .
微积分
2、二元函数的连续性
定义：设 ( x, y )满足： f
(1)在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义
( 2)
( 3)
( x , y ) ( x 0 , y0 )
多元函数连续的概念
闭区域上连续函数的性质
微积分
思考题
若点 ( x , y ) 沿着无数多条平面 曲 线 趋 向 于 点 ( x 0 , y0 ) 时 ， 函 数
f ( x, y) 都 趋 向 于
( x , y ) ( x 0 , y 0 )
A，能否断定
lim
f ( x , y ) A？
微积分
2 2
0, ,
当 0 ( x 0)2 ( y 0)2 时，
1 ( x y ) sin 2 0 原结论成立． 2 x y
2 2
微积分
sin( x 2 y ) 例3 求极限 lim . 2 2 x 0 x y y 0 2 2 2 sin( x y ) lim sin( x y ) x y , 解 lim 2 x 0 2 x2 y x2 y2 x0 x y y0
同济大学微积分第三版课件第二章第五节
在M 处的切线, 由此得:
M Q x,Q N y, y Q Pf(x0) xdy. 当 x 很小时， f (x0 x)
ydyox,
因此, 曲线
f (x0)
y f (x)
O
y f (x) T
N
o ( x )
P
M
Q dy y
x
）
x 0 x0 x
x
即: 函数 y f (x)在x 0 处可微分, 且有
dyf(x0)x.
如果函数 y f (x)在区间I 内每一点可微, 则称 f ( x ) 为区间内的可微函数: 函数 f ( x ) 在 I 内的任意一点微
分就称为函数的微分, 也记为 d y , 由前公式得:
dyf(x)x.
arctanx
1 1x2
sinhx coshx
darcsinx 1 dx 1x2
darctanx 1 dx 1x2
d s in h c o s h x d x
2.运算法则（表中 u u (x ),v v (x ),、 R ）
函数的和、积、商的求导法则
函数的和、积、商的微分法则
的增量 x 微分, 记为d y , 即 dy Ax.
3.可微的条件
定理 函数 y f (x) 在点 x 0 处可微的充要条件是函数
y f (x)在点 x 0 处可导且有
dyf(x0)x.
证 必要性: 设函数 y f (x) 在点 x 0 处可微分, 则由
定义, 对给定的自变量的增量 x , 相应函数的增量为
如果相应的函数增量 yf(x0 x)f(x0)可以表
示为
yAxox, 其中A 是与 x 0 有关的而与 x 无关的常数, o x 是 x 的
M Q x,Q N y, y Q Pf(x0) xdy. 当 x 很小时， f (x0 x)
ydyox,
因此, 曲线
f (x0)
y f (x)
O
y f (x) T
N
o ( x )
P
M
Q dy y
x
）
x 0 x0 x
x
即: 函数 y f (x)在x 0 处可微分, 且有
dyf(x0)x.
如果函数 y f (x)在区间I 内每一点可微, 则称 f ( x ) 为区间内的可微函数: 函数 f ( x ) 在 I 内的任意一点微
分就称为函数的微分, 也记为 d y , 由前公式得:
dyf(x)x.
arctanx
1 1x2
sinhx coshx
darcsinx 1 dx 1x2
darctanx 1 dx 1x2
d s in h c o s h x d x
2.运算法则（表中 u u (x ),v v (x ),、 R ）
函数的和、积、商的求导法则
函数的和、积、商的微分法则
的增量 x 微分, 记为d y , 即 dy Ax.
3.可微的条件
定理 函数 y f (x) 在点 x 0 处可微的充要条件是函数
y f (x)在点 x 0 处可导且有
dyf(x0)x.
证 必要性: 设函数 y f (x) 在点 x 0 处可微分, 则由
定义, 对给定的自变量的增量 x , 相应函数的增量为
如果相应的函数增量 yf(x0 x)f(x0)可以表
示为
yAxox, 其中A 是与 x 0 有关的而与 x 无关的常数, o x 是 x 的
同济大学微积分第三版课件第四章第三节
再由初始条件 y 1,得 C 1 , 故所求的函数为
x0
2
f (x) 1 (e2x 1). 2
由公式⑹得方程的通解
x
e
1 y ln
y
d
y
1 y
e
1 y ln
y
d
y
d
y
C
eln ln
y
1 y
eln ln
y
d
y
C
1 ln y
1 ln y
(1 2
ln2
y
C).
xy 2y sin x ,
将此式代入⑷，即得方程⑴的通解为：
y e P(x)d x ( Q(x) e P(x)d x d x C).
⑹
例1
求解方程
y
1
x x
2
y
1 2 x(1
x2
)
.
解 方程为一阶线性微分方程．由公式⑹，方程的通解
为
y
e
x 1 x2
dx
2
1 x(1
x2
x
y
1 x2
x cos
x
sin
x.
例4 设 f (x) 连续，且满足方程
x
0 [2 f (t) 1]d t f (x) 1,
求 f (x).
解 原式变形，得
x
f (x) 0 [2 f (t) 1]d t 1,
由条件，等式右边为可微函数，故方程两边求导，得
同济大学微积分幻灯片共48页文档
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
48
同济大学微积分幻灯片
26、机遇对于有准备的头有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
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f x ( x ,y ,z ) lx 0 if( m x x ,y ,z x ) f( x ,y ,z ) , fy (x ,y ,z ) ly i0fm (x ,y y , z y ) f(x ,y ,z ), fz (x ,y ,z ) lz i 0fm (x ,y ,z z z ) f(x ,y ,z ).
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当y 固定在y0 而x 在x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )存在，则称
解
z x
1 1x2x2y2
x x2
y2
x
x2y2
y2
| y|
(x2y2)3
| y| x2 y2
.
( y2 | y|)
z arcsin x
z y
1 1x2x2y2
x x2
y2
y
x2 y2
x2y2 (xy)
| y|
(x2y2)3
x2
x
y2
sgn1 y
(y0)
z
不存在．
y x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy0
记作 z x
，f x
，zx或
f
x
(
x,
y).
limf(xVx,y)f(x,y)
Vx 0
Vx
存 在
同理可以定义函数z f(x, y)对自变量y 的偏导
数，记作yz，fy，zy或fy(x, y).
f(x,yVy)f(x,y)
lim
存在
Vy0
Vy
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 uf(x,y,z)在 (x,y,z) 处
能看成微商。
x
dx
有关偏导数的几点说明：
１、 偏 导 数 u 是 一 个 整 体 记 号 ， 不 能 拆 分 ; x
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
例 , 设 z f ( 如 x ,y ) x , 求 f x y ( 0 , 0 )f y , ( 0 , 0 ).
解
|x0|0 fx(0,0)lx i0m x 0fy(0,0).
z y
3x2y.
z x
x 1 y2
2 1 3 2 8 ,
z y
x1 y2
3 1 2 2 7 .
例3
设 z x y ( x 0, x 1)， 求证 x z 1 z 2z .
y x ln x y
证
z yxy1,
x
z xy lnx, y
x z 1 z xyxy1 1 xylnx
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对x 的
偏导数，记为
z x
x x0 y y0
或
f x
或
( x 0 ,y 0 )
z , x ( x 0 ,y 0 )
fx(x0, y0 )
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 y
的偏导数， 为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
依 定 义 知 在 ( 0 ,0 )处 ， fx ( 0 ,0 ) fy ( 0 ,0 ) 0 .
y0
y
记为 z y
， f x x0 y
，zy
x x0
或 x x0
y y0
f y ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
如果函数z f ( x, y)在区域 D 内任一点
( x, y)处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是 x、 y 的函数，它就称为函数z f ( x, y)对
自变量 x的偏导数，
偏导数的几何意义 设 M 0 ( x 0 ,y 0 ,f ( x 0 ,y 0 )为 ) z 曲 f ( x ,y ) 上 面 , 一 如图
几何意义:
偏导数 f x ( x0 , y0 )就是 曲面被平面 y y0所截 得的曲线在点 M 0 处的 切线 M0Tx 对 x轴的斜率.
偏 导 数fy(x0,y0)就 是 曲 面 被 平 面xx0 所 截 得 的 曲 线 在 点 M0处 的 切 线M0Ty对 y 轴 的
yx lnxy y
lnx
xyxy 2z.
原结论成立．
例4 求 r x2 y2 z2 的偏导数。
解
r x
x
x
x2 y2 z2 r
r
y
y
y
x2 y2 z2 r
r
z
z
z
x2 y2 z2 r
练习：1.（1）（3）（5）
例 设z arcsin x ，求 z ，z .
x2 y2
x y
例 5 已知理想气体的状态方程 pV RT
（ R为常数），求证： p V T 1. V T p
证
p
RT V
p V
V R2T;
V RT V R ; T pV T V ;
p T p
R p R
p V T V T p
RT V2
R p
V R
RT pV
1.
结果不是1，说明偏导 f 不能看成微商，但导数 d f
(x,y)(0,0) ,
0
(x,y)(0,0)
x(x2y2) fy(x,y) (x2y2)2
(x,y)(0,0) .
0
(x,y)(0,0)
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数f(x,
xy y)x2 y2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
x(x2 y2) (x2 y2)2
,
当 (x,y)(0,0)时 ,按定义可知：
fx(0 ,0 ) lx i0m f( x ,0 )x f(0 ,0 )lxi m00x 0,
fy(0,0) ly i0m f(0, y ) yf(0,0)
lim
y0
0 y
0,
y(y2x2) fx(x,y) (x2y2)2
由偏导数的定义可知，求z=f(x,y)并不需要新的方法，只在应 用一元函数求导法就可以了：
求 z x
求 z y
时，把 y 看成是常数而对 x 求导； 时，把 x 看成是常数而对 y 求导；
例 1求 z x 2 3 x y y 2 在 点 (1 ,2 )处 的 偏 导 数 ．
解
z 2x3y; x
斜 率 .
练习：5.
例5
xy 设f(x,y)x2y2
0
求f(x,y)的偏导 . 数
(x,y)(0,0) (x,y)(0,0)
解 当 (x,y)(0,0)时 ,
fx(x,y)y(x2( x2y 2)y22 )2xxy
y( y2 x2) (x2 y2)2
,
fy(x,y)x(x2( x2y 2)y22 )2yxy
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当y 固定在y0 而x 在x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )存在，则称
解
z x
1 1x2x2y2
x x2
y2
x
x2y2
y2
| y|
(x2y2)3
| y| x2 y2
.
( y2 | y|)
z arcsin x
z y
1 1x2x2y2
x x2
y2
y
x2 y2
x2y2 (xy)
| y|
(x2y2)3
x2
x
y2
sgn1 y
(y0)
z
不存在．
y x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy0
记作 z x
，f x
，zx或
f
x
(
x,
y).
limf(xVx,y)f(x,y)
Vx 0
Vx
存 在
同理可以定义函数z f(x, y)对自变量y 的偏导
数，记作yz，fy，zy或fy(x, y).
f(x,yVy)f(x,y)
lim
存在
Vy0
Vy
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 uf(x,y,z)在 (x,y,z) 处
能看成微商。
x
dx
有关偏导数的几点说明：
１、 偏 导 数 u 是 一 个 整 体 记 号 ， 不 能 拆 分 ; x
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
例 , 设 z f ( 如 x ,y ) x , 求 f x y ( 0 , 0 )f y , ( 0 , 0 ).
解
|x0|0 fx(0,0)lx i0m x 0fy(0,0).
z y
3x2y.
z x
x 1 y2
2 1 3 2 8 ,
z y
x1 y2
3 1 2 2 7 .
例3
设 z x y ( x 0, x 1)， 求证 x z 1 z 2z .
y x ln x y
证
z yxy1,
x
z xy lnx, y
x z 1 z xyxy1 1 xylnx
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对x 的
偏导数，记为
z x
x x0 y y0
或
f x
或
( x 0 ,y 0 )
z , x ( x 0 ,y 0 )
fx(x0, y0 )
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 y
的偏导数， 为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
依 定 义 知 在 ( 0 ,0 )处 ， fx ( 0 ,0 ) fy ( 0 ,0 ) 0 .
y0
y
记为 z y
， f x x0 y
，zy
x x0
或 x x0
y y0
f y ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
如果函数z f ( x, y)在区域 D 内任一点
( x, y)处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是 x、 y 的函数，它就称为函数z f ( x, y)对
自变量 x的偏导数，
偏导数的几何意义 设 M 0 ( x 0 ,y 0 ,f ( x 0 ,y 0 )为 ) z 曲 f ( x ,y ) 上 面 , 一 如图
几何意义:
偏导数 f x ( x0 , y0 )就是 曲面被平面 y y0所截 得的曲线在点 M 0 处的 切线 M0Tx 对 x轴的斜率.
偏 导 数fy(x0,y0)就 是 曲 面 被 平 面xx0 所 截 得 的 曲 线 在 点 M0处 的 切 线M0Ty对 y 轴 的
yx lnxy y
lnx
xyxy 2z.
原结论成立．
例4 求 r x2 y2 z2 的偏导数。
解
r x
x
x
x2 y2 z2 r
r
y
y
y
x2 y2 z2 r
r
z
z
z
x2 y2 z2 r
练习：1.（1）（3）（5）
例 设z arcsin x ，求 z ，z .
x2 y2
x y
例 5 已知理想气体的状态方程 pV RT
（ R为常数），求证： p V T 1. V T p
证
p
RT V
p V
V R2T;
V RT V R ; T pV T V ;
p T p
R p R
p V T V T p
RT V2
R p
V R
RT pV
1.
结果不是1，说明偏导 f 不能看成微商，但导数 d f
(x,y)(0,0) ,
0
(x,y)(0,0)
x(x2y2) fy(x,y) (x2y2)2
(x,y)(0,0) .
0
(x,y)(0,0)
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数f(x,
xy y)x2 y2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
x(x2 y2) (x2 y2)2
,
当 (x,y)(0,0)时 ,按定义可知：
fx(0 ,0 ) lx i0m f( x ,0 )x f(0 ,0 )lxi m00x 0,
fy(0,0) ly i0m f(0, y ) yf(0,0)
lim
y0
0 y
0,
y(y2x2) fx(x,y) (x2y2)2
由偏导数的定义可知，求z=f(x,y)并不需要新的方法，只在应 用一元函数求导法就可以了：
求 z x
求 z y
时，把 y 看成是常数而对 x 求导； 时，把 x 看成是常数而对 y 求导；
例 1求 z x 2 3 x y y 2 在 点 (1 ,2 )处 的 偏 导 数 ．
解
z 2x3y; x
斜 率 .
练习：5.
例5
xy 设f(x,y)x2y2
0
求f(x,y)的偏导 . 数
(x,y)(0,0) (x,y)(0,0)
解 当 (x,y)(0,0)时 ,
fx(x,y)y(x2( x2y 2)y22 )2xxy
y( y2 x2) (x2 y2)2
,
fy(x,y)x(x2( x2y 2)y22 )2yxy