中考数学总复习精品训练：课时5.分式

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中考数学专项复习命题点5 分式方程的解法

故原分式方程的解为 = .
B 强化提升练
+
8.[2023眉山]关于的方程
−2
−3=
−1
的解为非负数，则的取值范
2−
≥ − 且 ≠ −
围是 __________________.
【解析】
+
−
−=
−
，去分母得
−
+ − − = − ，
任务一：阅读李雷同学的解答过程，回答下列问题.
等式的性质2（或等式两边同时乘同一个数或
（1）第一步变形的依据是_________________________________________
式子，所得结果仍是等式）
_________________________；
检验（或验根）
（2）李雷同学的过程缺少的关键步骤是________________；
2
)
A. −4
√
【解析】 ∵
∴ = − .
B. −2
+
关于的分式方程
−
C. 2
=

+
的解是2， ∴

−
D. 4
=

，

5
6.[2023偃师月考节选]解方程：
−1
=
解：去分母，得 + = − ，
去括号，得 + = − ，
移项，合并同类项，得 = − ，
解：方程两边同乘 + 5 − 5 ，去分母得
+ 5 = 10 ,…………（第一步）
解得 = 5 ，…………（第二步）
∴ 原分式方程的解是 = 5 .…………（第三步）

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。

考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。

2015年广西中考数学总复习课件第5课时分式(共41张PPT)

第5课时
分式
3．[2014·贺州] 张华在一次数学活动中，利用“在面积一定 1 的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子 x＋ (x＞0) x 的最小值是 2”．其推导方法如下：在面积是 1 的矩形中设矩形的一
1 1 边长为 x，则另一边长是，矩形的周长是 2x＋；当矩形成为正方 x x 1 1 形时，就有 x＝ (x＞0)，解得 x＝1，这时矩形的周长 2x＋＝4 最 x x
取x＝－1.
第5课时
分式
变式题 1
|x|－3 分式的值为零，则 x 的值为( A ) x＋3
A．3 B．－3 C．±3 D．任意实数
变式题 2 1 代数式有意义时，x 应满足的条件为 |x|－1
x≠±1 ． ________
第5课时
分式
►
例2
类型之二
分式的运算
)
x 2－4 计算的结果是( x－2
A ． x － 2 B． x ＋ 2
x－4 C. 2 x＋2 D. x
[答案] B
第5课时
分式
[考点] 分式、因式分解．
x －4 （x＋2）（x－2） [分析] ＝＝x＋2. x－2 x－2
2
第5课时
分式
a＋1 a －1 a－1 a＋2 ．变式题 3 计算： 2 ÷ ＝________ a ＋2a a
D．(a2b)3＝a5b3
第5课时
分式
x x 3．化简－＝( D ) x－1 x－1
2
A ．0 B．1
x C. x－1
D ．x
x2－4 4．若分式的值为 0，则 x 的值为( C ) x＋2
A．±2 B．0 C．2 D．－2

2013年中考数学专题复习第5讲：分式(含详细参考答案)

2013年中考数学专题复习第五讲：分式【基础知识回顾】一、分式的概念若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做公式【名师提醒：①：若则分式AB无意义②：若分式AB=0，则应且】二、分式的基本性质分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。

1、a ma m⋅⋅=a mb m÷÷= （m≠0）2、分式的变号法则ba-=b3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。

约分的关键是确保分式的分子和分母中的约分的结果必须是分式4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分通分的关键是确定各分母的【名师提醒：①最简分式是指②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的相同字母分母中有多项式时仍然要先通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】三、分式的运算：1、分式的乘除①分式的乘法：ba.dc=②分式的除法：ba÷dc= =2、分式的加减①用分母分式相加减：ba±ca=②异分母分式相加减：ba±dc= =【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为法来做，其实质是的过程②异分母分式加减过程的关键是】3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即(ba)m =1、分式的混合运算：应先算再算最后算有括号的先算括号里面的。

2、分式求值：①先化简，再求值。

②由值的形式直接化成所求整式的值③式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中【名师提醒：①实数的各种运算律也符合公式②分式运算的结果，一定要化成③分式求值不管哪种情况必须先此类题目解决过程中要注意整体代入】【重点考点例析】考点一：分式有意义的条件例1 （2012•宜昌）若分式21a +有意义，则a 的取值范围是（） A ．a=0 B ．a=1 C ．a≠-1 D ．a≠0点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．对应训练1．（2012•湖州）要使分式1x有意义，x 的取值范围满足（） A ．x=0 B ．x≠0 C ．x ＞0 D ．x ＜0考点二：分式的基本性质运用例2 （2012•杭州）化简216312m m --得；当m=-1时，原式的值为．对应训练2．（2011•遂宁）下列分式是最简分式的（）A ．223a a bB ．23a a a -C ．22 a b a b ++D ．222a ab a b -- 考点三：分式的化简与求值例3 （2012•南昌）化简：2211a a a a a --÷+．点评：本题考查的是分式的乘除法，即分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．例4 （2012•安徽）化简211x x x x+-- 的结果是（） A ．x+1 B ．x-1 C ．-x D ．x点评：本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．例5 （2012•天门）化简221(1)11x x -÷+- 的结果是（） A ．21(1)x + B ．21(1)x - C ．2(1)x + D ．2(1)x - 点评：此题考查了分式的化简混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意最后结果必须为最简分式．例6 （2012•遵义）化简分式222()1121x x x x x x x x --÷---+，并从-1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x 代入求值．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．对应训练3．（2012•河北）化简22111x x ÷--的结果是（） A ．21x - B ．321x - C ．21x - D ．2（x+1） 4．（2012•绍兴）化简111x x --可得（） A ．21x x - B ．21x x -- C ．221x x x +- D ．221x x x-- 5．（2012•泰安）化简22()2-24m m m m m m -÷+-= ． 6．（2012•资阳）先化简，再求值：2221(1)11a a a a a --÷---+，其中a 是方程x 2-x=6的根．考点四：分式创新型题目例7 （2012•凉山州）对于正数x ，规定1()1f x x =+，例如：11(4)145f ==+，114()14514f ==+，则 111(2012)(2011)(2)(1)()()()220112012f f f f f f f ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= ．对应训练7．（2012•临沂）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算201211(1)n n n ==+∑ ．【聚焦山东中考】一、选择题1．（2012•潍坊）计算：2-2=（）A ．14B ．2C ．14- D ．4 2．（2012•德州）下列运算正确的是（） A ．42= B ．（-3）2=-9C ．2-3=8D ．20=0 3．（2012•临沂）化简4(1)22a a a +÷--的结果是（） A ．2a a + B ．2a a + C ．2a a - D ．2a a - 4．（2012•威海）化简的结果是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题 5．（2012•聊城）计算：24(1)42a a a +÷=-- ． 6．（2011•泰安）化简：22()224x x x x x x -÷+--的结果为．三、解答题7．（2012·济南）化简：2121224a a a a a --+÷--．8．（2012•烟台）化简：222844(1)442a a a a a a+--÷+++．9．（2012•青岛）化简：2211(1)12a a a a -+++。

中考数学复习检测：第2章第5课时分式

第5课时分式(65分)一、选择题(每题5分,共20分)1．[2019·兰州]化简：a 2＋1a ＋1－2a ＋1＝( )A ．a －1B ．a ＋1 C.a －1a ＋1D ．1a ＋12．[2019·孝感]已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x ＋4y ＝9.则x 2－2xy ＋y2x 2－y2的值是( ) A ．－5 B ．5 C ．－6D ．63．[2018·河北]老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简．过程如图所示：接力中,自己负责的一步出现错误的是( ) A ．只有乙 B ．甲和丁 C ．乙和丙D ．乙和丁4．[2019·攀枝花]一辆货车送货上山,并按原路下山．上山速度为a km/h,下山速度为b km/h.则货车上、下山的平均速度为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(a ＋b ) km/h B ．ab a ＋b km/h C.a ＋b2abkm/h D ．2ab a ＋bkm/h 二、填空题(每题5分,共20分)5．[2019·扬州]分式13－x可变形为________．6．[2019·内江]若1m ＋1n ＝2,则分式5m ＋5n －2mn－m －n 的值为________．7．[2019·武汉]计算2a a 2－16－1a －4的结果是________．8．若a,b 互为倒数,则代数式a 2＋2ab ＋b 2a ＋b ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 的值为________．三、解答题(共25分)9．(8分)[2019·杭州]化简：4x x 2－4－2x －2－1.圆圆的解答如下：4x x 2－4－2x －2－1＝4x －2()x ＋2－()x 2－4＝－x 2＋2x. 圆圆的解答正确吗？如果不正确,写出正确的解答．10．(8分)[2018·菏泽]先化简,再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x ＋y －y ÷x －y x 2－y 2－(x 2－xy －2y 2),其中x ＝－1,y ＝2.11．(9分)[2019·娄底]先化简,再求值：a 2－2ab ＋b 2a －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ,其中a ＝2－1,b ＝2＋1.分)12．(5分)[2018·内江]已知1a －1b ＝13,则ab b －a 的值是 ( )A.13 B ．－13C ．3D ．－313．(5分)[2019·滨州]观察下列一组数： a 1＝13,a 2＝35,a 3＝69,a 4＝1017,a 5＝1533,……它们是按一定规律排列的,请利用其中规律,写出第n 个数a n ＝________________(用含n 的式子表示)． 14．(10分)[2019·巴中]已知实数x,y 满足x －3＋y 2－4y ＋4＝0,求代数式x 2－y 2xy ·1x 2－2xy ＋y2÷xx 2y －xy2的值．(15分)15．(15分)[2019·盐城]【生活观察】甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如：(1)完成上表;(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价(均价＝总金额÷总质量)．【数学思考】设甲每次买质量为m kg 的菜,乙每次买金额为n 元的菜,两次的单价分别是a 元/kg,b 元/kg(b≠a),用含有m,n,a,b 的式子,分别表示出甲、乙两次买菜的均价x －甲,x －乙．比较x －甲,x －乙的大小,并说明理由．【知识迁移】某船在相距为s 的甲、乙两码头间往返航行一次,在没有水流时,船的速度为v,所需时间为t 1.如果水流速度为p 时(p<v),船顺水航行速度为(v ＋p),逆水航行速度为(v －p),所需时间为t 2.请借鉴上面的研究经验,比较t 1,t 2的大小,并说明理由．参考答案1．A 2.C 3.D 4.D5．－1x －3 6.－4 7.1a ＋4 8.19．圆圆的解答错误,正确的解为－xx ＋210．－x 2＋2y 2,711．a －b ＋a －bab ,－412．C 13.n (n ＋1)2(2n ＋1)14.x ＋y x ,5315．(1)2 1.5(2)x －甲＝2.5元/kg,x －乙＝2.4元/kg 【数学思考】x －甲>x －乙,理由略【知识迁移】t 1<t 2,理由略关闭Word 文档返回原板块。

中考数学总复习《分式方程》专项测试卷带答案

中考数学总复习《分式方程》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A 层·基础过关】1.将关于x 的分式方程32x =1x -1去分母可得( )A .3x -3=2xB .3x -1=2xC .3x -1=xD .3x -3=x2.(2024·贵阳市观山湖区二模)《九章算术》中记载了这样一个数学问题:今有甲发长安,五日至齐;乙发齐,七日至长安.今乙发已先二日,甲仍发长安.问几何日相逢?译文:甲从长安出发,5日到齐国;乙从齐国出发,7日到长安.现乙先出发2日,甲才从长安出发.问甲出发几日,甲乙相逢?设甲出发x 日,甲乙相逢,可列方程( ) A.x+27+x 5=1B.7x+2+5x=1 C.7x+2-5x =1 D.x+27=x53.分式方程x -2x -3=1x -3的解为( )A.1B.2C.3D.无解 4.(2024·北京中考)方程12x+3+1x=0的解为 .5.定义一种新运算:对于任意的非零实数a ,b ,a ⊗b =1a +1b.若(x +1)⊗x =3x,则x 的值为 .6.某学校开展了社会实践活动,活动地点距离学校12 km,甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发,甲的速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早到10 min,求乙同学骑自行车的速度.7.(2024·贵阳市白云区模拟)题目:为了美化环境,某地政府计划对辖区内60 km 2的土地进行绿化,为了尽快完成任务,实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍,结果提前2个月完成任务,求原计划平均每月的绿化面积. 甲同学所列的方程为60x -601.5x =2;乙同学所列的方程为60y =1.5×60y+2.(1)甲同学所列方程中的x 表示原计划平均每月的绿化面积 ;乙同学所列方程中的y 表示实际完成这项工程需要的月数 .(2)任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目.【B 层·能力提升】8.(2024·遂宁中考)分式方程2x -1=1-mx -1的解为正数,则m 的取值范围( )A.m >-3B.m >-3且m ≠-2C.m <3D.m <3且m ≠-29.某校学生去距离学校12 km 的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了 20 min 后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,汽车的速度是( ) A.0.2 km/min B.0.3 km/min C.0.4 km/minD.0.6 km/min10.若整数a 使关于x 的不等式组{x -12≤11+x34x -a >x +1,有且只有45个整数解,且使关于y 的方程2y+a+2y+1+601+y=1的解为非正数,则a 的值为( )A.-61或-58B.-61或-59C.-60或-59D.-61或-60或-5911.对于两个不相等的实数a ,b ,我们规定符号Max{a ,b }表示a ,b 中的较大值,如Max{2,4}=4,按照这个规定,方程Max{x ,-x }=2x+1x的解为( )A.1-√2B.2-√2C.1+√2或1-√2D.1+√2或-112.(2024·重庆中考)若关于x 的不等式组{4x -13<x +12(x +1)≥-x +a 至少有2个整数解,且关于y 的分式方程a -1y -1=2-31-y的解为非负整数,则所有满足条件的整数a 的值之和为 .【C 层·素养挑战】13.(2024·凯里二中模考改编)为加快公共领域充电基础设施建设,某停车场计划购买A ,B 两种型号的充电桩.已知A 型充电桩比B 型充电桩的单价少0.3万元,且用15万元购买A 型充电桩与用20万元购买B 型充电桩的数量相等. (1)A ,B 两种型号充电桩的单价各是多少?(2)该停车场计划共购买25个A ,B 型充电桩,购买总费用不超过26万元,且B 型充电桩的购买数量不少于A 型充电桩购买数量的12.问:共有哪几种购买方案?哪种方案所需购买总费用最少?参考答案【A 层·基础过关】1.将关于x 的分式方程32x =1x -1去分母可得(A)A .3x -3=2xB .3x -1=2xC .3x -1=xD .3x -3=x2.(2024·贵阳市观山湖区二模)《九章算术》中记载了这样一个数学问题:今有甲发长安,五日至齐;乙发齐,七日至长安.今乙发已先二日,甲仍发长安.问几何日相逢?译文:甲从长安出发,5日到齐国;乙从齐国出发,7日到长安.现乙先出发2日,甲才从长安出发.问甲出发几日,甲乙相逢?设甲出发x 日,甲乙相逢,可列方程(A) A.x+27+x 5=1B.7x+2+5x=1 C.7x+2-5x =1 D.x+27=x53.分式方程x -2x -3=1x -3的解为(D)A.1B.2C.3D.无解 4.(2024·北京中考)方程12x+3+1x=0的解为 x =-1 .5.定义一种新运算:对于任意的非零实数a ,b ,a ⊗b =1a +1b.若(x +1)⊗x =3x,则x 的值为 -2 .6.某学校开展了社会实践活动,活动地点距离学校12 km,甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发,甲的速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早到10 min,求乙同学骑自行车的速度.【解析】设乙同学骑自行车的速度为x km /h则甲同学骑自行车的速度为1.2x km/h根据题意得12x -16=121.2x解得x=12.经检验,x=12是原分式方程的解.答:乙同学骑自行车的速度为12 km/h.7.(2024·贵阳市白云区模拟)题目:为了美化环境,某地政府计划对辖区内60 km2的土地进行绿化,为了尽快完成任务,实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍,结果提前2个月完成任务,求原计划平均每月的绿化面积.甲同学所列的方程为60x -601.5x=2;乙同学所列的方程为60y =1.5×60y+2.(1)甲同学所列方程中的x表示原计划平均每月的绿化面积;乙同学所列方程中的y表示实际完成这项工程需要的月数.【解析】(1)由题意可得甲同学所列方程中的x表示原计划平均每月的绿化面积,乙同学所列方程中的y 表示实际完成这项工程需要的月数.(2)任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目.【解析】(2)按甲同学的作法解答,60x -60 1.5x=2方程两边同时乘1.5x,得90-60=3x解得,x=10经检验,x=10是原分式方程的解.答:原计划平均每月的绿化面积是10 km2.【B 层·能力提升】8.(2024·遂宁中考)分式方程2x -1=1-mx -1的解为正数,则m 的取值范围(B)A.m >-3B.m >-3且m ≠-2C.m <3D.m <3且m ≠-29.某校学生去距离学校12 km 的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了 20 min 后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,汽车的速度是(D) A.0.2 km/min B.0.3 km/min C.0.4 km/minD.0.6 km/min10.若整数a 使关于x 的不等式组{x -12≤11+x34x -a >x +1,有且只有45个整数解,且使关于y 的方程2y+a+2y+1+601+y=1的解为非正数,则a 的值为(B)A.-61或-58B.-61或-59C.-60或-59D.-61或-60或-5911.对于两个不相等的实数a ,b ,我们规定符号Max{a ,b }表示a ,b 中的较大值,如Max{2,4}=4,按照这个规定,方程Max{x ,-x }=2x+1x的解为(D)A.1-√2B.2-√2C.1+√2或1-√2D.1+√2或-112.(2024·重庆中考)若关于x 的不等式组{4x -13<x +12(x +1)≥-x +a 至少有2个整数解,且关于y 的分式方程a -1y -1=2-31-y的解为非负整数,则所有满足条件的整数a 的值之和为16 .【C 层·素养挑战】13.(2024·凯里二中模考改编)为加快公共领域充电基础设施建设,某停车场计划购买A ,B 两种型号的充电桩.已知A 型充电桩比B 型充电桩的单价少0.3万元,且用15万元购买A 型充电桩与用20万元购买B 型充电桩的数量相等. (1)A ,B 两种型号充电桩的单价各是多少?【解析】(1)设B 型充电桩的单价为x 万元,则A 型充电桩的单价为(x -0.3)万元,由题意可得:15x -0.3=20x解得x =1.2经检验:x =1.2是原分式方程的解,x -0.3=0.9.答:A 型充电桩的单价为0.9万元,B 型充电桩的单价为1.2万元.(2)该停车场计划共购买25个A ,B 型充电桩,购买总费用不超过26万元,且B 型充电桩的购买数量不少于A 型充电桩购买数量的12.问:共有哪几种购买方案?哪种方案所需购买总费用最少?【解析】(2)设购买A 型充电桩a 个,则购买B 型充电桩(25-a )个,由题意可得: {0.9a +1.2(25-a )≤2625-a ≥12a,解得403≤a ≤503 ∵a 须为非负整数,∴a 可取14,15,16 ∴共有三种方案:方案一:购买A 型充电桩14个,购买B 型充电桩11个购买费用为0.9×14+1.2×11=25.8(万元);方案二:购买A 型充电桩15个,购买B 型充电桩10个购买费用为0.9×15+1.2×10=25.5(万元);方案三:购买A 型充电桩16个,购买B 型充电桩9个购买费用为0.9×16+1.2×9=25.2(万元),∵25.2<25.5<25.8∴方案三所需购买总费用最少.。

《中考大一轮数学复习》课件课时5 分式

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中考大一轮复习讲义◆ 数学
1. (2013·山东泰安)化简分式 2 x＋1 2 x－1 2 2 1 ÷( 2 ＋ )的结果是( x－1 x －1 x＋1 D. －2
课前预测你很棒
A
)
A. 2
B.
C.
a3 2. (2013·山东滨州)化简，正确的结果为( a A. a B. a
2
B
)
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夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学考点分式的运算
a b a±b a c ad bc ad±bc 1. 分式的加减法法则： ± ＝； ± ＝ ± ＝ . c c c b d bd bd bd a c ac 2. 分式的乘法法则： · ＝ . b d bd a c a d a·d 3. 分式的除法法则： ÷ ＝ · ＝ . b d b c b·c an 4. 分式的乘方法则：要把分子、分母分别乘方，即＝________． b
知已知彼
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夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
考点分式的运算 5. a－n＝________(a≠0，n为整数)．规律总结： (1)含有分式的加减运算中，整式可以看成是分母为1的式子，然后通过通分进行计算． (2)能约分的要先约分，可以减少计算步骤． (3)注意运算步骤，也是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． (4)另外可以结合交换律、结合律、分配律等，可以使运算更简便．运算的结果要化为最简分式或整式． (5)分式的乘除运算中，整式可以看作分母为1的式子，然后依照分式的乘除法则进行运算． (6)乘方法则中“分子、分母分别乘方”指的是分子、分母整体分别乘方，而不是部分． (7)分式乘除法若无附加条件(如括号等)，应按照从左到右的顺序进行；最好先将算式中的除式的分子、分母颠倒位置，将除法转化为乘法后再计算．

第二单元第5课时分式 2018届中考数学学练测 ppt课件(含答案)

x－2 （x＋1）（x－1）【解析】原式＝ · ＝x＋1. x－1 x－2
1 2 6．[2017· 台州]先化简，再求值：1－x＋1·x，其中
x＝2 017.
x＝
解：
1 x 2 2 2 x＋1－1 2 1 － ·x＝ x＋1 ·x＝x＋1·x＝x＋1，当 x ＋ 1
2．分式的基本性质
A A×M A A÷M 表达式：B＝，B＝ (M 是不等于零的整式)． B×M B÷M

约分：把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当
的整式，不改变分式的值，把异分母化成同分母的分式，
这样的分式变形叫做分式的通分． 3．分式的加减 a b 同分母的分式相加减：分母不变，把分子相加减，即c ±c a±b ＝_______ c ．异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后 ad±bc a c 相加减，即 ± ＝___________ ． bd b d
第5课时分式
小题热身
4 1．[2017· 重庆 A 卷]要使分式有意义，x 应满足的条件是 x－ 3 ( D ) A．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．x≠3 x2 － y 2 2．[2016· 台州]化简 2的结果是（y－x） A．－1 x＋y C. y－ x B．1 x＋y D. x－y ( D )
4．分式的乘除
分式乘分式：用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母， ac a c 即b·d＝______ bd ．分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式 a c a d ad 相乘，即b÷d＝b· c ＝bc (b≠0，c≠0，d≠0)． an 分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即b ＝ an (n 为整数)． bn

数学中考总复习-专题训练--分式及其运算

2018初三数学中考总复习分式及其运算专题练习题X2 - V21.当x = 6 , y=-2时，代数式（x _ 丫）2的值为（）4 1A . 2 B- C . 1 D-3 2x 2v 3xy2.当x = 6，y = 3时，代数式（再+再）・三的值是（）A . 2B . 3C . 6D . 9x - 23.若分式不的值为0 ,则x的值是（）X + 3A. -3B.-2 C . 0 D . 2b2 a4.如果a + b = 2,那么代崛的值是（）1 1A . 2B .-2 C- D .x 15.化简。

的结果是（）1 X + 1A.--B. --- C . x + 1 D . x -1x + 1 xx6.已知X2-3X-4二。

，则代数式口言的值是（）1 1A . 3B . 2 C- D- 3 2m2 - n27.igm>n>0r m2 + n2 = 4mn ,贝!] ----------- 等于（）mnA . 24 B.yfi C .D . 32x x - 6&化简-。

的结果为（）x2 + 2x x2 - 4 111 x-6A.——B.——C.一-D.一-x2 - 4 x2 + 2x x - 2 x - 219.若分式f在实数范围内有意义,则x的取值范围是—. x - 5a2 9 a + 310.化简：（---H一二一. a - 3 3 - a a 厂厂a2 - 2ab + b211.当a川2 + 1 , b = J2 -1时，代数式一2 一的值是.12.已知实数a , b , c满足a + b = ab = c ,有下列结论：1 1①若c/0 ,则一+1二1 ； a b②若 a = 3"Ub + c = 9;③若 a = b = c ,贝!j abc = 0 ;④若a , b , c中只有两个数相等，则a + b + c=8.其中正确的是—.（把所有正确结论的序号都选上）213.如果分式一;有意义，那么x的取值范围是x -1 ------x -114.当x =—时，分式^一的值为03x + 2t 1 1 115.已矢口 ai = —— , a2 = ：--------- , a3 = ：------- -，a n + i = ; （n 为 1E^数，且 tWO , 1）,贝U a2oi6 =t -1 1 - ai l-a2 1 - a n—.（用含有t的代数式表示）16.要使代数式业里有意义，则x的取值范围是 X ----------------17.化简：a 3a - 1a^l- a2 - 1 ；18.先化简，再求值：x2 - 6x + 9 x - 3 厂X2 一 9・»■，其中X二4-3;X19.先化简，再求值：二・仅2 - 9) - 3x ,其中x = 2.X — 31 1 2x - 14xy - 2v2。

中考数学复习《分式》专题训练--附带有答案

中考数学复习《分式》专题训练--附带有答案一、选择题 1．在a−b 2，x(x+3)x，5+x π，a+b a−b中，是分式的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．分式1x 2y ，3y2x 3，2+x3xy 2的最简公分母是（） A ．3xyB ．6x 3y 2C ．6x 6y 6D ．x 3y 33．如果把分式2xxy 中的x 和y 都扩大为原来的10倍，那么分式的值（） A ．不变B ．扩大为原来的10倍C ．缩小为原来的110倍 D ．缩小为原来的11004．使分式 x 2−1x+1等于0的x 的值是（）A ．1B ．−1C ．±1D ．不存在5．已知实数a 、b 满足a+b ＝0，且ab ≠0，则ba +ab 的值为（） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．26．若关于x 的方程 m−1x−1−xx−1=0 有增根，则m 的值是（） A ．3B ．2C ．1D ．任意值7．某煤厂原计划x 天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为（） A ．120x−2=120x −3 B ．120x=120x+2−3 C ．120x+2=120x−3D ．120x=120x−2−38．关于x 的方程 k2x−4=xx−2 的解为正数，则k 的取值范围是（） A ．k ＞0 B ．k ＜0C ．k ＞0且k ≠4D ．k ＜0且k ≠﹣4二、填空题9．约分：3x 3y9x 2y 4= ． 10．化简：a 2a−b+b 2b−a ＝． 11．若分式 2x+1 有意义，则 x 的取值范围是 .12．已知关于x的方程x−4x−3−k−4=k3−x无解，则k的值为.13．已知方程2−aa +2=3a，且关于x的不等式组{x≥ax≤b只有3个整数解，那么b的取值范围是.三、解答题14．解方程：（1）2xx+3+1=72x+6（2）1+xx+2=12+x+215．先化简，再求值：(x2x−1−x+1)÷4x2−4x+11−x，其中x=−4．16．已知A=(2x2+2xx2−1−x2−xx2−2x+1)÷xx+1．（1）先化简A，再从1，2，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值；（2）判断A的值能不能是−1，并说明理由．17．早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校.已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．（1）求小明步行速度(单位：米/分)是多少；（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？18．暑假期间，部分家长组织学生到户外游学实践活动，一名家长带一名学生. 现有甲、乙两家游学机构，其报价相同，每位学生的报价比家长少20元. 按报价计算，家长的总费用为50000元，学生的总费用为48000元.（1）请利用分式方程求家长和学生报价分别是每位多少元？（2）经协商，甲机构的优惠条件：家长全价，学生都按七五折收费；乙机构的优惠条件：家长和学生均按m（m为整数）折收费，结果他们选择了总费用较少的乙机构，求m的最大值.1．B 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 7．D 8．C 9．x3y 3 10．a +b 11．x ≠112．k =−3 或 k =1 13．3≤b ＜414．（1）解：2xx+3+1=72x+6 4x +2x +6=7 6x =1 x =16经检验：x =16是原分式方程的解；（2）解：1+xx+2=12+x +2 1+x =1+4+2x x =−4经检验：x =−4是原分式方程的解； 15．解：原式=(x 2x−1−x 2−2x+1x−1)÷(2x−1)21−x=2x−1x−1×1−x(2x−1)2 =11−2x将x =−4代入11−2x ，得11−2×(−4)=19 16．（1）解：A =(2x 2+2x x 2−1−x 2−xx 2−2x+1)÷xx+1 =(2x(x+1)(x+1)(x−1)−x(x−1)(x−1)2)×x+1x=2(x+1)x−1−x+1x−1=x+1x−1当x=3时A=3+13−1=2；x-1≠0∴x≠1.∴当x=2时A=3；当x=3时A=2；（2）解：A的值不能是−1；理由：若A的值为−1，即x+1x−1=−1，解得x=0，代入A中检验，除数为0，无意义，∴A的值不能为−1．17．解：（1）解：设小明步行的速度是x米/分，由题意得：900x =9003x+10，解得：x=60，经检验：x=60是原分式方程的解答：小明步行的速度是60米/分；（2）解：小明家与图书馆之间的路程最多是y米根据题意可得：y60=900180×2，解得：y=600答：小明家与图书馆之间的路程最多是600米.18．（1）解：设家长的报价为x元，学生的报价为(x−20)元由题意得：50000x =48000x−20经检验，x=500是分式方程的解答：家长的报价为500元，学生的报价为480元；（2）解：由题意得：(50000+48000)×m10<50000+48000×0.75解得：m<83849∵m为正整数∴m的最大值为8.。

2013年中考数学复习分级训练5 分式(含答案)

第3课时分式A 级基础题1．(2012年浙江湖州)要使分式1x有意义，x 的取值范围满足( ) A ．x ＝0 B ．x ≠0 C ．x ＞0 D ．x ＜02．(2012年四川德阳)使代数式x 2x －1有意义的x 的取值范围是( ) A ．x ≥0 B ．x ≠12 C ．x ≥0且x ≠12D ．一切实数 3．在括号内填入适当的代数式，是下列等式成立：(1)2ab ＝( )2xa 2b 2 ; (2)a 3－ab 2(a －b )2＝a ( )a －b4．约分：56x 3yz 448x 5y 2z ＝____________； x 2－9x 2－2x －3＝____________. 5．已知a －b a ＋b ＝15，则a b＝__________. 6．当x ＝______时，分式x 2－2x －3x －3的值为零． 7．(2012年福建漳州)化简：x 2－1x ＋1÷x 2－2x ＋1x 2－x.8．(2012年浙江衢州)先化简x 2x －1＋11－x，再选取一个你喜欢的数代入求值．9．先化简，再求值：x －2x 2－4－x x ＋2，其中x ＝2.10．(2012年山东泰安)化简：222mm m m ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭÷m m 2－4＝____________________.B 级中等题11．若分式x －1(x －1)(x －2)有意义，则x 应满足的条件是( ) A ．x ≠1 B ．x ≠2 C ．x ≠1且x ≠2 D ．以上结果都不对12．先化简，再求值：234211x x x +⎛⎫-⎪--⎝⎭÷x ＋2x 2－2x ＋1.13．(2011年湖南常德)先化简，再求值:2212111x xx x⎛⎫-++⎪+-⎝⎭÷x－1x＋1，其中x＝2.14．(2012年四川资阳)先化简，再求值：a－2a2－1÷2111aaa-⎛⎫--⎪+⎝⎭，其中a是方程x2－x＝6的根．C 级拔尖题15．先化简再求值：ab ＋a b 2－1＋b －1b 2－2b ＋1，其中b －2＋36a 2＋b 2－12ab ＝0.选做题16．已知x 2－3x －1＝0，求x 2＋1x 2的值．17．(2012年四川内江)已知三个数x ，y ，z 满足xy x ＋y ＝－2，yz z ＋y ＝34，zx z ＋x ＝－34，则xyz xy ＋yz ＋zx的值为____________．参考答案1．B 2.C 3.(1)4xab (2)a ＋b4.7z 36x 2y x ＋3x ＋15.326.－1 7．解：x 2－1x ＋1÷x 2－2x ＋1x 2－x ＝(x ＋1)(x －1)x ＋1÷(x －1)2x (x －1)＝x . 8．解：x 2x －1＋11－x ＝x 2－1x －1＝x ＋1，代入求值(除x ＝1外的任何实数都可以)． 9．－1410．m －6 11.C12．解：234211x x x +⎛⎫- ⎪--⎝⎭÷x ＋2x 2－2x ＋1＝3x ＋4－2x －2(x ＋1)(x －1)·(x －1)2x ＋2＝x ＋2(x ＋1)(x －1)·(x －1)2x ＋2＝x －1x ＋1. 13．解：原式＝2111(11)x x x x ⎛⎫-+ ⎪++-⎝⎭（）)(·x ＋1x －1＝x x ＋1·x ＋1x －1＝x x －1. 当x ＝2时，原式＝2.14．解：原式＝a －2a 2－1÷(a ＋1)(a －1)－2a ＋1a ＋1＝a －2a 2－1÷a 2－2a a ＋1＝a －2(a ＋1)(a －1)×a ＋1a (a －2)＝1a 2－a. ∵a 是方程x 2－x ＝6的根，∴a 2－a ＝6.∴原式＝16. 15．解：原式＝a (b ＋1)(b ＋1)(b －1)＋b －1(b －1)2＝a b －1＋1b －1＝a ＋1b －1. 由b －2＋36a 2＋b 2－12ab ＝0，得b －2＋(6a －b )2＝0，∴b ＝2,6a ＝b ，即a ＝13，b ＝2. ∴a ＋1b －1＝13＋12－1＝43. 16．解：由x 2－3x －1＝0知x ≠0，则x 2－1＝3x ，两边同除以x 得x －1x＝3. 原式＝21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2＝11 17．－4 解析：由xy x ＋y ＝－2，得x ＋y xy ＝－12，裂项得1y ＋1x ＝－12.同理1z ＋1y ＝43，1x ＋1z ＝－43.所以，1y ＋1x ＋1z ＋1y ＋1x ＋1z ＝－12＋43－43＝－12，1z ＋1y ＋1x ＝－14. 于是xy ＋yz ＋zx xyz ＝1z ＋1y ＋1x ＝－14，所以xyz xy ＋yz ＋zx＝－4.。

中考数学精学巧练备考秘籍第1章数与式第5课时分式

（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方.分式的运算法则【巧练】题型一分式有意义、无意义、值等于零的条件例1．（20____市）如果分式有意义，那么_的取值范围是．【答案】_≠1．【解析】试题分析：由题意，得：_﹣1≠0，解得_≠1，故答案为：_≠1．例2.（20__·黑龙江绥化）若代数式的值等于0 ，则_=_________. 【答案】_=2【分析】根据分式值为零的条件：分子为0且分母不为0即可得. 【解析】当时，代数式的值等于0，解得:_=2. 【点评】分式为零的条件中特别注意的是分母不能为0.【方法技巧规律】分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．题型二分式的约分例3.（20__山东淄博）计算的结果是．【答案】1﹣2a ．【解析】试题分析：将多项式1﹣4a2分解为（1﹣2a ）（1+2a ），然后再约分即可，原式==1﹣2a ．122121++-a a a ））（（【点评】解答此类问题一定要熟练掌握分式的基本性质.分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.【方法技巧规律】分式约分的步骤：(1)找出分式的分子与分母的公因式，当分子、分母是多项式时，要先把分式的分子与分母分解因式；(2)约去分子与分母的公因式．题型三分式的加减运算例4（20__四川省__市）化简的结果是（）A ．m+nB ．n ﹣mC ．m ﹣nD ．﹣m ﹣n 【答案】A ．【点评】本题考查了分式加减法，要熟记分式加减法的运算法则.【方法技巧规律】（1）分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.（2）异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母.求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母．题型四分式的乘除运算例5.（20__新疆生产建设兵团）计算： = ．【答案】.325a c【解析】试题分析：先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可，即原式=.3225125a c a a c =⋅【点评】本题考查的是分式的乘除法，将除法转化为乘法，然后将分子分母进行因式分解，约去公因式即可.【方法技巧规律】分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去. 题型五分式的混合运算例6．（20__湖北省__市）计算的结果是．【答案】a ﹣b ．【解析】试题分析：原式===a ﹣b ，故答案为：a ﹣b ．222.a a b b a a a b -+-2().a b aa ab -- 【点评】本题考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键.【方法技巧规律】分式的混合运算的顺序是先算乘除，再算加减，如有括号先算括号内的部分，当算式中出现整式时，应把其分母看成1. 题型六分式的化简求值例7.（20__山东滨州）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=．【答案】原式=（a ﹣2）2，当a=，原式=（﹣2）2=6﹣4222【点评】本题考查的是综合运用知识进行因式分解的能力.【方法技巧规律】在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算．分式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，其乘除运算归根到底是乘法运算，实质是约分，分式加减实质是通分，结果要化简．关于化简求值，近年来出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．【限时突破】(30分钟)1.（20__•衡阳）若分式的值为0，则_的值为（）A． 2或﹣1 B． 0C． 2 D．﹣12.（20__山东滨州）下列分式中，最简分式是（）3.（20__河北）下列运算结果为_-1的是（）A．B．C．D．11x-211x xx x-∙+111xx x+÷-2211x xx+++4．（20__山东德州）化简等于（）A．B．C．﹣D．﹣5.（20__江苏宿迁）计算：= ．6.（20__湖南永州）化简：÷=．.7.（20__湖北十堰）化简：．8.（20__湖南长沙）先化简，再求值：（﹣）+，其中a=2，b=．9．（20__四川巴中）先化简：，然后再从﹣2＜_≤2的范围内选取一个合适的_的整数值代入求值．【答案解析】1.【答案】C.【解析】要使分式值为零首先要满足的条件的是分式本身是要有意义的，也就是说分式的分母要不为零，然后在分子为零的情况下，分式的值才能为0.故由题意可得：_+1≠0且_﹣2=0，解得_=2．故选：C．2.【答案】A. 【解析】试题分析：选项A 为最简分式；选项B 化简可得原式==；选项C 化简可得原式==；选项D 化简可得原式==，故答案选A.3.【答案】B. 【解析】试题分析：选项A ，原式=；选项B ，原式=_-1；选项C ，原式=；选项D ，原式=_+1，故答案选B.4.【答案】B ．5.【答案】_．【解析】试题分析：===_．故答案为：_．6.【答案】.x 1【解析】试题分析：原式=x x x x x x 1)3()2()2(322=+-⋅-+ 7.【答案】原式=.)2(2-3x 32++x x x 【解析】试题分析：先把第一个分式的分子、分母分解因式后约分，再通分，然后根据分式的加减法法则分母不变，分子相加即可．试题解析：原式=2)2(2)2)(2(22++-+-+-x x x x x x ）（ =2)2(2)2(2++-++-x x x x x =)2()2(2)2(2)2()2(-+++-++-x x x x x x x x xx x =)2(422222+++-+-x x xx x x x=)2(2-3x 32++x x x8.【答案】原式=，当a=2，b=时，原式=6．【解析】试题分析：先把所给的分式进行化简后，再代入求值即可.试题解析：原式===，当a=2，b=时，原式=．9.【答案】，4．21xx -。

2025年中考数学一轮复习：分式(附答案解析)

）
）
B．a+b
5．下列运算正确的是（
D．甲错，乙对
时，整式 M 看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是
�
1
A．
�+�
C．甲对，乙错
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7．一项工程，甲单独做需 m 小时完成，若与乙合作 20 小时可以完成，则乙单独完成需要
的时间Байду номын сангаас（
）
20�
A．
小时
�−20
C．
�−20
20�
20�
B．
小时
�+20
D．
小时
4�
8．对于 M＝x+1，� = �+1，有以下两个结论：
�+20
20�
小时
①当 x＞0 时，M＞N；
②当 x＜﹣1 时，M＜N．
对于这两个结论，说法正确的是（
A．①对②不对
）
B．①不对②对
�
�
�
�+�
9．已知 = = ≠ 0，则
的值为（
2
3
4
�
4
A．
5
5
B．
4
C．①②均对
本题属于基础题型．
4．小刚在化简
1
�−�
2�
�2 −�2
−
，则整式 M 是（
1
A．
�+�
1
时，整式 M 看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是
�
）
B．a+b
C．a﹣b
【考点】分式的加减法．
1
D．
�−�
【专题】分式；运算能力．

中考数学总复习《分式方程的概念及解法》专项测试卷带答案

中考数学总复习《分式方程的概念及解法》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A 层·基础过关1.(2024·济南模拟)解分式方程1-12-x =2xx -2,去分母后得到的方程正确的是( )A .1-(2-x )=-2xB .(2-x )+1=2xC .(x -2)-1=2xD .(x -2)+1=2x 2.(2024·德州德城区模拟)分式方程x x -1=32x -2-2的解是( )A .x =-16B .x =14C .x =76D .x =543.(2024·济宁二模)若关于x 的分式方程2+1-mx -2=x2-x有增根,则m 的值是( )A .1B .2C .3D .44.(2024·宜宾中考)分式方程x+1x -1-3=0的解为 .5.(2024·成都中考)分式方程1x -2=3x的解是 .6.(2024·东营二模)若关于x 的分式方程1-x x -2=m2-x-2无解,则m 的值是 .7.(2024·包头中考)解方程:x -2x -4-2=xx -4.8.(2024·福建中考)解方程:3x+2+1=xx -2.9.(2024·滨州二模)对于非零实数a ,b ,规定a ⊕b =1a -1b.若(2x -1)⊕2=1,试求x 的值.B 层·能力提升10.(2024·遂宁中考)分式方程2x -1=1-mx -1的解为正数,则m 的取值范围( )A .m >-3B .m >-3且m ≠-2C .m <3D .m <3且m ≠-211.(2024·牡丹江中考)若分式方程x x -1=3-mx 1-x的解为正整数,则整数m 的值为 .12.(2024·重庆中考)若关于x 的一元一次不等式组{2x+13≤34x -2<3x +a 的解集为x ≤4,且关于y 的分式方程a -8y+2-yy+2=1的解均为负整数,则所有满足条件的整数a 的值之和是 .13.(2024·青岛三模)解方程:x -2x+2-1=16x 2-4.C 层·素养挑战14.(2024·青岛二模)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列:图中黑色圆点的个数依次为a 1,a 2,a 3,a 4,…以此类推.请回答下列问题:(1)a 3的值为 ,a 10的值为 ;(2)a n 的值为n (n+1)2;(3)若1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n =n 2 024(n 为正整数),则n 的值为 .参考答案A 层·基础过关1.(2024·济南模拟)解分式方程1-12-x =2xx -2,去分母后得到的方程正确的是(D)A .1-(2-x )=-2xB .(2-x )+1=2xC .(x -2)-1=2xD .(x -2)+1=2x 2.(2024·德州德城区模拟)分式方程x x -1=32x -2-2的解是(C)A .x =-16B .x =14C .x =76D .x =543.(2024·济宁二模)若关于x 的分式方程2+1-mx -2=x2-x有增根,则m 的值是(C)A .1B .2C .3D .44.(2024·宜宾中考)分式方程x+1x -1-3=0的解为 x =2 .5.(2024·成都中考)分式方程1x -2=3x的解是 x =3 .6.(2024·东营二模)若关于x 的分式方程1-x x -2=m2-x-2无解,则m 的值是 1 .7.(2024·包头中考)解方程:x -2x -4-2=xx -4.【解析】x -2x -4-2=xx -4x -2-2(x -4)=x 解得:x =3检验:当x =3时,x -4≠0 ∴x =3是原方程的根. 8.(2024·福建中考)解方程:3x+2+1=xx -2.【解析】原方程两边都乘(x +2)(x -2),去分母得:3(x -2)+(x +2)(x -2)=x (x +2) 整理得:3x -10=2x解得:x =10检验:当x =10时,(x +2)(x -2)≠0 故原方程的解为x =10.9.(2024·滨州二模)对于非零实数a ,b ,规定a ⊕b =1a -1b .若(2x -1)⊕2=1,试求x 的值.【解析】由题意得:12x -1-12=1去分母得:2-(2x -1)=2(2x -1) 解得:x =56.经检验,x =56是原方程的根∴x =56.B 层·能力提升10.(2024·遂宁中考)分式方程2x -1=1-mx -1的解为正数,则m 的取值范围(B)A .m >-3B .m >-3且m ≠-2C .m <3D .m <3且m ≠-211.(2024·牡丹江中考)若分式方程x x -1=3-mx 1-x的解为正整数,则整数m 的值为 -1 .12.(2024·重庆中考)若关于x 的一元一次不等式组{2x+13≤34x -2<3x +a 的解集为x ≤4,且关于y 的分式方程a -8y+2-yy+2=1的解均为负整数,则所有满足条件的整数a 的值之和是 12 .13.(2024·青岛三模)解方程:x -2x+2-1=16x 2-4.【解析】(x -2)2-(x 2-4)=16 x 2-4x +4-x 2+4=16 -4x +8=16 -4x =8x =-2检验,当x =-2时,x +2=0,故x =-2不是原方程的解 ∴该分式方程无解.C 层·素养挑战14.(2024·青岛二模)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列:图中黑色圆点的个数依次为a 1,a 2,a 3,a 4,…以此类推.请回答下列问题:(1)a 3的值为6,a 10的值为55;【解析】(1)由题意知,a 1=1,a 2=1+2=3,a 3=1+2+3=6 a 4=1+2+3+4=10,…∴a 10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 (2)a n 的值为n (n+1)2;【解析】(2)由题意知,a n =1+2+3+…+n ∵a n =n +(n -1)+(n -2)+…+1 ∴2a n =n (n +1),即a n =n (n+1)2;(3)若1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n =n2 024(n 为正整数),则n 的值为4 047.【解析】(3)由题意知,a n =n (n+1)2∴1a n =2n (n+1)=2(1n -1n+1)∴1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n=2(1-12)+2(12-13)+…+2(1n -1n+1)=n2 024∴2(1-1n+1)=n2 024解得n=4 047,经检验n=4 047是原分式方程的解,且符合要求.。

中考数学专题复习5.分式方程

5.分式方程一、选择1、甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是……………【】A ．8 B.7 C ．6 D ．52、用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（） A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --= 3、分式方程131x x x x +=--的解为（） A ．1 B ．-1 C ．-2 D ．-3 4、分式方程3221+=x x 的解是（） A ．0=x B ．1=x C ．2=x D ．3=x 5、关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是 A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－26、某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（A ）18%)201(400160=++x x （B ）18%)201(160400160=+-+xx （C ） 18%20160400160=-+x x （D ）18%)201(160400400=+-+x x7、解方程x x -=-22482的结果是（） A ．2-=xB ．2=xC ．4=xD ．无解8、分式方程211x x =+的解是（） A ．1B ．1-C ．13D ．13-9、分式方程2131=-x 的解是（） A ．21=x B ．2=x C ．31-=x D ． 31=x 10、甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是【】A ．8 B.7 C ．6 D ．511、方程121x x=-的解是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．312、解分式方程11222x x x-+=--，可知方程（） A ．解为2x = B ．解为4x = C ．解为3x = D ．无解13、方程121x x=-的解是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．314、解分式方程11222x x x-+=--，可知方程（） A ．解为2x = B ．解为4x = C ．解为3x = D ．无解二、填空15、请你给x 选择一个合适的值，使方程2112-=-x x 成立，你选择的x ＝________。

【精品】北师大初中数学中考总复习：分式与二次根式---知识讲解(提高)

中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算错误！未找到引用源。

±错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.要点诠释：分式运算的常用技巧（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111(1)1n n n n=-++进行裂项.(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.（6）倒数法求值（取倒数法）.（7）活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质 1.0(0)a a ≥≥； 2.()2(0)a a a =≥； 3.2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；4. 积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =⋅≥≥，； 5. 商的算术平方根的性质：(00)a a a b b b=≥>，. 6.若0a b >≥，则a b >. 要点诠释：与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥，，，，2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如82627⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262327273⎛⎫+⨯=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：()()()()223232321+-=-=，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化. 4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）a a 与互为有理化因式；（2）a b a b +-与互为有理化因式；一般地a c b a c b +-与互为有理化因式；（3）a b a b +-与互为有理化因式；一般地c a d b a d b +-与c 互为有理化因式.【典型例题】类型一、分式的意义1．若分式211x x -+的值为0，则x 的值等于．【答案】1；【解析】由分式的值为零的条件得2x ﹣1=0，x +1≠0，由2x ﹣1=0，得x =﹣1或x =1，由x +1≠0，得x ≠﹣1，∴x =1，故答案为1．【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．举一反三：【变式1】如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 . 【答案】由分式的值为零的条件得3x 2-27=0且x-3≠0，由3x 2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，∴x=-3或x=3，由x-3≠0，得x≠3．综上，得x=-3，分式23273x x --的值为0．故答案为：-3．【变式2】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是．【答案】若分式m x x +-212不论x 取何实数总有意义，则分母22x x m -+≠0，设22y x x m =-+，当△＜0即可，440,1m m -＜＞.答案m ＞1.类型二、分式的性质2．已知,b c c a a b a b c +++==求()()()abc a b b c c a +++的值. 【答案与解析】设b c c a a b k a b c+++===, 所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+=所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-=即2k =或()0,a b c ++=当2k =,所求代数式33118abc abck k ===, 当0a b c ++=,所求代数式1=-. 即所求代数式等于18或1-. 【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解.举一反三：【变式】已知111111111,,,6915a b b c a c +=+=+=求abc ab bc ac ++的值. 【答案】因为 111111111,,,6915a b b c a c +=+=+= 各式可加得1111112,6915a b c ⎛⎫++⨯=++⎪⎝⎭ 所以11131180a b c ++=，所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b÷===++++÷++类型三、分式的运算3．已知1,x y z y z z x x y++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值. 【答案与解析】因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++）即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y+++++=+++++ 所以2220.x y z y z z x x y++=+++ 【总结升华】条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.举一反三：【变式1】已知,,,x y z a b c y z x z x y ===+++且abc o ≠,求111a b c a b c +++++的值. 【答案】由已知得1,y z a x+= 所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y z a x +++=, 所以1a x a x y z=+++, 同理,,11b y c z b x y z c x y z==++++++ 所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z++++=++==+++++++++++. 【变式2】已知x ＋y=－4，xy=－12，求+++11x y 11++y x 的值．【答案】原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y =1121222++++++++y x xy x x y y 1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式， ∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2类型四、分式方程及应用4．a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 【答案与解析】方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x ++=-整理得(1)10a x -=-.当a = 1 时,方程无解.当1a ≠时,101x a =--. 如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.当2x =时,1021a -=-,所以4a =-; 当2x =-时,1021a -=--,所以a = 6 . 所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根.【总结升华】因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.5．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【答案与解析】（1）设乙单独整理x 分钟完工，根据题意得：120204020=++x解得x ＝80，经检验x ＝80是原分式方程的解．答：乙单独整理80分钟完工．（2）设甲整理y 分钟完工，根据题意，得1408030≥+y 解得：y ≥25答：甲至少整理25分钟完工．【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；（2）设甲整理y 分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．举一反三：【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得（）A ．00253010(18060x x -=+）B ．00253010(180x x -=+）C ．00302510(18060x x -=+）D ．00302510(180x x -=+）【答案】设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，00253010(18060x x -=+）故选A ．类型五、二次根式的定义及性质6．要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围为．【答案】a≥－2且a≠0．【解析】根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0．故答案为：a≥－2且a≠0．【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出x 的范围．类型六、二次根式的运算7．（2015春•泗阳县期末）已知m 是的小数部分．（1）求m 2+2m+1的值；（2）求的值．【答案与解析】解：依题意得21m =-，则121m=+ （1）原式=（m+1）2=2；（2）原式=|1m m -|=|﹣1﹣（21+）|=2．【总结升华】此题考查二次根式的化简求值，掌握完全平方公式和无理数的估算是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•苏州模拟）计算：．【答案与解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．。

05分式练习-福建省2021届中考数学总复习(可编辑PDF版)

五、分式一、填空题1.当x 时,分式13x +有意义. 2.根据分式的基本性质,在下列的括号内填上适当的项:(1)2()22x x x x =--； (2)2( )x y xy x y +=； (3)22( )2244x x x x x -=--+. 3.当时,分式2021a = 2111a a +--a的值是 __________． 4.若,1ab =1111m a b=+++,则 ()m m --=． 5.已知15a b a b -=+,则a b = ．二、选择题6.下列式子中,属于分式的是( )A.2xyB.13C.12aD.5x y + 7.分式11x--可变形为( ) A.11x - B.11x + C.11x -+ D.11x -- 8.PM 是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物.微米等于0.2.5 2.5 2.50000025 米,把数据0.0000025 用科学记数法表示为( )A. 62.510⨯B.50.2510-⨯C.52.510-⨯D.62.510-⨯ 9.如果正数x 、y 同时扩大2 021倍,那么下列分式中,分式的值保持不变的是( ) A.11x y -- B.11x y ++ C.23xyD.x x y + 10.下列分式中,最简分式是( ) A.2211xx -+ B.211xx +- C.2222x xy y x xy -+- D.236212x x -+ 11.如果等式成立,那么a 的值可能有( )2(21)1a a +-=A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个三、解答题 12.计算或化简:(1)247(2y x )x y -⋅- (2)222224x x x x +--- (3)203((2021)22--π- ⨯213.先化简,再求值:24512(1)(11a a a a a a -+-÷---)-,其中12a =-.14.已知1a a +=,求代数式1a a-的值.15.阅读材料: 将分式2253x x x +-+拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式．解:由分母为x ＋3,可设225(3)()x x x x a +-=+++223)()(3)b ),则由25((3x x x x a +-+x a b x a =+++=+++3235a a b +=⎧⎨b ．∵对于任意x ,上述等式均成立,∴+=-⎩,解得12a b =-⎧⎨=-⎩． ∴2(3)(1)22522133333x x x x x x x x x +--+-==-=--++++(3)(1)x x x +-+ 这样,分式2253x x x +-+就被拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式． (1)将分式2361x x x ++-拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式； (2)将分式42221x x x --+-+5拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式．参考答案：一、填空题x 3. 2022 4.1- 5.321. 2.(1)1 (2)3≠-2x xy + (3)二、选择题6.C7.A8.D9.D 10.A 11.B三、解答题12.(1)14y (2)1 (3)213.解:24512(1)(11a a a a a a-+-÷---- 21452=1(a a a a a a --+-÷--1)()22(1)12a a a a a --=⋅-- (2a a =-) 22a a =- 当12a =-时,原式=2511(2()22--⨯-=414.解:∵1a a +=∴21()a a+=7 ∴2215a a+= ∵22211(2523a a a a-=+-=-=∴1a a-= 15.解:(1)2361x x x ++-(1)(4)101x x x -++=-(1)(4)1011x x x x -+=+--1041x x =++- (2)422251x x x --+-+222(1)(23)21x x x -++=-++222231x x =++-+。

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2019-2020年中考数学总复习精品训练：课时5.分式【课前热身】
1．当x＝______时，分式有意义；当x＝______时，分式的值为0．2．填写出未知的分子或分母：
（1
3．计算：+＝________．
4．代数式中，分式的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5. 计算的结果为（）
A． B． C． D．
【考点链接】
1. 分式：整式A除以整式B，可以表示成A
B
的形式，如果除式B中含
有，那么称A
B
为分式．若，则
A
B
有意义；若，
则A
B
无意义；若，则
A
B
＝0.
2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的．用式子表示为 .
3.约分：把一个分式的分子和分母的约去，这种变形称为分式的约分．4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为的分式，这一过程称为分式的通分.
5．分式的运算
⑴加减法法则：①同分母的分式相加减： .
②异分母的分式相加减： .
⑵乘法法则： .乘方法则： .
⑶除法法则： .
【典例精析】
例1 （1）当x 时，分式无意义；
（2）当x 时，分式的值为零.
例2 ⑴已知，则＝.
⑵已知，则代数式的值为 .
例3 先化简，再求值：
(1)（－）÷，其中x＝1．
⑵.
【中考演练】
1． 2．计算：x －1x －2 ＋12－x
＝ . 3．分式的最简公分母是_______．
4．把分式中的分子、分母的、同时扩大2倍，那么分式的值（）
A. 扩大2倍
B. 缩小2倍
C. 改变原来的
D. 不改变
5．如果=3，则=（） A． B．xy C．4 D．
6．若，则的值等于（）
A．B．C．D．或
7. 已知两个分式：A＝，B＝，其中x≠±2．下面有三个结论：
①A＝B；②A、B互为倒数；③A、B互为相反数．
请问哪个正确?为什么?
8. 先化简，再取一个你认为合理的值，代入求原式的值./c24374 5F36 弶 z24821 60F5 惵a36623 8F0F 輏aG34028 84EC 蓬D40810 9F6A 齪 x。