高一数学下册知识点：直线和平面的位置关系
高一数学重点知识点复习指导：直线和平面的位置关系
高一数学重点知识点复习指导：直线和平面的位置关系为大家带来高一数学重点知识点复习指导：直线和平面的位置关系，希望大家喜欢下文!直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内有无数个公共点②直线和平面相交有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
考生们只要加油努力，就一定会有一片蓝天在等着大家。
以上就是的编辑为大家准备的高一数学重点知识点复习指导：直线和平面的位置关系。
直线和平面的位置关系
P
P
D1
C1
A
D
O
A
B
C
(1)
(2)
A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
直线和平面
在日常生活中，我们可以观察到直线与平面 的位置关系共有三种。
即：平行、相交、在平面内。 其中直线在平面内，由基本性质1决定。 对于直线和平面的前两种位置关系，分别给
出下面的定义。
定义1 如果一条直线和一个平面没有公共点，那 么称这条直线和这个平面平行。
直线l与平面平行， 记作l //,即l
∴PC是平面ABC的斜线
∴AC是PC在平面ABC上的射影A
∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC
∴由三垂线定理得
PC ⊥ BC
B C
例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
在PAO中，
P
sin PAO PO 8 1 PAO 30
PA 16 2
A
同理 : sin PBO PO 8 PB 10
O
B
PBO 538
三垂线定理及逆定理
P oa
A α
预习：
三垂线定理
什么叫平面的斜线、垂线、射影？
P
oa
α
A
PO是平面α的斜线,
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
高一数学平面与直线知识点总结
高一数学平面与直线知识点总结在高中数学学习的过程中，平面与直线是一个重要的内容，掌握好这一部分的知识点对于学习后续的数学内容将起到关键的作用。
本文将对高一数学平面与直线的相关知识点进行总结和梳理，帮助同学们更好地理解和应用这些知识。
一、平面与直线的基本概念1. 平面：平面是指无限延伸的两个维度，可以用一个平面图形表示。
平面上的点可以无限多，但是只需给出三个不在一条直线上的点，就可以确定一个平面。
2. 直线：直线是由无数个点按照一定的方向无限延伸而成的。
直线上的点是无限多的，且任意两个点都可以确定一条直线。
二、直线的表示方法1. 一般式：直线的一般形式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C 是常数。
2. 斜截式：直线的斜截式方程为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
3. 截距式：直线的截距式方程为x/a + y/b = 1，其中a、b分别为直线在x轴和y轴上的截距。
三、直线的性质与相关定理1. 平行线的判定：两条直线平行的充分必要条件是它们的斜率相等。
2. 垂直线的判定：两条直线垂直的充分必要条件是它们的斜率的乘积为-1。
3. 平行线与垂直线之间的性质：平行线和垂直线之间具有一些重要的性质，如平行线的距离公式、垂直线的交点坐标等。
4. 直线的点斜式方程：已知直线上一点的坐标和直线的斜率，可以通过点斜式方程求解直线的方程。
5. 直线与坐标轴的交点：直线与x轴和y轴的交点可以通过将x或y的值为0代入方程求解得到。
四、平面与直线的位置关系1. 两条直线的位置关系：两条直线可以相交、平行或重合。
2. 直线与平面的位置关系：直线可以与平面相交、平行或在平面上。
3. 平面与平面的位置关系：平面可以相交、平行或重合。
5、两平面夹角：两平面之间的夹角可以通过计算两平面的法向量之间的夹角得到。
综上所述，高一数学平面与直线是一个重要的知识点，它们是学习后续高中数学内容的基石。
高一数学知识点总结_点、直线、平面之间的位置关系
高一数学知识点总结(一)空间点、直线、平面之间的位置关系以下知识点需要我们去理解，记忆。
1、数学所说的直线是无限延伸的，没有起点，也没有终点。
2、数学所说的平面是无限延伸的，没有起始线，也没有终点线。
3、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
4、过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
5、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一个过该点的公共直线。
6、平行于同一条直线的两条直线平行。
7、直线在平面内，因为直线上有无数多个点，平面上也有无数多个点，因此用子集的符号表示直线在平面内。
8、直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系是本节课的重点和难点。
9、做位置关系的题目，可以借助实物，直观理解。
一、直线与方程考试内容及考试要求考试内容：1.直线的倾斜角和斜率;直线方程的点斜式和两点式;直线方程的一般式;2.两条直线平行与垂直的条件;两条直线的交角;点到直线的距离;考试要求：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
高一数学知识点总结(二)直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(A,B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：(4)平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中。
高一数学知识点必修二：直线和平面的位置关系
【导语】让我们共同努⼒，培养良好的学习习惯，胸怀梦想，珍惜时间，发奋学习，⽴志成才，让青春载着梦想飞扬！这篇关于《⾼⼀数学知识点必修⼆：直线和平⾯的位置关系》是⾼⼀频道为你准备的，希望你喜欢！ 直线和平⾯只有三种位置关系：在平⾯内、与平⾯相交、与平⾯平⾏ ①直线在平⾯内——有⽆数个公共点 ②直线和平⾯相交——有且只有⼀个公共点 直线与平⾯所成的⾓：平⾯的⼀条斜线和它在这个平⾯内的射影所成的锐⾓。
esp.空间向量法(找平⾯的法向量) 规定：a、直线与平⾯垂直时，所成的⾓为直⾓，b、直线与平⾯平⾏或在平⾯内，所成的⾓为0°⾓ 由此得直线和平⾯所成⾓的取值范围为[0°，90°] 最⼩⾓定理：斜线与平⾯所成的⾓是斜线与该平⾯内任⼀条直线所成⾓中的最⼩⾓ 三垂线定理及逆定理：如果平⾯内的⼀条直线，与这个平⾯的⼀条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平⾯垂直 直线和平⾯垂直的定义：如果⼀条直线a和⼀个平⾯内的任意⼀条直线都垂直，我们就说直线a和平⾯互相垂直.直线a叫做平⾯的垂线，平⾯叫做直线a的垂⾯。
直线与平⾯垂直的判定定理：如果⼀条直线和⼀个平⾯内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平⾯。
直线与平⾯垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于⼀个平⾯，那么这两条直线平⾏。
③直线和平⾯平⾏——没有公共点 直线和平⾯平⾏的定义：如果⼀条直线和⼀个平⾯没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平⾯平⾏。
直线和平⾯平⾏的判定定理：如果平⾯外⼀条直线和这个平⾯内的⼀条直线平⾏，那么这条直线和这个平⾯平⾏。
直线和平⾯平⾏的性质定理：如果⼀条直线和⼀个平⾯平⾏，经过这条直线的平⾯和这个平⾯相交，那么这条直线和交线平⾏。
直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系直线与平面是空间中常见的几何概念，它们之间的位置关系是几何学中的重要内容之一。
本文将探讨直线与平面的不同相交情况，并分析它们之间的关联性。
1. 直线与平面的交点数量当一条直线与一个平面相交时，可能存在以下三种情况：情况一：直线与平面交于一点。
这是最常见的情况，也是我们常见的几何问题。
例如，一根铅笔在桌面上的投影点就是直线与平面相交于一点的实例。
在平面几何中，这种情况下可以用点来表示交点。
情况二：直线与平面平行。
这种情况下，直线与平面没有交点，但它们之间有一定的关联性，我们可以说直线位于该平面上方或下方。
例如，一根水平放置的线段与地面平行，但并不与地面相交。
在平面几何中，我们通常用无交符号∥来表示直线与平面平行的关系。
情况三：直线与平面重合。
这种情况下，直线完全位于平面内部，无论在几何学还是实际生活中都较为罕见。
当直线与平面重合时，它们有无数个交点。
在平面几何中，我们通常用∈来表示直线与平面重合的关系。
2. 直线与平面的夹角除了交点数量外，直线与平面的夹角也是它们位置关系的重要方面。
直线与平面的夹角定义为直线上的一条边与平面的法线之间的夹角。
情况一：直线与平面垂直。
当直线与平面的夹角为90度时，我们称直线与平面垂直。
这种情况下，直线与平面的关系可以用直线的斜率来表达。
在平面几何中，我们通常用⊥来表示直线与平面垂直的关系。
情况二：直线与平面倾斜。
当直线与平面的夹角不为90度时，我们称直线与平面倾斜。
这种情况下，我们可以通过计算直线的斜率和平面法线的关系来描述直线与平面的位置关系。
3. 直线与平面的位置关系是由它们的交点数量和夹角来确定的。
根据之前的分析，我们可以总结出以下几种情况：情况一：直线与平面相交于一点，并且直线与平面垂直。
这种情况下，直线与平面的位置关系是最简单的，可以用一个点来表示交点，并用垂直符号⊥来表示直线与平面垂直。
情况二：直线与平面相交于一点，并且直线与平面倾斜。
高一数学必修二知识点：直线和平面的位置关系
高一数学必修二知识点：直线和平面的位置关系数学的学习不像文科要死记硬背，学好高中数学最主要的是要掌握好课本上的基本公式，熟练运用，才能解考试过程中的各种题型。
直线和平面的位置关系：
直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内有无数个公共点
②直线和平面相交有且只有一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)
规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
esp.直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a
叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行没有公共点
直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系直线与平面是几何学中常见的两个基本概念，它们之间存在着一种特殊的位置关系。
在本文中，我们将探讨直线与平面的相互关系，并分析不同情况下它们之间可能存在的几种位置关系。
一、直线与平面的基本定义在几何学中，直线是由一系列连续的无限延伸的点组成的，它没有宽度和厚度，可以用来表示一个方向。
平面则是由无数个共面的点组成的，它有无限的长度和宽度，但没有厚度。
二、直线在平面上的位置关系2.1 直线在平面内的情况当一条直线完全位于一个平面内部时，我们说直线在平面上。
这意味着直线上的任意一点都可以找到与平面内点之间的最短距离，而且直线与平面的交点个数可以是无限的。
当直线与平面相交时，它们的交点在平面内。
2.2 直线与平面的平行关系如果一条直线与一个平面不相交，且在该平面上不存在与这条直线平行的直线，则称这条直线与这个平面平行。
在这种情况下，直线与平面之间的距离是恒定的，且这个距离是由这条直线所在的平行于该平面的直线到平面的最短距离所确定的。
2.3 直线与平面的垂直关系当一条直线与一个平面相交，并且与平面上的任意一条直线所成的角都是直角时，我们说这条直线与平面垂直。
在这种情况下，直线与平面只有一个交点，并且与平面上的直线所成的角度都是90度。
三、直线与平面的特殊情况3.1 直线在平面上的情况有时候，一条直线可能与一个平面相切，这意味着直线上的一点与平面内的点之间的最短距离为零。
在这种情况下，直线与平面的交点个数为1，且这个交点就是直线上的切点。
3.2 直线与平面的重合关系在某些情况下，一条直线可能与一个平面重合，这意味着除了直线上的所有点之外，平面上的其他点也包含在直线上。
在这种情况下，直线与平面有无限个交点，且它们之间的位置是完全重合的。
四、应用举例直线与平面的位置关系在许多实际问题中都能得到应用。
例如，在建筑设计中，我们常常需要确定一条直线是否与一个平面平行，以便进行正确的定位和测量；在计算机图形学中，直线与平面的位置关系常用于计算模型的投影效果等。
平面和直线的位置关系
平面和直线的位置关系
平面和直线是几何学中常见的基本图形，它们在空间中的位置关系有以下几种情况：
1. 直线在平面内：当一条直线完全位于一个平面内时，我们称这条直线在这个平面内。
这种情况下，直线与平面有唯一的交点，也就是直线的一个端点与平面的一个点重合。
2. 直线与平面相交：当一条直线与一个平面有交点时，我们称这条直线与这个平面相交。
这种情况下，直线与平面有无限多个交点，交点的数量取决于直线与平面的相对位置。
3. 直线与平面平行：当一条直线与一个平面没有交点且与平面上任意一条直线的夹角为零时，我们称这条直线与这个平面平行。
这种情况下，直线与平面之间没有交点。
4. 直线与平面垂直：当一条直线与一个平面上的任意一条直线的夹角为90度时，我们称这条直线与这个平面垂直。
这种情况下，直线与平面有唯一的交点，交点位于直线与平面的垂线上。
总之，平面和直线的位置关系有多种情况，要根据具体的情况来判断它们之间的
关系。
在实际应用中，我们需要根据需要来选择适当的位置关系，以便更好地解决问题。
高一数学知识点总结_点、直线、平面之间的位置关系
高一数学知识点总结_点、直线、平面之间的位置关系高一数学怎么学?减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力，预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;今天小编在这给大家整理了高一数学知识点总结，接下来随着小编一起来看看吧!高一数学知识点总结(一)空间点、直线、平面之间的位置关系以下知识点需要我们去理解，记忆。
1、数学所说的直线是无限延伸的，没有起点，也没有终点。
2、数学所说的平面是无限延伸的，没有起始线，也没有终点线。
3、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
4、过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
5、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一个过该点的公共直线。
6、平行于同一条直线的两条直线平行。
7、直线在平面内，因为直线上有无数多个点，平面上也有无数多个点，因此用子集的符号表示直线在平面内。
8、直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系是本节课的重点和难点。
9、做位置关系的题目，可以借助实物，直观理解。
一、直线与方程考试内容及考试要求考试内容：1.直线的倾斜角和斜率;直线方程的点斜式和两点式;直线方程的一般式;2.两条直线平行与垂直的条件;两条直线的交角;点到直线的距离;考试要求：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
高一数学知识点总结(二)直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(A,B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：(4)平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中。
直线与平面的位置关系知识点总结
直线与平面的位置关系知识点总结直线与平面之间的位置关系是几何学中重要的内容之一，涉及到直线与平面的相交、平行以及垂直等相关概念与性质。
本文将对这些知识点进行总结，以帮助读者更好地理解并应用于实际问题。
一、直线与平面的相交关系1. 直线与平面相交的基本条件是直线不在平面内，即直线与平面不能共面。
2. 直线与平面相交有三种情况：a. 直线与平面相交于一点，此时直线称为平面的切线，而平面称为直线的切平面。
b. 直线与平面相交于一条直线，此时直线与平面互相交于一个点，该直线称为平面的截线，平面也称为直线的截面。
c. 直线与平面相交于无穷多个点，此时称为直线与平面的交。
3. 根据欧氏几何的公理，一条直线与平面交于一点后，该直线在平面上的每一点都与该平面有且只有一个交点。
二、直线与平面的平行关系1. 直线与平面平行的基本条件是直线与平面不相交，即两者没有任何公共点。
2. 直线与平面平行有以下情况：a. 直线与平面在空间中没有交点，此时称直线与平面平行。
b. 直线在平面上，但不在平面内，此时称直线与平面平行。
3. 欧氏几何的公理表明，两条直线分别与同一个平面平行，则这两条直线之间平行。
三、直线与平面的垂直关系1. 直线与平面垂直的基本条件是直线上的任意一条线段与平面上的任意一条线段互相垂直。
2. 直线与平面垂直有以下情况：a. 直线与平面相交，并且直线上的每一条线段都与平面上的每一条线段垂直，则称直线与平面垂直。
b. 直线在平面内，但不在平面上。
此时，直线与平面射线是互相垂直的。
3. 欧氏几何的公理表明，直线与平面垂直，则平面上的任意一条线段与直线上的任意一条线段皆垂直。
四、其他相关知识点1. 平面同时和一条直线的两个点重合，则称该直线在平面上。
2. 平面同时和一条直线的一个点重合，则称该直线在平面内。
3. 平面绕着一条直线旋转，可以得到一组平行于原平面的平面，这个过程叫做平面的旋转。
总结：直线与平面的位置关系包括相交、平行和垂直等几种情况。
直线和平面的位置关系
直线和平面
在日常生活中，我们可以观察到直线与平面 的位置关系共有三种。 即：平行、相交、在平面内。 其中直线在平面内，由基本性质1决定。 对于直线和平面的前两种位置关系，分别给 出下面的定义。 定义1 如果一条直线和一个平面没有公共点，那 么称这条直线和这个平面平行。
直线l与平面 平行， 记作l // , 即l
因此l m P， 这与l // m矛盾. 所以l // .
由P l得P . 因为P ， 所以P ， 即P m.
例1。已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、 AD的中点 A 求证：EF∥平面BCD 证明：连接BD，在△ ABD中， ∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF ∥ BD 又∵EF 平面BCD，
PO 8 1 sin PAO PAO 30 PA 16 2
PO 8 同理 : sin PBO PB 10
PBO 53 8
O B
A
三垂线定理及逆定理
P A o
a
α
预习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？
三垂线定理
PO是平面α的斜线,
P
A
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
a c
a与c是异面直线 d
o
b
a b
如果平面内的直线d 平行于b，那么d与a 垂直
若直线d不在平面 内，上述结论还成立吗？仍成立
过一点能作几条与已知直线垂直的直线？
m
M
O b
a d
A
c
所作的垂线是在同一平面内吗？ 是 直线m与此平面给我们什么形象？直线垂直平面的形象
直线和平面垂直的定义
直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系在几何学中占据了重要的地位。
它涉及到了直线如何与平面相交或平行，以及它们之间的相对位置关系。
本文将讨论直线与平面的不同情况，并探讨它们在几何学中的应用。
一、直线与平面的交点当一条直线与一个平面相交时，它们的交点可以有三种情况：交于一点、交于一条直线，或者两者没有交点。
首先，我们来看直线与平面相交于一点的情况。
当直线与平面只有一个交点时，该交点是直线上唯一的一个点，也是平面上唯一的一个点。
其次，当直线与平面平行时，它们没有交点。
这意味着直线和平面不相交，它们在空间中保持着一定的距离。
这种情况下，直线和平面的位置关系可以通过它们的方程来确定。
最后，如果一条直线与一个平面相交于一条直线，我们称之为该直线在平面上。
直线与平面的交线可以是有限的、无限的或为空。
当直线与平面的交线为有限长时，直线在平面上的一段称为线段。
当交线无限延伸时，我们称之为直线在平面上的延长线。
当直线与平面没有交点时，我们说直线在平面上不存在。
二、直线与平面的夹角直线与平面之间的夹角是指直线与平面的法线之间的夹角。
法线是垂直于平面的一条直线，它垂直于平面上的每一条直线。
直线与平面的夹角可以根据它们的倾斜程度来分类。
当直线与平面的夹角为0°时，它们是平行的。
当直线与平面的夹角为90°时，它们是垂直的。
当夹角大于90°时，我们称之为钝角；当夹角小于90°时，我们称之为锐角。
三、直线与平面的平行关系直线与平面的平行关系是指直线与平面在空间中没有交点的情况。
在几何学中，直线与平面平行的条件可以由它们的法向量来确定。
如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则这条直线与该平面是平行关系。
四、直线与平面的垂直关系直线与平面的垂直关系是指直线与平面的夹角为90°的情况。
直线与平面垂直的条件是直线的方向向量与平面的法向量成正交关系。
换句话说，直线的方向向量与平面的法向量的点积为零。
高三数学：直线与平面的位置关系(全稿)
第6课直线与平面的位置关系一、知识回顾思考：空间直线与平面的位置关系有哪几种？1．直线与平面的关系我们把直线a与平面α相交或平行的情况统称为线在面外，记作aα⊄.线在面内公理1：线上两点在面内，线在面内定义直线与平面没有公共点线面平行判定定理一线面内，一线面外，线线平行，线面平行性质定理线面平行，过线做面，面面相交，线交平行2．直线与平面定义线垂直于面内任意一条直线判定定理线垂直于面内两条相交直线，线面垂直垂直性质定理垂直于同一平面的两直线平行线面相交平行直线（点）到面的距离求解一般用等体积法斜线，射影及其性质直线与平面所成角二、例题分析1．判断下列说法是否正确○1如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行（×）○2如果一条直线平行于某个平面内无数条直线，那么这条直线就与这个平面平行（×）○3如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内任意一条直线都平行（×）2．下列命题正确的有1个.○1过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直；○2若一条直线和平面内的无数多条直线垂直，则这条直线和平面垂直；○3一条直线和平面内两条相交直线垂直，则这条直线和平面垂直；○4若一条直线平行于一个平面，则和这条直线垂直的直线必和这个平面垂直；○5同一平面内的两条斜线段的射影相等，则这两条斜线段相等；3．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 点为棱AB 的中点.求证：1AC ∥平面1CDB . 证明：连结1BC 交1B C 于O ，连结DO ， ∵四边形11BB C C 为平行四边形，∴O 为1BC 中点，∴在1ABC ∆中，O D 、分别为1B C BA 、中点， ∴OD ∥1AC又∵11AC CB D ⊄面⇒1AC ∥平面1CDB . 1OD CB D ⊂面4．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆上不同于A B 、的任一点，求证：BC ⊥平面PAC . 证明：∵PA ABC BC PA BC ABC ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭面面.又∵C 为圆O 上一点， ∴BC AC ⊥又∵BC PA ⊥AC PA A ⋂= BC PAC ⇒⊥面. PA PAC ⊂面AC PAC ⊂面三、课堂练习1．若直线m n 、异面，m α∥，则n 和α的位置关系是 平行、相交、线在面内 .2．若两直线, a b 在同一平面β上的射影记为, a b ''，若//a b ''，则, a b 的位置关系是 平行、异面 ；若, a b ''相交，则, a b 的位置关系是 相交、异面 .3．下列命题正确的是 ○2○3 . ○1平行于同一个平面的两条直线平行； ○2过平面外一点有无数条直线与这个平面平行； ○3过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行； ○4如果两条直线与同一平面成等角，那么这两条直线平行. 4．已知//a α，//b α，则下列关于直线, a b 的位置关系中成立的有 5 个.○1平行；○2垂直不相交；○3垂直且相交；○4相交但不垂直；○5不垂直且不相交. 5．（06年福建卷改编）对于直线m n 、和平面α，下列命题中的真命题是 ○3 . ○1若m α⊂，n α⊄，m n 、是异面直线，则n α∥； ○2若m α⊂，n α⊄，m n 、是异面直线，则n 与α相交； ○3若m α⊂，n α∥，m n 、共面，则m n ∥； ○4若m α∥，n α∥，m n 、共面，则m n ∥.6．（05、08江苏卷改编）设αβγ、、为两两不重合的平面，l m n 、、为两两不重合的直线，给出下列五个命题，其中真命题的个数是 3 个.○1若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行； CAB1C1A1BD○2若m n ∥，m α∥，则n α∥； ○3若l αβ⋂=，m βγ⋂=，n γα⋂=，l γ∥，则m n ∥； ○4若αβ∥，l α⊂，则l β∥； ○5若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥. 7．过三棱柱111ABC A B C -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11ABB A 平行的直线共有 6 条. 8．在空间四边形ABCD 中，E F 、分别是AB AD 、上的点，::1:4AE EB AF FD ==，H G 、分别为BC CD 、的中点，则四边形EFGH 的形状是 梯形 .9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，若M N 、分别是1B C BD 、的中点.求证：MN ∥平面11AA B B . 证明：连结AC ，连结1AB ，∵N 为BD 中点，∴AC 过点N ，且N 为AC 中点.在1AB C ∆中，M N 、分别为1B C 、AC 中点， ∴MN ∥1AB又∵11MN AA BB ⊄面 ⇒MN ∥平面11AA B B 111AB AA B B ⊂面10．如图，四棱锥S ABCD -中，底面为平行四边形.○1若SA ∥面MBD ；求证：点M 为SC 的中点； ○2若点M 为棱SC 的中点，问：是否能在棱AB 上找点N ， 使得MN ∥面SAD ，若存在，证明你的结论，不存在，说明理由.证明：○1连结AC 交BD 于O ，连结MO ， ∵SA MBD SA SAC SA MO SAC MBD MO ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭∥面面∥面面. 又∵点O 为AC 中点， ∴点M 为SC 的中点.○2当点N 为AB 中点时MN ∥面SAD . 连结AC 交BD 于O ，在SAC ∆中，M O 、分别为SC AC 、中点， ∴MO ∥SA又∵MO SAD ⊄面 M O ⇒∥面SAD SA SAD ⊂面同理：NO ∥面SAD又∵MO NO O ⋂= SAD ⇒面∥MON 面MO MON ⊂面 ⇒MN ∥面SAD .NO MON ⊂面 又∵MN MON ⊂面11．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M N 、分别是AB 、PC 的中点.求证：M N AB ⊥. 证明1：取PD 中点E ，连结NE 和AE ， 证明MN ∥AE 和AB PAD ⊥面； 证明2：连结AC 、BD 交于点O ，SCBADMPABD CMN1证明AB⊥面MNO；证明3：连结AN、BN，证明AN BM=222222AN NO AOBN NO BO⎫=+⇐⎬=+⎭.12．如图，已知正方形ABCD的边为1，EF∥平面ABCD，FB与EA均垂直于面ABCD，且EF到平面ABCD3，求：○1EA与FD所成的角；○2FD与平面ABCD所成的角.解：○1∵FB与EA均垂直于面ABCD，∴FB∥EA，∴异面直线EA与FD所成角即相交直线FB与FD所成角，即BFD∠.由题，BD=FB=，且90FBD∠=，∴tan BFD∠=∴60BFD∠=，即EA与FD所成的角的大小为60. ○2由题FB ABCD⊥面，∴斜线FD在面ABCD内的射影为BD，∴FD与平面ABCD所成的角为FD与BD所成的角，即FDB∠.由○1知30FDB∠=，∴FD与平面ABCD所成角的大小为30. BFEDA。
高一数学空间中直线与平面之间的位置关系PPT学习教案
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（A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）AB
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巩固练习:
4.已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥
平面b，∩b=l，则l
（C ）
（A）与m，n都相交
（B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交
（D）与m，n中一条相交
5.完成教材P49 练习
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反 思与延 伸
相交——有且只有一个公共点； 直线在平面外
平行——没有公共点；
2、用图形语言表示空间中直线与平面的三种位置关系：
a
a
a
α
α
α
①
②
③
3、用符号语言表示空间中直线与平面的三种关系：
① a α
② a∩α=A
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③ a∥α
五、小测： （一）填空。 1、如果一条直线和一个平面没有公，共那点么我们就说这条 直线和这个平面平行。
A´ B´
D A
C B
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探究结果
如图所示，在长方体ABCD-A´B´C´D´中，
无数
（1）A´B所在的直线与平面A´A B B´有 个公共点；
（2） A´B所在的直线与平面A´A D D´有 一 个公共点； A´B所A在´的B所直在线的与直平线面与B´平B面CACB´C有D有 个一公个共公点共；点；
2、如何用图形语言表示直线与平面的三种位置
关系?
a
a
a
α
α
α
①
②
③
错误画法：
a
一张思维导图搞定高中数学《点、直线、平面之间的位置关系》
一张思维导图搞定高中数学《点、直线、平面之间的位置关系》高一数学《点、线、平面之间的位置关系》这一张，很多同学学完后，脑袋一团浆糊，要么感觉什么都没学，要么感觉东西太多了。
本文，我们通过一张思维导图帮助大家搞定。
首先，一起来看下总体内容，如下图。
简单说就是位置关系的考查，重点在于线面平行的判定和性质以及线面垂直的判定和性质。
线面垂直部分，注意二面角相关内容，因为在高考立体几何中几乎属于必考内容。
一、位置关系担心图文看不清晰，我们将重要内容摘录如下，需要xmind思维导图原图复习的同学，记得文末留言即可。
平面的基本性质（三大公理）：①A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α→l包含于α。
直线上两点在平面内，直线在此平面内。
②过不在同一条直线上的三点有且仅有一个平面。
不共线的三点确定一个平面。
③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理②有三条推论：推论一：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
二、线面平行1.线面平行判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
证明方法：①利用定义：证明直线与平面无公共点；②利用直线与平面平行的判定定理；③利用平面与平面平行的定义：两个平面平行，则一个平面内的所有直线都平行于两一个平面。
2.面面平行判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么，他们的交线平行。
证明方法：①利用平面与平面平行的定义，此法一般与反证法相结合；②利用平面与平面平行的判定定理；③证明两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面。
三、线面垂直1.线面垂直的证明①利用直线与平面垂直的定义（可以用反证法）；②利用直线与平面垂直的判定定理；③利用平面与平面垂直的性质定理；④结合平行关系：A：a//b，a⊥α→b⊥α；B：a⊥α，α//β，a⊥β2.面面垂直的证明①利用定义判断（证明）二面角的平面角是直角；②利用平面与平面垂直的判定定理。
直线与平面的位置关系表示方法
直线与平面的位置关系表示方法直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内——有无数个公共点
②直线和平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp。
空间向量法（找平面的法向量）
规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
esp。
直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直。
直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行——没有公共点
直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
高一数学下册知识点：直线和平面的位置关系
高一数学下册知识点：直线和平面的位置关系
高一数学下册知识点：直线和平面的位置关系下面是查字典数学网高中频道为大家整理的高一数学下册知识点：直线和平面的位置关系，希望对广大朋友有所帮助。
直线和平面的位置关系：
直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内有无数个公共点
②直线和平面相交有且只有一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)
规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
esp.直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a。
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高一数学下册知识点：直线和平面的位置关
系
下面是查字典数学网高中频道为大家整理的高一数学下册知识点：直线和平面的位置关系，希望对广大朋友有所帮助。
直线和平面的位置关系：
直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内有无数个公共点
②直线和平面相交有且只有一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)
规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
esp.直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任
意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a 叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行没有公共点
直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。
看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。
称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。
直线和平
面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。