武汉大学高数上期中考试

1 武汉大学《高等数学》（上）期中试卷

（2010级统考 考试时间 100分钟）

班级 姓名 学号 成绩 1（10分）求极限2

011lim ()sin x x x x →-。 2（10分）求曲线4sin 52cos x x

y x x +=-的水平渐近线方程。

3（10

分）求函数()(25)f x x =-[1,2]-上的最大值和最小值。 4（10分）322()2221设由确定y y x y y xy x =-+-=，()求的驻点，y y x =并判断它是否为极值点。

5.（10分）设1/,0()10,0

x

x x f x e x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩， 求()f x '。 6（10分）设常数0k >，判断方程ln 0x

x k e -

+=在(0,)+∞内实根的个数，并说明理由。 7（10分）已知曲线L 的方程为221(0)4x t t y t t ⎧=+≥⎨=-⎩，

（1）讨论L 的凹凸性；

（2）过点(1,0)-引L 的切线，求切线的方程。

8（10分）（1）写出()x f x e =的带有佩亚诺型余项的3阶麦克劳林公式；

（2）确定常数A 、B 、C 的值，使23(1)1()x e Bx C x Ax o x ++=++。

9（10分）在椭圆22

221x y a b

+=的第一象限部分上求一点P ，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围面积最小（其中0,0a b >>，椭圆面积s ab π=）。 10（10分）设)(x f 在[,]a b 上具有二阶导数，且()()0f a f b ==及()()0f a f b +-''⋅>。证明：（1）在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ=；

（2）在区间(,)a b 内至少存在一点η，使()0f η''=