第二章 屈服条件
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（ π 平面） 。 直线 σ 1 = σ 2 = σ 3 = σ m ⇒ 应力球张量（物体内受均匀的正应力作用） 。
σ 1 + σ 2 + σ 3 = 0 （ π 平面上的应力取值） ⇒ 应力偏张量（受纯剪应力作用，偏张量限制在 π 平面上） 。
将屈服应力向量 OP = σ 1i + σ 2 j + σ 3 k 向直线 σ 1 = σ 2 = σ 3 = σ m 及 π 平面上投影分解（见图 2.6） ：
x=
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ 2 2 2 2 1 2 o o y = σ 3 − σ 1 sin 30 − σ 2 sin 30 = σ 3 − ⋅ (σ 1 + σ 2 ) ⎪ ⎪ 3 3 3 3 2 3 ⎭ 2 2 2 σ 1 cos 30o − σ 2 cos 30o = (σ 1 − σ 2 ) 3 3 2
OP = (σ m i + σ m j + σ m k ) + ( S1 i + S 2 j + S3 k ) = ON + OQ
即在主应力坐标下： 任一屈服应力向量=应力球向量+ （屈服） 应力偏向量
（2.6）
ON = σ m i + σ m j + σ m k 为应力球张量，OQ = S1 i + S 2 j + S3 k 为 （屈服） 应力偏张量，
（2.15）
（2.16）
（2.17）
1 1 A = σ iε i = (σ 1ε1 + σ 2ε 2 + σ 3ε 3 ) 2 2 1 = ⎡ ( s1 + σ m )( e1 + ε m ) + ( s2 + σ m )( e2 + ε m ) + ( s3 + σ m )( e3 + ε m ) ⎤ ⎦ 2⎣ ⎤ 1⎡ ⎢ 3 ( ) == σ mε m + s1e1 + s2e2 + s3e3 ⎥ 2 ⎢ 球张量 ⎥ 偏张量 ⎣ ⎦ 3 1 = σ mε m + si ei = Av + Ad 2 2 体积应变能 畸变能
（2.7）
（ 金 属 ） 材 料 的 屈 服 只 与 （ 屈 服 ） 应 力 偏 向 量 有 关 ， 即 与 OQ 有 关 ， 当屈 服 应力向 量
OP = σ 1i + σ 2 j + σ 3 k 发生改变时，对应的应力偏向量 OQ 在 π 平面上扫出一条曲线—屈服
曲线。 由于 σ 1 = σ 2 = σ 3 = σ m （ ON 模的大小）的增加或减少， 并不影响材料的屈服状态 （条件） ， 所以屈服面是一个以 σ 1 = σ 2 = σ 3 = σ m 为轴线的柱面 但 OP 在 π 平面上的投影 OQ 保持不变， （即：屈服曲线沿着其垂线方向移动扫出的一个柱面） 。要研究这个柱面的性质，只需要研究 屈服曲线的性质即可。 屈服曲线的性质（以下在 π 平面上讨论） ： （１） 一条封闭曲线，原点被包围在内。 （２） 初始屈服只有一次（单值性） ，曲线外凸。 （３） 对称性 ① I1′ = (σ 1 − σ m ) + (σ 2 − σ m ) + (σ 3 − σ m ) = 0
(− S1 , − S2 ,-S3） 在屈服曲线，则点 ( S1 , S 2 ,S3） 也一定在屈服曲线上，即有： f (− S1 , − S2 ,-S3）=f ( S1 , S2 ,S3）
偏应力张量符号改变时， 屈服条件不变， 即屈服曲线是关于原点对称的， 同时又关于 σ 1 ，
σ 2 ，σ 3
三轴对称， 见图 2.7： 与三轴线 σ 1 ，σ 2 ，σ 3 垂直的轴分别为１－１，２－２，
轴 oσ 1 ,oσ 2 ,oσ 3 与 π 平面的夹角正弦为 sin θ = 标在 π 平面上的投影值分别为
1 2 cos θ = 所以 ，于是 σ 1、σ 2、σ 3 坐 3 3，
2 2 2 σ1 , σ 2 , σ 3 ， 将投影值在 π 平面 (oxy) 坐标上分解得到： 3 3 3
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⇓
4) ′、I 3 ′）=0 f ( I1′、I 2 ′、I 3 ′）=0 ⇒ f (I2
（2.4）
′、I 3 ′ 有关，其中 I1′ = 0 。 与应力偏张量 sij 的应力不变量 I1′、I 2
2.2.2 主应力空间下的屈服条件（屈服曲面）
图 2.6 主应力空间下（矩阵 ⇒ 向量） ，任一屈服应力向量 (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) 可以表示为：
图 2.9 根据上节可知，外接圆的半径为 R =
2 3
k ，于是 π 平面上的圆方程可以写为：
2 3
x2 + y 2 = (
将（2.11）式代入（2.13）式，得：
k )2
（2.13）
1 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 = k 2
（2.14）
⎧σ 1 − σ 2 = k ⎨ ⎩σ 1 + σ 2 + σ 3 = 0
（2.10）
以上方程是在主应力坐标 (oσ 1σ 2σ 3 ) 下讨论的，现将坐标转到 π 平面上，在 π 平面上建立如图
2.8（b）的坐标 (oxy ) ,现要将 (oσ 1σ 2σ 3 ) 坐标投影到 π 平面上，根据线与面的夹角公式，坐标
但全量式 σ
Δσ =E 不变。 Δε
= Eε
不成立。
Bauschinger 效 应 ： 材 料 在 一 个 方 向 上 的 硬 化 引 起 相 反 方 向 的 软 化 。
σ s +′ > σ s −′
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图 2.2 软钢：有明显屈服极限 σ s
图 2.3 硬钢：无明显屈服极限 σ s ，取残余应变 0.2％对 应的应力 σ s
（形状改变）
（2.18）
式中畸变能为：
Ad =
(1 + v ) ⎡(σ − σ )2 + (σ − σ )2 + (σ − σ )3 ⎤ 2 2 3 3 1 ⎦ ⎣ 1
6E
3E
（2.19）
Mises 屈服条件的畸变能解释为： 当畸变能 Ad 达到某一数值时 （ Ad = Mises 屈服条件其他表述为：
３－３，由于上述的双对称性，屈服曲线 C 必然关于１－１，２－２，３－３轴对称。 屈服曲线 C 共有６个对称轴，曲线等份为 12（ 30° 角）部分，只需由试验确定一个等份 的曲线即可知绕整个曲线 C，进而可以知晓整个屈服面。
图 2.7
2.2.3 常用屈服条件 （１）Tresca 屈服条件 （最大剪应力条件） 只适用于金属材料，对于脆性材料（石、砼）不适用。当最大剪应力达到某一数值时，材 料就发生屈服：
σ
E
+ f p (σ )
（非线性）
卸载 (σ d σ < 0) ： ε = 理想化的本构关系：
σ
E
（线弹性）
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理想弹性体
理想弹塑性 （无绞化）
理想刚塑性 （忽略硬化和弹性变形）
线性硬化弹塑性（砼） 图 2.4 2.2 （初始）屈服函数、屈服面 单向拉压时：
线性硬化刚塑性 （忽略弹性变形）
(1 + v ) k 2 ） ， 材料开始屈服。
1） 八面体上的剪应力达到某一值时： τ oct =
2 k ，材料开始屈服； 3
′= 2） 偏应力张量的第二不变量达到某一数值时： I 2
′= I2 1 ⎡(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 )3 ⎤ ⎦ 6⎣
（2.11）
将（2.10）式代入（2.11）式得到 (oxy ) 坐标下的直线（参数）方程为：
x= 2 ⎫ k ⎪ 2 ⎪ ⎬ 3 y = σ3 ⎪ 2 ⎪ ⎭
（2.12）
（2.12）中 k 为常数， σ 3 可为任意的参数，以上参数方程表示图 2.8（b）中的直线 BC；当 k 为负数时，表示直线 FG。 π 平面上的其他曲线依此类推。 （２）Mises 屈服条件 中间应力没有考虑进去， Mises Tresca 屈服条件只考虑了主应力中最大及最小应力的影响， 考虑在 π 平面上，用正六边形的外接圆作为屈服条件：
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第二章 屈服条件
2.1 简单拉伸时的塑性现象
图 2.1
A :σ p
， B :σe (比例极限）
(弹性极限） ， C :σs
(屈服极限） ， C → D加工硬化过程
E :σb
(强度极限） ， E → F 颈缩现象，应变软化（下降段）
σ s′ − 后继屈服应力
O′D 后继弹性阶段：增量式 Δσ =E ⋅ Δε 满足 Hook 定理，斜率 tan α =
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定义应力强度： σ i
=
1 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 。 2
则 Mises 屈服条件为：当
σi = k
时材料进入屈服状态。 Mises 屈服条件比 Tresca 屈服条件更接近于实验数据。 （3）Mises 屈服条件的畸变能解释 根据弹性力学，物体内的弹性比能为： 1 A = σ ijε ij 2 或： 1 A = (σ xε x + σ yε y + σ zε z + τ xyγ xy + τ xzγ xz + τ yzγ yz ) 2 在主应力空间下：
σ 2、 σ 3 具有可交换性，即交换 σ 1、 σ 2、 σ 3 的位置，不改变 I′2、I′3 ，即 ′ σ、 I′ 2、I 3 对 1 σ 2、 σ 3 是对称的（见图 2.7） 。 不改变屈服曲线方程。曲线关于 σ 1、
② 假定首次屈服时无 Bauschinger 效应，即应力的正与负是对称的，在 π 平面上，若点
= σ 0.2 为协定屈服极限
塑性变形的本构关系的特点： （1） 屈服条件
σ =σs σ = σ s′
（2）
初始屈服条件 后继屈服条件 非线性关系
σ −ε
（3）多值关系，与加载和卸载路径有关。 弹性阶段： 弹塑性阶段： 加载 (σ d σ
ε =σ / E
σ < σs 时
σ ≥ σs 时
e p > 0) ： ε = ε + ε =
′= I2
1 ⎡ (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 ⎤ ⎣ ⎦ 6
′ = (σ 1 − σ m )(σ 2 − σ m )(σ 3 − σ m ) I3
π 平面上的屈服曲线方程为：
′、I 3 ′）=0 f (I2
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OP = σ 1i + σ 2 j + σ 3 k
（2.5）
在 主 应 力 空 间 下 ， 作 直 线 σ 1 = σ 2 = σ 3 = σ m ， 过 原 点 （ 0,0,0 ） 作 垂 直 于 直 线
σ 1 = σ 2 = σ 3 = σ m 的平面， 根据平面的点发式方程， 可以得到这个平面方程为 σ 1 + σ 2 + σ 3 = 0
σ = σs
时屈服。有明显的屈服点，弹塑性界限分明。
图 2.5
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复杂应力状态： 弹塑性界限不分明，屈服条件与应力状态有关。 即屈服条件可表示为应力的函数。 2.2.1 屈服函数（屈服条件）的几种表示方法：
1)
f (σ ij ) = 0
（2.1）
⇓ （坐标转轴时，张量方程的不变性）
2) f (σ 1、σ 2、σ 3 ) = 0
（2.2） 主应力空间表示，应力得到了简化，应力由二阶张量（矩阵）变为一阶张量（向量） 。
⇓
3) f ( sij ) = 0
（2.3） （应力偏张量 sij 表示） 实验证实：对于塑性材料（如：金属） ，屈服只与应力偏张量 sij （剪应力）有关（脆性材 料不成立） ，应力球张量对屈服几乎没有影响。
σ 1 -σ 2 = k
σ1 − σ 2 = ±k
⎧六个平面围成一个垂直于π 平面 ⎩正六边形柱面
（2.9）
σ 2 -σ 3 = k ⇒ σ 2 − σ 3 = ± k ⇒ ⎨ σ 1 -σ 3 = k σ1 − σ 3 = ±k
（a） 图 2.8
（b）
π 平面上屈服线的确定：
以空间平面 σ 1 − σ 2 = k 与 π 平面的交线为例进行说明，两个平面的交线可由下列两个平 面方程确定：
τ max = k
若已知应力状态： σ 1 即： σ 1
1 2
（ｋ为与材料有关的常数）
（2.8）
≥ σ 2 ≥ σ 3 ，则： τ max =
σ1 − σ 3
2
−σ3 = k
时屈服发生
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一般情况下，无法判断 σ 1、σ 2、σ 3 大小的次序，所以 Tresca 条件一般可写成：
σ 1 + σ 2 + σ 3 = 0 （ π 平面上的应力取值） ⇒ 应力偏张量（受纯剪应力作用，偏张量限制在 π 平面上） 。
将屈服应力向量 OP = σ 1i + σ 2 j + σ 3 k 向直线 σ 1 = σ 2 = σ 3 = σ m 及 π 平面上投影分解（见图 2.6） ：
x=
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ 2 2 2 2 1 2 o o y = σ 3 − σ 1 sin 30 − σ 2 sin 30 = σ 3 − ⋅ (σ 1 + σ 2 ) ⎪ ⎪ 3 3 3 3 2 3 ⎭ 2 2 2 σ 1 cos 30o − σ 2 cos 30o = (σ 1 − σ 2 ) 3 3 2
OP = (σ m i + σ m j + σ m k ) + ( S1 i + S 2 j + S3 k ) = ON + OQ
即在主应力坐标下： 任一屈服应力向量=应力球向量+ （屈服） 应力偏向量
（2.6）
ON = σ m i + σ m j + σ m k 为应力球张量，OQ = S1 i + S 2 j + S3 k 为 （屈服） 应力偏张量，
（2.15）
（2.16）
（2.17）
1 1 A = σ iε i = (σ 1ε1 + σ 2ε 2 + σ 3ε 3 ) 2 2 1 = ⎡ ( s1 + σ m )( e1 + ε m ) + ( s2 + σ m )( e2 + ε m ) + ( s3 + σ m )( e3 + ε m ) ⎤ ⎦ 2⎣ ⎤ 1⎡ ⎢ 3 ( ) == σ mε m + s1e1 + s2e2 + s3e3 ⎥ 2 ⎢ 球张量 ⎥ 偏张量 ⎣ ⎦ 3 1 = σ mε m + si ei = Av + Ad 2 2 体积应变能 畸变能
（2.7）
（ 金 属 ） 材 料 的 屈 服 只 与 （ 屈 服 ） 应 力 偏 向 量 有 关 ， 即 与 OQ 有 关 ， 当屈 服 应力向 量
OP = σ 1i + σ 2 j + σ 3 k 发生改变时，对应的应力偏向量 OQ 在 π 平面上扫出一条曲线—屈服
曲线。 由于 σ 1 = σ 2 = σ 3 = σ m （ ON 模的大小）的增加或减少， 并不影响材料的屈服状态 （条件） ， 所以屈服面是一个以 σ 1 = σ 2 = σ 3 = σ m 为轴线的柱面 但 OP 在 π 平面上的投影 OQ 保持不变， （即：屈服曲线沿着其垂线方向移动扫出的一个柱面） 。要研究这个柱面的性质，只需要研究 屈服曲线的性质即可。 屈服曲线的性质（以下在 π 平面上讨论） ： （１） 一条封闭曲线，原点被包围在内。 （２） 初始屈服只有一次（单值性） ，曲线外凸。 （３） 对称性 ① I1′ = (σ 1 − σ m ) + (σ 2 − σ m ) + (σ 3 − σ m ) = 0
(− S1 , − S2 ,-S3） 在屈服曲线，则点 ( S1 , S 2 ,S3） 也一定在屈服曲线上，即有： f (− S1 , − S2 ,-S3）=f ( S1 , S2 ,S3）
偏应力张量符号改变时， 屈服条件不变， 即屈服曲线是关于原点对称的， 同时又关于 σ 1 ，
σ 2 ，σ 3
三轴对称， 见图 2.7： 与三轴线 σ 1 ，σ 2 ，σ 3 垂直的轴分别为１－１，２－２，
轴 oσ 1 ,oσ 2 ,oσ 3 与 π 平面的夹角正弦为 sin θ = 标在 π 平面上的投影值分别为
1 2 cos θ = 所以 ，于是 σ 1、σ 2、σ 3 坐 3 3，
2 2 2 σ1 , σ 2 , σ 3 ， 将投影值在 π 平面 (oxy) 坐标上分解得到： 3 3 3
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⇓
4) ′、I 3 ′）=0 f ( I1′、I 2 ′、I 3 ′）=0 ⇒ f (I2
（2.4）
′、I 3 ′ 有关，其中 I1′ = 0 。 与应力偏张量 sij 的应力不变量 I1′、I 2
2.2.2 主应力空间下的屈服条件（屈服曲面）
图 2.6 主应力空间下（矩阵 ⇒ 向量） ，任一屈服应力向量 (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) 可以表示为：
图 2.9 根据上节可知，外接圆的半径为 R =
2 3
k ，于是 π 平面上的圆方程可以写为：
2 3
x2 + y 2 = (
将（2.11）式代入（2.13）式，得：
k )2
（2.13）
1 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 = k 2
（2.14）
⎧σ 1 − σ 2 = k ⎨ ⎩σ 1 + σ 2 + σ 3 = 0
（2.10）
以上方程是在主应力坐标 (oσ 1σ 2σ 3 ) 下讨论的，现将坐标转到 π 平面上，在 π 平面上建立如图
2.8（b）的坐标 (oxy ) ,现要将 (oσ 1σ 2σ 3 ) 坐标投影到 π 平面上，根据线与面的夹角公式，坐标
但全量式 σ
Δσ =E 不变。 Δε
= Eε
不成立。
Bauschinger 效 应 ： 材 料 在 一 个 方 向 上 的 硬 化 引 起 相 反 方 向 的 软 化 。
σ s +′ > σ s −′
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图 2.2 软钢：有明显屈服极限 σ s
图 2.3 硬钢：无明显屈服极限 σ s ，取残余应变 0.2％对 应的应力 σ s
（形状改变）
（2.18）
式中畸变能为：
Ad =
(1 + v ) ⎡(σ − σ )2 + (σ − σ )2 + (σ − σ )3 ⎤ 2 2 3 3 1 ⎦ ⎣ 1
6E
3E
（2.19）
Mises 屈服条件的畸变能解释为： 当畸变能 Ad 达到某一数值时 （ Ad = Mises 屈服条件其他表述为：
３－３，由于上述的双对称性，屈服曲线 C 必然关于１－１，２－２，３－３轴对称。 屈服曲线 C 共有６个对称轴，曲线等份为 12（ 30° 角）部分，只需由试验确定一个等份 的曲线即可知绕整个曲线 C，进而可以知晓整个屈服面。
图 2.7
2.2.3 常用屈服条件 （１）Tresca 屈服条件 （最大剪应力条件） 只适用于金属材料，对于脆性材料（石、砼）不适用。当最大剪应力达到某一数值时，材 料就发生屈服：
σ
E
+ f p (σ )
（非线性）
卸载 (σ d σ < 0) ： ε = 理想化的本构关系：
σ
E
（线弹性）
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理想弹性体
理想弹塑性 （无绞化）
理想刚塑性 （忽略硬化和弹性变形）
线性硬化弹塑性（砼） 图 2.4 2.2 （初始）屈服函数、屈服面 单向拉压时：
线性硬化刚塑性 （忽略弹性变形）
(1 + v ) k 2 ） ， 材料开始屈服。
1） 八面体上的剪应力达到某一值时： τ oct =
2 k ，材料开始屈服； 3
′= 2） 偏应力张量的第二不变量达到某一数值时： I 2
′= I2 1 ⎡(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 )3 ⎤ ⎦ 6⎣
（2.11）
将（2.10）式代入（2.11）式得到 (oxy ) 坐标下的直线（参数）方程为：
x= 2 ⎫ k ⎪ 2 ⎪ ⎬ 3 y = σ3 ⎪ 2 ⎪ ⎭
（2.12）
（2.12）中 k 为常数， σ 3 可为任意的参数，以上参数方程表示图 2.8（b）中的直线 BC；当 k 为负数时，表示直线 FG。 π 平面上的其他曲线依此类推。 （２）Mises 屈服条件 中间应力没有考虑进去， Mises Tresca 屈服条件只考虑了主应力中最大及最小应力的影响， 考虑在 π 平面上，用正六边形的外接圆作为屈服条件：
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第二章 屈服条件
2.1 简单拉伸时的塑性现象
图 2.1
A :σ p
， B :σe (比例极限）
(弹性极限） ， C :σs
(屈服极限） ， C → D加工硬化过程
E :σb
(强度极限） ， E → F 颈缩现象，应变软化（下降段）
σ s′ − 后继屈服应力
O′D 后继弹性阶段：增量式 Δσ =E ⋅ Δε 满足 Hook 定理，斜率 tan α =
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定义应力强度： σ i
=
1 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 。 2
则 Mises 屈服条件为：当
σi = k
时材料进入屈服状态。 Mises 屈服条件比 Tresca 屈服条件更接近于实验数据。 （3）Mises 屈服条件的畸变能解释 根据弹性力学，物体内的弹性比能为： 1 A = σ ijε ij 2 或： 1 A = (σ xε x + σ yε y + σ zε z + τ xyγ xy + τ xzγ xz + τ yzγ yz ) 2 在主应力空间下：
σ 2、 σ 3 具有可交换性，即交换 σ 1、 σ 2、 σ 3 的位置，不改变 I′2、I′3 ，即 ′ σ、 I′ 2、I 3 对 1 σ 2、 σ 3 是对称的（见图 2.7） 。 不改变屈服曲线方程。曲线关于 σ 1、
② 假定首次屈服时无 Bauschinger 效应，即应力的正与负是对称的，在 π 平面上，若点
= σ 0.2 为协定屈服极限
塑性变形的本构关系的特点： （1） 屈服条件
σ =σs σ = σ s′
（2）
初始屈服条件 后继屈服条件 非线性关系
σ −ε
（3）多值关系，与加载和卸载路径有关。 弹性阶段： 弹塑性阶段： 加载 (σ d σ
ε =σ / E
σ < σs 时
σ ≥ σs 时
e p > 0) ： ε = ε + ε =
′= I2
1 ⎡ (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 ⎤ ⎣ ⎦ 6
′ = (σ 1 − σ m )(σ 2 − σ m )(σ 3 − σ m ) I3
π 平面上的屈服曲线方程为：
′、I 3 ′）=0 f (I2
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OP = σ 1i + σ 2 j + σ 3 k
（2.5）
在 主 应 力 空 间 下 ， 作 直 线 σ 1 = σ 2 = σ 3 = σ m ， 过 原 点 （ 0,0,0 ） 作 垂 直 于 直 线
σ 1 = σ 2 = σ 3 = σ m 的平面， 根据平面的点发式方程， 可以得到这个平面方程为 σ 1 + σ 2 + σ 3 = 0
σ = σs
时屈服。有明显的屈服点，弹塑性界限分明。
图 2.5
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复杂应力状态： 弹塑性界限不分明，屈服条件与应力状态有关。 即屈服条件可表示为应力的函数。 2.2.1 屈服函数（屈服条件）的几种表示方法：
1)
f (σ ij ) = 0
（2.1）
⇓ （坐标转轴时，张量方程的不变性）
2) f (σ 1、σ 2、σ 3 ) = 0
（2.2） 主应力空间表示，应力得到了简化，应力由二阶张量（矩阵）变为一阶张量（向量） 。
⇓
3) f ( sij ) = 0
（2.3） （应力偏张量 sij 表示） 实验证实：对于塑性材料（如：金属） ，屈服只与应力偏张量 sij （剪应力）有关（脆性材 料不成立） ，应力球张量对屈服几乎没有影响。
σ 1 -σ 2 = k
σ1 − σ 2 = ±k
⎧六个平面围成一个垂直于π 平面 ⎩正六边形柱面
（2.9）
σ 2 -σ 3 = k ⇒ σ 2 − σ 3 = ± k ⇒ ⎨ σ 1 -σ 3 = k σ1 − σ 3 = ±k
（a） 图 2.8
（b）
π 平面上屈服线的确定：
以空间平面 σ 1 − σ 2 = k 与 π 平面的交线为例进行说明，两个平面的交线可由下列两个平 面方程确定：
τ max = k
若已知应力状态： σ 1 即： σ 1
1 2
（ｋ为与材料有关的常数）
（2.8）
≥ σ 2 ≥ σ 3 ，则： τ max =
σ1 − σ 3
2
−σ3 = k
时屈服发生
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一般情况下，无法判断 σ 1、σ 2、σ 3 大小的次序，所以 Tresca 条件一般可写成：