05章-提高梁弯曲强度的措施&习题课

l 2
P
l 2
max
P 2 P
3 Qmax 2 b( x ) h
P 2 P 2
2
b( x )
3 P 2 2h 3P 4h
3 Px .h2
b( x )
b( x )
若截面宽度b为常量，问截面高度h如何变化时，才能保 证该梁为等强度梁？
例1：为了改善载荷的分布，在主梁AB上安置了辅助梁CD， 主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为W1，W2，材料相同， 试求辅助梁的合理长度a=？ P
P M中点max （l a b) 4
例6：在No.18工字钢 梁上作用着可移动载 荷P，为提高其承载能 力，试确定a，b的合 C 理数值及相应的许可 载荷。 160 MPa
P
a
A
l 12m
B
D
b
4）确定a，b的合理数值：
M Amax M B max M中点max
M .h2 W
例2：由脆性材料制成的梁，其截面如图所示， C 2 T , b=100mm，t=10mm，试确定截面的合理高度h=？
t
h
h2
h S zI AI . y I h.t .( h1 ) h.t . h 2 6

2t


yb
S zII AII . y II (b 2t ).2t .(h1 t )
150KN 4m
200KN
A
x
P
B
解：1)确定x的范围： 当左边吊车提供的拉力等于150KN时，x取最小值； 当右边吊车提供的拉力等于200KN时，x取最大值；
M B ( F ) 0 150 * 4 P .(4 xmin ) M A ( F ) 0 200 * 4 P .(4 xmax ) x 2m ,2.68m
la
2
a
2
a
2
la
2
解： 1）研究辅助梁： P
P 2 P 2
M max W2 Pa 4W 2
Pa 4
max
ຫໍສະໝຸດ Baidu
P
4W2 a
例1：为了改善载荷的分布，在主梁AB上安置了辅助梁CD， 主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为W1，W2，材料相同， 试求辅助梁的合理长度a=？ P
M max . y1 M max . y2 Iz Iz

y1 T y 2 C
三、等强度梁：
1、变截面梁： 2、等强度梁：
M ( x ) : 某一截面上的弯矩； W ( x ) : 对应截面的抗弯截面系数
max
l 2
M ( x) W ( x)
W ( x)
Y 0
dM D 0 dx
M D RB .(l x 2) (6 x 10).( l x 2) 38 x 80 6 x 2
x 19 6
M D max 140.17 KN .m
P
Q
4m
A
B
C
D
1m 1m
l 10m
max
M D max 2W
MA 0
M A (F ) 0
Q
P .b 3qa.
P
A
ab 2 P 2.25q .a
本章结束
W
M D max 438cm3 2
应选28a号工字钢；
3）校核剪应力强度：
x
A
RC
2m
RD RB
B
RA
RA 50 6 x RB 6 x 10
AC段：Q AC R A 50 6 x CD段：QCD RA RC 40 6 x
Q AC max 50 KN
M ( x)

P
l 2
x
P 2 P 2
图示简支梁，材料的许用正应力， ; 许用剪应力分别为： 横截面形状为矩形，已知截面高度 h为常量，问截面宽度b如何变化， 才能保证该梁为等强度梁？
P 2
解： 梁的结构对称，载荷对称 两边的约束反力均为
P M ( x) x 2 M ( x) W ( x)
max 13.9 MPa
查表:28a号工字钢的
IZ
* SZ max
28a号工字钢的剪应力强度足够;
24.6cm
b 8.5mm
例6：在No.18工字钢 梁上作用着可移动载 荷P，为提高其承载能 力，试确定a，b的合 C 理数值及相应的许可 载荷。 160 MPa 解：1）P在AC段移动：
P A
C
d
P B D
解: 1)分析梁的受力:
x
A
P
d
P
RA
RB
AC段: Q RA 0; 所以弯矩图右上倾斜;
DB段: Q RB 0; 所以弯矩图右下倾斜;
结论:两个大小 相同,距离不变 的载荷同时在 B 简支梁上移动, 则梁上的最大 弯矩一定发生 在某一载荷的 作用截面上.
CD段: Q RA P; 若大于0, 则弯矩图右上倾斜; 此时最大弯矩发生在D截面; 若小于0, 则弯矩图右下倾斜; 此时最大弯矩发生在C截面;
对于抗拉性能=抗压性能的材料：应采用对称于中性轴的截面 对于抗拉性能≠抗压性能的材料：应采用不对称于中性轴的截面
y1 : 受拉区域边缘到中性轴的距离； y2 : 受压区域边缘到中性轴的距离； y1 y2 y1 y2
当抗拉性能>抗压性能时：
当抗拉性能<抗压性能时：
T max C max
x
A
RC
2m
RD RB
RC 10KN RD 50KN RD RC B
RA
所以：最大弯矩发生 在 RD的作用面上
RA 50 6 x RB 6 x 10
M B (F ) 0
RA .l RC (l x ) RD .(l x 2) RA RB RC RD
max
M max W2
la
2
a
2
a
2
la
2
P (l a ) 4W1
2）研究主梁：
P 2 P 2
P
P
4W1 la
4W2 a
P
2
P (l a ) 4
P
2
4W1 4W2 la a
例2：由脆性材料制成的梁，其截面如图所示， C 2 T , b=100mm，t=10mm，试确定截面的合理高度h=？
t
h
h2

2t


yb
解:很显然截面的形心应该偏下 所以中性轴也应该偏下;
z
h1 h2
h1
C T
所以截面的中性轴以下应 该受拉,以上应该受压;
T max
M .h1 W
C max
h1 1 T max T 最合理的截面应该满足: h2 2 C C max 1 2 h1 h h2 h h1 h2 h 3 3 I II S 2 S S S 0 z z z 0 z 因为Z轴是中性轴,
1m
E y
D 2m

ymax
max E

ymax
d 2
max 100MPa
例9：用力P将放置于地面上的钢筋提起，若钢筋单位长度 上的重量为q，当b=2a时，求P=？
A P
a
b
解： A截面是即将被提起，而又还未被提起的截面
1
A
0
3qa

1
A

MA EI Z
b( x ) h 2 W ( x) 6 b( x ) h 2 Px 6 2
x 0; b( x ) 0
b( x )
截面宽度b的变化也应该对称，所以我们只需要考虑一半即可；

b( x )
3 Px .h2
l x 0, 2
不能满足剪应力的强度条件
xmin 2m
xmax 2.68m
例7：用一台最大起重量为150KN和200KN的吊车，借助一 辅助梁共同吊起一重量为P=300KN的设备，求： 1）设设备在距离150KN的吊车的距离为x，x在什么范围 内，才能保证两台吊车都不超载？ 160MPa 试选择工字钢的型号。 2）若用工字钢做辅助梁，
P1
d
P2
B D
A
C
结论:两个大小不同,距离不变的载荷同时在 简支梁上移动,则梁上的最大弯矩一定发生 在比较大的载荷的作用截面上.
例4:起重机的梁是由两根工字钢组成,起重机的自重Q=50KN, 起重量P=10KN, 许用正应力为 160 MPa ,许用剪应力为: 100MPa , 不考虑梁的自重, 按正应力强度条件选择工字钢 的型号,然后再校核其剪应力强度.
C
A
B
D
P移动到D点时，B截面的弯矩最大：
M B max P .b
例6：在No.18工字钢 梁上作用着可移动载 荷P，为提高其承载能 力，试确定a，b的合 C 理数值及相应的许可 载荷。 160 MPa 解：3）P在AB段移动：
P
P
a
A
l 12m
B
D
b
C
A
B
D
P移动到AB段中点时，中点截面的弯矩最大：
z
h (b 2t ).2t .( t ) 3 S z 2 S zI S zII 0
h1
h2 160h 4800 0
h 120mm ; h 40mm
例3:桥式起重机大梁上的小车的每个轮子对大梁的压力均为 P,问小车在什么位置,梁内的弯矩最大?最大弯矩=?
150KN 4m
200KN
A
x
P
B
2)确定工字钢的型号：
x 2m ,2.68m
max
x2
M max WZ
M max

P .l 300KN .m 4
Wz
M max

187.5cm3
选50a号工字钢
例8：将直径d=1mm的钢丝绕在直径为2m的 卷筒上，试计算在钢丝中产生的最大应力？ E=250GPa 解： 钢丝发生弯曲变形时，产生的曲率半径为：
§5-5 提高梁弯曲强度的措施
max
M max W
M max
W
一、合理安排梁的受力情况，以尽量降低最大弯矩； 1、合理地布置梁的支座； 2、合理地布置载荷； 3、在情况许可时，合理地安排载荷的作用方式； 二、选择合理的截面形状：
1. W A
来衡量截面的合理程度
工字形截面 矩形截面 圆形截面 矩形截面竖放 矩形截面横放 2、在考虑截面合理形状时，还要考虑材料的性能；
P
P
a
A
l 12m
B
D
b
C
A
B
D
P移动到C点时，A截面的弯矩最大：
M Amax P .a
例6：在No.18工字钢 梁上作用着可移动载 荷P，为提高其承载能 力，试确定a，b的合 C 理数值及相应的许可 载荷。 160 MPa 解：2）P在BD段移动：
P
a
A
l 12m
B
D
b
P
Q CD max 40 KN Q DB max 58 KN
DB段：QDB RB 6 x 10
Qmax 58KN
P
Q
4m
A
B
C
D
1m 1m
l 10m
x
A
RC
2m
RD RB
B
RA
* Qmax . S Z max max 2. I Z .b
RA 50 6 x RB 6 x 10
P P .a P .b ( l a b ) 4
a b 2m
5）确定许用载荷：
max
M max W
Mmax 2 P
W 185 * 106 m 3
P 14.8 KN
例7：用一台最大起重量为150KN和200KN的吊车，借助一 辅助梁共同吊起一重量为P=300KN的设备，求： 1）设设备在距离150KN的吊车的距离为x，x在什么范围 内，才能保证两台吊车都不超载？ 160MPa 试选择工字钢的型号。 2）若用工字钢做辅助梁，
P
Q
4m
A
B
C
D
1m 1m
l 10m
解：1）研究起重机：
P
Q
MC ( F ) 0
RD .2 Q .1 P .5 0 RD 50 KN
RC RD
Y 0
RC RD Q P
RC 10 KN
P
Q
4m
A
B
C
D
1m 1m
l 10m
2）研究梁：