九年级数学下册第二章二次

(2)抛物线型问题 解决此类实际问题的关键是进行二次函数建模,依据题意,建立 合适的平面直角坐标系,并利用抛物线的性质解决问题.
【例3】(2012·茂名中考)每年六七月份我市荔枝大量上市， 今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售，运输 过程中质量损耗5%，运输费用是0.7元/千克，假设不计其他费 用. (1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本？ (2)在销售过程中，水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销 售单价x(元/千克)之间满足关系：m=－10x+120，那么当销售 单价定为多少时，每天获得的利润w最大？
【自主解答】(1)二次函数L1的开口方向向上,对称轴是直线 x=2,顶点坐标是(2,-1). (2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质:对称轴是直 线x=2或顶点的横坐标是2;都经过A(1,0),B(3,0)两点.
②线段EF的长度不会发生变化. ∵直线y=8k与抛物线L2交于E,F两点, ∴kx2-4kx+3k=8k, ∵k≠0,∴x2-4x+3=8,解得x1=-1,x2=5, ∴EF=x2-x1=5-(-1)=6, ∴线段EF的长度不会发生变化.
___有__两__个__交_ 点⇔b2-4ac>0;有一个交点⇔b2-4ac=0;没有交点
⇔b2-4ac<0
考点 1 待定系数法 【知识点睛】 1.二次函数表达式常用的三种形式: (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0). (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2.二次函数应用的类型及解题策略： (1)最值问题 ①利润最大问题的解题策略：先运用“总利润=总售价-总成本” 或“总利润=单件商品利润×销售数量”建立利润与价格之间 的二次函数表达式,再求出函数的最值. ②几何图形中最值问题的解题策略：先结合面积公式、相似等 知识,把要讨论的量表示成另一变量的二次函数的形式,再求出 函数的最值.
当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下
④____________ ⑤_________
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
x b 2a
⑥_当__a_>_0_时__,_在__对__称__轴__的__左__侧__,_y_随__x_的__增__大__而__减__小__,_在__对__称__轴__的__ ____________________________________________________ 右侧,y随x的增大而增大;当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的 ___________________________________________ 增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小 ⑦_______________________ ⑧_函__数__表__达__式__、__表__格__、__图__象_____________________________
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
y
-27
-13
Βιβλιοθήκη Baidu-3
3
5
3
则当x=1时，y的值为( )
A.5
B.-3
C.-13
D.-27
【解析】选D.由表可知，抛物线的顶点为(-3，5)，设二次函 数的表达式为y=a(x+3)2+5， 把(-2，3)代入得a=-2， ∴二次函数的表达式为y=-2(x+3)2+5， ∴当x=1时，y=-27.
解得x0=0或4．∴F(4，-5)． ∴对称轴为直线x=2． 设直线AF的表达式为y=kx+c， 把F(4,－5)，A(-1，0)代入y=kx+c， 得
∴直线－4kkAFcc的－表05.达, 解式得为cky=－－－11，.x－1.
考点 2 二次函数的图象和性质 【知识点睛】 1.系数a,b,c与二次函数的图象的关系： (1)a决定开口方向及开口大小 当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；|a|越大，抛物 线的开口越小.
2.选择不同表达形式求二次函数关系式的技巧: (1)当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx +c(a≠0)的形式,然后组成三元一次方程组来求解. (2)当已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值时,通常设为顶 点式y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式. (3)当已知抛物线与x轴的交点(或交点横坐标)或已知抛物线与 x轴一个交点和对称轴时,通常设为交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)的形式.
表达式为y=(x-1)2+3.
3.(2013·重庆中考)一次函数y=ax+b(a≠0)，二次函数
y=ax2+bx和反比例函数 y k (k≠0)在同一直角坐标系中 的图象如图所示，A点的坐标x 为(-2，0)，则下列结论中，
正确的是( )
A.b=2a+k C.a>b>0
B.a=b+k D.a>k>0
【解析】(1)∵y=x2-bx-5,∴OC=5. ∵OC∶OA=5∶1,∴OA=1.即A(-1,0). 把A(-1,0)代入y=x2-bx-5得(-1)2-b×(-1)-5=0,解得b=4. ∴抛物线的表达式为y=x2-4x-5.
(2)∵点C与点F关于对称轴对称，C(0，—5)，
设F(x0，－5)，x02－4x0－5 －5，
【解析】(1)把(0，0)，(2，0)代入y=x2+bx+c得
所c4以抛20，b物 0线，解的得表达cb 式－0，为2，y=x2－2x.
(2)∵y=x2－2x=(x－1)2－1， ∴顶点坐标为(1，－1)， 对称轴为直线x=1.
(3)设点B的坐标为(a，t)，则
1
2|t|
解得t=3或t=－3，
3，
2.(2013·毕节中考)将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位长
度,再向上平移3个单位长度所得的图象表达式为( )
A.y=(x-1)2+3
B.y=(x+1)2+3
C.y=(x-1)2-3
D.y=(x+1)2-3
【解析】选A.将抛物线y=x2的图象向右平移1个单位长度所得
抛物线表达式为y=(x-1)2,再向上平移3个单位长度所得图象的
【思路点拨】(1)先表示出C,E的坐标,然后利用待定系数法确定 该函数的表达式. (2)根据(1)的函数表达式求出A,B,D三点的坐标,以AB为底、D 点纵坐标的绝对值为高,可求出△ABD的面积. (3)首先根据旋转条件求出G点的坐标,然后将点G的坐标代入抛 物线的表达式中进行判断.
【自主解答】(1)依题意知，C点坐标为(0,3),E点坐标为(2，
阶段专题复习
第二章
请写出框图中数字处的内容:
①__________________________________________________ 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次
_____ 函数 ②_______
③_抛__物__线_________________________________________
1 4 4 8. 2
(3)当△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上， 又OA=1,则点A的对应点G的坐标为(3，2), 又当x=3时，y=－32+2×3+3=0≠2, ∴G点不在该抛物线上.
【中考集训】 1.(2011·泰安中考)若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应 值如下表：
3)，代入y=－x2+bx+c中，
得 c 3， 解得
b 2，
故抛－物4线 2所b 对c 应 3的，函数表c达式3，为y=－x2+2x+3.
(2)∵y=－x2+2x+3=－(x－1)2+4, ∴抛物线的顶点坐标为D(1,4), 又y=0时，－x2+2x+3=0, 解得x1=-1,x2=3, ∴A点坐标为(-1,0),B点坐标为(3,0), ∴AB=3-(-1)=4,△ABD的面积大小为
【中考集训】
1.(2012·宿迁中考)在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2-
4x+3先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则经过
这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ( )
A.(-2,3)
B.(-1,4)
C.(1,4)
D.(4,3)
【解析】选D.∵y=2x2-4x+3=2x2-4x+2+1=2(x22x+1)+1=2(x-1)2+1, ∴将抛物线y=2x2-4x+3经两次平移后所得到新抛物线的表达 式为y=2(x-1-3)2+1+2,即y=2(x-4)2+3,∴新抛物线的顶点坐 标为(4,3).
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.
由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线
x
b
故：
，
①b=0时，对称轴为y轴;
2a
② (即a,b同号)时，对称轴在y轴左侧;
③ ab＞0(即a,b异号)时，对称轴在y轴右侧. b ＜0 a
(3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置. 当x=0时,y=c,∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点 (0,c).即:①c=0,抛物线经过原点;②c>0,与y轴交于正半轴; ③c<0,与y轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.
2.二次函数图象的平移规律: 平移不改变图形的形状和大小,因此抛物线在平移的过程中,图 象的形状、开口方向必相同,即a不变,所以抛物线y=ax2+bx+c 可以由y=ax2平移得到.其平移的规律用语言来表示可以归结 为:“上加下减,左加右减”,平移时具体的对应关系可以用下 列框图来表示:
【例2】(2012·南昌中考)如图,已知二次函数L1:y=x2-4x+3与x 轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C. (1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标. (2)研究二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0). ①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质.
的值，即
又
故选项D正确k . b2 , 4a
b 1,b 2a,k a,0 k a, 2a
4.(2012·佳木斯中考)如图,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,并 与x轴交于点A(2,0).
(1)求此抛物线的表达式. (2)写出顶点坐标及对称轴. (3)若抛物线上有一点B,且S△OAB=3,求点B的坐标.
【例1】(2012·连云港中考)如图抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于 A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上, 点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3. (1)求该抛物线所对应的函数表达式. (2)求△ABD的面积.
(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G 是否在该抛物线上?请说明理由.
2.(2013·安徽中考)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1), 且过原点(0,0),求该函数表达式. 【解析】∵二次函数图象的顶点坐标为(1,-1), ∴设y=a(x-1)2-1,当x=0时,y=0, ∴0=a(0-1)2-1,a=1, ∴所求函数表达式为y=(x-1)2-1.
3.(2012·赤峰中考)如图,抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A,B两点 (点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的对称 轴对称,直线AF交y轴于点E,OC∶OA=5∶1. (1)求抛物线的表达式. (2)求直线AF的表达式.
∵2顶点纵坐标为－1，－3＜－1 (或方程x2－2x=－3无解)，
∴t=3，∴x2－2x=3，解得x1=3,x2=－1， 所以点B的坐标为(3，3)或(－1，3).
考点 3 二次函数的实际应用 【知识点睛】 1.应用二次函数解决实际问题的基本思路： (1)理解问题. (2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系. (3)用函数表达式表示它们之间的关系. (4)计算或求解,并应用函数的性质作出判断. (5)检验结果的合理性.
②若直线y=8k与抛物线L2交于E,F两点,问线段EF的长度是否会 发生变化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由.
【思路点拨】(1)由a的值确定抛物线的开口方向,再由对称轴方 程和顶点坐标公式确定抛物线的对称轴和顶点坐标. (2)①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得,因此从二次 函数的图象与表达式的系数的关系入手进行分析. ②联系直线和抛物线L2的表达式,先求出点E,F的坐标,进而可表 示出EF的长,若该长度为定值,则线段EF的长不会发生变化.
【解析】选D.因为点A在一次函数图象上，所以-2a+b=0,又
k≠0，所以A选项错；当x=-1时，代入二次函数得y=a-b，由
图象可知y=a-b为负数，而反比例函数的图象在一、三象限，
k>0，故选项B错误；由上可知，b=2a,所以选项C错误；由图象
知x=-1是抛物线的对称轴.当x=-1时，双曲线的值大于抛物线