沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.1 放缩与相似形 教案

24.1 放缩与相似形

概念：

一、相似图形：形状相同的图形

概念（1）图形的放大或缩小称为图形的放缩运动. （2）把形状相同的两个图形称为相似形.

（3）如果两个多边形是相似图形，那么这两个多边形的对应角相等，各对应边的长度成比例（或各对应边长度的比值是相等的） （三）相似图形的对应关系：

若△ABC 与△A ’B ’C ’是相似图形，则对应点是A 与A ’，B 与B ’，C 与C ’；对应边是AB 与A ’B ’，BC 与B ’C ’，AC 与A ’C ’；对应角是∠A 与∠A ’，∠B 与∠B ’，∠C 与∠C ’。

数量关系有：''''''C B BC

C A AC B A AB =

=，∠A ＝∠A ’，∠B ＝∠B ’，∠C ＝∠C ’。

如何判断两个多边形相似？

对应角相等，对应边成比例的两个多边形是相似多边形。根据这个定义可以判断两个多边形是否是相似形．

相似多边形的性质：相似多边形对应角相等，对应边的长度成比例

例1梯形ABCD 和梯形A 1B 1C 1D 1是两个相似的图形（A 、B 、C 、D 的对应点分别是A 1、

B 1、

C 1、

D 1），且已知

2

3

A B 11=B A ，周长之差为28厘米，求ABCD 和A 1B 1C 1D 1的周长

分析如果两个多边形是相似形，那么对应边的长度成比例，可根据已知条件列出相应的等式。注意“对应”二字

解：设梯形ABCD 的周长为x 厘米，梯形A 1B 1C 1D 1的周长为y 厘米

因为梯形ABCD 和梯形A 1B 1C 1D 1是相似的图形，所以它们的对应边的比值都相等，即

23

A D DA D C CD C

B B

C A B 11111111====B A

∴

11A 23AB B =

，11C B 23BC =，11D C 23CD =，11A D 23

DA =，

∴

)(A 23

DA CD BC AB 11111111A D D C C B B +++=

+++，

即

y

23

x =

， 又∵ 28y -x =

解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==28y -x 23x y 得 ⎩

⎨⎧==56y 84x

所以梯形ABCD 的周长和梯形A 1B 1C 1D 1的周长分别为84厘米和56厘米

例2、如图24—1，矩形ABCD 中，AB=2AD,线段EF=10.在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN 与矩形ABCD 相似，且点M 与点A 、点F 与点B 、点G 与点C 、点N 与点D 分别是对应顶点，令MN=x.求出矩形EMNH 的面积S 与x 的函数关系式

解因为矩形MFGN 与矩形ABCD 是相似的图形，且点M 与 点A 、点F 与点B 、点G 与点C 、点N 与点D 分别是对应顶点，

∴

AB MF

AD NM = ∵AB=2AD ，MN=x ∴MF=2NM=2x ∴EM=10-2x

∴

)50(102 2x )- x (10S 2

<<+-==x x x 图 24—1

二、比例线段：

【两条线段的比】两条线段长度的比

【比例线段】四条线段a，b，c，d中，如果a c

b d

=

（a:b＝c:d），那么这四条线段a，b，

c，d叫做成比例线段，简称比例线段.

线段d是a、b、c的第四比例项.

比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b＝b:c，或a/b＝b/c，那么线段b叫做线段a和c 的比例中项，他们有关系：2b ac

=

☆比例基本性质：内项积等于外项积.

例3、已知a、b、c、d是四条线段，它们的长度如下，试判断它们是不是成比例线段？

（1）a＝1mm，b＝0.8cm，c＝0.02cm，d＝4cm；（2）

1 1 7

a=

cm，b＝0.4cm，c＝40cm，

1 3 2

d cm

=

. 解：<统一单位>a＝0.1cm，b＝0.8cm，c＝0.02cm，d＝4cm

<最大乘最小，剩下两项乘>

∵dc＝4×0.02＝0.08，ab＝0.1×0.8＝0.08

∴ ab＝dc

∴ a、b、c、d四条线段成比例.

（第2小题：

87

0.440164

72

⋅=≠⋅=

，不成比例）

三、比例性质：

等比性质：若

()0

a c e n

b d f m

b d f m

====++++≠

，有

a c e n a

b d f m b

++++

=

++++

（例：234234 468468

++

===

++）

E C

D

B

A

例3、1、）已知::2:3:4a b c =，求2345a b c

a b c -+-+的值.

解：设2a k =，3b k =，4c k =

则

23261284

4521220105a b c k k k k a b c k k k k -+-+===

-+-+ 2）已知abc ≠0, p a c b c b a b a c 21

=

+=+=+,求p 的值；

例4、已知如图：在△ABC 中，AB>AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，AB AC

AD AE =. 求证：（1）AB AC DB EC =；（2）AB AC AB AC

DB EC

DB EC +-=

+-. 证明：（1）∵ AB AC AD AE =，∴

BD AC

AD AE =(合比性质)， ∴ AD AE BD EC =，∴

AB AC

DB EC = （2）∵ AB AC DB EC =，∴ AB AC AC DB EC EC +=+，AB AC AC

DB EC EC -=

-(等比性质)， ∴ AB AC AB AC

DB EC

DB EC +-=

+-