含参一元一次方程
人教版七年级数学上册培优讲义《第4讲 含参一元一次方程》
第4讲 含参一元一次方程【知识目标】目标一 理解方程中参数与未知数的区别，理解方程的解的含义；目标二 掌握方程“解的关系”类题型解法，掌握绝对值方程的解法；目标三 掌握含参方程讨论解的情况的方法，理解分类讨论的本质．模块一：一元一次方程的概念应用【知识导航】1．一元一次方程的定义只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程． 这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．3．未知数与参数若等式x －2＝a 中，只有x 是未知数，a 当做已知数，我们把这样的方程叫做关于x 的方程，a 叫做参数．解这个方程时只需求出x 的值，x ＝a ＋2就是此方程的解．例如，关于x 的方程mx －2＝3中，只有x 是未知数，m 是参数，若已知此方程的解为x ＝1，则把x ＝1代入方程后能使等式两边值相等，由此得1×m －2＝3，可求得m ＝5．【例1】 （1）(2015江岸区七上期中)若关于x 的方程(m －2)15m x-=是一元一次方程，则m 的值为＿＿＿＿（2） (2012洪山区七上期末)已知x ＝－3是关于x 的方程3x －5a ＝x －1的解，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－2（3）已知x ＝6时关于x 的方程m (x －3)－2＝m 的解，则关于y 的方程 13(1)42016m y --=的解为＿＿＿＿＿＿．（4）(2014江汉区七上期末)已知x ＝3是关于x 的一元一次方程(a －1)x 2＋(b ＋2)x ＝2的解．求a 、b 的值．【练1】 （1）(2013硚口区七上期末)已知x ＝2是关于x 的方程3x －3＝k 的解，则k 的值是( )．A ．－1B ．1C ．－3D ．3（2）(2013年青山区期末)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5模块二：含参方程解的关系题型一：解相同【例2】 （1）若关于x 的方程5x ＋4＝4x －3的解和方程2(x ＋1)－m ＝2(m －2)的解相同，求m 的值．（2）若关于x的方程12524ax ax x-=+和5342x x=-有相同的解，求a的值．【练2】（1）(2012洪山区七上期末)如果关于x的方程51763x-=与71622xm-=+的解相同，那么m的值是多少？（2）若关于x的方程()()3210354k x k xx+--=-与1252(1)3xx--+=的解相同．求k的值．【例3】（1）已知：关于x的方程4x－k＝2与3(2＋x)＝2k的解相同，求k的值及相同的解．（2）(2015江岸区七上期中)已知关于x的方程4x＋2m＝3x＋1与方程3x＋2m＝6x＋1的解相同，则方程的解为＿＿＿＿＿＿．【练3】已知关于x 的方程3x －2k ＝1和22x k k -+=有相同的解，求k 的值及方程的解．总结归纳两个一元一次方程的解有等量关系时：如果其中一个方程不含参，另一个方程含参，可以先解出不含参方程(即先解简单方程)，然后利用解的等量关系写出另一个含参方程的解，再代入含参方程即可求出参数的值；如果两个方程都含参，除了可以像上面一样先解简单方程，再代入复杂方程之外，也可以先分别求出这两个方程的解(即都用参数来表示x )，然后利用解的等量关系列出等式，从而求出参数的值． 只要理解了“方程的解”以及“参数”的含义，理清解的关系，就能灵活运用上述两种方法．而且可以自己体会一下，哪些题用法一较快，哪些题用法二较快，原因是什么．两个解的数量关系可以有很多种，比如相等、互为相反数、几倍等，解题方法都一样．题型二：解互为相反数【例4】 （1）若关于x 的方程ax －2a ＝9与方程2x －1＝5的解互为相反数，求a 的值．（2）如果关于x 的方程()112x m +=的解与方程13x x m -=-的解互为相反数，求m 的值．【练4】若关于x 的方程2x －3＝1和32x k k x -=-的解互为相反数，则k 的值为多少？【拓】已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．题型三： 解的其他等量关系【例5】（1）．若关于x 的方程23136x x --=的解是372a x +=的2倍，求关于x 的方程1432ax -+=的解．（2）．如果关于x 的方程x －2＝3(m ＋3)的解和3(x ＋1)＝－4m ＋5的解的和等于5，求m 值．【练5】已知关于x 的方程23x m x π-=+与1322x x -=-的解互为倒数，求m 2－2m －3的值．模块三：含参方程解的情况【知识导航】当我们解一元一次方程时，最后一步就是“系数化为1”．例如：解得5x ＝6之后，需要等式两边同时除以5，得到x ＝65；解到－3x ＝2之后，需要等式两边同时除以－3，得到x ＝23-． 但如果一个一元一次方程中，未知数的系数含有参数时，例如ax －4＝0，解到ax ＝4之后，需要等式两边同时除以a ．但是，我们知道，等式两边同时除以的数必须是“非零数”．这里a 作为一个参数，它是有可能为0的．一旦a ＝0，ax ＝4就变成了0x ＝4，显然不能再两边除以0来求解，此时关于x 的方程无解，即x 没有任何一个数值能使等式成立．不难看出，对于诸如ax ＝4未知数的系数含有参数的方程，当系数为0和系数非0时，方程的解的情况不同．既然结果不同，那意味着需要分类讨论．【例6】（1）．解下列关于x 的方程：①mx ＝2； ②kx ＝0； ③3x ＝n －2（2）．解下列关于x 的方程：①ax ＝b ； ②(a －1)x ＝b ＋2 ③ax －b ＝x ＋2．（3）．当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有唯一解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b无解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有无穷多个解；【总结归纳】解含参的一元一次方程时，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，一定能将方程化简为ax ＝b的一般形式，然后再以a、b的不同取值为分类依据，对对方程的解分类讨论．①当a≠0时，等式两边可以同时除以非零数a，解为x＝ba，即方程有唯一解；②当a＝0且b＝0时，方程变为0·x＝0，这里x可以是任意数，即方程有无数个解；③当a＝0且b≠0时，方程变为0·x＝非零数，x无论取何值等式均不成立，即此方程无解．【练6】（1）．关于x的方程mx＋4＝3x－n，分别求m，n满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②无解；③有无数多解．（2）．已知关于x的方程3a(x＋2)＝(2b－1)x＋5有无数个解，求a与b的值．（3）．已知：关于x 的方程ax ＋3＝2x －b 有无数多个解，试求：()20175ab a b x x a b a b+-=-++的解．模块四：绝对值方程【知识导航】形如ax b c +=的关于x 的绝对值方程(这里a ≠0)，其解如下三种情况： ①若c ＜0，则方程无解；②若c ＝0，则ax ＋b ＝0，x ＝b a-，方程有唯一解； ③若c ＞0，则ax ＋b ＝±c ，x ＝c b a ±-，方程有两个解．【例7】（1）．若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是( )．A ．m ＜n ＜kB ．m ≤n ≤kC ．m ＞n ＞kD ．m ≥n ≥k（2）．解下列绝对值方程：①15x -=； ②123x --=；③2131x x -=+；④234x x +=-；⑤4329x x +=+；⑥2971x x +=-．【总结归纳】1．形如ax b cx d +=+的绝对值方程的解法：ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，一般有两个解，解完不需要检验．2．形如：ax b cx d +=+的绝对值的解法：法一，从绝对值的代数意义出发分类讨论： ①当ax ＋b ≥0时，ax b ax b +=+，故得ax ＋b ＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ≥0，若不满足则应舍去；②当ax ＋b ＜0时，()ax b ax b +=-+，故得－(ax ＋b )＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ＜0，若不满足则应舍去； 综上得方程的解．法二．从绝对值的非负性出发限定x 的范围：由ax b cx d +=+≥0，所以ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，然后将得出的解代入cx ＋d ≥0检验，若不满足该前提条件此解需要舍去．【练7】解下列绝对值方程①4812x +=；②3544x --=；③2316-+-=；④23x x=-；a a④4329-+=-.x xx x+=+；⑤525拓(1)解方程：125-++=；x x(2)回答下列方程解的情况：①方程124-++=的解是＿＿＿＿；x x②方程123-++=的解是＿＿＿＿；x x③方程122-++=＿＿＿＿．x x第4讲 【课后作业】含参一元一次方程1．如果x ＝1是关于x 的方程－x ＋a ＝3x －2的解，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－22．七年级的两名爱好数学的学生，在学完第三章《一元一次方程》后，一位同学对另一位同学说：“方程112332x x x ---=+-与方程2224334kx x k +--=-的解相同．则k 的值是多少？”（ ） A ．0B ．2C ．1D ．－1 3．已知关于x 的元一次方程240n x m +-=的解是x ＝3，则m －n 的值是＿＿＿＿．4．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解相同，则m ＝＿＿＿＿．5．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解互为相反数，则m ＝＿＿＿＿．6．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解的和为2，则m ＝＿＿＿＿．7．关于y 的方程25617k ky +-=-与方程2y ＋6＝－8的解互为倒数，则k ＝＿＿＿＿．8．关于x 的方程mx ＋2＝3x －n 有无数多个解，则mn ＝＿＿＿＿．9．已知2x x =+，那么19327m x x ++的值为＿＿＿＿．10．关于x 的方程(a ＋1)x ＋4＝3x －2b ，分别求a 、b 满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②有无数多解；③无解．11．解下列关于x 的方程：①1232x +=； ②258x +-=．③2335x x -=-；④4551x x -=+；⑤3223x x +=+；⑥652x x +=-；⑦mx ＋3＝2x －3；⑧3x －5＝2a ＋8．12．已知关于x 的方程3243a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解是3151128x a x +--=的解的3倍，求a 的值．。
一元一次方程含参问题课件2024-2025学年湘教版数学七年级上册
(1)直接代入
(2)换元代入;3a=3的解为x=4,则a的值是____.
(1)解为正数
3.解的性质（解方程）
解得:
根据条件求a的取值或范围
(2)解为负数
(3)解为整数
3.解的性质（解方程）
解得:
根据条件求a的取值或范围
(4)解为非正整数
练 已知关于x的方程kx=4-x有正整数解，则整数k的值为___________.
4.解的关系
已知
是方程1的解，
是方程2的解
(1)解相等 (2)解相反 (3)解互倒 (4)和为5 (5)解1是解2的2倍
例 如果方程 的解相同，求式子
的解与方程 的值.
练 当m为何值时，关于x的方程 的解的2倍？
的解是
(1)有唯一解
5.方程的解的个数
(3)无数解
(2)无解
（4）变式：解为定值
关于x的方程 ax=b
方程含参问题
参数：除未知数以外的其他字母 待定字母
（1）整式方程
1.一元一次方程的定义
（2）只有1个未知数 （3）未知数的次数为1
例 已知
是关于x的一元一次方程，则m=____
变1 已知
是关于x的一元一次方程，则m=____
变2 已知 则m=____
是关于x的一元一次方程，
2.方程的解的定义
关于x的方程 mx+4=3x-n 1.有唯一解 2.无解 3.无数解
例 若无论k取什么数，关于x的方程 的解总是x=1,求a+b的值.
一元一次方程含参问题ppt课件
4、整数解问题 例6、已知关于x的方程9x+3=kx+14有整数解， 求整数k。
解：由题意知：(9-k)x=11
x 11 9k
∵x，k均为整数 ∴9-k= ±1， ±11 ∴k=-2,8,10,20
10
练习： （1）关于x的方程 (n 1)x2 (m 1)x 3 0 是一元一次方程
解：由题意知：(m-3)x=-n-4 (1)当m-3≠0时，即m≠3，n为任意数时，方 程有唯一解。
(2)当m-3=0且-n-4=0时，即m=3且n=-4时， 方程有无数个解。
(3)当m-3=0且-n-4≠0时，即m=3且n≠-4时，
方程无解
6
练习：
（1）已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无
程｜x-0.5 ｜=0，则m= 2 。
②若方程2(x+1)-3(x-1)=0的解为a+2，求方程：
2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解。 21
2 3
一、含有参数的一元一次方程
2、同解方程
例2、关于x的方程4x-1=-5与
2 a x 3
0
的解相同，求a的值；若解互为倒数，互
为相反数时，求a的值
练习：已知a，b为定值，关于x的方程
kx 3
a
1
2x
6
bk
，无论k为何值，它
的解总是1，求a+b的值。
解：把x=1代入方程得 k a 1 2 bk
3
6
化简得：(2+b)k=4-2a ∵ 无论k为何值，它的值总是1 ∴2+b=0且4-2a=0 解得b=-2，a=2 ∴a+b=0
一元一次方程含参问题
例5、若a，b为定值，关于x的一元一次方 2kx a x bk 1 程 ，无论k为何值 3 6 时，它的解总是x=1，求a，b的值。 解：将x=1代入 2kx a x bk
3 2k a 1 bk 1 3 6 6 1
化简得：(4+b)k=7-2a ① ∵无论ห้องสมุดไป่ตู้为何值时，原方程的解总是x=1 ∴无论k为何值时，①总成立 ∴4+b=0且7-2a=0，解得a=-4，b=3.5
4、整数解问题
例6、已知关于x的方程9x+3=kx+14有整数解， 求整数k。
解：由题意知：(9-k)x=11
11 x 9k
∵x，k均为整数 ∴9-k= ±1， ±11 ∴k=-2,8,10,20
练习： 2 （1）关于x的方程 (n 1) x (m 1) x 3 0 是一元一次方程 ①则m，n应满足的条件为：m ≠1 ，n =1 ； ②若此方程的根为整数，求整数m=-2,0,2,4 。
练习： （1）已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无 数个解，则a= 5 ，b= 10 。
3
2
（2）已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，则 a= 3 。 （3）(3a 2b) x ax b 0 是关于x的一元 一次方程，且x有唯一值，则x= 3 。
2
9
2
2
一、含有参数的一元一次方程
2、同解方程
ax 2 0 例2、关于x的方程4x-1=-5与 3
的解相同，求a的值；若解互为倒数，互 为相反数时，求a的值 练习：当m= 4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m的解的2倍。
1 4 时，关于x的方程
一元一次方程含参问题知识点
一元一次方程含参问题知识点
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠一元一次方程含参问题的知识点。
比如说方程 ax+b=c 这样的，这里面的 a 就是参数啦！哎呀呀，就好
比你要去一个地方，a 就像是你选择走的路，不同的 a 就会让你走不同的路线呢！咱来看个例子哈，3x+5=14，这时候参数就是 3 呀。
那在一元一次方程含参问题里，咱得搞清楚参数对整个方程的影响嘞！这就好像搭积木，每一块积木的位置都很重要，参数就是那关键的一块呀！比如给你个方程 mx+2=7，这里的 m 就是关键参数咧，如果 m 不同，那
整个方程的解可就不一样咯！你想想，是不是很神奇？
有时候呢，我们得根据条件求出参数的值，就像寻找宝藏一样刺激呢！比如说知道方程 ax-3=0 的解是 x=2，那你就得赶快算出 a 是多少呀！
哎呀，一元一次方程含参问题可真是有趣又充满挑战呢！总之呢，咱只要认真去研究，肯定能把它搞明白！
我的观点结论就是：一元一次方程含参问题虽然有点难搞，但只要用心，就一定能掌握好它！。
解含参一元一次方程压轴题
解含参一元一次方程压轴题
解含参一元一次方程的压轴题通常涉及到对方程的解进行分类讨论，或者利用方程的解来求解参数的值。
以下是一些常见的解题步骤和策略：
1.去分母：如果方程中有分数，首先通过乘以最小公倍数来去除分母。
2.去括号：如果方程中有括号，利用分配律去掉括号。
3.移项：将所有包含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。
4.合并同类项：将方程两边的同类项合并。
5.系数化为1：通过除以未知数的系数，使未知数的系数为1。
6.分类讨论：根据参数的不同取值，对方程的解进行分类讨论。
7.利用方程的解：如果题目给出了方程的解，可以将解代入原方程，从而求解参数的
值。
示例
考虑方程(m−1)x=2m−1。
1.去分母：此方程没有分母，无需此步骤。
2.去括号：此方程没有括号，无需此步骤。
3.移项：将方程改写为 (m−1)x−(2m−1)=0。
4.合并同类项：(m−1)x−2m+1=0。
5.系数化为1：。
6.分类讨论：
7.利用方程的解：如果题目给出了方程的解，例如x=2，则可以将，
从而求解m的值。
练习题
1.解方程 (2m+1)x=4m−3，并讨论m的取值范围使得方程有唯一解。
解题策略
∙对于第一个问题，首先解方程找到x的表达式，然后讨论m的取值范围使得分母不为零。
∙对于第二个问题，将x=1 代入方程，然后解出m的值。
记得在解题过程中保持细心，并检查每一步的计算是否正确。
一元一次方程含参问题
第⼗讲⼀元⼀次⽅程含参问题⼀解的关系求参数1⼀含参不含参⽅法先解出不含参⽅程的解根据解的关系求出含参⽅程的解再代⼊求参e gl关于x的⽅程2x31和YR k3X有相同的解求k由2x31解得x2代⼊X k3X得2k3X2解得k i92关于x的⽅程恐x in与X122x1的解互为倒数求m由x122X1解得x j则X x⼗号的解为x3代⼊得33in解得m f2两含参⽅法解出两个⽅程的解根据解的关系到等式g关于X的⽅程2x1m-2m2的解⽐⽅程5x11m4X1t m的解⼤2求m的值⽅程2x1m-2m2解得x2⽅程5X11m4X1t m解得x2m9由两⽅程解的关系得2-mz2m9216解得⼏⼆5⼆解的个数求参关于x的⽅程⽐功解的个数①at01为任意实数时x有唯⼀解②a0b0时x有⽆数解③a0bt0时x⽆解e gl关我的⽅程ax1⼆0它的解的个数是多少ax-1①a0时X⽆解②at0时x有唯⼀解eg2关于x的⽅程axt53X1它的解的个数是多少a x3X-1-5a3x-6D a30即a3时X⽆解②a3to即at3时x有唯⼀解eg3关于⼒的⽅程mxt43X n分别求出mn为何值时⽅程有①唯解20元数解30⽆解mx3X n4m3X n4①当m3to即m3⼏为任意实数时ㄨ有唯⼀解②当m30即m3n40即n-4x有⽆数解③当m30即m3n4to即⼏⼗-4x⽆解三整体法求解⽅程的数学形式⼀样则解⼀样egl关于x的⽅程2x12的解是ㄨ2则关刊的⽅程24-12的解是⽕2关于X的⽅程x b C的解是ㄨ2则关刊的⽅程a y b C的解是y25 egz已知关于X的⽅程a X tb C的解是ㄨ5则关于ㄨ的⽅程a2b的解是ㄨ22X5x2593已知关我的⽅程acxtb C的解是x5则关于⼒的⽅程a2ㄨt b1C 的解是X22X153X2994已知关于x的⽅程Ījxt32九⼗⼝的解是ㄨ5则关刊的⽅程i y t332y3t b的解是y2y t35y2四整数解问题⽅法把含参⽅程解出来找分⼦的约数不要漏了负的91关于⼒的⽅程ax7的解是整数求整数ax da-7-1 1.7egz关我的⽅程x7tax的解是整数求整数aX a1-a-7-1.1.7a8 2.0-6eg了已知关我的⽅程2ax13⼗九的解是整数求整数a13X z a12a1-13-1113a-6.0 1.794已知关我的⽅程a x_x4的解是正整数求整魏的值x4a1G1124a23595已知关于ㄨ的⽅程a1x6的解是正整数求正整数a6X a1at1 1.2.3.6a0舍去 1.2.5五错解问题将错就错egl语⽂⽼师在解关于ㄨ的⽅程2a2x5ㄨ时误将等号前⼆2x看作x解出解为⼒-1则a的值是-3原⽅程的解为X⼆千错解⽅程为2a x_x将x-1代⼊得2a-15ㄨ-1解得a-3原⽅程为-6-2x5解得x-67egz英语⽼师在解⽅程i那么去分⺟时⽅程右边-1漏乘了3因⽽求得⽅程的解为X-2请你帮这位⽼师求出的值并且求出原⽅程正确的解错解⽅程为2x1x a1将x-2代⼊得2ㄨ-2-1-2t a1解得a-2原⽅程为i今2-1解得ㄨ-4。
一元一次方程含参组合问题
一元一次方程含参组合问题问题描述在初中数学中，我们研究了一元一次方程的解法，即求解形如`ax+b=0`的方程。
今天我们来探讨一些稍微复杂一点的一元一次方程，这些方程中含有参数，并需要我们求解参数的范围。
问题分析我们可以把这类问题分为两类：关于参数的条件和关于未知数的条件。
关于参数的条件在这种情况下，我们已知方程的形式是`ax+b=0`，但是未知数`x`的取值范围受到参数的限制。
例如，我们要求方程`2ax+3=0`的解，但是在求解之前我们需要考虑参数`a`的值。
关于未知数的条件在这种情况下，我们已知方程的形式是`ax+b=0`，但是未知数`x`的取值受到其他条件的限制。
例如，我们要求方程`2x+3b=1`的解，但是在求解之前我们需要考虑其他条件，比如`x`大于等于0。
求解方法关于参数的条件对于关于参数的条件，我们可以通过列举不同的参数值，然后求解方程来确定参数的范围。
例如，对于方程`2ax+3=0`，我们可以考虑不同的`a`的取值，比如`a=1`、`a=2`和`a=3`，然后分别求解方程。
关于未知数的条件对于关于未知数的条件，我们可以通过代入条件求解方程来确定未知数的取值范围。
例如，对于方程`2x+3b=1`，如果已知条件是`x>=0`，我们可以将这个条件代入方程中，然后求解。
示例关于参数的条件对于方程`2ax+3=0`，我们可以分别考虑`a=1`和`a=2`的情况。
当`a=1`时，方程变为`2x+3=0`，求解可以得到`x=-3/2`。
当`a=2`时，方程变为`4x+3=0`，求解可以得到`x=-3/4`。
所以，当`a=1`时，解为`x=-3/2`；当`a=2`时，解为`x=-3/4`。
关于未知数的条件对于方程`2x+3b=1`，如果已知条件是`x>=0`，我们可以将这个条件代入方程中。
代入条件后，方程变为`2(0)+3b=1`，即`3b=1`，解得`b=1/3`。
所以，在满足条件`x>=0`的情况下，解为`b=1/3`。
第3章一元一次方程的含参问题(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解含参一元一次方程的基本概念。含参的一元一次方程是指方程中包含一个或多个参数，这些参数通常表示未知的常量。它在数学建模和解决实际问题时具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将一个实际速度问题转化为含参的一元一次方程，并通过求解方程来解决问题。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得相对顺利。但我观察到，有些小组在讨论过程中，个别成员参与度不高，这可能影响了整个小组的学习效果。在未来的教学中，我需要考虑如何更好地调动每个学生的积极性，确保每个人都能在小组活动中得到充分的锻炼。
学生小组讨论时，大家对于含参方程在实际生活中的应用提出了很多有趣的观点，这让我感到很欣慰。但在引导讨论时，我发现自己在提问的技巧上还有待提高，有些问题可能不够开放，限制了学生的思考空间。我将在下一次的教学中注意这一点，设计更多具有启发性的问题。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论与合作，共同解决复杂问题，提高沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解含参一元一次方程的概念，包括参数的概念和含参方程的特点；
-掌握含参一元一次方程的求解方法，特别是换元法和消元法的应用；
-能够将实际问题抽象为含参一元一次方程模型，并进行求解；
-通过对含参方程求解过程的分析，理解方程解的多样性和参数对解的影响。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元一次方程含参问题的基本概念、求解方法和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对含参问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
含参一元一次方程解法
含参一元一次方程的解法1． 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2． 解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．3． 易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．易错点2：去分母：漏乘不含分母的项． 易错点3：移项忘记变号．【巩固1是关于x．【巩固2】方程去分母正确的是（ ） AB． CD【巩固31.1 一元一次方程的巧解求解一元一次方程的一般步骤是：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，的应用．具体归纳起来，巧解的方法主要有以下三种：⑴提取公因式；⑵对系数为分数的一元一次方程的系数进行裂项；⑶进行拆项和添项，从而化简原方程．知识导航基础巩固知识回顾【例1】⑴【例2】 解方程：⑴⑵()()1123233211191313x x x -+-+= 1.2 同解方程若两个一元一次方程的解相同，则称它们是同解方程．同解方程一般有两种解法： ⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．注意:⑴两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多1、2倍等．(2)一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共根问题的前铺和基础．【例3】⑴若方程有相同的解，求a得值．；⑵若和是关于x 的同解方程，求的值．【例4】都是关于x的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求m,n 分别是多少？关于x 的方程的解是多少？x的方程y 的方程的解得2倍．1.3 含参方程当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成的取值范围分类讨论．1． 当时，方程有唯一解．2． 当时，方程有无数个解，解是任意数．知识导航经典例题知识导航经典例题3．当时，方程无解．【例5】解关于x的方程【例6】没有解，则a的值为．⑵若方程有无数解，则的值是．时，关于x是一元一次方程．若该方程的唯p得值．⑷已知：关于的方程的值．1.4绝对值方程解绝对值方程的一般步骤：⑴分类讨论去绝对值；⑵分别求解两个方程；⑶综合两个方程的解；⑷验证．【例7】解绝对值方程：⑴⑵1.5课后习题【演练1】【演练2】【演练3】与方程的解相同，则a的值为．⑵若关于x则= ．⑶若关于x的方程和a得值．【演练4】解关于x【演练5】⑴已知关于x无解，那么．⑵若关于x的方程有唯一解，则题中的参数应满足的条件是．经典例题知识导航经典例题。
含参数的一元一次方程的解法技巧
含参数的一元一次方程的解法技巧在解一元一次方程时，我们通常处理的是形如ax+b=c的方程，其中a、b 和c是已知常数，而x是未知数。
然而，在实际问题中，我们有时会遇到含有参数的一元一次方程，即方程中包含一些未知的参数。
在本文中，我们将讨论如何解决这类问题，并介绍一些解法技巧。
基本方法对于含参数的一元一次方程，我们的目标仍然是找到方程中未知数的值，使得方程成立。
与普通的一元一次方程相比，含有参数的方程可能需要稍微复杂一些的操作。
我们可以通过以下基本方法来解决这类问题：1.将参数表示为符号：首先，将方程中的参数用符号表示出来，比如用k来表示某个参数。
这样可以帮助我们更清晰地理解问题，并更好地处理求解过程。
2.代入化简：将参数代入方程中，根据具体的参数值进行化简。
这一步需要根据具体情况，有时可能需要分情况讨论，以便得出方程的解。
3.解方程：通过代数运算，将方程化简成标准的一元一次方程，然后按照通常的方法解出未知数的值。
解法示例接下来，我们通过一个具体的示例来说明含参数的一元一次方程的解法技巧。
假设我们有如下方程：2x+k=7其中k是一个未知参数，我们需要求解x的值。
首先，我们将参数k表示成符号：2x+k=7接下来，考虑k的具体取值。
根据不同的k值，我们可以得到不同的方程：当k=1时，方程变为2x+1=7当k=2时，方程变为2x+2=7当k=3时，方程变为2x+3=7我们可以分别对上述三个方程进行求解：1.当k=1时，2x+1=72x=6x=3因此，当k=1时，方程的解为x=3。
2.当k=2时，2x+2=72x=5x=2.5因此，当k=2时，方程的解为x=2.5。
3.当k=3时，2x+3=72x=4x=2因此，当k=3时，方程的解为x=2。
总结通过以上示例，我们可以看到，在处理含参数的一元一次方程时，我们可以将参数表示成符号，通过代入和化简的方法，找出各种参数取值下的方程解。
这种方法在实际问题中也同样适用，帮助我们更好地理解和解决具体的方程问题。
第五讲 一元一次方程——含参方程2稿
第五章一元一次方程知识框图知识梳理一、等式的概念和性质1、等式的概念用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式。
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边。
等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则。
2、等式的性质等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
若a b=，则a m b m±=±；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b=，则am bm=，a bm m=(0)m≠注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边。
（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同。
（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b=，那么b a=；②等式具有传递性，即：如果a b=，b c=，那么a c=；二、方程的相关概念1、方程含有未知数的等式叫作方程。
注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母，二者缺一不可。
2、方程的次和元方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元。
号3、方程的已知数和未知数已知数：一般是具体的数值，如50x+=中（x的系数是1，是已知数．但可以不说）。
未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示。
4、方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
5、解方程求得方程的解的过程。
注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的6方程解的检验要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是。
三、一元一次方程的定义1、一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程。
(完整版)含参数的一元一次方程
初一部分知识点拓展◆含参数的一元一次方程复习：解方程：（1）215123x x （2）)4(x 40%+60%x =2（3）14.01.05.06.01.02.0x x （4）)1(3212121x x x）（一、含参数的一元一次方程解法（分类讨论）1、讨论关于x 的方程b ax 的解的情况.2、已知a 是有理数，有下面5个命题：（1）方程0ax 的解是0x；（2）方程1xa ax 的解是；（3）方程axax11的解是；（4）方程a xa 的解是1x（5）方程1)1(a x a 的解是1x中，结论正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3 二、含参数的一元一次方程中参数的确定①根据方程解的具体数值来确定例：已知关于x 的方程323ax xa的解为4x变式训练：1、已知方程)1(422x ax 的解为3x，则a；2、已知关于x 的方程)(22x mmx 的解满足方程021x，则m；3、如果方程20)1(3)1(2a x x 的解为，求方程：a a x x 3)(3)3(22的解.②根据方程解的个数情况来确定例：关于x 的方程n x mx 34，分别求n m ，为何值时，原方程：（1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解.变式训练：1、已知关于x 的方程b xa x a 3)5()1(2有无数多个解，那么a ，b .2、若关于x 的方程512)2(x b x a 有无穷多个解，求b a ，值.3、已知关于x 的方程)12(6123x x mx 有无数多个解，试求m 的值.4、已知关于x 的方程5)12()2(3x b xa 有无数多个解，求a 与b 的值.5、x bax x b a 是关于0)23(2的一元一次方程，且x 有唯一解，求x 的值.③根据方程定解的情况来确定例：若b a ，为定值，关于x 的一元一次方程2632bx x ka ，无论k 为何值时，它的解总是1x ，求b a 和的值.变式训练:1、如果b a 、为定值，关于x 的方程6232bk x akx ，无论k 为何值，它的解总是1，求b a 和的值.④根据方程公共解的情况来确定例：若方程325328)1(3xkx x x 与方程的解相同，求k 的值.变式训练：1、若关于x 的方程03ax 的解与方程042x 的解相同，求a 的值.2、已知关于x 的方程18511234)2(23x a x x a xx和方程有相同的解，求出方程的解.⑤根据方程整数解的情况来确定例：m 为整数，关于x 的方程mx x6的解为正整数，求m 的值.变式训练：1、若关于x 的方程kx x 179的解为正整数，则k 的值为；2、已知关于x 的方程1439kx x 有整数解，那么满足条件的所有整数k；3、已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程453223a a a ax 有整数解，则a 的值共有（）A.1个B.6个 C.6个 D.9个◆含绝对值的方程：一、利用绝对值的非负性求解例题1：已知n m ，为整数，n m nm m ，求02的值.练习：1、已知n m ，为整数，n m nm m ，求12的值.2、已知)421(410)124(2323124bb aaab ba ，求.二、形如)0(a c b ax 型的绝对值方程解法：1、当0c 时，根据绝对值的非负性，可知此方程无解；2、当0c 时，原方程变为0b ax ，即ab xbax ，解得0；3、当0c时，原方程变为c bax c bax 或，解得ab c xa bc x或例题2：解方程532x .练习：（1）01263x （2）0545x 三、形如)0(ac d cx b ax 型的绝对值方程的解法：1、根据绝对值的非负性可知，0dcx 求出x 的取值范围；2、根据绝对值的定义将原方程化为两个方程)(d cx bax d cx bax 和；3、分别解方程)(b cx bax b cx bax 和；4、将求得的解代入0dcx 检验，舍去不合条件的解. 例题3：解方程525xx 练习：（1）9234x x （2）43234xx 例题4：如果044a a ，那么a 的取值范围是多少.变型题：已知022x x，求（1）2x 的最大值；（2）x 6的最小值.练习：1、解关于x 的方程02552xx .2、已知关于x 的方程06363x x ，求25x 的最大值. 四、形如)(b a c b x a x 型的绝对值方程的解法：1、根据绝对值的几何意义可知b a bx ax ；2、当b a c时，此时方程无解；当b a c 时，此时方程的解为b xa；当b a c 时，分两种情况：①当a x 时，原方程的解为2cb ax；②当b x时，原方程的解为2cba x.例题5：解关于x 的方程213x x变型题：解关于x 的方程21443x x练习：解关于x 的方程（1）752x x （2）75222x x 例题6：求方程421x x 的解.练习：解关于x 的方程（1）723x x （2）62152xx 例题7：求满足关系式413x x 的x 的取值范围.练习：解关于x 的方程（1）321x x （2）752x x7升8数学金牌班课后练习1、已知012x x，代数式200823x x的值是；2、已知关于x 的方程323x xa 的解是4，则aa 2)(2；3、已知2x x ，那么2731999xx 的值为；4、321xx ，则x 的取值范围是；5、088x x ，则x 的取值范围是 .6、已知关于x 的一次方程07)23(xb a 无解，则ab 是（）；A 正数 B.非正数 C.负数 D.非负数7、方程011x x 的解有（）；A.1个B.2个C.3个 D.无数个8、使方程0223x 成立的未知数x 的值是（）；A.-2B.0C.32 D.不存在9、若关于x 的方程只有一个解，无解，043032nx mx 054kx 有两个解，则k n m 、、的大小关系是（）；A.k n mB.m k nC.n mkD.nkm10、解下列关于x 的方程（1）01078x （2）428xx （3）963x x （4）451x x （5）9234x x （6）612x x （7）43212x x （8）75345x x （9）2004112x 11、若0)3(2y yx，求y x 32的值.※12、已知y y x x 15911，求y x 的最大值与最小值.◆含参的二元一次方程组类型一、基本含参的二元一次方程组例题1：已知方程组ky x k y x 321143的解y x ，满足方程35yx，求k 的值。
含参一元一次方程
【引例】当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同．【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解，把解代入另一个方程．⑴已知：关于x 的方程42x k -=与()322x k +=的解相同，求k 的值及相同的解．⑵若关于x 的方程5342x x =-和12524a x ax x -=+有相同的解，求a 的值．⑶若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2k m-的值．当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成ax b =的形式，方程ax b =的解根据a b ，的取值范围分类讨论．①当0a ≠时，方程有唯一解b x a=．②当0a =且0b =时，方程有无数个解，解是任意数．③当0a =且0b ≠时，方程无解．【引例】当a ，b 时，方程1ax x b +=-有唯一解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-无解；当a，b 时，方程1ax x b +=-有无穷多个解．【例1】⑴已知：关于x 的方程32ax x b +=-有无数多个解，试求2011()5ab a b x x a b a b+-=-++的解.⑵若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2236kx a x bk +--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值．【例2】解关于x 的方程()()134m x n x m -=-绝对值方程【引例】解绝对值方程：15x -=【例3】若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是（）A ．m n k <<B ．m n k ≤≤C ．m n k >>D ．m n k≥≥【例4】解绝对值方程：⑴4812x +=⑵4329x x +=+⑶方程125x x -++=的解是．难点：已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．。
《含参一元一次方程100题》
含参一元一次方程100题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在含参一元一次方程这一部分的计算能力。
大致分了五个模块：①一元一次方程概念相关（10题）；②同解问题（51题）；③整数解问题（13题）④方程解的情况（21题）⑤错解问题（5题）；共100题。
建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。
模块一一元一次方程概念相关方法总结：一元一次方程：指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。
“110”：1个未知数、未知数次数为1、未知数系数不为0一般步骤：①确定系数、次数；②使次数为1，系数不为0；③求解.易错总结：①不要忘记系数不为0；②计算要细心.例题解析：关于x的方程(a−1)x b−1−2=0是一元一次方程，则a,b的取值情况.解：∵(a−1)x b−1−2=0是关于x的一元一次方程∴a−1≠0且b−1=1……【次数为1，系数不为0】解得：a≠1，b=2巩固练习：1.x m−1−4=0是关于x的一元一次方程，那么m的值是多少？2.已知3x|n−1|+5=0为一元一次方程，则n的值是多少？3.关于x的方程(a−2)x|a|−1−2=0是一元一次方程，则a的值是多少？4.关于x的方程(a+2)x|a|−1−2=1是一元一次方程，则a的值是多少？5.若关于x的方程(m−1)x|m|−3=0是一元一次方程，则m的值是多少？6.若(m+3)x|m|−2+2=1是关于x的一元一次方程，则m的值为多少？7.已知方程(k−3)x|k|−2+5=k−4是关于x的一元一次方程，则k的值是多少？8.若方程(2a−1)x2−ax+5=0是关于x的一元一次方程，则a的值是多少？9.若方程(m2−1)x2+(m−1)x+3=0是关于x的一元一次方程，则m的值是多少？10.已知方程2+(k−2)x|k−1|+k−3=0是关于x的一元一次方程，求方程的解．模块二同解问题方法总结：若两个方程同解：①一个方程不含参数,另外一个方程含有参数：先求出一个方程的解，然后将该解代入另一方程；②两个方程都含有参数：分别求出两个方程的解，再令解相等求出参数的值。
(完整版)含参一元一次方程解法
易错点2：去分母：漏乘不含分母的项．
易错点3：移项忘记变号．
【巩固1】若 是关于x的一元一次方程，则 ．
【巩固2】方程 去分母正确的是（）
A． B．
C． D．
【巩固3】解方程
1.1一元一次方程的巧解
求解一元一次方程的一般步骤是： 去分母； 去括号； 移项； 合并同类项； 未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．
含参一元一次方程的解法
1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
2．解一元一次方程的一般步骤： 去分母； 去括号； 移项； 合并同类项； 未知数的系数化为1．
这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．
注意:⑴两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多1、2倍等．
(2)一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共根问题的前铺和基础．
【例4】⑴若方程 与 有相同的解，求a得值．；
⑵若 和 是关于x的同解方程，求 的值．
【例5】⑴已知： 与 都是关于x的一元一次方程，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ它们的解互为相反数，求m,n分别是多少？关于x的方程 的解是多少？
⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.
⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．
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方程含参
1.已知，则___________．．
2.多项式223368x kxy y xy --+-不含xy 项，则k ＝ ；
3.已知：()2135m --有最大值，则方程5432m x -=+的解是( ) 7979 B C D 9797
A --、、、、 4.若27133
m m -+与互为相反数，则m =( )。
A 、10 B 、－10 C 、
43 D 、43-
5.关于x 的方程2x ﹣4=3m 和x+2=m 有相同的解，则m 的值是（ ）
A ． 10
B ． ﹣8
C ． ﹣10
D ． 8
6.已知关于x 的一元一次方程a （x ﹣3）=2x ﹣3a 的解是x=3，则a= _________ ．
7.关于x 的方程ax+1=x －2a 当a= 时，此方程一定无解。
8.若关于x 的方程5x －2a=6+4a －x 的解是正数，则a 的值为（ ）
A.a ＞1
B.a ＞0
C.a ＞－1
D.以上都不对
9.方程5X+4=4X-3的解也符合方程2X+M=2则M=____。
10.已知：22321A x xy x =+--，21B x xy =-+-
（1）求3A ＋6B 的值；
（2）若3A ＋6B 的值与x 的值无关，求y 的值。
11.已知关于x 的方程3(2)x x a -=-的解比
223x a x a +-=的解小52
，求a 的值． 2
|312|102n m ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭
2m n -=
12.已知关于x 的方程mx+2=2（m -x ）的解满足
，求m 的值。
13.若()23340x y -++=，求xy 的值。
14.方程23(1)0x -+=的解与关于x 的方程3222k x k x +--=的解互为倒数，求k 的值。
钟表问题
1.钟表在3点30分时，它的时针和分针所成的角是
2.钟表上3时多少分，时针与分针夹角为60度（结果保留准确值）
3.从2时30分到2时45分。
时针和分针各走了多少度？
7.5 90
4.时钟的时针转了20度。
则时间过了多少分?
5.在两点与三点之间，什么时刻分针与时针重合？。