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青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题(附答案详解)

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青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习课堂基础过关测试卷A卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习课堂基础过关测试卷A卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习课堂基础过关测试卷A 卷（附答案详解）1．在下列四个三角形中，与图中ABC ∆相似的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，在△ABC 与△ADE 中，B D ∠=∠，添加下列条件，不能得到．．．．△ABC 与△ADE 相似的是（ ）A ．E C ∠=∠B ．BAD CAE ∠=∠C ．AB AD BC DE = D ．AE DE AC BC = 3．如图，D 是△ABC 边AB 上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD ∽△ABC 的是（ ）A ．∠ACB ＝∠ADC B ．∠ACD ＝∠ABC C ．AC AD AB AC = D ．=CD AD BC AC 4．以下A 、B 、C 、D 四个三角形中，与左图中的三角形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 中点，AC 、BE 交于F ，连接DF ，下列结论错误的是（ ）A ．CF=2AFB ．BE⊥AC C ．S △ABF = S △ADFD ．S 四边形CDEF = 5S △AEF6．如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，CF 平分∠BCD ，交EA 的延长线于点F ，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD ；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=，其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个327．如图，在ABC ∆中，高,BD CE 相交于点F ，图中与BEF ∆相似的三角形共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且AG ＝CE ，AE ⊥EF ，AE ＝EF ，现有如下结论：①BE ＝DH;②△AGE ≌△ECF;③∠FCD ＝45°;④△GBE ∽△ECH ．其中，正确的结论有（ ）A ．4 个B ．3 个C ．2 个D ．1 个9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于点D ，则△BCD 与△ABC 的周长之比为________．10．如图，AB GH CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，2AB =，4CD =，则GH 的长为__________．11．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DEF 相似，则需要添加一个条件是____．(写出一种情况即可)12．如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D，BC＝3，AB＝5，写出其中的一对相似三角形是和，它们的相似比为.13．□ABCD中，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），添加一个条件，使得△BCD 与△ADP相似，这个条件可以是________14．如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D 重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，如果正方形ABCD的边长为1，则△CHG的周长为__________15．如图，AB∥DC，AC交BD于点O.已知34AOCO，BO＝6，则DO＝__.16．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在边BC上，且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点运动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为ts（0＜t＜4）．（1）连接DP，当t＞1时，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值，总有PQ与AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形？18．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6 cm，CD＝4 cm，BD＝14 cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？19．如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠PDE=90°．（1）若将△DEP的顶点P放在BC上（如图1），PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G．求证：△PBG∽△FCP；（2）若使△DEP的顶点P与顶点A重合（如图2），PD、PE与BC相交于点F、G．试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 上一点，连接AE ，作EF ⊥AE 交AB 于F ．（1）求证：△AGC ∽△EFB ．（2）除（1）中相似三角形，图中还有其它相似三角形吗？如果有，请把它们都写出来． 21．在ABC 和DEF 中，90A D ∠=∠=，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过A D ，在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC 分割成的两个三角形与DEF 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．22．在ABC 中，80ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，利用尺规作图在AC 边上求作一点D ，使得ABC BDC ∽△△．（不写做法，保留作图痕迹）参考答案1．B【解析】【分析】利用相似三角形的判定方法判断即可．【详解】解：令小正方形边长为1，则BC=2，AC=4，即BC：AC=1：2，且∠C=90°，A选项中直角边分别为2，3，直角边之比为2：3，错误；B1：2，正确；C，直角边之比为1：1，错误；D选项不是直角三角形，错误.故选：B．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．2．D【解析】解：∵∠B=∠D，∠E=∠C，∴△ABC∽△ADE，故A正确；∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE，故B正确；∵AB ADBC DE=，∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE，故C正确；若AE DEAC BC=，则需要∠E=∠C，才能得到△ABC∽△ADE，故D错误．故选D．3．D【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．【详解】解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；C 、当AC AD AB AC=时，再由∠A ＝∠A ，可得出△ACD ∽△ABC ，故此选项不合题意； D 、当=CD AD BC AC 时，无法得出△ACD ∽△ABC ，故此选项符合题意； 故选：D ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 4．B【解析】【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】设小正方形的边长为1，，所以三边之比为1:2A 、三角形的三边分别为2、2:B 、三角形的三边分别为2、4、1:2，故本选项正确；C 、三角形的三边分别为2、32:3:D 44，故本选项错误． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的关键．5．B【解析】试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∵点E 为AD 的中点，∴AE=12 BC，∵AE∥BC，∴△AEF∽△CFB，∴12 AF AEFC BC==，∴FC=2AF,故选项A正确；选项B，无法得出；由ΔAEF∽ΔBCF得，SΔAEF:SΔCBF=1:4∴SΔADF:SΔCBF=1:2又SΔABC=12AB∙BC=32SΔBFC∴SΔABF:SΔCBF=1:2∴SΔADF= SΔABF,故选项C正确．如图，过P作PH∥BE，交AC于点H.∴AF=FH∵CF=2AF∴CH=HF∴SΔADH=4SΔAEF∵E是AD的中点∴SΔDEF=SΔAEF∴SΔDHF=2 SΔAEF∵SΔDHF= SΔDHC∴S四边形CDEF = 5S△AEF故选B.6．C【解析】试题分析：在矩形ABCD中，∵∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADB，∵∠CAD=∠ADB，∴∠BAE=∠CAD，故①正确；∵BC=4，CD=2，∴tan∠DBC==，∴∠DBC≠30°，故②错误；∵BD==，∵AB=CD=2，AD=BC=4，∵△ABE∽△DBA，∴，即，∴AE=；故③正确；∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=45°，∴∠ACF=45°﹣∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，∴∠EAC=90°﹣2∠ACB，∴∠EAC=2∠ACF，∵∠EAC=∠ACF+∠F，∴∠ACF=∠F，∴AF=AC，∵AC=BD=，∴AF=，故④正确；故选C．考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质．7．C【解析】【分析】先利用高的定义得到∠BEC=∠BDC=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABD=∠ACE，加上∠A=∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△ACE，利用同样的方法得到△FBE∽△ABD，△FCD∽△ACE，所以△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD．【详解】解：∵高BD、CE相交于点F，∴∠BEC=∠BDC=90°，∵∠BFE=∠CFD，∴∠ABD=∠ACE，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE，∵∠ABD=∠FBE，∠BEF=∠BDA，∴△FBE∽△ABD，同理可得△FCD∽△ACE，∴△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD．故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.8．C【解析】【分析】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，结合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，据此知HC＜EC，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根据SAS 推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH 不相似，即可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝CD，∵AG＝GE，∴BG＝BE，∴∠BEG＝45°，∴∠BEA＞45°，∵∠AEF＝90°，∴∠HEC＜45°，∴HC＜EC，∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①错误；∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE+∠AEG＝45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，在△GAE 和△CEF 中，∵AG=CE，∠GAE=∠CEF,AE=EF,∴△GAE≌△CEF（SAS））,∴②正确；∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE 和△ECH 不相似，∴④错误；故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．9．1∶2【解析】分析：易证得△BCD∽△BAC，得∠BCD=∠A=30°，那么BC=2BD，即△BCD与△BAC的相似比为1：2，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得到正确的结论．详解：∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，∴△BCD∽△BAC；①∴∠BCD=∠A=30°；Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD；由①得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2；故答案为：1:2．点睛：此题主要考查的是直角三角形和相似三角形的性质；相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 10．43【解析】∵AB CD ，∴ABD D ∠∠=，A ACD ∠∠=，∴ABG CDG ∽， ∴BG AB 21DG CD 42===， ∵GH CD ，∴BHG BCD ∽， ∴BG HG 1BD CD 3==， ∴14GH CD 33==． 11．∠A ＝∠D(或BC ∶EF ＝2∶1)【解析】【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．【详解】解：则需添加的一个条件是：BC=2EF ，且2＜BC ＜14，1＜EF ＜7．∵在△ABC 中，AB=8，AC=6，在△DEF 中，DE=4，DF=3，∴AB ：DE=2：1，AC ：DF=2：1，∵BC ：EF=2：1．∴△ABC ∽△DEF ．则添加的条件可以为：①∠A=∠D 或②BC ：EF=2：1．故答案为：①∠A=∠D 或②BC ：EF=2：1．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题关键知道两三角形三边对应成比例的话，两三角形相似．12．△CDB；△ACB；3∶5.【解析】相似的三角形有：△CDB∽△ACB，△CDB∽△ADC，△ACB∽△ADC 选一组：△CDB∽△ACB，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∵∠ACD+∠DFB=90°，∠B+∠DCB=90°，∴∠ACD=∠B，∵∠ACB=∠CDB=90°，∴△CDB∽△ACB．∵BC=3，AB=5，∴相似比为：BCAB=35．故答案为：△CDB；△ACB；3∶5．相似三角形的判定定理：（1）两边对应成比例及其夹角相等；（2）三边对应成比例；（3）两角对应相等；（4）一条直角边和斜边对应成比例．13．∠APD=∠C【解析】【分析】根据平行四边形对边平行性质可得一堆角相等，让另两对角中有一对相等即可证明△BCD与△ADP相似．【详解】∵AD∥BC，∴∠ADP=∠CBD，∵∠APD=∠C，∴∠DAP=∠CDB，∴△BCD∽△ADP．故答案为∠APD=∠C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，本题属于开放题，选出可以证明结论的一个条件是解题的关键．14．2【解析】分析：设CH=x，DE=y，则DH=1-x，EH=1-y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEH∽△CHG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，HG分别用x，y分别表示，△CHG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEH中根据勾股定理可以得到2x-x2=2y，进而求出△CHG的周长．详解：设CH=x，DE=y，则DH=1-x，EH=1-y，∵∠EHG=90°，∴∠DHE+∠CHG=90°．∵∠DHE+∠DEH=90°，∴∠DEH=∠CHG，又∵∠D=∠C=90°，∴△DEH∽△CHG，∴CG：DH=CH：DE=HG：EH，即CG:(1−x)=x:y=HG:(1−y)，∴CG=()1x xy-，HG=()1x yy-，∴△CMG的周长为=CH+CG+HG=22x xy-，在Rt△DEH中，DH2+DE2=EH2, 即（1-x）2+y2=（1-y）2,整理得2x-x2=2y，∴CH+HG+CG=2222 x x yy y-==．故答案为：2．点睛：本题考查翻折变换，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决熟练运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．15．8【解析】 试题解析：∵AB ∥DC ，AOB COD ∴∽，,AO BO CO OD∴= 3, 6.4AO BO CO == 8.DO ∴=故答案为：8.16．22.5【解析】根据题意画出图形，构造出△PCD ∽△PAB ，利用相似三角形的性质解题． 解：过P 作PF ⊥AB ，交CD 于E ，交AB 于F ，如图所示设河宽为x 米．∵AB ∥CD ，∴∠PDC=∠PBF ，∠PCD=∠PAB ，∴△PDC ∽△PBA ，∴AB PF CD PE=， ∴AB 15x CD 15+=， 依题意CD=20米，AB=50米，∴1520 5015x =+， 解得：x=22.5（米）．答：河的宽度为22.5米．17．（1）（2）见解析 （3）当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ 为直角三角形．【解析】（1）先根据点P 以1厘米/秒的速度沿AC 向终点C 运动，点Q 以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动求出1秒后AP及BQ的长，进而可得出QD及的长，再由PE∥BC可知AP PE AC CD=，故可得出PE=QD，由PE∥BC即可得出结论；（2）先用t表示出PC及CQ的长，再求出PC CQAC BC=即可得出结论；（3）分∠EQP=90°，∠QED=90°两种情况，通过三角形相似，列出比例关系，求出t的值即可．解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C 运动，t=1秒，∴AP=1厘米，BQ=1.25厘米，∵AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，CD=3cm，∴PC=AC﹣AP=4﹣1=3（厘米），QD=BC﹣BQ﹣CD=5﹣1.25﹣3=0.75（厘米），∵PE∥BC，∴△APE∽△ACD，∴14AP PEAC CD==,143PE=，解得PE=0.75，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC﹣AP=4﹣t，QC=BC﹣BQ=5﹣1.25t，∴4144PC t tAC-==-，5 1.25154CQ t tBC-==-，∴PC CQ AC BC=，又∵∠C=∠C，∴△CPQ∽△CAB，∴∠CPQ=∠CAB，∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4﹣t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴EQ DQ AC DC=，∵BC=5厘米，CD=3厘米，∴BD=2厘米，∴DQ=1.25t﹣2，∴4 1.25243t t--=，解得t=2.5（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC 于M ，CN⊥AD 于N ，则四边形EMCP 是矩形，EM=PC=4﹣t ， 在Rt△ACD 中，∵AC=4厘米，CD=3厘米， 22AC CD +， ∴CN=125AC CD AD ⋅=， ∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA， ∴DQ EQ EM AD AC CN==， ∴()541.252512t t --=， 解得t=3.1（秒）．综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ 为直角三角形．“点睛”此题是四边形纵综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判定出△APE∽△ACD，解（2）的关键是判断出PC CQ AC BC=，解（3）的关键是用分类讨论的思想解决问题． 18．8.4 cm 或12 cm 或2 cm ．【解析】试题分析：由题意得出90B D ∠=∠=，根据相似三角形的判定得出 当AB BP DP CD =或AB BP CD DP=时，△P AB 与△PCD 是相似三角形，代入求出即可． 试题解析：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，90B D ∴∠=∠=，∴当AB BP DP CD =或AB BP CD DP=时，△P AB 与△PCD 是相似三角形， ∵AB =6，CD =4，BD =14，6144BP BP ∴=-或6414BP BP=-， 解得：BP =2或12或425， 即PB =2或12或425时，△P AB 与△PCD 是相似三角形. 点睛：相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比相等.19．（1）证明见解析（2）△PBG 与△FCP 相似【解析】试题分析：（1）已知△ABC 、△DEP 是两个全等的等腰直角三角形，即可得∠B=∠C=∠DPE=45°，∠BPG+∠CPF=135°；在△BPG 中，∠B=45°，∠BPG+∠BGP=135°，由此可得∠BGP=∠CPF ，再由∠B=∠C ，根据两角对应相等的两个三角形相似即可得△PBG ∽△FCP ；（2）△PBG 与△FCP 相似，由△ABC 、△DEP 是两个全等的等腰直角三角形，可得∠B=∠C=∠DPE=45°，又因∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG ，∠CPF=∠FPG+∠CAG=45°+∠CAG ，所以∠AGP=∠CPF ，再由∠B=∠C ，根据两角对应相等的两个三角形相似即可得△PBG ∽△FCP ．试题解析：（1）证明：如图1，∵△ABC 、△DEP 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DPE=45°，∴∠BPG+∠CPF=135°，在△BPG 中，∵∠B=45°， ∴∠BPG+∠BGP=135°，∴∠BGP=∠CPF ，∵∠B=∠C ，∴△PBG ∽△FCP ；（2）△PBG 与△FCP 相似．理由如下：如图2，∵△ABC 、△DEP 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DPE=45°，∵∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG，∠CPF=∠FPG+∠CAG=45°+∠CAG，∴∠AGP=∠CPF，∵∠B=∠C，∴△PBG∽△FCP．20．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由CD⊥AB，EF⊥AE，得到∠FDG=∠FEG=90°，求出∠BFE=∠DGE，根据相似三角形的判定得到结论即可；（2）根据相似三角形的判定解答即可．【详解】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AE∴∠FDG=∠FEG=90°∴∠DGE+∠DFE=360°﹣90°﹣90°=180°又∠BFE+∠DFE=180°，∴∠BFE=∠DGE，又∠DGE=∠AGC∴∠AGC=∠BFE，又∠ACB=∠FEG=90°∴∠AEC+∠BEF=180°﹣90°=90°，∠AEC+∠EAC=90°，∴∠EAC=∠BEF，∴△AGC∽△EFB（2）解：有．∵∠GAD=∠FAE，∠ADG=∠AEF=90°，∴△AGD∽△AFE；∴∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，同理得△BCD∽△BAC，∴△ACD∽△CBD，即△ACD∽△ABC∽△CBD，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．21．（1）不相似．理由见解析.（2）能作如图所示的辅助线进行分割．具体做法见解析.【解析】【分析】（1）根据两个直角相等但两直角的两边的比不相等，可判定这两个三角形不相似；（2）作∠=∠，交EF于N．BAM E∠=∠，交BC于M；作NDE B≌．再证明，即可由作法和已知条件可知BAM DEN∽．判断AMC FND【详解】（1）不相似．在Rt BAC 中，90A ∠=︒，34AB AC ==，；在Rt EDF 中，90D ∠=︒，32DE DF ==，，12AB AC DE DF∴==，． AB AC DE DF∴≠． Rt BAC ∴与Rt EDF 不相似．（2）能作如图所示的辅助线进行分割．具体作法：作BAM E ∠=∠，交BC 于M ；作NDE B ∠=∠，交EF 于N ．由作法和已知条件可知BAM DEN ≌．BAM E ∠=∠，NDE B ∠=∠，AMC BAM B ∠=∠+∠，FND E NDE ∠=∠+∠，BAM DEN ≌．90FDN NDE ∠=︒-∠，BAM E ∠=∠，BAM E ∠=∠．∴AMC FND ∽．考点：相似三角形的判定及性质．22．见解析【解析】【分析】作∠B 的角平分线，与AC 交于点D ，易证△ABC ∽△BDC ．【详解】如图所示，作∠B 的角平分线，则△ABC∽△BDC，证明如下：∵∠ABC=80°，∠ACB=60°∴∠A=180°-80°-60°=40°∵BD平分∠ABC∴∠CBD=12∠ABC=40°∴∠A=∠CBD又∵∠C=∠C∴△ABC∽△BDC【点睛】本题考查作相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定以及角平分线的作法是解题的关键．。

青岛版九年级数学上册《1.2 怎样判定三角形相似》同步练习题(附答案)

青岛版九年级数学上册《1.2 怎样判定三角形相似》同步练习题(附答案)

青岛版九年级数学上册《1.2 怎样判定三角形相似》同步练习题（附答案）一、选择题1.下列各组图形可能不相似的是( )A.两个等边三角形B.各有一个角是45°的两个等腰三角形C.各有一个角是105°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形2.如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA ∶OC ＝ OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( )A.①和②相似B.①和③相似C.①和④相似D.③和④相似3.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm ，60cm ，80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么，符合条件的三角形框架乙共有( )A.1种B.2种C.3种D.4种4.如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于点F ，则图中共有相似三角形( )A.1对B.2对C.3对D.4对5.如图，点F 是▱ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是( ).A.ED DF EA AB =B.DE EF BC FB =C.BC BF DE BE =D.BF BE ＝BC AE6.如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则图中相似三角形共有（）A．3对 B．5对 C．6对 D．8对7.如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是 ( )8.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A． = B． C． D．9.已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形( )A．一定不相似 B．不一定相似 C．一定相似 D．不能确定10.P是△ABC一边上的一点(P不与A，B，C重合)，过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有( )A.1条B.2条C.3条D.4条二、填空题11.如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件______________，使△ABC∽△ACD(只填一个即可).12.如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件 (只填一个条件)，使△ADE与原△ABC相似．13.如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是 (写出一个即可)14.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AD、CD边上的点,连接BE、AF,他们相交于G,延长BE交CD的延长线于点H,则图中的相似三角形共有对．15.下图中的每个点(包括△ABC的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P、Q、G、H中找一个点，使它与点D、E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是.(写出满足条件的所有的点)16.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t＝秒时，△CPQ与△ABC相似.三、解答题17.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°.求证：△ADC∽△DEB.18.如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．(1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；(2)求∠BAC的度数．19.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．20.如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C.求证：(1) ∠EAF＝∠B；(2) AF2＝FE·FB.21.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE.(1)求证：∠CBE＝36°；(2)求证：AE2＝AC·EC.22.如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？答案1.B.2.B.3.C.4.C5.C6.C；7.D8.A9.C10.C11.答案为：∠B＝∠ACD或∠ADC＝∠ACB或AC2＝AD·AB.12.答案为：∠B＝∠AED.13.答案为：EF∥BC(写出一个即可).14.答案为：4．15.答案为：Q.16.答案为：4.8或.17.证明：∵△ABC是等边三角形∴∠B＝∠C＝60°∴∠ADB＝∠CAD＋∠C＝∠CAD＋60°∵∠ADE＝60°∴∠ADB＝∠BDE＋60°∴∠CAD＝∠BDE∴△ADC∽△DEB.18.解：(1)△PBA与△ABC相似，理由如下：∵AB＝5，BC＝5，BP＝1∴∵∠PBA＝∠ABC∴△PBA∽△ABC；(2)∵△PBA∽△ABC∴∠BAC＝∠BPA∵∠BPA＝90°＋45°＝135°∴∠BAC＝135°．19.证明：∵∠BAC＝90°，点M是BC的中点∴AM＝CM∴∠C＝∠CAM∵DA⊥AM∴∠DAM＝90°∴∠DAB＝∠CAM∴∠DAB＝∠C∵∠D＝∠D∴△DBA∽△DAC．20.证明：(1)∵AB∥CD∴∠B＝∠C又∠C＝∠EAF∴∠EAF＝∠B(2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE＝∠BFA∴△AFE∽△BFA则AFBF＝FEFA∴AF2＝FE·FB21.证明：(1)∵DE是线段AB的垂直平分线∴EA＝EB.∴∠EBA＝∠A＝36°.又AB＝AC，∠A＝36°∴∠ABC＝∠C＝72°∴∠CBE＝∠ABC﹣∠EBA＝36°.(2)由(1)，得在△BCE中，∠C＝72°，∠CBE＝36°∴∠BEC＝∠C＝72°.∴BC＝BE＝AE.在△ABC与△BEC中，∠CBE＝∠A，∠C＝∠C ∴△ABC∽△BEC∴AC BCBC EC，即BC2＝AC·EC.故AE2＝AC·EC.22.解：设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t(cm)当△APQ∽△ABC时，即，解得：t＝；当△APQ∽△ACB时，，即解得：t＝4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s.。

青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题3(附答案详解)

青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题3(附答案详解)

青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题3（附答案详解）1．如图，在ABC ∆中，76,4,6A AB AC ∠=︒==，将ABC ∆沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，已知ABC ∆的六个元素，其中a 、b 、c 表示三角形三边的长，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中与ABC ∆不一定相似的图形是（ ）3．已知：在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC 不相似的是( )A ．B ．C ．D ．4．下列命题中，正确的是（ ）A ．有一个角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似B ．ABC ∆的三边长为3、4、5，A B C '''∆的三边长为3a +、4a 、5a +，则ABC A B C '''∆∆∽C ．若两个三角形相似，且有一对应边相等，则它们的相似比为1D ．都有一内角为80︒的两个等腰三角形相似5．如图，下列四个三角形中，与ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，四边形ABGH ，四边形BCFG ，四边形CDEF都是正方形．则图中与HBC 相似的三角形为（ ）A ．HCDB ．HBD △C ．HABD ．HED △7．如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 边的中点，P 是BC 边上的一动点，下列条件中，，△ABP 不与△ECP 相似的是（ ）A ．BP PC =B ．90APE ∠=C ．APB EPC ∠=∠D ．2BP PC =9．如图，已知12∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判定A ABC DE ∽△△的是（ ）．A ．AB AC AD AE = B ．AB BC AD DE = C ．B D ∠=∠ D ．C AED ∠=∠ 10．如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，∠A= ∠D ，要使△ABC ∽△DEF ，还需添加一个条件，则添加的条件可以是_________________.11．如图，DAB EAC ∠=∠，请补充—个条件：___________，使ADEABC ∆∆（只写一个答案即可）．12．如图，请补充一个条件_________：，使△ACB ∽△ADE ．13．如图，正方形ABCD 的边长为2，连接BD ，点P 是线段AD 延长线上的一个动点，45PBQ ∠=︒，点Q 是BQ 与线段CD 延长线的交点，当BD 平分PBQ ∠时，PD ______QD （填“>”“<”或“=”）：当BD 不平分PBQ ∠时，PD QD ⋅=__________.14．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC =____________度15．在ABC 和A B C '''中，若B B '∠=∠，6AB =，8BC =，4B C ''=，则当A B ''=________时，ABC A B C '''.16．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，点F 在CD 上，要使ABE ∆与CEF ∆相似，需添加的一个条件是_______(填一个即可)．17．等腰ABC ∆被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰ABC ∆的顶角的度数是____．18．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B +∠DAC ＝90°；（2）∠B ＝∠DAC ；（3）CD AC AD AB=；（4）AB 2＝BD •BC ．其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的有（填序号）_____．⊥19．已知，如图，AB是O的直径，C是O上一点，连接AC，过点C作直线CD AB <），点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线CE交O于点F.于D（AD DB连接AF与直线CD交于点G.（1）求证：2=⋅AC AG AF（2）若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由。

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习课堂基础过关练习题1(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习课堂基础过关练习题1(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习课堂基础过关练习题1（附答案详解）1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则cos∠DMN为（）A．45B．55C．35D．1052．如图，▱ABCD的面积为20，点E，F，G为对角线AC的四等分点，连接BE并延长交AD于H，连接HF并延长交BC于点M，则BHM的面积为()A．10B．203C．4D．53．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O，过点O作EF∥AD,则图中相似三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对4．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连线DE，下列结论：①12DEBC=；②12ADEABCSS=；③AD OEAB OD=；④14ODEDECSS=其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC 平分∠DAB ，且∠DAC ＝∠DBC ，那么下列结论不一定正确的是（ ）A ．△AOD ∽△BOCB ．△AOB ∽△DOC C ．CD ＝BC D ．BC •CD ＝AC •OA6．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB 上的点P 使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似，则这样的P 点共有几个（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动（任何一个点到达即停止），过点P 作PM ∥CD 交BC 于M 点，PN ∥BC 交CD 于N 点，连接MN ，在运动过程中，则下列结论：①△ABE ≌△BCF ；②AE=BF ；③AE ⊥BF ；④CF 2=PE•BF ；⑤线段MN 的最小值为512-．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．如图，在▱ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长AD 于点F ，已知S △AEF =4，则下列结论中不正确的是（ ）1AF9．如图，已知点A在反比例函数y=kx（x＜0）上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为（）A．8 B．12 C．16 D．2010．如图，小正方形的边长均为1，则下面4个阴影部分三角形中，能与△EFG相似的是（）A．B．C．D．11．如图，点D是△ABC边AB上的一点，AD＝2BD＝2，当AC＝________时，△ACD∽△ABC．12．如图，□ABCD中，E为AD的中点．已知△DE F的面积为1，则□ABCD的面积为_____．13．如图，D、E分别在ABC的AB、AC边上，且DE与BC不平行，要使ABC 与AED相似，需要添加一个条件________．14．如图，DE是△ABC的中位线，若△ADE的面积为3，则△ABC的面积为________．15．△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE 与原三角形相似，那么AE ＝______16．为了测量旗杆的高度，我们取一竹竿放在阳光下，已知1米长的竹竿影长为2米，同一时刻旗杆的影长为20米，则旗杆高________米．17．如图，△ABC 经过平移到△DEF 位置，它们的重叠部分的面积是△ABC 的一半，若BC=2，则BE= ．18．如图，DE 与BC 不平行，当AB AC=________时，ABC 与ADE 相似．19．如图，C 、D 是PAB 的边AB 上的两点，以CD 为边作平行四边形CDEF ，EF 经过点P ，且APB ADE ∠=∠．试写出四对相似三角形________．20．如图，AD 是△ABC 的高，EF∥BC 分别交AB 、AD 、AC 于点E 、G 、F ，连结DF ，若S △AEG =13S 四边形EBDG ，则DF AC=_____．21．如图，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ．（1）求证：D 为BC 的中点；（2）过点O 作OF ⊥AC ，于F ，若AF=74，BC=2，求⊙O 的直径．22．如图，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2.（1）△ADB和△ABE相似吗？（2）小明说：“AB2=AD·AE”，你同意吗？23．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．24．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，OC平分∠ACD，过点C 作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与直线CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=2，∠F=30°时，求BD的长．25．如图，直线EF分别交△ABC的边AC，AB于点E，F，交边BC的延长线于点D，且AB·BF＝BC·BD．求证：AE·EC＝EF·ED．26．如图，ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，矩形PQED 的边PQ 在线段BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，设BP 为x（1）写出矩形PQED 面积y 与x 的函数关系式；（2）连PE ，当PE ∥BA 时，求矩形PQED 面积.27．综合与实践问题背景折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定理．其中，芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下（如图1）：操作1：將正方形ABCD 对折，使点A 与点D 重合，点B 与点C 重合．再将正方形ABCD 展开，得到折痕EF ；操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C 与点E 重合，边BC 翻折至B'E 的位置，得到折痕MN ，B'E 与AB 交于点P ．则P 即为AB 的三等分点，即AP ：PB=2：1．解决问题（1）在图1中，若EF 与MN 交于点Q ，连接CQ ．求证：四边形EQCM 是菱形；（2）请在图1中证明AP ：PB=2：l ．发现感悟若E为正方形纸片ABCD的边AD上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题：（3）如图2．若DEAE=2．则APBP= ；（4）如图3，若DEAE=3，则APBP= ；（5）根据问题（2），（3），（4）给你的启示，你能发现一个更加一般化的结论吗？请把你的结论写出来，不要求证明．参考答案1．A【解析】解：连结AD，如图，∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴BC=2268+=10，∵点D为边BC的中点，∴DA=DC=5，∴∠1=∠C，∵∠MDN=90°，∠A=90°，∴点A、D在以MN为直径的圆上，∴∠1=∠DMN，∴∠C=∠DMN，在Rt△ABC中，cos C=84105ACBC==，∴cos∠DMN=45．故选A．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．2．B【解析】【分析】首先连接CH，由四边形ABCD是平行四边形，可证得△AEH∽△CEB，△AFH∽△CFM，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得BM：BC=2：3，继而求得答案．【详解】连接CH，四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴△AEH∽△CEB，△AFH∽△CFM，点E，F，G为对角线AC的四等分点，∴AE：EC=1：3，AF：FC=1：1，∴AH：BC=AE：EC=1：3，AH：CM=AF：FC=1：1，∴CM=AH，∴CM：BC=1：3，∴BM ：BC=2：3，∵▱ABCD 的面积为20， 11201022BCH ABCD SS ∴==⨯=， 22033BHM BCH S S ∴==． 故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3．C【解析】∵AD ∥BC ，EF ∥AD ，点O 在EF 上，∴AD ∥BC ∥OE ，AD ∥BC ∥OF ，∴△AOD ∽△COB ，△AOE ∽△ACB ，△DOF ∽△DBC ，△BEO ∽△BAD ，△COF ∽△C AD.即图中共有5对相似三角形.故选C.4．A【解析】【分析】①DE 是△ABC 的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定． 【详解】①∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE=12BC ，即12DE BC =，故①正确； ②∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴ADEABC S S =221124DE BC ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②错误；③∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC ，∴AD DE AB BC=， △DOE ∽△COB ，∴OE DE OB BC =， ∴AD OE AB OB=，故③错误； ④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O ，∴点O 是△ABC 的重心，根据重心性质，CO=2OD ，则CD=3OD ， ∴13ODE CDE S S =，故④错误， 综上，只有一个正确的，故选A.5．D【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．【详解】解：∵∠DAC=∠DBC ，∠AOD=∠BOC ，∴AOD ∆∽BOC ∆ ，故A 不符合题意； ∵AOD ∆∽BOC ∆ ，∴AO ：OD=OB ：OC ，∵∠AOB=∠DOC ，∴AOB ∆∽DOC ∆，故B 不符合题意；∵AOB ∆∽DOC ∆，∴∠CDB=∠CAB，∵∠CAD=∠CAB，∠DAC =∠DBC，∴∠CDB=∠DBC，∴CD=BC；没有条件可以证明BC CD AC OA ⋅=⋅，故选D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定方法①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.6．C【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质，当若点A，P，D分别与点B，C，P对应，与若点A，P，D 分别与点B，P，C对应，分别分析得出AP的长度即可．【详解】若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴AD AP BP BC=，∴273APAP=-，∴AP2−7AP＋6＝0，∴AP＝1或AP＝6，当AP＝1时，由BC＝3，AD＝2，BP＝6，∴AP AD BC BP=，又∵∠A＝∠B＝90°，∴△APD∽△BCP．当AP＝6时，由BC＝3，AD＝2，BP＝1，又∵∠A＝∠B＝90°，∴△APD∽△BCP．若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴AP AD BP BC=，∴2 73 APAP=-，∴AP＝145．检验：当AP＝145时，∵BP＝215，AD＝2，BC＝3，∴AP AD BP BC=，又∵∠A＝∠B＝90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AP的长为1、145、6，故选：C．【点睛】本此题考查了相似三角形的判定和性质，根据P 点不同位置进行分析，解题时要注意一题多解的情况，要注意别漏解是解题关键.7．D【解析】试题分析：如图，∵动点F ，E 的速度相同，∴DF ＝CE ，又∵CD ＝BC ，∴CF ＝BE ，在△ABE 和△BCF 中，190AB BC ABE BCF BE CF ==⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），故①正确；∴∠BAE ＝∠CBF ，AE ＝BF ，故②正确；∵∠BAE ＋∠BEA ＝90°， ∴∠CBF ＋∠BEA ＝90°， ∴∠APB ＝90°，故③正确；在△BPE 和△BCF 中，∵∠BPE ＝∠BCF ，∠PBE ＝∠CBF ，∴△BPE ∽△BCF ， ∴PE BE CF BF=， ∴CF •BE ＝PE •BF ，∵CF ＝BE ，∴CF 2＝PE •BF ，故④正确；∵点P 在运动中保持∠APB ＝90°， ∴点P 的路径是一段以AB 为直径的弧，设AB 的中点为G ，连接CG 交弧于点P ，此时CP 的长度最小，在Rt △BCG 中，CG，∵PG＝1 2AB＝12，∴CP＝CG﹣PG＝5﹣12＝512-，即线段CP的最小值为512-，故⑤正确；综上可知正确的有5个，故选D．点睛：本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质等知识点．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，证明△ABE≌△BCF是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．8．D【解析】分析：根据平行四边形的性质得到AE=13CE，根据相似三角形的性质得到AFBC=AECE=13，等量代换得到AF=13AD，于是得到AFFD=12；故A选项正确；根据相似三角形的性质得到S△BCE=36；故B选项正确；根据三角形的面积公式得到S△ABE=12，故C选项正确；由于△AEF 与△ADC只有一个角相等，于是得到△AEF与△ACD不一定相似，故D选项错误．详解：∵在▱ABCD中，AO=12AC．∵点E是OA的中点，∴AE=13CE．∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴AFBC=AECE=13．∵AD=BC，∴AF=13AD，∴AFFD=12．故选项A正确，不合题意．∵S△AEF=4，AEFBCESS=（AFBC）2=19，∴S△BCE=36．故选项B 正确，不合题意．∵EF BE =AE CE =13AEF ABE S S ∴，=13，∴S △ABE =12． 故选项C 正确，不合题意．∵BF 不平行于CD ，∴△AEF 与△ADC 只有一个角相等，∴△AEF 与△ACD 不一定相似．故选项D 错误，符合题意．故选D ．点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．9．C【解析】试题解析：∵BCE 的面积为8，182BC OE ∴⋅=， 16BC OE ，∴⋅= ∵点D 为斜边AC 的中点，BD DC ∴=，DBC DCB EBO ∴∠=∠=∠，又EOB ABC ∠=∠，EOB ABC ∽，∴ .BC AB OB OE∴= AB OB BC OE ∴⋅=⋅∴16k AB BO BC OE =⋅=⋅=，故选C ．10．B【解析】由勾股定理可得，△EFG=1A.三角形的三边的比为：B.三角形的三边的比为：C.:3；D.三角形的三边的比为： B.11【解析】【分析】根据：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 若△ACD∽△ABC.则AD AC AC AB =;由AD ＝2BD ＝2，得AB=AD+BD=3.【详解】 若△ACD∽△ABC.则AD AC AC AB=, 因为，AD ＝2BD ＝2，所以，AB=AD+BD=3, 所以，23AC AC =，所以，.【点睛】本题考核知识点：相似三角形的判定. 解题关键点：熟记相似三角形的判定.12．12【解析】试题解析：ABCD 中，E 为AD 的中点，1//,,,2AD BC DE BC DEF BCF ∴=∽相似比为1:2， 设△DEF 的高为h ，则△BCF 的高为2h ， ∵△DEF 的面积为1,即11,2DE h ⋅=即111,22AD h ⨯⋅= 4h AD =， 12312.ABCDS AD h AD AD =⋅=⋅= 故答案为：12.13．ABC AED ∠=∠【分析】根据相似三角形对应角相等，可得∠ABC=∠AED ，故添加条件∠ABC=∠AED 即可求得△ABC ∽△AED ，即可解题．【详解】解：∵∠ABC=∠AED ，∠A=∠A ，∴△ABC ∽△AED （AA ），故添加条件∠ABC=∠AED 即可求得△ABC ∽△AED ．故答案为：∠ABC=∠AED ．【点睛】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，相似三角形的证明，添加条件∠ABC=∠AED 并求证△ABC ∽△AED 是解题的关键．14．12；【解析】分析：根据三角形的中位线得出DE=12BC ，DE ∥BC ，根据相似三角形的判定得出△ADE ∽△ABC ，得出比例式，即可得出答案．详解：∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE=12BC ，DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴214ADE ABC S DE S BC （）==， ∵△ADE 的面积为3cm 2，∴△ABC 的面积为4×3cm 2=12cm 2， 故答案为：12．点睛：本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的性质和判定的应用，能得出△ADE ∽△ABC 是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 15．83或32【分析】两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED．【详解】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE=32；第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE=83．故答案为：83或32．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．解题关键是边的对应关系．16．10【解析】【分析】由于光线是平行的，影长都在地面上，那么可得竹竿与影长构成的三角形与旗杆和影长构成的三角形相似，利用对应边成比例可得旗杆的高度．【详解】∵光线是平行的，影长都在地面上，∴光线和影长组成的角相等；旗杆和竹竿与影长构成的角均为直角，∴竹竿与影长构成的三角形与旗杆和影长构成的三角形相似，设旗杆的高度为x,1220x ，解得x=10.故答案为：10.【点睛】考查相似三角形的应用，同一时刻，物高与影长的比相等.17-1.由题意可知：OE ∥AB ，∴△OEC ∽△ABC ， ∴21()2OEC ABC S EC S BC ==，即212=，解得：EC=1. ∴1-.18．AE AD【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法进行判定即可.【详解】 根据题意得：∠A =∠A∴当AD AE AB AC=时，△ABC 与△ADE 相似； ∵DE 与BC 不平行，∴当AE AD AB AC=时，△ABC 与△ADE 相似； 即.AB AE AC AD= 故答案为.AE AD 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．19．PMF AMC ∽；AMC ABP ∽；PMF ABP ∽；BDN PEN ∽【解析】【分析】根据平行四边形得到对边平行,找相等的角度即可,见详解.【详解】解:∵四边形CDEF 是平行四边形,∴EF ∥AB,CF ∥ED∴∠F=∠MCA.∠FPM=∠A∴△PMF~△AMC∵∠A=∠A,∠ACM=∠ADE=∠APB∴△AMC~△ABP∵∠F=∠ACM=∠APB,∠FPM=∠A∴△PMF~△ABP∵EF ∥AB∴∠E=∠NDB,∠EPN=∠B∴△BDN~△PEN,综上答案为PMF AMC ∽；AMC ABP ∽；PMF ABP ∽；BDN PEN ∽【点睛】本题考查了相似三角形的判定,属于简单题,找到相等的角,熟悉判定方法是解题关键. 20．12【解析】根据题意，可由S △AEG =13S 四边形EBDG ，根据三角形相似的性质可得S △AEG =14S △ABD ，进而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得AE ：AB=1:2，同理可得AF ：AC=1:2，AG ：AD=1:2，因此可知AF=CF ，然后根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可知DF=12AC. 故答案为：12. 21．（1）证明见解析；（2）⊙O 的直径为4．【解析】试题分析：（1）连接AD ，根据直径所对的圆周角是直角，以及三线合一定理即可证得； （2）先根据垂径定理，求得AE=2AF=72；再运用圆周角定理的推论得∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，从而可证得∴△BEC ∽△ADC ，即CD ：CE=AC ：BC ，根据此关系列方程求解即可得⊙O 的直径．试题解析：（1）连接AD∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴点D是BC的中点；（2）∵OF⊥AC于F，AF=74，∴AE=2AF=72，连接BE，∵AB为直径D、E在圆上，∴∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，∴在△BEC、△ADC中，∠BEC=∠ADC，∠C=∠C，∴△BEC∽△ADC，即CD：CE=AC：BC，∵D为BC中点，∴CD=12 BC，又∵AC=AB，∴12BC2=CE•AB，设AB=x，可得x（x﹣72）=2，解得x1=﹣12（舍去），x2=4，∴⊙O的直径为4.22．⑴△ADB和△ABE相似；⑵同意，可由△ADB和△ABE相似得到.【解析】试题分析：（1）先由等边对等角得出∠ABC=∠C，再根据三角形外角的性质及已知条件∠1=∠2证明出∠ABD=∠E ，又∠A 公共，从而根据两角对应相等的两三角形相似证明出△ADB 和△ABE 相似；（2）先根据相似三角形对应边成比例得出AB ：AE=AD ：AB ，再化为乘积式即可得出AB 2=AD•AE ．试题解析：（1）△ADB 和△ABE 相似．理由如下：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ，又∵∠ABC=∠ABD+∠1，∠C=∠E+∠2，∠1=∠2．∴∠ABD=∠E ．∵在△ADB 和△ABE 中，A A ABD E∠∠⎧⎨∠∠⎩＝＝， ∴△ADB ∽△ABE ；（2）我同意小明的说法．理由如下：∵△ADB ∽△ABE ，∴AB ：AE=AD ：AB ，∴AB 2=AD•AE ．23．(1)见解析．(2)位似比为1：2．(3)见解析【解析】【分析】（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O ．（2）根据△ABC 与△A′B′C′的位似比等于AB 与A′B′的比，即可求解.（3）要画△A 1B 1C 1，先确定点A 1的位置，因为△A 1B 1C 1与△ABC 的位似比等于1.5，因此OA 1=1.5OA ，所以OA 1=9．再过点A 1画A 1B 1∥AB 交O B′于B 1，过点A 1画A 1C 1∥AC 交O C′于C 1．【详解】（1）如图，O 点即为所求，（2）△ABC 与△A′B′C′的位似比等于AB 与A′B′的比，也等于AB 与A′B′在水平线上的投影比，即3：6=1：2．（3）如图，△A1B1C1为所求.24．（1）见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；（2）连结AD．根据相似三角形的判定和性质解答即可．【详解】（1）∵OC平分∠ACD，∴∠ACO=∠OCD，∵∠A=∠D=∠ACO，∴∠D=∠OCD，∴OC∥DE，∵DE⊥CF，∴OC⊥CF，∴CF为⊙O的切线；（2）连接AD，∵BE∥OC，∴△FEB∽△FCO，∴1r =22+r，解得：r=2，∴AB=4，∵∠ABD=60°，∴BD=2．【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25．证明见解析【解析】【分析】由＝，∠B＝∠B，证得△ABC∽△DBF，得∠A＝∠D.又∠AEF＝∠DEC，再证△AEF∽△DEC，可得＝，即AE·EC＝EF·ED.【详解】证明：∵AB·BF＝BC·BD，∴＝，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBF，∴∠A＝∠D.又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴＝，即AE·EC＝EF·ED【点睛】本题考核知识点：相似三角形的判定和性质. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质. 26．（1）288(03)3y x x x =-+<<；（2）163. 【解析】【分析】（1）由条件可证明△BPD ≌△CQE ，可得BP ＝CQ ＝x ，则PQ ＝DE ＝6−2x ，过A 作AF 垂直BC ，交BC 于点F ，则可求得AF ＝4，BF ＝3，利用平行可得PD BP AF BF=，可用x 表示出PD ，则可表示出y 和x 的关系式；（2）当DE ∥AB 时，可得DE ＝BP ＝PQ ，即x ＝6−2x ，求得x ＝2，代入上式可求得矩形PQED 的面积．【详解】（1）∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，且DP ＝QE ，∠BPD ＝∠EQC ＝90°， 在△BPD 和△CQE 中， B C BPD EQC DP QE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BPD ≌△CQE （AAS ），∴BP ＝CQ ＝x ，∴PQ ＝BC−BP−CQ ＝6−2x ，如图，过A 作AF ⊥BC ，交BC 于点F ，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴BF ＝3，可求得AF ＝4，又∵PD∥AF，∴PD BPAF BF=，即43PD x=，∴PD＝43 x，∴y＝PD•PQ＝43x•（6−2x）＝−83x2＋8x；（2）当PE∥AB时，且DE∥BP，∴四边形BDEP为平行四边形，∴DE＝BP＝x，又∵DE＝PQ＝6−2x，∴x＝6−2x，解得x＝2，∴y＝−83×22＋8×2＝163，即矩形PQED的面积为163．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和平行四边形的性质．在（1）中利用x表示出PD的长、在（2）中得到DE＝BP是解题的关键．27．(1)见解析；(2)见解析；(3)4;(4)6;(5)见解析.【解析】分析：（1）由折叠可得，CM=EM，∠CMQ=∠EMQ，四边形CDEF是矩形，由CM=EQ，CM∥QE，可证四边形EQCM是平行四边形，进而证明四边形EQCM是菱形；（2）设正方形ABCD的边长为1，CM=x，则EM=x，DM=1﹣x，在Rt△DEM中，由勾股定理可求得x的值，由△AEP∽△DME，列比例式求出AP的值，进而求出PB的值，从而结论可求；（3）设正方形ABCD的边长为1，CM=x，则EM=x，DM=1﹣x，在Rt△DEM中，由勾股定理可得x的值，由△AEP∽△DME，可得AP的值和BP的值，进而求得结论.（4）与（3）相同的方法求解即可；（5）与（3）相同的方法求解即可；详解：（1）由折叠可得，CM=EM，∠CMQ=∠EMQ，四边形CDEF是矩形，∴CD∥EF，∴∠CMQ=∠EQM，∴∠EQM=∠EMQ，∴ME=EQ，∴CM=EQ，又∵CM∥QE，∴四边形EQCM是平行四边形，又∵CM=EM，∴四边形EQCM是菱形；（2）如图1，设正方形ABCD的边长为1，CM=x，则EM=x，DM=1﹣x，在Rt△DEM中，由勾股定理可得：EM2=ED2+DM2，即x2=（）2+（1﹣x）2，解得x=，∴CM=，DM=，∵∠PEM=∠D=90°，∴∠AEP+∠DEM=90°，∠DEM+∠EMD=90°，∴∠AEP=∠DME，又∵∠A=∠D=90°，∴△AEP∽△DME，∴=，即，解得AP=，∴PB=，∴AP：PB=2：l．（3）如图2，设正方形ABCD的边长为1，CM=x，则EM=x，DM=1﹣x，在Rt△DEM中，由勾股定理可得：EM2=ED2+DM2，即x2=（）2+（1﹣x）2，解得x=，即CM=，∴DM=，由△AEP∽△DME，可得=，即，解得AP=，∴PB=，∴=4，故答案为：4；（4）如图3，同理可得AP=，PB=，∴=6，故答案为：6；（5）根据问题（2），（3），（4），可得当（n为正整数），则．理由：设正方形ABCD的边长为1，CM=x，则EM=x，DM=1﹣x，在Rt△DEM中，由勾股定理可得：EM2=ED2+DM2，即x2=（）2+（1﹣x）2，解得x=，∴DM=1﹣CM=，由△AEP∽△DME，可得=，即，解得AP=，∴PB=，∴．点睛：本题考查了折叠的性质，正方形的性质，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.。

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优练习题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优练习题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优练习题2（附答案详解） 1．ABC ∆和A B C '''∆符合下列条件，其中使ABC ∆与A B C '''∆不相似的是（ ） A ．45,26,109A A B B ∠=∠=︒∠='︒∠='︒B ．1, 1.5,2,12,8,16AB AC BC A B A C B C ''''''======C ．153, 1.5,,, 2.1142A B AB AC A B B C ∠=∠===''='''D ．,,,,,BC a AC b AB c B C a A C b A B c ''====''''== 2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 是AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合)，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，点D 从靠近点A 的某一点向点B 移动，矩形DECF 的周长变化情况是（ ）A ．逐渐减小B ．逐渐增大C ．先增大后减小D ．先减小后增大 3．如图，在△ABC 中，E ，F ，D 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，且满足13AE AF EB FC ==，则四边形AEDF 占△ABC 面积的（ ）A ．12B ．13C ．14D ．254．如图，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在________处（ ）A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 45．如图，在ABC 中，点D 、G 分别在BC 、AB 边上，AD 与CG 相交H ，如果DA DB =，GB GC =，AD 平分BAC ∠，那么下列三角形中不与ABC 相似的是( )A ．△ABDB ．△ACDC ．△AGHD ．△CDH6．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CD ＝4，BC ＝5，则AC 等于（ ）A ．3B ．4C ．163D ．2037．将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△COD 的面积之比为（ ）A ．1：3B ．1：3C ．1：2D ．1：28．如图，△ABC 中，∠A=92°，AB=9，AC=6，将△ABC 按下列四种图示中的虚线剪开，则剪下的三角形与原三角形相似的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，▱ABCD 中，点E 、F 分别在BC ，AD 上，且BE ：EC=2：1，EF ∥CD ，交对角线AC 于点G ，则A'BEG AGFS S ∆四边形=_____．10．如图，AF BC ⊥，CE AB ⊥，则图中相似的三角形有________对．11．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，12BC =，点E 为BC 的中点，将ABE △沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为__________．12．如图，已知∠1＝∠2，请添加一个条件___________________________(只需填写一个即可)，使得△ADE ∽△ACB .13．如图所示，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16 cm .点P 从点A 出发沿AB 向点B 以2 c m /s 的速度运动，点Q 从点B 出发沿BC 向点C 以4 c m /s 的速度运动．如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，则_____________秒钟后△PBQ 与△ABC 相似？14．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AC 与BD 相交于P ．已知A （4，6），B （2，2），D （8，6），则点P 的坐标为_____．15．如图，P 是ABC 中边AB 上一点，连接CP ，有如下条件：①ACP B ∠∠=，②APC ACB ∠∠=，③2AC AP AB =⋅，④AC AB CP BC=，其中能判定ACP ABC ∽的条件是________（填序号）．16．在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，连结DE ，要使ADE 与ABC 相似，应添加的条件是________．（只需写出一个条件即可）17．已知：Rt OAB △的直角坐标系中的位置如图所示．(3,4)P 为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt OAB △分割成两部分．问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与Rt OAB △相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC ，并求出相应的点C 的坐标）．18．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A B C D ，，，四点均在正方形网格的格点上，线段AB CD ，相交于点E ，（1）试在网格图中作两条线段，构成两个相似三角形模型；（2）求图中DEB ∠的正切值．19．如图，已知Rt ABC 中，C 90∠=，AB 10cm =，AC 8cm =．如果点P 由B 出发沿BA 方向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）(0t4)<≤．解答下列问题：()1当t为何值时PQ平行于BC；()2当t为何值时，APQ与ABC相似？()3是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的周长平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．()4是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．20．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AB=6，AC=42，求EC和PB的长．21．如图，点H在平行四边形ABCD的边DC延长线上，连结AH分别交BC、BD于点E、F，求证：BE AB AD DH=．22．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：DE⊥AB；（2）若tan ∠BDE =12, CF =3，求DF 的长．23．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为(24)x x <<.（1）当52x =时，求弦PA 、PB 的长度; （2）当x 为何值时，·PDCD 的值最大?最大值是多少?参考答案1．D【解析】【分析】依据选项提供条件，选择对应的方法进行判断即可.【详解】A 选项，△ABC 中的三个角分别为45°、26°、109°，△A’B’C’中的三个角也分别为45°、26°、109°，故两个三角形相似；B 选项，AB:BC= B’C’ :A’C’ =1:2，AB:AC=A’C’:A’B’=1:1.5，AC:BC= A’B’ :B’C’=1.5:2，故两三角形相似；C 选项，AB:AC=B’C’ : A’B’=1.4，∠A 和∠B’分别为其两边的夹角，且∠A=∠B’， 故两个三角形相似；D 选项，三边对应比例不相等，故两个三角形不相似；故选择D.【点睛】不能盲目选择判定两个三角形相似的方法，一定要根据题干给出的信息选择合理的判定方法.2．A【解析】试题解析：设DE=λ，DF=μ；∵DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∴四边形DECF 为矩形，∴CF=DE=λ，CE=DF=μ，∴矩形DECF 的周长η=2λ+2μ；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD BC AB λ=①；同理可证BD AC ABμ=②， 由①+②得：168λμ+=， ∴μ=8-43λ∴82163μλλ=+-=-23λ+16，∵-23＜0，∴μ随λ的增大而减小；∵点D从靠近点A的某一点向点B移动时，λ逐渐变大，∴矩形DECF的周长η逐渐减小．故选A．考点：相似三角形的判定与性质．3．C【解析】【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方则可得S△AEF：S△ABC=1：16，再根据同底等高的三角形的面积比等于底的比，据此即可得.【详解】连接EF，∵AE AF1EB FC3==，∴EF∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△AEF：S△ABC=1：16，∵△AEF和△CEF有同底EF，∴S△AEF：S△DEF=1：3，∴四边形AEDF占△ABC面积的14，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关内容是解题的关键. 4．C【解析】分析：根据相似三角形的判定：三对边分别对应成比例的两个三角形相似来进行判定．解答：解：若设每个小正方形的边长为1，则AC：AB：2：15要使PD：PB：：1，点P只能在P3处，故选C．5．A【解析】【分析】由DA=DB，GB=GC，利用等边对等角得到两对角相等，再根据AD为角平分线，得到一对角相等，等量代换可得∠BAD=∠B=∠GCB=∠CAD，由∠CAD=∠B，加上一对公共角相等可得△ACD∽△BCA；由∠AHG为三角形ACH的外角，利用外角性质得到∠AHG=∠ACH+∠DAC，由∠ACD=∠ACH+∠GCB，可得出∠AHG=∠ACD，再由∠BAD=∠B，可得△AHG∽△ACB；由对顶角相等可得∠CHD=∠AHG，再由∠AHG=∠ACD等量代换可得∠CHD与∠ACD相等，再加上∠B=∠GCB，可得出△CDH∽△BAC；而三角形ABD与三角形ABC不满足相似的条件，进而确定出正确的选项．【详解】∵DA=DB，GB=GC，∴∠BAD=∠B，∠B=∠GCB，又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BAD=∠B=∠GCB=∠CAD，∴∠CAD=∠B，又∠ACD=∠CBA（公共角），∴△ACD∽△BCA；∵∠AHG为△DHC的外角，∴∠AHG=∠ACH+∠DAC，又∠ACD=∠ACH+∠GCB，且∠DAC=∠GCB，∴∠AHG=∠ACD，又∠BAD=∠B，∴△AHG∽△ACB；∵∠CHD=∠AHG（对顶角相等），且∠AHG=∠ACD，∴∠CHD=∠ACD，又∠B=∠GCB，∴△CDH∽△BAC；而∠B=∠B，∠BAD不等于∠ACB，则△ABD不相似△ABC，则题中△ACD∽△BCA；△AHG∽△ACB；△CDH∽△BAC．故选A．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角性质，利用了转化及等量代换的数学思想，其中相似三角形的判定方法为：两对对应角相等的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似．6．D【解析】分析：由勾股定理求得BD，证得△BDC∽△CDA，根据相似三角形的性质即可求得结果．详解：∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=4，BC=5，由勾股定理得：=3，∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠B=90°-∠BCD=∠ACD，∠BDC=∠ADC，∴△BDC∽△CDA，∴BC BD AC CD＝，即534 AC＝，解得：AC=20 3故选D．点睛：本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7．B【解析】∵∠ABC=∠DCB=90 °，∴AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴2()AOB CODS AB SCD， 设AB=BC=x.∵∠ABC=∠DCB=90 °，AB=BC=x ，∠D=30 °， ∴在Rt △DBC 中，CD=BC·， ∴2()AB CD =13， ∴△AOB 与△DOC 的面积之比为1:3． 故选：B. 8．C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各图形进行逐一判定即可． 【详解】解：第一、二个图形中剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故与原三角形相似；第三、四个图形中剪下的三角形与原三角形的对应边不成比例，故与原三角形不相似． 故选C ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 9．12【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，BC ∥AD ，且AD =BC ．∵EF ∥CD ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴BE =AF ．∵BE EC =2，∴EC AF =12EC BC ，=13，设S △ECG =a ，由BC ∥AD 知△ECG ∽△F AG ，则ECG FAGSS=（EC FA）2，即FAG a S =14，则S △F AG =4a ．由EF ∥AB 知△ECG ∽△BCA ，则ECG BCASS=（EC BC）2，即BCA a S =19，则S △BCA =9a ，∴S 四边形ABEG =S △BCA ﹣S △ECG =8a ，则AGFABEGSS 四边形=48a a =12．故答案为：12．点睛：本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质及相似三角形的判定与性质． 10．5 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定，可判定共5对三角形相似. 【详解】解：如图，①∵AF ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴∠AED=∠CFD=90º, 又∵∠ADE=∠CDF ， ∴△AED ∽△CFD ； ②∵AF ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴∠AFB=∠CEB=90º， 又∵∠B=∠B ， ∴△AFB ∽△CEB ；③∵∠A=∠A ，∠AED=∠AFB=90º， ∴△AED ∽△AFB ；④∵∠C=∠C ，∠CFD=∠CEB ， ∴△CFD ∽△CEB ， ⑤△AED ∽△CEB ； 故答案是：5. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定. 11．7.2 【解析】∵E 为BC 的中点，12BC =， ∴6BE CE ==，在Rt ABE △中，10AE ==， 又∵翻折前后三角形全等，∴BE EF CE ==，BEA FEA ∠=∠， ∴△ECF 为等腰三角形，如下图，过E 点作EH FC ⊥，交CF 于点H ， 则FEH CEH ∠=∠，∴90AEB CEH AEF FEH ∠+∠=∠+∠=︒， 又∵90AEB BAE ∠+∠=︒， ∴CEH BAE ∠=∠， ∴Rt Rt ABE EHC ∽，∴CH CE BE AE =即6610CH =． ∴185CH =，又∵CEF △为等腰三角形， ∴27.2CF CH ==．12．∠C ＝∠D 或∠E ＝∠B 或＝ 【解析】 【分析】由∠1=∠2可得∠DAE=∠CAB ．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE ∽△ACB ． 【详解】 ∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE ，即∠DAE=∠CAB ， 当∠C=∠D 或∠E=∠B 或＝时，△ADE ∽△ACB ． 故答案为：∠C ＝∠D 或∠E ＝∠B 或＝ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，属基础题，比较简单．但需注意对应关系．13．0.8或2【解析】【分析】设经过x秒两三角形相似，分别表示出BP、BQ的长度，再分①BP与BC边是对应边，②BP 与AB边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．【详解】设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．则AP=2x cm，BQ=4x cm．∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=（8﹣2x）cm，分两种情况讨论：①BP与BC边是对应边，则=，即=，解得：x=0.8；②BP与AB边是对应边，则=，即=，解得：x=2．综上所述：经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．故答案为：0.8或2．【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边BP、BQ的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错．14．（6，143）【解析】分析：过A作AM⊥x轴与M，交BC于N，过P作PE⊥x轴与E，交BC于F，根据点的坐标求出各个线段的长，根据△APD∽△CPB和△CPF∽△CAN得出比例式，即可求出答案．详解：∵在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，A(4, 6)，B(2, 2)，D(8,6)，∴由对称性可知P的横坐标为6，过点P作PE⊥BC于点E, 过点D作DF⊥BC于点F,则△PBE∽△DBF，∴，又BE=6－2=4，DF=6－2=4，BF=8－2=6，∴446PE=，∴PE=83，∴点P的纵坐标为814233+=，∴点P的坐标为(6，143)．点睛：本题考查了坐标与图形性质，梯形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要是考查学生综合运用知识进行计算的能力．15．①②③【解析】【分析】由图可得△APC和△ACB已经有一个公共角∠A，再根据相似三角形的判定方法依次分析各小题即可判断.【详解】由图可知，∠A为△ACP和△ABC的公共角，①∠ACP=∠B，符合两角对应相等，两三角形相似，故①正确；②∠APC=∠ACB，符合两角对应相等，两三角形相似，故②正确；③由AC2=AP•AB可得AC ABAP AC=，符合两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，故③正确；④AC ABCP BC=，∠A与∠BCP不一定相等，不能判定两三角形相似，故④错误，所以能判定△ACP∽△ABC的条件是①②③，故答案为：①②③.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似.16．ADE B∠=∠（答案不唯一）【解析】【分析】由∠A是公共角，根据相似三角形的判定定理求解即可求得答案．【详解】∵∠A是公共角，∴当∠ADE=∠B或∠AED=∠B或DE∥BC或AD:AC=AE:AB等时，△ADE与△ABC相似.故答案为∠ADE=∠B(答案不唯一). 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定. 17．见解析． 【解析】试题分析：按照公共锐角进行分类,可以分为两种情况:当∠BOC 为公共锐角时,只存在∠PCO 为直角的情况;当∠B 为公共锐角时,存在∠PCB 和∠BPC 为直角两种情况.如图,()13,0C ,()2 6,4C ,37 6,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解：过P 作1PC OA ⊥，垂足为1C ，则1OC P OAB ∽，点1C 的坐标为()3,0，过P 作2PC AB ⊥，垂足为2C ，则2PC B OAB ∽，点2C 的坐标为()6,4，过P 作3PC OB ⊥，垂足为P （如图），则3C PB OAB ∽，易知10OB =，5BP =，8BA =，∴3254BC =，3257844AC =-=，∴376,4C ⎛⎫⎪⎝⎭． 符合要求的点C 有三个，其连线段分别为1PC ，2PC ，3PC （如图）．18．（1）连接AC DB ，；（2）tan 2DEB ∠=． 【解析】【分析】（1）观察可知连接AC 、BD 即可构成相似三角形模型；（2）根据网格特点证明ΔCAE ∽ΔDBM ，根据相似三角形的性质可求得AE 的长，从而即可求得tan ∠DEB 的值.【详解】（1）连接AC DB，，即可得到相似三角形模型；（2）由网格可得：EAC DBA90∠∠==︒，又∵AEC BED∠∠=，∴ΔCAE∽ΔDBM，∴CA EADB EB=，∵AC32BD2AB22===，，，32222AE=-，解得：32AE=∴CA32tan DEB tan CEA2AE322∠∠====．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数关系，解题的关键是根据网格特点连接AC、BD，注意转化思想与数形结合思想的应用．19．（1）当20s9时PQ//BC；()2当t 为209或259时APQ和ABC相似；()3不存在．理由见解析；()4存在，当1555t-=PQ恰好把ABC的面积平分．【解析】【分析】（1）可求得BC=6，且PB=AQ=2t，AP=10-2t，当PQ∥BC时，可得APAB=AQAC，代入可得到关于t的方程，可求得t；（2）分PQ⊥AC和PQ⊥AB，再利用相似得到对应线段的比相等，可得到关于t的方程，代入分别求得t即可；（3）周长相等，即AP+AQ=PB+BC+CQ ，代入可得到关于t 的方程，可求得t 的值； （4）过P 作PD ⊥AC 于点D ，则PD ∥BC ，则PD BC =APAB，可用t 表示出PD ，进一步可表示出其面积，令其为△ABC 面积的一半即可，可求出t 的值，注意结合t 的取值范围进行取舍． 【详解】解:∵C 90∠=，AB 10cm =，AC 8cm =， ∴BC 6cm =，∵P 、Q 的运动速度为2cm /s ， ∴PB AQ 2t ==，则AP 102t =-，()1当PQ //BC 时，则AP AQ ABAC=，即102t 2t 108-=，解得20t 9=，即当20s 9时PQ //BC ； ()2∵ABC 为直角三角形，∴当APQ 和ABC 相似时，必有一个角为直角，当AQP 90∠=时，则PQ //BC ，由()1可知20t 9=， 当APQ 90∠=时，则AP AQ AC AB =，即102t 2t 810-=，解得25t 9=， ∴当t 为209或259时APQ 和ABC 相似；()3不存在．理由如下：当线段PQ 恰好把ABC 的周长平分时，则有AP AQ PB BC CQ +=++， 即102t 2t 2t 682t -+=++-，整理得1014=，显然不成立， ∴不存在使PQ 把ABC 周长平分的t ； ()4存在．如图，过P 作PD AC ⊥于点D ，则PD //BC ，∴PD AP BC AB =，即PD 102t 610-=，解得302tPD 5-=， ∴2APQ11302t 30t 2t S AQ PD 2t 2255--=⋅=⨯⨯=， 且ABC11SAC BC 862422=⋅=⨯⨯=， 当线段PQ 恰好把ABC 的面积平分时，则有APQABC 1SS 2=，即230t 2t 125-=，整理可得2t 15t 300-+=，解得1555t 42+=>（舍去）或1555t 2-=， ∴当1555t -=PQ 恰好把ABC 的面积平分． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用时间和速度表示出线段的长度，结合条件得到关于t 的方程是解决这类问题的解题思路，即化动为静．在（2）中注意只有相似但没有对应需要分情况讨论． 20．（1）答案见解析；（2）EC=23，PB=67．【解析】分析：（1）首先连接OC ，由PE 是 O 的切线，AE 和过点C 的切线互相垂直，可证得OC ∥AE ，又由OA=OC ，易证得∠DAC=∠OAC ，即可得AC 平分∠BAD ；（2）由Rt △ABC ∽Rt △ACE 得出CE 的值，再由Rt △ABC ∽Rt △ACE ，得出PB 的值. 本题解析：（1）证明：连接OC ，∵PE 是⊙O 的切线，∴OC ⊥PE ，∵AE ⊥PE ，∴OC ∥AE ，∴∠DAC=∠OCA ，∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC ，∴∠DAC=∠OAC ，∴AC 平分∠BAD ； （2）∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB=90°在Rt △ABC 中，AB=6，AC=423，∴BC=()22226422AB AC -=-=，在Rt △ABC 和Rt △ACE 中，∵∠DAC=∠OAC ，∠AEC=∠ACB=90°，∴Rt △ABC ∽Rt △ACE ，∴AC ECAB BC=，∴，∴EC=423在Rt △ACE 中，AE=()222242164233AC EC ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，OC==3 又∵OC ∥AE ，∴Rt △ABC ∽Rt △ACE ，∴，∴331663PB PB +=+，解得：PB=67点睛：本题主要考查了的是相似三角形的性质和判定、切线的性质、圆周角定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键. 21．证明见解析. 【解析】试题分析：先根据平行四边形的性质得出AB ∥DC ，∠ABE =∠ADH ，故可得出∠BAE =∠H ，由此可得出△ABE ∽△HDA ，据此可得出结论． 试题解析：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∠ABE =∠ADH ，∴∠BAE =∠H ，∴△ABE ∽△HDA ，∴BE ABAD DH=． 22．（1）见解析；（2）6 【解析】试题分析：连接OD ，则有OD⊥EF，然后证明OD//AB 即可得；（2）连接AD ，则有∠ADB=90°，通过证明△FCD∽△FDA ，可得 FC ：FD=CD ：DA ，再根据tan ∠BDE =12 ，通过推导即可得． 试题解析：（1）连接OD ．∵EF 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥EF ．又∵OD =OC ，∴∠ODC =∠OCD ，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠OCD ，∴∠ABC =∠ODC ，∴AB ∥OD ，∴DE ⊥AB ；（2）连接AD ．∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°， ∴∠B +∠BDE =90°，∠B +∠1=90°， ∴∠BDE =∠1，∵AB =AC ，∴∠1=∠2，又∵∠BDE =∠3，∴∠2=∠3，∴△FCD ∽△FDA ，∴FC CD FD DA=， ∵tan ∠BDE =12,∴tan ∠2=12， ∴1=2CD DA ，∴1=2FC FD ， ∵CF =3，∴FD =6．23．（1）10PA =6PB =（2） 当3x =时，·PDCD 有最大值，最大值是2. 【解析】 【分析】（1）先证明△PCA 与△PAB 相似，根据相似三角形的性质可求出PA 的长，在直角三角形PAB 中，由AB 及PA 的长，利用勾股定理即可求出PB 的长；（2）过O 作OE 垂直于PD ，与PD 交于点E ，由垂径定理得到E 为PD 的中点， OACE 为矩形，根据矩形的对边相等，可得EC=OA=2，用PC-EC 的长表示出PE ，根据PD=2PE 表示出PD ，再由PC-PD 表示出CD ，代入所求的式子中得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x 的取值．【详解】（1）∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，∴AB⊥l，又∵PC⊥l，∴AB∥PC，∴∠CPA=∠PAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°，又PC⊥l，∴∠PCA=∠APB=90°，∴△PCA∽△APB，∴PC PAAP AB=，即PA2=PC•AB，∵PC54 2AB==，，∴=∴Rt△APB中，AB=4，，由勾股定理得：=；（2）过O作OE⊥PD，垂足为E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED，又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE=OA=2，又PC=x，∴PE=ED=PC-CE=x-2，∴PD=2（x-2），∴CD=PC-PD=x-2（x-2）=x-2x+4=4-x，∴PD•CD=2（x-2）•（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2，∵2＜x＜4，∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．。

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优练习题1(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优练习题1(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优练习题1（附答案详解）1．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=6，则CD的长为( )A．14 B．17 C．8 D．122．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（）A．B．C．D．3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l 2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，:1:2AD DB ，那么ADE ABCS:S的比值等于（）A．12B．14C．16D．195．下列各组图形中不一定相似的是( )A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形C ．各有一个角是105°的两个等腰三角形D ．两个等腰直角三角形6．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3．若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在ABC △中，60A ∠=︒，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，连接EF ，AEF 和ABC △的周长比为（ ）．A ．3:2B ．1:2C ．3:4D ．1:4 8．如图，已知在中，，，，点是的重心，则点到所在直线的距离等于（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，E 为CD 边的中点，，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q ．若PQ =AE ，则AP 等于__________cm ．10．如图，已知：△CAB∽△DEB，则BD·CA=________．11．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD ＝4，BC ＝8，BD ：DC ＝5：3，则DE 的长等于 ．12．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，EF 交AC 于点G ，则AGAC的值是__________．13．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AD=2，弦AE 平分BC 交BC 于P ，连接CE ，则CE 的长为_____．14．如图，直线123l l l ，等腰直角三角形ABC 的三个顶点A ，B ，C 分别在1l ，2l ，3l 上，90ACB ∠=︒，AC 交2l 于点D ，已知1l 与2l 的距离为1，2l 与3l 的距离为3，则ABBD的值为__________．15．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E为AB边的中点，∠DEC=∠A．有下列结论：①DE平分∠AEC；②CE平分∠DEB；③DE平分∠ADC；④EC平分∠BCD．其中正确的是_______________.（把所以正确结论的序号都填上）16．如图，DE是△ABC的中位线，DC、BE相交于点O，OE＝2．则BE的长为____．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在边BC上，且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点运动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为ts（0＜t＜4）．（1）连接DP，当t＞1时，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值，总有PQ与AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形？18．如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝78cm，BO＝42cm，CD＝159cm，求CO和DO．19．已知正方形的对角线，相交于点．（1）如图1，，分别是，上的点，与的延长线相交于点．若，求证：；（2）如图2，是上的点，过点作，交线段于点，连结交于点，交于点．若，①求证：；②当时，求的长．20．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？21．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点D、E、F. （1）求证：2AD AE AB=⋅；⋅=⋅.（2）联结EF，求证：AE BC EF AC22．如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，AD 与△ABC 的外接圆交于点D ，AC ，BD 相交于点P ，连接CD ． 求证：AB∶BD＝BP∶PC．23．已知，在△ABC 中，三条边的长分别为2，3，4，△A ′B ′C ′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC ∽△'''A B C ，求△A BC'''中的第三边长． 24．如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，CD ⊥AB ，垂足为P ，求证：PC 2＝P A ·PB参考答案1．A【解析】∵DE：EA=3：4，∴DE:AD=3：7.∵EF∥AB,∴EF:AB=DE:AD=3：7，∴AB=6×7÷3=14.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=14.故选A.2．D【解析】试题分析：∵点O是△ABC的重心，∴OC=CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∵∠B=30°，∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，∴CM=CE，∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，∵BE=AE，∴EF=AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE=60°，∴∠FEM=30°，∴MF=EF，∴MF=AE，∴==．故选D．考点：三角形的重心；相似三角形的判定与性质；综合题．3．D【解析】试题解析：∵AH=2，HB=1，∴AB=3，∵l1∥l2∥l3，∴DE AB3 EF BC5== .故选D．4．D 【解析】解：∵AD ：DB =1：2，∴AD ：AB =1：3，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴ADEABCS S：=1：9．故选D ． 5．A 【解析】 【分析】判定三角形相似的方法：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 【详解】解：A 、由已知我们可以得到这是两个正三角形，从而可以根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；B 、不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；C 、正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；D 、正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似． 故选B ． 【点睛】本题考查学生对常用的相似三角形的判定方法的掌握情况，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 6．B 【解析】试题分析：如图，连接BE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，在Rt △ADE 中，AE===，∵S △ABE =S 矩形ABCD =3=•AE•BF ，∴BF=．故选B ．考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质． 7．B 【解析】∵60BAC ∠=︒，AC BE ⊥，AB CF ⊥，∴30ACF ABE ∠=∠=︒，90BEC BFC ∠=∠=︒， ∴OBF OCE ∽，∴OF OBOE OC =， ∴1sin 302OF OE OB OC ==︒=， 又∵FOE BOC ∠=∠， ∴FOE BOC ∽，∴12EF BC =， 又∵12AF AE AC AB ==， ∴AEF ABC ∽，∴12AEF ABCC C=． 故选B ． 8．A 【解析】试题分析：如图，根据三角形的重心是三条中线的交点，根据等腰直角三角形可知CD=3，可连接CP 并延长交AB 于D ，则∠CDB=90°，连接BP 交AC 于点E ，并延长到F ，使EF=PE ，然后可知△AEF ≌△CEP ，可得∠FAD=90°，CP=AF=3-DP ，因此可根据两角对应相等的两三角形相似，可得△BPD ∽△BFD ，即，由此得到，解得PD=1.故选：A.考点：1、三角形的重心，2、等腰直角三角形，3、相似三角形的判定与性质9．1.5或2.5【解析】①过P作PN⊥BC，交BC于点N，如图所示：则∠PNQ=∠APN=90°，∵四边形ABCD为正方形，边长为4cm，E为CD边的中点，∴AD=DC=PN=4，∠D=90°，DE＝2∴AE=224225+=，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，{AE PQ AD PN==∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴∠DAE=∠N PQ，∵∠APQ+∠NPQ=90°，∴∠APQ+∠DAE=90°，∴∠AMP=90°，∵M为AE的中点，∴AM=12AE5，∵∠AMP=∠D=90°，∠PAM=∠EAD，∴△APM∽△AED，∴AP AMAE AD=5425=，∴AP=2.5；②根据对称性得：PD=2.5AP=AD-PD=4-2.5＝1.5；故答案是：1.5或2.5。

青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题2（附答案详解）1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，它们交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则与ABG 一定相似的三角形是（ ）A ．ABE △B ．HBC C ．EHD △ D ．HGF △ 2．如图，在ABC ∆中，76,4,6A AB AC ∠=︒==，将ABC ∆沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，下列条件中，能判定ACD ABC △∽△的是（ ）A ．BAC ABC ∠=∠B ．BAC ADC ∠=∠ C ．AD CD AC BC = D ．AC AD AB AC = 4．如图，AD 、BC 相交于点O ，由下列条件不能判定△AOB 与△DOC 相似的是（ ）A ．AB ∥CDB ．A D ∠=∠ OA OB OA AB5．下列命题是假命题的是（ ）A ．所有等边三角形一定相似B ．所有等腰直角三角形一定相似C ．有一个角为120︒的两个等腰三角形相似D ．有一条边对应成比例的两个等腰三角形相似6．如图，下列四个三角形中，与ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，已知直线a b c ∥∥，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 和B 、D 、F ，4AC =，6CE =，3BD =，DF =( )A ．7B ．7.5C ．8D ．4.58．如图，已知12∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判定A ABC DE ∽△△的是（ ）．A ．AB AC AD AE = B ．AB BC AD DE = C ．B D ∠=∠ D ．C AED ∠=∠ 9．如图，ABC ∆中，80C ∠=，4AC =，6BC =.将ABC ∆沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．④10．如图，在ABC ∆中，7646A AB AC ︒∠===，，，将ABC ∆沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，∠A= ∠D ，要使△ABC ∽△DEF ，还需添加一个条件，则添加的条件可以是_________________.12．如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，添加一个条件使得ADE ACB ∆∆∽，添加的一个条件是_________．13．如图，在四边形ABCD 中，DE BC ∥，交AB 于点E ，点F 在AB 上，请你再添加一个条件（不再标注或使用其他字母），使FCB ADE ∆∆∽，并给出证明.你添加的条件是：______.14．如图，请补充一个条件_________：，使△ACB ∽△ADE ．15．如图，已知ABCD 中，45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 、BF 相交于H ，BF 、AD 的延长线相交于G ，下面结论：①A BHE =∠∠；②BHE CDE ∆≅∆；③BHEGAB ∆∆；④BHD BDG ∆∆；其中正确的结论是______（只填写正确的序号）16．等腰ABC ∆被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰ABC ∆的顶角的度数是____．17．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上的点，请补充一个条件，使△ACP ∽△ABC ，这个条件可以是：___(写出一个即可)，18．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，12AD =，点E 在边AD 上，8AE =，点F 在边DC 上，则当EF =________时，ABE △与DEF 相似．19．下面是小东设计的“作已知三角形的相似三角形，且各对应边边长为已知三角形的一半”的尺规作图过程，已知：如图①，ABC ．求作：ADE ，使得A ABC DE ∽△△且:2:1AB AD =．作法：如图②，①分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于M 、N 两点，连接MN 交AB 于点D ；②分别以点A 、C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于P 、Q 两点，连接PQ 交AC 于点E ；③连接DE ；所以ADE 为所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明． 证明：2AB AD=，AC AE =________，BAC ∠=________， ∴A ABC DE ∽△△（______________）（填推理的依据）． 20．如图，AD ⊥BC 于点D ，点E 在边AB 上，CE 与AD 交于点G ，EF ⊥AD 于点F ，AE ＝5cm ，BE ＝10cm ，BD ＝9cm ，CD ＝5cm ，求AF 、FG 、GD 的长．21．如图，已知//,//,//AB DE AC DF BC EF .求证：~DEF ABC ．22．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，E 、F 为线段AB 上两动点，且45ECF ∠=︒，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．（1）求证：ACE BFC ∆∆∽；（2）试探究AF 、BE 、EF 之间有何数量关系？说明理由．23．如图，ABC 和EFD △的顶点都在正方形网格的格点上，则ABC 与EFD △相似吗？请说明理由．24．教材第97页在证明“两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似”（如图，已知(),DE DF AB DE A D AB AC=>∠=∠，求证：ABC DEF ∽△△）时，利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为前两节课已经解决的方法（即已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似）．利用上述方法完成这个定理的证明．25．如图，弦BC 经过圆心D ，AD ⊥BC ，AC 交⊙D 于E ，AD 交 ⊙D 于M ，BE 交AD 于N ．求证：△BND ∽△ABD ．26．（1）如图①，在△ABC 中，AB ＝m ，AC ＝n （n ＞m ），点P 在边AC 上．当AP ＝ 时，△APB ∽△ABC ；（2）如图②，已知△DEF （DE ＞DF ），请用直尺和圆规在直线DF 上求作一点Q ，使DE 是线段DF 和DQ 的比例项．（保留作图痕迹，不写作法）参考答案1．D【解析】【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，利用相似三角形的判定定理，即可得到与ABG ∆一定相似的三角形.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴ABG ∆与HGF △互为相似三角形，故选D.【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定，解题关键在于掌握相似三角形的判定定理. 2．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：A 、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B 、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C 、4213,42,63AB AC -=-==，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 3．D【解析】【分析】根据相似三角形的各个判定定理逐一分析即可．【详解】解：∵∠A=∠A若BAC ABC ∠=∠，不是对应角，不能判定ACD ABC △∽△，故A 选项不符合题意； 若BAC ADC ∠=∠，不是对应角，不能判定ACD ABC △∽△，故B 选项不符合题意； 若AD CD AC BC=，但∠A 不是两组对应边的夹角，不能判定ACD ABC △∽△，故C 选项不符合题意； 若AC AD AB AC=，根据有两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似可得ACD ABC △∽△，故D 选项符合题意．故选D ．【点睛】此题考查的是使两个三角形相似所添加的条件，掌握相似三角形的各个判定定理是解决此题的关键．4．D【解析】【分析】本题中已知∠AOB ＝∠DOC 是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．【详解】解：A 、由AB ∥CD 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意．B 、由∠AOB ＝∠DOC 、∠A ＝∠D 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意．C 、由OA OB OD OC=、∠AOB ＝∠DOC 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． D 、已知两组对应边的比相等：OA AB OD CD =，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB 与△DOC 相似，故本选项符合题意．故选：D【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 5．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可．【详解】解：A 、所有等边三角形一定相似，故A 选项为真命题；B 、所有等腰直角三角形一定相似，故B 选项为真命题；C 、有一个角为120︒的两个等腰三角形相似，故C 选项为真命题；D 、有一条边对应成比例的两个等腰三角形不一定相似，故D 选项为假命题，故选：D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．C【解析】【分析】△ABC 是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，结合各选项是否符合相似的条件即可．【详解】由题图可知，6AB AC ==，75B ∠=︒所以∠B=∠C=75°，所以30A ∠=︒．根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似知，与ABC 相似的是C 项中的三角形故选：C ．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，但综合性较强．7．D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可.【详解】∵a b c ∥∥∴AC BD CE DF= 即：43=6DF 4.5DF =故选：D【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容并能正确的列出比例式是关键. 8．B【解析】【分析】根据已知得到一组角相等，依据相似三角形的判定定理再添加一组角相等或是已知相等角的两条边对应成比例即可判定三角形相似.【详解】∵12∠=∠，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,即∠BAC=∠DAE 若AB AC AD AE=，则A ABC DE ∽△△，故A 正确； 若AB BC AD DE =不能证明A ABC DE ∽△△，故B 错误； 若B D ∠=∠，则A ABC DE ∽△△，故C 正确；若C AED ∠=∠，则A ABC DE ∽△△，故D 正确，故选：B.【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记判定定理并运用解题是关键.9．A【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各项进行逐项判断即可．【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，故两三角形相似；④剪下的三角形与原三角形对应边不成比例，故两三角形不相似；综上所述，①②③剪下的三角形与原三角形相似．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键．10．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形对应边成比例6424,4136-==-且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、两三角形中，有24,36=但夹角不一定相等，故不能判定两三角形相似，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．11．∠B=∠DEF（或∠ACB=∠F或AB∥DE或AC∥DF或AB AC=DE DF，任写一个即可）【解析】【分析】由相似三角形的判定定理结合已知条件添加一个条件即可，答案不唯一.【详解】已知一组对应角相等，可根据两组对应角相等判定三角形相似，可添加∠B=∠DEF或∠ACB=∠F；或者添加平行条件AB∥DE得∠B=∠DEF，添加AC∥DF得∠ACB=∠F；还可根据两组对边成比例且夹角相等判定三角形相似，添加AB AC =DE DF， 故答案为：∠B=∠DEF （或∠ACB=∠F 或AB ∥DE 或AC ∥DF 或AB AC =DE DF ，任写一个即可）.【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理，结合已知条件进行添加是解题的关键. 12．∠ADE=∠ACB【解析】【分析】根据三角形相似的判定定理，即可得到答案.【详解】∵∠A=∠A ，∠ADE=∠ACB ，∴ADE ACB ∆∆∽，故答案是：∠ADE=∠ACB【点睛】本题主要考查三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键，注意：此题的答案不唯一.13．添加EA ：ED=BA ：BC （答案不唯一），理由见解析【解析】【分析】欲证△ADE ∽△CFB ，通过DE ∥BC 发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠B=∠AED 此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可．【详解】解：添加EA ：ED=BA ：BC （答案不唯一）．∵DE ∥BC ，∴∠B=∠AED ．∵EA ：ED=BA ：BC ，∴△ADE ∽△CFB ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键.①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．14．∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或AD AE AC AB = 【解析】【分析】由∠A 是公共角，且DE 与BC 不平行，可得当∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或AD AE AC AB＝时，△ADE ∽△ACB ．【详解】①补充∠ADE=∠C ，理由是：∵∠A 是公共角，∠ADE=∠C ，∴△ADE ∽△ACB ．故答案为：∠ADE=∠C ．②补充∠AED=∠B ，理由是：∵A 是公共角，∠AED=∠B ，∴△ADE ∽△ACB ． ③补充AD AE AC AB=，理由是： ∵∠A 是公共角，AD AE AC AB =， ∴△ADE ∽△ACB ．故答案为：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或AD AE AC AB= 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握判定定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用．15．①②③【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得∠A=∠C ，由DE BC ⊥，BF CD ⊥可得∠C+∠EDC=90°，∠BHE+∠EDC=90°，从而①求解；②由AAS 定理证明三角形全等；③由AA 定理证明三角行相似；由∠BDE=45°，而∠G≠45°，可知④不正确.【详解】解：∵在ABCD中∠A=∠C，且∠BHE=∠DHF又∵DE BC⊥，BF CD⊥∴∠C+∠EDC=90°，∠DHF+∠EDC=90°∴∠BHE+∠EDC=90°∴A BHE=∠∠，故①正确；∵45DBC∠=︒，DE BC⊥∴BE=DE在△BHE和△CDE中90BHE DCEBEH DECBE DE∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴BHE CDE∆≅∆，故②正确；在ABCD中AG∥BC∴∠G=∠HBE又∵A BHE=∠∠∴BHE GAB∆∆，故③正确；∵45DBC∠=︒，而∠G=∠HBE∴∠G≠45°，故④错误故答案为：①②③【点睛】本题考查全等三角形的判定、相似三角形的判定、等腰直角三角形和平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点综合运用是本题的解题关键.16．36或90或108【解析】【分析】因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，且其中一个等腰三角形与原三角形相似与故应该分三种情况进行分析，从而求解．【详解】解：①如图1，∵AB=AC ，当BD=CD ，CD=AD ，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD ，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠B=45°，∴∠BAC=90°．此时易知∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC= 45°，故CBA ∆∽ABD ∆；②如图2，∵AB=AC ，AD=BD ，AC=CD ，∴∠B=∠C=∠BAD ，∠CAD=∠CDA ，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B ，∴∠BAC=3∠B ，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．此时易知∠BDA=∠BAC=108°，∠ABD=∠ABC= 36°， 故CBA ∆∽ABD ∆；③如图3，∵AB=AC ，AD=BD=BC ，∴∠B=∠C ，∠BAC=∠ABD ，∠BDC=∠C ，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC ，∴∠ABC=∠C=2∠BAC ，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．此时易知∠CBA=∠CDB=72°，∠BAC=∠DBC=36°，故有CBA ∆∽CDB ∆；故答案为：36或90或108．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，并应用相似三角形的判定进行检验，不要漏解，不能多解.17．∠ACP=∠B （或AP AC AC AB =）． 【解析】【分析】 由于△ACP 与△ABC 有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】解：∵∠PAC=∠CAB ，∴当∠ACP=∠B 时，△ACP ∽△ABC ；当AP AC AC AB=时，△ACP ∽△ABC ． 故答案为：∠ACP=∠B （或AP AC AC AB =）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似． 18．5或203 【解析】【分析】若要ABE △与DEF 相似,则需要对应直角边成比例,代入数值计算即可．【详解】由题意,知ABE △与DEF 都是直角三角形,所以当AB BE DE EF =或AE BE DE EF=时,ABE △与DEF 相似, 由6AB =,8AE =,12AD =,得10BE =,4DE =,∴6104EF =或8104EF=, ∴EF =5或203． 故答案为: 5或203． 【点睛】ABE △与DEF 相似和ABE DEF △△∽是有区别的,前者没有明确两个三角形的对应关系,后者已给出了对应关系,因此前者要分类讨论．19．（1）见解析；（2）2，DAE ∠，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似【解析】【分析】（1）按照作法作出图形即可；（2）根据已知条件计算，根据三角形的判定定理填空即可.【详解】（1）补全图形如图；（2）2AB AD=，AC AE =__2______，BAC ∠=___DAE ∠_____， ∴A ABC DE ∽△△（__两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）（填推理的依据）． 故答案为：2，DAE ∠，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．【点睛】本题考查的是尺规作图及三角形相似的判定，掌握几何作图语言及三角形相似的判定定理是关键.错因分析：中等题．失分原因：①不能正确运用尺规完成作图；②没有掌握相似三角形的判定定理．20．AF ＝4cm ，FG ＝3cm ，GD ＝5cm【解析】【分析】根据平行线得△AEF ∽△ABD ，得到AE AB ＝EF BD，代入已知数据求出EF ，根据平行线分线段成比例定理得到AF AD ＝AE AB ，EG DG ＝EF DC，计算得到答案． 【详解】 ∵AD ⊥BC ，EF ⊥AD ，∴EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABD ， ∴AE AB ＝EF BD， 又AE ＝5cm ，BE ＝10cm ，BD ＝9cm ，∴EF ＝3cm ，在Rt △ABD 中，AB ＝15，BD ＝9，由勾股定理得，AD ，∵EF ∥BC ， ∴AF AD ＝AE AB， ∴AF ＝4，DF ＝8，∵EF ∥BC ，∴EG DG ＝EF DC， ∴FG ＝3cm ，GD ＝5cm ．答：AF ＝4cm ，FG ＝3cm ，GD ＝5cm ．【点睛】本题考查的是相似三角形、平行线分线段成比例定理和勾股定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．21．证明见解析【解析】【分析】根据对应边平行可得对应边之比，从而证明~DEF ABC .【详解】 解：//,~,DE OE AB DE ODE OAB AB OB∴∴=． //,~,EF OE OF BC EF OEF OBC BC OB OC∴∴==． //,~,DF OF AC DF ODF OAC AC OC ∴∴=． ∴DE EF DF AB BC AC ==， ∴~DEF ABC .【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法：三边对应成比例是解题的关键. 22．（1）见解析；（2）222EF AF BE =+，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得出∠A=∠5=45°，再证得∠7=∠ACE ，即可得出△ACE ∽△BFC ；（2）将△ACF 顺时针旋转90°至△BCD ，由旋转的性质得出CF=CD ，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF ，证得∠DCE=∠2，由SAS 可证△ECF ≌△ECD ，得出EF=DE ，证得∠EBD=90°，由勾股定理即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC =，∴545A∠=∠=︒，∵71145A∠=∠+∠=∠+︒，12145ACE∠=∠+∠=∠+︒，∴7ACE∠=∠，∴ACE BFC∆∆∽；（2）222EF AF BE=+，理由如下：∵90ACB∠=︒，AC BC=，∴545A∠=∠=︒，将ACF∆顺时针旋转90︒至BCD∆，如图所示：则CF CD=，14∠=∠，645A∠=∠=︒，BD AF=，∵245∠=︒，∴133445∠+∠=∠+∠=︒，∴2DCE∠=∠，在ECF∆和ECD∆中，2CF CDDCECE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ECF ECD SAS∆∆≌，∴EF DE=，∵545∠=︒，∴90EBD∠=︒，∴222DE BD BE=+，即222EF AF BE=+．【点睛】本题是相似形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定、旋转的性质等知识；综合性较强，有一定的难度． 23．~ABC EFD .理由见解析【解析】【分析】利用勾股定理求出网格中三角形的边长，再证明两个三角形三边对应成比例即可得到结论.【详解】 解：相似，理由如下：设网格中小正方形的边长均为1． 根据勾股定理，得5,25,5,2,22,10AB AC BC EF DE DF ======， ∴52AB AC BC EF DE DF ===， ∴~ABC EFD .【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法：三边对应成比例是解题的关键. 24．见解析【解析】【分析】在AB 上截取AG=DE ，作GH ∥BC ，则可得△AGH ∽△ABC ，再由已知条件证明△AGH ≌△DEF 即可证明：△ABC ∽△DEF ．【详解】证明：在AB 上截取AG DE =，作//GH BC ．AGH ABC ∴△∽△．AG AH AB AC ∴=． ∵,DE DF AG DE AB AC==，∴AH DF =，∵A D ∠=∠，∴AGH DEF △≌△，∴ABC DEF ∆∆∽．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．25．见解析【解析】【分析】首先证明△ABD ≌△ACD ，由全等三角形的性质可知：∠ABD=∠ACD 因为BC 是直径，所以∠BEC=90°再证明∠BND=∠ACD 即可证明△ABD ∽△ACD ．【详解】∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵在△ADB 和△ADC 中，===90=AD AD ADB ADC DB DC ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ACD （SAS ），∴∠ABD=∠ACD ，∵BC 是直径，∴∠BEC=90°，∵∠BND=∠ANE=90°-∠DAC=∠ACD ， ∴△ABD ∽△ACD ．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、圆周角定理，相似三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理．26．（1）2m n；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定方法进行分析即可;（2）直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案．【详解】（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，则AB ACAC AP=,即m nn AP=,∴AP=2mn.（2）解：作∠DEQ＝∠F,如图点Q就是所求作的点【点睛】本题考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．。

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习能力达标测试题1(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习能力达标测试题1(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习能力达标测试题1（附答案详解）1．直线DE 与ABC ∆的AB 边相交于点D ，与AC 边相交于点E ，下列条件：①//DE BC ；②AED B ∠=∠；③AE AB AD AC ⋅=⋅；④AE EDAC BC=.能使ADE ∆与ABC ∆相似的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列说法中正确的是（ ） A ．两个等腰三角形相似 B ．有一个内角是30的两个直角三角形相似C ．有一个锐角是30°的两个等腰三角形相似D ．两个直角三角形相似3．如图，已知BC 交AD 于点E ，AB ∥EF ∥CD ，那么图中相似的三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对4．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC ∽△ADE 的是（ ）A ．∠D ＝∠B B ．∠E ＝∠C C ．AD AEAB AC= D ．AD DEAB BC=5．如图，已知12∠∠=，若再增加一个条件不一定能使结论ADE ABC ∽成立，则这个条件是（ ）A ．DB ∠∠= B ．AEDC ∠∠= C ．AD AEAB AC = D ．AD DEAB BC= 6．如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠∠=；②ADC ACB ∠∠=；③AC ABCD BC=；④2AC AD AB =⋅，其中单独能够判定ABC ACD ∽的个数为（ ）A．4B．3C．2D．17．如图，在△ABC中，点D在AB上一点，下列条件中，能使△ABC与△BDC相似的是( )A．∠B＝∠ACD B．∠ACB＝∠ADCC．AC2＝AD•AB D．BC2＝BD•AB8．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE，连接AE并延长交CD于F，连接DE，下列结论：①AE＝DE；②∠CEF＝45°；③AE＝EF；④△DEF∽△ABE，其中正确的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个与下列哪一个三角形相似（）9．如图，ABCA．B．C．D．10．已知：如图，在△ABC中，∠ABE=∠C，DE∥BC，图中相似三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对11．如图，在▱ABCD 的对角线BD 上取一点E ．使得BE ＝14BD ，延长AE 交BC 于G ，交DC 的延长线于F ，则S △CFG ：S △BEG 的值为_____．12．如图，在ABC 中，AB AC =，M 为AC 边上一点．要使ABC BCM ∽，还需要添加一个条件，这个条件可以是________．（只需填写一个你认为适当的条件即可）13．如图，已知等腰△ABC ，AD 是底边BC 上的高，AD ：DC=1：3，将△ADC 绕着点D 旋转，得△DEF ，点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合，设AC 与DF 相交于点O ，则AOF DOC S S ▲▲：=________．14．如图，D 、E 分别在ABC ∆的边上AC 、AB 上，请你添加一个条件___使得ADE ABC ∆∆∽．15．如图，在ABC △中，DE BC ∥，DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ，DC 、BE 交于点O ，则相似三角形有______．16．如图，若A A '∠=∠，B B '∠=∠，C C '∠=∠，且AB BC ACA B B C A C ''''''==，则_________.17．如图，点D 在ABC 的边AB 上，连接CD ，若要使ABC ACD ∽，那么还需要添加的一个条件是________（填上你认为正确的一个即可）．18．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，请你添加一个条件，使得△ABP ∽△ACB ，这个条件可以是________．19．如图，D 是△ABC 的边AB 上的点，请你添加一个条件，使△CBD 与△ABC 相似，你添加的条件是___________．20．在如图所示的5×5的方格中，我们把各顶点都在方格格点上的三角形称为格点三角形．如图1是内部只含有1个格点的格点三角形．设每个小正方形的边长为1，完成下列问题：（1）在图甲中画一个格点三角形，使它内部只含有2个格点，并写出它的面积． （2）在图乙中画一个面积最大的格点三角形，使它的内部只含有A ，B ，C 这3个格点（图乙中已标出），并写出它的面积．21．如图，已知平行四边形ABCD，AE与BC的延长线相交于点E，与CD相交于点F. 求证：△AFD∽△EA B．22．已知如图：DE∥BC，并分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE∽△ABC．23．由边长为1的小正方形组成的格点中,建立如图平面直角坐标系,△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1),B(−4,5),C(−5,2).(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；(3)请你判断△AA1A2与△CC1C2的相似比;若不相似,请直接写出△AA1A2的面积.24．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.25．在边长为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B、C的坐标分别为（2，1）（5，0）（1，0）．（1）求证：△OAC∽△OBA；（2）在平面直角坐标系内找一点D（不与点B重合，使△OAD与△OAB全等，请直接写出所有可能的点D的坐标．26．已知：如图，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠B ，求证：△ABE ∽△DCA ．27．已知ABC ∆，090ACB ∠=，4AC BC ==，D 是AB 的中点，P 是平面上的一点，且1DP =，连接,BP CP .（1）如图，当点P 在线段BD 上时，求CP 的长； （2）当BPC ∆是等腰三角形时，求CP 的长；（3）将点B 绕点P 顺时针旋转090得到点'B ，连接'AB ，求'AB 的最大值．参考答案1．C【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法，分别进行判定即可得出答案．【详解】解：①DE∥BC，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出△ADE∽△ABC，故此选项正确；②∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故此选项正确；③AE•AC＝AD•AB，可以变形为：AE ADAB AC=，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故此选项正确；④AE EDAC BC=，缺少夹角相等，故不能判定△ADE∽△ABC，故此选项错误；故正确的有3个．故选：C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．2．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】A、不正确，因为没有说明角或边相等的条件，故不一定相似；B、正确，因为其三对角均对应相等，符合相似三角形的判定条件，故一定相似．C、不正确，因为30°的角可以为底角也可以为顶角，故两三角形不一定相似；D、不正确，只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故不一定相似；故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.3．C【解析】【分析】分别根据EF∥AB、EF∥CD及AB∥CD分别求解可得．【详解】解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，故选：C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．4．D【解析】【分析】根据∠1＝∠2，可知∠DAE＝∠BAC，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可．【详解】解：A和B符合有两组角对应相等的两个三角形相似；C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．故选：D．【点睛】考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．5．D 【解析】 【分析】根据12∠=∠可得∠DAE =∠BAC ，因此只要再找一组角相等或一组对应边成比例即可. 【详解】解：∵12∠=∠，∴∠DAE =∠BAC .选项A 、B 中，根据两角分别相等的两个三角形相似可得△ADE ∽△ABC ； 选项C 中根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE ∽△ABC ；选项D 中，由于∠DAE 与∠BAC ，不是成比例两边的夹角，所以不一定能使△ADE ∽△ABC . 故选D. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 6．B 【解析】 【分析】由已知△ABC 与△ABD 中∠A 为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答. 【详解】解：：①∵B ACD ∠=∠，∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△； ②∵ACB ADC ∠=∠，∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△； ③虽然AC ABCD BC=，但∠A 不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似； ④∵2AC AD AB =⋅，∴AC ABAD AC=，又∵∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△． 综上，单独能够判定A ABC CD ∽△△的个数有3个，故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 7．D 【解析】 【分析】根据图形可得∠B=∠B，结合相似三角形的判定依据，只需从两个三角形中再找另一组角相等或者是这组相等角的夹边成比例，可得三角形相似来解决问题.【详解】解：∵BC2＝BD•AB∴BC AB BD BC∵∠B=∠B∴△ABC∽△BDC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）∴选D故答案是：D.【点睛】本题主要考察相似三角形的判定，准确掌握和熟练的应用相似三角形的判定定理是解题的关键.8．D【解析】【分析】利用正方形的性质、等边三角形的性质，求出相关角的度数，即可一一解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∵△EBC是等边三角形，∴BC=BE=CE，∠EBC=∠EBC=∠ECB=60°，∴∠ABE=∠ECF=30°，∵BA=BE，EC=CD，∴∠BAE=∠BEA=∠CED=∠CDE=12（180°-30°）=75°，∴∠EAD=∠EDA=15°，∴EA=ED，故①正确，∴∠DEF=∠EAD+∠ADE=30°，∴∠CEF=∠CED-∠DEF=45°，故②正确，∵∠EDF=∠AFD=75°，∴ED=EF，∴AE=EF，故③正确，∵∠BAE=∠BEA=∠EDF=∠EFD=75°，∴△DEF∽△ABE，故④正确，故选：D．【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用正方形以及等边三角形的性质，通过计算角度解决问题，属于中考常考题型．9．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可判断.【详解】根据图形可得△ABC为等腰三角形，底角的度数为180100402-=（度）由选项中的图形可知D图形为等腰三角形，且底角为40°，故选D.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理. 10．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【详解】∵∠ABE=∠C，∠A=∠A，∴△ABE∽△ACB，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△AEB∽△ADE，故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟悉掌握定理是关键.11．16【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，由平行线分线段成比例定理求出对应边的大小关系，最后根据已知条件求出面积比即可.【详解】解：∵BE=14BD∴13 BE DE=∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴13 GE BEAE DE==S△BEG:S△ABE=1 3S△BEG=13S△BAE，∵AB∥DF，∴13 AE BE ABEF DE DF===∴12 AB CF=∴S△ABG:S△CFG=1 4∴S△CGF=4S△ABG，∴S△CFG：S△BEG=16：1．【点睛】此题重点考察学生对三角形相似性质应用的理解，熟练掌握相似性质是解题的关键. 12．BM BC =或ABC BMC ∠∠=或A MBC ∠∠=（答案不唯一）【解析】【分析】要使△ABC ∽△BCM ，可以再添加BM ＝BC 或∠ABC ＝∠BMC 或∠A ＝∠MBC 从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定．【详解】因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ，若BM ＝BC 或∠ABC ＝∠BMC 或∠A ＝∠MBC （答案不唯一），则△ABC ∽△BCM ．故答案为BM =BC 或∠ABC =∠BMC 或∠A =∠MBC （答案不唯一）．【点睛】这是一道考查相似三角形的判定的开放性的题，答案不唯一．13．3245【解析】∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD ，∠B=∠C ．∴DG=DH ．设AD=x ，则BD=3x ，由勾股定理，得x ，∴x , ∴22AD BD AB GD =,∴322x x =.∴GD=10. ∵ 13AD tan C BC ==∠．∴tan∠B=13．∵∠ADG+∠GAD=90°，∠B+∠GAD=90°，∴∠ADG=∠B∴tan∠ADG=13AGGD=.,13310=，∴AG=10x.∵△FDE是由△CDA旋转得来的，∴△FDE≌△CDA，∴DE=DA．∠F=∠C．∵DG⊥AB，∴AG=EG,∴AE=2AG，∴AE=105x，∴AF=10410 10x x -=,∵∠AOF=∠DOC，∠F=∠C，∴△AFO∽△DCO，∴S△AOF：S△DOC=(1053xx)2=32.4514．ABC ADE∠=∠（答案不唯一）【解析】【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．解：由图可得，BAC DAE ∠=∠，根据三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似．可添加条件：ABC ADE ∠=∠，则ADE ABC ∆∆∽．故答案为：ABC ADE ∠=∠（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．15．ADE ∽ABC △，DOE △∽COB △【解析】【分析】根据DE BC ∥，找出相等的角，进而得到相似三角形.【详解】解：∵DE BC ∥，∴∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，∴ADE ∽ABC △，∵DE BC ∥，∴∠EDO ＝∠BCO ，∠DEO ＝∠CBO ，∴DOE △∽COB △，故答案为：ADE ∽ABC △，DOE △∽COB △.【点睛】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.16．ABC A B C '''∆∆∽【解析】【分析】根据相似三角形的判定即可求解.【详解】∵A A '∠=∠，B B '∠=∠，C C '∠=∠，且AB BC AC A B B C A C ''''''== ∴'''∽ABC A B C ∆∆故填：'''∽ABC A B C ∆∆.此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.17．B ACD ∠∠=【解析】【分析】因为两个三角形的两组角对应相等，这两个三角形互为相似三角形，因为△ABC 和△ACD 有一组公共角相等，所以再加一组角即可．【详解】解：可添加条件∠B=∠ACD ．∵∠A=∠A ，∠B=∠ACD ，∴△ABC ∽△ACD ．故答案为：∠B=∠ACD ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，如果两组对应角分别相等的两个三角形互为相似三角形． 18．∠ABP =∠C （答案不唯一）【解析】【分析】由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等，题中∠A 为公共角，再有一对对应角相等即可.【详解】在△ABP 与△ACB 中，∠A 为两三角形的公共角，只需再有一对对应角相等，即∠ABP ＝∠C ，便可使△ABP ∽△ACB ，所以答案为：∠ABP ＝∠C （答案不唯一）.【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.19．∠BCD=∠A (答案不唯一)【解析】【分析】已知∠B ＝∠B ，根据两组角对应相等可以判定△CBD 与△ABC 相似，可得添加条件∠BCD ＝∠A 即可判定△CBD ∽△ABC ．【详解】解：∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A，∴△CBD∽△ABC．∴添加条件∠BCD＝∠A即可判定△CBD∽△ABC，故答案为：∠BCD＝∠A（答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，这是一道考查相似三角形的判定方法的开放性试题，答案不唯一．20．（1）见解析，S△ABC＝3；（2）见解析，最大面积为8【解析】【分析】（1）根据要求画出三角形即可（大不唯一）．（2）根据要求画出图形即可解决问题．【详解】解：（1）如图（甲）中，△ABC即为所求．S△ABC＝×2×3＝3．（2）如图（乙）中，△DEF即为所求，最大面积为8【点睛】此题考查了作图-位似变换，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．21．证明见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BE，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠AEB，∠DCE＝∠B，即可得到结论．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BE，AB∥CD，∴∠DAE＝∠AEB，∠D＝∠DCE＝∠B，∴△AFD∽△EAB．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．22．详见解析.【解析】【分析】先根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．【详解】证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行线的性质．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）4.【解析】【分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置求出即可；（2）利用关于原点对称点的性质得出对应点坐标进而求出即可；（3）利用相似三角形的判定方法得出即可，再利用三角形面积求法得出答案．【详解】(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；(2)如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求； (3)∵112112CC C C AA A A ， ∴△AA 1A 2与△CC 1C 2不相似，S 12AA A △ =12×2×4=4. 【点睛】此题考查作图-旋转变换，作图-轴对称变换，相似三角形的判定，解题关键在于掌握作图法则.24．见解析【解析】【分析】根据正方形的性质得∠B ＝∠C ＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG ，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△EBF ∽△FCG ．【详解】证明： ∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∴∠BEF ＋∠BFE ＝90°，∵∠EFG ＝90°，∴∠BFE ＋∠CFG ＝90°，∴∠BEF ＝∠CFG ，∴△EBF ∽△FCG .【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定. 25．(1)见解析;(2) D（﹣3，1）．【解析】【分析】（1）根据勾股定理得到OA=2212+=5，OC=1，OB=5，求得OA OCOB OA=，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【详解】（1）∵OA＝2212+＝5，OC＝1，OB＝5，∴OAOB＝5，OCOA＝5，∴OA OC OB OA=，∵∠AOC＝∠BOA，∴△OAC∽△OBA；（2）如图所示，△OAD即为所求，D（﹣3，1）．【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定，正确的作出图形是解题的关键．26．见解析【解析】【分析】由AB=AC，可证得∠B=∠C，又由∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CDE=∠BAD+∠B，∠DAE=∠B，即可证得∠BAE=∠CDA，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ABE∽△DCA．【详解】 ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ，∵∠BAE ＝∠BAD+∠DAE ，∠CDA ＝∠BAD+∠B ，又∵∠DAE ＝∠B ，∴∠BAE ＝∠CDA ，∴△ABE ∽△DCA ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．27．(1)22;(2)见解析;(3) 42+.【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AB 的长，由直角三角形斜边中线的性质可求出CD 的长，利用勾股定理求出PC 的长即可；（2）由DP=1可知点P 在以D 为圆心，1为半径的圆上，分别讨论PB PC =、PC BC =、PB BC =的情况，求出PC 的长即可；（3）由旋转性质可知'PB PB =，0'90BPB ∠=，可得'2BB PB =，由等腰直角三角形的性质可知2BA BC=，进而可证明'ABB ∆∽CBP ∆，即可得'2AB BA CP BC ==，利用三角形三边关系即可得答案. 【详解】（1）如图1中，连接CD ．在Rt ABC ∆中，090ACB ∠=，4AC BC ==，∴2242AB AC BC +=∵AD DB =，∴1222CD AB ==，CD AB ⊥， 在Rt CDP ∆中，223PC PD CD =+=．（2）如图2中，∵1DP =，∴点P 在以点D 为圆心的⊙D 上．①当PB PC =时，∵CD DB =，∴,P D 都在线段BC 的垂直平分线上，设直线DP 交BC 于E ．∴090PEC ∠=，2BE CE ==， ∵090CDB ∠=，∴122DE BC CE ===， 在Rt PCE ∆中，22PC EC PE =+，当P 在线段PD 上时，1PE DE DP =-=，22125PC =+=当P 在线段ED 的延长线上时，3PE ED DP =+=，223213PC += ②当PC BC =时，∵221PC CD PD BC ≤+=<，∴PC BC ≠，此种情形不存在；③当PB BC =时，同理这种情形不存在；如图3中（3）如图4中，连接'BB ．由旋转可知：'PB PB =，0'90BPB ∠=，∴0'45PBB ∠=， ∴'2BB PB =， ∴'2BB PB= ∵AC BC =，090ACB ∠=，∴045ABC ∠=，∴'ABC PBB ∠=∠，∴'ABB CBP ∠=∠， ∵422BA BC == ∴'BA BB BC PB=， ∴'BA BC BB PB =， ∴'ABB ∆∽CBP ∆， ∴'2AB BA CP BC==∵1PC CD DP ≤+=，∴点P 落在CD 的延长线与⊙D 的交点处，PC 的值最大，∴)'14AB ≤=∴'AB 的最大值为4+．【点睛】本题考查勾股定理、旋转的性质、直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理与性质并正确的作出辅助线是解题的关键．。

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试卷B卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试卷B卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试卷B 卷（附答案详解）1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC =3：1，连接AE 交DB 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）A ．1：3B ．3：4C ．1：9D ．9：162．下列4组图形中一定相似的是（ ）A ．各有一个角是40°的两个等腰三角形B ．两条边之比都是2：3的两个三角形C ．两条边之比都是2：3的两个直角三角形D ．各有一个角是100°的两个等腰三角形 3．如图，在x 轴上方，∠BOA=90°且其两边分别与反比例函数y=﹣1x 、y=2x的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 的正切值为（ ）A ．12B ．22C ．2D ．144．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 是AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合)，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，点D 从靠近点A 的某一点向点B 移动，矩形DECF 的周长变化情况是（ ）A ．逐渐减小B ．逐渐增大C ．先增大后减小D ．先减小后增大 5．如图，已知 ABCD 中，45DBC ∠=，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE BF ，相交于H ，BF AD ，的延长线相交于G ，下面结论：①2DB BE =②A BHE =∠∠③AB BH = ④BHD BDG △∽△其中正确的结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．如图，在正方形ABCD 中，以BC 为边作等边BPC ，延长BP ，CP 分别交AD 于点E ，F ，连接BD ，DP ，BD 与CF 相较于点H ，给出下列结论：12AE CF =①；2ED EP EB =⋅②；PFD ③∽PDB ；135BPD ∠=④，其中正确的是( )A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①③④ 7．已知：如图，DE ∥BC ，AD:DB=1:2，则下列结论不正确的是（）A ．12DE BC =B ．19ADE ABC 的面积的面积∆=∆ C ．13ADE ABC ∆=∆的周长的周长 D ．18ADE BCED ∆=的面积四边形的面积 8．如果x ：（x +y ）=3：5，那么x y x-的值是（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ．329．如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD ，BE ，CE ．线段AD 分别与BE ，CE 相交于点M ，N ．给出下列结论：①△ABM ≌△DCN ；②DM 2=DN•AD ；③5④四边形ANCB 为菱形．其中正确的是_____10．如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，满足ACD ABC ∠∠=，则________∽________，若AC 2=，AD 1=，则DB =________．Z11．如图，已知△ABC 和△DEC 的面积相等，点E 在BC 边上，DE ∥AB 交AC 于点F ，AB=4，EF=3，则DF 的长是_________．12．如图，已知等边△ABC 的边长为3，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE=CF=1，则AP•AF 的值为_____．13．如图，四边形ABCD 和四边形BEFG 均为正方形，且A 、B 、E 三点共线，正方形ABCD 的边长为4，则ACF S 的面积为______ ．14．在ABC 和'''A B C 中，如果34A ∠=，5AC cm =，4AB cm =，'34A ∠=，''2A C cm =，'' 1.6A B cm =，那么这两个三角形能否相似的结论是________，理由是________．15．如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD ，BE ，CE ，线段AD 分别与BE 和CE 相交于点M ，N ，给出下列结论：①∠AME =108°；②2AN AM AD =⋅；③MN =35；BE=-．其中正确结论的序号是_____．④25116．如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（6，0），B（0，12），点C的坐标为（3，0）（1）求直线AB的解析式；（2）在线段AB上有一动点P．①过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点E，F，若矩形OEPF的面积为16，求点P的坐标．②连结CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图,在△ABC中,DE∥BC中,AD=1,BD=2,DE=2求BC的长18．如图，AF是△ABC的高，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，DE交AF于点G．设AD=5，AB=15，AC=12，GF=6．（1）求AE的长；（2）求点A到DE的距离AG的长．19．如图，在梯形ABCD 中，3,:2:3CD CO OA ==，求AB 的长．20．如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点E,F 分别在CB 和BC 的延长线上，且∠EAF=120°，设BE=x,CF=y ，求y 与x 的函数关系式.21．如图，在△ABC 中，AC =BC ，点D 在边AC 上，AB =BD ，BE =ED ，且CBE ABD ∠=∠，DE 与CB 交于点F.求证：（1）BD 2=AD ·BE ；（2）CD ·BF =BC ·DF.22．在 Rt△ABC 中，∠C=Rt∠，AC=2BC,AB=5,D 、E 分别在 AB 、AC 上，且 AE 10,DE∥BC．（1）如图（1），将△ADE 沿射线 DA 方向平移，得到△ A 1 D 1 E 1 ,当 AD 1 多大时，四边形 AA 1 E 1 E 为菱形；（2）如图（2），将△ADE 绕 A 点顺时针旋转α 度（ 00 < α < 1800 ）得到△AD 2E 2 ①连结 CE 2 , BD 2 ,求：22CE BD 的值； ②连结 CE 2 , BE 2 若△ ACE 2 是直角三角形，求：△ ABE 2 的面积.23．如图1，点E 是等边△ABC 的边BC 上一点，以AE 为边作等边△AEF ，EF 交AC 于D ．（1）连接CF ，求证：2AE AB AD =⨯；（2）如图2，作EH ׀׀AF 交AB 于点H.①求证：EB EH EC ED=； ②若EH=2，ED=4，直接写出BE 的长为 _________.参考答案1．D【解析】【分析】由AB//CD，证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积比等于相似比即可得. 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16，故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键.2．D【解析】【分析】A和D选项中，要分该已知角是底角还是顶角讨论，B选项缺少其夹角相等的条件，C选项未明确这两条边为直角边.【详解】A选项，当一个等腰三角形是顶角为40°，而另一个等腰三角形是底角为40°时，两三角形不相似；B选项，仅有两条边之比相等不够，还缺少这两条边的夹角相等，故无法判定；C选项，只有明确这两条边都是直角边时才能判定两个直角三角形相似；D选项，这两个三角形都是顶角为100°，底角为40°的等腰三角形，故一定相似.故选择D.【点睛】分别选择合适的判定方法进行验证，对已知角的等腰三角形，要按该已知角是顶角和底角分类讨论；对已知的边，要分清是哪条边.3．B【解析】如图所示：分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴∵∠AOB=90°，∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，∴∠BOM=∠OAN，∵∠BMO=∠ANO=90°，∴△BOM∽△OAN，∴BM OM ON AN=；设B（﹣m，1m），A（n，2n），则BM=1m，AN=2n，OM=m，ON=n，∴mn=2mn，2；∵∠AOB=90°，∴tan∠OAB=OBOA①；∵△BOM∽△OAN，∴12OB BMOA ON mn===②，由①②知tan∠OAB=2 2.故选B．4．A【解析】试题解析：设DE=λ，DF=μ；∵DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，∴四边形DECF 为矩形，∴CF=DE=λ，CE=DF=μ，∴矩形DECF 的周长η=2λ+2μ；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD BC AB λ=①；同理可证BD AC ABμ=②， 由①+②得：168λμ+=， ∴μ=8-43λ ∴82163μλλ=+- =-23λ+16， ∵-23＜0， ∴μ随λ的增大而减小；∵点D 从靠近点A 的某一点向点B 移动时，λ逐渐变大，∴矩形DECF 的周长η逐渐减小．故选A ．考点：相似三角形的判定与性质．5．B【解析】分析：根据已知及相似三角形的判定方法对各个结论进行分析从而得到最后答案． 详解：∵45DBC ∠=，DE ⊥BC,∴,DB BE DE ，==∵DE ⊥BC ，BF ⊥CD,∴90,BEH DEC ∠=∠=∵∠BHE =∠DHF ,∴∠EBH =∠CDE,∴△BEH ≌△DEC ，∴∠BHE =∠C ，BH =CD ，∵▱ABCD 中∴∠C =∠A ，AB =CD ，∴∠A =∠BHE ，AB =BH.∴正确的有①②③故选B.点睛：考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质.注意相似三角形的判定方法.6．C【解析】【分析】由正方形的性质、等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【详解】 BPC 是等边三角形，BP PC BC ∴==，60PBC PCB BPC ∠=∠=∠=，在正方形ABCD 中，AB BC CD ==，90A ADC BCD ∠=∠=∠=，30ABE DCF ∴∠=∠=，1122AE BE CF ∴==；故①正确； PC CD =，30PCD ∠=，75PDC ∴∠=，15FDP ∴∠=，45DBA ∠=，15PBD ∴∠=，EDP EBD ∴∠=∠，DEP DEP ∠=∠，DEP ∴∽BED ，EP ED ED EB∴=，即2ED EP EB =⋅，故②正确； 15FDP PBD ∠=∠=，45ADB ∠=，30PDB ∴∠=，而60DFP ∠=，PFD PDB ∴∠≠∠，PFD ∴与PDB 不会相似；故③错误；15PBD ∠=，30PBD ∠=，135BPD ∴∠=，故④正确；故选：C ．【点睛】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握图形的性质和定理．7．A【解析】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴13DE AD AD BC AB AD BD ===+，∵相似三角形周长比等于相似比，面积比为相似比的平方，∴B ，C 选项正确，∵四边形BCED 的面积=△ABC 的面积﹣△ADE 的面积，∴D 选项正确．故选A ．8．A【解析】试题解析：设3x k =，则2y k =，则321.33x y k k x k --== 故选A ．9．①②④【解析】【分析】利用正五边形的性质求出各个角的度数，可得相等的相等，相似三角形由此即可解决问题；【详解】在正五边形中，EA=ED=AB=CD ，∠EAB=∠EDC=∠AED=108°， ∴∠EAD=∠EDA=∠ABE=∠ECD=36°， ∴∠BAM=∠CDN=72°， ∴△ABM ≌△DCN ，故①正确，∵△EDN ∽△ADE ，∴DE 2=DN•DA ，∵DE=DM ，∴DM 2=DN•DA ，故②正确，∴22=（2﹣MN ）（4﹣MN ），∴MN 3=；故③错误；∵AN=AB=BC=CN=2，∴四边形ANCB 是菱形，故④正确，故答案为:①②④【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．10． ACD ABC 3【解析】【分析】由题意可得出相似；由相似可得出对应边成比例.【详解】因为ACD ABC ∠∠=且∠A 为公共角，所以△ACD ∽△ABC,所以AC AD AB AC =,AB=4，所以DB=AD-AD=4-1=3.【点睛】本题考查了相似三角形的证明以及相似三角形中对应边成比例，掌握两个角相等的两个三角形相似是解决本题的关键.11．73【解析】作AG⊥BC，DH⊥BC，∵AB∥DE，∴∠B=∠FEC,∵∠ACB=∠FCE，∴△ABC∽△FEC，∴EFAB=CECB=34，∵S△ABC=S△CDE，∴12BC·AG=12EC·DH,∴AGDH=CECB=34,∵∠B=∠FEC,∠AGB=∠DHE，∴△AGB∽△DHE，∴AGDH=ABDE=34,即4DE=34,DE=163，∴DF=163－3=73.故答案为7 3 .点睛：此题充分利用相似的判定以及性质解题，对相似的一些基本模型也要熟记.12．3【解析】由△ABC是等边三角形，得到∠C=60°，求得∠C=∠APE，根据相似三角形的判定定理得到△APE∽△ACF，再根据相似三角形的性质得到AE：AF=AP：AC，代入数据即可得到AP•AF=3．故答案为：3．点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题的关键．13．8【解析】【分析】首先根据相似三角形的性质得出QC 的长，进而将阴影部分（△ACF ）的面积分为S △AQC 和S △FQC 进而求出即可．【详解】设正方形BEFG 的边长为x ，设AF 与BC 的交点为Q ，∵正方形ABCD 为4，∵在正方形BEFG 中BG ∥EF ， ∴AB BQ AE EF=， ∴44BQ x x=+， 解得：BQ=44x x +， ∴QC=4-44x x +=164x +， ∴图中阴影部分（△ACF ）的面积是：12QC×AB+12QC×BE=12QC （AB+BE ）=12×164x +×（4+x ）=8． 故答案为：8．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的性质和三角形面积求法等知识，根据已知得出QC 的长是解题关键．14．'''ABC A B C ∽ 两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似【解析】【分析】 先计算出AB A B ''=52，AC A C ''=52，得到AB A B ''=AC A C ''，加上∠A=∠A′=34°，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断两三角形相似．【详解】∵AC=5cm,AB=4cm,A′C′=2cm,A′B′=1.6cm ， ∴AB A B ''=41.6=52,AC A C ''=52， ∴AB A B ''=AC A C ''， 而∠A=∠A′=34°，∴△ABC ∽△A′B′C′.故答案为△ABC ∽△A′B′C′；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 15．①、②、③【解析】分析：（1）利用等腰三角形的性质，可以得到∠AME 度数，(2)证明 △AEM ∽△ADE ，可以得到2AN AM AD =⋅，（3）利用勾股定理求MN 的长度，（4）最后求BE=CE=AD . 详解：∵∠BAE =∠AED =108°，∵AB=AE=DE ，∴∠ABE =∠AEB=∠EAD =36°，∴∠AME =180°-∠EAM -∠AEM =108°，故①正确；∵∠AEN =108°-36°=72°，∠ANE =36°+36°=72°，∴∠AEN =∠ANE ，∴AE=AN ，同理DE=DM ，∴AE=DM ，∵∠EAD =∠AEM =∠ADE =36°，∴△AEM ∽△ADE ，∴AE AM AD AE,∴AE2=AM•AD；∴AN2=AM•AD；故②正确；∵AE2=AM•AD，∴22=（2-MN）（4-MN），∴MN=3-5,；故③正确；在正五边形ABCDE中，∵BE=CE=AD=1+5,故④错误；①、②、③正确.点睛：(1)等腰三角形的性质，底角相等.(2)两个角相等的三角形相似 ,利用相似比求边的关系.16．（1）y=﹣2x+12；（2）①点P（2，8）或（4，4）；②存在，点P的坐标为（3，6）或点P（275，65）【解析】试题分析：（1）由于A（6，0），B（0，12），利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）①可以设动点P（x，﹣2x+12），由此得到PE=x，PF=﹣2x+12，再利用矩形OEPF的面积为16即可求出点P的坐标；②存在，分两种情况：第一种由CP∥OB得△ACP∽△AOB，由此即可求出P的坐标；第二种CP⊥AB，根据已知条件可以证明APC∽△AOB，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出P A，再过点P作PH⊥x轴，垂足为H，由此得到PH∥OB，进一步得到△APH∽△ABO，然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P的坐标．解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，如图1：依题意，，∴，∴y=﹣2x+12；（2）①设动点P （x，﹣2x+12），则PE=x，PF=﹣2x+12，∴S▭OEPF=PE•PF=x（﹣2x+12）=16，∴x1=2，x2=4；经检验x1=2，x2=4都符合题意，∴点P（2，8）或（4，4）；②存在，分两种情况∵A（6，0），B（0，12），∴OA=6，OB=12，AB=6第一种：CP∥OB，∴△ACP∽△AOB，而点C的坐标为（3，0），∴点P（3，6）；第二种CP⊥AB，∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，∴△APC∽△AOB，∴，∴，∴AP=，如图2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，∴PH ∥OB ，∴△APH ∽△ABO ，∴， ∴， ∴PH=，AH=，∴OH=OA ﹣AH=6﹣=， ∴点P （，）．∴点P 的坐标为（3，6）或点P （，）． 点睛：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，熟练运用相似三角形的性质与判定以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．17．6【解析】试题分析：因为DE ∥BC ，所以可以判断出△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质可得BC 的长．试题解析：∵AD =1，BD =2，∴AB =AD +BD =3，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴13DE AD BC AB ==， ∴BC =3DE =3×2=6．18．（1）AE=4；（2）AG=3．【解析】分析：（1）证明△ADE ∽△ABC ，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解； （2）证明△ADG ∽△ABE ，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解．本题解析：(1)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴,AD AE AB AC =,即51512AE =， 解得AE=4；(2)∵DE ∥BC ，∴△ADG ∽△ABF ， ∴AD AG AB AF =,设AG=x,则51512AE =， 解得：AG=3.19． 4.5AB =【解析】【分析】由梯形ABCD 得AB ∥CD ，则可判定△COD ∽△AOB ，再利用对应边成比例即可求解.【详解】∵梯形ABCD ，∴AB ∥CD ，∴∠CDO=∠ABO ，∠DCO=∠BAO ，∴△COD ∽△AOB ， ∴233CO CD OA AB AB===， 解得AB=4.5【点睛】本题利用了梯形的定义得到平行，从而运用有两角对应相等判定两三角形相似. 20．4y x=（x ＞0） 【解析】试题分析：由已知可推出∠E=∠CAF ，根据外角的性质可得∠EBA=∠ACF ，从而可判定△EBA ∽△ACF ，根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出x 与y 的关系.试题解析：∵∠EAF=120°，∠BAC=60° ∴∠EAB+∠CAF=60°∵∠EAB+∠E=∠ABC=60°∴∠E=∠CAF∵∠EBA=∠ACF=120°∴△EBA ∽△CAF∴EB ：AC=BA ：CF∴x ：2=2：y ，∴y=4x（x ＞0）． 21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由CBE ABD ∠=∠，得到ABC DBE ∠=∠等量代换得到A DBE ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到A ADB ∠=∠，DBE BDE ∠=∠，等量代换得到A ADB DBE BDE ∠=∠=∠=∠，推出ABD DEB ∽，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）通过ABC △≌DBE ，根据全等三角形的性质得到C E ∠=∠，BC=BE ，由于CFD EFB ∠=∠，证得CFD EFB ∽，根据相似三角形的性质得到结论． 试题解析：证明：（1）∵CBE ABD ∠=∠，∴ABC DBE ∠=∠，∵AC BC =，∴A ABC ∠=∠，∴A DBE ∠=∠，∵AB BD ，= ∴A ADB ∠=∠，∵BE DE ，= ∴DBE BDE ∠=∠，∴A ADB DBE BDE ∠=∠=∠=∠，∴ABD DEB ∽，∴AD BD BD BE=， ∴2·.BD AD BE =（2）在ABC △与DBE ，中，A BDE AB DB ABC DBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， ∴ABC △≌DBE ，∴C E ∠=∠，BC=BE ，∵CFD EFB ∠=∠，∴CFD EFB ∽，∴BF BE DF CD=， ∴BF BC DF CD =， ∴··.CD BF BC DF =22．（1）1AD =（2；（3）①∵2AC AE > ∴2ACE ∠是直角不可能，②2ABE S 2152ABE S =. 【解析】【分析】（1）证△ABC ∽△ADK，可得,AD AE AD AB AC ==，要使四边形11AA E E为菱形，则1AE AA ==1AD ;(1)先证 △ABC ∽△22AD E ，得22AB AC AD AE =,再证△2BAD ∽△2CAE，得2222CE AE BD AD === ；（3）①由2AC AE > ，得2ACE ∠是直角不可能 ②0290CAE ∠=时，作2E M BA ⊥ ，证△ABC ∽△2E AM ，可得22AC BC E M AM =，2AE =2E M =进一步求三角形面积；③0290CE A ∠=时，易证△2ACE 是等腰直角三角形，CH=2, AH=4易证△2AME ≌△2E NC ，设CM=CN=x ，AN=2E N =y 则x+y=4，x-y=2得x=3，根据三角形面积公式求面积.【详解】解：（1）∵∠C=Rt∠，AC=2BC,AB=5∴5,25BC AC==∵DE∥BC∴△ABC∽△ADK5,22AD AEADAB AC∴==要使四边形11AA E E为菱形，则110AE AA== 152102AD=-（2）∵△ABC∽△22AD E∴22AB ACAD AE=, 即22ADABAC AE=22BAD CAE∠=∠∴△2BAD∽△2CAE∴22221025522CE AEBD AD===（3）①∵2AC AE>∴2ACE∠是直角不可能②0290CAE∠=时，作2E M BA⊥∵0290C AME∠=∠=90BAC ABC∠+∠=0290BAC MAE∠+∠=∴2ABC MAE∠=∠∴△ABC∽△2E AM∴22AC BCE M AM=∵210AE=222E M=21522522ABES=⨯⨯=③0290CE A∠=时，易证△2ACE是等腰直角三角形，CH=2, AH=4易证△2AME≌△2E NC设CM=CN=x，AN=2E N=y 则x+y=4，x-y=2得x=321155322ABES=⨯⨯=【点睛】本题考核知识点：菱形，平移，相似三角形，全等三角形等.解题关键点：此题属综合题，要根据实际分类讨论.23．（1）证明见解析（2）见解析（3677【解析】分析：（1）由等边三角形的性质，根据两角对应相等的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例；（2）①根据相似三角形的对应边成比例证明即可；②可证EA=EH+ED=6, 作AM⊥BC于M，然后根据勾股定理求解.详解：（1）∵△ABC,△AEF都是等边三角形，∴AB=AC，∠AEF=∠C=600，又∵∠EAD=∠CAE，,∴AED∆∽ACE∆, ∴AD AEAE AC=∵AB=AC ∴2.AE AB AD=⨯（2）①∵EH∥AF , ∴∠AEH=∠EAF=60°=∠B方法1：∵AEH ∆∽ABE ∆ ∴EH EA EB AB= 又EDC ∆∽AEB ∆ , ∴ED EA EC AB= ∴EH ED EB EC =，即EB EH EC ED =②可证EA=EH+ED=6, 作AM⊥BC 于M ，可设BE=2x,EC=4x,则EM=x, AM =,由勾股定理得x =,BE =点睛：本题综合考查了相似三角形的性质与判定，用到的知识点有等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，题目的综合性较强难度较大，是一道不错的中考题．。

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习能力达标测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习能力达标测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习能力达标测试题2（附答案详解）1．在Rt ABC ∆的直角边AC 边上有一动点P （点P 与点A 、C 不重合），过点P 作直线截Rt ABC ∆，使截得的三角形与Rt ABC ∆相似，满足条件的直线最多有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，它们交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则与ABG 一定相似的三角形是（ ）A ．ABE △B ．HBC C ．EHD △ D ．HGF △ 3．如图，下列条件中，能判定ACD ABC △∽△的是（ ）A ．BAC ABC ∠=∠B ．BAC ADC ∠=∠ C ．AD CD AC BC = D ．AC AD AB AC = 4．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上一点（不与A ，B 两点重合），下列条件：①∠ACD ＝∠B ； ②∠ADC ＝∠ACB ；③AC 2＝AD•AB ；④AC AD BC CD=，能使△ABC ∽△ACD 的条件的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒.CD 是斜边AB 上的高，若得到2CD BD AD =⋅这个结论可证明( )A ．ADCACB B ．BDC BCA6．如图，△ABC 的中线AD 、BE 相交于点F ，过点E 作EG ∥AD 交BC 于点G ，则EG ∶AF 的值是（ ）A ．12B ．23C ．34D ．457．如图，在Rt ABC ∆中，90C CD AB ∠=︒⊥，，垂足为点D ，一直角三角板的直角顶点与点D 重合，这块三角板饶点D 旋转，两条直角边始终与AC BC 、边分别相交于G H 、，则在运动过程中，ADG ∆与CDH ∆的关系是（ ）A ．一定相似B ．一定全等C ．不一定相似D ．无法判断 8．如图下列条件中不能判定ACD ABC ∆∆的是（ ）A ．ACD ABC ∠=∠B ．ADC ACB ∠=∠ C ．AB AD BC CD= D ．2AC AD AB =⋅ 9．已知ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中，能推断ADE 与ABC 相似的有( )个①∠BDE +∠C =180°；②AD AB AE AC ⋅=⋅；③AD BC AB DE ⋅=⋅；④∠A =90°，且AD AB DE BC= A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．下列说法正确的是（）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．B ．有一角为65°的两个等腰三角形相似．C ．顺次连接一个四边形各边中点所得到的四边形是矩形，那么原四边形一定是菱形．D ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．11．如图，△ABC 中，AB ＝6，BC ＝9．如果动点D 以每秒2个单位长度的速度，从点B 出发沿边BA 向点A 运动，此时直线DE ∥BC ，交AC 于点E ．记x 秒时DE 的长度为y ，写出y 关于x 的函数解析式_____（不用写自变量取值范围）．12．如图所示，写出一个能判定ABC DAC △∽△的条件________．13．如图，已知ABCD 中，45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 、BF 相交于H ，BF 、AD 的延长线相交于G ，下面结论：①A BHE =∠∠；②BHE CDE ∆≅∆；③BHEGAB ∆∆；④BHD BDG ∆∆；其中正确的结论是______（只填写正确的序号）14．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，点F 在CD 上，要使ABE ∆与CEF ∆相似，需添加的一个条件是_______(填一个即可)．15．如图，ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点（DE 不等于BC ），当__________时，ADE ∆与ABC ∆相似．16．在ABC 中，24AB =，18AC =，D 是AC 上一点，6AD =，在AB 上取一点E ，使A 、D 、E 三点组成的三角形与ABC 相似，则AE 的长为_______.17．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上的点，请补充一个条件，使△ACP ∽△ABC ，这个条件可以是：___(写出一个即可)，18．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B +∠DAC ＝90°；（2）∠B ＝∠DAC ；（3）CD AC AD AB=；（4）AB 2＝BD •BC ．其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的有（填序号）_____．19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，过点C 任作一直线l ，过点A 作AD l ⊥于点D ，过点B 作BE l ⊥于点E ．（1）指出图中的一对相似三角形并证明；（2）当ABCCBE ∆∆时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可)20．如图，已知△ABC ，AB ＝AC ，∠A ＝36°．（1）作∠B 的平分线与AC 交于点D （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），（2）求证：△BDC ∽△ABC ．21．如图，在等腰△ABC 中，AD 是顶角∠BAC 的角平分线，BE 是腰AC 边上的高，垂足为点E ．求证：△ACD ∽△BCE ．22．如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在AB 上，点F 在BC 的延长线上，且AE ＝CF ，连接EF 交AC 于点P ，分别连接DE ，DF ，DP（1）求证：△ADE ≌△CDF ；（2）求证：△ADP ∽△BDF ；（3）如图2，若PE ＝BE ，PC ＝2，求CF 的值．23．如图，在ABCD 中，E 是DC 上一点，连接AE 、F 为AE 上一点，且BFE C ∠=∠. 求证：ABF EAD .24．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F .(1)求证：APD CPD ∆≅∆；(2)求证： APE FPA ∆∆；(3)若2PE =，6EF =，求PC 的长.25．尺规作图: 如图,已知正方形ABCD ，E 在BC 边上，求作AE 上一点P ，使△ABE ∽△DPA (不写过程，保留作图痕迹）.26．已知：如图，∠ABC＝135°，AB＝a，BC＝b，点P是边AC上任意一点，连结BP，将△CPB沿PB翻折，得△C'PB．（1）若a＝2，b＝6，∠C'PC＝90°，求CP的长；（2）连结AC'，当以A、B、P、C'为顶点的四边形是平行四边形时，求ab的值．参考答案1．D【解析】【分析】过点P 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC 的另一个角即可．【详解】①过点P 作AB 的垂线段PD ，则△ADP ∽△ACB ；②过点P 作BC 的平行线PE ，交AB 于E ，则△APE ∽△ACB ；③过点P 作AB 的平行线PF ，交BC 于F ，则△PCF ∽△ACB ；④作∠PGC=∠A ，则△GCP ∽△ACB ．故选D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，用到的知识点：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两个角对应相等的两个三角形相似．2．D【解析】【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，利用相似三角形的判定定理，即可得到与ABG ∆一定相似的三角形.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴ABG ∆与HGF △互为相似三角形，故选D.【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定，解题关键在于掌握相似三角形的判定定理. 3．D【解析】【分析】根据相似三角形的各个判定定理逐一分析即可．【详解】解：∵∠A=∠A若BAC ABC ∠=∠，不是对应角，不能判定ACD ABC △∽△，故A 选项不符合题意； 若BAC ADC ∠=∠，不是对应角，不能判定ACD ABC △∽△，故B 选项不符合题意； 若AD CD AC BC=，但∠A 不是两组对应边的夹角，不能判定ACD ABC △∽△，故C 选项不符合题意； 若AC AD AB AC=，根据有两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似可得ACD ABC △∽△，故D 选项符合题意．故选D ．【点睛】此题考查的是使两个三角形相似所添加的条件，掌握相似三角形的各个判定定理是解决此题的关键．4．C【解析】【分析】由∠A 是公共角，根据有两组角对应相等的两个三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定△ABC 与△ACD 相似，即可得出结果．【详解】∵∠A 是公共角，∴当∠ACD ＝∠B 时，△ADC ∽△ACB （有两组角对应相等的两个三角形相似）； 当∠ADC ＝∠ACB 时，△ADC ∽△ACB （有两组角对应相等的两个三角形相似）；当AC 2＝AD•AB 时，即AC AD AB AC=，△ADC ∽△ACB （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）． 当AC AD BC CD=时，∠A 不是夹角，则不能判定△ADC 与△ACB 相似； ∴能够判定△ABC 与△ACD 相似的条件是：①②③．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定.5．C【解析】【分析】根据CD 是高可得到90ADC CDB ︒∠=∠=，再根据2CD BD AD =⋅得CD AD BD CD =，从而可以判定ADC CDB ． 【详解】 根据题意可得CD AD BD CD =，结合ADC CDB ∠=∠可得ADC CDB . 故选：C【点睛】本题考查的知识点三角形相似的判定，关键是根据等积式写成比例式，然后根据比例式的特点准确的找到相对应的两个相似的三角形．6．C【解析】【分析】连接DE ，根据中位线定理及三角形的相似可以得到AF=2FD ，再根据ED ∥AD 得EG=12AD ，即可求解.【详解】连接DE.AD 、BE 是三角形的中线∴DE ∥AB ，DE=12AB ∴△DEF ∽△ABF ∴12DFDE AF AB∴23AF AD =∵ED ∥AD ∴△EGC ∽△ADC ∴12EGCE AD AC∴12EG AD ∴EG ∶AF=34故选：C【点睛】 本题考查的是三角形的相似，关键是找到相似的三角形并找到能代换的线段.7．A【解析】【分析】根据已知条件可得出A DCB ∠∠=，ADG CDH ∠∠=，再结合三角形的内角和定理可得出AGD CHD ∠∠=，从而可判定两三角形一定相似．【详解】解：由已知条件可得，ADC EDF CDB C 90∠∠∠∠====︒，∵A ACD ACD DCH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴A DCH ∠∠=，∵ADG EDC EDC CDH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴ADG CDH ∠∠=，继而可得出AGD CHD ∠∠=，∴ADG ~CDH ．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．8．C【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．【详解】A. ACD ABC ∠=∠，A A ∠=∠可以判定ACDABC ∆∆，不符合题意； B. ADC ACB ∠=∠，A A ∠=∠可以判定ACDABC ∆∆，不符合题意； C. AB AD BC CD=不是对应边成比例，且不是相应的夹角，不能判定ACD ABC ∆∆，符合题意； D. 2AC AD AB =⋅即AD AC AC AB =且A A ∠=∠，可以判定ACD ABC ∆∆，不符合题意． 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．9．C【解析】【分析】根据图形得到∠A 是公共角，然后根据相似三角形的判定方法进行判断即可．【详解】由图可知，∠A是△ADE与△ACB的公共角，①∵∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，∴∠ADE=∠C，利用“两组角对应相等，两三角形相似”得到△ADE与△ACB相似；②由AD•AB=AE•AC得到AD ACAE AB=，可以利用“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”得到△ADE与△ACB相似；③由AD•BC=AB•DE可得到AD ABDE BC=，公共角不是夹角，不能得到△ADE与△ACB相似；④∵AD ABDE BC=，∠A=90°，利用“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”得到△ADE与△ACB相似，综上所述，能判断△ADE与△ACB相似的是①②④，共3个．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，要注意∠A 是两三角形的公共角．10．D【解析】【分析】根据平行四边形的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理、菱形的判定定理逐项排除即可解答．【详解】解：一组对边平行且相等为平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等，可能为等腰梯形，故A错误；这个角是顶角还是底角不明确，则不一定是相似三角形，故B错误；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是矩形，故C错误；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，则D选项正确．故答案为D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理、菱形的判定定理等知识点，灵活应用这些知识点是解答本题的关键．11．y＝﹣3x+9【解析】【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质，可得出y关于x的函数解析式．【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE ADBC AB=，即6296y x-=，∴y＝﹣3x+9．故答案为：y＝﹣3x+9．【点睛】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用相似三角形的性质得出DE ADBC AB=是关键.12．2AC DC BC=⋅（答案不唯一）【解析】【分析】已知有公共角∠C，由相似三角形的判定方法可得出答案．【详解】已知△ABC和△DCA中，∠ACD=∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠B或∠ADC=∠BAC；②AC2=DC•BC；故答案为：AC2=DC•BC（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．13．①②③【解析】根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，由DE BC⊥，BF CD⊥可得∠C+∠EDC=90°，∠BHE+∠EDC=90°，从而①求解；②由AAS定理证明三角形全等；③由AA定理证明三角行相似；由∠BDE=45°，而∠G≠45°，可知④不正确.【详解】解：∵在ABCD中∠A=∠C，且∠BHE=∠DHF又∵DE BC⊥，BF CD⊥∴∠C+∠EDC=90°，∠DHF+∠EDC=90°∴∠BHE+∠EDC=90°∴A BHE=∠∠，故①正确；∵45DBC∠=︒，DE BC⊥∴BE=DE在△BHE和△CDE中90BHE DCEBEH DECBE DE∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴BHE CDE∆≅∆，故②正确；在ABCD中AG∥BC∴∠G=∠HBE又∵A BHE=∠∠∴BHE GAB∆∆，故③正确；∵45DBC∠=︒，而∠G=∠HBE∴∠G≠45°，故④错误故答案为：①②③【点睛】本题考查全等三角形的判定、相似三角形的判定、等腰直角三角形和平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点综合运用是本题的解题关键.14．AE EF⊥或∠BAE＝∠CEF，或∠AEB＝∠EFC（任填一个即可）【分析】根据相似三角形的判定解答即可．【详解】∵矩形ABCD ，∴∠ABE ＝∠ECF ＝90︒，∴添加∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ，∴△ABE ∽△ECF ，故答案为：∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ．【点睛】此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．15．AD AE AC AB=或ADE C ∠=∠或AED B ∠=∠（答案不唯一） 【解析】【分析】要使ADE ∆与ABC ∆相似，已知有一个公共角，则可添加一个角或该角的两边对应成比例即可．【详解】解：A A ∠=∠∴当ADE C ∠=∠或AED B ∠=∠或AD AE AC AB=时，ADE ∆与ABC ∆相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．16．8或92【解析】【分析】 ABC 与ADE 相似要分成两种情况来进行讨论，一种是ADE ACB ，则需ADE ACB；一种是ADE ACB，则需ADE ACB，无论哪一种情况，将已知线段的长度代入后比例式后都能较容易的求出AE的值．【详解】∵A A∠=∠，∴分ADE ACB或ADE ABC两种情况讨论:①如图(1)，当ADE ACB时，有ADE ACB，即62418AE=，解得8AE=；②如图(2)，当ADE ACB时，有ADE ACB，即62418AE=，解得92AE=.综上所述，AE的长为8或92.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，关键是运用分类讨论，对可能出现的几种情况进行分析．17．∠ACP=∠B（或AP AC AC AB=）．【解析】【分析】由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】解：∵∠PAC=∠CAB，∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC；当AP ACAC AB=时，△ACP∽△ABC．故答案为：∠ACP=∠B（或AP AC AC AB=）．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．18．（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）根据直角三角形中两个锐角互余，即可判定∠BAD＝∠CAD，继而可得△ABC是等腰三角形，不能判定△ABC是直角三角形；（2）利用直角三角形中两个锐角互余的知识，可得∠BAC＝90°，则可得△ABC是直角三角形；（3）由CD ACAD AB=，可得CD ADAC AB=，推出sin∠ACD＝sin∠B，即∠ACD＝∠B，由此即可判定．（4）由AB2＝BD•BC与∠B是公共角，可判定△CBA∽△ABD，△ABD是直角三角形，则可得△ABC是直角三角形．【详解】解：（1）不能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，∵∠B+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠DAC，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∴无法证明△ABC是直角三角形；（2）能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，∵∠B＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAD+∠B＝90°；∵CD AC AD AB=，∴CD AD AC AB=，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ACD中sin∠CAD＝CD AC，在Rt△ABD中，sin∠B＝AD AB，∴sin∠ACD＝sin∠B，∴∠ACD＝∠B，∵∠B+∠BAD＝90°，∴∠CAD+∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形．（4）能，∵能说明△CBA∽△ABD，又∵△ABD是直角三角形，∴△ABC一定是直角三角形．∴一定能够判定△ABC是直角三角形的有（2）（4）（3）．故答案为：（2）（3）（4）．【点睛】本题结合直角三角形的性质考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质与判定定理是解答关键.19．（1）ACDCBE ∆∆，证明见解析；（2）BAC BCE ∠=∠（答案不唯一） 【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可证明；（2）根据相似三角形的判定定理，已知一组对应角相等，需要再添加另一组对应角相等或者夹这组角的两边对应成比例，即可得到两三角形相似．【详解】解：ACDCBE ∆∆ 证明：AD l ⊥于点,D BE l ⊥于点E90ADC CEB ︒∴∠=∠=90ACB ︒∠=90DAC DCA BCE DCA ︒∴∠+∠=∠+∠=DAC ECB ∴∠=∠.ACD CBE ∴∆∆∽()2BAC BCE ∠=∠,,AC BC ABC CBE CE BE ⎛⎫∠=∠= ⎪⎝⎭答案不唯一 ∵BE ⊥DE ∴∠BEC=90°=∠ACB ，再添加BAC BCE ∠=∠根据两角对应相等的两个三角形相似，得到ABCCBE ∆∆； ∵∠BEC=90°=∠ACB ，再添加AC BC CE BE= 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到ABCCBE ∆∆ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．20．（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABC ＝∠C ＝72°，根据角平分线定义可得∠DBC ＝36°，根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：（1）如图所示．（2）∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝()11802A ︒-∠＝72°， ∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC ＝∠ABD ＝36°，∵∠C ＝∠C ，∠A ＝∠DBC ＝36°，∴△BDC ∽△ABC ．【点睛】本题考查了尺规作图—作角平分线，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键．21．见解析【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AD ⊥BC ，则∠ADC=90°，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论．【详解】证明：∵AD 是等腰△ABC 的顶角∠BAC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∵BE 是腰AC 边上的高，∴∠BEC＝90°，∵∠ACD＝∠BCE，∠ADC＝∠BEC，∴△ACD∽△BCE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的判定．22．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）CF1，【解析】【分析】（1）根据SAS证明即可；（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．易证△APE≌△HPF（AAS），得PE＝PF，再证△DEF是等腰直角三角形，得∠EDP＝∠FDP＝45°，进而得∠DAP＝∠DBF，∠ADP ＝∠BDF即可得到结论；（3）如图2，作PH⊥BC于H．首先证明∠EFB＝30°，由PC，得：HF而求出CF，即可解决问题．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠FCH＝45°，∵AB∥FH，∴∠HFC＝∠ABC＝90°，∴∠FCH＝∠H＝45°，∴CF＝FH＝AE，∵∠P AE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH，∴△APE≌△HPF（AAS），∴PE＝PF，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∵EP＝PF，∴∠EDP＝∠FDP＝45°，∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，∴∠ADP＝∠BDF，∵∠DAP＝∠DBF＝45°，∴△ADP∽△BDF；（3）如图2中，作PH⊥BC于H．∵∠ACB＝45°，PC＝2，∴PH＝CH＝1．由（2）得：BE＝PE＝PF，∴BE＝12 EF，∴∠BFE＝30°，∴PF＝2，∴HF＝3，∴CF＝3﹣1，【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，正方形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质定理以及含30°角的直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造全等三角形和含30°角的直角三角形，是解题的关键．23．证明见解析.【解析】【分析】本题要证明ABF EAD ，根据题目给定的条件中没有给定与边对应成比例有关的信息，只有与角有关的条件，故在方法选择上确定利用定理“两角对应相等，两三角形相似”，通过证明BFE C ∠=∠，BAE AED ∠=∠即可完成．【详解】证明∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，//AB CD ，//AD BC ，∴180D C ∠+∠=︒∵180AFB BFE ∠+∠=︒，且BFE C ∠=∠，∴D AFB ∠=∠.∵//AB CD ，∴BAE AED ∠=∠，∴ABF EAD . 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，关键是根据题意利用“两角对应相等，两三角形相似”的方法来证明两三角形相似．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）4PC =【解析】【分析】(1)利用菱形的性质结合条件可证明△APD≌△CPD；(2)根据全等三角形的性质得到∠DAP=∠DCP，根据平行线的性质得到∠DCP=∠F，等量代换得到∠DAP=∠F，可得△APE∽△FPA；(3)根据相似三角形的性质得到PA PF PE PA=，于是得到2AP PE PF =⋅，等量代换即可. 【详解】 (1)四边形ABCD 是菱形， AD DC ∴=,ADP CDP ∠=∠,在APD ∆和CPD ∆中，DP DP ADP CDP DA DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩APD CPD ∴∆≅∆；(2)证明：由(1)APD CPD ∆≅∆得：PAE PCD ∠=∠，又由DC FB 得：PFA PCD ∠=∠，PAE PFA ∴∠=∠，又APE APF ∠=∠，APE FPA ∴∆∆；(3)解：APE FPA ∆∆，PA PF PE PA ∴=， 2AP PE PF ∴=⋅2816=⨯=，4AP ∴=，APD CPD ∆≅∆，4PC PA ∴==.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定是解题的关键．25．详见解析【解析】【分析】过D 点作DP ⊥AE 交AE 于点P ，利用相似三角形的判定解答即可．【详解】作图如下:解：∵DP ⊥AE 交AE 于点P ，四边形ABCD 是正方形∴∠APD=∠ABE=∠BAD=90°，∴∠BAE+∠PAD=90°，∠PAD+∠ADP=90°，∴∠BAE=∠ADP ，又∵∠APD=∠ABE∴△DPA ∽△ABE ．【点睛】此题考查作图-相似变换，关键是根据相似三角形的判定解答．26．（1 （2）6或2 【解析】【分析】（1）本题以三角形为背景，考查“翻折图形”性质以及相似三角形的判定，根据特殊角度135°，可利用辅助线构造45°，结合垂直构造等腰直角三角形，进而推出边等进行计算．（2）本题考查平行四边形性质以及翻折图形性质、需根据动点位置不同采取分类讨论方式，利用四边形性质求解．【详解】（1）解：由翻折，∠CPB ＝∠C'PB∵∠C'PC ＝90°∴∠CPB ＝135°又∵∠PCB=∠BCA,∠ABC=135°∴△CPB ∽△CBA ∴CP CB CB CA= 过点C 作CH ⊥AB 交AB 延长线于点H,如下图∴∠CBH ＝45°∴CH ＝BH ＝∴AH ＝在Rt △CAH 中，CA∴61862552CBPC CBCA=•=⨯=（2）①如图1，∵四边形ABPC'是平行四边形以及翻折条件∴∠C'BA=∠BCP=∠BC'P∵∠OAB=∠BAC∴△OAB∽△BAC，OB＝2b∴AB OBAC BC=过点C作CH⊥AB交AB延长线于点H∴CH＝BH＝2b∴CA＝22CH AH+＝222a b ab++∴22122a b ab=++∴2146ab+=或2146-（舍去）②如图2，∵四边形APBC'是平行四边形∴OA＝OB又∵翻折后得平行四边形PCBC'∴AP ＝BC=PC 结合上一问所求AC 值 ∴22122a b ab b ++= ∴214a b -+=或214--（舍去） ∴综上，2146a b +=或214-+【点睛】本题主要考查翻折图形的性质，需注意有翻折必有边等以及角等，同时动点问题需注意分类讨论，四边形性质需要充分利用．。

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习能力达标测试卷B卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习能力达标测试卷B卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习能力达标测试卷B 卷（附答案详解）1．如图，已知△ABC 与△BDE 都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ，则图中相似三角形有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2．在Rt △ABC 中，M 为斜边AB 上一点（M 不与A ，B 重合），过点M 作直线截△ABC 所得的三角形与原三角形相似的直线有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条3．如图，在ABC △中，BD 、CE 是高，且BD 、CE 交于点F ，则图中与AEC 相似（不包括其本身）的三角形个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，ABC ∆与下列哪一个三角形相似（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，ABC ∆中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，且123∠=∠=∠,则与ADE ∆相似的三角形的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（ ）7．已知：如图，在△ABC中，∠ABE=∠C，DE∥BC，图中相似三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对8．如图，D、E分别在ABC∆的边上AC、AB上，请你添加一个条件___使得ADE ABC∆∆∽．9．如图，□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有______对．10．如图,在△ABC中,点P是AB边上的一点,连接CP,要使△ACP∽△ABC,还需要补充的一个条件是____.11．底角相等的两个等腰三角形_________相似.(填“一定”或“不一定”)12．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，要使△ABE∽△ACD，则需要添加的一个条件是：____________.13．在△ABC和△DEF中，AB BCDE EF=．要使△ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是_______（只需填写一个正确的答案）．14．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，对角线AC与BD相交于点O，且BAC BDC DAE ∠=∠=∠.从图中找出2对相似三角形，它们是__________________；____________________.15．如图，D 是△ABC 的边AB 上的点，请你添加一个条件，使△CBD 与△ABC 相似，你添加的条件是___________．16．如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由．17．如图，△ABC 中，P 是线段AB 上一点，尺规作图：在BC 边上找一点D ，使以P 、D 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似（保留作图痕迹，不写作法）18．如图，已知E 是ABC △的中线AD 上一点，且2BD ED AD =⋅.求证：ADC CDE △△.19．如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且//DE BC ，已知2AD =，3DB =，3AE =， 4.5CE =，4DE =，10BC =.利用相似三角形的定义说明ADE ABC ∆∆∽.（补全解题过程）20．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，AD ＝6，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣7x +12＝0的两个根，且OA ＞OB ．（1）求OA 、OB 的长．（2）若点E 为x 轴上的点，且S △AOE ＝163，试判断△AOE 与△AOD 是否相似？并说明理由．（3）在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，请直接写出点F 的坐标．21．如图，两车从路段AB 两端同时出发，沿平行路线行驶（即AC∥BD），CE 和DF 的长分别表示两车到道路AB 的距离．（1）如果两车行驶速度不相同，证明：△ACE∽△BDF；（2）添加一个条件，使△ACE≌△BDF，请说明理由．22．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF ⊥AE 于 F ．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．参考答案1．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理，两个等边三角形的3个角分别相等，可推出△ABC∽△EDB，根据对应角相等推出△BDC∽△EFB∽△AFD．△BDF∽△BAD【详解】∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴∠A=∠C=∠BDE=∠EBD=∠E=∠ABC=60°，∴△ABC∽△EBD，∵∠ADF+∠BDE=∠C+∠DBC，∴∠ADF=∠DBC，∴△BCD∽△DAF，∵∠A=∠E，∠BFE=∠DFA，∴△BEF∽△DAF，∴△BCD∽△BEF，∵∠A=∠BDF=60°，∠ABD=∠DBF，∴△BDF∽△BAD，共5对相似三角形，故选D.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理及有关性质的运用，关键在于根据图中两个等边三角形，找出相关的相等关系，然后结合已知条件，证明结论．2．B【解析】【分析】本题要根据相似三角形的判定方法进行求解．【详解】有三条：①过点P点作AB边上的垂线，可得出一条符合要求的直线；②另外两条分别是AC、BC两边的平行线．故选B．【点睛】本题主要考查了学生对相似三角形判定定理的掌握及运用，难度适中．3．C【解析】【分析】先利用高线的定义得到∠BEC＝∠BDC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠ABD＝∠ACE，加上∠A＝∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△ACE，利用同样的方法得到△FBE∽△ABD，△FCD∽△ACE，所以△ABD∽△ACE∽△FBE∽△FCD．【详解】解：∵高BD、CE相交于点F，∴∠BEC＝∠BDC＝90°，∵∠BFE＝∠CFD，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE，∵∠ABD＝∠FBE，∠BEF＝∠BDA，∴△FBE∽△ABD，同理可得△FCD∽△ACE，∴△ABD∽△ACE∽△FBE∽△FCD，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.4．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可判断.【详解】根据图形可得△ABC为等腰三角形，底角的度数为180100402-=（度）由选项中的图形可知D图形为等腰三角形，且底角为40°，故选D.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.5．C【解析】【分析】由∠1=∠2=∠3，即可得DE∥BC，可得∠EDC=∠BCD，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似，即可判定△ADE∽△ABC，△ACD∽△ABC，又由相似三角形的传递性，可得△ADE∽△ABC∽△ACD，继而求得答案．【详解】∵∠1=∠2，∴DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，△ADE∽△ABC，∵∠2=∠3，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴△ADE∽△ABC∽△ACD，∴图中与△ADE相似三角形共有2对．故选C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，解题的关键是掌握有两组角对应相等的两个三角形相似定理的应用，注意数形结合思想的应用．6．D【解析】【分析】设小长方形的长为2a，宽为a．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断．【详解】由题意可知：小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为a，则长为2a，∴图①中的三角形三边长分别为2a==；==；图②中的三角形三边长分别为5a图③中的三角形三边长分别为==；==、5a =，∴①和②图中三角形不相似；∵22a a ≠≠ ∴②和③图中三角形不相似；∵22a a ≠≠ ∴①和③图中三角形不相似；55a === ∴①和④图中三角形相似．故选D【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握熟练掌握基本知识． 7．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【详解】∵∠ABE =∠C ，∠A =∠A ，∴△ABE ∽△ACB ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴△AEB ∽△ADE ，故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟悉掌握定理是关键.8．ABC ADE ∠=∠（答案不唯一）【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．【详解】解：由图可得，BAC DAE ∠=∠，根据三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似．可添加条件：ABC ADE ∠=∠，则ADE ABC ∆∆∽．故答案为：ABC ADE ∠=∠（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．9．6【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解．【详解】解：在▱ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△FDE ，△ABG ∽△FCG ；∵AD ∥BC ，∴△ADE ∽△GBE ，△FDA ∽△FCG ，∴△ABG ∽△FDA ，△ABD ∽△BCD∴图中相似三角形有6对．故答案为：6．【点睛】本题考查相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意△ABG 与△FDA 都与△FCG 相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方．10．∠B =∠ACP 或∠ACB =∠APC 或AP AC AC AB= 【解析】欲使△ACP∽△ABC，通过观察发现两个三角形有一个公共角，即∠A，若夹此对应角的两边对应成比例或有一组角对应相等即可．【详解】∵∠A=∠A,∴当∠B=∠ACP或∠ACB=∠APC或AP AC AC AB=.故答案为：∠B=∠ACP或∠ACB=∠APC或AP AC AC AB=.【点睛】相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③根据两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似.11．一定【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠E=∠F，根据相似三角形的判定定理证明．【详解】如图：∵AB=AC，DE=EF，∴∠B=∠C，∠E=∠F，∵∠B=∠E，∴∠B=∠C=∠E=∠F，∴△ABC∽△DEF，故答案为：一定．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定、等腰三角形的性质，掌握两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．12．∠B ＝∠C(答案不唯一)【解析】【分析】由已知图形可得∠A=∠A ，所以再找一对角相等或夹边的比值相等，都可以使△ABE ∽△ACD ．【详解】要使△ABE ∽△ACD ，则需要添加的一个条件是：∠B=∠C ，理由如下：∵∠A=∠A ，∠B=∠C ，∴△ABE ∽△ACD ，故答案为：∠B=∠C （答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础性题目，解题的关键是熟记并且灵活运用相似三角形的各种判定方法．13．∠B =∠E （或AB AC DE DF =或BC AC EF DF =） 【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【详解】解：在△ABC 和△DEF 中，AB BC DE EF =．要使△ABC ∽△DEF ，需要添加的条件是∠B ＝∠E （或AB AC DE DF =或BC AC EF DF=）， 故答案为：∠B ＝∠E ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 14．AEB ADC ∆∆∽ ADE ACB ∆∆∽【解析】【分析】根据三角形内角和，由∠BAC＝∠BDC得到∠ABD＝∠ACD，再利用等量加等量和相等，由∠BAC＝∠DAE得到∠CAD＝∠BAE，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEB∽△ADC，利用相似的性质得AB AEAC AD=，利用比例性质得AB ACAE AD=，加上∠BAC＝∠DAE，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ADE～△ACB．【详解】∵∠BAC＝∠BDC，而∠1＝∠2，∴∠ABD＝∠ACD，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠3＝∠DAE＋∠3，即∠CAD＝∠BAE，∴△AEB∽△ADC，∴AB AE AC AD=，∴AB AC AE AD=，而∠BAC＝∠DAE，∴△ADE～△ACB．故答案为△AEB∽△ADC；△ADE～△ACB．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．15．∠BCD=∠A (答案不唯一)【解析】【分析】已知∠B＝∠B，根据两组角对应相等可以判定△CBD与△ABC相似，可得添加条件∠BCD ＝∠A即可判定△CBD∽△ABC．【详解】解：∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A，∴△CBD∽△ABC．∴添加条件∠BCD＝∠A即可判定△CBD∽△ABC，故答案为：∠BCD＝∠A（答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，这是一道考查相似三角形的判定方法的开放性试题，答案不唯一．16．△ABC和△DEF相似，理由详见解析【解析】【分析】首先根据小正方形的边长，求出△ABC和△DEF的三边长，然后判断它们是否对应成比例即可．【详解】△ABC和△DEF相似，理由如下：由勾股定理，得：AC AB＝BC＝5，DF＝DE＝， EF＝，AC AB BC===，DF DE EF所以，△ABC∽△DEF.【点睛】本题考查相似三角形的判定，找准对应边成比例即可.【解析】【分析】过P 作PD ∥AC 交BC 于点D ，或作∠BPD ＝∠C ，即可利用相似三角形的判定解答即可．【详解】如图所示：作∠BPD=∠A ，或作∠BPD=∠C ，【点睛】此题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定方法.熟练掌握两个角相等的两个三角形相似是解答本题的关键．18．证明见解析【解析】【分析】根据三角形中线性质得BD CD =，故2CD ED AD =⋅，CD AD ED CD=可进一步得ADC ACDE ∽△△.【详解】证明：∵AD 是ABC △的中线，∴BD CD =.∵2BD ED AD =⋅，∴2CD ED AD =⋅，即CD AD ED CD=， 又∵ADC CDE ∠=∠，∴ADC ACDE ∽△△.【点睛】考核知识点：相似三角形的判定.理解“两边成比例且夹角相等”的判定方法是关键. 19．见解析.【分析】 证明AD AB =AE AC =DE BC ，可得ADE ABC ∆∆∽. 【详解】解：∵223AD AB ==+25，33 4.5AE AC ==+25，410DE BC ==25， ∴AD AB =AE AC =DE BC. ∴ADE ABC ∆∆∽.【点睛】考核知识点：相似三角形判定.根据三边成比例，两三角形相似.20．(1) OA=4，OB=3；(2)详见解析；（3）点F 的坐标为（3，8）或（﹣3，0）或（﹣，）或（﹣，﹣）时，以A 、C 、F 为顶点的三角形是等腰三角形． 【解析】试题分析：（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用三角形的面积求出OE ，然后求出两个三角形夹直角的两边的比，再根据相似三角形的判定方法判定即可；（3）根据平行四边形的对边相等求出BC ，再求出OC ，然后利用勾股定理列式求出AC 的长，再求出直线AB 的解析式为y=43x+4，设出点F 的坐标，然利用勾股定理列式求出AF 2、CF 2，再分三种情况列出方程求解即可．试题解析：（1）x 2-7x+12=0，因式分解得，（x-3）（x-4）=0，由此得，x-3=0，x-4=0，所以，x 1=3，x 2=4，∵OA ＞OB ，∴OA=4，OB=3；（2）S △AOE =12×4•OE=163， 解得OE=83， ∵82343OE OA ==，4263OA OA ==， ∴OE OA OA AD=， 又∵∠AEO=∠OAD=90°， ∴△AOE ∽△AOD ；（3）∵四边形ABCD 是平行四边形，AD=6，∴BC=AD=6，∵OB=3，∴OC=6-3=3，由勾股定理得，2222435OA OC +=+=， 易求直线AB 的解析式为y=43x+4， 设点F 的坐标为（a ，43a+4）， 则AF 2=a 2+（43a+4-4）2=259a 2， CF 2=（a-3）2+（43a+4）2=259a 2+143a+25， ①若AF=AC ，则259a 2=25，解得a=±3， a=3时，43a+4=43×3+4=8， a=-3时，43a+4=43×（-3）+4=0， 所以，点F 的坐标为（3，8）或（-3，0）；②若CF=AC，则259a2+143a+25=25，整理得，25a2+42a=0，解得a=0（舍去），a=-42 25，4 3a+4=43×（-4225）+4=4425，所以，点F的坐标为（-4225，4425），③若AF=CF，则259a2=259a2+143a+25，解得a=-75 14，4 3a+4=43×（-7514）+4=-227，所以，点F的坐标为（-7514，-227），综上所述，点F的坐标为（3，8）或（-3，0）或（-4225，4425）或（-7514，-227）时，以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形．点睛：本题是四边形综合题型，主要利用了解一元二次方程，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，难点在于（3）分情况讨论，利用勾股定理表示出△ACF 的三条边求解更简便．21．(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】（1）直接利用平行线的性质以及相似三角形的判定方法进而得出答案；（2）结合全等三角形的判定方法即可得出答案．【详解】（1）证明：∵AC ∥BD ，∴∠A ＝∠B ，∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠DFB ＝90°，∴△ACE ∽△BDF ；(2) 由（1）可知△ACE ∽△BDF ；如果相似比是1，则△ACE ≌△BDF ，所以需要有一条边相等，我们发现决定两个三角形边长变化的是AC 和BD 的长度，所以只要AC ＝BD ，则可满足△ACE ≌△BDF ；那么要使AC ＝BD ，由已知可知两车同时出发，所以两车速度相同则可以保证AC ＝BD ， 所以添加两车等速行驶即可证明：∵AC ∥BD ，∴∠A ＝∠B ，∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠DFB ＝90°，∵两车等速同时行驶，∴AC ＝BD ，在△ACE 和△BDF 中CEA DFB A BAC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△BDF （AAS ）．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定以及相似三角形的判定，正确掌握基本判定方法是解题关键．22．（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5.【解析】【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【详解】(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE,若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF ⊥AE ，∴点F 为AE 的中点.∵∴EF=12∵=PE EF AE EB ∴PE=5，即x=5.∴满足条件的x 的值为2或5.【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线.。

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习能力达标练习题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习能力达标练习题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习能力达标练习题2（附答案详解）1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，若AB=2，BC=4．则DC 的长度为（ ）A ．1 B．3 C ．3 D ．232．如图所示，已知PN ∥BC ，AD ⊥BC 交PN 于点E ，交BC 于点D ，若APNPBCN S S ∆四边形=12，求AE AD的值是（ ）A ．12B ．22C ．3D ．133．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB ＝4，AD ＝2．∠DAC ＝∠B ，若△ACD 的面积为a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．aB ．2aC ．3aD ．4a4．如图，在ABC 中，点D 、G 分别在BC 、AB 边上，AD 与CG 相交H ，如果DA DB =，GB GC =，AD 平分BAC ∠，那么下列三角形中不与ABC 相似的是( )A ．△ABDB ．△ACDC ．△AGHD ．△CDH5．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使△ABE 和△ACD 相似的是( )A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB C．OB·OE＝OC·OD D．AD∶AB＝AC∶AE6．已知：如图，在▱ABCD中，AE：EB=1：3，则FE：FC=（）A．1：2B．2：3C．3：4D．3：2 7．如图，若DE是△ABC的中位线，则S△ADE：S△ABC=（）A．1：2B．1：2 C．1：3 D．1：4 8．在直角三角形ABC中，CD是斜边上的高线，则下列各式能成立的是( )A．AC BCAB CD=B．CD ACAB BC=C．AC CDAB BD=D．AC ABCD BC=9．如图，在□ABCD中，点E在AD边上、EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是( )A．DE DFAE BF=B．EF DFAB DB=C．EF DFCD BF=D．EF DFCD DB=10．矩形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且∠BEF=90º,则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ一定相似的是（）.A．Ⅰ和ⅡB．Ⅰ和ⅢC．Ⅰ和ⅣD．Ⅲ和Ⅳ11．如图，任两个竖直或水平相邻的点都相距1个单位长度．已知线段AB 交线段CD 于点E ，则线段AE 的长是__________．12．如图，在ABC 中，//DE BC ，若3AD =，5DB =， 3.3DE =，那么BC =________．13．如图为两正方形ABCD ，BPQR 重叠的情形，其中R 点在AD 上，CD 与QR 相交于S 点．若两正方形ABCD 、BPQR 的面积分别为16、25，则四边形RBCS 的面积为__________．14．如图，在Rt ABC ∆中，D 为斜边AB 上一点，AD ＝5，BD ＝4，四边形CEDF 为正方形，则图中阴影部分的面积为_____________；15．如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，//DE BC ，6BC =，2DE =，当ADE 面积为3时，则ABC 的面积为________．16．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=42，E是线段AB的中点，F是线段BC上的动点，△BEF沿着直线EF翻折到△B'EF，连接DB'、B'C，当DB'最短时，则sin∠B'CF=_____．17．如图，在△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边的高，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒4个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B 到达原点时停止运动.当△ABC的边与坐标轴平行时，t＝_____________.18．如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，如果正方形ABCD的边长为1，则△CHG的周长为__________19．如图，请填上一个你认为合适的条件：________，使ABD与ACB相似．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）20．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，则AE=_____．21．如图，已知：BC 是BD 、AB 的比例中项．求证：CDB ∆∽ACB ∆．22．△ABC 和△CDE 是以C 为公共顶点的两个三角形．（1）如图1，当△ABC 和△CDE 都是等边三角形时，连接BD 、AE 相交于点P ．求∠DPE 的度数；（2）如图2，当△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°时，连接AD 、BE ，Q 为AD 中点，连接QC 并延长交BE 于K ．求证：QK ⊥BE ；（3）在（1）的条件下，N 是线段AE 与CD 的交点，PF 是∠DPE 的平分线，与DC 交于点F ，CN=22，∠PFN=45°，求FN 的长．23．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点（点P 不与点A 、点D 重合），点Q 是边CD 上一点，联结PB 、PQ ，且∠PBC=∠BPQ．（1）当QD=QC 时，求∠ABP 的正切值；（2）设AP=x ，CQ=y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）联结BQ ，在△PBQ 中是否存在度数不变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．24．如图，AB//CD ，ACB BDC 90∠∠==，CE AB ⊥于点E ，DF CB ⊥于点F．()1求证：ABC BCD∽；()2已知AC2BC=，求DFCE的值．25．如图所示，已知：点D在ABC的边AB上，连接CD，1B∠=∠，4AD=，5AC=，求BD的长．26．如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，AF、AG与边BC的交点分别为D、E (点D不与点B 重合,点E不与点C重合).(1)图中共有对相似而不全等的三角形.(2)选取其中一对进行证明.27．如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）当x为何值时，PQ∥BC；（2）当13BCQABCSS=时，求APQBPQSS的值；（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出时间x的值；若不能，说明理由．28．如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的两点（点D不与点A、点B重合），且DE∥BC，以DE为一边，在四边形DBCE的内部作正方形DEFG，已知AB=AC=5，BC=6．（1）试求△ABC的面积；（2）当GF与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）若BG的长度等于正方形DEFG的边长，试求AD的长．参考答案1．C【解析】∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =90°，∵∠BAC =90°，∴∠ADC =∠BAC =90°，∵∠C =∠C ，∴△ABC ∽△DAC ， ∴AC BC DC AC= ， ∵AB =2，BC =4，∴AC= ∴DC =3．故选：C ．2．C【解析】试题解析：∵PN ∥BC ，AD ⊥BC ，∴AE ⊥PN ，△APN ∽△ABC ， ∵12APNPBCNS S =四边形△， ∴1 3APNABC S S =， ∵△APN ∽△ABC ，∴213APN ABC S AE SAD ==（）， ∴3AE AD =．故选C ．3．D【解析】分析：首先证明ACD BCA ∽，由相似三角形的性质可得：ACD 的面积：ABC △的面积为1：4，因为ACD 的面积为a ，进而求出ACD 的面积．详解：∵∠DAC =∠B ，∠C =∠C ，∴△ACD ∽△BCA ，∵AB =4，AD =2，∴△ACD 的面积：△ABC 的面积为1:4，∵△ACD 的面积为a ，∴△ABC 的面积为4a ，故选D.点睛：考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方.4．A【解析】【分析】由DA=DB ，GB=GC ，利用等边对等角得到两对角相等，再根据AD 为角平分线，得到一对角相等，等量代换可得∠BAD=∠B=∠GCB=∠CAD ，由∠CAD=∠B ，加上一对公共角相等可得△ACD ∽△BCA ；由∠AHG 为三角形ACH 的外角，利用外角性质得到∠AHG=∠ACH+∠DAC ，由∠ACD=∠ACH+∠GCB ，可得出∠AHG=∠ACD ，再由∠BAD=∠B ，可得△AHG ∽△ACB ；由对顶角相等可得∠CHD=∠AHG ，再由∠AHG=∠ACD 等量代换可得∠CHD 与∠ACD 相等，再加上∠B=∠GCB ，可得出△CDH ∽△BAC ；而三角形ABD 与三角形ABC 不满足相似的条件，进而确定出正确的选项．【详解】∵DA=DB ，GB=GC ，∴∠BAD=∠B ，∠B=∠GCB ，又AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ，∴∠BAD=∠B=∠GCB=∠CAD ，∴∠CAD=∠B ，又∠ACD=∠CBA （公共角），∴△ACD∽△BCA；∵∠AHG为△DHC的外角，∴∠AHG=∠ACH+∠DAC，又∠ACD=∠ACH+∠GCB，且∠DAC=∠GCB，∴∠AHG=∠ACD，又∠BAD=∠B，∴△AHG∽△ACB；∵∠CHD=∠AHG（对顶角相等），且∠AHG=∠ACD，∴∠CHD=∠ACD，又∠B=∠GCB，∴△CDH∽△BAC；而∠B=∠B，∠BAD不等于∠ACB，则△ABD不相似△ABC，则题中△ACD∽△BCA；△AHG∽△ACB；△CDH∽△BAC．故选A．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角性质，利用了转化及等量代换的数学思想，其中相似三角形的判定方法为：两对对应角相等的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似．5．D【解析】试题解析：∠B=∠C或∠ADC=∠AEB，又∠A公用，∴△ABE∽△ACD．由OB·OE＝OC·OD及∠BOD=∠COE∴△BOD∽△COE∴∠B=∠C又∠A公用，∴△ABE∽△ACD．因此下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是：D．故选D．6．C【解析】【分析】由平行四边形的性质可知AB=CD，再根据AE：EB=1：3可得BE：CD=3：4，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得FE：EC的值.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴△BEF∽△DCF，∴EF：FC=BE：CD，∵AE：EB=1：3，AE+BE=AB，∴BE：AB=3：4，∴EF：FC=3：4，故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.7．D【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1:2，∴S△ADE ：S△ABC=1:4，故选D．8．D 【解析】试题分析：根据三角形的面积计算公式可得：AC·BC=AB·CD，即AC ABCD BC=，故选D．9．C 【解析】A选项中，因为EF∥CD，CD∥AB，所以EF∥AB，所以DE DFAE BF=，所以本选项正确；B选项中，因为EF∥AB，所以△DEF∽△DAB，所以EF DFAB DB=，所以本正确；C选项中，因为EF∥AB，所以△DEF∽△DAB，所以EF DFAB DB=，因为AB=CD，所以EF DF DFCD DB FB=≠，所以本选项错误；D选项中，因为EF∥AB，所以△DEF∽△DAB，所以EF DFAB DB=，因为AB=CD，所以EF DFCD DB=，所以本选项正确；故选C.10．B【解析】【分析】由矩形的四个角是直角，结合∠BEF =90°，即可由同角的余角相等得到∠ABE =∠DEF ；接下来结合已知直角即可得到相似三角形，从而确定答案.【详解】Ⅰ与Ⅲ.∵∠BEF =90°，∴∠AEB +∠DEF =90°. ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠A =90°. ∴∠AEB +∠ABE =90°，∴∠ABE =∠DEF .又∵∠A =∠D =90°，∴△BAE ∽△EDF ，即三角形Ⅰ和Ⅲ相似.故选B.【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定，利用矩形的性质得到判定相似三角形的条件是解题的关键11【解析】连接CB ，过点D 作DF CB 交AB 于点F ，∴FDE BCE ∽， ∴FD FE BC BE=，有2FD =，4CB =，FB ==， ∴24=，∴253FE =， ∵22125AF =+=，∴2555533AE AF FE =+=+=．故答案为：553.12．8.8【解析】【分析】根据线段的和差，可得AB ，根据相似三角形的判定与性质，可得DE 与BC 的关系，可得答案．【详解】∵AD=3，DB=5，∴AB=AD+DB=8.∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE 3.33=,BC 8AD AB BC =，BC=8.8. 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键为寻找相似的边.13．778【解析】试题解析：∵正方形ABCD 的面积为16，正方形BPQR 面积为25，∴正方形ABCD 的边长为4，正方形BPQR 的边长为5，在Rt ABR 中,AB =4,BR =5,由勾股定理得：AR =3,∵四边形ABCD 是正方形，90A D BRQ ∴∠=∠=∠=，90,90ABR ARB ARB DRS ∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ABR =∠DRS ，∵∠A =∠D ，∴△ABR ∽△DRS ，AB AR DR DS∴=， 431DS∴=， 34DS ∴=， ∴阴影部分的面积S =S 正方形ABCD −S △ABR −S △RDS 433177441.2428⨯=⨯--⨯⨯= 故答案为：77.8 14．10【解析】【分析】设正方形CEDF 的边长为a ，由四边形CEDF 为正方形，∠ACB=90°，得DF ∥BC ，得到△ADF ∽△DBE ，所以54a AF BE a ==，则BE=45a ，AF=54a ，在Rt △BDE 中，利用勾股定理可得到a 2=40041，再利用三角形的面积公式得S 阴影部分=12AF•DF+12DE•BE ，代入计算即可得到阴影部分的面积【详解】设正方形CEDF 的边长为a ，∵四边形CEDF 为正方形，∠ACB=90°， ∴DF ∥BC ，∴∠ADF=∠B ，∴△ADF ∽△DBE ， ∴AD DF AF BD BE DE==， 又∵AD ＝5，BD ＝4，∴54a AF BE a==， ∴BE=45a ，AF=54a ， 在Rt △BDE 中，BD 2=BE 2+DE 2，即42=a 2+（45a ）2， 解得a 2=40041， 又∵S 阴影部分=12AF•DF+12DE•BE=12（254a +245a ）=12×414002041⨯=10， 故答案为：10．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.15．27【解析】【分析】先证明△ADE 和△ABC 相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【详解】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴21 9ADE ABC S DE S BC ∆∆==（）， ∵△ADE 的面积为3，∴S △ABC =3×9=27； 故答案为：27．【点睛】本题主要考查相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 16【解析】【分析】当DB ′最短时，E B D '、、共线，此时64DE DB ='=，，作B M BC '⊥垂足为M ，易知：42882,,3BN B M B N BM BE EM CN BC BN ='='==+==-=，，3sin .3B N B CF B C ''∠'== 【详解】由折叠可知：BE =B ′E∴B ′在以E 为圆心，BE 为半径的圆上，如图所示,此时DB ′最短，由勾股定理得：ED =6, ∵B ′M ⊥AB ,B ′N ⊥BC ，∴90B ME B NF ∠'=∠'=，∵90MB E EB N NB F EB N ∠'+∠'=∠'+∠'=∴∠MB ′E =∠NB ′F ，∴△B ′ME ∽△DAE∴1,3B M EM EB DA EA ED ''=== ∴422,,33B M EM '== ∴42882,,333BN B M B N BM BE EM CN BC BN ='='==+==-= 由勾股定理得：83B C '=∴3sin B N B CF B C ''∠'==故答案为：3 .【点睛】属于矩形的折叠问题，考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等，综合形比较强.17．68 55或【解析】分析：分两种情况：①当CA⊥x轴时，根据两角对应相等的两三角形相似证明△CAD∽△ABO，得出AB AOCA CD＝，求出AO的值；②CB⊥y轴时，同理，可求出AO的值．详解：∵BC=AC，CD⊥AB，∴D为AB的中点，∴AD=12AB=4．在Rt△CAD中，CD=2254=3，分两种情况：①设AO=4t1时，CA⊥x轴时，A垂足，如图．∴CA⊥OA，∴CA∥y轴，∴∠CAD=∠ABO．又∵∠CDA=∠AOB=90°，∴Rt△CAD∽Rt△ABO，∴AB AOCA CD＝，即148=53t，解得t1=65；②设AO=4t2时，CB⊥y轴，B为切点，如图．同理可得，t2=85．综上可知，当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为65或85．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．18．2【解析】分析：设CH=x，DE=y，则DH=1-x，EH=1-y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEH∽△CHG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，HG分别用x，y分别表示，△CHG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEH中根据勾股定理可以得到2x-x2=2y，进而求出△CHG的周长．详解：设CH=x，DE=y，则DH=1-x，EH=1-y，∵∠EHG=90°，∴∠DHE+∠CHG=90°．∵∠DHE+∠DEH=90°，∴∠DEH=∠CHG，又∵∠D=∠C=90°，∴△DEH∽△CHG，∴CG：DH=CH：DE=HG：EH，即CG:(1−x)=x:y=HG:(1−y)，∴CG=()1x xy-，HG=()1x yy-，∴△CMG的周长为=CH+CG+HG=22x xy-，在Rt△DEH中，DH2+DE2=EH2,即（1-x）2+y2=（1-y）2, 整理得2x-x2=2y，∴CH+HG+CG=2222 x x yy y-==．故答案为：2．点睛：本题考查翻折变换，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决熟练运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．19．1C∠=∠（答案不唯一）【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．【详解】有两个角相等的三角形相似，∴添加的条件可以是：∠1=∠C.故答案为：∠1=∠C(答案不唯一).【点睛】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．20．4【解析】【分析】利用矩形面积，以及所给的两个三角形的面积比，可求出△ABE，△ADE的面积，从而得到AB：AD，结合AD•AB=40，可求AB2、AD2，则利用勾股定理可求出BD，再利用三角形ABD的面积公式可求出AE．【详解】∵S矩形ABCD=40cm2，则△ABD的面积是20cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，∴△ABE的面积是4，△DAE的面积是16，在直角△ABD 中，AE ⊥BD ，则△ABE ∽△DAE ，面积的比是4：16，∴AB ：AD=1：2，根据△ABD 的面积是20，即AB•AD=40，得到方程组•4012AB AD AB AD ⎧⎨⎩＝：＝：， 解得：AB 2=20，AD 2=80，∴BD 2=100，∴BD=10，又∵S △ABD =12•BD•AE=20， ∴AE=4．故答案为4．【点睛】本题主要考查了三角形的面积的计算方法，勾股定理，以及相似三角形的性质，面积的比等于相似比的平方．21．见解析【解析】【分析】由比例中项可知BD:BC=BC:AB ，而∠B 是△CDB 和△ACB 的公共角，故可证明两三角形相似.【详解】 2BC BD AB =⋅， ∴,BC AB BD BC= ∵B B ∠=∠，∴CDB ∠∽ACB ∆．【点睛】本题由比例中项定义得两三角形对应边成比例，再由公共角即可证明两三角形相似.22．（1）60°；（2）见解析；（3）26 3【解析】试题分析：(1)只要证明△BCD≌△ACE,可得∠BDC=∠AEC,利用“8字型”证明∠DPJ=∠JCE=60°即可；·(2)如图2中,延长CQ到R,使得CQ=QR,连接AR、DR.只要证明△ACR≌△BCE，可得∠ACR=∠CBE，由∠ACR+∠BCK=90°，推出∠CBE+∠BCK=90°，,可得∠CKB=90°，即CK⊥BE．(3)如图3中,作NH⊥EC于H，NG⊥PF于G，在EH上取一点K使得KN=KE.提供解直角三角形求出CE、DE、NE,再利用相似三角形的性质可得DE2=NE·PE，求出PE、PN,由此即可解决问题;解：（1）如图1中，设AE交CD于J．∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴CB=CA，CD=CE，∠BCA=∠DCE，∴BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴∠BDC=∠AEC，∵∠PJD=∠CJE，∴∠DPJ=∠JCE=60°，∴∠DPE=60°．（2）如图2中，延长CQ到R，使得CQ=QR，连接AR、DR．∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CE=CD，∴∠BCE+∠ACD=180°，∵AQ=DQ，CQ=QR，∴四边形ACDR是平行四边形，∴AR=CD=CE，AR∥CD，∴∠CAR+∠ACD=180°，∴∠BCE=∠CAR，∵CA=CB，AR=CE，∴△ACR≌△BCE，∴∠ACR=∠CBE，∵∠ACR+∠BCK=90°，∴∠CBE+∠BCK=90°，∴∠CKB=90°，即CK⊥BE．（3）如图3中，作NH⊥EC于H，NG⊥PF于G，在EH上取一点K使得NK=EK．∵∠DPE=60°，PF平分∠DPE，∴∠NPPF=30°，∵∠PFN=45°，∠NGF=90°，∴GF=GN=PN，FN=GN，∴∠PNF=∠CNE=105°，∠CEN=15°，∵KN=KE，∴∠KNE=∠KEN=15°，∴∠NKH=30°，在Rt△CNH中，∵CN=2，∠CNH=30°，∴CH=CN=，NH=CH=，在Rt△NKH中，NK=KE=2NH=2，HK=NH=3，∴EN===6+2，CE=DE=4+2∵∠DEN=∠PED，∠EDN=∠EPD，∴△DEN∽△PED，∴DE2=NE•PE，∴可得PE=，PN=PE﹣EN=，∴FN=××=．23．(1)13;(2)422xyx-=+（0＜x＜2）;(3)见解析【解析】试题分析：（1）延长PQ 交BC 延长线于点E ．设PD =x ，由∠PBC ＝∠BPQ 可得EB=EP ，再根据AD //BC ，QD ＝QC 可得PD ＝CE ，PQ ＝QE ，从而得BE ＝EP= x +2，QP ＝()122x +，在Rt △PDQ 中，根据勾股定理可得43x =，从而求得AP 的长，再根据正切的定义即可求得； （2）过点B 作BH ⊥PQ ，垂足为点H ，联结BQ ，通过证明Rt △PAB ≅ Rt △PHB ，得到AP = PH =x ，通过证明Rt △BHQ ≅ Rt △BCQ ，得到QH = QC= y ，在Rt △PDQ 中，根据 勾股定理可得PD 2+QD 2=PQ 2，代入即可求得；（3）存在，根据（2）中的两对全等三角形即可得.试题解析：（1）延长PQ 交BC 延长线于点E ，设PD =x ，∵∠PBC ＝∠BPQ ，∴EB=EP ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD //BC ，∴PD ∶CE= QD ∶QC= PQ ∶QE ，∵QD ＝QC ，∴PD ＝CE ，PQ ＝QE ，∴BE ＝EP= x +2，∴QP ＝()122x +， 在Rt △PDQ 中，∵222PD QD PQ +=，∴2221112x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得43x =， ∴23AP AD PD =-=，∴211tan 323AP ABP AB ∠==⨯=；（2）过点B 作BH ⊥PQ ，垂足为点H ，联结BQ ，∵AD //BC ，∴∠CBP ＝∠APB ，∵∠PBC ＝∠BPQ ，∴∠APB ＝∠HPB ，∵∠A ＝∠PHB ＝90°，∴BH = AB =2，∵PB = PB ，∴Rt △PAB ≅ Rt △PHB ，∴AP = PH =x ，∵BC = BH=2，BQ = BQ ，∠C ＝∠BHQ ＝90°，∴Rt △BHQ ≅ Rt △BCQ ，∴QH = QC= y ，在Rt △PDQ 中，∵222PD QD PQ +=，∴()()()22222x y x y -+-=+， ∴ 422x y x -=+；（3）存在，∠PBQ ＝45°．由（2）可得，12PBH ABH ∠=∠，12HBQ HBC ∠=∠， ∴()11904522PBQ ABH HBC ∠=∠+∠=⨯︒=︒． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等，正确添加辅助线是解题的关键.24．（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）根据平行线性质得∠ABC=∠BCD ，即可求证△ABC ∽△BCD ；（2）设BC=k ，则AC=2k ，根据勾股定理可求得AB ，再根据△ABC ∽△BCD 得对应边比值相等即可解题．【详解】 ()1∵AB//CD ，∴ABC BCD ∠∠=，又∵ACB BDC 90∠∠==，∴ABC BCD ∽；()2设BC k =，则AC 2k =，∵ACB 90∠=，∴2222AB AC BC 5k =+=，∴AB 5k =，∵ABC BCD ∽，∴DF DF BCCE BD AB 5====． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 25． 2.25BD =【解析】【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似判定△ACD ∽△ABC ，再根据对应边对应成比例从而求出AB 的值，进而求出BD 的长即可.【详解】∵1B ∠∠=，A A ∠∠=．∴ACD ABC ∽．∴2AC AD AB =⋅．∴AB 6.25=．∵AD 4=，∴BD 2.25=．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.26．（1）3；（2）△DAE ∽△DCA ；证明见解析.【解析】【分析】（1）观察图形判断哪两个三角形可能相似，再根据所学知识进一步判断；（2）根据“如果两个三角形有两个角对应相等，那么这两个三角形是相似三角形”进行判断.【详解】解：(1)图中相似而不全等的三角形有：△ABE ∽△DAE ，△ABE ∽△DCA ，△DAE ∽△DCA.故答案为3.(2)∵△ABC 和△AFG 是等腰直角三角形，∴∠GAF ＝∠ACB ，又∵△DAE 和△DCA 有一个公共角∠ADE ，∴△DAE ∽△DCA.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.27．（1）x=103；（2）APQ BPQ S S =2；（3）x 的值是109或5． 【解析】试题分析：（1）当PQ ∥BC 时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP ，PQ ，AB ，AC 的比例关系式，我们可根据P ，Q 的速度，用时间x 表示出AP ，AQ ，然后根据得出的关系式求出x 的值；（2）我们先看当S △BCQ ：S △ABC ＝1：3时能得出什么条件，由于这两个三角形在AC 边上的高相等，那么他们的底边的比就应该是面积比，由此可得出CQ ：AC=1：3，那么CQ=10cm ，此时时间x 正好是（1）的结果，那么此时PQ ∥BC ，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ 和ABC 的面积比，然后再根据三角形PBQ 的面积=三角形ABC 的面积-三角形APQ 的面积-三角形BQC 的面积来得出三角形BPQ 和三角形ABC 的面积比，由此即可得； （3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A 和∠C 对应相等，那么就要分成AP 和CQ 对应成比例以及AP 和BC 对应成比例两种情况来求x 的值．试题解析：试题解析：（1）由题意得，PQ//BC ，则AP ：AB=AQ ：AC ，AP=4x ， AQ=30﹣3x ， 43032030x x -=，解得x=103； （2）∵S △BCQ ：S △ABC =1：3，∴CQ：AC=1：3，CQ=10cm ，∴时间用了103秒，AP=403cm ， ∵由（1）知，此时PQ 平行于BC ，∴△APQ∽△ABC，相似比为23， ∴S △APQ ：S △ABC =4：9，∴S △APQ = 49 S △ABC ，∴四边形PQCB 与三角形ABC 面积比为5：9，即S 四边形PQCB =59S △ABC ， 又∵S △BCQ ：S △ABC =1：3，即S △BCQ =13S △ABC ， ∴S △BPQ =S 四边形PQCB ﹣S △BCQ ═59S △ABC ﹣13S △ABC =29S △ABC ， ∴APQ BPQ S S =4 92 9ABC ABC S S =2； （3）假设两三角形可以相似，情况1：当△APQ∽△CQB 时，CQ ：AP=BC ：AQ ，即有3204303x x x =- ， 解得x=109， 经检验，x=109是原分式方程的解， 情况2：当△APQ∽△CBQ 时，CQ ：AQ=BC ：AP ，即有3203034x x x=-， 解得x=5，或x=-10（不合题意，舍去），经检验，x=5是原分式方程的解，综上所述，时间x 的值是109或5． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键.28．（1）12（2）125 （3）12573 【解析】试题分析：(1)作底边上的高,利用勾股定理求出高就可以求出面积.(2)根据DE ∥BC ,得到△ADE ∽△ABC ,再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE 的长度.（3）设AD 为y ，作GH ⊥BD ，由△ADE ∽△ABC ，由△ADE ∽△ABC ，得65DE y =， 由△BGH ∽△ABM ，得12573AD =． 解：（1）作AM ⊥BC 交BC 与M ，∵AB =AC ，∴BE =EC =3，在Rt△AMC 中，由222AM MC AC +=，可得AM =4， ∴12ABC S ∆=．（2）设正方形边长为x ，AM 交DE 于点N ，由题意，得△ADE ∽△ABC ， ∴DE AN BC AM =，∴464x x -=， 解得12x 5=，∴正方形DEFG 的边长为125． （3）设AD 为y ，作GH ⊥BD ，由△ADE ∽△ABC ，得AD DE AB BC =，即56y DE =，解得65DE y =， 由△BGH ∽△ABM ，得BH BG AM AB =，即655245y y -=， 解之得125y 73=，∴AD 的长为12573．。

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习课堂基础过关练习题2（附答案详解）

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习课堂基础过关练习题2（附答案详解）

青岛版2020九年级数学 1.2怎样判定三角形相似自主学习课堂基础过关练习题2（附答案详解）1．如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，有下列三个结论：①DE ＝12AB ；②△CDE ∽△CAB ；③△CDE 与△CAB 的相似比为 2.其中正确的结论有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如图所示，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E ，且DE ⊥AF ，垂足为点M ，BE=3，AE=26，则MF 的长是（）A ．15B ．1510C ．1D ．15153．已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E 和F ，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为（）A ．43B ．245C ．43或245D ．23或1254．如图，已知AD 为ABC 的角平分线，//DE AB 交AC 于E ，如果23AE EC，那么(AB AC)A ．13B ．23C ．25D ．355．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（）A．4对B．3对C．2对D．1对6．如图在ABC中，ACB90，CD AB，DE BC，垂足分别为D、E．则与Rt CDE（本身除外）相似的三角形共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO=3，BO=5，DC=4，则AB长为（）A．6B．8C．203D．1548．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE：EC=1：2，BE 交AD于P，则AP：PD等于（）A．1：1 B．1：2 C．2：3 D．4：39．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD=2，DB=3，△ADE 的面是2，则四边形BCED的面积是（）A．4 B．8 C．212D．25210．如图，△ABC中∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=，PB=5，PC=2，则∠APC的度数为_____，△ABC的面积为_____．11．请说一说什么是相似三角形答：_____________.通过探索和学习，你知道怎样判定两个三角形相似？那么请把你的判定方法写在下面吧.（1）_____________.（2）_____________.（3）_____________.12．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=6，AC=4，AD=3，当AP的长度为__________时，△ADP与△ABC相似．13．如图，D、E分别在ABC的AB、AC边上，且DE与BC不平行，要使ABC 与AED相似，需要添加一个条件________．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE DF，AE 与BF相交于点M，则图中与ABM相似的三角形有________．15．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=32ED，EC交对角线BD于点F，则EFFC等于_____．16．如图为两正方形ABCD，BPQR重叠的情形，其中R点在AD上，CD与QR相交于S点．若两正方形ABCD、BPQR的面积分别为16、25，则四边形RBCS的面积为__________．17．如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当_____时，△ADE∽△ABC．其中D、E 分别对应B、C．（填一个条件）．18．如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，//DE BC，6BC，2DE，当ADE面积为3时，则ABC的面积为________．19．在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(10，0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为13，把线段AB缩小后得到线段A/B/，则A/B/的长度等于____________．20．如图，AB//CD，ACB BDC90，CE AB于点E，DF CB于点F．1求证：ABC BCD∽；2已知AC2BC，求DFCE的值．21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P 1、P 2、P 3、P 4、P 5是△DEF 边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)试证明△ABC 为直角三角形；(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；22．在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与A ，B 重合），分别连接ED 、EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形．如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“强相似点”．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=70°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）四边形AOBC 在平面直角坐标系中的位置如图2所示，若点A ，B ，C 的坐标分别为（6，8）、（25，0）、（19，8），则在四边形AOBC 的边OB 上是否存在强相似点？若存在，请求出其坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点D 落在AB 边上的点F 处，若点F 恰好是四边形ABCE 的边AB 上的一个强相似点，直接写出BC AB的值．23．已知直线y=mx+2（m ≠０）交x 轴，y 轴于A ，B 两点，点O 为坐标原点，点C （2，0）．（1）用含m 的代数式表示点A 的横坐标_____；（2）若直线AB 上存在点P 使∠OPC=90°，求m 的取值范围．24．如图，Rt ABC 中，90C ，4AC ．3BC，点M 是AB 上一点，以M为圆心作M ，1若M 经过A 、C 两点，求M 的半径，并判断点B 与M 的位置关系．2若M 和AC 、BC 都相切，求M 的半径．25．在ABC 和DEF 中，90A D，3ABDE ，24ACDF ．（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过A D ，在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC 分割成的两个三角形与DEF 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．26．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试卷A卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试卷A卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试卷A卷（附答案详解）1．如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上．若AB＝5，BG＝3，则△GFH的面积为（）A．10 B．11 C．152D．4542．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）A．甲B．乙C．丙D．丁3．图中四个阴影的三角形中与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4．已知：如图，在▱ABCD中，AE：EB=1：3，则FE：FC=（）A．1：2B．2：3C．3：4D．3：25．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，那么下列结论错误的是（）A．AB AC=B．AD AF=C．AB AC=D．EF DE=6．如图．Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是弧AB 的中点，CD与AB的交点为E，则CEDE等于（）A．4 B．3.5C．3D．2.87．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC，E为垂足，图中相似三角形共有（全等三角形除外）（）A．3对B．4对C．5对D．6对8．如图，∠ACB=∠ADC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ABC∽△CAD，只要CD 等于( )A．2bcB．2baC．abcD．2ac第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．根据图加一个条件________，使ABC相似于BDC．10．如图，三个正方形的边长分别为1,3,4，则图中阴影部分的面积为______________。

11．如图，已知ABCD 中，过点B 的直线与AC 相交于点E 、与AD 相交于点F 、与CD 的延长线相交于点G ，若BE 5=，EF 2=，则FG =________．12．如图，若使△ACD ∽△ABC ，需添加的一个条件是_____．13．如图，ABC 和ABD 有一条公共边AB ，已知90C D ∠=∠=，请添加一个条件，使ABC ABD ≅，添加的条件是________．（添加一个即可）14．如图，在△ABC 中，点D 、F 在AB 边上，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：DF ：FB=1：2：3，则S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG =_____．15．如图，△ABC 是等边三角形，AB=7，点D 是边BC 上一点，点H 是线段AD 上一点，连接BH 、CH ．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=_____．17．如图，点G 是BD 上的一点且//EG AD ，//FG CD ，求证：EFG ACD ∽．18．如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=23． （1）求证：△ABP ∽△PCD ；（2）求△ABC 的边长．19．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果CD=8，CE=6，求⊙O 的半径．20．如图所示，四边形ABCD 的两条对角线交于点O ，且AB ∥CD .有下列结论：①△AOB 与△COD 相似；②△ABD 与△ABC 相似；③S △COD ∶S △AOB ＝DC ∶AB ；④S △AOD ＝S △BOC .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个21．已知：如图，AB AC BC AD AE DE==．（1）求证：∠B=∠ADE；（2）当∠BAC=90时，求证：EC⊥BC．22．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在边AC上，AB=BD，BE=ED，且CBE ABD∠=∠，DE与CB交于点F.求证：（1）BD2=AD·BE；（2）CD·BF=BC·DF.23．如图①,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A,B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的“强相似点”.（试题再现）如图②,在△ABC中,∠ACB=90°,直角顶点C在直线DE上,分别过点A,B 作AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E.求证:△ADC∽△CEB．（问题探究）在图①中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB 上的相似点,并说明理由.（深入探究）如图③,AD∥BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于点P,过点P作AB⊥AD 于点A,交BC于点B．(1)请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.(2)若AD=3,BC=5,试求AB的长.24．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=63．求AF的长．参考答案1．D【解析】分析：根据正方形和矩形的性质，利用两角对应相等的两三角形的相似，求得△DGC∽△HGF，然后根据相似三角形的对应边相等得到FH的值，然后根据三角形的面积公式求解即可.详解：根据题意可得：△DGC∽△HGF，GC=5－3=2，CD=5，GF=3，则GC GFCD FH=，即235FH=，解得：FH=152，则△GFH的面积=12×3×152=454.故选：D.点睛：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，关键是利用相似三角形的判定与性质求得FH的值，比较简单.2．C【解析】分析：令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点R对应的位置．解答：解：根据题意，△ABC要使△ABC∽△PQR，则△PQR，经计算只有丙点合适，故选C．3．B【解析】【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【详解】由勾股定理得：AC=BC=2，AB=AC：BC：AB=1．A．三边之比为1，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B．三边之比：1图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；C．3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D．三边之比为2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．4．C【解析】【分析】由平行四边形的性质可知AB=CD，再根据AE：EB=1：3可得BE：CD=3：4，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得FE：EC的值.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴△BEF∽△DCF，∴EF：FC=BE：CD，∵AE：EB=1：3，AE+BE=AB，∴BE：AB=3：4，∴EF：FC=3：4，故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.5．C【解析】分析：由DE∥BC、EF∥CD得△ADE∽△ABC、△AFE∽△ADC，据此知ABAD=ACAE=BCDE、AC AE =ADAF=DCEF，利用比例的基本性质逐一判断可得．详解：∵DE∥BC、EF∥CD，∴△ADE∽△ABC、△AFE∽△ADC，则ABAD=ACAE=BCDE、ACAE=ADAF=DCEF，故A正确；∴ABAD=ADAF，即ADAB=AFAD，故B正确；由ACAE=BCDE、ACAE=DCEF知BCDE=DCEF，即EFDC=DEBC，故D正确．故选C．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时利用相似比表示线段之间的关系．6．C【解析】【分析】如图，连接DO，交AB于点F，由垂径定理的知识可得出DO⊥AB，AF=BF，进而得出DF的长和△DEF∽△CEA，再利用相似三角形的性质求出即可．【详解】如图，连接DO，交AB于点F，∵D是AB的中点，∴DO⊥AB，AF=BF，∵AB=4，∴AF=BF=2，∴FO是△ABC的中位线，AC∥DO，∵BC为直径，AB=4，AC=3，∴BC=5，FO=12AC=1.5，∴DO=2.5，∴DF=2.5﹣1.5=1，∵AC∥DO，∴△DEF∽△CEA，∴CE AC DE DF=，∴31CEDE==3，故选C．【点睛】本题考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质，有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理进行解题是关键.7．C【解析】分析：由已知条件易得∠AED=∠DEC=∠ADC=∠ABC=90°，∠ADE=∠ACD=∠CAB，这样结合“有两个角对应相等的两个三角形相似”即可作出判断了.详解：∵四边形ABCD是矩形，DE⊥AC，∴∠AED=∠DEC=∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠CAD+∠ADE=∠ADE+∠CDE=∠CDE+∠ACD=90°，∴∠ADE=∠ACD=∠CAB，∴△ADE∽△DCE，△ADE∽△CAB，△DCE∽△CAB，△ADE∽△ACD，△DCE∽△A CD，∴图中共有5对相似三角形.故选C.点睛：本题的解题要点是：能由已知条件得到：∠AED=∠DEC=∠ADC=∠ABC=90°，∠ADE=∠ACD=∠CAB，且熟知“有两个角对应相等的两个三角形相似”.8．A【解析】解：假设△ABC∽△CAD，∴CD ACAC AB=，即CD=2ACAB=2bc，∴要使△ABC∽△CAD，只要CD等于2bc．故选A．9．BAC DBC ∠=∠【分析】可选择利用两角法判定两三角形的相似．【详解】添加∠BAC=∠DBC.∵∠C=∠C，∠BAC=∠DBC，∴△ABC∽△BDC.故答案可为：∠BAC=∠DBC.【点睛】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．10．21 4【解析】如图，由题意FG∥DE∥BC，∴△AGF∽△AED∽△ACB，∴18GF AFBC AB==，12DE ADBC AB==，∴GF=0.5，DE=2，∴MG=3-0.5=2.5，DN=3-2=1，∴S阴影=S梯形MGEN=121 (2.51)324+⨯=.故答案为：21 4.11．10.5【解析】根据平行四边形的性质可判定△AEB ∽△EGC ，△AEF ∽△BEC ，利用相似三角形对应边成比例，可求出EG ，然后用EG 减去EF 即可．【详解】∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△BEC ，∴AE EC =EF BE． 又∵AB ∥DC ，∴△ABE ∽△EGC ，∴BE EG =AE EC ，∴BE EG =EF BE ，将BE =5，EF =2，代入求得：EG =12.5，∴FG =EG ﹣EF =12.5﹣2=10.5．故答案为：10.5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解与掌握，利用相似三角形中的对应边成比例是解答此题的关键，难度一般．12．∠ACD =∠B （答案不唯一）．【解析】【分析】由公共角∠A =∠A ；再由∠ACD =∠B ；即可判定△ACD ∽△ABC ．【详解】△ACD ∽△ABC ，需添加的一个条件是∠ACD =∠B ．理由如下：∵∠A =∠A ，∠ACD =∠B ，∴△ACD ∽△ABC ．故答案为：∠ACD =∠B （答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．13．AC AD =或BC BD =或BAC BAD ∠=∠或ABC ABD ∠=∠【解析】【分析】本题是开放型题型，探究三角形全等的条件，现有条件：公共边AB ，∠C=∠D=90°，可以考虑添加对应边相等（因为是直角三角形全等的问题，可以考虑用HL 判定全等），也可以考虑添加角对应相等．本题答案不唯一，添加一个条件就可以了．【详解】解：根据HL 添加AC=AD 或BC=BD ；根据AAS 添加∠BAC=∠BAD 或∠ABC=∠ABD ．故填空答案：AC=AD 或BC=BD ；∠BAC=∠BAD 或∠ABC=∠ABD ．【点睛】本题考查了学生对全等三角形几种判断方法的掌握情况，特别是直角三角形的全等，既可以用一般方法，又可以用直角三角形全等的特殊方法，选择面就更广一些．14．1：8：27【解析】∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∵AD ：DF ：FB=1：2：3，∴AD ：AF ：AB=1：3：6，∴S △ADE ：S △AFG ：S △ABC =1：9：36，设△ADE 的面积是a ，则△AFG 和△ABC 的面积分别是9a ，36a ，则S 四边形DFGE 和S 四边形FBCG 分别是8a ，27a ，∴S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG =1：8：27．故答案是：1：8：2715．13【解析】【分析】如图，作AE ⊥BH 于E ，BF ⊥AH 于F ，利用等边三角形的性质得AB=AC ，∠BAC=60°，再证明∠ABH=∠CAH ，则可根据“AAS”证明△ABE ≌△CAH ，所以BE=AH ，AE=CH ，在Rt △AHE 中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE=12AH ，，则，于是在Rt △AHC 中利用勾股定理可计算出AH=2，从而得到BE=2，HE=1，BH=1，接下来在Rt △BFH 中计算出HF=12，BF=2，然后证明△CHD ∽△BFD ，利用相似比得到HD FD=2，从而利用比例性质可得到DH 的长．【详解】作AE ⊥BH 于E ，BF ⊥AH 于F ，如图，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC=60°， ∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°， ∴∠ABH=∠CAH ，在△ABE 和△CAH 中AEB AHC ABE CAH AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CAH ，∴BE=AH ，AE=CH ，在Rt △AHE 中，∠AHE=∠BHD=60°， ∴sin ∠AHE=AE AH，HE=12AH ， ∴AE=AH•sin60°=2AH ， ∴， 在Rt △AHC 中，AH 2+）2=AC 2=）2，解得AH=2， ∴BE=2，HE=1，∴BH=BE ﹣HE=2﹣1=1，在Rt △BFH 中，HF=12BH=12，BF= ∵BF ∥CH ，∴△CHD ∽△BFD ，∴HD CH FD BF ===2，∴DH=23HF=23×12=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等，解题的关键是明确在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．16．（1）作图见解析；（2）①证明见解析；②165．【解析】试题分析：（1）先作出AC的中垂线，再画圆；（2）边接AE，AE是BC的中垂线，∠DAE=∠CAE，得出DE=CE,（3）利用△BDE∽△BCA求出BD，再利用余弦求出BM，用勾股定理求出DM．试题解析：（1）如图，（2）如图，连接AE，∵AC为直径，∴∠AEC=90°，∵AB=AC，∴∠DAE=∠CAE，∴DE=CE .（3）如图，连接AE ，DE ，作DM ⊥BC 交BC 于点M ，∵AC 为直径，∴∠AEC =90°，∵AB=AC 5cosC= 5EC=BE =4，∴BC =8， ∵点A 、D 、E 、C 共圆，∴∠ADE +∠C =180°， 又∵∠ADE +∠BDE =180°，∴∠BDE =∠C ，∴△BDE ∽△BCA ， ∴BD BE BC AB=即BD BA=BE BC ，∴BD ×5=4×8， ∴BD =85， ∵∠B =∠C ，∴cos ∠C=cos ∠5， ∴ 585=,∴BM= 85， ∴DM = 165． 17．见解析.【解析】 【分析】由EG ∥AD ，根据平行线的性质和相似三角形的判定得到∠BGE=∠BDA ，△BGE ∽△BDA ，则EG BG AD BD =，同理可得∠BGF=∠BDC ，FG BG CD BD =，所以∠FGE=∠CDA ，EG FG AD CD =，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．【详解】证明：∵//EG AD ，∴BGE BDA ∠=∠，BGE BDA ∽，∴EG BG AD BD=， ∵//FG CD ，∴BGF BDC ∠=∠，BGF BDC ∽， ∴FG BG CD BD=， ∵FGE CDA ∠=∠，EG FG AD CD =， ∴EFG ACD ∽．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．18．（1)证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质求出AB=BC=AC ，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC ，即可得出结论；（2）与相似三角形的性质得出比例式，代入求出AB 即可．【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠B=∠C=60°， ∴∠BAP+∠APB=180°﹣60°=120°， ∵∠APD=60°， ∴∠APB+∠DPC=180°﹣60°=120°， ∴∠BAP=∠DPC ，即∠B=∠C ，∠BAP=∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ；（2）解：∵△ABP ∽△PCD ， ∴AB BP CP CD=, ∵CD=23，CP=BC ﹣BP=x ﹣1，BP=1，即1213xx= -，解得：AB=3．即△ABC的边长为3【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．19．（1）详见解析；（2）163.【解析】试题分析：（1）连接OD，根据三角形中位线定理得出OD∥BC，由DE⊥BC得出OD⊥DE，根据切线的判定定理即可得出结论；（2）先证明Rt△CDB∽Rt△CED，然后根据相似三角形的对应边成比例求出BC的长，最后根据三角形的中位线定理即可求出圆的半径．试题解析：（1）证明：连接OD；∵AD＝CD，AO＝BO，∴OD∥BC．∵DE⊥BC，∴OD⊥DE．∴DE与⊙O相切．（2）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，又∵DE ⊥BC ， Rt △CDB ∽Rt △CED ，∴＝，∴BC ＝＝ 又∵OD ＝BC ，∴OD ＝×＝，即⊙O 的半径为． 点睛：本题考查了切线的判定，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．20．B【解析】分析：由AB ∥CD ，推出△AOB ∽△COD，推出，故①正确，③错误，推出S △ADC =S △BDC ，可得S △AOD =S △BOC ，故④正确，由此即可判断．详解：如图，∵AB ∥CD ， ∴△AOB ∽△COD ，∴2AOBDOC S AB S CD（），故①正确，③错误， ∵AB ∥CD ，∴S △ADC =S △BDC ，∴S △AOD =S △BOC ，故④正确，△ABD 与△ABC 无法判定相似，故②错误，∴正确的有①④，故选：B ．点睛：本题考查相似三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。

青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题B(附答案详解)

青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题B(附答案详解)

青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题B （附答案详解）1．在ABC 和'''A B C 中，若68A ∠=，40B ∠=，'68A ∠=，'72C ∠=，则这两个三角形（ ）A ．全等或相似B ．相似C ．全等D ．无法确定 2．如图，下列条件中不能判定△ACD ∽△ABC 的是（ ）A ．∠ADC ＝∠ACBB ．AB AC BC CD = C ．∠ACD ＝∠B D ．AC 2＝AD•AB3．已知△ABC ，D 是AC 上一点，尺规在AB 上确定一点E ，使△ADE ∽△ABC ，则符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列能判定ABCDEF △△的是（ ） A ．AB AC DE DF =，C F ∠=∠ B ．AB AC DE DF=，A F ∠=∠ C ．AB AC DE DF=，B E ∠=∠ D ．AB AC DE DF =，A D ∠=∠ 5．下列说法中，错误的是（ ）A ．两个全等三角形一定是相似形B ．两个等腰三角形一定相似C ．两个等边三角形一定相似D ．两个等腰直角三角形一定相似6．如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠∠=；②ADC ACB ∠∠=；③AC AB CD BC =；④2AC AD AB =⋅，其中单独能够判定ABC ACD ∽的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④ 8．如图，在直角梯形中，，，，若在线段上取一点，使得以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，ABC ∆中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，且123∠=∠=∠,则与ADE ∆相似的三角形的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．如图所示，增加一个条件，可使ABC ∽AED ，这个条件可以是_________________．11．如图，点P 是等腰梯形ABCD 的底AD 上的一点，若A BPC ∠=∠，则和ABP △相似的三角形有______个．12．如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上的点，如果________或________，则.ABC ACD ∆∆∽13．如图，在ABC △中，EF GH IJ BC ，则图中相似三角形共有______对．14．如图，ADE 和ABC △中，12∠=∠，请添加一个适当的条件_____，使ADE ∽ABC △（只填一个即可）．15．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若AB ＝4，AD ＝3，则CF 的长为_____．16．如图的比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短.它是由长度相等的两AD 和BC 交叉构成的.如果螺丝钉点O 的位置OA 3OD,OB 3OC ==，那么，当A,B 两点间距离为5时，C,D 两点间的距离为____17．如图，点D 在ABC 的边AB 上，连接CD ，若要使ABC ACD ∽，那么还需要添加的一个条件是________（填上你认为正确的一个即可）．18．如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O .（1）如果CE =3，EB=9，DF=2，求AD 的长；（2）如果BO ：OE ：EC =2：4：3，AB=3，求CD 的长．19．如图，△ABC 中，P 是线段AB 上一点，尺规作图：在BC 边上找一点D ，使以P 、D 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似（保留作图痕迹，不写作法）20．尺规作图:如图所示，ΔABC 中∠A =36°，AB =AC ，请用尺规过点B 做一条直线，使其将ΔABC 分成两个小三角形，且其中一个小三角形与ΔABC 相似.21．如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是BC 边上的高，正方形EFGH 的一边FG 在BC 上，顶点E 、H 分别在AB 、AC 上，已知BC ＝40cm ，AD ＝30cm.（1）求证：△AEH ∽△ABC ；（2）求这个正方形的边长.22．如图，在ABC 中，D E 、分别在AB 与AC 上，且5,7,6,4AD DB AE EC ====.求证：ADE ACB ∆∆∽.23．如图，CE 与BD 交于点A ，AC 2=，AE 3=，AB 4=，AD 6=，求证：ADE ABC ∽．24．已知ABC ∆，090ACB ∠=，4AC BC ==，D 是AB 的中点，P 是平面上的一点，且1DP =，连接,BP CP .（1）如图，当点P 在线段BD 上时，求CP 的长；（2）当BPC ∆是等腰三角形时，求CP 的长；（3）将点B 绕点P 顺时针旋转090得到点'B ，连接'AB ，求'AB 的最大值．25．在△ABC 中，CF ⊥AB 于点F ，ED ⊥AB 于点D ，∠1=∠2，求证：△AFG ∽△ABC ．参考答案1．B【解析】【分析】题干分别给出两个三角形的两个角的角度值，没有边长之间的关系，则不能证明三角形全等，可以用两组对应角相等的两个三角形相似可知，本题证明相似.【详解】因为∠A=68°，∠B=40°则∠C=72°=∠C′，又∠A=∠A′，所以根据有两组角对应相等的两个三角形相似判定其相似．故选B．【点睛】本题解题关键在于只给出角度之间的关系，没有给出边之间的等量关系就不能证明三角形全等，只能从相似角度去判断.2．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得．【详解】解：A选项：由∠ADC=∠ACB，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；B选项：由AB ACBC CD=不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；C选项：由∠ACD=∠B，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；D选项：由AC2=AD•AB，即AC ABAD AC=，且∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．3．A【解析】【分析】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．【详解】如图，点E即为所求作的点．故选：A．【点睛】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．4．D【解析】【分析】考虑利用“两边成比例且夹角相等”的判定方法判定两个三角形相似.【详解】A. AB ACDE DF=，C F∠=∠,两边成比例但夹角不一定相等，故两个三角形不一定相似.B. AB ACDE DF=，A F∠=∠，两边成比例但夹角不一定相等，故两个三角形不一定相似.C. AB ACDE DF=，B E∠=∠，两边成比例但夹角不一定相等，故两个三角形不一定相似.D. AB ACDE DF=，A D∠=∠，两边成比例且夹角相等，故两个三角形一定相似.故选：D【点睛】考核知识点：相似三角形的判定.熟记“两边成比例且夹角相等”是关键.5．B【解析】【分析】根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案．【详解】解：A、两个全等的三角形一定相似，正确；B 、两个等腰三角形一定相似，错误，等腰三角形的形状不一定相同；C 、两个等边三角形一定相似；正确，等边三角形形状相同，只是大小不同；D 、两个等腰直角三角形一定相似，正确，等腰直角三角形形状相同，只是大小不同. 故选B ．【点睛】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．特别注意，本题是选择错误的，一定要看清楚题．6．B【解析】【分析】由已知△ABC 与△ABD 中∠A 为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.【详解】解：：①∵B ACD ∠=∠，∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△；②∵ACB ADC ∠=∠，∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△； ③虽然AC AB CD BC=，但∠A 不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似； ④∵2AC AD AB =⋅，∴AC AB AD AC =，又∵∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△． 综上，单独能够判定A ABC CD ∽△△的个数有3个，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.7．A【解析】【分析】因为小正方形的长为1，利用勾股定理易求出每个阴影部分的边长，故可用三边对应成比例的两三角形相似来判定。

青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试A卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试A卷(附答案详解)

青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试A 卷（附答案详解）1．下列各组图形必相似的是（ ）A ．任意两个等腰三角形B ．两边为1和2的直角三角形与两边为2和4的直角三角形C ．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形D ．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形2．如图，在△ABC 中，∠A ＝75°，AB ＝6，AC ＝8，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 延长线上一点，连接BE 交AD 于F ，连接AE ，则图中与△DEF 相似（不包括本身）的三角形共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA OC OB OD ∶∶，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．①和②相似B ．①和③相似C ．①和④相似D ．③和④相似 5．下列各种图形中，有可能不相似的是（ ）A ．有一个角是45的两个等腰三角形B ．有一个角是60的两个等腰三角形C ．有一个角是110的两个等腰三角形D ．两个等腰直角三角形6．如图，已知△ABC ，D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中，不能确定△ADE ∽△ACB 的是（ ）A ．∠AED ＝∠BB ．∠BDE +∠C ＝180° C ．AD •BC ＝AC •DE D ．AD •AB ＝AE •AC7．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若90AEF ∠=︒，则一定有（ ）A ．ADE AEF ∆∆∽B ．ECF AEF ∆∆∽C ．ADE ECF ∆∆∽D ．ECF AEF ∆∆∽8．如图，在ABCD 中，点G 在BC 的延长线上，AG 分别交BD 、CD 于点E 、F ，则图中相似三角形共有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对9．已知△ABC 和△DEF 中．点A 、B 、C 分别与点D 、E 、F 相对应．且∠A＝70°时，∠B ＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝_____时，△ABC∽△DEF．10．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= ________cm ，AB= ________cm ．11．如图,在△ABC 中,点P 是AB 边上的一点,连接CP ,要使△ACP ∽△ABC ,还需要补充的一个条件是____.12．如图，在△ABC 中，点E ，F 分别在AB ，AC 上，若△AEF ∽△ABC ，则需要增加的一个条件是______（写出一个即可）13．如图，在ABC △中，DE BC ∥，DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ，DC 、BE 交于点O ，则相似三角形有______．14．点P 是ABC ∆斜边BC 上的一个点(不与,B C 重合),过点P 作直线PD 截ABC ∆,使截得的三角形与ABC ∆相似,满足这样的条件的截线共有_____条15．如图的比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短.它是由长度相等的两AD 和BC 交叉构成的.如果螺丝钉点O 的位置OA 3OD,OB 3OC ==，那么，当A,B 两点间距离为5时，C,D 两点间的距离为____16．如图，在△ABC 和△ADB 中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC ＝5，AB ＝4，当BD 的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？17．如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点(网格线的交点)上，请按要求完成下列各题.(1)试证明△ABC 是直角三角形；(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似,并说明理由.18．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B ．C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由.19．如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且//DE BC ，已知2AD =，3DB =，3AE =， 4.5CE =，4DE =，10BC =.利用相似三角形的定义说明ADE ABC ∆∆∽.(补全解題过程）解：∵223AD AB ==+______，33 4.5AE AC ==+______，410DE BC ==______， ∴______=______=______.∵//DE BC ，∴ADE ABC =∠∠，AED ACB ∠=∠.∵A A ∠=∠，∴ADE ABC ∆∆∽.20．如图，在ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的高．求证：DCE ACB ∽．21．如图，AB 、CD 相交于点0，AO=4，BO=2，CO=6，OD=3，则△AOD 与△COB 相似吗?为什么?22．如图，AC＝30，BC＝15，EC＝10，CD＝5，试证明△ABC∽△EDC.参考答案1．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理可分别判断各选项是否足以证明三角形相似，从而判断选项的正确性.【详解】A.任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误;B.因为不能判定已知边2和4是直角边还是斜边，故无法判定三角形相似，故本选项错误；C.两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误;D.两边和一边的中线均对应成比例，即可以判定两三角形中对应成比例的边的夹角相等，即可判定三角形相似，故本选项正确.故本题选D.【点睛】本题考查相似三角形的判定定理.熟练掌握相似三角形的判定定理，能根据相似三角形的判定定理判断是否满足判定条件是解决本题的关键.2．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3．B【解析】关键平行四边形性质可得AD BC ∥，AB DC ，故EFD EBC ∠=∠，EDF C ∠=∠，ABF DEF ∠=∠，BAF EDF ∠=∠，可得相似三角形.【详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD BC ∥，AB DC ，所以EFD EBC ∠=∠，EDF C ∠=∠，ABF DEF ∠=∠，BAF EDF ∠=∠，所以EFD EBC ∽△△，ABF DEF ∽△△.故选B .【点睛】考核知识点：相似三角形的条件.利用平行四边形性质求出对应角的关系是关键.4．B【解析】【分析】由题图可知，AOB COD ∠=∠，由OA OC OB OD =∶∶，可得OA OB OC OD= 即可得出 【详解】由题图可知，AOB COD ∠=∠，结合OA OC OB OD =∶∶，可得AOB COD ∽. 故选B .【点睛】当题中所给条件中有两个三角形的两边成比例时，通常考虑利用“两边成比例且夹角相等”的判定方法判定两个三角形相似一定要记准相等的角是两边的“夹角”，否则，结论不成立（类似判定三角形全等的方法“SAS "）.5．A【解析】【分析】本题每一个选项都跟等腰三角形相似有关，注意的是一个角是一个角是45°，这个角可能是顶角或者底角，有一个角是60，这个三角形就是等边三角形，一个角是110，这个角一定是顶角，若是底角则不满足三角形内角和等于180°.等腰直角三角形的的底角是45°顶角是90°为固定值.A．各有一个角是45°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，此时不相似，故此选项符合题意；B．各有一个角是60°的两个等腰三角形是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意；C．各有一个角是110°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为35°，则这两个三角形必相似，故此选项不合题意；D．两个等腰直角三角形，底角是45°顶角是90°，为固定值，此三角形必相似，故此选项不合题意；故选A．【点睛】本题解题关键在于，找准一个角是45，60，110的等腰三角形有几种情况，再就是等腰直角三角形的每个角的角度是固定的.6．C【解析】【分析】A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；B：根据题意可得到∠ADE=∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．【详解】解：A、由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；B、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；C、由AD•BC=AC•DE，得不能判断△ADE∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.D、由AD•AB=AE•AC得，∠A=∠A，故能确定△ADE∽△ACB，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）；有两组角对应相等的两个三角形相似．7．C【解析】【分析】根据矩形的性质及相似三角形的判定方法，从而求得图中存在的相似三角形即可．【详解】解：∵在矩形ABCD中，∴∠D＝∠C＝90°，∵∠AEF＝90°∴∠DEA＋∠CEF＝90°，∠DEA＋∠DAE＝90°∴∠DAE＝∠CEF∴△ADE∽△ECF故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．8．C【解析】【分析】本题根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解．【详解】解：在▱ABCD中，∵AB∥CD，∴△ABE∽△FDE，△ABG∽△FCG；∵AD∥BC，∴△ADE∽△GBE，△FDA∽△FCG，∴△ABG∽△FDA，△ABD∽△BCD∴图中相似三角形有6对．故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意△ABG与△FDA都与△FCG相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方．9．76°【解析】【分析】利用两对角相等的三角形相似即可作出判断．【详解】∵△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A=70°时，∠B=34°，∠D=70°，∴∠B=∠E=34°，∴∠C=∠F=76°，故答案为：76°【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．10．5,13【解析】AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线,CM DM BE,∴EFMN是平行四边形，∴AE,∠DAB+∠CDA=180°，∴∠DF A=90°，FM=3cm，EF=4cm，勾股定理知,∴EM=5 cm，∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，∴△AFD∽△AEB,设DF=3k，则AF=4k,∵∠AFD=90°，∴AD=5k,∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），∴AB=5（k+1）,∵2（AB+AD）=42，∴AB+AD=21,∴5（k+1）+5k=21,∴k=1.6,∴AB=13（cm）．11．∠B=∠ACP或∠ACB=∠APC或AP AC AC AB=【解析】【分析】欲使△ACP∽△ABC，通过观察发现两个三角形有一个公共角，即∠A，若夹此对应角的两边对应成比例或有一组角对应相等即可．【详解】∵∠A=∠A,∴当∠B=∠ACP或∠ACB=∠APC或AP AC AC AB=.故答案为：∠B=∠ACP或∠ACB=∠APC或AP AC AC AB=.【点睛】相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③根据两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似.12．EF∥BC【解析】【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．【详解】当EF ∥BC 时，△AEF ∽△ABC ．故答案为：EF ∥BC ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．13．ADE ∽ABC △，DOE △∽COB △【解析】【分析】根据DE BC ∥，找出相等的角，进而得到相似三角形.【详解】解：∵DE BC ∥，∴∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，∴ADE ∽ABC △，∵DE BC ∥，∴∠EDO ＝∠BCO ，∠DEO ＝∠CBO ，∴DOE △∽COB △，故答案为：ADE ∽ABC △，DOE △∽COB △.【点睛】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.14．3【解析】【分析】过点P 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【详解】由于△ABC 是直角三角形，过P 点作直线截△ABC ，则截得的三角形与△ABC 有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故答案为：3．【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．15．5 3【解析】【分析】根据OA3OD,OB3OC==，∠AOB=∠COD可证明△COD∽△BOA，根据相似三角形的性质即可得答案.【详解】∵OA3OD,OB3OC==，∴OA OBOD OC==31，又∵∠AOB=∠COD，∴△COD∽△BOA，∴OA ABOD CD==31，∵AB=5，∴CD=5 3 .故答案为：5 3【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可.16．当BD 的长是125或165时，图中的两个直角三角形相似 【解析】【分析】 先利用勾股定理计算出BC ＝3，再根据相似三角形的判定方法进行讨论：当BD AB BC AC =时，Rt △DBA ∽Rt △BCA ，即435BD =，当BD AB BA AC=时，Rt △DBA ∽Rt △BAC ，即445BD =，然后利用比例性质求出对应的BD 的长即可． 【详解】在Rt △ABC 中，BC =3．∵∠ABC ＝∠ADB ＝90°，∴分两种情况讨论： ①当BD AB BC AC =时，Rt △DBA ∽Rt △BCA ，即435BD =，解得：BD 125=； ②当BD AB BA AC =时，Rt △DBA ∽Rt △BAC ，即445BD =，解得：BD 165=． 综上所述：当BD 的长是125或165时，图中的两个直角三角形相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 17．（1）见解析；（2）相似.【解析】【分析】（1）由于小格都是正方形，可以利用勾股定理求得三角形各个边长，然后在利用勾股定理逆定理来证明是否为直角三角形；（2）求出另一个三角形三条边的长，利用两个三角形对应边是否成比例可以验证两三角形是否是相似.【详解】解：(1)根据图像，由勾股定理可分别求得：AB AC BC =5，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴△ABC 为直角三角形,(2)由勾股定理，可分别求得：DE ，FD FE =又由（1）可得：AB AC BC =5，∴DE FD EF AB AC BC === ∴△ABC 和△DEF 相似.【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定，利用勾股定理求出两个三角形的边长是解答本题的关键.18．BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似.【解析】【分析】设BP=x ，表示出PC=14-x ，然后分BP 与CP 是对应边，BP 与DC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】设BP=x ，则PC=14−x ，BP 与CP 是对应边时,=BP AB CP DC ， 即8146x x =-， 解得x=8， BP 与DC 是对应边时,=BP AB DC CP ， 即8=614x x-， 解得x 1=6,x 2=8，所以，BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似.【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于根据相似三角形的性质对应边成比例列出方程. 19．25 25 25 AD ABAE AC DE BC 【解析】【分析】根据对应线段成比例，对应角相等的三角形相似即可求解.【详解】 ∵223AD AB ==+25，33 4.5AE AC ==+25，410DE BC ==25， ∴AD AB =AE AC =DE BC. ∵//DE BC ，∴ADE ABC =∠∠，AED ACB ∠=∠.∵A A ∠=∠，∴ADE ABC ∆∆∽.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.20．见解析【解析】【分析】要证明DCE ACB ∽，这两个三角形已经有一个公共角相等，此时可以考虑用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，即找到CD ：CA 与CE ：CB 是否相等，这时不能直接的找出，则充分利用题干“AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的高”中的垂直关系找到角相等的关系，再证明△CDA ∽△CEB 得到CD ：CE =CA ：CB 从而运用比例的基本性质得到CD ：CA =CE ：CB.【详解】证明：∵在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的高∴∠ADC =∠BEC =90°∵∠C 是公共角，∴△CDA ∽△CEB （两组角对应相等的两个三角形相似）∴CD ：CE =CA ：CB （相似三角形对应边成比例）∴CD ：CA =CE ：CB （比例的基本性质）∴△DCE ∽△ACB ．（两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似）【点睛】本题考察了相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例；相似三角形的判定定理：两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的综合运用，运用证明一个三角形相似得到的结论去证明另外一个三角形相似.21．不相似【解析】【分析】根据“两边及其夹角法”(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)进行证明. 【详解】解: △AOD与△COB不相似.理由如下:∵AO=4，BO=2，CO=6，OD=3，∴AO:CO≠DO:BO,∴△AOD与△COB不相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似. 22．见解析【解析】【分析】因为夹角相等，所以只要证明EC CDAC BC=即可证明相似.【详解】解:∵30310ACCE==，1535BCCD==∴AC BC CE CD=∴∠=∠ACB ECD∴ABC EDC【点睛】本题考察了相似三角形判定定理，如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，则两个三角形相似.。

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习课堂基础过关测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习课堂基础过关测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习课堂基础过关测试题2（附答案详解）1．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA OC OB OD ∶∶，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．①和②相似B ．①和③相似C ．①和④相似D ．③和④相似 2．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，则在下列五个条件中：①∠AED ＝∠B ；②DE ∥BC ；③AD AC ＝AE AB；④AD ·BC ＝DE ·AC ；⑤∠ADE ＝∠C ，能满足△ADE ∽△ACB 的条件有( )A ．1个B ．2C ．3个D ．4个3．在Rt △ABC 中，M 为斜边AB 上一点（M 不与A ，B 重合），过点M 作直线截△ABC 所得的三角形与原三角形相似的直线有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条4．下列说法中正确的是（ ）A ．两个等腰三角形相似B ．有一个内角是30的两个直角三角形相似C ．有一个锐角是30°的两个等腰三角形相似D ．两个直角三角形相似5．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点 D ．下列说法中：①∠B 的余角只有∠BAD；②∠B=∠C；③线段 AB 的长度表示点 B 到直线 AC 的距离；④AB·AC=BC·AD；一定正确的有( )A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个6．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．如图，正方形ABCD 中，以BC 为边向正方形内部作等边△BCE ，连接AE 并延长交CD 于F ，连接DE ，下列结论：①AE ＝DE ；②∠CEF ＝45°；③AE ＝EF ；④△DEF ∽△ABE ，其中正确的结论共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．要使ABC ∆与DEF ∆相似，50A ︒∠=，70B ︒∠=，60D ︒∠=，则E ∠的度数为（ ）A ．50° B ．70° C ．60° D ．50°或70°9．如图，与图中的三角形相似的是( )A ．B ．C ．D ．10．下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似；其中真命题是_____（把所有真命题的序号都填上）．11．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= ________cm ，AB= ________cm ．12．在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，在△DEF 中，DE ＝4，DF ＝3，要使△ABC 与△DEF 相似，则需要添加一个条件是____．(写出一种情况即可)13．如图,在平行四边形ABCD 中,E,F 分别是AD,CD 边上的点,连接BE,AF,它们相交于点G,延长BE 交CD 的延长线于点H ．则图中相似三角形共有________对.14．在ABC △与A B C '''中，55B ∠=︒，6cm AB =，7cm BC =，55B '∠=︒，18cm A B ''=，21cm B C ''=，则A B C '''与ABC △是否相似？______，理由是______． 15．如图标记了△ABC 和△DEF 的边，角的一些数据，请你添加一个条件，使△ABC ∽△DEF ，这个条件可以是_____．（只填一个即可）16．如图，ABC ∆与AFG ∆是两个全等的等腰直角三角形，90BAC F ∠=∠=︒，BC 分别与,AF AG 相交于点,D E .则图中不全等的相似三角形有________对，分别是______________________．17．在ABC ∆和A B C ∆'''中，85,50,45A A B C ∠=∠'=︒∠=︒∠'=︒，则这两个三角形________相似三角形(填“是”或“不是”)，根据是__________________________． 18．已知：如图，在ABC 中，点D 在BC 上，点E 在AC 上，DE 与AB 不平行.添加一个条件______，使得CDE ∽CAB ，然后再加以证明．19．如图所示，D ，E 两点分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE 与BC 不平行，要△ADE ∽△ACB ，则添加的一个条件为___(填一个即可).20．在图中，已知点P 是线段AB 上与点A 不重合的一点，且AP PB ＜.AP 绕点A 逆时针旋转角α（090α︒︒＜≤）得到1AP ，BP 绕点B 顺时针也旋转角α得到2BP ，连结1PP 、2PP. （1）如图1，当90α=︒时，求12PPP ∠的度数；（2）如图2，当点2P ∠在1AP 的延长线上时，求证：212PPP P PA ∆∆∽；（3）如图3，过BP 的中点E 作1l BP ⊥，过2BP 的中点F 作22l BP ⊥，1l 与2l 交于点Q ，连结PQ ，求证：1PP PQ ⊥.21．如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且//DE BC ，已知2AD =，3DB =，3AE =， 4.5CE =，4DE =，10BC =.利用相似三角形的定义说明ADE ABC ∆∆∽.（补全解题过程）22．如图，在△ABC 中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB 的垂直平分线分别与AC ，AB 相交于点D ，E ，连接BD ，求证：△ABC∽△BDC．23．如图，正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，且∠EFG ＝90°.求证：△EBF ∽△FCG .24．如图，点D 、E 、F 分别为△ABC 的三边中点，试说明△ABC ∽△EFD ．25．在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P 处，直角尺的两边分别交AB 、BC 于点E 、F ，连接EF(如图1).(1)当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合(如图2).①求证：△APB ∽△DCP ；②求PC 、BC 的长.(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 和点A 重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：① tan ∠PEF 的值是否发生变化？请说明理由.② 设AE=x ，当△PBF 是等腰三角形时，请直接写出x 的值.26．下面是一位同学的一道作图题：已知线段a 、b 、c （如图），求作线段x ，使::a b c x他的作法如下：（1）以点O 为端点画射线OM ，ON ．（2）在OM 上依次截取OA a =，AB b =．（3）在ON 上截取OC c =．（4）联结AC ，过点B 作//BD AC ，交ON 于点D ．所以：线段________就是所求的线段x ．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是________③如果4OA =，5AB =，AC π=，试用向量π表示向量DB ．27．在△ABC 中，CF ⊥AB 于点F ，ED ⊥AB 于点D ，∠1=∠2，求证：△AFG ∽△ABC ．参考答案1．B【解析】【分析】由题图可知，AOB COD ∠=∠，由OA OC OB OD =∶∶，可得OA OB OC OD= 即可得出 【详解】由题图可知，AOB COD ∠=∠，结合OA OC OB OD =∶∶，可得AOB COD ∽. 故选B .【点睛】当题中所给条件中有两个三角形的两边成比例时，通常考虑利用“两边成比例且夹角相等”的判定方法判定两个三角形相似一定要记准相等的角是两边的“夹角”，否则，结论不成立（类似判定三角形全等的方法“SAS "）.2．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．【详解】解：①由∠AED=∠B ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ；②DE ∥BC ，则有∠AED=∠C ，∠ADE=∠B ，则可判断△ADE ∽△ACB ； ③AD AC ＝AE AB，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ； ④AD·BC ＝DE·AC ，可化为AD DE AC BC =，此时不确定∠ADE=∠ACB ，故不能确定△ADE ∽△ACB ；⑤由∠ADE=∠C ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ；所以能满足△ADE ∽△ACB 的条件是：①②③⑤，共4个，故选：D ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的三种判定定理．3．B【解析】【分析】本题要根据相似三角形的判定方法进行求解．【详解】有三条：①过点P点作AB边上的垂线，可得出一条符合要求的直线；②另外两条分别是AC、BC两边的平行线．故选B．【点睛】本题主要考查了学生对相似三角形判定定理的掌握及运用，难度适中．4．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】A、不正确，因为没有说明角或边相等的条件，故不一定相似；B、正确，因为其三对角均对应相等，符合相似三角形的判定条件，故一定相似．C、不正确，因为30°的角可以为底角也可以为顶角，故两三角形不一定相似；D、不正确，只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故不一定相似；故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.5．A【解析】【分析】根据互为余角的定义，点的线的距离就是点到线的垂线段的长度及相似三角形的判定解答即可.【详解】∠B的余角有∠BAD和∠C, ①错误; ∵∠BAC=90°, ∴∠B+∠C=90°, ②错误; 点B 到直线AC 的距离是线段BA的长度, ③错误; ∵∠B+∠C=90°, ∠C+∠CAD=90°, ∴∠B=∠CAD,∵∠BAC=∠ADC=90°, ∴△ABC∽△DAC, ∴AB BCAD AC, ∴AB·AC=BC·AD,④正确.故选A.【点睛】本题考查了互为余角的定义，点的直线的距离的概念及相似三角形的判定，关键是掌握点到直线的距离就是点到直线的垂线段得长度，而不是垂线段．6．B【解析】【分析】设单位正方形的边长为1，求出各边的长，再根据各选项的边长是否成比例关系即可判断. 【详解】设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为2，4，25．A、三角形三边分别是2，10，32，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，22，10，与给出的三角形的各边成比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，13，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边5，13，4，与给出的三角形的各边不成正比例，故D选项错误．故选：B．【点睛】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．7．D【解析】【分析】利用正方形的性质、等边三角形的性质，求出相关角的度数，即可一一解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∵△EBC 是等边三角形，∴BC=BE=CE ，∠EBC=∠EBC=∠ECB=60°，∴∠ABE=∠ECF=30°，∵BA=BE ，EC=CD ，∴∠BAE=∠BEA=∠CED=∠CDE=12（180°-30°）=75°， ∴∠EAD=∠EDA=15°，∴EA=ED ，故①正确，∴∠DEF=∠EAD+∠ADE=30°，∴∠CEF=∠CED-∠DEF=45°，故②正确，∵∠EDF=∠AFD=75°，∴ED=EF ，∴AE=EF ，故③正确，∵∠BAE=∠BEA=∠EDF=∠EFD=75°，∴△DEF ∽△ABE ，故④正确，故选：D ．【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用正方形以及等边三角形的性质，通过计算角度解决问题，属于中考常考题型．8．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可求解.【详解】∵50A ︒∠=，70B ︒∠=∴∠C=180°-∠A-∠B=60°， ∴∠D=∠C ，要使ABC ∆与DEF ∆相似，需要E ∠=50A ︒∠=，或E ∠=70B ︒∠=故选D.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知两组对应角相等的三角形相似. 9．C【解析】【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】设小正方形的边长为1，，所以三边之比为1：2A 4，三边之比为 4，故本选项错误；B 、三角形的三边分别为2，3，故本选项错误；C 、三角形的三边分别为2，4，1：2，故本选项正确；D 、三角形的三边分别为2，32：3 故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键.10．②③【解析】【分析】本题可逐个分析各项，利用排除法得出答案．【详解】本题考查相似三角形的判定性质，①等腰三角形三角不一定相等，不符合相似三角形的特点，错误；②所有的等边三角形三角相等，是相似三角形，正确；③所有的等腰直角三角形三角都相等，因此都相似，正确；④所有的直角三角形三角不一定都相等，不都相似，错误．其中真命题是②③．【点睛】本题考查相似三角形的判定性质，（1）平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．11．5,13【解析】AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线,CM DM BE,∴EFMN是平行四边形，∴AE,∠DAB+∠CDA=180°，∴∠DF A=90°，FM=3cm，EF=4cm，勾股定理知,∴EM=5 cm，∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，∴△AFD∽△AEB,设DF=3k，则AF=4k,∵∠AFD=90°，∴AD=5k,∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），∴AB=5（k+1）,∵2（AB+AD）=42，∴AB+AD=21,∴5（k+1）+5k=21,∴k=1.6,∴AB=13（cm）．12．∠A＝∠D(或BC∶EF＝2∶1)【解析】【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．【详解】解：则需添加的一个条件是：BC=2EF，且2＜BC＜14，1＜EF＜7．∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，∵BC：EF=2：1．∴△ABC∽△DEF．则添加的条件可以为：①∠A=∠D或②BC：EF=2：1．故答案为：①∠A=∠D或②BC：EF=2：1．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题关键知道两三角形三边对应成比例的话，两三角形相似．13．4【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法进行分析即可得到答案.【详解】图中相似三角形共有4对.1、△ABG∽△FHG 理由：∠AGB=∠FGH(对顶角),∠ABG=∠FHG(两直线平行,内错角相等)；2、△ABE∽△DHE 理由：∠AEB=∠DEH(对顶角),∠ABE=∠DHE(两直线平行,内错角相等)；3、△DHE∽△CHB 理由：ED//BC,∠H(公共角)；4、△ABE∽△CHB 理由：由2、3递推得到.所以一个有4对.【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法.14．相似 两个三角形两边对应成比例且夹角相等，则这两三角形相似【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出答案.【详解】解：∵55B ∠=︒，6cm AB =，7cm BC =，55B '∠=︒，18cm A B ''=，21cm B C ''= ∴67AB BC B B A B B C '∠=∠==''''，∴A B C ABC '''△故答案为;.相似;两个三角形两边对应成比例且夹角相等，则这两三角形相似【点睛】本题是相似三角形的判定的基础题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.15．DF ＝6或∠C ＝60°或∠B ＝35°【解析】【分析】利用三角形相似的条件即可进行解答.【详解】(1)当DF ＝6时，利用SAS 可证明.(2)当∠C ＝60°或∠B ＝35°时，利用AAA 可解答.【点睛】本题考查三角形相似，掌握证明条件是解题关键.16．3 ,,CAE BDA BDA ADE CAE ADE ∆∆∆∆∆∆∽∽∽【解析】【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而确定答案．【详解】解：图中不全等的相似三角形有3对∵ABC ∆与AFG ∆是两个全等的等腰直角三角形，90BAC F ∠=∠=︒ ，∴45C B FAG G ∠=∠=∠=∠=︒.∵,CEA B EAB DAB FAG EAB ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴CEA DAB ∠=∠，∴CAE BDA ∆∆∽.∵45,B DAE C BDA ADE ∠=∠=∠=︒∠=∠，∴BDA ADE ∆∆∽，∴CAE ADE ∆∆∽，∴图中不全等的相似三角形有3对，分别是,,CAE BDA BDA ADE CAE ADE ∆∆∆∆∆∆∽∽∽.【点睛】此题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 17．是 两角分别相等的两个三角形相似【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可.【详解】解：在ABC ∆中，85,50A B ∠=︒∠=︒∴1808550C ∠=°°°--=45°45C ∠'=︒∴C C ∠'=∠在ABC ∆和A B C ∆'''中，C C ∠'=∠，A A ∠=∠'∴ABC ∆~A B C ∆'''故答案为：是；两角分别相等的两个三角形相似【点睛】此题主要考查了形似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解答本题的关键.18．CDE A ∠=∠【分析】由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可．【详解】解：添加条件为：CDE A ∠∠=，理由：C C ∠∠=，CDE A ∠∠=，CDE ∴∽CAB ．故答案为：CDE A ∠∠=．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 19．∠ADE =∠ACB【解析】【分析】要使两个三角形相似，使两个角对应相等，即可得出其相似．【详解】满足条件∠ADE=∠ACB 即可∵∠ADE=∠ACB ，∠A 为公共角，∴△ADE ∽△ACB .故答案为∠ADE=∠ACB.【点睛】考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.20．（1）1290P PP ∠=︒；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）利用旋转的性质以及等腰直角三角形得出∠APP 1=∠BPP 2=45°，进而得出答案； （2）根据题意得出△PAP 1和△PBP 2均为顶角为α的等腰三角形，进而得出∠P 1PP 2=∠PAP 2=α，求出△P 2P 1P ∽△P 2PA ；（3）首先连结QB ，得出Rt △QBE ≌Rt △QBF ，利用∠P 1PQ=180°-∠APP 1-∠QPB 求出即可．（1）由旋转的性质得：1AP AP =，2BP BP =.∵90α=︒，∴1PAP ∆和2PBP ∆均为等腰直角三角形，∴1245APP BPP ∠=∠=︒，121218090PPP APP BPP ∠=︒-∠-∠=︒；（2）证明：由旋转的性质可知1PAP ∆和2PBP ∆均为顶角为α的等腰三角形， ∴12902APP BPP α∠=∠=︒-，∴()12121801802902PPP APP BPP αα⎛⎫∠=︒-∠+∠=︒-︒-= ⎪⎝⎭， 在21PP P ∆和2P PA ∆中，122PPPPAP α∠=∠=， 又∵212PP P AP P ∠=∠， ∴212~P PP P PA ∆∆. （3）证明：如图，连结QB .∵5()25f x -≤-≤，2l 分别为PB ，2P B 的中垂线，∴12EB BP =，212FB P B =. 又2BP BP =，∴EB FB =.在Rt QBE ∆和Rt QBF ∆中，EB FB QB QB =⎧⎨=⎩， ∴Rt Rt QBE QBF ∆≅∆，∴2122QBE QBF PBP α∠=∠=∠=，由中垂线性质得：QP QB =， ∴2QPB QBE α∠=∠=，由（2）知1902APP α∠=︒-， ∴11180180909022PPQ APP QPB αα⎛⎫∠=︒-∠-∠=︒-︒--=︒ ⎪⎝⎭， 即1PP PQ ⊥. 【点睛】此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定和全等三角形的判定与性质等知识，得出Rt △QBE ≌Rt △QBF 是解题关键．21．见解析.【解析】【分析】 证明AD AB =AE AC =DE BC，可得ADE ABC ∆∆∽. 【详解】 解：∵223AD AB ==+25，33 4.5AE AC ==+25，410DE BC ==25， ∴AD AB =AE AC =DE BC. ∴ADE ABC ∆∆∽.【点睛】考核知识点：相似三角形判定.根据三边成比例，两三角形相似.22．见解析.【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质，得DA ＝DB ，则∠ABD ＝∠BAC ＝40°，从而求得∠CBD ＝40°，即可证出△ABC ∽△BDC ．【详解】∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ．∵∠BAC＝40°，∴∠ABD＝40°．∵∠ABC＝80°，∴∠DBC＝40°，∴∠DBC＝∠BAC．∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质，题目难度不大．23．见解析【解析】【分析】根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△EBF∽△FCG．【详解】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG，∴△EBF∽△FCG.【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定.24．见解析.【解析】【分析】先根据点D、E、F分别为△ABC的三边中点，求出DE、DF、EF分别为△ABC的中位线，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似进行求解即可．【详解】∵点D、E、F分别为△ABC的三边中点，∴DE、DF、EF分别为△ABC的中位线，∴DE=12AC，DF=12BC，EF=12AB（中位线定理），∴12 DE DF EFAC BC AB===，∴△ABC∽△EFD（三边对应成比例的两个三角形相似）【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键在于根据点D、E、F分别为△ABC的三边中点，求出DE、DF、EF分别为△ABC的中位线，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似进行证明即可．25．(1)①证明见解析；②PC=25，BC=5；(2)①tan∠PEF的值不变；②x=12或x=512-或x=3 4 .【解析】【分析】（1）①由勾股定理求BP，利用互余关系证明△APB∽△DCP；②利用相似比求PC，DP, 再根据BC=AD=AP+DP即可求得BC的长；（2）①tan∠PEF的值不变．理由为：过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形，同（1）的方法证明△APE∽△GFP，得相似比21PF FGPE PA==，再利用锐角三角函数的定义求值；②利用相似比求GP，再矩形性质求出BF，△PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：(Ⅰ) 当PB=PF时，根据BF=2AP求值；当BF=BP时，(Ⅱ)根据BP=5求值；(Ⅲ) 当BF=PF时，根据PF=()2222x+即可求出x值.【详解】解：(1)①如图3.2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，CD=AB=2，∴在Rt △ABC 中，∠1+∠2=90°，==又∵∠BPC=90°, ∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3.∴△APB ∽△DCP.②由△APB ∽△DCP.∴AP AB BP DC DP PC ==，即122DP PC==.∴DP=4.∴BC=AD=AP+DP=5.(2)①tan ∠PEF 的值不变.理由如下：如图3.1，过F 作FG ⊥AD ，垂足为点G. 则四边形ABFG 是矩形.∴∠A=∠PGF=90°，FG=AB=2，∴在Rt △APE 中，∠1+∠2=90°，又∵∠EPF=90°,∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3.∴△APE ∽△GFP ， ∴21PF FG PE PA ==. ∴在Rt △EPF 中，tan ∠PEF=PF PE =2. ∴tan ∠PEF 的值不变.②由△APE ∽△GFP. ∴21GP FG AE PA ==. ∴GP=2AE=2x ，∵四边形ABFG 是矩形.∴BF=AG=AP+GP=2x+1.△PBF 是等腰三角形，分三种情况讨论：(Ⅰ)当PB=PF 时，点P 在BF 的垂直平分线上.∴ BF=2AP. 即2x+1=2， ∴x=12. (Ⅱ)当BF=BP 时， 55∴5∴x=512. (Ⅲ)当BF=PF 时，∵PF=()2222x +∴(2x)2+22=(2x+1)2，∴x=34. 【点睛】本题是综合题：熟练掌握线段垂直平分线的判定、矩形的性质和相似三角形的判定方法和性质；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系和计算线段的长；合理作平行线构建相似三角形是解决问题的关键．26．①CD ；②平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③94DB π=-.【解析】【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证OAC OBD ∆∆∽得OA AC OB BD =，即94BD AC =，从而知999DB CA AC 444π==-=-． 【详解】①∵//BD AC ，∴OA ：AB=OC ：CD ，∵OA a =，AB b =，OC c =，::a b c x =，∴线段CD 就是所求的线段x ，故答案为：CD②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例； ③∵4OA =、5AB =，且//BD AC ，∴OAC OBD ∆∆∽， ∴OA AC OB BD =，即49AC BD=， ∴94BD AC =， ∴999444DB CA AC π==-=-． 【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定及向量的计算．27．见解析【解析】【分析】由条件可证得∠AFG=∠B，结合公共角，可证得结论．【详解】证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，∴∠EDB=∠CFA=90°，∴∠1+∠B=∠2+∠AFG=90°，且∠1=∠2，∴∠AFG=∠B，且∠FAG=∠GAB，∴△AFG∽△ABC．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即有两角对应相等的两个三角形相似．。

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习能力达标训练题1(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习能力达标训练题1(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习能力达标训练题1（附答案详解）1．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于点E，已知AD=AB，连接BE交AD于点F，下列结论：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③S△ABF=3S△DEF；④△DEF∽△DAE，其中正确的有（）A．1个B．4个C．3个D．2个2．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，若△ADC 的面积为0.8，则△BCD的面积为（）A．0.8B．1.6C．2.4D．3.23．如图，BD、CE相交于点A，下列条件中，能推得DE∥BC的条件是（）A．AE：EC=AD：DB B．AD：AB=DE：BCC．AD：DE=AB：BC D．BD：AB=AC：EC4．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③tan∠CAD=2．其中正确的结论有（）A．3个B．2个C．1个D．0个5．下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两角分别相等的两个三角形相似D．两边成比例且一角相等的两个三角形相似6．如图，在△ABC 与△ADE 中， B D ∠=∠，添加下列条件，不能得到．．．．△ABC 与△ADE 相似的是( )A ．E C ∠=∠B ．AE DE AC BC = C ．AB AD BC DE = D ．BAD CAE ∠=∠7．已知ABC ，在AB 边上找一点E ，作//ED BC ，使ABC AED ∽，这样的点E 有（ ）A ．2个B ．3个C ．1个D ．无数个 8．如图，已知CE ∠=∠，则不一定能使ABC ∆∽ADE ∆成立的条件是（ ）A ．∠BAD =∠CAEB ．∠B =∠DC ．BC AC DE AE =D ．AB AC AD AE = 9．如图，△ABC 三边的长分别为3、4、5，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边中点，则△DEF 的周长和面积分别为 （ ）A ．6，3B ．6，4C ．6，32D ．4，610．如图，已知▱ABCD 中，点M 是BC 的中点，且AM=6，BD=12，AD=45，则该平行四边形的面积为（ ）A ．5B ．36C ．48D ．7211．以下条件不可以判定ABC 与'''A B C 相似的是（ ）A ．''''''AB AC BC A B A C B C == B ．''''AB AC A B A C =，且A A ∠=∠’ C ．A B ∠=∠’，B C ∠=∠’ D ．''''AC BC A C B C =，且A A ∠=∠’ 12．如图，在正方形ABCD 中，以BC 为边作等边BPC ，延长BP ，CP 分别交AD 于点E ，F ，连接BD ，DP ，BD 与CF 相较于点H ，给出下列结论：12AE CF =①；2ED EP EB =⋅②；PFD ③∽PDB ；135BPD ∠=④，其中正确的是( )A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①③④ 13．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O 点，若S △AOD ：S △ACD ：=1：4，则S △AOD ：S △BOC =（ ）A ．13B ．14C ．16D ．1914．如图，∠ACB=∠ADC=90°，BC=a ，AC=b ，AB=c ，要使△ABC ∽△CAD ，只要CD 等于( )A ．2b c B ．2b a C ．ab c D ．2a c15．如图，△ABC 中，∠A=92°，AB=9，AC=6，将△ABC 按下列四种图示中的虚线剪开，则剪下的三角形与原三角形相似的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个16．在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，点E 、F 分别在AB 和AC 上，设AE ＝x ，AF ＝y ，若线段EF 平分△ABC 的面积，则用x 的代数式表示y ＝________． 17．如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高分别为CE 和BF ，CE 和BF 相交于点D ，图中相似三角形有________对．18．如右上图，直线l 截□ABCD 的边AB 、BC 和对角线BD 于P 、Q 、M ，对角线AC 、BD相交于点O ，且PB ＝3P A ，CQ ︰BQ ＝1︰2，则BM ︰BO ＝________．19．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，图中有_______对相似三角形．20．如图AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E 交AD 于F ，则图中相似三角形的对数有________对．21．三角分别______、三边___________的两个三角形叫做相似三角形．22．如图，矩形ABCD 中，，点E 在AB 上，点F 在CD 上，点G 、H 在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，且EH ∥BC ，则AG ∶GH ∶HC =_______．23．如图，△ABC 是等边三角形，7，点D 是边BC 上一点，点H 是线段AD 上一点，连接BH 、CH ．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=_____．24．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =2AD ，点E 是CD 的中点，AC 与BE 交于点F ，那么△ABF 和△CEF 的面积比是______ ．25．如图，AB ∥DC ，AC 交BD 于点O.已知34AO CO =，BO ＝6，则DO ＝__.26．如图：在△ABC 和△DCE 是全等的三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 是ED 的中点，点P 是线段AB 上动点，则线段PF 最小时的长度________________．27．如图，请填上一个你认为合适的条件：________，使ABD 与ACB 相似．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）28．如图，在ABC ∆中，AC 是BC 、DC 的比例中项，则ADC ∆∽____．29．如图，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于G ，AB=6，则AG=_____．30．如图，BAC、AGF为等腰直角三角形，且BAC AGF≅，90BAC AGF∠=∠=．若BAC固定不动，AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC 的交点分别为D、E．请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．31．如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G．（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由；（2）若BC平分∠ABD，求证线段FD是线段F G 和FB的比例中项.32．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE 绕点A按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，连接BD′、CE′，如图1．（1）求证：BD′=CE'；（2）如图2，当α=60°时，设AB与D′E′交于点F，求BFFA的值．33．己知，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，与y轴的交点是C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点D是y轴上的一点，是否存在D，使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作CE∥x轴，与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象相交于点E，点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF∥y轴，交线段BC于点F，试探究当点H运动到何处时，△CHF与△HFE的面积之和最大，求点H的坐标及最大面积．34．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣23x2﹣72x﹣22与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD 的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标；（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标．35．在△ABC中,∠ACB=90°,经过点B的直线l(不与直线AB重合)与直线BC的夹角等于∠ABC,分别过点C、点A作直线l的垂线,垂足分别为点D、点E.(1)如图1,当点E与点B重合时,若AE=4,判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系并说明理由;(2)如图2,当点E在DB延长线上时,求证:AE=2CD;(3)记直线CE与直线AB相交于点F,若,56CFEF,CD=4,求BD的长.36．（2017吉林省长春市）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒43个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC 的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值．37．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，OC平分∠ACD，过点C 作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与直线CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=2，∠F=30°时，求BD的长．38．如图 ， D 、 E 分别为 AB 、 AC 边上两点，且 AD =5, BD =3, AE =4, CE =6．试说明：①△ ADE ∽△ ACB ;②∠ ADE =∠ C ．39．如图，在矩形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点H 为BE 上的一点，EH BH ＝3，连接CH 并延长交AB 于点G ，连接GE 并延长交AD 的延长线于点F .(1)求证：=EC EH BG BH； (2)若∠CGF ＝90°时，求AB BC的值．40．如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 的同侧，∠A ＝∠C ＝90°，BD ⊥BE ，AD ＝BC ．(1)求证：AC ＝AD ＋CE ；(2)若AD ＝3，AB ＝5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ ⊥DP ，交直线BE 于点Q ，当点P 与A ，B 两点不重合时，求DP PQ的值． 41．如图，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AC 、BC 上，线段BD 与AE 交于点F ，且CD•CA=CE•CB．（1）求证：∠CAE=∠CBD；（2）若BE AB EC AC，求证：AB•AD=AF•AE．42．如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E ．（1）求证：△ADG ≌△CDG ．（2）若EF EC ＝12，EG ＝4，求AG 的长． 43．如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．（1）求证：BF =EF ：（2）求证：P A 是⊙O 的切线；（3）若FG =BF ，且⊙O 的半径长为32，求BD 的长度.44．如图， 四边形ABCD 是正方形，以DC 为边向外作等边DCE ∆，连接AE 交BD 于点F ，交CD 于点G ，点P 是线段AE 上一动点，连接DP 、BP .（1）求AFB ∠的度数；（2）在点P 从A 到E 的运动过程中，若DP 平分CDE ∠，求证：AG DP DG BD ⋅=⋅； （3）已知6AD =，在点P 从A 到E 的运动过程中，若DBP ∆是直角三角形，请求DP 的长.45．学习了“锐角三角函数”后，刘老师在“五环四互”的“检测互评”环节出了如下题目，请解答：如图，已知：△ABC 中，BD 、CE 是高.（1）求证：AE·AB=AD·AC ；（2）若AD 、AB 的长是一元二次方程x 2－8x ＋15=0的根，求sin ∠ACE 的值.46．如图，Rt ABC 中，90C ∠=，4AC =．3BC =，点M 是AB 上一点，以M 为圆心作M ，()1若M 经过A 、C 两点，求M 的半径，并判断点B 与M 的位置关系．() 2若M 和AC 、BC 都相切，求M 的半径．47．如图，在ABCD 中，点G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有几对？分别写出来．48．如图1，等腰△ABC 中，AC=BC ，点O 在AB 边上，以O 为圆心的圆与AC 相切于点C ，交AB 边于点D ，EF 为⊙O 的直径，EF ⊥BC 于点G ．（1）求证：D 是弧EC 的中点；（2）如图2，延长CB 交⊙O 于点H ，连接HD 交OE 于点K ，连接CF ，求证：CF=OK+DO ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长DB 交⊙O 于点Q ，连接QH ，若DO=256，KG=2，求QH ．49．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒,点H 是ABC ∆的内心，AH 的延长线和三角形ABC 的外接圆O 相交于点D ，连结DB .（1）求证：DH DB =；（2）过点D 作BC 的平行线交AC 、AB 的延长线分别于点E 、F ，已知1CE =，圆O 的直径为5，①求证：EF 为圆O 的切线；②求DF 的长.参考答案1．C【解析】∵D是BC的中点，且DE⊥BC，∴DE是BC的垂直平分线，CD=BD，∴CE=BE，故本答案正确；∴∠C=∠7∵AD=AB，∴∠8=∠ABC=∠6+∠7，∵∠8=∠C+∠4，∴∠C+∠4=∠6+∠7，∴∠4=∠6，即∠CAD=∠ABE，故本答案正确；作AG⊥BD于点G，交BE于点H，∵AD=AB，DE⊥BC，∴∠2=∠3，DG=BG=12BD，DE∥AG，∴CDE△∽△CGA，△BGH∽△BDE，EH=BH，∠EDA=∠3，∠5=∠1，∴CD：CG=DE：AG，HG=12 DE，设DG=x，DE=y，则GB=x，CD=2x，CG=3x ∴2x：3x=2y：AG，解得：AG=3y，HG=y∴AH=2y∴DE=AH，且∠EDA=∠3，∠5=∠1∴DEF△≌△AHF∴EF=HF=12EH，且EH=BH，∴EF：BF=1：3，∴S△ABF=3S△AEF，∵S△DEF=S△AEF，∴S△ABF=3S△DEF，故本答案正确；∵∠1=∠2+∠6，且∠4=∠6，∠2=∠3，∴∠5=∠3+∠4，∴∠5≠∠4，∴△DEF∽△DAE，不成立，故本答案错误，综上所述：正确的答案有3个，故选C．【点睛】本题考查了中垂线的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的中位线及相似三角形的判定及性质和等积变换等知识，正确添加辅助线并灵活应用相关知识是解题的关键.2．C【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质，求出答案.【详解】∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴AC ADAB AC,∴21=2AB，∴AB=4，∴2=)ACDABCS ACS AB（=14,∴S△ABC=3.2，∴S△BCD=S△ABC-S△ACD=3.2-0.8=2.4，故答案选C.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的基本性质，解此题的要点在于知道S△ACD与S△ABC的关系.3．A【解析】解：A．∵AE：EC=AD：DB，∴EC DBAE AD=，∴都减去1得：AC ABAE AD=，∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴∠D=∠B，∴DE∥BC，故本选项正确；B．根据AD：AB=DE：BC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC，故本选项错误；C．根据AD：DE=AB：BC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC，故本选项错误；D．根据BD：AB=AC：EC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC，故本选项错误；故选A．4．B【解析】【分析】①正确．只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；②正确．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出AE AFBC CF=，由AE=12AD=12BC，推出AF CF =12，即CF=2AF；④错误，设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有2b aa b=，即b=2a，可得tan∠CAD=CDAD=2ba即可得.【详解】如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°， ∴△AEF ∽△CAB ，故①正确；∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ， ∴AE AF BC CF=， ∵AE=12AD=12BC ， ∴AF CF =12， ∴CF=2AF ，故②正确；设AE=a ，AB=b ，则AD=2a ，由△BAE ∽△ADC ，有2b aa b=，即a ，∴tan ∠CAD=CD AD =2b a =2，故③错误， 所以正确的有2个，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例． 5．C【解析】【分析】通过菱形的判定正方形的判定可判断A ，B ，根据相似三角形的判定可判断C ，D ．【详解】A ．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形．则A 错误；B.对角线垂直且相等的平行四边形四边形是正方形，则B 错误；C.两角分别相等的两个三角形相似，则C 正确；D.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．则D 错误．故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，菱形的判定，正方形的判定，关键是熟练运用这些判定解决问题．6．B【解析】A选项：∵∠E=∠C，∠B=∠D，∴△ADE∽△ABC；B选项：∵∠B与∠D不是AE、DE以及AC、BC的夹角，∴不能证明△ADE∽△ABC；C选项：∵AB ADBC DE，∠B=∠D，∴△ADE∽△ABC；D选项：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，又∵∠B=∠D，∴△ADE∽△ABC.故选B.点睛：相似三角形的判定：（1）有两个对应角相等的三角形相似；（2）有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则这两个三角形相似.7．D【解析】【分析】平行于三角形的一边，其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.除线段上A、B两点外，有无数个这样的点.【详解】无数个，∵平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，AB边是由无数个点构成的，∴这样的点有无数个，故选D.【点睛】此题考查平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似的运用.8．D【解析】由题意得，∠C=∠E，A. 若添加∠BAD=∠CAE，则可得∠BAC=∠DAE，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；B. 若添加∠B=∠D，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；C. 若添加BC ACDE AE=，利用两边及其夹角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；D. 若添加AB ACAD AE=，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；故选D.点睛：相似三角形的判定：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，由此判断即可．9．C【解析】分析：利用三角形中位线定理可知:△DEF∽△ABC,根据其相似比即可计算出△DEF的周长和面积.详解：∵点D、E、F分别是△ABC各边中点，∴△DEF∽△ABC，相似比为：1 2 .∴△DEF的周长=1ABC2的周长=134562⨯++=.∵△ABC三边的长分别为3、4、5，∴△ABC是直角三角形.∴△DEF的面积=1ABC4的面积=11334422⨯⨯⨯=.故选：C.点睛：本题主要考查了相似三角形.关键在于根据三角形的中位线定理得出两三角形相似，并得出相似比.10．C【解析】分析：由平行四边形的性质，可得△BOM∽△AOD，可得出OB⊥OM，进而可求解其面积．解：AM、BD相交于点O，在平行四边形ABCD中，可得△BOM∽△AOD，∵点M是BC的中点，即=，、∴==，∵AM=6，BD=12，∴OM=2，OB=4，在△BOM 中，22+42=，∴OB⊥OM∴S △ABD =BD•OA=×12×4=24，∴S ABCD =2S △ABD =48．故选C ．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，能够运用相似三角形求解一些简单的计算问题． 11．D【解析】【分析】 根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可对A 进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对B 、D 进行判断；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对C 进行判断.【详解】 A 、因为''''''AB AC BC A B A C B C ==，所以'''ABC A B C ，即A 选项可以判断ABC △与'''A B C 相似； B 、因为''''AB AC A B A C =，'A A ∠=∠，所以'''ABC A B C ，即B 选项可以判断ABC △与'''A B C 相似；C 、因为'A B ∠=∠，'B C ∠=∠，所以'''ABC B C A ~，即C 选项可以判断ABC △与'''A B C 相似；D 、因为''''AC BC A C B C =，'C C ∠=∠，所以'''ABC A B C ，即D 选项不可以判断ABC △与'''A B C 相似.故选：D .【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似.12．C【解析】【分析】由正方形的性质、等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【详解】 BPC 是等边三角形，BP PC BC ∴==，60PBC PCB BPC ∠=∠=∠=，在正方形ABCD 中，AB BC CD ==，90A ADC BCD ∠=∠=∠=，30ABE DCF ∴∠=∠=，1122AE BE CF ∴==；故①正确； PC CD =，30PCD ∠=，75PDC ∴∠=，15FDP ∴∠=，45DBA ∠=，15PBD ∴∠=，EDP EBD ∴∠=∠，DEP DEP ∠=∠，DEP ∴∽BED ，EP ED ED EB∴=，即2ED EP EB =⋅，故②正确； 15FDP PBD ∠=∠=，45ADB ∠=，30PDB ∴∠=，而60DFP ∠=，PFD PDB ∴∠≠∠，PFD ∴与PDB 不会相似；故③错误；15PBD ∠=，30PBD ∠=，135BPD ∴∠=，故④正确；故选：C ．【点睛】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握图形的性质和定理．13．D【解析】∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB ，∠ADB=∠DBC ，∴△AOD ∽△COB ，∵S △AOD ：S △ACD =1：4，∴S △AOD ：S △DOC =1：3，即OA ：OC=1：3，∴S △AOD ：S △BOC =1：9，故选D.【点评】运用了相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．14．A【解析】解：假设△ABC ∽△CAD ，∴CD AC AC AB =，即CD =2AC AB =2b c，∴要使△ABC ∽△CAD ，只要CD 等于2b c．故选A ． 15．C【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各图形进行逐一判定即可．【详解】解：第一、二个图形中剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故与原三角形相似；第三、四个图形中剪下的三角形与原三角形的对应边不成比例，故与原三角形不相似．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．16．y=10 x【解析】分析：先利用勾股定理求出BC的长，求出△ABC的面积，正确作出辅助线，利用△AED∽△ABC，求出DE,再利用△AEF的面积为△ABC面积的一半求解即可.详解：过点E作ED⊥AC,∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC=3,∴13462ABCS=⨯⨯=△, ∵∠C＝90°, ED⊥AC,∴△AED∽△ABC, ∴DE AEBC AB=,即35DE x=，∴DE=35x，∵EF平分△ABC的面积，∴116252AEFxS y=⋅=⨯，∴y=10x.故答案为：y=10x.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式，利用相似得出DE的长是解答本题的关键.17．6【解析】【分析】根据两组对角对应相等的两个三角形互为相似相似三角形，两组对边对应成比例，以及夹角相等的两个三角形，互为相似三角形．【详解】∵边AB，AC上的高分别为CE和BF，∴∠BED=∠CEA=∠CFD=∠BF A=90°,∴图中有△ABF∽△ACE，△BDE∽△CDF，△CDF∽△ACE，△CDF∽△ABF，△BDE∽△BF A，△BDE∽△CAE，6对三角形相似．故答案为6．本题考查相似三角形的判定定理，关键知道两组对角对应相等的两个三角形互为相似相似三角形，两组对边对应成比例，以及夹角相等的两个三角形，互为相似三角形．18．12:17【解析】分析：设AE＝2x，利用三角形相似分别把BQ，CQ，DA用x表示，根据△MBQ∽△MDE 则可得到BM:MD.详解：延长AD交直线l于点E，因为AE∥BQ，所以AE AP BQ PB＝，因为PB＝3P A，所以BQ＝3AE＝6x，因为CQ:BQ＝1:2，所以CQ＝3x，因为BC＝BQ＋QC＝6x＋3x＝9x，DE＝AD＋AE＝9x＋2x＝11x.因为DE∥BQ，所以△MDE∽△MBQ，所以DE DM BQ BM＝，即116x DMx BM＝，所以116DMBM＝，所以11116DMBM＋＝＋，即1161766DM BM BDBM BM＋＋＝，＝，因为BD＝2OB，所以2176OBBM＝，即1712OBBM＝.则1217 BMOB＝.故答案为12:17.点睛：本题考查了相似三角形判定与性质，判定两个三角形相似的方法有：①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边成比例的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④有两个角相等的三角形相似．19．4【解析】【分析】根据已知先判定线段DE∥BC,再根据相似三角形的判定方法进行分析,从而得到答案.【详解】解:由题意的:∠1=∠2=∠3∴DE∥BC∴△ADE~△ABC,DE//BC∴∠EDC=∠DCB,又∠ACD=∠ABC,∴△EDC~△DCB,同理:∠3=∠2,∠A=∠A, ∴△ABC~△ACD,△ADE~ △ABC,△ABC~△ACD,∴△ADE~△ACD∴相似三角形共4对.故答案：4.【点睛】本题考查考查了平行线的判定;及相似三角形的判定:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.20．6【解析】【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADC=∠ADB=∠AEC=∠CEB=90°.∵∠B=∠B，∠AFE=∠CFD，∠A=∠A，∠C=∠C，∴△ABD∽△CBE，△AEF∽△CDF，△AEF∽△ADB，△CFD∽△CBE，∴△ABD∽△CBE∽△AFE∽△CFD，∴共有6对.故答案为：6.【点睛】此题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．21．相等对应成比例【解析】【分析】根据相似三角形的定义即可得解.【详解】三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.故答案为：相等；对应成比例.【点睛】本题考查了相似三角形的定义：三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．22．3∶2∶3．【解析】连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，OG=OH，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°,AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，在△CFO与△AOE中，FCO OAB FOC AOE OF OE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFO ≌△AOE ，∴AO=CO ，∴AG=CH ，∵∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90°， ∴△AOE ∽△ABC ， ∴OE AO =BC AB =tan ∠BAC=12， ∵HE ∥BC ，∴∠AEH=90°， ∴∠HEO=∠GEO=∠BAC ， ∴OG OE =12， ∴AO=4OG ，∴AG═CH=3OG ，∵CH=2OG ，∴AG:GH:HC=3:2:3，故答案为：3:2:3.点睛：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键.23．13【解析】【分析】如图，作AE ⊥BH 于E ，BF ⊥AH 于F ，利用等边三角形的性质得AB=AC ，∠BAC=60°，再证明∠ABH=∠CAH ，则可根据“AAS”证明△ABE ≌△CAH ，所以BE=AH ，AE=CH ，在Rt △AHE 中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE=12AH ，，则，于是在Rt△AHC中利用勾股定理可计算出AH=2，从而得到BE=2，HE=1，BH=1，接下来在Rt△BFH中计算出HF=12，BF=2，然后证明△CHD∽△BFD，利用相似比得到HDFD=2，从而利用比例性质可得到DH的长．【详解】作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°，∴∠ABH=∠CAH，在△ABE和△CAH中AEB AHCABE CAHAB CA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△CAH，∴BE=AH，AE=CH，在Rt△AHE中，∠AHE=∠BHD=60°，∴sin∠AHE=AEAH，HE=12AH，∴，∴，在Rt△AHC中，AH2+）2=AC2=）2，解得AH=2，∴BE=2，HE=1，∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1，在Rt△BFH中，HF=12BH=12，BF=∵BF∥CH，∴△CHD ∽△BFD ， ∴332HD CH FD BF ===2，∴DH=23HF=23×12=13， 故答案为：13．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等，解题的关键是明确在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．24．6：1 【解析】分析：延长BE ，AD 交于G ，根据平行线的性质得到∠G=∠EBC ，根据全等三角形的性质得到DG=BC=2AD ，GE=BE ，于是得到AG=3AD ，通过△AGF ∽△BCF ，得到32AF GF AG CF BF BC ===，设GF=3x ，BF=2x ，求得41BF EF = ，由32S ABF AF S BCF CF ∆==∆ 得到S △ABF =32S △BCF ，由4S BCF BF S CEF EF ∆==∆，得到S △CEF =14 S △BCF ，即可得到结论． 详解：延长BE ，AD 交于G ，∵AD ∥BC ，∴∠G=∠EBC ，在△DGE 与△BCE 中，G EBC DEG BEC DE CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴DG=BC=2AD ，GE=BE ，∴AG=3AD ，∵AD ∥BC ，∴△AGF ∽△BCF ，∴32AF GF AG CF BF BC ===， ∴设GF=3x ，BF=2x ，∴BG=5x ，∴BE=GE=2.5x ，∴EF=12x ， ∴41BF EF =， ∴32S ABF AF S BCF CF ∆==∆， ∴S △ABF =32S △BCF ， ∵4S BCF BF S CEF EF∆==∆， ∴S △CEF =14S △BCF ， ∴△ABF 和△CEF 的面积比=326:114S BCF S BCF ∆=∆.故答案为：6：1．点睛：考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 25．8【解析】 试题解析：∵AB ∥DC ，AOB COD ∴∽，,AO BO CO OD∴= 3, 6.4AO BO CO == 8.DO ∴=故答案为：8.26．6.2；【解析】试题解析：当FP AB ⊥时，线段PF 的长度取得最小值.在△ABC 和△DCE 是全等的三角形，9068ACB AC BC ∠=︒==，，， 点F 是ED 的中点，226810,AB DE ∴==+= 6,8.CD AD BC EC ==== 15,2DF DE == 2,BD BC DC =-=易证,BDP BAC ∽,BD PD AB AC∴= 即2,106PD = 解得： 1.2,PD =1.25 6.2.PF PD DF =+=+=故答案为：6.2.点睛：两组角对应相等，两个三角形相似.27．1C ∠=∠（答案不唯一）【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．【详解】有两个角相等的三角形相似，∴添加的条件可以是：∠1=∠C.故答案为：∠1=∠C(答案不唯一).【点睛】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．28．BAC【解析】【分析】由比例中项可知BC:AC=AC:DC，而∠C是△ADC和△BAC的公共角，故可证明两三角形相似.【详解】由题意可知：BC:AC=AC:DC，∵∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC【点睛】本题由比例中项定义得两三角形对应边成比例，再由公共角即可证明两三角形相似. 29．2【解析】过E作EM∥AB与GC交于点M，如图所示：∴△EMF ≌△DGF ， ∴EM=GD ， ∵DE 是中位线，∴CE=12AC ，又∵EM ∥AG ， ∴△CME ∽△CGA ， ∴EM ：AG=CE ：AC=1：2， 又∵EM=GD ， ∴AG ：GD=2：1． ∵AB=6， ∴AD=3， ∴AG=23221⨯=+. 故答案为：2.30．见解析 【解析】 【分析】△EAD ∽△EBA ，△DAE ∽△DCA ．根据等腰直角三角形的性质得∠B=45°，∠GAF=45°，则∠EAD=∠EBA ，再由∠AED=∠BEA （公共角），根据相似三角形的判定即可得到△EAD ∽△EBA ，同理可得△DAE ∽△DCA ． 【详解】EAD EBA ∽，DAE DCA ∽．对ABE DAE ∽进行证明：∵BAC 、AGF 为等腰直角三角形， ∴45B ∠=，45GAF ∠=， ∴EAD EBA ∠=∠， 而AED BEA ∠=∠， ∴EAD EBA ∽． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．31．（1）BC DE =,理由见解析; （2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）先判断出关系，然后根据三角形全的判定SAS 证明△BAC≌△DAE 即可； （2）根据条件证明△DFG∽△BFD，利用相似三角形的性质得出比例式，再利用比例的性质得出FD 2=FG·FB 即可.试题解析：（1）BC DE ，的数量关系是BC DE =． 理由如下：BAD CAE BAC DAE ∠=∠∴∠=∠，．又AB AD AC AE ==，，ABC ADE ∴≌（SAS ）． BC DE ∴=．（2）ABC ADE ≌，ABC ADE ∴∠=∠．ABC CBD ADE CBD ∠=∠∴∠=∠，．又BFD DFG ∠=∠，BFD DFG ∴∽．∴2BF DFFD FG FB DF GF=∴=⋅， 即线段FD 是线段FG 和FB 的比例中项．32．(1)详见解析【解析】 【分析】（1）首先依据旋转的性质和中点的定义证明AD′=AE′，然后再利用SAS 证明△BD ′A ≌△CE ′A ，最后，依据全等三角形的性质进行证明即可；（2）连接DD′，先证明△ADD ′为等边三角形，然后再证明△△ABD ′为直角三角形，接下来，再证明△BFD ′∽△AFE ′，最后，依据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴AD=BD=AE=EC ．由旋转的性质可知：∠DAD ′=∠EAE ′=α，AD′=AD ，AE′=AE ．∴AD ′=AE ′， ∴△BD ′A ≌△CE ′A ， ∴BD ′=CE ′． （2）连接DD′．∵∠DAD′=60°，AD=AD′， ∴△ADD ′是等边三角形．∴∠ADD ′=∠AD ′D=60°，DD′=DA=DB ． ∴∠DBD ′=∠DD ′B=30°， ∴∠BD ′A=90°． ∵∠D ′AE ′=90°， ∴∠BAE ′=30°， ∴∠BAE ′=∠ABD ′， 又∵∠BFD ′=∠AFE ′， ∴△BFD ′∽△AFE ′， ∴BF BD BD AF AE AD ''''＝＝． ∵在Rt △ABD ′中，tan ∠BAD ′=3BD AD '='∴3BFAF= 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、旋转的性质，发现△BFD ′∽△AFE ′是解题的关键．33．（1）二次函数的表达式y=﹣x 2+3x ﹣2；（2）D （0，﹣1）或D （0，6）；（3）最大面积为1.5，H （1，0）． 【解析】试题分析：（1）由已知利用待定系数法进行求解即可得解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；（3）先求出直线BC的解析式，进而求出△CHF与△HFE的面积之和的函数关系式，即可求出最大值.试题解析：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，∴A（1，0），B（2，0），∴10 420b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，∴32 bc=⎧⎨=-⎩，∴二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2；（2）∵二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，∵A（1，0），B（2，0）∴OB=2，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴∠BAC＜135°，即：点D只能在点C上方的y轴上，∴∠DCB=∠ABC=45°∴设D（0，d），d＞﹣2，∵A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴AB=1，，CD=d+2，∵以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△DCB∽△ABC，∴CD BCAB BC==1，∴CD=AB=1，∴d+2=1，∴d=﹣1，。

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题2（附答案详解） 1．如图，在ABC 中，70B ∠=︒，4AB =，6BC =，将ABC 沿图示中的虚线DE 剪开，剪下的三角形与原三角形不．相似的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．下列命题中，正确的是（ ）A ．有一个角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似B ．ABC ∆的三边长为3、4、5，A B C '''∆的三边长为3a +、4a 、5a +，则ABC A B C '''∆∆∽C ．若两个三角形相似，且有一对应边相等，则它们的相似比为1D ．都有一内角为80︒的两个等腰三角形相似3．如图，12∠∠=，如果增加一个条件就能使结论AB ?DE AD ?BC =成立，那么这个条件可以是A ．C D ∠∠=B ．B AED ∠∠=C ．AE AD AB AC = D ．AE AD AC AB = 4．李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）A ．③②①④B ．②④①③C ．③①④②D ．②③④①5．下列四个命题中，真命题是（ ）A ．两个等腰三角形一定相似B ．两个等边三角形一定相似C ．两个直角三角形一定相似D ．两个钝角三角形一定相似6．如图，在ABC ∆中，点D E 、分别在ABC ∆的边AB AC 、上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使ADE ∆与ABC ∆相似，那么这个条件是（ ）A ．AEDB ∠=∠B ．ADEC ∠=∠ C ．AD AE AC AB = D ．AD DE AB BC = 7．如图，已知DAB CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定．．．．A ABC DE ∽△△的是（ ）A ．AB BC AD DE = B ．AB AC AD AE = C ．B D ∠∠= D ．C AED ∠=∠ 8．如图所示，写出一个能判定ABC DAC △∽△的条件________．9．如图，在四边形ABCD 中，DE BC ∥，交AB 于点E ，点F 在AB 上，请你再添加一个条件（不再标注或使用其他字母），使FCB ADE ∆∆∽，并给出证明.你添加的条件是：______.10．如图，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝12，DC ＝10，若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有_____个．11．如图，正方形ABCD 的边长为2，连接BD ，点P 是线段AD 延长线上的一个动点，45PBQ ∠=︒，点Q 是BQ 与线段CD 延长线的交点，当BD 平分PBQ ∠时，PD ______QD （填“>”“<”或“=”）：当BD 不平分PBQ ∠时，PD QD ⋅=__________.12．如图，////AB EF DC ，//AD BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有__________对．13．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，点F 在CD 上，要使ABE ∆与CEF ∆相似，需添加的一个条件是_______(填一个即可)．14．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，12AD =，点E 在边AD 上，8AE =，点F 在边DC 上，则当EF =________时，ABE △与DEF 相似．15．如图，BAD CAE ∠=∠，B D ∠=∠．ABC 与ADE 相似吗？为什么？16．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，请你利用尺规在BC 边上求一点P ，使△ABC ∽△PAC （不写画法保留作图痕迹），并证明△ABC ∽△PAC ．17．如图，在ABC ∆中，D 是BC 上的点，且AB AC DC ==，36B ∠=.求证：~ABC DBA ∆∆.18．已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 为BC 上一点，连接DE ，过点A 作AF DE ⊥于点F ，DEC ∆与ADF ∆相似吗？请说明理由．19．如图，在ABC 中，D 为边AB 上一点，用尺规在边AC 上求作一点E ，使ADE ABC ．（保留作图痕迹，不写作法）20．在网格中画出与△ABC 相似的△A 1B 1C 1（相似比不为1）．21．（1）如图①，在△ABC 中，AB ＝m ，AC ＝n （n ＞m ），点P 在边AC 上．当AP ＝ 时，△APB ∽△ABC ；（2）如图②，已知△DEF （DE ＞DF ），请用直尺和圆规在直线DF 上求作一点Q ，使DE 是线段DF 和DQ 的比例项．（保留作图痕迹，不写作法）22．如图，t R ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 为ABC ∆内部一点，135APB BPC ∠=∠=︒．求证：PAB PBC ∆∆．参考答案1．C【解析】【分析】依据相似三角形的判定定理一一证明，用排除法即可选择.【详解】解：A.∵B EDC ∠=∠,C C ∠=∠,∴ABC ∽EDC △;B.∵B DEC ∠=∠,C C ∠=∠,∴ABC ∽DEC ;D.∵A B C D 、、、在同一个圆上，∴180A DEC ∠+∠=︒,又∵180DEB DEC ∠+∠=︒,∴A DEB ∠=∠,B B ∠=∠,∴ABC ∽EBD △;故剪下的三角形与原三角形不相似的是C.故选：C.【点睛】本题主要考查了相似的判定定理，同时考查了圆内接四边形对角互补的性质，注意隐含的条件公共角、熟悉几种常见的相似模型是解题的关键.2．C【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析即可.【详解】A.有两边对应成比例，且夹角相等的的两个三角形相似，故不正确；B. ∵ABC ∆的三边长为3、4、5，与A B C '''∆的三边长为3a +、4a 、5a +不一定成比例，∴ABC ∆与A B C '''∆不一定相似，故不正确；C. 若两个三角形相似，且有一对应边相等，则它们的相似比为1，正确；D. 当一个等腰三角形的顶角为80°，另一个等腰三角形的底角为80°时，两个三角形不相似，故不正确.故选C.【点睛】本题考查了命题的真假，以及相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.3．D【解析】【分析】求出∠DAE=∠BAC ，根据选项条件判定三角形相似后，可得对应边成比例，再把比例式化为等积式后即可判断．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE ，∴∠DAE=∠BAC ，A 、∵∠DAE=∠BAC ，∠D=∠C ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴AE DE AB BC=， ∴AB ?DE AE?BC =，故本选项错误；B 、∵AED B ∠=∠，∠DAE=∠BAC ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴AE DE AB BC=， ∴AB ?DE AE?BC =，故本选项错误；C 、∵AE AD AB AC=，∠DAE=∠BAC ， ∴△ADE ∽△ACB ，∴AE DE AB BC=，∴AB?DE AE?BC=，故本选项错误；D、∵∠DAE=∠BAC，AE AD AC AB=，∴△ADE∽△ABC，∴AD DE AB BC=，∴AB?DE AD?BC=，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，比例式化等积式，特别要注意确定好对应边，不要找错了．4．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理，即可得到答案．【详解】∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∵DF∥AC，∴∠A=∠BDF，∴∆ADE~∆DBF．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形相似的判定定理，掌握“有两个角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．5．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【详解】解：A、两个等腰三角形不一定相似，例如顶角是50°与顶角是70°的等腰三角形不相似，故本选项错误；B、两个等边三角形三个内角都是60°，一定相似，故本选项正确；C、两个直角三角形不一定相似，例如有一个锐角是50°与有一个锐角是60°的直角三角形不相似，故本选项错误；D、两个钝角三角形不一定相似，例如有一个角是120°与有一个角是150°的三角形不相似，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似．6．D【解析】【分析】根据已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．【详解】解：由题意得，∠A＝∠A，A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；C、当AD AEAC AB=时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；D、当AD DEAB BC=时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．7．A【解析】【分析】先根据∠DAB=∠CAE得出∠DAE=∠BAC，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC．A．∵AB BCAD DE=，∠B与∠D的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；B．∵AB ACAD AE=，∴△ABC∽△ADE，故本选项错误；C．∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE，故本选项错误；D．∵∠C=∠AED，∴△ABC∽△ADE，故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．8．2AC DC BC=⋅（答案不唯一）【解析】【分析】已知有公共角∠C，由相似三角形的判定方法可得出答案．【详解】已知△ABC和△DCA中，∠ACD=∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠B或∠ADC=∠BAC；②AC2=DC•BC；故答案为：AC2=DC•BC（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．9．添加EA：ED=BA：BC （答案不唯一），理由见解析【解析】【分析】欲证△ADE∽△CFB，通过DE∥BC发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠B=∠AED此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可．【详解】解：添加EA：ED=BA：BC （答案不唯一）．∵DE∥BC，∴∠B=∠AED．∵EA：ED=BA：BC，∴△ADE∽△CFB．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键.①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．10．3【解析】【分析】根据已知分两种情况△PAD∽△PBC或△PAD∽△CBP来进行分析，求得PD的长，从而确定P存在的个数．【详解】解：∵AD∥BC，∠D＝90°∴∠C＝∠D＝90°∵AD＝2，BC＝12，DC＝10．设PD＝x，则PC＝10﹣x；①若PD：PC＝AD：BC，则△PAD∽△PBC∴x：（10﹣x）＝2：12，解得x＝107，即PD＝107；②若PD：BC＝AD：PC，则△PAD∽△CBP∴x：12＝2：（10﹣x），解得：x＝4或x＝6，即PD＝4或PD＝6．∴这样的点P存在的个数有3个．故答案为3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 11．= 8【解析】【分析】①先证明△ABP ≌△CBQ,再证明△QBD ≌△PBD,即可得出PD=QD;②证明△BQD ∽△PBD,即可利用对应边成比例求得PD ·QD.【详解】解:①当BD 平分∠PBQ 时，∠PBQ=45°，∴∠QBD=∠PBD=22.5°，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°,∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°，在△ABP 和△CBQ 中，A C AB BCABP CBQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABP ≌△CBQ （ASA ）,∴BP=BQ ，在△QBD 和△PBD 中，BQ BP QBD PBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBD ≌△PBD （SAS ）,∴PD=QD;②当BD 不平分∠PBQ 时，∵AB ∥CQ ，∴∠ABQ=∠CQB ，∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°，∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB ，∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°,∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°, ∴∠BDQ=∠BDP,∴△BQD ∽△PBD ， ∴BD QD PD BD=, ∴PD ·QD=BD 2=22+22=8，故答案为:=，8.【点睛】本题考查三角形的全等和相似,关键在于熟悉基础知识,利用条件找到对应三角形.12．6【解析】【分析】图中三角形有：△AEG，△ADC，△CFG，△CBA，因为////AB EF DC ，//AD BC ，所以△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA，有6中组合，据此可得出答案.【详解】图中三角形有：△AEG，△ADC，△CFG，△CBA，∵////AB EF DC ，//AD BC ，∴△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA共有6个组合分别为：△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽△CFG，△ADC∽△CBA，△CFG∽△CBA故答案为6.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 13．AE EF ⊥或∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC （任填一个即可）【解析】根据相似三角形的判定解答即可．【详解】∵矩形ABCD ，∴∠ABE ＝∠ECF ＝90︒，∴添加∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ，∴△ABE ∽△ECF ，故答案为：∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ．【点睛】此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．14．5或203【解析】【分析】若要ABE △与DEF 相似,则需要对应直角边成比例,代入数值计算即可．【详解】由题意,知ABE △与DEF 都是直角三角形, 所以当AB BE DE EF =或AE BE DE EF=时,ABE △与DEF 相似, 由6AB =,8AE =,12AD =,得10BE =,4DE =, ∴6104EF =或8104EF=, ∴EF =5或203． 故答案为: 5或203． 【点睛】ABE △与DEF 相似和ABE DEF △△∽是有区别的,前者没有明确两个三角形的对应关系,后者已给出了对应关系,因此前者要分类讨论．15．相似，见解析【解析】【分析】利用“两个角对应相等，三角形相似”证得△ABC 与△ADE 相似．∠=∠，∵BAD CAE∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC即∠BAC=∠DAE，∠=∠，又∵B D∴A△．ABC DE∽△【点睛】本题考查了相似三角形的判定,属于基础题．16．图及证明见解析．【解析】【分析】直接作出AB的垂直平分线，进而得出P点位置，利用相似三角形的判定方法得出即可．【详解】解：如图所示：点P即为所求，∵MN是AC的垂直平分线，交BC于点P，∴AP＝CP，∴∠C＝∠PAC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝∠PAC，∴△ABC∽△PAC．【点睛】此题主要考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．17．详见解析.【解析】36B ∠=是公共角，由AB=AC 可得36C ∠=，再证36DAB ∠=即可.【详解】证明：AB AC =，36B ∠=，36C ∴∠=又AC DC =18036722DAC -∴∠== 1802367236DAB ∴∠=-⨯-=ABC DBA ∴∆∆【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确地找出两组角分别相等是解决问题的关键.18．相似，见解析【解析】【分析】先得出ADE DEC ∠=∠，AFD C ∠=∠，再根据两角对应相等两个三角形相似即可判断．【详解】解：相似，理由如下：在矩形ABCD 中，,90AD BC C ︒∠=//，∴ADE DEC ∠=∠，∵AF DE ⊥，∴90AFD ︒∠=，∴AFD C ∠=∠，∴DEC ADF ∆∆∽．本题考查矩形的性质、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，属于中考常考题型．19．图见解析．【解析】【分析】要使ADE ABC ，则只需过点D 作//DE BC 即可，再按照过直线外一点，作已知直线的平行线的方法尺规作图即可．【详解】如图，分以下四步：（1）以点B 为圆心，小于AD 长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点G 、F（2）以点D 为圆心，BG 长为半径画弧，交AD 于点M（3）以点M 为圆心，GF 长为半径画弧，与（2）所画的弧交ABC 内于点N（4）连接DN ，并延长DN ，交AC 于点E则点E 即为所作理由如下：由作图过程可知：BG BF DM DN ===，GF MN =在BFG 和DNM 中，BF DN BG DM GF MN =⎧⎪=⎨⎪=⎩()BFG DNM SSS ∴≅B MDN ∴∠=∠//DE BC ∴ADE ABC ∴．【点睛】本题考查了平行线的尺规作图、三角形全等的判定定理与性质、平行线的判定、相似三角形的判定等知识点，依据相似三角形的判定方法转化所求问题是解题关键．20．见解析【解析】【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似，将各边扩大2倍得出答案即可．【详解】如图所示：△A1B1C1，即为所求．．【点睛】此题主要考查了相似变换，根据题意正确利用相似三角形的判定得出对应边的长是解题关键．21．（1）2mn；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定方法进行分析即可;（2）直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案．【详解】（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，则AB ACAC AP=,即m nn AP=,∴AP=2mn.（2）解：作∠DEQ＝∠F, 如图点Q就是所求作的点【点睛】本题考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．22．详见解析【解析】【分析】利用等式的性质判断出∠PBC=∠PAB ，即可得出结论；【详解】解：90ACB ∠=︒，AB BC =45ABC PBA PBC ∴∠=︒=∠+∠，又135APB ∠=︒,45PAB PBA ∴∠+∠=︒，PBC PAB ∴∠=∠，又135APB BPC ∠=∠=︒，PAB PBC ∴∆∆．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠PBC=∠PAB 是解本题的关键．。

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青岛版2020九年级数学上册1.2怎样判定三角形相似自主学习培优测试题（附答案详解）1．如图，点P 是△ABC 的边AC 上一点，连接BP ，以下条件中不能判定△ABP ∽△ACB 的是( )A ．AB AC AP AB = B ．AC BC AB BP = C ．∠ABP ＝∠CD ．∠APB ＝∠ABC 2．如图所示，在直角梯形ABCD 中，7AB =，2AD =，3BC =，如果AB 上的点P 使PAD PBC ∽，那么这样的点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图1，在三角形纸片ABC 中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 4．如图，在 ABCD 中， G 是 BC 延长线上的一点， AG 与 BD 交于点E ，与 DC 交与点F ，则图中相似三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对5．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上.若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）A ．2B ．52C 5D ．2586．已知：如图，DE∥BC，AD:DB=1:2，则下列结论不正确的是（）A．12DEBC=B．19ADEABC的面积的面积∆=∆C．13ADEABC∆=∆的周长的周长D．18ADEBCED∆=的面积四边形的面积7．如图，A，C，E，G四点在同一直线上，分别以线段AC，CE，EG为边在AG同侧作等边三角形△ABC，△CDE，△EFG，连接AF，分别交BC，DC，DE于点H，I，J，若AC=1，CE=2，EG=3，则△DIJ的面积是（）A．38B．3C．12D．38．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（）A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：119．如图，△ABC中∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=，PB=5，PC=2，则∠APC的度数为_____，△ABC的面积为_____．10．如图，在ABC 中，P 是AC 上一点，连接BP ，要使ABP ACB ∽，则还须添加一个条件________（只须写出一个即可，不必考虑所有可能）．11．如图，已知，90ACB ADC ∠=∠=，3BC =，4AC =，要使ABC ACD ∽，只要CD =________．12．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 上一点，且AE =32ED ，EC 交对角线BD 于点F ，则EF FC等于_____．13．如图，已知DE ∥BC ，AD ＝3，AB ＝9，AE ＝2.5，则EC ＝________．14．如图，在△ABC 中，DE 垂直平分BC ，垂足为点D ，交AB 于点E ，且AD=AC ，EC 交AD 于点F ，下列说法：①△ABC ∽△FDC ；②点F 是线段AD 的中点；③S △AEF ：S △AFC =1：4；④若CE 平分∠ACD ，则∠B=30°，其中正确的结论有_____（填写所有正确结论的序号）．15．已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上．如图，若AD ∶DB =1∶4，则CE ∶CF =________．16．在ABC 和'''A B C 中，如果34A ∠=，5AC cm =，4AB cm =，'34A ∠=，''2A C cm =，'' 1.6A B cm =，那么这两个三角形能否相似的结论是________，理由是________．17．一块直角三角形木板，一直角边是1.5米，另一直角边长是2米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如图所示，请运用所有知识说明谁的加工方法符合要求．18．（12分）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB ∠交边BC 于点E ，EM BD ⊥垂足为M ，EN CD ⊥垂足为N ．（1）当AD CD =时，求证：DE AC ．（2）探究：AD 为何值时，BME 与CNE △相似？（3）直接写出：AD =__________时，四边形MEND 与BDE 的面积相等．19．课堂上，数学老师提出了如下问题：如图1，若线段AD 为△ABC 的角平分线，请问AC CD AB DB=一定成立吗？ 小明和小芳分别作了如下探究： 小明发现：如图2，当△ABC 为直角三角形时，且∠C =90°，∠C AB =60°时，结论成立； 小芳发现：如图3，当△ABC 为任意三角形时，过点C 作AB 的平行线，交AD 的延长线于点E ，利用此图可以证明AC CD AB DB=成立．20．如图，已知AD 为ABC 的角平分线，ADE B ∠∠=．()1求证：ABD ADE ∽．()2若AB 9=，AE 4=，求AD 的长．21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P 1、P 2、P 3、P 4、P 5是△DEF 边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)试证明△ABC 为直角三角形；(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；22．如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且满足AB·AD=AE·AC ，连接DE. 求证：∠ABC=∠AED ．23．小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程.已知：如图，在△ABC 和△A B C '''中，∠A ＝∠A '，∠B ＝∠B '.求证：△ABC ∽△A B C '''.证明：在线段A B ''上截取A D AB '=，过点D 作DE ∥B C ''，交A C ''于点E.由此得到△A DE ∽△A B C '''.∴∠A DE ＝∠B '，∵∠B ＝∠B '，∴∠A DE ＝∠B ，∵∠A '＝∠A ，∴△A DE ≌△ABC ，∴△ABC ∽△A B C '''.小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：(1)首先，通过作平行线，依据__________，可以判定所作△A DE 与_________；(2)然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE 与________；(3)最后，可证得△ABC ∽△A B C '''.24．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ，AD 4=，AB 5=，BC BD 6==，DE 3=．()1求证：DFE DAB∽；()2求线段CF的长．参考答案1．B【解析】在△ABP 和△ACB 中，∠A=∠A ，添加选项A ，利用两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似即可判定ABP ∽ACB ；添加选项C 、D ，利用两角对应相等的两个三角形相似即可判定ABP ∽ACB ；只有添加选项B 不能够判定△ABP∽△ACB ，故选B.2．C【解析】【分析】根据相似三角形的性质分情况讨论得出AP 的长，即可得到满足题意的点P 的个数．【详解】分两种情况：①如果△P AD ∽△PBC ，则P A :PB =AD :BC =2:3，又P A +PB =AB =7，∴AP =7×2÷5=2.8； ②如果△P AD ∽△CBP ，则P A :BC =AD :BP ，即P A ⋅PB =2×3=6， 又∵P A +PB =AB =7，∴P A 、PB 是一元二次方程x 2−7x +6=0的两根，解得121,6x x ==，∴AP =1或6.综上，可知AP =2.8或1或6.∴满足题意的点P 的个数为3个，故选：C.【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键。

3．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．4．D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABD∽△CDB，△GFC∽△GAB，△DEF∽△BEA，△AED∽△GEB，△ADF∽△GC F，△ADF∽△GBA.即图中有6对相似三角形.故选D.5．D【解析】试题解析：连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90∘,AB//CD，AD=BC=3，∴∠FCO =∠EAO ，在△OCF 与△OAE 中，FCO EAO FOC EOA OE OF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OEB ≌ △OFD (AAS)，∴BO =DO ，225AC BC ===，1522CO AC ∴==， ,90OAE BAC AOE B ∠=∠∠=∠=，AOE ABC ∽，∴ OA AE AB AC∴=， 5245AE ∴=， 25.8AE ∴= 故选D.6．A【解析】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴13DE AD AD BC AB AD BD ===+，∵相似三角形周长比等于相似比，面积比为相似比的平方，∴B ，C 选项正确，∵四边形BCED 的面积=△ABC 的面积﹣△ADE 的面积，∴D 选项正确．故选A ．7．A【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到FG ＝EG ＝3，∠AGF ＝∠FEG ＝60°，根据三角形的内角和得到∠AFG ＝90°，根据相似三角形的性质得到AE AG =EJ GF =36，AC AE =CI EF =13，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】∵AC ＝1，CE ＝2，EG ＝3，∴AG ＝6，∵△EFG 是等边三角形，∴FG ＝EG ＝3，∠AGF ＝∠FEG ＝60°， ∵AE ＝EF ＝3，∴∠FAG ＝∠AFE ＝30°， ∴∠AFG ＝90°， ∵△CDE 是等边三角形，∴∠DEC ＝60°， ∴∠AJE ＝90°，JE ∥FG ， ∴△AJE ∽△AFG ， ∴AE AG =EJ GF =36， ∴EJ ＝13， ∵∠BCA ＝∠DCE ＝∠FEG ＝60°， ∴∠BCD ＝∠DEF ＝60°， ∴∠ACI ＝∠AEF ＝120°， ∵∠IAC ＝∠FAE ，∴△ACI ∽△AEF ， ∴AC AE =CI EF =13， ∴CI ＝1，DI ＝1，DJ ＝12，∴IJ∴DIJ S =12•DI•I J ＝12×12 故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．8．C【解析】解：∵O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，∴DO =BO ．又∵E 为OD 的中点，∴DE =14DB ，∴DE ：EB =1：3．又∵AB ∥DC ，∴△DFE ∽△BAE ，∴211()39DEF ABE S S ∆∆==，∴S △DEF =19S △BAE ．∵23AOB ABE S S ∆∆=，∴S △AOB =23S △BAE ，∴S △DEF ：S △AOB =19S △BAE ：23S △BAE =1：6．故选C ． 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE ∽△BAE ，然后根据对应边成比例求值．9．120°62+ 【解析】【分析】首先作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，即可得△ABQ∽△ACP，即可得△ABQ 与△ACP 相似比为2，继而可得△APQ 与△BPQ 是直角三角形，根据直角三角形的性质，即可求得△ABC 的面积．【详解】如图，作△ABQ ，使得：∠QAB=∠PAC ，∠ABQ=∠ACP ，则△ABQ ∽△ACP ，∵AB=2AC ，∴△ABQ 与△ACP 相似比为2，∴，BQ=2CP=4，∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°，∵AQ ：AP=2：1，∴∠APQ=90°，∠AQP=30°，∴=，∴BP 2=25=BQ 2+PQ 2，∴∠BQP=90°，∴∠APC=∠AQB=90°+30°=120°；作AM ⊥BQ 于M ，由∠BQA=∠BQP+∠AQP=120°，∴∠AQM=60°，QM=3，AM=3，∴AB 2=BM 2+AM 2=（4+3）2+32=28+83，∴S △ABC =12AB•ACsin60°=3AB 2=673+， 故答案为：120°，673+．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质以及三角函数的性质．此题难度较大，解题的关键是辅助线的构造，还要注意勾股定理与勾股定理的逆定理的应用．10．ABP C ∠∠=或ABC APB ∠∠=或2AB AP AC =⋅等【解析】【分析】相似三角形的判定，对应角相等，对应边成比例，题中∠A 为公共角，再有一对应角相等即可．【详解】在△ABP 与△ACB 中，∠A 为两三角形的公共角，只需在有一对应角相等即可，即∠ABP=∠C.故答案为∠ABP=∠C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定.11．125【解析】【分析】根据对应边成比例的两个三角形互为相似三角形可以求解.【详解】解:∠ACB=o 90,AC=4,BC=3,5∴=,要使ABC ACD ∽,有AB BC AC CD=, 534CD =,12CD=5, 故答案为:125【点睛】本题考查相似三角形的判定定理,关键是知道对应边成比例两个三角形互为相似三角形. 12．25【解析】 ∵AE =32ED ， ∴2AE=3ED,∴ED:AE=2：3，∴ED:AD=2：5.∵AD ∥BC,∴△DEF ∽△BCF,25EF ED FC BC ∴== . 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质, 平行四边形的性质.利用平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD =BC ，进而得出△DEF ∽△DCF ，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 13．5【解析】分析：根据平行线得出相似，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出AC 即可．详解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB =AE AC， ∵AD =3，AB =9，AE =2.5，∴AC =7.5，∴CE =7.5﹣2.5=5．故答案为：5．点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是能根据相似得出正确的比例式．14．①②④【解析】解：∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∵DE垂直平分BC，∴EB=EC，∴∠B=∠ECB，∴△ABC∽△FCD，故①正确；∵△ABC∽△FCD，∴，∴DF=12AC=AD，故②正确；如图，过F作FG∥BC交AB于G，则∵F是AD的中点，∴，∴GF=12BD=14BC，∵GF∥BC，∴，∴EF=14EC，即EF=13CF，∴EF：FC=1：3，∴S△AEF：S△AFC=1：3，故③错误；∵CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠BCE=∠B，设∠ACE=∠BCE=∠B=α，则∠ACD=2α=∠ADC，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=α，∴∠B=∠BAD，∴BD=AD=CD，∴∠DAC=∠DCA=2α，∵△ABC中，∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∴α+（a+2α）+2α=180°，∴α=30°，即∠B=30°，故④正确；故答案为：①②④．点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线，三角形内角和及三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.15．2 3 .【解析】如下图，连接DE、DF，设AD=x，则DB=4x，AB=5x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC=5x，由折叠的性质可知：CE=DE，CF=DF，∠EDF=∠ACB=60°，∴∠BDF+∠BFD=180°-60°=120°，∠BDF+∠ADE=180°-∠EDF=120°，∴∠BFD=∠ADE，∴△ADE∽△BFD，∴DE：DF=△ADE的周长：△BDF的周长，∵△AED的周长=AD+DE+AE=AD+AC=6x，△BDF的周长BD+BF+DF=BD+BC=9x，∴DE ：DF=5x ：7x=2：3.故答案为：2：3.16．'''ABC A B C ∽ 两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似【解析】 【分析】先计算出AB A B ''=52，AC A C ''=52，得到AB A B ''=AC A C ''，加上∠A=∠A′=34°，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断两三角形相似． 【详解】∵AC=5cm,AB=4cm,A′C′=2cm,A′B′=1.6cm ，∴AB A B ''=41.6=52,AC A C ''=52， ∴AB A B ''=AC A C ''， 而∠A=∠A′=34°，∴△ABC ∽△A′B′C′.故答案为△ABC ∽△A′B′C′；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 17．乙加工的方法合理【解析】【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例；相似三角形的对应高的比等于相似比，求解即可．【详解】解：乙加工的方法合理．设甲加工桌面长xm ，过点C 作CM AB ⊥，垂足是M ，与GF 相交于点N ，∵//GF DE ，∴CGF CAB ∽，∴::CN CM GF AB =，∴()CM x -：:CM x AB =．又2AC =， 1.5BC =，根据勾股定理得： 2.5AB =，∵1122AC BC AB CM ⋅=⋅， ∴ 1.2CM =，∴()1.2x -：1.2:2.5x =，即()1.2 2.51.2x x =-，故此可求得3037x =； 设乙加工桌面长ym ， ∵//FD BC ，∴Rt AFD Rt ACB ∽，∴::AF AC FD BC =，即()2y -：2:1.5y =，解得67y =， 很明显x y <，故22x y <，∴乙加工的方法合理．【点睛】考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等，相似三角形的对应高之比等于相似比，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答.18．（1）见解析；（2）5或185 ；（3）115 【解析】试题分析：似三角形的判定得出△DEB ∽△ACB ，从而得出角的关系，再由AD =CD ，得出BD 与AB 的关系，即可求的结论．（2）此题分两种情况求解，△BME ∽△CNE 或△BME ∽△ENC ，根据相似三角形的性质即可求得；（3）根据四边形的面积求解方法，利用分割法求不规则四边形的面积，作辅助线EN ⊥BD 即可求得解：（1）∵AD CD =，∴DAC DCA ∠=∠，∴2BDC DAC ∠=∠，又∵DE 是BDC ∠的平分线，∴2BDC BDE ∠=∠，∴DAC BDE ∠=∠，∴DE AC ．（2）（i ）当BME CNE ∽时，得MBE NCE ∠=∠，∴BD DC =，∵DE 平分BDC ∠，∴DE BC ⊥，BE EC =，又90ACB ∠=︒，∴DE AC ， ∴BE BD BC AB=，即152BD AB ===， ∴5AD =．（ii ）当BME ENC ∽时，得EBM CEN ∠=∠，∴EN BD ，又∵EN CD ⊥，∴BD CD ⊥即CD 是ABC 斜边上的高，由三角形面积公式得AB CD AC BC ⋅=⋅， ∴245CD =，∴185AD ==， 综上，当5AD =或185时，BME 与CNE 相似． （3）115AD =， 由角平分线性质易得12MDE DEN SS DM ME ==⋅， ∵BDE MEND S S=四边形， ∴12BD EM DM EM ⋅=⋅， 即12DM BD =， ∴EM 是BD 的垂直平分线，∴EDB DBE ∠=∠，∵EDB CDE ∠=∠，∴DBE CDE ∠=∠， 又∵DCE BCD ∠=∠，∴CDE CBD ∽，∴CD CE DE BC CD BD==，① ∴2CD BE BE BC BD BM ==即4BE CD BM=， ∵4cos 5BM B BE ==， ∴5454CD =⨯=， 由①得2258CD CE BC ==， ∴398BE =， ∴43939cos 5810BM BE B ==⨯=，∴39112102105AD AB BM =-=-⨯=． 点睛：此题考查了平行线的判定，还考查了相似三角形的判定与性质，解题时要注意数形结合思想的应用，要注意不规则图形的面积的求解方法．19．（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）设CD 的长为a ，Rt △CAB 中，由角平分线的定义，可得∠B= 30°，由正切定义可得AC 、AB 、CB 以及DB 的长，即可得证；（2）由两直线平行，内错角相等可得∠E=∠EAB ，∠B=∠ECB ，即可证明△CED ∽△BAD ， 由相似三角形的性质得出CE CD AB DB=，由等角对等边得出CE=CA ，即可得证.试题解析：（1）设CD 的长为a ，Rt △CAB 中，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，∴∠B=∠CAD=∠DAB= 30°，0CD CD AC tan CAD tan303∠====AC AC AB sin B sin302∠====0AC AC BC 3a tan B tan30∠==== ∴DB= BC-CD=3a-a=2a∴ AC 1a CD AB 22a DB==== （2）∵CE ∥AB ，∴∠E=∠EAB ，∠B=∠ECB ，∴△CED ∽△BAD ， ∴CE CD AB DB=， ∵∠E=∠EAB ，∠EAB=∠CAD ，∴∠E=∠CAD∴CE=CA ∴AC CD AB DB=， 20．（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用两组角对应相等的两个三角形相似；（2）由于△ABD ∽△ADE ，根据相似三角形的性质得到AD ：AE=AB ：AD ，然后把AB=9，AE=4代入后利用比例性质可计算出AD 的长．【详解】()1证明：∵AD 为ABC 的角平分线， ∴BAD EAD ∠∠=，∵ADE B ∠∠=， ∴ABD ADE ∽；()2解：∵ABD ADE ∽，∴AD:AE AB:AD =，即AD:49:AD =，∴AD 6=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形性质时主要利用相似比计算线段的长． 21．见解析【解析】【试题分析】（1）根据勾股定理，计算出AC 、AB 、BC 的长度，利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）利用三边对应成比例，两三角形相似进行验证即可.【试题解析】（1）根据勾股定理，得：、BC=5，则222BC AC AB =+,利用勾股定理的逆定理得：△ABC 为直角三角形；（2））根据勾股定理，得：DE=DF=EF=则DF ：DE ：EF=1:2:：AB ：BC ，利用三边对应成比例，两三角形相似得：△ABC ~△DEF.【方法点睛】本题目是一道考查学生三角形的判定方法，主要运用了勾股定理的逆定理证明直角三角形，利用三边对应成比例，两三角形相似.难度适中.22．证明见解析.【解析】试题分析：根据等积式得出比例式，再加上∠A=∠A 得出△AED∽△ABC，即可得.试题解析：∵AB·AD=AE·AC ∴AB AC AE AD=， 又∵∠A=∠A ，∴△ABC ∽△AED ，∴∠ABC=∠AED.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，注意：有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似．23．(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；△A B C '''相似；(2)△ABC 全等.【解析】【分析】：在线段A B ''上截取A D AB '=，过点D 作DE ∥B C ''，交A C ''于点E .由此得到△A DE '∽△A B C '''，然后再证明△A DE '≌△ABC 即可.【详解】(1)首先，通过作平行线，依据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可以判定所作△A DE '与△A B C '''相似；(2)然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与△ABC 全等；(3)最后，可证得△ABC ∽△A B C '''.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.24．（1）证明见解析；（2）CF=5.【解析】【分析】（1）AD ∥BC ，DE=3，BC=6，＝＝＝，＝．又∠EDF=∠BDA，即可证明△DFE∽△DAB． （2）由△DFE∽△DAB，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．【详解】证明：()1∵AD //BC ，DE 3=，BC 6=，∴DF DE 31FB BC 62===， ∴DF 1BD 3=，∵BD 6=，∴DF 2=． ∵DA 4=，∴DF 21DE 31,DA 42DB 62====．∴DF DE DA DB =． 又∵EDF BDA ∠∠=，∴DFE DAB ∽．()2∵DFE DAB ∽，∴EF DE AB DB=． ∵AB 5=，∴EF 356=，∴5EF 2.52==． ∵DE //BC ，∴CF BC EF DE=． ∴CF 62.53=，∴CF 5=． （或利用CFB BAD ≅）．【点睛】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第（2）问也可利用△CFB≌△BAD 求得线段CF 的长，不管学生用了哪种方法，只要是正确的，就要积极地给予表扬.。

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