合理推理与演绎推理(一)
合情推理与演绎推理(1)灵中学案
能 力 检 测
2、.数列 {an } 满足 Sn 2n an ,先计算数列的前 4 项,再求 an
3
3、图（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京 奥运会吉祥物“福娃迎迎” ，按同样的方 式构造图形，设第 n 个图形包含 f ( n) 个 “福娃迎迎” ，则 f (5) ； .
f (n) f (n 1)
知 建 构
4
3
B.26
C.27
D.28
23 32 ， 13 23 33 62 ， 13 23 33 43 102 ，„，根据上述
。
规律，第五个等式 为 ．．．．． 4.察下列等式：
1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 „„„ 照此规律，第 n 个等式为：
1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
„„„„„„
题型三．三角函数中的归纳推理 观察下列等式，猜想一个一般性的结论
3 , 2 3 sin 2 600 sin 2 1200 sin 2 180 0 2 3 sin 2 450 sin 2 1050 sin 2 1650 , 2 3 2 0 2 0 2 0 sin 15 sin 75 sin 135 2 sin 2 300 sin 2 900 sin 2 1500
基础 层次 问题
C. 10n 1
D. 11n
3. 因 为 三 角 形 的 内 角 和 是 180 (3 2) ， 四 边 形 的 内 角 和 是
演绎推理与归纳推理的合理性分析
演绎推理与归纳推理的合理性分析推理是人类思维的重要组成部分，它在我们的日常生活和学术研究中都起着至关重要的作用。
而在推理的过程中，演绎推理和归纳推理是两种常见的推理方式。
本文将对演绎推理和归纳推理的合理性进行分析。
首先，我们来探讨演绎推理的合理性。
演绎推理是一种从一般到特殊的推理方式，它基于已有的前提和逻辑规则，通过逻辑推导得出结论。
演绎推理的合理性在于它的推理过程是严格的、可验证的。
当我们拥有正确的前提和正确的逻辑规则时，演绎推理可以确保我们得出的结论是正确的。
例如，当我们知道“所有人都会死亡”，并且知道“小明是一个人”，我们可以通过演绎推理得出“小明会死亡”的结论。
这种推理方式具有高度的可靠性，因为它遵循了严谨的逻辑规则。
然而，演绎推理也存在一定的局限性。
首先，演绎推理的结论只能是在前提中已经存在的信息。
如果前提中缺乏必要的信息，那么演绎推理就无法得出准确的结论。
此外，演绎推理也容易受到前提的不准确性或逻辑规则的错误应用而导致推理的不正确。
因此，在进行演绎推理时，我们需要确保前提的准确性，并且要熟练掌握逻辑规则，以避免出现错误的结论。
接下来，我们来探讨归纳推理的合理性。
归纳推理是一种从特殊到一般的推理方式，它基于观察到的个别事实或现象，推断出一般规律或原则。
归纳推理的合理性在于它的推理过程是基于概率的。
当我们观察到多个相似的个别事实或现象时，我们可以推断出它们背后存在着一个普遍规律。
例如，当我们观察到多个苹果从树上掉下来后都会落地，我们可以推断出“所有苹果从树上掉下来后都会落地”的一般规律。
这种推理方式虽然不像演绎推理那样严谨，但在实际生活中具有一定的可用性。
然而，归纳推理也存在一定的不确定性。
由于归纳推理是基于概率的，所以它得出的结论并不是绝对的。
即使我们观察到了多个相似的个别事实或现象，也无法保证它们背后存在着一个普遍规律。
此外，归纳推理也容易受到观察偏差或样本选择的影响而导致推理的不准确。
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理一、基础知识1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理．(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．↓演绎推理：常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．二、常用结论(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理． 考点一 归纳推理考法(一) 与数字有关的推理[典例] 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，3 38＝ 338，4 415＝ 4415，5 524＝ 5524，…，则按照以上规律，若99n＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝( ) A ．25 B ．48 C ．63 D ．80[解析] 由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝ 5524，…， 可得若99n ＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80. [答案] D考法(二) 与式子有关的推理[典例] 已知f (x )＝xe x ，f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N *，经计算：f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xex ，…，照此规律，则f n (x )＝________.[解析] 因为导数分母都是e x，分子为(－1)n(x －n )，所以f n (x )＝(－1)n (x －n )e x.[答案] (－1)n (x －n )e x考法(三) 与图形有关的推理[典例] 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 2 019＝________.[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n ＝3n －1－12(n ∈N *)，所以a 2 019＝32 018－12.[答案] 32 018－12[题组训练]1．(2019·兰州实战性测试)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *，则1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.答案：n 22．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．则n 级分形图中共有________条线段．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段， 由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段， 二级分形图有9＝3×22－3条线段， 三级分形图中有21＝3×23－3条线段， 按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3. 答案：3×2n －3考点二 类比推理[典例] 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O -ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面△ABC 的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3[解析] 如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋ 14BC 2·OD 2＝⎝⎛⎭⎫12OB ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12OC ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23. [答案] A[题组训练]1．给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列．类比以上结论：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 3，________，________，T 12T 9成等比数列．解析：等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 3＝b 1b 2b 3，T 6＝b 1b 2…b 6，T 9＝b 1b 2…b 9，T 12＝b 1b 2…b 12，所以T 6T 3＝b 4b 5b 6，T 9T 6＝b 7b 8b 9，T 12T 9＝b 10b 11b 12，所以T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9的公比为q 9，因此T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9成等比数列．答案：T 6T 3 T 9T 6考点三 演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论) [解题技法] 演绎推理问题求解策略(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[题组训练]1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．考点四逻辑推理问题[典例](2019·安徽示范高中联考)某参观团根据下列要求从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了()A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇[解析]假设去A镇，则也必须去B镇，但去B镇则不能去C镇，不去C镇则也不能去D镇，不去D镇则也不能去E镇，D，E镇都不去则不符合条件．故若去A镇则无法按要求完成参观．同理，假设不去A镇去B镇，同样无法完成参观．要按照要求完成参观，一定不能去B 镇，而不去B镇的前提是不去A镇．故A，B两镇都不能去，则一定不能去E镇，所以能去的地方只有C，D两镇．故选C.[答案] C[解题技法] 逻辑推理问题求解的2种途径求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径：(1)根据条件直接进行推理判断；(2)假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符合．[题组训练]1．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选A四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.2．(2019·大连模拟)甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人．已知：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也不正面相对．若己与乙不相邻，则以下选项正确的是()A．若甲与戊相邻，则丁与己正面相对B．甲与丁相邻C．戊与己相邻D．若丙与戊不相邻，则丙与己相邻解析：选D由题意可得到甲、乙位置的示意图如图(1)，因此，丙和丁的座位只可能是1和2,3和4,4和3,2和1，由己和乙不相邻可知，己只能在1或2，故丙和丁只能在3和4,4和3，示意图如图(2)和图(3)，由此可排除B、C两项．对于A项，若甲与戊相邻，则己与丁可能正面相对，也可能不正面相对，排除A.对于D项，若丙与戊不相邻，则戊只能在丙的对面，则己与丙相邻，正确．故选D.图(1)图(2)图(3)[课时跟踪检测]1．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是()①2 020能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2 020是偶数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选C根据题意并按照演绎推理的三段论可知，大前提：一切偶数都能被2整除．小前提：2 020是偶数．结论：2 020能被2整除．所以正确的排列顺序是②③①.故选C.2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．3．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4，2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A ．22项B ．23项C ．24项D ．25项解析：选C 由题意可知，两数的和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以为该列算式的第24项．故选C.4．(2018·南宁摸底联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：选C 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.5．若等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，则一定有S 2n －1＝(2n －1)a n 成立．若等比数列{b n }的前n 项之积为T n ，类比等差数列的性质，则有( )A ．T 2n －1＝(2n －1)＋b nB ．T 2n －1＝(2n －1)b nC ．T 2n －1＝(2n －1)b nD ．T 2n －1＝b 2n －1n解析：选D 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2n －1＝2a n ， a 2＋a 2n －2＝2a n, …，故有S 2n －1＝(2n －1)a n ， 在等比数列{b n }中，b 1b 2n －1＝b 2n ，b 2·b 2n －2＝b 2n ，…，故有T 2n －1＝b 1b 2…b 2n －1＝b 2n －1n.6．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为( )A ．f (n )＝2n －1B ．f (n )＝2n 2C ．f (n )＝2n 2－2nD ．f (n )＝2n 2－2n ＋1解析：选D 因为f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…，结合图形不难得到f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，累加得f (n )－f (1)＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，故f (n )＝2n 2－2n ＋1.7．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色：先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最近的5个连续奇数17,19,21,23，25，…，按此规则一直染下去，得到一个红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 019个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974解析：选D 按照染色步骤对数字进行分组．由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数，…，根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2 016＝63×(63＋1)2＜2 019＜64×(64＋1)2＝2 080，因此，第2 019个数是第64组的第3个数，由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，…，所以第n 组最后一个数是n 2，因此第63组最后一个数为632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972，第3个数为3 974，故选D.8．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：观察所给等式可知，每行最左侧的数分别为1,2,3，…，则第n 行最左侧的数为n ；每个等式左侧的数的个数分别为1,3,5，…，则第n 个等式左侧的数的个数为2n －1，而第n 个等式右侧为(2n －1)2，所以第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29．(2018·上饶二模)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，则其四维测度W ＝________.解析：∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S ，∴四维空间中“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W 满足W ′＝V ＝12πr 3，∴W ＝3πr 4.答案：3πr 410．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n ∈N *)，其中λ>0，{a n }的通项公式是________________．解析：a 1＝2，a 2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22， a 3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23， a 4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.由此猜想出数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n . 答案：a n ＝(n －1)λn ＋2n11．(2019·吉林实验中学测试)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e 等于________．解析：类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)， 所以FB ―→＝(c ，b )，AB ―→＝(－a ，b )． 易知FB ―→⊥AB ―→，所以FB ―→·AB ―→＝b 2－ac ＝0， 所以c 2－a 2－ac ＝0，即e 2－e －1＝0， 又e ＞1，所以e ＝5＋12. 答案：5＋1212．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体A BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝1.证明：在四面体O BCD 与A BCD 中，OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD ·h＝V O BCDV A BCD .同理有OF DF ＝V O -ABC V D -ABC ，OG BG ＝V O-ACD V B -ACD ，OH CH ＝V O-ABDV C -ABD .∴OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝V O -BCD ＋V O -ABC ＋V O -ACD ＋V O -ABDV A -BCD ＝V A -BCD V A -BCD＝1.。
第1讲 合情推理与演绎推理(教师版)
第1讲 合情推理与演绎推理 自主梳理1．归纳推理定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．3．归纳推理具有如下的特点：(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般 的推理；(2)由归纳推理得到的结论不一定 正确；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．4．类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征 ，我们把这种推理过程称为类比推理． 类比推理是两类事物特征之间的推理．5．合情推理：合情推理是根据实验 和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实 和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．6．在数学中，证明一个命题，就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理，利用演绎推理的法则将命题推导出来．7．演绎推理三段论：探究点一：归纳推理在数列中的应用例1 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，n ∈N *，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．解 在{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…，所以猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.这个猜想是正确的，证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，所以通项公式a n ＝2n ＋1变式迁移1 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)(1)求a 2，a 3，a 4，a 5；(2)归纳猜想通项公式a n .解 (1)当n ＝1时，知a 1＝1，由a n ＋1＝2a n ＋1得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31. (2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．探究点二：归纳推理在图形变化中的应用例2 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (3)＝10_；f (n )＝n n ＋1n ＋26(答案用含n 的代数式表示)．解析 观察图形可知：f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…；f (n )＝f (n －1)＋n n ＋12.将以上(n －1)个式子相加可得 f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n n ＋12＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12[16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n n ＋12]＝n n ＋1n ＋26. 变式迁移2：在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…由此猜想凸n (n ≥4且n ∈N *)边形有几条对角线？解 凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，于是猜想凸n 边形比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线．于是猜想凸n 边形比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线．探究点三：归纳推理在算式问题中的应用例3 观察下列等式，并从中归纳出一般法则．(1)1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，1＋3＋5＋7＋9＝52，……(2)1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝524＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92，……解 (1)对于(1)，等号左端是整数，且是从1开始的n 项的和，等号的右端是项数的平方； 对于(2)，等号的左端是连续自然数的和，且项数为2n －1，等号的右端是项数的平方．∴(1)猜想结论：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)．(2)猜想结论：n ＋(n ＋1)＋…＋[n ＋(3n －2)]＝(2n －1)2(n ∈N *)．变式迁移3：在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立．猜想在n 边形A 1A 2…A n 中成立的不等式为1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π(n ≥3且n ∈N *).． 探究点四：类比推理在几何中的应用例4：在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，且相应各边上的高分别为h a ，h b ，h c ，则有p a h a ＋p b h b ＋p c h c＝1. 请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．解 类比：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，p d ，且相应各面上的高分别为h a ，h b ，h c ，h d .则有p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝1.证明如下： p a h a ＝13S △BCD ·p a 13S △BCD ·h a＝V P —BCD V A —BCD ，同理有p b h b ＝V P —CDA V B —CDA ，p c h c ＝V P —BDA V C —BDA ，p d h d ＝V P —ABC V D —ABC ，V P —BCD＋V P —CDA ＋V P —BDA ＋V P —ABC ＝V A —BCD ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V P —BCD ＋V P —CDA ＋V P —BDA ＋V P —ABC V A —BCD＝1. 变式迁移:4：在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22，将此结论类比到空间有在三棱锥A —BCD 中，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则此三棱锥的外接球半径R ＝a 2＋b 2＋c 22探究点五：定义、定理或性质中的类比例2 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，证明：等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式______成立． 解析 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n .相应地，类比此性质在等比数列{b n }中，可得b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n ，(n <17，n ∈N *)．变式迁移5：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4:，T 12T 8_，T 16T 12成等比数列． 探究点三 演绎推理例3 在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D 、E 是垂足．求证：AB 的中点M 到D 、E 的距离相等．证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，——小前提所以△ADB 是直角三角形．——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提而M 是Rt △ADB 斜边AB 的中点，DM 是斜边上的中线，——小前提所以DM ＝12AB .——结论同理EM ＝12AB ，所以DM ＝EM . 变式迁移3 已知：在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明 三角形的中位线平行于底边， 大前提点E 、F 分别是AB 、AD 的中点， 小前提所以EF ∥BD . 结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行， 大前提EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ， 小前提EF ∥平面BCD . 结论课后小试身手一、选择题1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于(B) A．47 B．65 C．63 D．1282．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(D) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)3．下列推理正确的是(D) A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin (x＋y)类比，则有sin (x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c4．下面几种推理是合情推理的是(C)①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④5．①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．上表述正确的是(D)A．①②③ B．②③④C．②④⑤D．①③⑤6．下列说法不正确的是(D) A．演绎推理是由一般到特殊的推理B．赋值法是演绎推理C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断D．归纳推理的结论都不可靠7．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理(C)A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确8．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是(B) A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形9．下列几种推理过程是演绎推理的是(A) A．5和22可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人 D ．预测股票走势图10． 把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是(B)A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行二、选择题11． f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22解析[f (4)＝f (22)>2＋22，f (8)＝f (23)>3＋22，f (16)＝f (24)>4＋22，f (32)＝f (25)＝5＋22.] 12． 已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32. 通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题：sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝3213． 如图，观察图形规律，在其右下的的空格处画上合适的图形，应为 ①．14． 在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是 ①．①b 4＋b 8>b 5＋b 7；②b 5＋b 7>b 4＋b 8；③b 4＋b 7>b 5＋b 8；④b 4＋b 5>b 7＋b 8.15． 类比平面直角坐标系中△ABC 的重点G (x ，y )的坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2＋x 33y ＝y 1＋y 2＋y 33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，猜想以A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，y 2，z 2)、C (x 3，y 3，z 3)、D (x 4，y 4，z 4)为顶点的四面体A —BCD 的重点G (x ，y ，z )的公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y 44z ＝z 1＋z 2＋z 3＋z 44．16．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如上图(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是②③(写出所有凸集相应图形的序号)．三，解答题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．解 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)．18．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．(1)3条直线最多将平面分成多少部分？(2)设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系；(3)求出f (n )．解 (1)3条直线最多将平面分成7个部分．(2)f (n ＋1)＝f (n )＋n ＋1.(3)f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝n ＋(n －1)＋(n －2) ＋…＋2＋2＝n 2＋n ＋22.19．如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解 如图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ20．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，求a 的值． 解 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴(a －1a )(e x －1e )＝0对于一切x ∈R 恒成立，由此得a －1a＝0，即a 2＝1.又a >0，∴a ＝1.。
合理推理与演绎推理
1
*归纳推理的一般模式 S1 具有 P S2 具有 P „„ Sn 具有 P *归纳推理的思维过程
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
简而言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 这种由特殊的、有限的结论，概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称 归纳）.是我们人类特有的思维活动. 【推理案例 2】 观察右图 小正方形的面积为 1，探究 2n-1 个正方形面积关系. 探究：1=1² 1+3=2² 1+3+5=3² „„ 由上述事实能得出什么样的结论？ 解：„„ 1+3+5+7=16=4² 1+3+5+7+9=25=5² „„ 1+3+5+„„+（2n-1）=n² 即 2n-1 个正方形的面积为 n² 【探究案例】 凸多面体 三棱柱 长方体 五棱柱 三棱锥 四棱锥 五棱锥 面数 F 顶点数 V 棱数 E 关系
合情推理与演绎推理（一）
班级___________姓名___________评价___________ ·学习目标 1、通过探究一些典型例题、习题，了解合情推理（归纳推理）的基本思想和 方法. 2、能够初步应用归纳推理. 3、了解著名的哥德巴赫猜想. ·学习过程 一、[哥德巴赫猜想] 它是世界近代三大数学难题之一。被称为数学皇冠上一颗可望而不可及的 “明珠”。 哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家。 哥德巴赫在教学中 发现，每个不小于 6 的偶数都是两个奇质数之和。如 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11, 16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13…… 公元 1742 年 6 月 7 日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉， 提出了以下的 猜想: 任何一个≥6 之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 欧拉在给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如 此简单的问题， 连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许 多数学家的注意。 二百多年过去了， 即没有人能完全证明它， 又没有人能否定它。 当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等,哥德巴 赫猜想都成立。 但严格的数学证明尚待数学家的努力。也希望我们中间有同学能 摘得这颗“明珠”！ 二、【推理案例 1】 金受热后（S1）体积膨胀（P） 银受热后（S2）体积膨胀（P） 铜受热后（S4）体积膨胀（P） 铁受热后（S3）体积膨胀（P） „„ 金银铜铁是金属的部分小类对象，它们受热后分子间凝聚力减小，分子运动 加速，分子间彼此距离加大，从而导致体积膨胀。 所以，所有金属受热后体积都会膨胀。
《逻辑学》5第五章 演绎推理(一)
四、推理作用
五、推理的种类
简单判断推理
演绎推理 复合判断推理 推理 联言推理 选言推理 假言推理 假言选言推理 简单枚举归纳推理 科学归纳推理 直言判断推理 关系推理 模态推理 直接推理 三段论
完全归纳推理
归纳推理 不完全归纳推理 类比推理
第二节 直言判断直接推理
一、什么是直言判断直接推理 二、直言判断对当关系推理 三、直言判断变形直接推理
二、推理的组成
1、前提：已知的作为推理出发点的判断。 2、结论：有前提推出的新判断。 3、推理形式：前提与结论之间的联结方式。
三、结论真实的推理和合乎逻辑的推理
结论真实的推理具备的条件： 1、前提真实 2、推理形式有效 例：凡有用的都是真理， 所以，凡真理都是有用的。 运动员需要锻炼身体， 我不是运动员， 所以，我不用锻炼身体
2、反对称关系推理
例： a、泰山高于崂山 所以，崂山不高于泰山 b、地主剥削农民 所以，农民不剥削地主 逻辑形式： aRb 所以，bRa
三、间接关系推理
间接关系推理是由两个以上的判断， 其中至少有一个是关系判断为前提推出 一个新的关系判断的推理。 1、传递关系推理 例：太平天国革命早于戊戌变法 戊戌变法早于义和团运动 所以，太平天国运动早于义和团运动 逻辑形式： aRb bRc 所以，aRc
4、前提中有一个是否定的,结论也一定 是否定判断
例： 物理学不是社会科学 光学是物理学 所以,光学不是社会科学 小前提是否定的，那么，大前提一定 是肯定的。 例：凡证据都是真实可靠的客观事实， 有的书证不是真实可靠的事实， 所以，有的书证不是证据。
5、如果结论是否定的，那么前提中必 有一个是否定的
三、三段论的规则
1、中项不得两次不周延 例：a、 有些青年是团员， 高中生是青年 所以，高中生是团员。 b、金属是导电的， 铝是导电， 所以，铝是金属。 错误：中项两次不周延
课件1：6.1 推理与演绎推理概述
一、推理的含义与种类
4.推理的种类 （1）依据对个别与一般的关系的认识区分：演绎推理、归纳推理、类比推理。
从一般性前提推出个别性结论的推理 从个别性前提推出一般性结论的推理 从一般性前提推出一般性结论，或从 个别性前提推出个别性结论的推理
一、推理的含义与种类
4.推理的种类
（2）形式逻辑从前提与结论之间是否有必然 联系的角度，将推理分为必然推理和或然推理。
课堂小结
谢谢观看
①获取新的知识，深化认识 ②界定事物的内涵与外延
B
③从根本上验证思维的正确性
④进行逻辑论证，驳斥诡辩
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
课堂巩固
4.形式逻辑从前提与结论之间是否有必然联系的角度，将推理分为
A.必然推理和或然推理
B
B.演绎推理、归纳推理和类比推理
C.演绎推理和归纳推理
D.完全归纳推理和不完全归纳推理
3.推理结构 （1）推理的构成要素：前提与结论。
推理所依据的已有的判断
推出的新判断
一、推理的含义与种类
3.推理结构 （2）推理结构的含义 推理的结论是由前提推出来的，前提和结论之间就存在着一种逻辑联系方式， 这种逻辑联系方式叫作推理结构。
（3）形式逻辑的研究对象 形式逻辑把推理结构作为自己的研究对象，告诉人们正确的思维应该运用怎 样的推理结构，以及运用推理结构时应该遵循哪些规则，进而帮助人们识别 什么样的推理结构是正确的，什么样的推理结构是不正确的。
第六课 掌握演绎推理方法
推理与演绎推理概述
探究与分享
某地一珠宝店失窃，甲、乙、丙、丁四人涉嫌盗窃被拘审。四人口供如下： 甲说：“案犯是丙” 乙说：“丁是案犯” 丙说：“如果我作案，那么丁是主犯” 丁说：“作案的不是我” 经查证，四个人的口供中只有一个是假的。
数学：2.1《合情推理与演绎推理》测试1(新人教A版选修1—2)
合情推理与演绎推理测试题 (选修1 -2 )试卷总分值150 ,其中第一卷总分值100分 ,第二卷总分值50分 ,考试时间120分钟第一卷 (共100分 )一.选择题：本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的；请将答案直接填入以下表格内. )题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1.如果数列{}n a 是等差数列 ,那么 A.1845a a a a +<+B. 1845a a a a +=+C.1845a a a a +>+D.1845a a a a =2.下面使用类比推理正确的选项是 A. "假设33a b ⋅=⋅,那么a b =〞类推出 "假设00a b ⋅=⋅,那么a b =〞 B. "假设()a b c ac bc +=+〞类推出 "()a b c ac bc ⋅=⋅〞C. "假设()a b c ac bc +=+〞 类推出 "a b a bc c c+=+ (c ≠0 )〞 D. "n n a a b =n （b ）〞 类推出 "n n a a b +=+n（b ）〞 3.有这样一段演绎推理是这样的 "有些有理数是真分数 ,整数是有理数 ,那么整数是真分数〞结论显然是错误的 ,是因为)()(,sin )('010x f x f x x f == ,'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x += ,n ∈N ,那么2007()f x =A.sin xB.－sin xC.cos xD.－cos x01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯ ,那么在5进制中数码2004折合成十进制为A.29B. 254C. 602D. 200421y ax =+的图像与直线y x =相切 ,那么a =A.18B.14C.12D. 17.下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有24x y =上一点A 的纵坐标为4 ,那么点A 与抛物线焦点的距离为A.2B.3C.4D. 59.设 ()|1|||f x x x =--, 那么1[()]2f f =A. 12-B. 0C.12D. 1)3,5(-=→x a , ),2(x b =→,且→→⊥b a , 那么由x 的值构成的集合是A.{2,3}B. { -1, 6}C. {2}D. {6} 11. 有一段演绎推理是这样的： "直线平行于平面,那么平行于平面内所有直线；直线b ⊆/平面α ,直线a ≠⊂平面α ,直线b ∥平面α ,那么直线b ∥直线a 〞的结论显然是错误的 ,这是因为12.2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+*x N ∈（） ,猜测(f x ）的表达式为 A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+二.解答题：本大题共5小题 ,每题8分 ,共40分. 13.证明：5,3,2不能为同一等差数列的三项.△ABC 中 ,CB CB A cos cos sin sin sin ++=,判断△ABC 的形状.15.：空间四边形ABCD 中 ,E ,F 分别为BC ,CD 的中点 ,判断直线EF 与平面ABD 的关系 ,并证明你的结论.16.函数x x x f -+=)1ln()( ,求)(x f 的最|大值.17.△ABC 三边长,,a b c 的倒数成等差数列 ,求证：角B 090<.第二卷 (共50分 )三．填空题.本大题共4小题 ,每空4分 ,共16分 ,把答案填在题中横线上 .18. 类比平面几何中的勾股定理：假设直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直 ,那么三角形三边长之间满足关系：222BC AC AB =+ .假设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直 ,那么三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .22112343=++=2，，3+4+5+6+7=5中 ,可得到一般规律为 (用数学表达式表示)20.函数y ＝f (x )在 (0 ,2 )上是增函数 ,函数y =f(x +2)是偶函数 ,那么f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .21.设平面内有ｎ条直线(3)n ≥ ,其中有且仅有两条直线互相平行 ,任意三条直线不过同一点．假设用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数 ,那么(4)f = ； 当ｎ＞４时 ,()f n ＝ (用含n 的数学表达式表示 )四.解答题. (每题13分 ,共26分.选答两题 ,多项选择那么去掉一个得分最|低的题后计算总分 )22.在各项为正的数列{}n a 中 ,数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a S 121 (1 ) 求321,,a a a ； (2 ) 由 (1 )猜测数列{}n a 的通项公式； (3 ) 求n S23.自然状态下鱼类是一种可再生资源 ,为持续利用这一资源 ,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响 ,用n x 表示某鱼群在第n 年年初的总量 ,+∈N n ,且1x ＞0.不考虑其它因素 ,设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与n x 成正比 ,死亡量与2n x 成正比 ,这些比例系数依次为正常数c b a ,,. (Ⅰ )求1+n x 与n x 的关系式；(Ⅱ )猜测：当且仅当1x ,c b a ,,满足什么条件时 ,每年年初鱼群的总量保持不变 ? (不要求证明 )24. 设函数)(sin )(R x x x x f ∈=.(1 )证明：Z k x k x f k x f ∈=-+,sin 2)()2(ππ；五.解答题. (共8分.从以下题中选答1题 ,多项选择按所做的前1题记分 ) 25. 通过计算可得以下等式：1121222+⨯=-1222322+⨯=- 1323422+⨯=-┅┅12)1(22+⨯=-+n n n将以上各式分别相加得：n n n +++++⨯=-+)321(21)1(22即：2)1(321+=++++n n n 类比上述求法：请你求出2222321n ++++ 的值.26. 直角三角形的两条直角边的和为a ,求斜边的高的最|大值 27.))((R x x f ∈恒不为0 ,对于任意R x x ∈21,等式()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=+222212121x x f x x f x f x f 恒成立.求证：)(x f 是偶函数. 28.ΔABC 的三条边分别为a b c ，，求证：11a b ca b c+>+++合情推理与演绎推理测试题答案 (选修1 -2 )一.选择题：本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的；请将答案直接填入以下表格内. )题号 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCCDBBADDCAB二.解答题：本大题共5小题 ,每题8分 ,共40分.13.证明：假设2、3、5为同一等差数列的三项 ,那么存在整数m,n 满足3 =2 +md ① 5 =2 +nd ②①⨯n -②⨯m 得：3n -5m =2(n -m)两边平方得： 3n 2+5m 2-215mn =2(n -m)2左边为无理数 ,右边为有理数 ,且有理数≠无理数 所以 ,假设不正确 .即 2、3、5不能为同一等差数列的三项 14. ∆ABC 是直角三角形； 因为sinA =CB CB cos cos sin sin ++据正、余弦定理得 ： (b +c )(a 2-b 2-c 2) =0； 又因为a,b,c 为∆ABC 的三边 ,所以 b +c ≠0所以 a 2 =b 2 +c 2即∆ABC 为直角三角形.15.平行； 提示：连接BD ,因为E ,F 分别为BC ,CD 的中点 , EF ∥BD. 16.提示：用求导的方法可求得)(x f 的最|大值为017.证明：222cos 2a c b B ac +-=≥222ac b ac - =212b ac -=211()b bb ac a c -=-++ ,,a b c 为△ABC 三边 ,a c ∴+b > ,1ba c∴-+0>cos B ∴0> ∴B 090<. 三．填空题.本大题共4小题 ,每空4分 ,共16分 ,把答案填在题中横线上 .18. 2222AD B ACD ABC BCD S S S S ∆∆∆∆++= .19. 2(1)(2)......(32)(21)n n n n n ++++++-=-20. f(2.5)>f(1)>f(3.5) 21. 5； 12（n+1）(n-2)．四.解答题. (每题13分 ,共26分.选答两题 ,多项选择那么去掉一个得分最|低的题后计算总分 )22. (1 )23,12,1321-=-==a a a ； (2 )1--=n n a n ； (3 )n S n =.23.解 (I )从第n 年初到第n +1年初 ,鱼群的繁殖量为ax n ,被捕捞量为b x n ,死亡量为221,,*.(*)n n n n n n cx x x ax bx cx n N +-=--∈因此 1(1),*.(**)n n n x x a b cx n N +=-+-∈即(II )假设每年年初鱼群总量保持不变 ,那么x n 恒等于x 1 , n ∈N* ,从而由 (* )式得 ..0*,,0)(11cba x cxb a N n cx b a x n n -==--∈--即所以恒等于 因为x 1>0 ,所以a >b. 猜测：当且仅当a >b ,且cba x -=1时 ,每年年初鱼群的总量保持不变.24. 证明：1 )(2)()22f x k f x x k x k x x πππ+-=++（）sin()-sin=2x k x x x π+（）sin -sin =2k x πsin 2) ()sin cos f x x x x '=+0000()sin cos 0f x x x x '=+= ① 又2200sin cos 1x x += ②由①②知20sin x =2021x x + 所以2422220000002200[()]sin 11x x f x x x x x x ===++ 五.解答题. (共8分.从以下题中选答1题 ,多项选择按所做的前1题记分 ) 25.[解] 1131312233+⨯+⨯=- 1232323233+⨯+⨯=-1333334233+⨯+⨯=- ┅┅133)1(233+⨯+⨯=-+n n n n将以上各式分别相加得：n n n n ++++⨯+++++⨯=-+)321(3)321(31)1(222233所以： ]2131)1[(3132132222n nn n n +---+=++++ )12)(1(61++=n n n 2 27.简证：令12x x = ,那么有()01f = ,再令12x x x =-=即可 28.证明：设(),(0,)1xf x x x=∈+∞+ 设12,x x 是(0,)+∞上的任意两个实数 ,且210x x >≥ ,1212121212()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=++++ 因为210x x >≥ ,所以12()()f x f x < .所以()1xf x x=+在(0,)+∞上是增函数 . 由0a b c +>>知()()f a b f c +> 即11a b ca b c+>+++.。
合理推理与演绎推理
【思路分析】可通过画当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成
的区域数
S n ，从中发现规律，再归纳出结论。
【解析】设平面被n条直线分成
S 1 =1＋1=2； 当n=2时，
S n 部分，则 当n=1时，
S 2 =1＋1＋2=4； 当n=3时，
S 3 =1＋1＋2＋3=7；当n=4时，
S 4 =1＋1＋2＋3＋4=11．据此猜想，得
在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理。
合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类。
1.
归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类
事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一
般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般
的推理，归纳推理简称归纳。
(2). 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这 些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的 推理，类比推理简称类比。
完全归纳是指没有办法穷尽 全部被研究的对象，得出的
的特征进行归纳。归纳是指 通过对特例的分析来引出普
陈述，结论是从前提中通过 推理而获得的猜想，是普遍
结论只能算猜想结论的正确 与否有待于进一步证明或举
遍结论的一种推理形式，它 由推理的前提和结论两部分
性的陈述、判断。归纳分为 完全归纳与不完全归纳，不
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2.1 合情 推理与演
绎推理
2023
01 一.推理的概念：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判 断，这种思维方式叫做推理。从结构上说，推理一般由两部分 组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做前提，一部分是由 已知推出的判断，叫做结论。
高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》课件(1) 新人教A版选修2-2
思考2 思考2：科学家们发现火星具有一些与地 球类似的特征， 球类似的特征，如火星也是围绕太阳运 绕轴自转的行星，也有大气层， 行、绕轴自转的行星，也有大气层，在 一年中也有季节的变更， 一年中也有季节的变更，而且火星上大 部分时间的温度适合地球上某些已知生 物的生存，等等.运用类比推理， 物的生存，等等.运用类比推理，你有什 么猜想？其推理过程是怎样形成的？ 么猜想？其推理过程是怎样形成的？ 猜想：火星上也可能有生命存在. 猜想：火星上也可能有生命存在.
不能！ 不能！
思考6 对于等式：1·2＋2·3＋ 思考6：对于等式：1·2＋2·3＋3·4 n(n＋1)＝ 3n＋ n=1， ＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2，当n=1， 时等式成立吗？ 2，3时等式成立吗？能否由此断定这个 等式对所有正整数n都成立？ 等式对所有正整数n都成立？ 思考7：应用归纳推理可以发现一般结 思考7 其不足之处是什么？ 论，其不足之处是什么？ 由归纳推理得出的结论不一定正确， 由归纳推理得出的结论不一定正确，其 真实性有待进一步证明. 真实性有待进一步证明.
圆的概念和性质 圆的周长 圆的面积 球的类似概念和性质 球的面积 球的体积
圆心与弦（非直径）中点 球心与截面（非大圆）圆心的 球心与截面（非大圆） 圆心与弦（非直径） 连线垂直于截面 的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相 等，与圆心距离不等的两 弦不等， 弦不等，距圆心较近的弦 较长. 较长. 圆的方程为： 圆的方程为： (x－ (y－ (x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 与球心距离相等的两截面积相 等，与球心距离不等的两截面 积不等， 积不等，距球心较近的截面积 较大. 较大 球的方程
如图所示， 例1 如图所示，有三根针和套在一根针 上的若干金属片，按下列规则， 上的若干金属片，按下列规则，把金属片 从一根针上全部移到另一根针上. 从一根针上全部移到另一根针上. 每次只能移动1个金属片； （1）每次只能移动1个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属 片上面. 片上面. 试推测： 个金属片从1 试推测：把n个金属片从1号针移到3号 个金属片从 号针移到3 最少需要移动多少次？ 针，最少需要移动多少次？
第五章 演绎推理(一)
我们的事业是正义的，而正义的事业是任何敌人也 攻不破的。 正义的事业是任何人也攻不破的， 我们的事业是正义的事业， 所以，我们的事业是任何人也攻不破的。 这是一个省略了结论的推理。
一切反动派都是纸老虎，……沙皇不是纸老虎吗？ 希特勒不是被看做很有力量吗？但是历时证明了他 是一只纸老虎。墨索里尼是如此，日本帝国主义也 是如此。 沙皇是纸老虎， 希特勒是纸老虎 墨索里尼是纸老虎， 日本帝国主义是纸老虎， 沙皇、希特勒、日本帝国主义等都是反动派。 所以，一切反动派都是纸老虎。 因此这是一个先说结论后说前提的归纳推理。 因此这是一个先说结论后说前提的归纳推理。
（四）矛盾关系的直接推理 有八种有效的逻辑形式： ¬ 以真推假：1、 SAP→ SOP 所有的商品都有使用价值， 所以，并非有的商品没有使用价值。 ¬ 2、 SEP→ SIP 所有无毒蛇都不是有毒的， 所以，并非有的无毒蛇是有毒的。 ¬ 3、 SIP→ SEP 有的大学生是喜欢踢足球的， 所以，并非所有的大学生都不是喜欢踢足球的。 ¬ 4、 SOP→ SAP 有些干部不是称职的， 并非所有的干部都是称职的。
第三节 三段论推理
一、三段论概述 （二）三段论的结构 三段论实际上是三个概念之间的逻辑推演，其中 结论的主项叫小项，用S 表示，结论的谓项叫大项， 用P 表示，前提中两次出现 ，而结论中未出现的项 叫中项，用M 表示，中项起到媒介作用。任何一个 三段论都包含着三个不同的判断， 即大前提、小前 提和结论，其中包含大项的前提叫大前提，包含小 项的前提叫小前提。
(一)换质法推理： 换质法推理： 根据以上规则，以A，E，I，O判断为前提进行换质法推理 1、 SAP→SE p 所有的人都是动物， 所以，所有的人都不是非动物。 2、 SEP→SA p 所有的罪犯都不是有投票权的公民， 所以，所有的罪犯都是没有投票权的公民。 3、 SIP→SO p 有些社会现象是无阶级性的， 所以，有些社会现象不是有阶级性的。 4、 SOP→SI p 有些政治家不是贪官污吏， 所以，有些政治家是非贪官污吏。
归纳与技巧：合情推理与演绎推理(含解析)
归纳与技巧：合情推理与演绎推理基础知识归纳一、合情推理二、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：基础题必做1．(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误解析：选C 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33D ．27解析：选B 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x －20＝12，因此x ＝32.3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论． ①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 只有③正确．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶8 5． 观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74 ……照此规律，第五个不等式为___________________________________________________． 解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n(n ∈N *，n ≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<116解题方法归纳1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提、小前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．归纳推理典题导入[例1]已知函数f(x)＝xx＋2(x＞0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，f n(x)＝f(f n－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理可得函数f n(x)的解析式是f n(x)＝________.[自主解答]依题意得，f1(x)＝xx＋2，f2(x)＝xx＋2xx＋2＋2＝x3x＋4＝x(22－1)x＋22，f3(x)＝x3x＋4x3x＋4＋2＝x7x＋8＝x(23－1)x＋23，…，由此归纳可得f n(x)＝x(2n－1)x＋2n(x＞0)．[答案]x(2n－1)x＋2n(x＞0)解题方法归纳1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．[注意] 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．以题试法1． 将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893解析：选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.类 比 推 理典题导入[例2] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．[自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . [答案] V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r解题方法归纳1．类比推理是由特殊到特殊的推理，命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构．2．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．以题试法2．若{a n }是等差数列，m 、n 、p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝(b 1q p －1)m －n ·(b 1q m －1)n －p ·(b 1q n －1)p－m＝b 01·q 0＝1. 答案：b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝1演 绎 推 理典题导入[例3] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[自主解答] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)解题方法归纳演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．以题试法3.如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED ＝AF .(结论) 上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF .1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 2． 正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.3． 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.4． 给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4解析：选D 由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.6． 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀ x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.7． 设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n )，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n )≥n ＋22.答案：f (2n )≥n ＋228 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29． 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2410．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论． 解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n .解：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n＝⎩⎨⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ， 所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12(1n －1－1n )， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n.1． 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.2．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ＋S △OCA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝03． 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30° ＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1． 观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 由特殊到一般，先分别计算|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数，再猜想|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解的个数．通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.2． 已知如下等式：3－4＝17(32－42)， 32－3×4＋42＝17(33＋43)， 33－32×4＋3×42－43＝17(34－44)， 34－33×4＋32×42－3×43＋44＝17(35＋45)， 则由上述等式可归纳得到3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝________(n ∈N *)． 解析：依题意及不完全归纳法得，3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝17[3n ＋1－(－4)n ＋1]．答案：17[3n ＋1－(－4)n ＋1]。
普通逻辑0006第六章演绎推理(一)
例.无效与有效的推理形式 所有的M都是P 所有的S都不是M 所以，所有的S都不是P 所有M都是P S是M 所以，S是P 注意：推理有效并不意味着其结论为真。为确保 推理获得真实结论 真实结论，必须满足两条：1、推理有效， 真实结论 2、前提真实。
本章主要讨论含有词项变项的有效推理 式，这部分内容可称作词项逻辑，下章主 要讨论含有命题变项的有效推理式，这部 分内容可称作命题逻辑。
然而，如欲判定由某一前提可否经判断变形推 出一结论，问题却略微复杂一些。若综合运用此 二法, 由前提出发可推得该结论，固然可以断定： 由该前提可经判断变形推出该结论，该推理有效。 否则，就应穷尽一切可能后方可作出判定。为此， 应对由A判断经换位所得的I判断连续换位，应用 换位质法……如此这般，直至穷竭一切可能。
例. 前提：所有生物均为有机物，(SAP) 结论：有些无机物不是生物。(POS)
例.前提：所有生物均为有机物，(SAP) 结论：有些无机物不是生物。(POS) SAP(换质得)SEP（换位得）PES (换质得) PAS（换位得）SIP (换质得)SOP
SAP （换位得）PIS (换质得)POS
例.前提：所有生物均为有机物，(SAP) 结论：有些无机物不是生物。(POS) SAP(换质得)SEP（换位得）PES (换质得) PAS（换位得）SIP (换质得)SOP ↓ （换位得）PIS (换质得) POS SAP （换位得）PIS (换质得)POS ↓ （换位得）SIP (换质得) SOP
贝克莱是唯心论者 贝克莱是先验论者 所以，有的唯心论者是先验论者 令唯心论者=S,先验论者=P,贝克莱=M，于是便有： MAS MAP MAP 整理 MAS SIP SIP
二、三段论的公理 三段论的公理：是演绎推理系统中的初始 依据。其自身不是推理的结果，而是被作为 不证自明的东西当然地接受的。三段论的公 理是：一类对象的全部是什么或不是什么， 那么这类对象中的部分也是什么或不是什么。 亦即如果对一类对象的全部有所断定，那么 对它的部分也就有所断定。
演绎推理(l)
演绎推理(1)
[大英百科全书 知识五大分科： 大英百科全书] 知识五大分科： 大英百科全书 逻辑学、数学、科学（自然科学、 逻辑学、数学、科学（自然科学、 社会科学、技术科学）、历史学、 ）、历史学 社会科学、技术科学）、历史学、人 文学（语言文字）。 文学（语言文字）。
[联合国教科文组织 学科分类： 联合国教科文组织] 学科分类： 联合国教科文组织 数学、逻辑学、天文学和天体物理学、 数学、逻辑学、天文学和天体物理学、 地球科学和空间科学、物理学、化学、 地球科学和空间科学、物理学、化学、 生 命科学。 命科学。 20世纪 年代，联合国教科文组织的 世纪80年代 世纪 年代， 科学技术领域国际标准命名法建议” “科学技术领域国际标准命名法建议”中 将逻辑学列为首位。 将逻辑学列为首位。
我们如何将一个自然语言表述的句子， 我们如何将一个自然语言表述的句子， 撇开其思维具体内容， 撇开其思维具体内容，抽象概括出其逻辑形 式呢？ 式呢？其方法就是将这一自然语言表述的句 子分为两部分， 子分为两部分，一部分是表示逻辑常项的语 用相应的逻辑符号表示； 词，用相应的逻辑符号表示；一部分是具体 词项或具体命题， 词项或具体命题，前者用表示词项变项的大 写英文字母表示， 写英文字母表示，后者用表示命题变项的小 写英文字母表示，这样， 写英文字母表示，这样，一个自然语言的句 子就“翻译”为一个逻辑表达式， 子就“翻译”为一个逻辑表达式，再以有关 的逻辑知识判别其是否正确。 的逻辑知识判别其是否正确。
任何科学都是应用 逻辑。 逻辑。 ------列宁 列宁
什么是思维的形式结构？ 什么是思维的形式结构？
(1)所有的生物学规律都是客观的。 所有的生物学规律都是客观的。 所有的生物学规律都是客观的 (2)所有的商品都是有使用价值的。 所有的商品都是有使用价值的。 所有的商品都是有使用价值的 (3)所有的分子都是由原子构成的。 所有的分子都是由原子构成的。 所有的分子都是由原子构成的 (4)所有的天体都是演变的。 所有的天体都是演变的。 所有的天体都是演变的 上述内容不同的四个判断却有着 相同的思维形式结构（判断式）： 相同的思维形式结构（判断式）：
演绎推理(一).ppt2
智慧之学——逻辑学
• 四、推理的作用 • （一）是感性认识上升为理性认识不可或缺的工 具； • （二）是科学研究中每门科学都必须应用的工具； • （三）是重要的论证工具； • （四）是阐明真理、驳斥谬误的重要手段。 • 五、推理的种类 • 推理按不同的标准可以有不同的分类： • （一）根据前提与结论之间的联系性质，推理可 以分为：
• • 四、三段论的格及其特殊规则 三段论的格就是由中项在前提中的位置不同 而构成的不同形式的三段论。 三段论共有四个格。 第一格（大主小谓，亦称典型格、完善格、审判 格），其逻辑形式为： M—P S—M S—P
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• • •
智慧之学——逻辑学
• • • • 第一格的规则是： 1、小前提必须肯定； 2、大前提必须全称。 第二格（大谓小谓，亦称否定格、区别格）， 其逻辑形式为： • P— M • S— M • S— P
• 1、前提：已知的作为推理出发的判断 （≥1）。 • 2、结论：由前提推出的新判断（1）。 • 3、推理形式：前提与结论之间的联结方式。
智慧之学——逻辑学
• • 三、结论真实的推理和合乎逻辑的推理 一个演绎推理要保证结论真实必须具备两个 条件：前提真实、推理形式有效。然而，推理的 前提和结论是否真实，是属于推理内容方面的问 题，并不是逻辑应该回答的。逻辑主要从推理形 式方面来研究一个推理是否有效，我们平时所谓 合乎逻辑的推理 就是指形式有效的推理，即前提 与结论的联结方式合乎逻辑规律、规则；否则， 就是不合乎逻辑的推理。 • 可见，结论必然真实的推理都是合乎逻辑的，而 合乎逻辑的推理则不一定是结论必然真实的推理。
智慧之学——逻辑学
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第四节
关系推理
一、什么是关系推理 关系推理是前提中至少有一个关系判 断的演绎推理，或者说，关系推理是根据 关系的逻辑性质进行推演的推理。 • 根据前提数量的多少，关系推理可分 为直接关系推理和间接关系推理两种。
演绎推理(一)
P M S
所有M不是P 所有S是M 所以，所有S不是P
M S
P
三、三段论的规则 1、三段论包含并且只能包含 三个不同的项。 即每个三段论只能有三个概 念。否则，就要犯“四概念” 的错误。
2、中项至少要周延一次 如果中项一次也不周延，这 样的三段论就要犯“中项不 周延”错误。 大学生是学生， 小学生是学生， 所以，小学生是大学生。
第五章 演绎推理（一） 第一节 推理概述 1、定义：推理是根据一个或 几个已知的判断推出一个新 判断的思维形式。 2、组成：推理由前提和结论、 推理形式三部分组成。 任何推理过程都表现为按一 定的推理规则把前提和结论 排列成一定的推理形式。 （即论式）
3、合乎逻辑的推理 一个推理要保证结论真实必须 具备两个条件。 1）前提真实。 2）推理形式正确：指推理 遵守的各 种规律、规则。 金属是导电的， 铝是导电的 ， 所以，铝是金属。
1、第一格：中项在大前提中处 于主项位置，在小前提中处于 谓项位置。我们以S表示小项， 以P表示大项，以M表示中项。 M P S M
S
P
有两条特殊规则： 小前提必须是肯定判断 证明：如果小前提不是肯定判断，那么一 定是否定的。前提否定，结论一定否定， 那么大项在结论中周延，就要求在前提中 也周延，而大项在第一格处于谓项位置， 则大前提必须是否定判断，才能保持大项 周延，这样一来，大小前提都是否定的， 这对于一个形式正确的三段论是不允许的， 所以小前提必是肯定判断。 大前提必须是全称判断 上面已证明小前提必须是肯定判断，小前 提是肯定判断，中项又处于谓项的位置， 中项就不周延，而中项必须周延一次，这 样，中项在大前提中就必须周延，中项在 大前提中处于主项位置，要使它周延，大 前提必须是全称判断。
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导学案
2.1 合理推理与演绎推理（一）
二年级文科数学组编制
一、学习目标：
1.了解归纳推理的含义；
2.掌握归纳推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理。
二、学习重点：
通过实例了解归纳推理的形式、特点及其在数学发现过程中的作用。
三、学习难点：
利用归纳推理的方法进行简单的推理。
四、学习方法：
自主探究、合作交流。
五、学习过程：
(一) 新课导入：
数学中有各种各样的猜想，如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜想”、哥尼斯堡七桥猜想等。
某些猜想的证明吸引了大批的数学家和数学爱好者，有的人甚至为之耗费了毕生精力，本节我们就进入数学的天堂，探求猜想的由来、推理的奥秘。
（二）探求新知：
1. 推理、归纳推理的含义是什么？
2. 典例解析：
【例1】观察发现
1=21，
1+3=4=22，
1+3+5=9=23，
1+3+5+7=16=24， 1+3+5+7+9=25=25，
由上述事实能得出怎样的结论？
【例2】 已知数列{n a }的第一项11a =，且1(1,2,3,)1n
n n
a a n a +==+ ，试归纳出这个数列的通项公式。
（三） 达标练习：
1. 在数列{n a }中，11a =，1111(2)2n n n a a n a --⎛⎫
=+≥ ⎪⎝⎭
，试猜想这个数列的
通项公式。
2. 观察下面的“三角阵”：
1 1 1 1
2 1 1
3 3 1
1 4 6 4 1
1 10 45 45 10 1 试找出相邻两行数之间的关系。
（五） 过关检测：
1．观察：25124,-=27148-=2111120-=2131168-=， 所得的结果都是24的倍数，继续试验，你能得到什么猜想？
2．在数列{n a }中，11a =，()122n
n n
a a n N a *+=∈+，试猜想这个数列的通项公式。
3．探求凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系。
（五）课时小结：
（六）学后反思：。