高二数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
数学选修2-1空间向量与立体几何练习题含答案
24.已知向量 ， ，若向量 与 共线，则 ________；若 ，则 ________．
25.在正方体 中：
（1）分别给出直线 ， 的一个方向向量；
（2）分别给出平面 ，平面 ，平面 的一个法向量．
26.如图，边长为 的正方形 中， ， 分别是边 ， 上的点， .将 ， 分别沿着 ， 折起，使 ， 重合于点 ，且二面角 为直二面角.
B
【考点】
平面的法向量
向量方法证明线、面的位置关系定理
直线的方向向量
【解析】
由已知可得： ，因此 ，再利用线面垂直的判定即可得出．
【解答】
解：∵直线 的方向向量为 ，
平面 的法向量 ， ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
11.
【答案】
【考点】
空间直线的向量参数方程
直线的方向向量
【解析】
设直线 的一个方向向量为 ，运用向量垂直的条件：数量积为 ，化简可得所求向量．
【解答】
解：设直线 的一个方向向量为 ，
由两平面 与 分别以 与 为其法向量，
可得 ， ，
可得 ， ，
可设 ，则 ， ，
可得 ．
故答案为： .
16.
【答案】
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
数学选修2-1空间向量与立体几何练习题含答案
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
1.已知 是空间的一组单位正交基底，而 是空间的另一组基底．若向量 在基底 下的坐标为 ，则向量 在基底 下的坐标为（）
高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案
第三章 空间向量与立体几何 3.3 异面直线的距离（补充）
一、学习任务 介绍异面直线距离的概念，会计算简单的异面直线距离的问题，加深对空间位置关系的理解． 二、知识清单
异面直线的距离
三、知识讲解
1.异面直线的距离 描述： 设直线 a ，b 是异面直线，则存在直线 l 与直线 a ，b 均相交且垂直，此时直线 l 称为异面直 线 a ，b 的公垂线，直线 l 夹在直线a ，b 之间的部分称为异面直线a ，b 的公垂线段．异面直线 a, b 的公垂线段的长度称为异面直线 a ，b 的距离． 例题： 如图，长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中， AB = BC = 1，AA 1 = 2 ，求直线 A 1 C1 与 B 1 B 之间的距离．
B 1 D 所在的直线上．
3. 正方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 的棱长为 a ，那么 （1）直线 BA 1 与 CC1 所成角的大小为 （2）直线 BA 1 与 B 1 C 所成角的大小为 （3）异面直线 BC 与 AA 1 的距离为 （4）异面直线 BA 1 与 CC1 的距离为
答案：
． ． ． ．
45∘ ；60∘ ；a ；a
．
4. 已知正方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 的棱长是 1 ，则直线 DA 1 与 AC 间的距离为
答案：
√3 3
解析：
3
以 A 为原点， AB 为 x 轴正方向建立空间直角坐标系， M ， N 分别是 A 1 D ， AC 上的 点，且 MN 是 DA 1 与 AC 间的垂线段． 可设 M (0, m, 1 − m) ， N (t, t, 0) ，利用 MN ⊥ A 1 D 且 MN ⊥ AC 可求得 M ， N 坐标， 从而求出 DA 1 与 AC 间的距离．
高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算一、学习任务1. 了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程．2. 了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；理解空间向量的正交分解及其坐标表示．3. 理解空间向量的线性运算及其性质；理解空间向量的坐标运算．4. 理解空间向量的夹角的概念；理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断两非零向量是否垂直．二、知识清单空间向量的概念与表示空间向量的坐标运算三、知识讲解1.空间向量的概念与表示空间向量的概念及表示方法与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector），向量的大小叫做向量的长度或模（modulus）．向量可以用有向线段来表示，也可用 ， 等表示，还可以用有向线段的起点与终点字母表示，如 ．长度为 的向量叫做零向量（zero vector），记为 ．模为 的向量称为单位向量（unitvector）．与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为 ．方向相同且模相等的向量称为相等向量（equal vector）．空间向量的加减运算①空间向量的加减运算满足三角形法则和平行四边形法则；②空间向量的加 减运算满足交换律及结合律：，．空间向量的数乘运算与平面向量一样，实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vector by scalar）．当 时， 与向量 方向相同；当 时， 与向量 方向相反； 的长度是 的长度的 倍．空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分配律：，结合律：．空间向量基本定理（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）．a →b →AB −→−00→1a →a →−a →+=+a →b →b →a →(+)+=+(+)a →b →c →a →b →c →λa →λa →λ>0λa →a →λ<0λa →a →λa →a →|λ|λ(+)=λ+λa →b→a →b →λ(μ)=(λμ)a →a →vector）．（1）；（2）；（3）AP N A 1，则 ∠BA =∠DA =A 1A 16013−−√23−−√高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高二数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何空间向量的数乘运算 测试题姓名：_________班级：________ 得分：_______ 1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的_ C _ D _ A _ P_ N _ B_ M3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形 C ．可构成钝角三角形 D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[1，5]C ．（1，5）D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 . 5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=C 1 B 1 A 1B A2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC =60°. (1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算§3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -，CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ D_ A_S_ F_ B_ P_ N_ EEN PM PE =-=211326PC PC PC -=，连结AC ，则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260x x+-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），111,.A C C BD ∴=⊥1CD时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1.A2.D3.B4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1 则有1(,0,0)2MC =-(0,,0)AB a=，1)AA =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.1(,)2a AC =-，(0,)2aAM =，A∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t = 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向， 可知二面角1A A B C --7. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,3,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系，则 1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==， 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯+⨯-=， 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，）， 303,330l m l m n m m n ⎧-+=⎪∴∴==⎨-=⎪⎩. 不妨取1,(3,1,1)m n ==则，22222231101015cos ,5(3)11100m n m n m n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++.1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)2SD a =-，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. _ C_ A_S_ F_ BO(2)由题设知，平面PAC 的一个法向量(,0,)22DS a a =，平面DAC 的一个法向量002OS =（，，），设所求二面角为θ，则cos 2OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°. （3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且,0,),(0,,)2222DS a a CS a a ==-（.设,CE tCS = 则(,(1),)222BE BC CE BC tCS a t at =+=+=--，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面.（完）。
高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法一、学习任务1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．二、知识清单异面直线所成的角 线面角 二面角三、知识讲解1.异面直线所成的角设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线 所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角．a ,b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′a ,b a ,b 如图，在正方体 中，求：（1）异面直线 与 所成的角；（2） 与 所成的角．解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所成角为 ．（2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为 与 所成的角．又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为 ，即 与 所成的角为 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190∘A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△AB 1D 1A D 1A B 160∘A D 1DC 160∘A1D平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是AP P求直线 与 平面∠AP B=∠APRt△AP D描述：例题：3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱 、面分别为 ， 的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在 ， 内（棱以外的半平面部分）分别取点 ， ，将这个二面角记作二面角．如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角或．在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．AB αβα−AB −βαβP Q P −AB −Q l α−l −βP −l −Q α−l −βl O O αβl OA OB OA OB ∠AOB 如图，在正方体 中，，，， 分别是 ，， 和 的中点．（1）求证：；（2）求二面角 的平面角的正切值．解：（1）因为 ， 均为所在棱的中点，所以 ．而 ，所以 ．又因为 ， 均为所在棱的中点，所以 和 均为等腰直角三角形．所以 ，所以 ， ，故．而 ，所以 ．（2）在平面 中，过点 作 于点 ，连接 ．由（1）知 ，又 ，所以 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1E F M N A 1B 1BC C 1D 1B 1C 1平面 MNF ⊥平面 ENF M −EF −N N F NF ⊥平面 A 1B 1C 1D 1MN ⊂平面 A 1B 1C 1D 1NF ⊥MN M E △MN C 1△NE B 1∠MN =∠NE =C 1B 145∘∠MNE =90∘MN ⊥NE MN ⊥平面 NEF MN ⊂平面 MNF 平面 MNF ⊥平面 NEF NEF N NG ⊥EF G MG MN ⊥平面 NEF EF ⊂平面 NEF MN ⊥EFEF ⊥ MNGM−EF−N||n。
2021高中数学人教A版选修2-1(第三章+空间向量与立体几何)章节练习试题(含详细解析)
2021年09月30日试卷一、单选题(共25题；共0分)1、(0分)如图，已知二面角 α－ PQ － β的大小为60°，点 C 为棱 PQ 上一点， A ∈ β ， AC ＝2，∠ ACP ＝30°，则点 A 到平面 α的距离为( )A. 1B. 12C.√32D. 322、(0分)在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1中，若AB=2, AA 1=1,则点A 到平面 A 1BC 的距离为（ ）A.√34B.√32C.3√34D. √33、(0分)正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为( )A.√23B.√33C. 23D.√634、(0分)已知m 、n 、l 是三条不同的直线， α、 β、 γ是三个不同的平面，给出以下命题：①若 m ⊂α,n ∥α ， 则 m ∥n ； ②若 m ⊂α,n ⊂β,α⊥β,α∩β=l,m ⊥l ， 则 m ⊥n ；③若 n ∥m ， m ⊂α ， 则 n ∥α；④若 α∥γ,β∥γ ， 则 α∥β 其中正确命题的序号是（ ）A. ②④B. ②③C. ③④D. ①③5、(0分)下列各组向量不平行的是（ ） A. a →=(1,0,0),b →=(−3,0,0) B. a →=(0,1,0),b →=(1,0,1)C. a →=(0,1,−1),b →=(0,−1,1)D. a →=(1,0,0),b →=(0,0,0)6、(0分)若平面α，β的法向量分别为n 1=(2，-3，5)，n 2=(-3，1，-4)，则( ). A. α∥βB. α⊥βC. α，β相交但不垂直D. 以上均不正确7、(0分)如图,半径为√3的扇形AOB 的圆心角为120∘,点C 在AB 上,且∠COB =30∘,若OC →=λOA →+μOB →,则λ+μ=( )A. √3B.√33C.4√33D. 2√38、(0分)已知a=(cos θ，1，sin θ)，b=(sin θ，1，cos θ)，则向量a+b 与a-b 的夹角是( ).A. 0°B. 30°C. 60°D. 90°9、(0分)正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在A 1C 上运动（包括端点），则BP 与AD 1所成角的取值范围是（ ）A. [π4,π3]B. [π4,π2]C. [π6,π2]D. [π6,π3]10、(0分)点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的底面 ABCD 上一点，则 PA →⋅PC 1→的取值范围是 ( )A. [−1,−14] B. [−12,−14]C. [−1,0]D. [−12,0]11、(0分)在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1中，若AB=2， AA 1=1则点A 到平面 A 1BC 的距离为（ ）A.√34B.√32C.3√34D. √312、(0分)已知平面向量a 、b ，|a|＝1，|b|＝ √3 ， 且|2a ＋b|＝ √7 ， 则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A. π2B. π3C. π6D. π13、(0分)设 α、 β是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题：①若 l ⊥α ， α⊥β ， 则 l ⊂β；②若 l ∥α ， α∥β ， 则 l ⊂β； ③若 l ⊥α ， α∥β ， 则 l ⊥β；④若 l ∥α ， α⊥β ， 则 l ⊥β。
高二数学选修2-1第三章空间向量与立体几_知识点+习题+答案
空间向量与立体几何1、空间向量的概念：()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．3、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．4、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 8、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB+A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA +OB +O ++=．9、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A=，b OB =，则∠A O B 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈． 10、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．11、已知两个非零向量a 和b ，则c o s ,a b ab 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即c o s ,a b a bab ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．12、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 13、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．14、向量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．15、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．16、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．17、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．18、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．19、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ()721a a a x =⋅=+()82cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =20、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．21、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点． 22、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置． 23、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 24、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．25、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．26、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．27、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．28、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．29、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．30、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 31、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．32、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．空间向量与立体几何练习题1一、选择题（每小题5分，共50分）1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是A.－21a +21b +c B.21a +21b +c C.21a －21b +c D.－21a －21b +c2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是A.--=23B.OC OB OA OM 513121++=C.0=+++D.0=++3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则⋅等于A.41B.41-C.43D.43- 4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.15.设)2,1,1(-=，)8,2,3(=，)0,1,0(=，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A.213 B.253 C.453D.4536.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥A.9πB.10πC.11πD.12π8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A.BD ∥平面CB 1D 1 B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1D.异面直线AD 与CB 1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为55210.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为A.5B.41C.4D.52二、填空题（每小题5分，共20分）11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy .12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A BC D -是正方体，其中2,AB PA ==，则1B 到平面PAD 的距离为 .三、解答题（共80分）俯视图正(主)视图 侧(左)视图15.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,． （1）试用c b a ,,表示出向量BM ；（2）求BM 的长．16.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG..17.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F，正视图MPD C BA分别是AB BD ，的中点．求证： （1）直线//EF 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ． 18.（本小题满分14分）如图，已知点P 在正方体''''D C B A ABCD -的对角线'BD 上，∠PDA=60°.（1）求DP 与'CC 所成角的大小；（2）求DP 与平面D D AA ''所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论;D 'C 'B'A'PD C BA俯视图侧视图正视图ED CBA P （3）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．20.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点．（1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD所成最大角的正切值为2，求二面角E AF C --的余弦值．参考答案 一、选择题PBECDFA1.)(21111A B B ++=+==c +21(－a +b )=－21a +21b +c ，故选A.2.1),,(=++∈++=⇔z y x R z y x OC z OB y OA x OM C B A M 且四点共面、、、由于C B A --=⇔=++∴0由于都不正确、、选项.)()()(共面使所以存在y x y x ,,,1,1∴+==-=四点共面，、、、为公共点由于C B A M M ∴故选D. 3.∵的中点分别是AD AB F E ,,,BD EF BD EF 21,21//=∴=∴且, 41120cos 1121,210-=⨯⨯⨯>=<=⋅=⋅∴DC BD DC BD DC EF 故选B.4.B5.B6.D7.D8.D9.D 10.4,cos ==><=AC AB ，5==,故选A二、填空题 11.9 12.313.作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则++=θθcos 6)180,0,0,2530-=-⋅=⋅=⋅===DB AC DB CD CD AC0022222120,1800 .21cos ),cos 600(2253)112()(2)(=∴≤≤-=∴--+++=∴⋅+⋅+⋅+++=++=θθθθ由于AC DB DB CD CD AC DB CD AC14.以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系 设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =，(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴02,0=++=z y x y ，取1=z 得(2,0,1)m =-，1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离15B A m d m⋅==三、解答题15.解：（1）∵M 是PC 的中点，∴)]([21)(21BM -+=+=c b a a c b 212121)]([21++-=-+= （2）2,1,2,1===∴===c b a PA AD AB 由于160cos 12,0,60,00=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴=∠=∠⊥c b c a b a PAD PAB AD AB 由于),(21c b a ++-=BM 由于23)]110(2211[41)](2[41)(412222222=+-+++=⋅+⋅-⋅-+++=++-=c b c a b a c b a c b a2626的长为，BM ∴=. 16.解：（1）如图（2）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2284(cm )3=． （3）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中，连结AD '，则AD BC ''∥． 因为E G ，分别为AA '，A D ''中点， 所以AD EG '∥， 从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，所以BC '∥面EFG ．17.证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵AD ⊂面ACD ，EF ⊄面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ；（2）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .18.解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -． 则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''．A C D E F GA 'B 'C 'D '在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ． 设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，， 由cos DA DH DA DH DA DH =<>，，可得2m = 解得2m=，所以21DH ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭．（1）因为0011cos DH CC ++⨯'<>==， 所以45DH CC '<>=，，即DP 与CC '所成的角为45．（2）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为01101cos 2DH DC +⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，，可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30．19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2.∴1233P ABCD ABCD V S PC -=⋅=(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC又ACPC C =∴BD ⊥平面PAC∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE(3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DG ⊥AE 于G ，连结BG∵CD=CB,EC=EC ，∴Rt ECD ∆≌Rt ECB ∆，∴ED=EB ∵AD=AB ，∴△EDA ≌△EBA ，∴BG ⊥EA ∴DGB ∠为二面角D －EA －B 的平面角 ∵BC ⊥DE ，AD ∥BC ，∴AD ⊥DE在R ｔ△ADE 中AD DE DG AE ⋅==BG在△DGB 中，由余弦定理得212cos 222-=⋅-+=∠BG DG BD BG DG DGB∴DGB ∠=23π，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 解法2：以点C 为坐标原点，CD 所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B E ,从而(1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1)DE DA BA BE =-===- 设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为(,,),(',',')m a b c n a b c ==由法向量的性质可得：0,0a c b -+==，'0,''0a b c =-+= 令1,'1c c ==-，则1,'1a b ==-，∴(1,0,1),(0,1,1)m n ==-- 设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则1cos 2||||m n m n θ⋅==-⋅∴23πθ=，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 20.（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PAAD A =，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ， 所以AE PD ⊥．（2）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，． 由（1）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角．在Rt EAH △中，AE = 所以当AH 最短时，EHA ∠最大， 即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．此时tan AE EHA AH ∠===因此AH =2AD =，所以45ADH ∠=，所以2PA =．解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，在Rt AOE△中，3sin302EO AE==3cos302AO AE==，又F是PC 的中点，在Rt ASO△中，3sin454 SO AO==，又SE==Rt ESO△中，cos SOESOSE∠===即所求二面角的余弦值为5．解法二：由（1）知AE AD AP，，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又EF，分别为BC PC，的中点，所以(000)10)(020)A B C D-，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，所以31(300)12AE AF⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，，，，，．设平面AEF的一法向量为111()x y z=，，m，则AEAF⎧=⎪⎨=⎪⎩，，mm因此1111122x y z=++=⎪⎩，．取11z=-，则(021)=-，，m，因为BD AC⊥，BD PA⊥，PAAC A=，所以BD⊥平面AFC，故BD为平面AFC的一法向量．又(0)BD=，，所以cos55BDBDBD<>===，mmm．因为二面角E AF C--为锐角，所以所求二面角的余弦值为5．空间向量与立体几何2B一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g 2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b aλ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ）A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A取最小值时，x 的值等于（ ） A ．19 B ．78-C ．78D ．14196．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（ ）A ．21B ．22 C ．－21 D ．07．设n m 、表示直线，βα、表示平面，则下列命题中不正确．．．的是（ ）． A ．βα⊥⊥m ,m ，则α//β B ．m//n ,=βαα ，则m//n C ．α⊥m ,β//m , 则βα⊥ D ．n //m ,α⊥m , 则 α⊥n8．在棱长均为2的正四面体BCD A -中，若以三角形ABC 为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（ ）． A ．3 B ．362 C ．2 D ．22 9、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD 在原正方体中的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交且垂直ABC DDCABC ． 异面D ．相交成60°10、点P 在平面ABC 外，若PA=PB=PC ，则点P 在平面ABC 上的射影 是△ABC 的 （ ）A ．外心 B.重心 C.内心 D.垂心11、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）（A）2（B）12 （C）22+ （D）112、已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ） （A ）2对 （B ）3对 （C ）4对 （D ）5对二、填空题（每小题4分，共24分）13．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a，则(23)(2)a b a b -+=__________________。
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》典型练习题(含答案)
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》典型练习题一、选择题1．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a ρρB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d c ρρC ．)0,0,0(),0,3,2(==f e ρρD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g ρρ2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a ρρλ，且a ρ与b ρ的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A ρ取最小值时，x 的值等于（ ）A ．19B ．78-C ．78D ．14196．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC u u u r u u u r>的值是（ ）A ．21B ．22C ．－21D ．0二、填空题1．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ρρ，则(23)(2)a b a b -+=r r rr g __________________。
2．若向量,94,2k j i b k j i a ρρρρρρρρ++=+-=，则这两个向量的位置关系是___________。
3．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=ρρ，若a ⊥r b ρ，则=x ______；若//a r b ρ则=x ______。
高二数学 人教版选修2-1习题 第3章 空间向量与立体几何 3.2 第2课时 Word版含答案
第三章 3.2 第2课时一、选择题1．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．8[答案] C[解析] ∵l ∥α，∴l 与平面α的法向量垂直． 故2×1＋12×m ＋1×2＝0，解得m ＝－8，故选C.2．若n ＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( )A ．(1，－2,0)B ．(0，－2,2)C ．(2，－4,4)D ．(2,4,4) [答案] C[解析] ∵(2，－4,4)＝2(1，－2,2)＝2n ， ∴(2，－4,4)可作为α的一个法向量．3.如图所示，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，则向量OD →的坐标为(A.⎝⎛⎭⎫－32，－12，0 B ．⎝⎛⎭⎫0，－12，32C.⎝⎛⎭⎫－12，－32，0D ．⎝⎛⎭⎫0，12，－32[答案] B[解析] 如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BCD 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin30°＝32，OE ＝OB －BD ·cos60°＝1－12＝12. ∴D 点坐标为(0，－12，32)，即向量OD →的坐标为(0，－12，32)．4．如图，在三棱锥A －BCD 中，DA 、DB 、DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 中点，则AE →·BC →等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设DC ＝DB ＝a ，DA ＝b ，则B (a,0,0)、C (0，a,0)、A (0,0，b )，E (a 2，a2，0)，所以BC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(a 2，a 2，－b )，AE →·BC →＝－a 22＋a 22＋0＝0.5．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则直线P A 与底面ABCD 的关系是( )A ．平行B ．垂直C ．在平面内D ．成60°角[答案] B[解析] 设平面ABCD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， ⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0AD →·n ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4z ＝04x ＋2y ＝0令x ＝1则y ＝－2，z ＝1∴平面的一个法向量n ＝(1，－2,1) 而AP →∥n ，∴P A ⊥平面ABCD ，选B.6.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面 [答案] B[解析] 解法一：设AC ∩BD ＝O ，AD 1∩A 1D ＝O 1，作EG ⊥AD 于G ，FK ⊥AD 于K ， ∴GF ∥DO ，DO ⊥AC ，∴GF ⊥AC ，∵EG ⊥平面ABCD ，由三垂线定理EF ⊥AC ，同理EF ⊥A 1D ，∴EF 是A 1D ，AC 公垂线，选B. 解法二：如图建立空间直角坐标系设正方体棱长为3则E (1,0,1)，F (2,1,0)，A 1(3,0,3)，A (3,0,0)，C (0,3,0)，D (0,0,0) ∴EF →＝(1,1，－1)，AC →＝(－3,3,0)，A 1D →＝(－3,0，－3) ∴EF →·AC →＝0，EF →·AD →＝0， ∴EF ⊥AC ，EF ⊥A 1D ，故选B. 二、填空题7．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)、AD →＝(4,2,0)、AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________.[答案] ①②③[解析] AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →. AP →·AD →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →， ∵AP →⊥AB →，AP →⊥AD →，AB →∩AD →＝A ，∴AP →⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量． BD →＝A D →－A B →＝(2,3,4)，显然B D →∥AP →.8．已知△ABC 是∠B 为直角顶点的等腰直角三角形，其中BA →＝(1，m,2)、BC →＝(2，m ，n )(m 、n ∈R )，则m ＋n ＝________.[答案] －1[解析] 由题意得BA →·BC →＝0，且|BA →|＝|BC →|，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋m 2＋2n ＝01＋m 2＋4＝4＋m 2＋n 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝－1.∴m ＋n ＝－1. 三、解答题9.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E 、F 分别是AD 、PC 的中点，求证：PC ⊥平面BEF .[解析] 如图，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22， 四边形ABCD 是矩形，∴A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2,22，0)、D (0,22，0)、P (0,0,2)． 又E 、F 分别是AD 、PC 的中点， ∴E (0，2，0)、F (1，2，1)．∴PC →＝(2,22，－2)、BF →＝(－1，2，1)、EF →＝(1,0,1)， ∴PC →·BF →＝－2＋4－2＝0，PC →·EF →＝2＋0－2＝0， ∴PC →⊥BF →，PC →⊥EF →，∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF . 又BF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF .10.如图， 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD ＝G .求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.[证明] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由题意知：D (0,0,0)、B 1(22，22，4)、E (22，2，0)、F (2，22，0)，B 1E →＝(0，－2，－4)、EF →＝(－2，2，0)． 设平面B 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则n ·B 1E →＝－2y －4z ＝0，n ·EF →＝－2x ＋2y ＝0. 解得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1得n ＝(1,1，－24)，又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC →＝(－22，22，0)， 而n ·AC →＝1×(－22)＋1×22＋(－24)×0＝0，即n ⊥AC →.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.一、选择题1．已知A (3,0，－1)、B (0，－2，－6)、C (2,4，－2)，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 [答案] C[解析] AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1,4，－1)，则 AB →·AC →＝－3×(－1)－2×4＋5＝0. ∴AB →⊥AC →，故△ABC 为直角三角形． 又|AB →|≠|AC →|故选C.2．已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，则以下等式中可能不成立的是( )A.DA →·PB →＝0 B ．PC →·BD →＝0 C.PD →·AB →＝0 D ．P A →·CD →＝0[答案] B[解析] ①⎭⎪⎬⎪⎫DA ⊥AB DA ⊥P A ⇒DA ⊥平面P AB ⇒DA ⊥PB ⇒DA →·PB →＝0；②同①知AB →·PD →＝0；③P A ⊥平面ABCD ⇒P A ⊥CD ⇒P A →·CD →＝0； ④若BD →·PC →＝0，则BD ⊥PC ，又BD ⊥P A ，∴BD ⊥平面P AC ，故BD ⊥AC ， 但在矩形ABCD 中不一定有BD ⊥AC ，故选B.3．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，点P (x,0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( )A ．(1,0，－2)B ．(1,0,2)C ．(－1,0,2)D ．(2,0，－1) [答案] C[解析] 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，AP →＝(x ，－1，z )， 又P A ⊥平面ABC ，所以AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0.①AC →·AP →＝(2,0,1)·(x ，－1，z )＝0， 得2x ＋z ＝0，②联立①②得x ＝－1，z ＝2， 故点P 的坐标为(－1,0,2)．4．已知直线l 1的方向向量是a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量是b ＝(2，y,2)．若|a |＝6，且a·b ＝0，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1 [答案] A[解析] 由题意知|a |＝22＋42＋x 2＝6，解得x ＝±4， 由a·b ＝4＋4y ＋2x ＝0得，x ＝－2y －2. 当x ＝4时，y ＝－3，所以x ＋y ＝1. 当x ＝－4时，y ＝1，所以x ＋y ＝－3. 综上，x ＋y ＝－3或1. 二、填空题5．已知空间三点A (0,0,1)、B (－1,1,1)、C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为________.[答案] (－12，12，1)[解析] 设M (x ，y ，z )，又AB →＝(－1,1,0)，AM →＝(x ，y ，z －1)，CM →＝(x －1，y －2，z ＋3)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＋y －2＝0x ＝－yz －1＝0，∴x ＝－12，y ＝12，z ＝1，∴点M 的坐标为(－12，12，1)．6．同时垂直于a ＝(2,2,1)、b ＝(4,5,3)的单位向量是________.[答案] (13，－23，23)或(－13，23，－23)[解析] 设所求向量为c ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2y＋z＝04x＋5y＋3z＝0x2＋y2＋z2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝13y＝－23z＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧x＝－13y＝23z＝－23.三、解答题7．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC1∥平面CA1D.[证明]如图，以C1点为原点，C1A1、C1B1、C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)、B(0,2,2)、C(0,0,2)、A1(2,0,0)、B1(0,2,0)、C1(0,0,0)、D(1,1,2)．(1)∵BC1→＝(0，－2，－2)、AB1→＝(－2,2，－2)，∴BC1→·AB1→＝0－4＋4＝0，∴BC1→⊥AB1→，∴BC1⊥AB1.(2)取A1C的中点E，∵E(1,0,1)，∴ED→＝(0,1,1)，又BC1→＝(0，－2，－2)，∴ED→＝－12BC1→，且ED和BC1不共线，则ED∥BC1.又ED⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.8.在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使D1E⊥平面AB1F.[解析]建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)、F(1,2,0)、B1(2,0,3)、D1(0,2,3)，设E(2，y，z)，则D1E→＝(2，y－2，z－3)、AF→＝(1,2,0)、AB1→＝(2,0,3)，∵D 1E ⊥平面AB 1F ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧D 1E →·AF →＝0D 1E →·AB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2(y －2)＝04＋3(z －3)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1z ＝53.∴E (2,1，53)即为所求．。
高二数学人教版选修2-1习题第3章空间向量与立体几何3.1.5Word版含答案
二、填空题
7．已知 a＝ (2，－ 3,0)、 b＝ (k,0,3)， <a，b>＝ 120 °，则 k＝ ________.
[答案 ] － 39
[解析 ] ∵ a·b＝ 2k， |a|＝ 13， |b|＝ k2＋ 9，
∴cos120°＝
2k
，
13× k2＋ 9
∴k＝－ 39.
8．已知 a＝ (2，－ 1，3)、b＝ (－ 1,4，－ 2)、c＝ (7,7，λ)，若 a、b、c 共面， 则实数 λ＝________. [答案 ] 9
z)，A→C＝ (－
1,0,2)，D→C
＝
(－ x，－y,2－ z)，
A→B＝ (－ 1,1,0) ．
因为 D→B ∥ A→C， D→C∥ A→B，
－ x， 1－ y，－ z ＝ m －1， 0， 2
所以
，
－ x，－ y， 2－ z ＝ n － 1，1， 0
x＝－ 1 解得 y＝ 1 .
z＝ 2
即 D (－ 1,1,2) ． (2)依题意 A→B＝( －1,1,0) 、 A→C＝ (－ 1,0,2) 、B→C＝ (0，－ 1,2)， 假设存在实数 α、 β，使得 A→C ＝ αA→B＋ βB→C成立，则有 (－ 1,0,2)＝ α(－ 1,1,0)＋ β(0，－ 1,2) ＝ (－ α， α－ β， 2β)，
∴O→C＝ 23(－ 3,7，－ 5)＝
－ 2，14，－ 10
3
3
.
故选 B.
2．设
M
(5，－
1,2)
、
A(4,2，－
1)，若
→ OM
＝
A→B，则点
B 应为 (
)
新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.1.4
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时过关·能力提升基础巩固1下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.2已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.3在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是()⃗⃗⃗⃗⃗ 与点B的坐标相同A.向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与点A的坐标相同B.向量ABC.向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标相同 D.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标相同4点A (-1,2,1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为( ) A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)A 在x 轴投影知y=0,z=0,由点A 在xOy 平面投影知z=0.故选B .5设{i ,j ,k }是空间的一个单位正交基底,a =2i -4j+5k ,b=i+2j-3k ,则向量a ,b 的坐标分别为 , .-4,5) (1,2,-3)6已知{a ,b ,c }是空间的一个基底,下列向量可以与p =2a -b ,q =a +b 构成空间的另一个基底的是 (填序号).①2a ②-b ③c ④a +c7如图,在边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,取点D 为原点建立空间直角坐标系,已知O ,M 分别是AC ,DD 1的中点,写出下列向量的坐标.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ,OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .-2,0,1) (1,1,2)8如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=2CD ,点O 为空间任一点,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用a ,b ,c 表示为 .-12b +c9如图所示,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,建立适当的空间直角坐标系,求BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,则BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1).10已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M ,N 分别是AB ,PC 的中点,并且PA=AD=1,如图所示,设DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 3,以{e 1,e 2,e 3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz ,求向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.DC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2. ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2-e 1-e 3, ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12PC ⃗⃗⃗⃗⃗=-12e 2+e 3+12(e 2-e 1-e 3)=-12e 1+12e 3.∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,12),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0). 能力提升1有下列叙述:①在空间直角坐标系中,x 轴上的点的坐标一定是(0,b ,c );②在空间直角坐标系中,在yOz 平面上点的坐标一定可写成(0,b ,c ); ③在空间直角坐标系中,在z 轴上的点的坐标可记作(0,0,c ); ④在空间直角坐标系中,在xOz 平面上点的坐标是(a ,0,c ).其中正确的个数是( ) A.1B.2C.3D.4错,x 轴上的点的坐标应是(a ,0,0).②③④正确.2如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,设A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是 ( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.12a -12b +cD.-12a -12b +c1M =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12(-a +b )=-12a +12b +c .3设p :a ,b ,c 是三个非零向量;q :{a ,b ,c }为空间的一个基底,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件a ,b ,c 不共面时,{a ,b ,c }可以当基底,否则不能当基底.当{a ,b ,c }为基底时,一定有a ,b ,c 为非零向量.4如图,在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在OA 上,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,N 是BC 的中点,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a +y b +z c ,则x ,y ,z 的值为( ) A.12,-23,12B.-23,12,12C.12,12,-23 D.23,23,-125已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3,-1),把AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 按向量(2,1,1)平移后所得向量的坐标是 .-4,-3,-1)6设{i ,j ,k }是空间向量的单位正交基底,a =3i+2j-k ,b=-2i+4j+2k ,则向量a ,b 的关系是 .a ·b =-6i 2+8j 2-2k 2=-6+8-2=0,∴a ⊥b .⊥b7已知在空间四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2c ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a+6b-8c ,对角线AC ,BD 的中点分别为E ,F ,则EF⃗⃗⃗⃗⃗ = .EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴两式相加,得2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ).∵E 为AC 的中点,F 为BD 的中点,∴EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2c )+(5a+6b-8c )=6a+6b-10c .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a+3b-5c .a+3b-5c8已知向量p 在基底{a ,b ,c }下的坐标是(2,3,-1),求p 在基底{a ,a +b ,a +b +c }下的坐标.p =2a +3b -c .设p =x a +y (a +b )+z (a +b +c )=(x+y+z )a +(y+z )b +z c ,则有{x +y +z =2,y +z =3,z =-1,解得{x =-1,y =4,z =-1,故p 在基底{a ,a +b ,a +b +c }下的坐标为(-1,4,-1).9已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中x ,y ,z 的值.⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(A 'B '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'B '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗.∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴x=12,y=12,z=1.★10如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥平面B 1AC.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,把向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1和B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别用a ,b ,c 表示出来,证明A F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,有a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0. 则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(-a +b +c ),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b . ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a +b +c )·(a +b ) =12(|b |2-|a |2)=0.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即EF ⊥AB 1. 同理EF ⊥B 1C.∵AB 1∩B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.。
人教版 选修2-1 第三章 空间向量试卷(含答案)
第三章 空间向量与立体几何（时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题）班别 姓名 成绩一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.15，12 B ．5，2 C ．－15，－12D ．－5，－2 解析：选A.a ∥b ，则存在m ∈R ，使得a ＝m b ，又a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6m ，0＝m (2μ－1)，2λ＝2m ，可得⎩⎨⎧λ＝15，μ＝12.2．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)三点，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形解析：选A .AB →＝(3,4，－8)，BC →＝(2，－3,1)，CA →＝(－5，－1,7)， ∴BC →·CA →＝－10＋3＋7＝0.∴BC ⊥CA. ∴△ABC 是直角三角形．3．已知向量(1,1,0)a = ，(1,0,2)b =-，且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B 【答案】D 试题分析：依题意可得(1,,2),2(3,2,2)ka b k k a b +=--=-，由()(2)k a b a b +⊥- 可得()(2)0ka b a b +⋅-= ，所以3(1)240k k -+-=，解得 D.4．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)2c |等于( )A ．310B ．210 C.10 D ．5 解析：选A.|a －b ＋2c |＝(a －b ＋2c )2，∵a －b ＋2c ＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(9,3,0)， ∴|a －b ＋2c |＝92＋32＋0＝310. 5．给出下列命题： ①已知a ⊥b ，则a ·(b ＋c )＋c ·(b －a )＝b ·c ；②A 、B 、M 、N 为空间四点，若BA →、BM →、BN →不能构成空间的一个基底，则A 、B 、M 、N 四点共面； ③已知a ⊥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；④已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则基向量a ，b 可以与向量m ＝a ＋c 构成空间另一个基底． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选C.当a ⊥b 时，a ·b ＝0，a ·(b ＋c )＋c ·(b －a )＝a ·b ＋a ·c ＋c ·b －c ·a ＝c ·b ＝b ·c ，故①正确；当向量BA →、BM →、BN →不能构成空间的一个基底时，BA →、BM →、BN →共面，从而A 、B 、M 、N 四点共面，故②正确；当a ⊥b 时，a ，b 不共线，任意一个与a ，b 不共面的向量都可以与a ，b 构成空间的一个基底，故③错误；当{a ，b ，c }是空间的一个基底时，a ，b ，c 不共面，所以a ，b ，m 也不共面，故a ，b ，m 可构成空间的另一个基底，故④正确．6．已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0, 4),C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是( )(A) (B)π (C) (D)π 【答案】B 【解析】由题意知=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),故cos θ===-, 所以θ=π.7．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P(2,3,3)B ．P(－2,0,1)C ．P(－4,4,0)D ．P(3，－3,4)解析：选A.逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1,4,1)， ∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．8．已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12c 解析：选B.因MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12b ＋12c －23a .考点：1.空间向量的坐标运算；2.空间向量垂直的条件；3.空间向量的数量积.9．已知非零向量a,b 及平面α,若向量a 是平面α的法向量,则a ·b=0是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】∵a,b 是非零向量,且a 是平面α的法向量,∴当a ·b=0时,向量b 所在的直线平行于平面α或在平面α内,反之也成立.10．已知(2,2,5)u =- ，(6,4,4)v =-，u ，v 分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式 A ．平行 B ．垂直 C ．所成的二面角为锐角 D ．所成的二面角为钝角 【答案】B试题分析：由(2,2,5)u =- ，(6,4,4)v =-，可得262(4)540u v ⋅=-⨯+⨯-+⨯= ，所以u v ⊥ ，而u ，v分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥，选B.考点：空间向量在解决空间垂直中的应用.11．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,O 为底面ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成的角是( )(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】结合图形建立空间直角坐标系,通过向量的坐标运算可知AM ⊥OP 恒成立,即AM 与OP 所成的角为. 12．如图,正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G 分别是线段AE,BC 的中点,则AD 与GF 所成的角的余弦值为( )(A) (B)- (C) (D)-【答案】A【解析】如图, 正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G 分别是线段AE,BC 的中点.以C 为原点建立空间直角坐标系Cxyz,A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(0,2,1),=(0,-2,2),=(-1,2,1),∴||=2,||=,·=-2, ∴cos<,>==-.∴直线AD 与GF 所成角的余弦值为. 【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选B.第II 卷（非选择题）二．填空题（每题5分，总20分）13．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 【答案】-1【解析】∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，∴a ＋b ＝(1，m －1)，∵(a ＋b)∥c ，c ＝(－1,2)，∴1×2－(－1)(m －1)＝0，∴m ＝－114．在空间直角坐标系O xyz -中，设点M 是点(2,3,5)N -关于坐标平面xoy 的对称点，则线段MN 的长度等于 .【答案】10 【解析】试题分析：点(2,3,5)N -关于坐标平面xOy 的对称点()2,3,5M --，故线段10MN =． 考点：空间中的距离．15．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1的中点，则异面直线D 1E 与AC 所成的角的余弦值是________．16．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ．以b a ,为邻边的平行四边形的面积为三、解答题(本题共5小题，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CM ＝2MA ，A 1N ＝2ND ，且AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示向量MN →.解：∵MN →＝MA →＋AA 1→＋A 1N →＝－13AC →＋AA 1→＋23A 1D →＝－13(AB →＋AD →)＋AA 1→＋23(A 1A →＋A 1D 1→)＝－13AB →－13AD →＋13AA 1→＋23AD →＝－13a ＋13b ＋13c ，∴MN →＝－13a ＋13b ＋13c .18．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，M 为四边形ABCD 的中心．求证：对A 1B 1上任一点N ，都有MN ⊥AP.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， M ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N(1，y,1)． ∴AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12， MN →＝⎝⎛⎭⎫12，y －12，1. ∴AP →·MN →＝(－1)×12＋0×⎝⎛⎭⎫y －12＋12×1＝0， ∴AP →⊥MN →， 即A 1B 1上任意一点N 都有MN ⊥AP. 19．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．O'N M D'C'B'A'CBA Dz yx【答案】64a 试题分析：解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M ，O'a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故a ）．根据空间两点距离公式，可得20．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 1和CC 1的中点． (1)求证：EF ∥平面ACD 1；(2)求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值；解：如图，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，由已知得D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、B 1(2,2,2)、E(1,0,2)、F(0，2,1)．(1)证明：易知平面ACD 1的一个法向量DB 1→＝(2,2,2)． ∵EF →＝(－1,2，－1)，∴EF →·DB 1→＝－2＋4－2＝0， ∴EF →⊥DB 1→，而EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1.(2)∵AB →＝(0,2,0)， ∴cos 〈EF →，AB →〉＝EF →·AB →|EF →||AB →|＝426＝63，∴异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值为63.21、如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M.(1)求证：AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值．解：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AB.∵AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ， ∴AB ⊥平面PAD.∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ， ∴PD ⊥平面ABM.∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD.(2) 如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ， 则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，2,0)． ∵AM ⊥PD ，PA ＝AD ，∴M 为PD 的中点，∴M 的坐标为(0,1,1)． ∴AC →＝(1,2,0)，AM →＝(0,1,1)，CD →＝(－1,0,0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0y ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1.∴n ＝(2，－1,1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α＝|CD →·n ||CD →|·|n |＝63.∴cos α＝33，即直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为33.22.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD. (1)证明：PA ⊥BD ；(2)若PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值． 解：(1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ， 由余弦定理得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD. 又因为PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD. 又因为AD ∩PD ＝D ，所以BD ⊥平面PAD ，故PA ⊥BD.(2)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则A(1,0,0)，B(0，3，0)， C(－1，3，0)，P(0,0,1)， AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)， BC →＝(－1,0,0)．设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －z ＝0，因此可取n ＝(3，1，3)． 设平面PBC 的法向量为m ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0，m ·BC →＝0，可取m ＝(0，－1，－3)，〈m ，n 〉等于二面角A －PB －C 的平面角，cos 〈m ，n 〉＝－427＝－277.故二面角A －PB －C 的余弦值为－277.。
(word完整版)高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题(含详解)
高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题（时间：120分钟，满分：150分）5分，满分60分•在每小题给出的四个选项中，有且只有一项答案 B3.设11的方向向量为a = （1,2, — 2）,12的方向向量为b = （— 2,3, m ）,若11丄12,则实数m 的值为（ ）1 A . 3 B .2 C . 1D.2解析 • h 丄 12,a 丄 b ,二 a b = 0, — 2+ 6 — 2m = 0, m = 2.答案 B4 .若a , b 均为非零向量，则 a b = |a||b|是a 与b 共线的（ ）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析 ■/ a b = |a||b|cos 〈 a , b>,而 a b = ••• cos 〈 a , b > = 1, ••• 〈 a , b > = 0.••• a 与b 共线.反之，若 a 与b 共线，也可能a b =— |a| |b|,因此应选B. 答案 Bf f f f5 .在△ ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =（）1.向量a =(2x,1,3), b = (1, — 2y,9), 右a 与b 共线，则 ( )11A . x = 1, y = 1B . x =2, y =- 2112C . x = 6y = — 2D . x =— 6,y ==3解析由 a // b 知，a = ?b , • 2x =入1 =—2入y3= 9入 ；1 1 入 =3 x=6,y =答案 C2 .已知a =(—3,2,5), b = (1, x ,— 1 ），且a b = 2,贝U x 的值是（）A . 6B . 5C . 4D . 3是符合题目要求的）3 2.解析 a b =— 3 + 2x — 5 = 2,二 x = 5. 、选择题（本大题共12小题，每小题2 1A.3b+ 3C2 1C.3b —3c1 2D.3b+3c解析 BC 的中点D 的坐标为(2,1,4),T••• AD = (— 1,— 2,2).T• |AD |= - . 1 + 4 + 4= 3. 答案 B&与向量a = (2,3,6)共线的单位向量是( )2 3 6 236A . (7, 7, 7)B . (—7,— 7,— ?)ff解析如图，AD = AB + BDT T2=AB + 3BC3T T T2=AB + 3(AC — AB)T T1 2=3AB+ 3AC1 2 =3c + 3b 答案 A起构成空间的另一个基底的是() A . a B.bC . cD .以上都不对 解析 I a , b,c 不共面，•- a + b ,a — b, c 不共面， • p , q , c 可构成空间的一个基底 7 .已知△ ABC 的三个顶点 A(3,3,2), B(4, — 3,7), C(0,5,1)，贝U BC 边上的中线长为(厂64D. 657解析 设平面ABC 的一个法向量为 n = (x , y , z),v AB= (— 5, — 1,1), AC = (— 4, — 2, — 1),f f由 n AB = 0 及 n AC = 0,得 —5x — y + z = 0,令 z = 1,—4x — 2y — z = 0, 得 x = 2 y =— 3• n = g — |, 1).f又AD = (— 2,— 1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为0,则2 3 6 2 3 6 2 3 6 2 3 6 C - (7，- 7，— 7)和(—7，7，7) D . (7，7 7)和(_■?，— 7，— 7)解析|a|=- ‘22 + 32 + 62= 7, •••与a 共线的单位向量是 £(2,3,6)，故应选D. 答案 D9.已知向量 a = (2,4, x), b = (2, y,2)，若 |a|= 6 且 a 丄b ，则 x + y 为( )A . -3 或 1B . 3 或—1C . -3D . 1解析由|a|= 6, a 丄b ,4+ 16+ /= 36, 得 4+ 4y + 2x = 0,x = 4, 解得y = — 3,x = — 4, 或y = 1.•- x + y = 1，或一3.答案 A 10.已知 a = b = (3,2 — x , x 2)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围是()A . x>4x< — 4C . 0<x<4D . — 4<x<0.解析 ■/〈 a , b 〉为钝角，• a b = |a||b|cos 〈 a , b > <0, 即 3x + 2(2 — x)<0 , - - x< — 4.答案 B11. 已知空间四个点 A(1,1,1), B(— 4,0,2), C(— 3,— 1 , 的角为()0), D( — 1,0,4)，则直线 AD 与平面ABC 所成 A . 30 °B . 45 °C . 60 °D . 90 °sin 0=IAD n|f12, |AD||n|—1 +1 + 3••• 0= 30°答案 A12.已知二面角 a — l - B 的大小为50 ° P 为空间中任意一点，则过点 P 且与平面a 和平面B 所成的角都是25°的直线的条数为()A . 2B . 3C . 4D . 5解析 过点P 分别作平面 a, B 的垂线l i 和|2,则11与12所成的角为130或50 °问题转化为过点 P与直线l i , |2成65。
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第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，_ _ D_ A_ P_ N _ B_ M0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.C 1 B 1 A 1B A3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42B ．32C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥. （1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC =60°. (1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ _ A_S_ F_ B参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -，EN PM PE =-=211326PC PC PC -=，连结AC ，则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260x x +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去）， 111,.A C C BD ∴=⊥1CD 时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示_ C_ D_ A_P_ N _ B_ M _ EA1.A2.D3.B4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0） A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1 则有13(,0,0)2MC =-(0,,0)AB a =，1(0,02)AA a =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.13(,2)22a AC a a =-，(0,2)2aAM a =， ∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=∴<1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t =设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅7可知二面角1A A B C --7. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,3,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系，则 1(0,0,0),(1,0,0)3,0),3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==， 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=， 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,3BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，），303,330l m l m n m m n ⎧-+=⎪∴∴==⎨-=⎪⎩. 不妨取1,(3,1,1)m n ==则，22222231101015cos ,5(3)11100m n m n m n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++.1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)22SD a =--，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. (2)由题设知，平面PAC 的一个法向量26()2DS a =，平面DAC 的一个法向量600a OS =（，，，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°. （3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且2626),(0,)DS CS ==（. 设,CE tCS = 则226((1)BE BC CE BC tCS t =+=+=-，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面.作 者 于华东 责任编辑 庞保军_ C_ A_S_ F_ BO。