概率论和概率分布
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若P（B）>0,则P（AB）=P（B）P（A︱B） 若P（A）>0,则P（AB）=P（A）P（B︱A）
乘法公式一般形式：
对于任意m 个事件A1,A2,…,Am，有
P（A1A2…Am）
＝P（A1）P（A2︱A1）P（A3︱A1A2）… P（Am︱A1 … Am1）
3、全概率公式
市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已 知三家工厂的市场占有率分别为25％、35％ 、40％ ， 且三家工厂的次品率分别为 5％、4％、3％，试求市场 上该品牌产品的次品率。
➢ 掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面，也可能Βιβλιοθήκη Baidu现 反面；
➢ 某交通线上一天内交通事故的次数； ➢ 某商店一天的销售额； ➢ 零售价格指数。
概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性
的科学。
2、随机试验
随机试验：以随机现象为观察对象的试验，简称试验，
并且字母E 表示。三个特征：
➢ 可以在相同的条件下重复进行； ➢ 有多种可能结果，且试验前不能预言会出现哪种结果； ➢ 知道试验可能出现的全部结果。
E1: 掷一枚硬币，观察所出现的面； E2：观察某交通干线上一天内交通事故的次数； E3：观察某商店一天的销售额； E4：测试某种灯泡的寿命； E5：掷一枚骰子,观察出现的点数； E6：纪录某传呼台在上午8时到9时接到的电话传呼次数。
3、随机事件
随机事件：在随机试验中，可能发生也可能不发生的事 情，简称事件，用大写字母A、B、C等表示 。
B 得到一件次品 A1 得到一件甲厂的品 A2 得到一件乙厂的品 A3 得到一件丙厂的品
P(B) P(BA1) P(BA2 ) P(BA3) P(B | A1)P( A1) P(B | A2 )P( A2 ) P(B | A3)P( A3) 0.05 0.25 0.04 0.35 0.03 0.40 3.85%
三、条件概率和概率的基本公式
1、条件概率
条件概率： 在事件B已经发生条件下， 如果P(B)>0,则事件A发 生的概率称为事件A在给 定事件B下的条件概率， 简称为A对B的条件概率， 记为 P(A∣B)=P(AB)/P(B)。
P（A）为无条件概率。
案例1
事件A={新产品在整个市场上的销售良好} 事件B ={新产品的试销情况良好} 问题：在已知事件B已经发生的条件下，事件A发生
一、随机现象、随机试验、随机事件、 样本空间、随机变量
1、随机现象及其统计规律性
必然现象：在一定条件下，必然会出现某种结果的 现象。
➢ 在室温下，生铁必定不能熔化； ➢ 在一定标准大气压下，纯水加热到100℃ ，必然沸腾； ➢ 同性电荷互相排斥。
随机现象：在一定条件下，有多种可能结果，且事前 不能预言哪种结果会出现； 不确定性与统计规律性。
参考书
1、 《管理统计学》 徐国祥主编
上海财经大学出版社
2、《概率论与管理统计基础》 南开大学 周概容主编 复旦大学出版社
3、 《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社
主要内容
➢随机现象、随机试验、随机事件、样本 空间、随机变量
➢事件的概率 ➢条件概率和概率的基本公式 ➢离散型随机变量 ➢连续型随机变量
A＝｛将一枚均匀硬币抛1次，正面出现｝ B＝｛将一枚均匀硬币抛10次，正面出现的次数不少于
5次｝ C＝｛掷一枚骰子，出现的点数为1 ｝ D＝｛掷一枚骰子，出现的点数小于3 ｝
基本事件：不可能再分解的事件，如事件C 。 复合事件：由若干基本事件组合而成的事件，如事件D 。 必然事件：在一定条件下必然要发生的事件，如“点数
事件D =｛掷一枚骰子，出现的点数小于3 的概率｝ P(D)=P｛掷一枚骰子，出现的点数小于3 ｝＝P｛X＜3｝
概率三大公理： ➢ 非负性：任何事件A的概率都是非负的，P（A）≥0 ➢ 规范性：必然事件的概率等于1，P(Ω)=1 ➢ 可加性：对于任意有限个或可数个两两不相容事件
中，它们之和的概率等于各个事件的概率之 和，即 P( A1+……+An+…..)=P(A1)+……+P(An)+…
为Ф，它对应着空集。
D＝｛掷一枚骰子，出现的点数小于3｝ ＝｛点数1，点数2｝ F＝｛接到至多4次呼唤｝ ＝｛0次呼唤，1次呼唤，2次呼唤，3次呼唤，4次
呼唤｝
5、随机变量
随机变量： ➢ 是取值带随机性的变量，即在随机试验中被测量的量 。 ➢ 是定义在样本空间上的函数，即对于随机试验的每一个可能的
Ω1 =｛ ω1 ，ω2 ｝=｛正面，方面｝ Ω2 =｛ ω1 ，ω2，ω3 ，ω4 ，ω5 ，ω6 ｝
=｛点数1，点数2，…，点数6｝ Ω3 =｛ ωi ，i＝1，2，…｝
=｛0次呼唤，1次呼唤，…，n次呼唤，…｝
每一个随机事件就是由若干样本点组成的集合，即
随机事件是样本空间的子集，E 的不可能事件记
结果W,都有一个函数X(W)与它对应。 ➢ 习惯上，常用最后面几个大写英文字母X、Y、……,U、V、
W ，……表示随机变量。
随机事件可以表示为随机变量在某一范围内的取值。 C =｛掷一枚骰子，出现的点数为1 ｝=｛X＝1｝ D =｛掷一枚骰子，出现的点数小于3 ｝＝｛X＜3｝ F =｛接到至多4次呼唤｝=｛0≤X≤4｝
小于7”。 不可能事件：在一定条件下必然不发生的事件，如“点数
大于7”。
4、样本空间
样本点：试验E 的每一个不可分解的结果（基本事 件）叫做E 的样本点，记为ω。
样本空间：
➢ 试验E 的样本点的全体构成的集合叫做E 的样本空
间，记为 Ω。 ➢ 一个试验中所有基本事件的全体所组成的集合称为
样本空间，它是必然事件。
按照随机变量的取值，随机变量分为离散型和连续型。 离散型随机变量：指其所代表取值为有限或可到无穷多个的随机
变量，如掷骰子。 连续型随机变量：指其可取某个范围内的一切值，如测试灯泡的
寿命。
二、事件的概率
频率：事件发生频繁程度的变量。 概率：事件在试验中出现可能性大小的数值度量，取值
范围为0到1之间。事件A发生的概率以P(A)表示。
的概率是多大？
案例2
A={顾客喜用葱} ，B= {顾客喜用黄瓜} P（A）=0.75，P（B）=0.80， P（AB）=0.65 在已知某顾客喜欢用葱的条件下，他也喜欢用黄瓜 的概率？
P（B︱A）=P（AB）/P（A） =0.65/0.75=0.8667
2、概率的乘法公式
条件概率→概率的乘法公式
设A，B为两个事件
乘法公式一般形式：
对于任意m 个事件A1,A2,…,Am，有
P（A1A2…Am）
＝P（A1）P（A2︱A1）P（A3︱A1A2）… P（Am︱A1 … Am1）
3、全概率公式
市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已 知三家工厂的市场占有率分别为25％、35％ 、40％ ， 且三家工厂的次品率分别为 5％、4％、3％，试求市场 上该品牌产品的次品率。
➢ 掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面，也可能Βιβλιοθήκη Baidu现 反面；
➢ 某交通线上一天内交通事故的次数； ➢ 某商店一天的销售额； ➢ 零售价格指数。
概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性
的科学。
2、随机试验
随机试验：以随机现象为观察对象的试验，简称试验，
并且字母E 表示。三个特征：
➢ 可以在相同的条件下重复进行； ➢ 有多种可能结果，且试验前不能预言会出现哪种结果； ➢ 知道试验可能出现的全部结果。
E1: 掷一枚硬币，观察所出现的面； E2：观察某交通干线上一天内交通事故的次数； E3：观察某商店一天的销售额； E4：测试某种灯泡的寿命； E5：掷一枚骰子,观察出现的点数； E6：纪录某传呼台在上午8时到9时接到的电话传呼次数。
3、随机事件
随机事件：在随机试验中，可能发生也可能不发生的事 情，简称事件，用大写字母A、B、C等表示 。
B 得到一件次品 A1 得到一件甲厂的品 A2 得到一件乙厂的品 A3 得到一件丙厂的品
P(B) P(BA1) P(BA2 ) P(BA3) P(B | A1)P( A1) P(B | A2 )P( A2 ) P(B | A3)P( A3) 0.05 0.25 0.04 0.35 0.03 0.40 3.85%
三、条件概率和概率的基本公式
1、条件概率
条件概率： 在事件B已经发生条件下， 如果P(B)>0,则事件A发 生的概率称为事件A在给 定事件B下的条件概率， 简称为A对B的条件概率， 记为 P(A∣B)=P(AB)/P(B)。
P（A）为无条件概率。
案例1
事件A={新产品在整个市场上的销售良好} 事件B ={新产品的试销情况良好} 问题：在已知事件B已经发生的条件下，事件A发生
一、随机现象、随机试验、随机事件、 样本空间、随机变量
1、随机现象及其统计规律性
必然现象：在一定条件下，必然会出现某种结果的 现象。
➢ 在室温下，生铁必定不能熔化； ➢ 在一定标准大气压下，纯水加热到100℃ ，必然沸腾； ➢ 同性电荷互相排斥。
随机现象：在一定条件下，有多种可能结果，且事前 不能预言哪种结果会出现； 不确定性与统计规律性。
参考书
1、 《管理统计学》 徐国祥主编
上海财经大学出版社
2、《概率论与管理统计基础》 南开大学 周概容主编 复旦大学出版社
3、 《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社
主要内容
➢随机现象、随机试验、随机事件、样本 空间、随机变量
➢事件的概率 ➢条件概率和概率的基本公式 ➢离散型随机变量 ➢连续型随机变量
A＝｛将一枚均匀硬币抛1次，正面出现｝ B＝｛将一枚均匀硬币抛10次，正面出现的次数不少于
5次｝ C＝｛掷一枚骰子，出现的点数为1 ｝ D＝｛掷一枚骰子，出现的点数小于3 ｝
基本事件：不可能再分解的事件，如事件C 。 复合事件：由若干基本事件组合而成的事件，如事件D 。 必然事件：在一定条件下必然要发生的事件，如“点数
事件D =｛掷一枚骰子，出现的点数小于3 的概率｝ P(D)=P｛掷一枚骰子，出现的点数小于3 ｝＝P｛X＜3｝
概率三大公理： ➢ 非负性：任何事件A的概率都是非负的，P（A）≥0 ➢ 规范性：必然事件的概率等于1，P(Ω)=1 ➢ 可加性：对于任意有限个或可数个两两不相容事件
中，它们之和的概率等于各个事件的概率之 和，即 P( A1+……+An+…..)=P(A1)+……+P(An)+…
为Ф，它对应着空集。
D＝｛掷一枚骰子，出现的点数小于3｝ ＝｛点数1，点数2｝ F＝｛接到至多4次呼唤｝ ＝｛0次呼唤，1次呼唤，2次呼唤，3次呼唤，4次
呼唤｝
5、随机变量
随机变量： ➢ 是取值带随机性的变量，即在随机试验中被测量的量 。 ➢ 是定义在样本空间上的函数，即对于随机试验的每一个可能的
Ω1 =｛ ω1 ，ω2 ｝=｛正面，方面｝ Ω2 =｛ ω1 ，ω2，ω3 ，ω4 ，ω5 ，ω6 ｝
=｛点数1，点数2，…，点数6｝ Ω3 =｛ ωi ，i＝1，2，…｝
=｛0次呼唤，1次呼唤，…，n次呼唤，…｝
每一个随机事件就是由若干样本点组成的集合，即
随机事件是样本空间的子集，E 的不可能事件记
结果W,都有一个函数X(W)与它对应。 ➢ 习惯上，常用最后面几个大写英文字母X、Y、……,U、V、
W ，……表示随机变量。
随机事件可以表示为随机变量在某一范围内的取值。 C =｛掷一枚骰子，出现的点数为1 ｝=｛X＝1｝ D =｛掷一枚骰子，出现的点数小于3 ｝＝｛X＜3｝ F =｛接到至多4次呼唤｝=｛0≤X≤4｝
小于7”。 不可能事件：在一定条件下必然不发生的事件，如“点数
大于7”。
4、样本空间
样本点：试验E 的每一个不可分解的结果（基本事 件）叫做E 的样本点，记为ω。
样本空间：
➢ 试验E 的样本点的全体构成的集合叫做E 的样本空
间，记为 Ω。 ➢ 一个试验中所有基本事件的全体所组成的集合称为
样本空间，它是必然事件。
按照随机变量的取值，随机变量分为离散型和连续型。 离散型随机变量：指其所代表取值为有限或可到无穷多个的随机
变量，如掷骰子。 连续型随机变量：指其可取某个范围内的一切值，如测试灯泡的
寿命。
二、事件的概率
频率：事件发生频繁程度的变量。 概率：事件在试验中出现可能性大小的数值度量，取值
范围为0到1之间。事件A发生的概率以P(A)表示。
的概率是多大？
案例2
A={顾客喜用葱} ，B= {顾客喜用黄瓜} P（A）=0.75，P（B）=0.80， P（AB）=0.65 在已知某顾客喜欢用葱的条件下，他也喜欢用黄瓜 的概率？
P（B︱A）=P（AB）/P（A） =0.65/0.75=0.8667
2、概率的乘法公式
条件概率→概率的乘法公式
设A，B为两个事件