实二次型的合同标准形与正交标准形
线性代数 6-2标准形规范形
λ1 , λ2 ,⋯, λn为A的全部特征值, Q的列向量为对应
于 λ1 , λ2 ,⋯, λn 的标准正交 特征向量 . 标准正交特征向量 特征向量.
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. 求正交阵Q, 使Q-1AQ为对角形 为对角形. T ⎛ 1 1 1⎞ λ = 3 α = (1,1,1) 1 1 ⎜ ⎟ T T A = ⎜ 1 1 1⎟ λ = λ = 0 α = ( − 1,1,0) α = ( − 1,0,1) , 2 3 2 3 ⎜ 1 1 1⎟ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎝ ⎠ − −
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, 在解析几何中 在解析几何中, 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f = ax 2 + 2bxy + cy 2
选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴
{
x = x′ cosθ − y = x′ cosθ +
y′ sinθ y′ sinθ
f = a′x′ 2 + c′y′ 2
(标准方程 ) 标准方程)
−5 5 = − 5 − 5 T 5 T 5 × 10 = α α f (α ) = α T Aα ≤ α α= ×10 = 5 5 2 2 2 2
故 m = −5 5, M = 5 5
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二、配方法
定理2 数域F上的任意一个二次型均可经过可逆线性 替换化为标准形. . 证明略。后面以例说明 证明略。后面以例说明. : 用“矩阵合同”概念表述定理 概念表述定理: 3 数域F上任一对称矩阵都与一个对角阵合同 . 定理 定理3 上任一对称矩阵都与一个对角阵合同.
二次型的标准型和规范型
小结 : 设A为实对称矩阵 , (1)求一可逆矩阵 P, 使P 1 AP为对角矩阵 . (2)求一正交矩阵 Q, 使Q 1 AQ为对角矩阵 . (3)求一可逆矩阵 P, 使PT AP为对角矩阵 . (4)求一正交矩阵 Q, 使QT AQ为对角矩阵 .
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f ( x) xT Ax为标准形 化实对称矩阵A为对角矩阵 . (2)任一方阵均可利用对等 的初等行、列变换化为 对角矩阵. 这里, " 对等" 指的是作一次初等行变 换后, 立即再作一次同种的初 等列变换.
例5 将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3化为标准形 .
命题1 二次型的标准形不唯一.
命题2 任一二次型都可经可逆的线性变换化为规范形：
2 2 g ( y1 , y2 , , yn ) d1 y12 d p y 2 p d p 1 y p 1 d r y r ,
1 , 2 , , n为A的n个特征值.
2 2 例1 将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 8 x2 x3 5 x3
化为标准形 .
问题 : 设A为实对称矩阵 , 求一可逆矩阵 P, 使PT AP为对角矩阵 . 方法 : (1)求一正交矩阵 Q, 使QT AQ Q 1 AQ为对角矩阵 . 令P Q即可. (2)求一正交变换 x Qy(Q为正交矩阵), 将二次型f ( x) xT Ax化为标准形 . 令P Q即可. (3)求一可逆的线性变换 x Py( P为可逆矩阵), 将二次型f ( x) xT Ax化为 标准形, 则P即为所求.
二次型及其标准形
例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交 变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具 有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.
线性代数二次型的标准形和规范形
含有平方项
含有x1的项配方
解 f x 1 2 2 x 2 2 5 x 3 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
x1 22x1x22x1x32x2 25x3 26x2x3
(x1x2x3)2x22x322x2x3 2x225x326x2x3 (x 1 x 2 x 3 )2 x 2 2 4 x 3 2 4 去x 2 掉x 3配方后多出来的项
x3 0 0 1 y3
标准形为 f y12y22.
所用变换矩阵为
1 C 0
1 1
0 0
1 2 , 1
(C 10)
例2 用配方法化二次型
f 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
为标准形，并写出对应的可逆线性变换。
解 所给二次型中无平方项，所以先作线性变换
x1 3 y 3
即
x1 x2
1 1
1 1
0 y1 0 y2
x2 0 0 1 y3
原二次型化为
f 2 y 1 2 2 y 2 2 4 y 1 y 3 8 y 2 y 3.
f 2 y 1 2 2 y 2 2 4 y 1 y 3 8 y 2 y 3.
再配方，得
f 2 (y 1 y 3 ) 2 2 (y 2 2 y 3 ) 2 6 y 3 2 ,
第二节
本节讨论的主要问题是：如何通过可逆线性变换XCY，
把二次型f(x1,x2,,xn)XTAX化为y1, y2,, yn 的平方和 d1y12 d2y22 dnyn2 ，称之为二次型的标准形。从前面分
析可以看出， 要把一个二次型化为标准形， 只要找一个可逆阵C， 使CTAC成为对角阵，即A与一个对角阵合同。
z3
第七章 n元实二次型 S1 n元实二次型及其标准形
ann xn2
nn
aij xi x j
i1 j1
nn
于是得到： f ( x1, x2 , , xn )
aij xi x j X T AX (3)
i1 j1
4
由此可见, 按照上述规则 任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵；
反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次型. 即二次型与对称矩阵之间是1−1对应关系.
3) aii 0, i 1, 2, , n, 且 a1 j 0, j 1, 2, , n . 由对称性，
nn
a j1 0, j 1, 2, , n ，于是 f ( x1, x2 , , xn )
aij xi x j
i2 j2
是n−1元二次型. 由归纳法假设，可用坐标变换化
为平方和形式.
xn zn
16
该坐标变换使
f ( x1 , x2 ,
, xn ) 2a12 x1 x2 2a12 (z1 z2 )(z1 z2 )
2a12 z12 2a12 z22
x1 z1 z2 x2 z1 z2 x3 z3
xn zn
右端为 z1, z2 , , zn 的二次型, 且 z12 前的系数不为零, 属第一种情况，引理得证.
而前面定理又可表述为： 两个n元实二次型等价它们的矩阵是合同矩阵. 另外，两个等价的n元实二次型必有相同的秩.
10
§7.1.2 二次型的标准形
只含变元平方项的二次型：
f d1 x12 d2 x22 dn xn2
称为二次型的标准形.
d1
二次型(1)的矩阵是对角矩阵
D
d2
(1)
.
dn
第七章 n元实二次型
• n元实二次型的定义 • n元实二次型的标准形 • 正定二次型及其性质 • 用正交变换化二次型为标准形
实二次型及其标准型
返回
二、合同变换
1. 矩阵合同
定义 对n阶矩阵A, B, 若存在可逆矩阵C, 使 C TAC = B,
则称 A与 B合同. 矩阵合同具有以下性质： (1) 反身性：矩阵A与自身合同； (2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同； (3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同, 则A与C合 同.
返回
A与B等价：PAQ = B,
X = (x1 , x2 , x3 )T, Y = (y1, y2, y3 )T 则 X = CY 为正交变换，且 f = 2 y12 + 2 y22 - 7 y32
返回
t1 2z1 若再令 t2 6z3 t 2z 2 3
则, f = 2z12 – 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32
返回
将实二次型 f (X) = X TAX 经合同变换化为标准 形后，将正项集中在前，负项集中在后： d1 y12 + … + dp yp2 - dp +1yp+12 - … - dr yr2
定理2 任何一个实二次型的规范形都是惟一的.
返回
四、用正交变换化二次型为标准形
定理3 任一 n 元实二次型 f (X) = X TAX 都可用 正交变换 X = CY 化为标准形 1 y12 + 2 y22 + … + n yn2 其中 1 ，2 ，…，n是A 的特征值.
证
因A 为n 阶实对称矩阵， 所以存在正交矩阵C , 使
i 1 j 1
n
n
(1)
(1)式称为从 y1, …, yn 到 x1, …, xn 的线性变换.
返回
x1 y1 c11 c12 c1n x2 y2 c21 c22 c2 n 令 C X , Y xn yn cn1 cn 2 cnn 则(1)式可记为
实二次型及其标准形
A与B等价：PAQ = B, 与 等价 等价：
P, Q 可逆； 可逆；
可逆； A与B相似：P -1AP = B , P 可逆； 与 相似 相似： 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？ 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？
三、用配方法化二次型为标准形
只含平方项的二次型 d1 y12 + d2 y22 + … +dr yr2 称为标准形. 称为标准形 形如 z12 + …+ zp2 – zp+12 - … - zr2 +1 的二次型称为规范形. 的二次型称为规范形 p: 正惯性指数； 正惯性指数； r - p: 负正惯性指数； 负正惯性指数； |r - 2p|: 符号差 符号差. (di ≠0)
2 1 2 2 2 3
3 －2 − 3 3 c 1 2
3 1 0
1 2 0 －1
f ( x1 , x2 , x3 ) = 5x + 5x + cx − 2x1 x2 + 6x1 x3 − 6x2 x3
5 −1 3 解：A = −1 5 −3 3 −3 c ∵ r ( A) = 2 ∴ A =0 ∴ c=3
可逆， ），（满秩 若C可逆，则称 为非退化（可逆），（满秩）线性变换。 可逆 则称(2)为非退化（可逆），（满秩）线性变换。 正交， 若C正交，则称 为正交线性变换。 正交 则称(2)为正交线性变换。
非退化线性替换的性质： （1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换 证： 由X = CY
⇒ Y = C -1 X
可逆， 设P , Q可逆，则 r ( PA) = r ( A) = r ( AQ ).
两个 n 阶对称方阵 A、B , 若存在可逆 矩阵的合同： 矩阵的合同： 矩阵 C , 使得 B = C AC , 则称 A 合同 ~ 于 B . 记作A − B。 所以，通过非退化线性变换， 所以，通过非退化线性变换， 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.
第一节二次型及其标准型和合同矩阵
a21
x2
x1
a22 x22
a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1 (a11 x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
( x1,
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
x1
X
x2
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f X T AX ,其中A为对称矩阵.
由此可见, 按照上述规则 任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵；
反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次型。 即二次型与对称矩阵之间是一一对应关系 称对称矩阵 A 为二次型 f 的矩阵，也把 f 称为 对称矩阵 A 的二次型。 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩。
则称二次型X T AX与二次型Y T BY等价
等价的二次型,它们的矩阵之间是合同的; 反之,以合同的矩阵为矩阵的二次型是等价的.
都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的表示法
1．用和号表示二次型
f
x1 ,
x2 ,,
xn
a11 x12
a22 x22
a
nn
x
2 n
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,
3
的矩阵为：
二次型化为标准型合同变换的方法
二次型化为标准型合同变换的方法二次型是高等代数学中一个重要的概念，它在数学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
将二次型化为标准型是解决二次型问题的关键一步。
本文将介绍二次型化为标准型的方法。
一、二次型的定义和性质在进入具体方法之前，我们先明确二次型的定义和性质。
二次型是一个关于n个变量的多项式，形如：Q(x_1, x_2, ..., x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + ... + a_{nn}x_n^2 +2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + ... + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n其中，a_{ij}表示系数，x_i表示变量。
性质：1. 二次型的值域为实数域。
2. 二次型可通过矩阵形式表示，即Q(x) = x^TAx，其中A为二次型的系数矩阵。
3. 二次型的阶数即为变量的个数，也就是n。
二、合同变换的定义为了将二次型化为标准型，我们需要使用合同变换。
合同变换是指根据特定的矩阵相似变换，将一个二次型转化为另一个与之相似的二次型，但其特点是标准化。
合同变换的定义：设A、B为n阶实对称矩阵，若存在非奇异矩阵P，使得 P^TAP = B，则称A与B合同。
合同变换具有以下性质：1. 两个合同的二次型有相同的秩。
2. 两个合同的二次型有相同的正负惯性指数。
3. 如果存在某个合同变换能够将一个二次型化为对角型，那么它就是标准型。
三、合同变换的方法下面介绍将二次型化为标准型的方法：1. 对称阵的合同变换方法若A为n阶对称矩阵，可以通过正交变换将其化为对角阵。
具体步骤如下：a) 求A的特征值和特征向量，特征向量组成的矩阵为P。
b) 计算P^{-1}AP，得到对角阵D。
这里的P为正交矩阵，满足P^TP = I，所以 A = PDP^T。
2. 一般阵的合同变换方法对于一般的矩阵A，可以通过两步变换将其化为标准型。
具体步骤如下：a) 求A的特征值和特征向量，特征向量组成的矩阵为P。
(完整版)线性代数第六章实二次型(自考经管类原创)
正定 半正定 负定 半负定 不定
二、正定矩阵
n元实二次型f xT Ax,及对称矩阵A一一对 应，能够判定A为正定矩阵，则f 必为正定二 次型.正定矩阵有哪些性质，怎样判定？
正定矩阵的性质 定理 对角矩阵为正定矩阵当且仅当中所 有对角元全大于零. 例 E为正定矩阵.
定理(必要条件) 对称矩阵A为正定矩阵，则A 中所有对角元必全部大于零. 反之，若存着对角元aii 0, 则A必然不正定. 例2 f 4x12 6x22 +15x32 x1x2 2x2 x3是否正定？ 定理 正定矩阵的合同矩阵必为正定矩阵. 定理 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵.
2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ···+ 2an-1,nxn-1xn
为二次型.
取 aij = aji , 则
2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,
nn
于是 二次型可写成 f (x1, x2,..., xn )
aij xi x j .
i1 j1
a11 a12 a1n
令
y1 y2
x1 x2
2x2 x3
y3 x3
即作可逆变换
x1 x2
y1+2 y2 y2 +y3
+2y3
x3 = y3
x1 1 2 2 y1
即经可逆变换
x2
=
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
将二次型化为标准形y12 6 y22 4 y32
O
定义 规范形中k称为二次型的正惯性指数，k r称 为负惯性指数，正负惯性指数的差2k r称为二次 型的符号差.
定理 对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的 秩和相同的正惯性指数.
二次型的正定性与标准型
二次型的正定性与标准型二次型是数学中的重要概念，广泛应用于线性代数、微积分、几何等领域。
在二次型的研究中，正定性是一个重要的性质，而标准型则是对二次型的一种标准化表示。
本文将详细介绍二次型的正定性与标准型。
一、二次型的定义与性质二次型是形如$Q(x)=\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}$的函数，其中$\mathbf{x}$是$n$维向量，$\mathbf{A}$是$n \times n$的对称矩阵。
二次型具有以下性质：1. 对称性：二次型$Q(x)$中的矩阵$\mathbf{A}$是对称矩阵，即$\mathbf{A}=\mathbf{A}^T$。
2. 数域上的二次型：二次型中的矩阵$\mathbf{A}$可以是实数域$\mathbb{R}$ 上的或者复数域 $\mathbb{C}$ 上的。
3. 齐次性：$Q(kx)=k^2Q(x)$，其中$k$是标量。
4. 可加性：$Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{y}$。
在研究二次型的正定性与标准型之前，我们先来看一下正定性的定义。
二、正定性的定义与性质正定性是指一个二次型的取值范围。
一个二次型$Q(x)$具有以下性质：1. 正定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x)>0$时，二次型$Q(x)$称为正定二次型。
2. 半正定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x) \geq 0$时，二次型$Q(x)$称为半正定二次型。
3. 负定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x)<0$时，二次型$Q(x)$称为负定二次型。
4. 半负定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x) \leq 0$时，二次型$Q(x)$称为半负定二次型。
正定二次型在数学和应用中具有重要意义，例如在优化问题、矩阵理论和最小二乘法中经常用到。
合同变换法化二次型为标准型
合同变换法化二次型为标准型合同变换法是一种将二次型化为标准型的方法，通过对二次型进行适当的正交变换，可以消去交叉项，将二次型化为一组只包含主对角线上的常数的形式。
本文将介绍合同变换法的基本原理和步骤，以及应用合同变换法化简二次型的示例。
合同变换法是基于以下基本原理：任意n阶实对称矩阵可以通过正交变换相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵Λ。
这个正交变换可以通过求解矩阵A的特征值和特征向量来实现。
下面是合同变换法化简二次型为标准型的步骤：步骤1：写出原始的二次型。
假设有一个n元二次型Q(x1, x2, ..., xn) = x^TAx，其中x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为n阶实对称矩阵。
步骤2：计算A的特征值和特征向量。
求解A的特征值λ1, λ2, ..., λn和对应的线性无关的特征向量v1, v2, ..., vn。
可以通过求解特征方程det(A - λI) = 0来得到特征值λi，进而求解方程组(A - λiI)v = 0得到对应的特征向量vi。
步骤3：构造正交矩阵P。
将特征向量v1, v2, ..., vn按列排列得到矩阵P = [v1, v2, ..., vn]，即P的每一列是一个特征向量。
步骤4：计算合同变换矩阵PTAP。
计算合同变换矩阵PTAP = Λ，其中Λ为对角矩阵，对角线上的元素为A的特征值。
步骤5：标准型化。
令y = P^T x，则y = (y1, y2, ..., yn)与x一样都是n维向量。
将二次型Q(x) = x^TAx表示为Q(y) = y^TPTAPy。
由于P为正交矩阵，P^T = P^(-1)，所以有Q(y) = y^TPTAPy = (Py)^TA(Py)= z^TΛz，其中z = Py。
最后得到的标准型为z^TΛz = λ1z1^2 + λ2z2^2 + ... + λnz^2，其中λi为A的特征值，z1, z2, ..., zn为新的变量。
二次型标准型规范型
二次型标准型规范型二次型是数学中一个重要的概念，它在代数、几何和物理等领域都有着广泛的应用。
在矩阵和向量的理论中，二次型的标准型和规范型是非常重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解和处理二次型的性质和特征。
本文将对二次型的标准型和规范型进行详细的介绍和解释。
首先，我们来看一下二次型的标准型。
对于一个二次型，通过合适的线性变换，我们可以将其化为标准型。
具体来说，对于一个n元二次型。
\[f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\]我们可以找到一个非奇异矩阵P，使得通过线性变换。
\[y = Px\]原二次型可以化为标准型。
\[g(y_1, y_2, \cdots, y_n) = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots +\lambda_ny_n^2\]其中$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$为二次型的特征值。
这个标准型的形式简单明了，能够直观地展现二次型的特征。
接下来，我们来讨论二次型的规范型。
对于一个实二次型，通过合适的正交变换，我们可以将其化为规范型。
具体来说，对于一个n元实二次型。
\[f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\]我们可以找到一个正交矩阵Q，使得通过正交变换。
\[y = Qx\]原二次型可以化为规范型。
\[h(y_1, y_2, \cdots, y_n) = \varepsilon_1y_1^2 + \varepsilon_2y_2^2 + \cdots +\varepsilon_r y_r^2\]其中$r$为二次型的秩，$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r$为二次型的非零特征值。
6.1 二次型及其标准形
当 a ij是复数时 , f称为 复 二 次 型 ;
当 a ij 是实数时 , f称为
实二次型
.
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型 2 2 2 f ( x 1 , x 2 ,L , x n ) = a 11 x 1 + a 22 x 2 + L + a nn x n
T 则称A与 合同 合同， 得 B = P AP ，则称 与B合同，记为 A
B
注意等价、相似和合同的区别。 注意等价、相似和合同的区别。
方阵合同的性质： 方阵合同的性质：
（1）反身性 ）
A
A B，则 B A
（2）对称性 若 A ） （3）传递性 若 A ）
B, B
C ，则 A C
说明：两个相似的方阵必等价， 说明：两个相似的方阵必等价，两个合同的方阵也必等 反之都不成立。等价的方阵未必相似，也未必合同。 价。反之都不成立。等价的方阵未必相似，也未必合同。 两个正交相似的方阵必正交合同。反之， 两个正交相似的方阵必正交合同。反之，两个正交合同 的方阵也必正交相似。因此， 的方阵也必正交相似。因此，两个方阵正交相似与正交 合同是一回事。然而，两个同阶方阵既相似又合同时， 合同是一回事。然而，两个同阶方阵既相似又合同时， 它们未必是正交相似的，也未必正交合同。 它们未必是正交相似的，也未必正交合同。
2 1 2 2 2 3
的矩阵. 解 a11 = 1 , a 22 = 2 , a 33 = −3 ,
a12 = a 21 = 2 , a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3.
0 1 2 ∴ A = 2 2 − 3 . 0 − 3 − 3
二次型及应用问题1矩阵的等价相似合同辨析答两个矩阵等
二次型及应用问题1：矩阵的等价、相似、合同辨析答：（1） 两个矩阵等价：A 和B 等价，即表示为A B ≅；A B 和是同型矩阵；满足，,PAQ B P Q =、可逆，即将A 通过行初等变化和列初等变换后得到B 的矩阵，其中()()r A r B =。
（2） 两个矩阵相似：A 和B相似，即表示为；A B 和是n 阶方阵；满足，1,P AP B P -=可逆， 即也A B ≅，其中，()(r A r B =A B =（3） 两个矩阵合同：A 和B 合同，即表示为A B ；A B 和是n 阶方阵；满足，,T P AP B P =可逆， 即也A B ≅，其中，()()r A r B =问题2：通过正交变换或可逆变换得到的标准形一样吗？答：不同点：i) 正交变换得到的实二次型的标准形：对角线元素是实对称阵的特征值；且标准形在不计特征值顺序时是唯一的。
ii) 可逆线性变换得到的实二次型的标准形：对角元素不一定是实对称阵的特征值，且其形式也不唯一。
相同点：i)平方项中非零项的个数相同ii)平方项中正（负）项的个数相同问题3： 判断下面三个矩阵那些相似？哪些合同？-2101100121123322A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦、、 i. A 是对角阵，A 是上三角阵，且有3个互异特征值与A 相同，所以B 可以相似对角阵为A 。
即A 与B 相似。
ii. 因为A 是对角阵，所以与A 合同的矩阵必然是对称阵，而B 不是对称阵，A 与 B 不合同。
iii. 又因为0E C λ-= 得1232,1,3λλλ=-== ，C 是又实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q ，使得1,T Q CQ Q CQ A -== C 与A 既相似又合同，在由传递性可知, C与B 也相似。
但C 与B 不合同，因为C 是对称阵，与对称阵合同的矩阵必然是对称阵，而B 不是对称阵， 所以C 与B 不是合同矩阵。
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正定方根 S使得A S m ?
③ 正定矩阵的乘积是否还是正定矩阵？
④ 正定矩阵乘积的特征值都是正实数？
ⅳ) 极分解（北师大高等代数第四版§9.4习题２）
设 A R为n可n逆矩阵, 证明存在正定矩阵 和正交
S
矩阵 , 使得
.
U
A US
3） 1 y12 2 y22 L r yr2 2byn 0（当 r r% 2 ）
3. 要加强对正交矩阵相关性质的教学 ① 运算性质 ② 结构性质 i) 行(列)向量标准基 ii) 元素与代数余子式 iii) 特征值
③ 与正交标准形相关的矩阵分解
i) Q分R解
设 A R, 如n果n
R
应用:
① [9,§8.8 二次曲面的仿射分类, 定理8.13]
R 定理8.13 对 中二次(n超) 曲面 f (x) xT Sx 2T x a x%T S%x% 0
记 相应r的, 值p.,则q,可t 经仿p射分变别q换r%为,化p%此的0,二q秩%,次、t%超正曲惯面性的指S方数程、S%为负惯性指数、符号差；
① 第八章 欧氏空间和酉空间 §8.4 对称变换和对称矩阵 基本问题：正交标准形
② 第九章 二次型 §9.1-§9.3 基本问题：合同标准形 §9.4 主轴问题、正交标准形
福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲 第六章 二次型，第七章 欧氏空间）， [3]另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较高的起 点）.
,则有A唯一的0正交矩阵 和正上三角矩阵 使得 Q .
A QR
n A ① 设 为 阶正定矩阵,则有正上三角矩阵 使
（文献[1] 第九章 习题14）
Q A QQ
② 设 A 证R明n存n在正交矩阵 , 使
为三角Q阵的
充分必要条件是 的特征多项式的根全部是实的.
A
（文献[1] 第九章 习题20）
Q1 AQ
Ⅲ 选学内容
三、几点看法
1. 实二次型两种标准形的重要性 ① 数学专业教材 ② 非数学专业教材
2007年国家教育部颁布的考研大纲，变化最大的部分是 二次型的两种标准形 作为 高数四的新增内容.
现在高数一、二、三、四的线性代数考纲基本相同. ③ 新编教材
2. 要注重讨论的几何背景 合同标准形可给出二次曲面的仿射分类
③ 中国人大 线性代数[6] 第四章 矩阵的特征值 §4.4 实对称矩阵的对角化 第五章 二次型
4. 新出版的一些高等代数教材
① 邱维声[7] 第五章 矩阵的相抵分类与相似分类 第六章 二次型、矩阵的合同分类 这样可将正交标准形同时纳入教学内容
② 姚慕生[8] 实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合同标准型更强有力的工具.
（见[8,P246]）
第八章 二次型 §8.1 正交相似标准形 §8.2 合同标准形
第九章 内积空间 第十章 双线性型
③ 张贤科[9] 结构有较大变化，分三部分：
Ⅰ 基础内容 多项式 线性代数 线性空间 线性变换
Ⅱ 深入内容 第七章 方阵相似标准形与空间分解 第八章 双线性型、二次型与方阵相合 第九章 欧几里德空间与酉空间
（1） （2） （3）
常用的实二次型化简
f X ' AX , A' A Rnn
1）
X ' AX d1 y12 L
d
p
y
2 p
d
y2
p1 p1
L
d
pq
y
2 pq
其中 X , CY可逆,C , 为d正i 、负0惯性p指,数q.
称（4）为实二次型的合同标准形.
（4）
2） X ' AX 1 y12 L n yn2, X QY , Q'Q En （5） （5）中 1, 2为,L实二,次n型的正交标准形.
① 这种分解是唯一的吗?
② 是否有分解形式
? A SU
ⅴ) 奇异值分解
设 得
A R为n可n逆矩阵, 证明存在正交矩阵
一、二次型的基本问题
n
f ( x1, x2 ,L , xn ) aij xi x j , aij P i 1 （1）可被唯一表示为
f ( x1, x2,L , xn ) X ' AX , A (aij ) A' Pnn
基本问题：
f ( x1, x2,L , xn ) X ' AX Y 'BY ,其中 X , C可Y逆 C
实对称方阵 的非零特征值
，则可经过正交
变换化此曲面为下列情形之一：X T SX 2 T X a 0
S
1 L r
1） 1 y12 2 y22 L
r
yr2
0（当 r
r%, r%为 S%
S
T
a
的秩
）
2） 1 y12 2 y22 L r yr2 C 0（当 r r%1 ）（ C R ）
二、目前的教材处理情况
1. 北大教材[1]
将基本知识分散处理于三部分
① 第五章 二次型
五节内容 基本问题：合同标准形
② 第九章 欧几里得空间
§9.6 实对称矩阵的标准形 基本问题：正交标准形
距离远、联系差
③ 第十章 双线性函数与辛空间 §10.3 双线性函数
2. 张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）[2]
分别为
1）
y12 L
y
2 p
y2 p1
L
yr2 0, 当
r r%;
2）
y12 L
yห้องสมุดไป่ตู้p
y2 p1
L
yr2 1 0,
当
r 1 r%;
3）
y12 L
y
2 p
y2 p1
L
yr2 2 yn 0, 当
r 2 r%;
② [9, §9.5 二次曲面的正交分解, 定理9.12]
定理9.12 设欧几里得空间 中二次超曲面在一V标准正交基下的方程为
ⅱ) 矩阵偶 (文献[1] 第九章 补充题10)
设 A,都B是实对称矩阵且 B 是正定的,证明存在实可逆
矩阵 , 使 与 同时为对角矩阵.
T TAT TBT
ⅲ) 正定矩阵的正定平方根
A 设 是一个正定矩阵, 证明存在一个正定矩阵 ,使得
S
A
.
S
2
① 可以证明 S是唯一的, 因此可记 S A1/ 2
3. 非数学专业教材 两种标准形是紧密出现的
① 居余马[4] 第五章 特征值和特征向量、矩阵的对角化 §5.3 实对称矩阵的对角化（正交标准形） 第六章 二次型（主要是实二次型）
② 同济线性代数[5] 第五章 相似矩阵及二次型 §5.4 对称矩阵的对角化 §5.5 二次型及其标准型 §5.6 用配方法化二次型成标准型 §5.7 正定二次型