实二次型的合同标准形与正交标准形

3. 非数学专业教材 两种标准形是紧密出现的
① 居余马[4] 第五章 特征值和特征向量、矩阵的对角化 §5.3 实对称矩阵的对角化（正交标准形） 第六章 二次型（主要是实二次型）
② 同济线性代数[5] 第五章 相似矩阵及二次型 §5.4 对称矩阵的对角化 §5.5 二次型及其标准型 §5.6 用配方法化二次型成标准型 §5.7 正定二次型
② 你能否证明: 对任意正整数 m,正定矩阵 A有唯一的 m次
正定方根 S使得A S m ?
③ 正定矩阵的乘积是否还是正定矩阵？
④ 正定矩阵乘积的特征值都是正实数？
ⅳ) 极分解（北师大高等代数第四版§9.4习题２）
设 A R为n可n逆矩阵, 证明存在正定矩阵 和正交
S
矩阵 , 使得
.
U
A US
③ 中国人大 线性代数[6] 第四章 矩阵的特征值 §4.4 实对称矩阵的对角化 第五章 二次型
4. 新出版的一些高等代数教材
① 邱维声[7] 第五章 矩阵的相抵分类与相似分类 第六章 二次型、矩阵的合同分类 这样可将正交标准形同时纳入教学内容
② 姚慕生[8] 实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合同标准型更强有力的工具.
3） 1 y12 2 y22 L r yr2 2byn 0（当 r r% 2 ）
3. 要加强对正交矩阵相关性质的教学 ① 运算性质 ② 结构性质 i) 行(列)向量标准基 ii) 元素与代数余子式 iii) 特征值
③ 与正交标准形相关的矩阵分解
i) Q分R解
设 A R, 如n果n
R
应用:
ⅱ) 矩阵偶 (文献[1] 第九章 补充题10)
设 A,都B是实对称矩阵且 B 是正定的,证明存在实可逆
矩阵 , 使 与 同时为对角矩阵.
T TAT TBT
ⅲ) 正定矩阵的正定平方根
A 设 是一个正定矩阵, 证明存在一个正定矩阵 ,使得
S
A
.
S
2
① 可以证明 S是唯一的, 因此可记 S A1/ 2
一、二次型的基本问题
n
f ( x1, x2 ,L , xn ) aij xi x j , aij P i 1 （1）可被唯一表示为
f ( x1, x2,L , xn ) X ' AX , A (aij ) A' Pnn
基本问题：
f ( x1, x2,L , xn ) X ' AX Y 'BY ,其中 X , C可Y逆 C
① 第八章 欧氏空间和酉空间 §8.4 对称变换和对称矩阵 基本问题：正交标准形
② 第九章 二次型 §9.1-§9.3 基本问题：合同标准形 §9.4 主轴问题、正交标准形
福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲 第六章 二次型，第七章 欧氏空间）， [3]另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较高的起 点）.
分别为
1）
y12 L
y
2 p
y2 p1
L
yr2 0, 当
r r%;
2）
y12 L
y2p
y2 p1
L
yr2 1 0,
当
r 1 r%;
3）
y12 L
y
2 p
y2 p1
L
yr2 2 yn 0, 当
r 2 r%;
② [9, §9.5 二次曲面的正交分解, 定理9.12]
定理9.12 设欧几里得空间 中二次超曲面在一V标准正交基下的方程为
（1） （2） （3）
常用的实二次型化简
f X ' AX , A' A Rnn
1）
X ' AX d1 y12 L
d
p
y
2 p
d
y2
p1 p1
L
d
pq
y
2 pq
其中 X , CY可逆,C , 为d正i 、负0惯性p指,数q.
称（4）为实二次型的合同标准形.
（4）
2） X ' AX 1 y12 L n yn2, X QY , Q'Q En （5） （5）中 1, 2为,L实二,次n型的正交标准形.
Ⅲ 选学内容
三、几点看法
1. 实二次型两种标准形的重要性 ① 数学专业教材 ② 非数学专业教材
2007年国家教育部颁布的考研大纲，变化最大的部分是 二次型的两种标准形 作为 高数四的新增内容.
现在高数一、二、三、四的线性代数考纲基本相同. ③ 新编教材
2. 要注重讨论的几何背景 合同标准形可给出二次曲面的仿射分类
（见[8,P246]）
第八章 二次型 §8.1 正交相似标准形 §8.2 合同标准形
第九章 内积空间 第十章 双线性型
③ 张贤科[9] 结构有较大变化，分三部分：
Ⅰ 基础内容 多项式 线性代数 线性空间 线性变换
Ⅱ 深入内容 第七章 方阵相似标准形与空间分解 第八章 双线性型、二次型与方阵相合 第九章 欧几里德空间与酉空间
实对称方阵 的非零特征值
，则可经过正交
Leabharlann Baidu变换化此曲面为下列情形之一：X T SX 2 T X a 0
S
1 L r
1） 1 y12 2 y22 L
r
yr2
0（当 r
r%, r%为 S%
S
T
a
的秩
）
2） 1 y12 2 y22 L r yr2 C 0（当 r r%1 ）（ C R ）
,则有A唯一的0正交矩阵 和正上三角矩阵 使得 Q .
A QR
n A ① 设 为 阶正定矩阵,则有正上三角矩阵 使
（文献[1] 第九章 习题14）
Q A QQ
② 设 A 证R明n存n在正交矩阵 , 使
为三角Q阵的
充分必要条件是 的特征多项式的根全部是实的.
A
（文献[1] 第九章 习题20）
Q1 AQ
① 这种分解是唯一的吗?
② 是否有分解形式
? A SU
ⅴ) 奇异值分解
设 得
A R为n可n逆矩阵, 证明存在正交矩阵
① [9,§8.8 二次曲面的仿射分类, 定理8.13]
R 定理8.13 对 中二次(n超) 曲面 f (x) xT Sx 2T x a x%T S%x% 0
记 相应r的, 值p.,则q,可t 经仿p射分变别q换r%为,化p%此的0,二q秩%,次、t%超正曲惯面性的指S方数程、S%为负惯性指数、符号差；
二、目前的教材处理情况
1. 北大教材[1]
将基本知识分散处理于三部分
① 第五章 二次型
五节内容 基本问题：合同标准形
② 第九章 欧几里得空间
§9.6 实对称矩阵的标准形 基本问题：正交标准形
距离远、联系差
③ 第十章 双线性函数与辛空间 §10.3 双线性函数
2. 张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）[2]